ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Save this PDF as:
Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН"

Транскрипт

1 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для решения многих практических задач совсем не обязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а достаточно указать отдельные параметры, которые позволяют в компактной форме отразить существенные особенности случайной величины. Эти характеристики случайной величины, являющиеся не функциями, а числами, называют числовыми характеристиками случайной величины. Их назначение в сжатой форме выразить наиболее важные черты распределения. Рассмотрим некоторые наиболее важные числовые характеристики и изучим их свойства. Математическое ожидание Возможные значения случайной величины могут быть сосредоточены вокруг некоторого центра. Для характеристики такой особенности распределения случайной величины служит математическое ожидание. Сначала рассмотрим дискретную случайную величину. Пусть дискретная случайная величина X задана рядом распределения: X x x x i x n P(x) p p p i p n Математическим ожиданием М[x] дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности значений, т.е.: n M[X] = x p +.+ x n p n = x p i i i. 85

2 а тмп йтс Дан ряд распределения X P 0, 0,3 0,4 0, Найдем математическое ожидание случайной величины Х. M[X] = 0, + 50,3 + 80,4 + 90, = 7. Математическим ожиданием M[X] непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой распределены по всей оси Ох, называется несобственный интеграл: M [ X ] xf ( x ) dx, где f(x) плотность вероятности. Если возможные значения случайных величин распределены в отрезке [a, b], то M [ X ] b xf ( x ) dx. a а тмп йтс Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения: 0 x x x f ( x ). x 3 x 3 0 x 3 Найти математическое ожидание М[X]. M[X] = 3 xf ( x ) dx = x 0dx + x ( x ) dx + ( 3 x ) dx 3 x 0dx = x + 86

3 3 x = 0+( 3 - x ) 3 3 3x x +( ) =. 3 в есмхцедрпдцйпдцляйхнсжсрск лидрл. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной M[const] = const.. Постоянный множитель случайной величины может быть вынесен за знак математического ожидания M[const X] = const M[X]. 3. Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин Х и У равно алгебраической сумме их математических ожиданий M[XY] = M[X]+M[Y]. 4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X и Y равно произведению их математических ожиданий M[XY] = M[X]M[Y]. 5. Математическое ожидание отклонения X M[X] случайной величины X от ее математического ожидания M[X] равно нулю M[X M[X]] = 0. Действительно: M[X M[X]]=M[X] M[M[X]]=M[X] M[X]=0. Дисперсия На практике встречаются случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, однако принимающие резко отличающиеся значения. У одних из этих величин отклонения значений от математического ожидания небольшие, а у других, наоборот, значительные, т.е. для одних рассеивание значений случайной величины вокруг математического ожидания мало, а для других велико. Таким образом, математическое ожидание не полностью характеризует поведение случайной величины. Рассмотрим пример: 87

4 X P(X) 0, 0, 0,3 0,4 M[X] = 0,+30,+40,3+50,4 = 4. Y P(Y) 0, 0,5 0, 0, MY=-0,+30,5+80,+0,=4. Отложим значения этих величин на числовых осях с одинаковым масштабом Рис. 6. Случайные величины имеют одинаковое математическое ожидания, но их дисперсии различны. Рассматриваемые величины имеют одинаковые математические ожидания = 4. Однако рассеивание значений случайной величины X вокруг математического ожидания значительно меньше, чем у величины Y. Дисперсия является такой характеристикой случайной величины, которая оценивает меру рассеивания значения случайной величины вокруг ее математического ожидания. Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания M[X] называют дисперсией случайной величины Х и обозначают D[X], т.е. D[X] =M[(X-M[X]) ]. Для дискретной случайной величины: 88

5 n D [ X ] ( x M x P i i [ ]). i Для непрерывной: D [ X ] ( x M [ x ]) f ( x ) dx. Среднее квадратическое отклонение Случайная величина и ее математическое ожидание имеют одну и ту же размерность, но дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеяния удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе «стандартом») случайной величины Х. Среднее квадратическое отклонение будем обозначать σ[x]: σ [ X] D[ X]. а тмп йтс Посчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение СКО для ряда: X Р(X) 0, 0,3 0,4 0, Выше было найдено математическое ожидание М[X] = 7. Найдем дисперсию: D [ X ] = ( 7) 0, (5 7) 0,3 (8 7) 0,4 (9 7) 0, X 4, 6 σ. 5, 0,4 4,4 Для непрерывной случайной величины заданной плотностью вероятностей 89

