ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи"

Транскрипт

1 ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез. Изложить критерии проверки гипотез о законе распределения. Изложить критерии проверки параметрических гипотез. Оглавление Основные определения и идеи Критерий согласия Колмогорова Критерий согласия Пирсона Проверка гипотез о параметрах нормального распределения. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической дисперсией нормального распределения Сравнение выборочной средней с гипотетическим средним нормального распределения Основные определения и идеи Определение Статистической гипотезой называется любое предложение о законе распределения генеральной совокупности или его параметрах. Если гипотеза однозначно определяет распределение, то ее называют простой. В противном случае сложной. Будем обозначать основную гипотезу H 0, H 1 альтернативную гипотезу. Определение Критерием проверки (критерием согласия) гипотезы гипотезы называют правило, согласно которому принимается решение: принять или отвергнуть гипотезу. Критерии согласия дают возможность установить: согласуются ли H 0 с экспериментальными данными или нет. Если согласуется, то H 0 принимается, если нет отвергается. 1

2 Например, H 0 : ξ < 0, а все элементы выборки x i > 0, то гипотезу H 0 следует отклонить. Основная идея статистической проверки гипотез заключается в следующем. Рассматривается случайная величина η n = η n (x 1,..., x n ), которая является функцией элементов выборки. Эту случайную величину называют статистической статистикой и ее распределение известно в предположении, что H 0 верна. Пусть известна плотность распределение вероятностей f ηn (x) случайной величины η n. Если гипотеза H 0 верна, то значения η n должны с большей вероятностью попадать в (D) (смотрите рисунок ). y=fηn(x) O D x Рис Вероятность P {η n D/H 0 } велика, а вероятность P {ξ (D/H 0 )} мала. Область D называется критической областью. Она может быть двусторонней, как на рисунке , так и односторонней (право- или левосторонней). Итак, пусть имеется выборка из генеральной совокупности случайной величины ξ: x 1, x 2,..., x n. Вычисляем η n. Если η n D, то гипотеза H 0 принимается, если η n D, гипотеза отвергается. Определение Если отвергается истинная гипотеза, то говорят, что совершается ошибка первого рода. Ее вероятность α называется уровнем значимости. Определение Если принимается ложная гипотеза, то говорят, что совершается ошибка второго рода. Обозначим вероятность этой ошибки β, тогда вероятность 1 β называется мощностью критерия Критерий согласия Колмогорова Пусть ξ случайная величина, имеющая функцию распределения F ξ (x). x 1, x 2,..., x n выборка объема n из генеральной совокупности этой случайной величины. F n(x) эмпирическая функция распределения, построенная по данной 2

3 выборке, причем F n(x) стремится к F ξ (x) по вероятности, то есть Введем статистику F n(x) P n + F ξ(x). K n = n max F n(x) F ξ (x). (11.2.1) Теоремы Для функции распределения любой случайной величины ξ случайная величина K n асимптотически распределена по закону Колмагорова, то есть F Kn (y) = P {K n < y} n + K(y) = + m= ( 1) m e 2m2 y 2, y > 0 0, y 0 (11.2.2) Для значений функции K(y) составлены таблицы распределения Колмагорова. Таким образом распределение K n известно при достаточно больших n. Итак, выдвигаем в качестве основной гипотезу о виде функции распределения случайной величины ξ: H 0 : F ξ (x) = F 0 (x), где F 0 (x) гипотетическая функция распределения. Проверку этой гипотезы проводим по следующему алгоритму: 1. выбираем статистику η n = n max F n(x) F 0 (x). Если гипотеза H 0 верна, то F ξ (x) = F 0 (x) и η n = K n, то есть распределение η n удовлетворяет (11.2.2) 2. задаем уровень значимости α вероятность попасть в критическую область; 3. Найдем по таблице λ α такую, что P {K n λ α } = α, тогда критическая область D = [λ α ; + ); 4. вычисляем η n по выборке; 5. если η n < λ α, тогда гипотеза H 0 принимается; если η n λ α, то гипотеза H 0 отвергается. Рекомендации по использованию критерия: 1. рекомендуется использовать критерий для выборок, объем которых n 50; 3

