ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН"

Транскрипт

1 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для решения многих практических задач совсем не обязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а достаточно указать отдельные параметры, которые позволяют в компактной форме отразить существенные особенности случайной величины. Эти характеристики случайной величины, являющиеся не функциями, а числами, называют числовыми характеристиками случайной величины. Их назначение в сжатой форме выразить наиболее важные черты распределения. Рассмотрим некоторые наиболее важные числовые характеристики и изучим их свойства. Математическое ожидание Возможные значения случайной величины могут быть сосредоточены вокруг некоторого центра. Для характеристики такой особенности распределения случайной величины служит математическое ожидание. Сначала рассмотрим дискретную случайную величину. Пусть дискретная случайная величина X задана рядом распределения: X x x x i x n P(x) p p p i p n Математическим ожиданием М[x] дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности значений, т.е.: n M[X] = x p +.+ x n p n = x p i i i. 85

2 а тмп йтс Дан ряд распределения X P 0, 0,3 0,4 0, Найдем математическое ожидание случайной величины Х. M[X] = 0, + 50,3 + 80,4 + 90, = 7. Математическим ожиданием M[X] непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой распределены по всей оси Ох, называется несобственный интеграл: M [ X ] xf ( x ) dx, где f(x) плотность вероятности. Если возможные значения случайных величин распределены в отрезке [a, b], то M [ X ] b xf ( x ) dx. a а тмп йтс Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения: 0 x x x f ( x ). x 3 x 3 0 x 3 Найти математическое ожидание М[X]. M[X] = 3 xf ( x ) dx = x 0dx + x ( x ) dx + ( 3 x ) dx 3 x 0dx = x + 86

3 3 x = 0+( 3 - x ) 3 3 3x x +( ) =. 3 в есмхцедрпдцйпдцляйхнсжсрск лидрл. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной M[const] = const.. Постоянный множитель случайной величины может быть вынесен за знак математического ожидания M[const X] = const M[X]. 3. Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин Х и У равно алгебраической сумме их математических ожиданий M[XY] = M[X]+M[Y]. 4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X и Y равно произведению их математических ожиданий M[XY] = M[X]M[Y]. 5. Математическое ожидание отклонения X M[X] случайной величины X от ее математического ожидания M[X] равно нулю M[X M[X]] = 0. Действительно: M[X M[X]]=M[X] M[M[X]]=M[X] M[X]=0. Дисперсия На практике встречаются случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, однако принимающие резко отличающиеся значения. У одних из этих величин отклонения значений от математического ожидания небольшие, а у других, наоборот, значительные, т.е. для одних рассеивание значений случайной величины вокруг математического ожидания мало, а для других велико. Таким образом, математическое ожидание не полностью характеризует поведение случайной величины. Рассмотрим пример: 87

4 X P(X) 0, 0, 0,3 0,4 M[X] = 0,+30,+40,3+50,4 = 4. Y P(Y) 0, 0,5 0, 0, MY=-0,+30,5+80,+0,=4. Отложим значения этих величин на числовых осях с одинаковым масштабом Рис. 6. Случайные величины имеют одинаковое математическое ожидания, но их дисперсии различны. Рассматриваемые величины имеют одинаковые математические ожидания = 4. Однако рассеивание значений случайной величины X вокруг математического ожидания значительно меньше, чем у величины Y. Дисперсия является такой характеристикой случайной величины, которая оценивает меру рассеивания значения случайной величины вокруг ее математического ожидания. Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания M[X] называют дисперсией случайной величины Х и обозначают D[X], т.е. D[X] =M[(X-M[X]) ]. Для дискретной случайной величины: 88

5 n D [ X ] ( x M x P i i [ ]). i Для непрерывной: D [ X ] ( x M [ x ]) f ( x ) dx. Среднее квадратическое отклонение Случайная величина и ее математическое ожидание имеют одну и ту же размерность, но дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеяния удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе «стандартом») случайной величины Х. Среднее квадратическое отклонение будем обозначать σ[x]: σ [ X] D[ X]. а тмп йтс Посчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение СКО для ряда: X Р(X) 0, 0,3 0,4 0, Выше было найдено математическое ожидание М[X] = 7. Найдем дисперсию: D [ X ] = ( 7) 0, (5 7) 0,3 (8 7) 0,4 (9 7) 0, X 4, 6 σ. 5, 0,4 4,4 Для непрерывной случайной величины заданной плотностью вероятностей 89