6 0 f ( x ) 3x 0 найти дисперсию и СКО x x 0 x 0 0 M[X]= xf ( x ) dx = x x dx = 3x dx x = D[X]= ( x M [ X ]) f ( x ) dx = ( x ) 3 x dx = ( x x ) dx 3( x σ [ X] 0,037 0, x = 0 3 x x ) 0, 037. в еро едпим сйт мм.дисперсия постоянной величины равна нулю D[const] = 0..Постоянный множитель случайной величины можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат D[const X] = const D[X]. 3.Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин Х и Y равна сумме дисперсий этих величин D[XРРY] = D[X] + D[Y]. 4.Дисперсия случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания. D[ X] M[ X ] ( M[ X]). 90

7 Мода Модой называется наиболее вероятное значение x i случайной величины, т.е. это такое значение для которого: дискретное распределение: p(x i ) имеет наибольшее значение; непрерывное распределение: плотность вероятностей f(x) принимает наибольшее значение. Если случайная величина имеет единственную моду, то распределение называют унимодальным, если две, то бимодальным, если много, то полимодальным. Рис. 7. Унимодальное распределение Рис. 8. Бимодальное распределение Медиана Этой характеристикой пользуются в основном для непрерывных случайных величин. 9

8 Медиана это такое значение случайной величины Х, для которого функция распределения равна x f ( x ) dx, где х=м е (медиана). M e f ( x ) dx f ( x ) dx. M e Это означает, что вероятность случайной величины Х принять значение меньшее медианы, в точности равна вероятности принять значение большее медианы, т.е. P(x<M e ) = P(x>М е ). Рис. 9. Медиана делит площадь под кривой распределения на две равные части Квантили При описании непрерывных распределений часто используют квантили. Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности p, называется такое значение x p случайной величины Х, при котором функция распределения принимает значение равное p, т.е. 9

9 x p F(x p )=p или f ( x ) dx p Рис. 30. Квантили распределения Частные случаи квантилей: медиана p ; нижний квартиль p ; 4 3 верхний квартиль p ; 4 процентиль p 0,0; p 0, 09 и т.д. Начальные и центральные моменты Начальным моментом k-го порядка ν k случайной величины Х называется математическое ожидание Х k, т.е. ν κ = M(X k ). Для дискретной случайной величины n ν κ =. k x i p i i Для непрерывной случайной величины 93

10 κ ν κ = x f ( x ) dx. г дхцр йрхочядлррдядо р ырпсп йрцсеч начальный момент нулевого порядка равен единице k = 0, ν 0 = ; начальный момент первого порядка есть математическое ожидание Х k =, ν = M[Х]; центральным моментом k-го порядка µ k случайной величины X называется математическое ожидание величины (Х МХ) k, т.е. µ k = М[(X MX) k ]. Для дискретной случайной величины µ k т ш ( x µ x ) Для непрерывной случайной величины k µ k ( x x f x dx i µ ) ( ) г дхцр йрхочядлрьйрцудо р ырпсп йрцсеч центральный момент нулевого порядка равен единице k = 0, µ 0 =; центральный момент первого порядка равен нулю k =, µ =0; центральный момент первого порядка есть дисперсия случайной величины Х k =, µ =D[X]. i k p i Коэффициенты асимметрии и эксцесса Часто применяются такие числовые характеристики, как асимметрия и эксцесс. Асимметрия (скошенность). µ 3 Коэффициент асимметрии γ. 3 σ 94

11 Для симметричных распределений γ = 0, γ > 0, если мода предшествует медиане; γ < 0, если мода следует за медианой. Рис. 3. Изменение коэффициента асимметрии Эксцесс (крутость) γ γ µ 4 4 σ 3. Рис. 3. Изменение коэффициента эксцесса 95

12 а дхтуйийойрл РлРлыРыдуднцйулхцлнлС Числовые характеристики Математи ческое Дисперсия. СКО Мода. Медиана. ожидание Распределение. M[X] D[X] σ х.биноминальное. np np(-p) np( p. Пуассона λ λ λ 3. Равномерное a b ( a b) b a Медиана а b 4) Нормальное Гауссово µ σ σ Мода=µ Медиана= µ 5) Хи-квадрат k k k Мода=k-, k 6) t- 0 k k Мода 0 распределение k k k> 96