4 2. для удобства рекомендуем составить таблицу J k a k = x k 1 + x k F 0 (a k ) F 2 n(a k ) F 0 (a k ) [x 0 ; x 1 ) a 1 F 0 (a 1 ) F n (a 1 ) F 0 (a 1 ) [x 1 ; x 2 ) a 2 F 0 (a 2 ) F n (a 2 ) F 0 (a 2 ) [x l 1 ; x l ) a l F 0 (a l ) F n (a l ) F 0 (a l ) Таблица Критерий согласия Пирсона Рассмотрим случайную величину χ 2 n = ξ ξ ξ 2 n, где ξ k независимые случайные величины, распределенные нормально с параметрами a = 0 и σ = 1, то есть ξ N(0, 1), k = 1, n. Тогда плотность распределения χ 2 n имеет следующий вид: f χ 2 n (x) = где Γ(α) гамма-функция, то есть 1 2 n 2 Γ( n 2 ) x n 2 1 e x 2, x > 0, (11.3.1) Γ(α) = + 0 x α 1 e x dx. Пусть получена выборка из генеральной совокупности ξ: x 1, x 2,..., x n. Функция распределения ξ неизвестна. Выдвинем гипотезу H 0 : F ξ (x) = F 0 (x), где F 0 (x) известная гипотетическая функция распределения. Алгоритм проверки этой гипотезы заключается в следующем. 1. Разбиваем всю область изменения случайной величины ξ на r не пересекающихся промежутков: 1 = ( ; z 1 ), 2 = [z 1 ; z 2 ), r 1 = (z r 2 ; z r 1 ), r = (z r ; + ). 2. Если гипотеза H 0 верна и F ξ (x) = F 0 (x), то можно найти вероятность p k = P {ξ k }, k = 1, r. 3. Рассмотрим случайную величину m k количество членов выборки попавших в промежуток k, k = 1, r. Можно считать, что m k распределены по биномиальному закону с вероятностью успеха p k и количеством испытаний n (m k число успехов). Тогда Mm k = np k. 4

5 Кроме того по локальной теореме Муавра-Лапласа m k асимптотически нормальны. Эти соображения приводят к тому, что выбирается статистика r (m k np k ) 2 η n =. (11.3.2) np k Заметим, что r k=1 k=1 m k = n, а n p k = 1. k=1 Теорема (Теорема Пирсона). Какой бы ни была функция распределения случайной величины F ξ (x), Случайная величина η n асимптотически распределена по χ 2 (хи-квадрат) с r 1 степенью свободы, то есть F ηn (y) = P {η n < y} y P F χ n + 2 (y) = f r 1 χ 2 r 1 (t)dt. (11.3.3) 4. Зададим малое значение α уровня значимости. Так как χ 2 одностороннее распределение, критическая область D = [χ 2 r 1,α; + ), где χ 2 r 1,α ищем с помощью таблицы распределения χ 2 (см. 12 приложение 5) и условия P {χ 2 r 1 χ 2 r 1,α} = α. 5. Вычисляем статистику η n для данной выборки, используя F 0 (x). Если η n < χ 2 r 1,α, то гипотезу принимаем. Если η n χ 2 r 1,α, то гипотеза отвергается. Замечание Если неизвестны параметры распределения F 0 (x), то их можно заменять выборочными оценками. При этом если заменить k параметров распределения на выборочные оценки, то предельное распределение будет не χ 2 r 1, а χ 2 r 1 k. Рекомендации по использованию критерия: 1. объем выборки должны быть не менее 100 (n 100); 2. количество интервалов должно быть не менее 10; 3. в каждом интервале не менее 5 элементов (m k 5); 4. при использовании критерия рекомендуется составить таблицу