6 0 f ( x ) 3x 0 найти дисперсию и СКО x x 0 x 0 0 M[X]= xf ( x ) dx = x x dx = 3x dx x = D[X]= ( x M [ X ]) f ( x ) dx = ( x ) 3 x dx = ( x x ) dx 3( x σ [ X] 0,037 0, x = 0 3 x x ) 0, 037. в еро едпим сйт мм.дисперсия постоянной величины равна нулю D[const] = 0..Постоянный множитель случайной величины можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат D[const X] = const D[X]. 3.Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин Х и Y равна сумме дисперсий этих величин D[XРРY] = D[X] + D[Y]. 4.Дисперсия случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания. D[ X] M[ X ] ( M[ X]). 90

7 Мода Модой называется наиболее вероятное значение x i случайной величины, т.е. это такое значение для которого: дискретное распределение: p(x i ) имеет наибольшее значение; непрерывное распределение: плотность вероятностей f(x) принимает наибольшее значение. Если случайная величина имеет единственную моду, то распределение называют унимодальным, если две, то бимодальным, если много, то полимодальным. Рис. 7. Унимодальное распределение Рис. 8. Бимодальное распределение Медиана Этой характеристикой пользуются в основном для непрерывных случайных величин. 9

8 Медиана это такое значение случайной величины Х, для которого функция распределения равна x f ( x ) dx, где х=м е (медиана). M e f ( x ) dx f ( x ) dx. M e Это означает, что вероятность случайной величины Х принять значение меньшее медианы, в точности равна вероятности принять значение большее медианы, т.е. P(x<M e ) = P(x>М е ). Рис. 9. Медиана делит площадь под кривой распределения на две равные части Квантили При описании непрерывных распределений часто используют квантили. Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности p, называется такое значение x p случайной величины Х, при котором функция распределения принимает значение равное p, т.е. 9

9 x p F(x p )=p или f ( x ) dx p Рис. 30. Квантили распределения Частные случаи квантилей: медиана p ; нижний квартиль p ; 4 3 верхний квартиль p ; 4 процентиль p 0,0; p 0, 09 и т.д. Начальные и центральные моменты Начальным моментом k-го порядка ν k случайной величины Х называется математическое ожидание Х k, т.е. ν κ = M(X k ). Для дискретной случайной величины n ν κ =. k x i p i i Для непрерывной случайной величины 93

10 κ ν κ = x f ( x ) dx. г дхцр йрхочядлррдядо р ырпсп йрцсеч начальный момент нулевого порядка равен единице k = 0, ν 0 = ; начальный момент первого порядка есть математическое ожидание Х k =, ν = M[Х]; центральным моментом k-го порядка µ k случайной величины X называется математическое ожидание величины (Х МХ) k, т.е. µ k = М[(X MX) k ]. Для дискретной случайной величины µ k т ш ( x µ x ) Для непрерывной случайной величины k µ k ( x x f x dx i µ ) ( ) г дхцр йрхочядлрьйрцудо р ырпсп йрцсеч центральный момент нулевого порядка равен единице k = 0, µ 0 =; центральный момент первого порядка равен нулю k =, µ =0; центральный момент первого порядка есть дисперсия случайной величины Х k =, µ =D[X]. i k p i Коэффициенты асимметрии и эксцесса Часто применяются такие числовые характеристики, как асимметрия и эксцесс. Асимметрия (скошенность). µ 3 Коэффициент асимметрии γ. 3 σ 94

11 Для симметричных распределений γ = 0, γ > 0, если мода предшествует медиане; γ < 0, если мода следует за медианой. Рис. 3. Изменение коэффициента асимметрии Эксцесс (крутость) γ γ µ 4 4 σ 3. Рис. 3. Изменение коэффициента эксцесса 95