13 Задачи 84. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения: а) Х Р 0, 0,3 0,5 б) Х 0, 0,54 0,6 Р 0, 0,5 0,4 85. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y. а) Z = X+Y, M(X) = 5, M(Y) = 3; б) Z = 3X+4Y, M(X) =, M(Y) = Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х = 4 с вероятностью р = 0,5, x = 6 с вероятностью р = 0,3 и х 3 с вероятностью р 3. Найти х 3 и р 3, зная, что М(Х) = В партии из 0 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х числа нестандартных деталей среди -х отобранных. 88. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона: Х 0... k Р λ e λ λe! λ λ e! k λ λ e k! 97

14 89. Случайные величины X, Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3 X + Y, если известно, D ( X ) = 5, D ( Y ) = Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения: Х Р 0,4 0,3 0, 0, 9. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения: а) Х 4,3 5, 0,6 Р 0, 0,3 0,5 б) Х Р 0,05 0,0 0,5 0,60 9. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения ξ Р 0,4 0,3 0, 0, 93. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х числа появлений события А в 5-ти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,. 94. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х числа появлений события А в -х независимых 98

15 испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х) =,. 95. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона : Х 0... k Р λ e λ e λ λ λ e k λ λ e!! k! 96. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=x в интервале (0,) и f(x) = 0 вне этого интервала. Найти математическое ожидание величины Х. 97. Случайная величина Х в интервале ( с, с) задана плотностью распределения f ( x) ; вне этого π c x интервала (х)=0. Найти математическое ожидание величины Х. 98. Случайная величина Х задана плотностью распределения (х)=c(х +х) в интервале (0,); вне этого интервала (х)=0. Найти: а) параметр с; б) математическое ожидание величины Х. 99. Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной функцией распределения 0 x 0 F ( x) x 0 x 4. 4 x 4 99

16 00. Случайная величина Х в интервале ( с, с ) задана плотностью распределения f ( x), вне этого π c x интервала (х)=0. Найти дисперсию Х. 0. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения. F( x ) 0 x 4 x x x 0. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ξ равны соответственно и 0. Найти математическое ожидание и дисперсию величины ξ Случайные величины X, Y не зависимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3 X + 3 Y, если известно, что D ( X ) = 4, D ( Y ) = Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпадающих при бросании игральной кости. 05. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х)=0, Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)= 0,5x в интервале (0,) и f(x) = 0 вне этого интервала. Найти математическое ожидание величины Х. 07. Случайная величина Х в интервале ( 3; 3) задана плотностью распределения f ( x) ; вне этого π 9 x интервала (х) = 0. а)найти дисперсию D[Х]; б) что вероятнее: в результате испытания окажется Х < или Х>? 00

17 08. Случайная величина Х в интервале (0, π) задана плотностью распределения (х)=(/) sin x; вне этого интервала (х)=0. Найти дисперсию Х. 09. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения. ξ Р 0,4 0,3 0, 0, 0. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х = ; х = 0; х 3 =, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х) = 0,; М(Х )=0,9. Найти вероятности p, p, p 3 соответствующие возможным значениям х, х, х 3.. Дан перечень возможных знчений дискретной случайной величины Х: х =; х =; х 3 =3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=,3; М(Х )=5,9. Найти вероятности p, p, p 3, соответствующие возможным значениям х, х, х 3.. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения х и х, причем равновероятных. Доказать, что дисперсия величины Х равна квадрату полуразности возможных значений: x x D( X ). 3. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: х и х, причем х >х. Вероятность того, что Х примет значение х, равна 0,6. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание и дисперсия известны: M(X) =,4; D(X) = 0,4. 4. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: х и х, причем х >х. Вероятность 0

18 того, что Х примет значение х, равна 0,. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание M(X) =,6 и среднее квадратическое отклонение σ(х) = 0,8. 5. Дискретная случайная величина Х имеет только три возможных значения: х =, х и х 3, причем х <х <х 3. Вероятность того, что Х примет значения х и х соответственно равны 0,3 и 0,. Найти закон распределения величины Х, если ее математическое ожидание и дисперсия известны: M(X)=,; D(X)=0, Плотность равномерного распределения сохраняет в интервале (a,b) постоянное значение, равное С; вне этого интервала f(x) = 0. Найти значение постоянного параметра C. 7. Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности f ( x ) b в интервале (a,b); вне этого a интервала f(x) = 0. Найти функцию распределения F(x). 8. Найти математическое ожидание случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a,b). 9. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a,b). 0. Равномерно распределенная случайная величина Х в интервале (a-l, a+l) задана плотностью распределения f ( x) ; вне этого интервала f(x)=0. Найти l математическое ожидание и дисперсию X.. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X в интервале (a,b), Y в интервале (c,d). Найти математическое ожидание произведения XY. 0