6 Таблица k m k p k = F 0 (z k ) F 0 (z k 1 ) (m k np k ) 2 np k (m 1 np 1 ) 2 ( ; z 1 ) m 1 p 1 np 1 (m 2 np 2 ) 2 [z 1 ; z 2 ) m 2 p 2 np [z r 1 ; + ) m r p r ) (m r np r ) 2 np r η n = r (m k np k ) 2 np k Пример Используя данные таблицы проверить на уровне значимости α = 0, 05 гипотезу H 0, состоящую в том, что рост взрослого мужчины (случайная величина ξ) имеет нормальное распределение. Таблица рост (см) [143; 146) [146; 149) [149; 152) [152; 155) [155; 158) число мужчин рост (см) [158; 161) [161; 164) [164; 170) [170; 173) [173; 176) число мужчин рост (см) [176; 179) [179; 182) [182; 185) [185; 188] число мужчин Решение: Нормальное распределение N(a; σ) имеет два неизвестных параметра a и σ: a = Mξ; σ = Dξ. Найдем оценки этих параметров методом моментов: { â = xb ˆσ = s 2 (x B выборочное среднее; s 2 исправленная выборочная дисперсия). Найдем объем выборки n = = â = x B = 1 (144, , , , , , , , , , , , , , , , 5 1) = 165, 77. s 2 = ( ((144, 5)2 1 + (147, 5) (150, 5) (153, 5) (56, 5) (159, 5) (162, 5) (165, 5) (165, 5) k=1 6

7 (168, 5) (171, 5) (174, 5) (177, 5) (180, 5) (183, 5) (186, 5) 2 1) (165, 77) 2 ) = 34, 24. Таким образом получены оценки â = 165, 77 и ˆσ 2 = 34, 24. Составим таблицу типа Следуя рекомендациям, некоторые интервалы придется объединить, с тем, чтобы в каждом интервале было не менее пяти значений выборки. В частности, объединим первые три и последние три интервала. Вычислим гипотетические вероятности p k, k = 1, 8, попадания гауссовской случайной величины ξ в про k по формуле: Например, p k = Φ 0 ( zk â ˆσ p 1 = Φ 0 ( , 77 5, 85 p 2 = Φ 0 ( , 77 5, 85 ) Φ 0 ( zk 1 â ˆσ ) + 0, 5 = 0, ; ) ). ( ) , 77 Φ 0 = 0, 009; 5, 85 (значение Φ 0 (x) берем из таблицы значений функции Лапласа ( см. 12 приложение 2). (m k np k ) 2 k m k p k np k ( ; 143) 0 0, [143; 152) 11 0, 009 0, 444 [152; 155) 26 0, 023 0, 391 [155; 158) 65 0, 058 0, 845 [158; 161) 120 0, 115 0, 217 [161; 164) 181 0, 175 0, 206 [164; 167) 201 0, 204 0, 044 [167; 170) 170 0, 184 1, 065 [170; 173) 120 0, 127 0, 386 [173; 176) 64 0, 067 0, 134 [176; 179) 28 0, 027 0, 037 [179; 188) 14 0, , 818 [188; + ) η n = 4, 587 При справедливости гипотезы H 0 статистика η n имеет распределение χ Тогда критическая область D имеет вид D = (18, 3; + ), а доверительная область D = [0; 18, 3]. 7