12 а дхтуйийойрл РлРлыРыдуднцйулхцлнлС Числовые характеристики Математи ческое Дисперсия. СКО Мода. Медиана. ожидание Распределение. M[X] D[X] σ х.биноминальное. np np(-p) np( p. Пуассона λ λ λ 3. Равномерное a b ( a b) b a Медиана а b 4) Нормальное Гауссово µ σ σ Мода=µ Медиана= µ 5) Хи-квадрат k k k Мода=k-, k 6) t- 0 k k Мода 0 распределение k k k> 96

13 Задачи 84. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения: а) Х Р 0, 0,3 0,5 б) Х 0, 0,54 0,6 Р 0, 0,5 0,4 85. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y. а) Z = X+Y, M(X) = 5, M(Y) = 3; б) Z = 3X+4Y, M(X) =, M(Y) = Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х = 4 с вероятностью р = 0,5, x = 6 с вероятностью р = 0,3 и х 3 с вероятностью р 3. Найти х 3 и р 3, зная, что М(Х) = В партии из 0 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х числа нестандартных деталей среди -х отобранных. 88. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона: Х 0... k Р λ e λ λe! λ λ e! k λ λ e k! 97

14 89. Случайные величины X, Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3 X + Y, если известно, D ( X ) = 5, D ( Y ) = Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения: Х Р 0,4 0,3 0, 0, 9. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения: а) Х 4,3 5, 0,6 Р 0, 0,3 0,5 б) Х Р 0,05 0,0 0,5 0,60 9. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения ξ Р 0,4 0,3 0, 0, 93. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х числа появлений события А в 5-ти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,. 94. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х числа появлений события А в -х независимых 98

15 испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х) =,. 95. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона : Х 0... k Р λ e λ e λ λ λ e k λ λ e!! k! 96. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=x в интервале (0,) и f(x) = 0 вне этого интервала. Найти математическое ожидание величины Х. 97. Случайная величина Х в интервале ( с, с) задана плотностью распределения f ( x) ; вне этого π c x интервала (х)=0. Найти математическое ожидание величины Х. 98. Случайная величина Х задана плотностью распределения (х)=c(х +х) в интервале (0,); вне этого интервала (х)=0. Найти: а) параметр с; б) математическое ожидание величины Х. 99. Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной функцией распределения 0 x 0 F ( x) x 0 x 4. 4 x 4 99

16 00. Случайная величина Х в интервале ( с, с ) задана плотностью распределения f ( x), вне этого π c x интервала (х)=0. Найти дисперсию Х. 0. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения. F( x ) 0 x 4 x x x 0. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ξ равны соответственно и 0. Найти математическое ожидание и дисперсию величины ξ Случайные величины X, Y не зависимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3 X + 3 Y, если известно, что D ( X ) = 4, D ( Y ) = Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпадающих при бросании игральной кости. 05. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х)=0, Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)= 0,5x в интервале (0,) и f(x) = 0 вне этого интервала. Найти математическое ожидание величины Х. 07. Случайная величина Х в интервале ( 3; 3) задана плотностью распределения f ( x) ; вне этого π 9 x интервала (х) = 0. а)найти дисперсию D[Х]; б) что вероятнее: в результате испытания окажется Х < или Х>? 00

17 08. Случайная величина Х в интервале (0, π) задана плотностью распределения (х)=(/) sin x; вне этого интервала (х)=0. Найти дисперсию Х. 09. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения. ξ Р 0,4 0,3 0, 0, 0. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х = ; х = 0; х 3 =, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х) = 0,; М(Х )=0,9. Найти вероятности p, p, p 3 соответствующие возможным значениям х, х, х 3.. Дан перечень возможных знчений дискретной случайной величины Х: х =; х =; х 3 =3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=,3; М(Х )=5,9. Найти вероятности p, p, p 3, соответствующие возможным значениям х, х, х 3.. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения х и х, причем равновероятных. Доказать, что дисперсия величины Х равна квадрату полуразности возможных значений: x x D( X ). 3. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: х и х, причем х >х. Вероятность того, что Х примет значение х, равна 0,6. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание и дисперсия известны: M(X) =,4; D(X) = 0,4. 4. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: х и х, причем х >х. Вероятность 0