19 . Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно 3 и среднее квадратическое отклонение равно. Найти плотность вероятности Х. 3. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х, зная, что M(X)=3, D(X)=6. 4. Нормально распределенная случайная величина Х задана плотностью: f ( x) e 5 π ( x ) 50 Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. 5. Найти математическое ожидание случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (, 8). 6. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (, 8). 7. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X в интервале (a,b), Y в интервале (c,d). Найти дисперсию произведения XY. 8. Нормально распределенная случайная величина Х задана плотностью: медиану. f ( x a) σ ( x) e σ π.. Найти моду и 03


Медицинская информатика

Медицинская информатика Лукьянова Е. А. Медицинская информатика Теория вероятностей Специальность «Фармация» Заочное отделение 2010 Консультация 2 Темы контрольной работы 2 Случайные величины Числовые характеристики случайных

Подробнее

Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Применяются вместо закона распределения случайной величины В сжатой форме выражают наиболее существенные особенности

Подробнее

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания:

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания: МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 8 Числовые характеристики случайных величин При изучении случайных величин важную роль играют их числовые характеристики Математическим

Подробнее

Математическое ожидание.

Математическое ожидание. Лекция. Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры. Закон распределения (функция

Подробнее

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики положения и моменты непрерывных и дискретных случайных величин Числовые характеристики положения Закон

Подробнее

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Закон распределения вероятностей случайной величины содержит полную информацию о случайной величине. Однако полная информация не всегда

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Современная теория вероятностей предпочитает где только возможно оперировать не случайными событиями а случайными величинами

Подробнее

Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина.

Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина. Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина. Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно, значение,

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения.

Случайные величины и законы их распределения. Случайные величины и законы их распределения. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Сначала рассмотрим примеры. Число вызовов, поступивших от абонентов в течение

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону Случайные величины Случайные величины (с.в.) численное значение, появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества. Существует два типа случайных величин:

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика Случайные величины 1 Содержание Случайные величины Основные законы распределения 2 Случайные величины Понятие случайной величины и закона ее распределения

Подробнее

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задание. Выберите правильный ответ:. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная... а) отношению числа случаев, благоприятствующих

Подробнее

9. Двумерная случайная величина. Законы распределения Определения и формулы для решения задач

9. Двумерная случайная величина. Законы распределения Определения и формулы для решения задач 9 Двумерная случайная величина Законы распределения 9 Определения и формулы для решения задач Определение Двумерной случайной величиной называется упорядоченная пара (, ) одномерных случайных величин и

Подробнее

Учебное пособие. Основы теории вероятностей. Раздел 2. Случайные величины. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК

Учебное пособие. Основы теории вероятностей. Раздел 2. Случайные величины. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Учебное пособие Основы теории вероятностей Раздел 2. Случайные величины для студентов специальности 2305 «Программирование в компьютерных

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Институт пути, строительства

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес информатика»

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Подробнее

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка»,

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка», .6 Бросают три игральных кубика. Найти ряд и функцию распределения числа выпавших «пятерок» Х, а также M(X), D(X) и вероятность того, что Х>. Решение: Пусть Х число выпавших «пятерок». Перечислим все возможные

Подробнее

характеристики положения характеристики рассеивания

характеристики положения характеристики рассеивания Числовые характеристики характеристики положения характеристики рассеивания Виды распределений Нормальное Равномерное Биномиальное характеристики положения Математическое ожидание Медиана характеристики

Подробнее

ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ. Практические занятия ЧАСТЬ 1. Примеры вопросов с пояснениями

ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ. Практические занятия ЧАСТЬ 1. Примеры вопросов с пояснениями ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ Практические занятия ЧАСТЬ 1 Этот раздел состоит из простых тестовых вопросов, требующих ответов «ДА» или «НЕТ», в зависимости от того, верное