8 Так как вычисленная по выборке статистика попадает в доверительную область D, то с вероятностью 0, 95 (1 α = 0, 95) можно утверждать, что данные согласуются с гипотезой H 0. Ответ: гипотеза H 0 принимается Проверка гипотез о параметрах нормального распределения Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической дисперсией нормального распределения Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем дисперсия неизвестна, но есть основания предполагать, что она равна σ 2 0. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s 2. Требуется проверить основную гипотезу, состоящую в том, что дисперсия генеральной совокупности σ 2 равна гипотетическому значению σ 2 0, то есть H 0 : σ 2 = σ 2 0. Для проверки этой гипотезы рассматривают статистику (n 1)s2, которая имеет распределение χ 2 с k = n 1 степенями свободы. Критическая область строится в зависимости от альтернативной гипотезы. Правило Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить гипотезу H 0 при альтернативной гипотезе H 1 : σ 2 > σ 2 0, необходимо вычислить значения критерия σ 2 0 χ 2 набл. (n 1)s2 = σ0 2. (11.4.1) Затем по таблице критических точек распределения χ 2 по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n 1 найти критическую точку χ 2 кр.(α; k). Если χ 2 набл. < χ2 кр., то принимается основная гипотеза. Если χ 2 набл. > χ2 кр. основную гипотезу отвергают. Пример Точность наладки станка-автомата, производящего некоторые детали, имеет нормального распределения и характеризуется дисперсией длины деталей. Если эта величина будет больше 400 мкм 2, станок останавливается для наладки. Выборочная дисперсия длины 15 случайно 8

9 отобранных деталей из продукции станка оказалась равной s 2 = 680мкм 2. Нужно, ли производить наладку станка, если α = 0, 001? Решение: Основная гипотеза будет заключаться в том, что дисперсия генеральной совокупности σ 2 = 400мкм 2, то есть H 0 : σ 2 = 400мкм 2. Тогда станок следует остановить для наладки. χ 2 набл. = (15 1) χ 2 кр.(0, 01; 14) = 29, 1 = 23, 8 Так как 23, 8 < 29, 1, то есть χ 2 набл. < χ2 кр., принимается основная гипотеза H 0. Следовательно, станок останавливать не требуется. Ответ: нет. Правило При альтернативной гипотезе H 1 : σ 2 σ0 2 находят левую χ 2 лев.кр.(1 α 2, k) и правую χ2 прав. кр.( α 2, k) критические точки. Если χ 2 лев.кр. < χ 2 набл. < χ2 пр.кр., то принимается основная гипотеза H 0. Если χ 2 набл. > χ2 пр.кр., то основную гипотезу отвергают. Правило При альтернативной гипотезе H 1 : σ 2 < σ0 2 находят критическую точку χ 2 кр.(1 α, k). Если χ 2 набл. > χ2 пр.кр.(1 α, k), то основная гипотеза принимается. Если χ 2 набл. > χ2 кр.(1 α, k), то основную гипотезу отвергается. Сравнение выборочной средней с гипотетическим средним нормального распределения. Пусть генеральная совокупность ξ распределена нормально, причем средняя генеральной совокупности неизвестна, но есть основания полагать, что она равна гипотетическом значению a 0. Предположим, что дисперсия генеральной совокупности известна. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена выборочная средняя x B. Требуется по выборочной средней при заданном уровне значимости проверить гипотезу H 0 : a = a 0 о равенстве средней генеральной совокупности a гипотетическому значению a 0. Правило Пусть альтернативная гипотеза H 1 : a a 0. Для того, чтобы принять или отвергнуть гипотезу H 0 при заданном уровне значимости α необходимо вычислить статистику U набл. = (x a 0) n σ (11.4.2) 9