18 того, что Х примет значение х, равна 0,. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание M(X) =,6 и среднее квадратическое отклонение σ(х) = 0,8. 5. Дискретная случайная величина Х имеет только три возможных значения: х =, х и х 3, причем х <х <х 3. Вероятность того, что Х примет значения х и х соответственно равны 0,3 и 0,. Найти закон распределения величины Х, если ее математическое ожидание и дисперсия известны: M(X)=,; D(X)=0, Плотность равномерного распределения сохраняет в интервале (a,b) постоянное значение, равное С; вне этого интервала f(x) = 0. Найти значение постоянного параметра C. 7. Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности f ( x ) b в интервале (a,b); вне этого a интервала f(x) = 0. Найти функцию распределения F(x). 8. Найти математическое ожидание случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a,b). 9. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a,b). 0. Равномерно распределенная случайная величина Х в интервале (a-l, a+l) задана плотностью распределения f ( x) ; вне этого интервала f(x)=0. Найти l математическое ожидание и дисперсию X.. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X в интервале (a,b), Y в интервале (c,d). Найти математическое ожидание произведения XY. 0

19 . Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно 3 и среднее квадратическое отклонение равно. Найти плотность вероятности Х. 3. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х, зная, что M(X)=3, D(X)=6. 4. Нормально распределенная случайная величина Х задана плотностью: f ( x) e 5 π ( x ) 50 Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. 5. Найти математическое ожидание случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (, 8). 6. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (, 8). 7. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X в интервале (a,b), Y в интервале (c,d). Найти дисперсию произведения XY. 8. Нормально распределенная случайная величина Х задана плотностью: медиану. f ( x a) σ ( x) e σ π.. Найти моду и 03

Медицинская информатика

Медицинская информатика Лукьянова Е. А. Медицинская информатика Теория вероятностей Специальность «Фармация» Заочное отделение 2010 Консультация 2 Темы контрольной работы 2 Случайные величины Числовые характеристики случайных

Подробнее

Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Применяются вместо закона распределения случайной величины В сжатой форме выражают наиболее существенные особенности

Подробнее

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики положения и моменты непрерывных и дискретных случайных величин Числовые характеристики положения Закон

Подробнее

Математическое ожидание.

Математическое ожидание. Лекция. Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры. Закон распределения (функция

Подробнее

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания:

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания: МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 8 Числовые характеристики случайных величин При изучении случайных величин важную роль играют их числовые характеристики Математическим

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Закон распределения вероятностей случайной величины содержит полную информацию о случайной величине. Однако полная информация не всегда

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения.

Случайные величины и законы их распределения. Случайные величины и законы их распределения. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Сначала рассмотрим примеры. Число вызовов, поступивших от абонентов в течение

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Современная теория вероятностей предпочитает где только возможно оперировать не случайными событиями а случайными величинами

Подробнее

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону Случайные величины Случайные величины (с.в.) численное значение, появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества. Существует два типа случайных величин:

Подробнее

Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина.

Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина. Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина. Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно, значение,

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика Случайные величины 1 Содержание Случайные величины Основные законы распределения 2 Случайные величины Понятие случайной величины и закона ее распределения

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задание. Выберите правильный ответ:. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная... а) отношению числа случаев, благоприятствующих

Подробнее

Учебное пособие. Основы теории вероятностей. Раздел 2. Случайные величины. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК

Учебное пособие. Основы теории вероятностей. Раздел 2. Случайные величины. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Учебное пособие Основы теории вероятностей Раздел 2. Случайные величины для студентов специальности 2305 «Программирование в компьютерных

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес информатика»

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Основные понятия теории вероятностей Многие объекты в математике определяются указанием операций которые можно выполнять над объектами и перечислением свойств которым удовлетворяют

Подробнее

характеристики положения характеристики рассеивания

характеристики положения характеристики рассеивания Числовые характеристики характеристики положения характеристики рассеивания Виды распределений Нормальное Равномерное Биномиальное характеристики положения Математическое ожидание Медиана характеристики

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений. Случайная величина X называется

Подробнее

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка»,

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка», .6 Бросают три игральных кубика. Найти ряд и функцию распределения числа выпавших «пятерок» Х, а также M(X), D(X) и вероятность того, что Х>. Решение: Пусть Х число выпавших «пятерок». Перечислим все возможные

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ Погрешность В реальных условиях даже очень точные измерения будут содержать погрешность D, которая является отклонением результата измерения x от истинного

Подробнее

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Случайные величины Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Каждой случайной

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины.