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина .8. Непрерывная одномерная случайная величина def Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток (; b) (или несколько промежутков) и на всей

Подробнее

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Основные понятия теории вероятностей Многие объекты в математике определяются указанием операций которые можно выполнять над объектами и перечислением свойств которым удовлетворяют

Подробнее

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1 Лекция 11. Дискретные случайные величины Случайной величиной Х называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение х i. Выпадение некоторого значения случайной величины Х

Подробнее

Математика Статистика

Математика Статистика Лукьянова Е.А. Математика Статистика «Сестринское дело» Основные понятия статистики Генеральная совокупность и выборка Типы данных и их представление Точечное оценивание Интервальное оценивание 2015

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Случайные величины Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Каждой случайной

Подробнее

ЧАСТЬ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ...

ЧАСТЬ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ... Оглавление ЧАСТЬ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ... Глава. Одномерные случайные величины.... Функция распределения... Свойства функции распределения.... 5 Функция распределения дискретной случайной величины:... 5

Подробнее

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет». Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений. Случайная величина X называется

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ Погрешность В реальных условиях даже очень точные измерения будут содержать погрешность D, которая является отклонением результата измерения x от истинного

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Функции многих переменных Задача 7 Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) : f ( x, y) y x Искомые производные: Задача 9 Найти полный дифференциал и градиент функции А: 3 4 f ( x, y) ln

Подробнее

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины.

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Лекция 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: часа. Вопросы: 1. Характеристики

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ к.ф.-м.н., доц. П.С.

Подробнее

8. Канонические непрерывные законы распределения Определения и формулы для решения задач

8. Канонические непрерывные законы распределения Определения и формулы для решения задач 8 Канонические непрерывные законы распределения 8 Определения и формулы для решения задач Определение Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл M x f ( x) dx Этот интеграл

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2;

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2; СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2016 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, зная закон ее распределения: X 2 3 5 P 0,3 0,1 0,6 2. Из партии, содержащей

Подробнее

Тема 5. Непрерывные случайные величины.

Тема 5. Непрерывные случайные величины. Тема 5. Непрерывные случайные величины. Цель и задачи. Цель контента темы 5 дать определение непрерывной случайной величины, ее функции распределения и функции распределения; рассмотреть особенности задания

Подробнее

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Случайные величины

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Случайные величины Случайные величины Распределения Случайные величины характеризуются распределениями Дискретное Если случайная величина может принимать дискретное множество значений, то соответствующее распределение называется

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки 2 Пример. Рост человека

Подробнее

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично).

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично). Т Неравенство Чебышева.33. Неравенство Чебышева Пусть случайная величина имеет второй начальный момент MХ, тогда: M 0 P( ) неравенство Чебышева () Док ( непрерывная случайная величина) MХ = x f( x) dx

Подробнее

1. Биномиальный закон распределения

1. Биномиальный закон распределения Лекция 4 Тема: Законы распределения СВ 1. Биномиальный закон распределения Опр. Дискретная СВ Х имеет биномиальный закон распределения, если выполнены следующие условия: 1) эксперимент заключается в последовательном

Подробнее

Эконометрия I: регрессионный анализ

Эконометрия I: регрессионный анализ Методическое пособие для студентов II-III курсов экономического факультета НГУ Эконометрия I: регрессионный анализ Курс эконометрии I состоит из двух частей: регрессионный анализ и временные ряды. Данное

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Стандартные распределения и их квантили

Стандартные распределения и их квантили Стандартные распределения В статистике, эконометрике и других сферах человеческих знаний очень часто используются стандартные распределения. В частности, они используются для проверки гипотез и построения

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Учебно-методические материалы

Учебно-методические материалы http://www-chemo.univer.kharkov.ua/ Учебно-методические материалы Рабочий план и программа курса Хімічна інформатика та хемометрія Примеры экзаменационных билетов Презентации Last updated November, 2008

Подробнее

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна Тема: Математическая статистика Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А.. Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка:. (0;0). (5;5) 3. (0;5) 4. (5;5) 5. (0;0).