10 Затем по таблице функции Лапласа ( 12 приложение 2) найти критическую точку uкр. из равенства Φ(uкр.) = 1 α. 2 Если U набл. < uкр., гипотеза H 0 принимается. Если U набл. uкр., гипотеза H 0 отвергается. Пример Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением σ = 40 извлечена выборка объема n = 64 и по ней найдена выборочная средняя x = 136, 5. Требуется при уровне значимости 0, 01 проверить гипотезу H 0 : a = 130 при конкурирующей гипотезе H 1 : a 130. Решение: Найдем U набл. 64 (136, 6 130) U набл. = = 6, 5 8 = 1, Теперь найдем uкр.. Φ(uкр.) = 1 0, 01 2 = 0, 495. По таблице значений функции Лапласа (см. 12 приложение 2) определяем uкр. = 2, 58. U набл. = U набл. < uкр. Следовательно, гипотеза H 0 принимается. Правило При альтернативной гипотезе H 1 : a > a 0 критическую точку находят из равенства Φ(uкр.) = 1 2α. 2 При этом, если U набл. < uкр., гипотеза H 0 принимается, если U набл. uкр., то гипотеза отвергается. Правило При альтернативной гипотезе H 1 : a < a 0 сначала находят вспомогательную критическую точку по правилу , а затем полагают u кр. = uкр. Если U набл. > u кр., гипотеза H 0 принимается. Если U набл. u кр., то гипотеза H 0 отвергается. 10

11 Выводы. При рассмотрении критериев согласия были изложены основные распределения математической статистики: распределение χ 2 и распределение Колмагорова. Проверка гипотез подчеркивает прикладную значимость математической статистики в целом, так как имеет индуктивное построение: при изучении кого-либо признака мы идем от наблюдений к гипотезе, и затем либо принимаем ее, либо отвергаем. Вопросы для самопроверки. 1. Что называют статистической гипотезой? 2. Какую статистическую гипотезу называют простой? 3. Какую область называют критической областью статистического критерия? 4. Какое событие называют ошибкой первого рода? 5. Что такое уровень значимости статистического критерия? 6. Запишите, какую статистику используют в критерии Пирсона. 7. Запишите, какую статистику используют в критерии Колмагорова. Библиография. 1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Москва, Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва, Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва, Буре В.М., Евсеев Е.А., Кирпичников Б.К. Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Санкт-Петербург, МБИ, Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва,

12 6. Общий курс высшей математики для экономистов (под редакцией В.И.Ермакова). Москва, ИНФРА-М,

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Определение статистической гипотезы Статистическая гипотеза - предположение о виде распределения или

Подробнее

Медицинская статистика

Медицинская статистика Лукьянова Е.А. Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» 3 Проверка статистических гипотез Критерии согласия Критерий Стьюдента для связанных выборок Критерий Стьюдента для несвязанных выборок

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

Лекция 20. Проверка статистических гипотез

Лекция 20. Проверка статистических гипотез Лекция. Проверка статистических гипотез Понятие о статистических гипотезах и методах их проверки При решении многих задач возникает необходимость оценки того, подчиняется ли распределение генеральной совокупности

Подробнее

5 Гипотезы и критерии согласия

5 Гипотезы и критерии согласия 5 Гипотезы и критерии согласия Гипотезы и критерии согласия Критерий согласия - Пирсона Пусть,,, выборка из распределения теоретической случайной величины с неизвестной функцией распределения F ( Проверяется

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Элементы теории оценок и проверки гипотез

Элементы теории оценок и проверки гипотез Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основной принцип проверки ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ дисперсия известна дисперсия неизвестна t распределение распределение

Подробнее

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В.

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В. Проверка статистических гипотез Грауэр Л.В. Статистические гипотезы Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей Гипотеза о равенстве дисперсий нескольких генеральных совокупностей

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе 3 Проверка статистических гипотез 3 Основные положения теории проверки статистических гипотез На практике часто приходится проверять на основе выборочных данных различные предположения относительно генеральной

Подробнее

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

(или a a0, или a a0. ). Для проверки нулевой гипотезы извлекается выборка объема n. В качестве критерия выбирается статистика

(или a a0, или a a0. ). Для проверки нулевой гипотезы извлекается выборка объема n. В качестве критерия выбирается статистика МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 1 Проверка гипотез о математическом ожидании, дисперсии, доле изнака генеральной совокупности Проверка гипотезы о математическом ожидании

Подробнее

Задачи статистической проверки гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез. Задачи статистической проверки гипотез. Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики.