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Лекция 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: часа. Вопросы: 1. Характеристики

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки 2 Пример. Рост человека

Подробнее

Тема 5. Непрерывные случайные величины.

Тема 5. Непрерывные случайные величины. Тема 5. Непрерывные случайные величины. Цель и задачи. Цель контента темы 5 дать определение непрерывной случайной величины, ее функции распределения и функции распределения; рассмотреть особенности задания

Подробнее

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Случайные величины

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Случайные величины Случайные величины Распределения Случайные величины характеризуются распределениями Дискретное Если случайная величина может принимать дискретное множество значений, то соответствующее распределение называется

Подробнее

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет». Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Функции многих переменных Задача 7 Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) : f ( x, y) y x Искомые производные: Задача 9 Найти полный дифференциал и градиент функции А: 3 4 f ( x, y) ln

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

Эконометрия I: регрессионный анализ

Эконометрия I: регрессионный анализ Методическое пособие для студентов II-III курсов экономического факультета НГУ Эконометрия I: регрессионный анализ Курс эконометрии I состоит из двух частей: регрессионный анализ и временные ряды. Данное

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Часть 2)

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

1. Биномиальный закон распределения

1. Биномиальный закон распределения Лекция 4 Тема: Законы распределения СВ 1. Биномиальный закон распределения Опр. Дискретная СВ Х имеет биномиальный закон распределения, если выполнены следующие условия: 1) эксперимент заключается в последовательном

Подробнее

Учебно-методические материалы

Учебно-методические материалы http://www-chemo.univer.kharkov.ua/ Учебно-методические материалы Рабочий план и программа курса Хімічна інформатика та хемометрія Примеры экзаменационных билетов Презентации Last updated November, 2008

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2;

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2; СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2016 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, зная закон ее распределения: X 2 3 5 P 0,3 0,1 0,6 2. Из партии, содержащей

Подробнее

СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ «Дискретные и непрерывные случайные величины»

СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ «Дискретные и непрерывные случайные величины» ТОМСКИЙ ТЕХНИКУМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФИЛИАЛ СГУПС СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ «Дискретные и непрерывные случайные величины» дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика для специальности

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

2. «Простая» статистика

2. «Простая» статистика 2. «Простая» статистика 1 2. «Простая» статистика В большинстве статистических расчетов приходится работать с выборками случайной величины: либо с данными эксперимента, либо с результатами моделирования

Подробнее

Биномиальное распределение B(n,p) Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью:

Биномиальное распределение B(n,p) Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью: ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Случайные величины измеряются и анализируются в терминах их статистических и вероятностных свойств, главным выразителем которых является функция

Подробнее

Одномерные случайные величины

Одномерные случайные величины МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им Н.И. Лобачевского» Факультет

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1 Лекция 11. Дискретные случайные величины Случайной величиной Х называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение х i. Выпадение некоторого значения случайной величины Х

Подробнее

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют:

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют: . На складе 00 деталей, из которых 00 изготовлено цехом, 60 цехом и 40 цехом. Вероятность брака для цеха %, для цеха % и для цеха %. Наудачу взятая со слада деталь оказалась бракованной. Найти вероятность

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

Retinskaya.jimdo.com

Retinskaya.jimdo.com ЛЕКЦИЯ 1 Классификация экспериментальных исследований Определение и свойства функции распределения. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал Квантиль распределения Выборочная функция

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Закономерности в поведении случайных величин тем заметнее, чем больше число испытаний, опытов или наблюдений Закон больших

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения, ее свойства. Арифметические операции над случайными величинами.