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Часть 2)

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Биномиальное распределение B(n,p) Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью:

Биномиальное распределение B(n,p) Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью: ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Случайные величины измеряются и анализируются в терминах их статистических и вероятностных свойств, главным выразителем которых является функция

Подробнее

2. «Простая» статистика

2. «Простая» статистика 2. «Простая» статистика 1 2. «Простая» статистика В большинстве статистических расчетов приходится работать с выборками случайной величины: либо с данными эксперимента, либо с результатами моделирования

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте  Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Пример решения типового расчета по теории вероятностей Вариант 16 Задача 1. Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Одномерные случайные величины

Одномерные случайные величины МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им Н.И. Лобачевского» Факультет

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Большинство исследований проводимых в химической технологии сводятся к решению оптимальных задач. Существует два подхода к решению оптимальных задач:

Большинство исследований проводимых в химической технологии сводятся к решению оптимальных задач. Существует два подхода к решению оптимальных задач: Лекция Большинство исследований проводимых в химической технологии сводятся к решению оптимальных задач. Существует два подхода к решению оптимальных задач: 1. Для решения оптимальных задач необходимо

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) В заданиях этой контрольной параметры n и m требуется заменить на последнюю и, соответственно, предпоследнюю ненулевую цифру Вашего индивидуального

Подробнее

указывать, непрерывной или дискретной является исследуемая случайная величина.

указывать, непрерывной или дискретной является исследуемая случайная величина. Раздел. Основы статистического анализа данных.. Определение случайной выборки Пусть исследуемая случайная величина, F ( x ) = P( < x) ее функция распределения, вообще говоря, неизвестная. В некоторых случаях

Подробнее

СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ «Дискретные и непрерывные случайные величины»

СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ «Дискретные и непрерывные случайные величины» ТОМСКИЙ ТЕХНИКУМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФИЛИАЛ СГУПС СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ «Дискретные и непрерывные случайные величины» дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика для специальности

Подробнее

Теория вероятностей и статистика

Теория вероятностей и статистика Теория вероятностей и статистика Тема 7. Статистические оценки параметров распределения Белов А.И. Уральский федеральный университет Екатеринбург, 2018 Содержание 1 Точечные оценки 2 Характеристики положения

Подробнее

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные:

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные: Билет Объем выборки равен 60. определить значение 5 и моду Мо. 5 6 8? Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка: a. (5; 0); б. (0; 5); в. (; 7); г. (; 0). Получены

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X, X, X 3., где

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Понятие случайной величины

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Понятие случайной величины СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Мы переходим к изучению еще одного важного понятия теории вероятностей, к понятию случайная величина. Чтобы лучше понять это, приведем несколько примеров.

Подробнее

Дисциплина «Математика»

Дисциплина «Математика» Дисциплина «Математика» Основные разделы: теория вероятностей; математическая статистика; дифференциальное исчисление. Рекомендуемая литература: Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:

Подробнее

ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения, ее свойства. Арифметические операции над случайными величинами.

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Надежность технических систем и техногенный риск 2018 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ отказы ТС* ошибки операторов ТС внешние негативные воздействия *Отказ это

Подробнее

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Закономерности в поведении случайных величин тем заметнее, чем больше число испытаний, опытов или наблюдений Закон больших

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

Понятие ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА

Понятие ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА Лекция 2 Понятие оценки параметра распределения Оценка математического ожидания Оценка дисперсии и стандартного отклонения Мода Медиана Эксцесс Асимметрия Описательная статистика (программа «Анализ данных»)

Подробнее

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда.

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда. 1 Лекция 11 Метод наибольшего правдоподобия Другие характеристики вариационного ряда 1 Метод наибольшего правдоподобия Кроме метода моментов, который изложен в предыдущем параграфе, существуют и другие

Подробнее

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют:

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют: . На складе 00 деталей, из которых 00 изготовлено цехом, 60 цехом и 40 цехом. Вероятность брака для цеха %, для цеха % и для цеха %. Наудачу взятая со слада деталь оказалась бракованной. Найти вероятность

Подробнее

3 0,1 0,2 0,7 a) Найдите функцию распределения случайной величины X

3 0,1 0,2 0,7 a) Найдите функцию распределения случайной величины X Задачи по курсу ТВиМС для самостоятельного решения Часть II 1) Числовые характеристики и законы дискретного распределения вероятностей 1 Имеются десять билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

Контрольная работа 4

Контрольная работа 4 Контрольная работа 4 Тема: Теория вероятностей З а д а ч и 1-10 Задачи 1-10 посвящены вычислениям вероятности событий с использованием основных теорем теории вероятности и комбинаторики. Конкретный пример

Подробнее