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и { статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и Смирнова } В математической статистике считается, что данные,

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2013 1

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

Практикум по теме 11 "Статистическая проверка гипотез"

Практикум по теме 11 Статистическая проверка гипотез Практикум по теме 11 "Статистическая проверка гипотез" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 11, а также развитие следующих

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CS Center) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2014 1 / 26 Cодержание Содержание 1

Подробнее

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности.

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации к решению задач из экзаменационного задания Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома Считая,

Подробнее

Подбор подходящего теоретического распределения

Подбор подходящего теоретического распределения Лекция Подбор подходящего теоретического распределения При наличии числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть

Подробнее

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ Образец заполнения титульного листа Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина Кафедра высшей

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

Доверительные интервалы: примеры решения задач

Доверительные интервалы: примеры решения задач Доверительные интервалы: примеры решения задач Л. В. Калиновская Кафедра высшей математики, Университет "Дубна" date Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Понятие статистической гипотезы Статистическая гипотеза это предположение о виде распределения или о величинах неизвестных параметров генеральной совокупности, которая может

Подробнее

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Требования к результатам освоения дисциплины:

Требования к результатам освоения дисциплины: 1. Цели и задачи дисциплины: получение базовых знаний и формирование основных навыков по теории вероятностей и математической статистике, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической

Подробнее

Лекция 5. Доверительные интервалы

Лекция 5. Доверительные интервалы Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание

Подробнее

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 013 Буре В.М.,

Подробнее

Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез 1. Статистические гипотезы; 2. Критерии проверки гипотез; 3. Проверка параметрических гипотез; 4. Критерий Пирсона Завершить показ Статистические гипотезы. Статистические

Подробнее

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Проверка статистических гипотез 37 6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 6.. Введение В этой главе рассматривается группа статистических методов, которые получили наибольшее распространение в статистических

Подробнее

Тема 5. Непрерывные случайные величины.

Тема 5. Непрерывные случайные величины. Тема 5. Непрерывные случайные величины. Цель и задачи. Цель контента темы 5 дать определение непрерывной случайной величины, ее функции распределения и функции распределения; рассмотреть особенности задания

Подробнее

Контрольное задание

Контрольное задание http://wwwzachetru/ Контрольное задание Задача Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда ( 0): 3 6 7 0 m 8 0 3 3 Решение 3 6 7 0 m 8 0 3 3 m Полигон относительных частот: 0073

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2015 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Критерии

Подробнее

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) о равенстве параметров... Санкт-Петербург,

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ю С Боярович, Ю Е Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Практическое руководство

Подробнее

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008.

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008. Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 008. ВАРИАНТ (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются

Подробнее

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α.

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α. Лекция 9. Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго

Подробнее

Теория вероятностей и медицинская статистика

Теория вероятностей и медицинская статистика Теория вероятностей и медицинская статистика СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ Лекция 6 Кафедра медицинской информатики РУДН Содержание лекции 1. Определение термина статистическая гипотеза 2. Статистические критерии

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где 3.5. Примеры проверки гипотез Рассмотрим применение общей схемы проверки гипотез к конкретным задачам проверки гипотез о математическом ожидании, дисперсии, коэффициенте корреляции, часто встречающимся

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

Выборочные оценки параметров распределения

Выборочные оценки параметров распределения Выборочные оценки параметров распределения 1 Выборочные оценки параметров распределения Резюмируя, важно подчеркнуть, что, с точки зрения экспериментатора, функции распределения и статистические характеристики

Подробнее

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности Экзаменационный билет по курсу: ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А.). Случайные события. Определение вероятности.. Найти распределение дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x с вероятности

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 01.03.02

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

Статистическая гипотеза

Статистическая гипотеза Статистическая гипотеза Статистической гипотезой (statistical hypothesis) мы называем любое предположение о свойствах и характеристиках исследуемых генеральных совокупностей, которое может быть проверено

Подробнее

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

Подробнее

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ВВЕДЕНИЕ Одним из основных разделов математической статистики является проверка статистических гипотез. В этом разделе разрабатываются методы проверки соответствия экспериментальных данных или наблюдений

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2

Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2 УДК 37814788:5192 Об особенностях применения критерия согласия Пирсона χ 2 Л М Гафарова, И Г Завьялова, Н Н Мустафин Национальный исследовательский университет «МИЭТ» Рассматриваются особенности и анализируются

Подробнее

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Практические занятия (семинары) 3-й семестр п/п С1 С2 С3 С4 С5 С6 раздела дисциплины Наименование практических занятий (семинаров) Комбинаторика:

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Хабаровск 004 3 УДК 56 Статистическая обработка и анализ экспериментальных данных массовых случайных явлений: Методические

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ). Кафедра «Теория

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ Санкт-Петербургский государственный морской технический университет (СПбГМТУ) УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ по математической статистике кафедра математики СанктПетербург 0 Оглавление

Подробнее

Статистическая проверка гипотез и доверительные интервалы. Критерий Стьюдента (Т-тест) для одной выборки

Статистическая проверка гипотез и доверительные интервалы. Критерий Стьюдента (Т-тест) для одной выборки Статистическая проверка гипотез и доверительные интервалы Критерий Стьюдента (Т-тест) для одной выборки Проверка гипотезы о величине дисперсии (хи-квадрат тест) Z-тест для двух выборок Критерий Стьюдента

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ Морозова Н.Н. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Смоленск, Россия STATISTICAL HYPOTHESIS IN ECONOMETRIC STUDIES Morozova

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

Равномерное распределение.

Равномерное распределение. Равномерное распределение. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид, если xa ; b f x b a 0, если xa ; b Математическое ожидание M X

Подробнее

ОПОРНЫЕ СХЕМЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

ОПОРНЫЕ СХЕМЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ). Кафедра «Теория

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» «КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Кафедра математики и экономической информатики Методическая разработка по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

ВАРИАНТ 1 ЗАДАЧА 1. Построить гистограмму по группированному статистическому ряду:

ВАРИАНТ 1 ЗАДАЧА 1. Построить гистограмму по группированному статистическому ряду: ВАРИАНТ 1 Построить гистограмму по группированному статистическому ряду: Интервалы 0-2 2-4 4-6 Частоты (ν i ) 20 30 50 Построить оценку для неизвестного параметра генеральной совокупности, имеющей геометрическое

Подробнее

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление

Подробнее

Методика обработки результатов эксперимента с помощью системы MATLAB в курсе «Математическая статистика»

Методика обработки результатов эксперимента с помощью системы MATLAB в курсе «Математическая статистика» Методика обработки результатов эксперимента с помощью системы MATLAB в курсе «Математическая статистика» # 4, апрель 6 Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Чигирёва О. Ю., УДК: 59. Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

Государственный университет Высшая школа экономики. "Основы математической статистики для менеджеров "

Государственный университет Высшая школа экономики. Основы математической статистики для менеджеров Правительство Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет Менеджмента Программа дисциплины "Основы математической статистики для менеджеров " для направления 080500.62

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики В.П.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Е. В. Морозова 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЧАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Статистической совокупностью называется совокупность

Подробнее

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Подробнее

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей Лекция 5 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей 6.. Метод наименьших квадратов 6... Теоретическое обоснование метода наименьших квадратов 7. Проверка статистических гипотез 7..Критерий согласия

Подробнее

Рекомендуется выполнять в Excel или в MathCad.

Рекомендуется выполнять в Excel или в MathCad. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (СТАТИСТИКА) Задача 1. Путем опроса получены данные (n=80): Выполнить задания: а) получить дискретный вариационный ряд и статистическое распределение выборки; б) построить полигон

Подробнее