Подробнее

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные:

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные: Билет Объем выборки равен 60. определить значение 5 и моду Мо. 5 6 8? Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка: a. (5; 0); б. (0; 5); в. (; 7); г. (; 0). Получены

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) В заданиях этой контрольной параметры n и m требуется заменить на последнюю и, соответственно, предпоследнюю ненулевую цифру Вашего индивидуального

Подробнее

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика»

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) Решить задачи: 2.В партии 1000 деталей, из них 20 дефектных. Какова вероятность того,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 Дискретные случайные величины

ЛЕКЦИЯ 5 Дискретные случайные величины ЛЕКЦИЯ 5 Дискретные случайные величины 51 Понятие случайной величины Когда подбрасывается игральная кость, то появляются случайные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 При этом определить, какое именно появится число,

Подробнее

Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1

Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1 Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) 2.Среди 100 элементов находится 5 бракованных.

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

ния которой изменяются в диапазоне от 0 до 1 (рисунок 33а).

ния которой изменяются в диапазоне от 0 до 1 (рисунок 33а). Лекция 8 8.1. Законы распределения показателей надежности Отказы в системах железнодорожной автоматики и телемеханики возникают под воздействием разнообразных факторов. Поскольку каждый фактор в свою очередь

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Дисциплина «Математика»

Дисциплина «Математика» Дисциплина «Математика» Основные разделы: теория вероятностей; математическая статистика; дифференциальное исчисление. Рекомендуемая литература: Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ. Теория вероятностей изучает явления: сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые. Количественная мера объективной возможности это : опыт Б) вероятность В) событие Г) явление

Подробнее

ТЕСТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ. имеет в данной стационарной точке экстремум, если при переходе через эту точку производная функции y (x)

ТЕСТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ. имеет в данной стационарной точке экстремум, если при переходе через эту точку производная функции y (x) 3 ТЕСТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ РАЗДЕЛ. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Составьте определение производной функции из предложенных фраз. Производной от функции y = f () в точке называется. приращение функции. когда 3. разность

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда.

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда. 1 Лекция 11 Метод наибольшего правдоподобия Другие характеристики вариационного ряда 1 Метод наибольшего правдоподобия Кроме метода моментов, который изложен в предыдущем параграфе, существуют и другие

Подробнее

3 0,1 0,2 0,7 a) Найдите функцию распределения случайной величины X

3 0,1 0,2 0,7 a) Найдите функцию распределения случайной величины X Задачи по курсу ТВиМС для самостоятельного решения Часть II 1) Числовые характеристики и законы дискретного распределения вероятностей 1 Имеются десять билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 2

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 2 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

(часть 2) РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

(часть 2) РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений)

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений) Лекция 8 План лекции 53 Закон Пуассона 54 Показательный закон распределения 55 Нормальный (гауссов) закон распределения вероятностей 53 Закон Пуассона (закон редких явлений) Дискретная случайная величина

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

Лекция 1. Алгебра событий.

Лекция 1. Алгебра событий. Лекция. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность случайного события. Полная группа событий. Классическое определение вероятности. Основные свойства

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание Определение детерминанта матрицы Квадратная матрица состоит из одного элемента A = (a ). Определитель такой матрицы равен A = det(a) = a. ( ) a a Квадратная матрица 2 2 состоит из четырех элементов A =

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Понятие случайной величины

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Понятие случайной величины СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Мы переходим к изучению еще одного важного понятия теории вероятностей, к понятию случайная величина. Чтобы лучше понять это, приведем несколько примеров.

Подробнее

Глава 3. Случайные величины (продолжение) Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение...

Глава 3. Случайные величины (продолжение) Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение... Глава. Случайные величины продолжение..... Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение.... Интеграл Пуассона.... Определение нормального распределения.... Свойства плотности

Подробнее

характеристики положения характеристики рассеивания

характеристики положения характеристики рассеивания Числовые характеристики характеристики положения характеристики рассеивания Виды распределений Нормальное Равномерное Биномиальное характеристики положения Математическое ожидание Медиана характеристики

Подробнее

Кафедра математики МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ЧАСТЬ 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Кафедра математики МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ЧАСТЬ 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кузбасский государственный технический университет» Кафедра математики МАТЕМАТИКА

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения

Случайные величины и законы их распределения Случайные величины и законы их распределения 9. Дискретные и непрерывные случайные величины Случайной называют величину, которая в результате опыта примет одно и только одно из возможных значений, заранее

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее