Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ"

Транскрипт

1 Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами которые будут рассмотрены в последующих разделах: с помощью корреляционных функций; с помощью финитного преобразования Фурье; с помощью фильтрации возведения в квадрат и усреднения аналоговая фильтрация. Будут также получены важные соотношения для этих функций которые используются во многих приложениях. 5.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ Исторически первый способ определения спектральной плотности появился в математике. Он состоит во взятии преобразования Фурье от предварительно вычисленной ковариационной функции. После вычитания математических ожиданий такие преобразования Фурье ПФ в бесконечных пределах обычно существуют даже если ПФ исходного стационарного случайного процесса не существует. Этот подход дает двухстороннюю спектральную плотность обозначаемую S и определенную для из. Пусть существуют корреляционная и взаимно корреляционная функции K K задаваемые формулами: K M{ t t }; K M{ t y t }. Предположим далее что конечны интегралы от их абсолютных величин: K ; K. 6

2 На практике это условие всегда выполняется для реализаций конечной длины. Тогда преобразования Фурье функций K и K существуют и определяются формулами: j S K e ; 5. S j K e. 5. Такие интегралы по реализациям конечной длины существуют всегда. Функция S или S y называется функцией спектральной плотности процессов t или y t соответственно или просто спектральными плотностями а S называется взаимной спектральной плотностью процессов t и y t. Использование обратного преобразования Фурье для S и S дает: j K S e ; 5.3 y K j S e. 5.4 При решении практических задач приходится допускать наличие в K и S дельта-функций. Соотношения 5. и 5.3 а также 5. и 5.4 называют формулами Винера Хинчина которые устанавливают связь между корреляционными функциями и спектральными плотностями через преобразование Фурье. Из свойств симметрии стационарных ковариационных функций следует что: * S S S ; * S S y. S 63

3 Следовательно спектральные плотности S и S y действительные четные функции от а взаимная спектральная плотность комплексная функция от. Теперь спектральные соотношения из формул 5. и 5.3 можно преобразовать к виду: S K cos K cos ; 5.5 K S cos S cos. 5.6 Односторонние спектральные плотности G или где частота изменяется только в пределах интервала определяются формулой G S 5.7 а вне указанной области значений частот имеем G. Именно эти величины измеряются на практике с помощью метода аналоговой фильтрации. Рис. 5. иллюстрирует связь между функциями S и G. G y G S Рис. 5.. Двухсторонняя и односторонняя спектральные плотности Однако использование в математических расчетах функции S определенных на и показательных функций с комплексным аргументом часто упрощает анализ. Важно научиться оперировать с обоими представлениями. 64

4 Односторонняя спектральная плотность G связана с корреляционной функцией K стационарного случайного процесса следующими соотношениями: G 4 K cos. В частности при K G cos. ; K M{ t} D G. Односторонняя взаимная спектральная плотность где частота изменяется на интервале определяется как а в остальных случаях. G G S G Из формулы 5.3 имеем G j K e C jq где C называется коспектральной плотностью коспектром; Q квадратурной спектральной плотностью квадратурным спектром. Одностороннюю взаимную спектральную плотность можно представить в комплексной полярной форме G G e где модуль и фазовый угол определяются формулами: G j C Q ; Q rctg. C 65

5 66 В таблице 5. приведены примеры спектральных плотностей часто используемых в теоретических расчетах. Таблица 5. Некоторые односторонние спектральные плотности Постоянная величина c G Гармонический процесс X G Белый шум G другие Белый шум на выходе идеального фильтра нижних частот B B G другие Белый шум на выходке идеального полосового фильтра B B B G другие Окончание таблицы 5.

6 Процесс с корреляционной функцией в виде экспоненты: G 4 4 K e K e Процесс с автокорреляционной функцией в виде экспоненты умноженной на косинус: cos G ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРОВ ЧЕРЕЗ ФИНИТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Второй способ определения спектральных плотностей по своему характеру тоже является математическим. Он основан на финитном преобразовании Фурье реализации исходного процесса. Именно этот способ в настоящее время широко используется для вычисления спектральных плотностей и часто называется метод периодограмм Метод периодограмм Рассмотрим пару реализаций t и y t стационарных случайных процессов t и t с нулевыми математическими ожиданиями. Определим на конечном интервале времени t функцию где * S X Y 5.8 X t e j t t 67

7 j t Y y t e t. 5.9 Функции X и Y финитные преобразования Фурье * реализаций t и y t соответственно а X функция комплексно-сопряженная X. Такие преобразования Фурье по конечному интервалу существуют для реализации широкого класса случайных процессов в то время как ПФ в бесконечных пределах может не существовать хотя теоретически стационарный процесс определен на всей оси времени. Распространенная ошибка состоит в том что по аналогии с периодическими процессами взаимную плотность определяют по формуле S lim S. Это определение не годится в случае стационарных случайных процессов общего вида поскольку при оценка функции S не становится лучше в статистическом смысле т. е. она не состоятельна. Так как правая часть 5.9 зависит и от индекса то правильное определение функции S дает следующее выражение S S lim M{ S } 5. где M{ S } математическое ожидание взятое по множеству индексов. Спектральные плотности S и S y это частные случаи формулы 5.. Докажем эквивалентность определений 5. и 5.. Для этого перепишем формулу 5.9 обозначив переменные интегрирования разными символами S e j j y e y e j

8 Преобразуем область интегрирования путем замены переменных на где. На рис. 5. показано как изменятся пределы интегрирования при такой замене. β τ α α Интегрируя по паре переменных вместо пары переменных получим Рис. 5.. Преобразование области интегрирования что позволяет переписать формулу 5. в виде S y e j y e j. 5. По определению взаимная корреляционная ковариационная функция R равна R M[ y ] поэтому взяв математическое ожидание от обеих частей выражения 5. получим 69

9 M{ S } K В пределе когда e j K j K e. имеем e j j lim M{ S } K e. 5.3 Это и есть искомое утверждение 5. поскольку правая часть формулы 5. равна S согласно определению 5.. Заметим что замена S на соответствующие G приводит к следующим формулам: G * lim M{ X Y } ; 5.4 G lim M{ X }; 5.5 Gy lim M{ Y }. 5.6 Для вычисления по формулам применяются реализованные на ЭВМ процедуры быстрого преобразования Фурье. На практике длина реализации всегда конечна и предельный переход осуществим только теоретически. Математическое ожидание M { } также берется только по конечному ансамблю поскольку невозможно получить бесконечный набор реальных данных Статистические характеристики оценок спектральной плотности Найдем выражение математического ожидания и дисперсии оценки спектральной плотности полученной методом периодограмм согласно 5.5. Оценку спектральной плотности G можно легко получить опуская в 5.5 предел и символ математического ожидания и индекс 7

10 G X. 5.7 При этом обеспечивается наиболее высокая из возможных разрешающая способность спектрального анализа B. Дискретное преобразование Фурье X на конечном интервале времени Т дает спектральные составляющие на частотах. На рис. 5.3 изображены случайная последовательность t N и оценка спектральной плотности G где t N интервал дискретизации. t t N- X G / N- Рис Случайная последовательность и оценка ее спектральной плотности Для нахождения качества оценки 5.7 нужно вычислить ее математическое ожидание и дисперсию. Отметим что X является комплексной функцией частоты при этом ее действительная X RE и мнимая X IM части представляют собой некоррелированные случайные функции. Так как преобразование Фурье является линейной операцией то для гауссова случайного процесса t X RE и X IM будут нормальными случайными функциями. И тогда функция 7

11 X X RE X IM есть сумма квадратов двух независимых нормальных процессов. И поэтому каждая частотная составляющая оценки G имеет "хи-квадрат" распределение с двумя степенями свободы. Плотность распределения "хи-квадрат" с п степенями свободы имеет вид / / w [ / ] e где гамма-функция; i i гауссовы случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: M{ } D{ } M{ M{ } }. Случайная ошибка оценки 5.7 спектральной плотности велика. Так нормированная ошибка определяющая случайную погрешность этой оценки равна D{ G }. 5.8 M{ G } При нормированная ошибка или % т. е. среднее квадратичное отклонение равно самой оцениваемой величине что на практике не приемлемо. На практике случайную ошибку 5.8 характеризующую оценку 5.7 уменьшают путем последующего сглаживания. Существуют два способа сглаживания усреднения. Первый способ сглаживание по ансамблю. Для этого как показано на рис. 5.4 находят оценки спектра по каждой из независимых реализаций i t i 3 m длительностью / m а затем усредняют m оценок по каждой частоте. Второй способ сглаживание по частоте. Для этого как показано на рис. 5.5 усредняют результаты вычислений спектра по m смежным частотным составляющим оценки полученной по всей реализации t N. В любом случае операция сглаживания означает приближение к математическому ожиданию в формуле 5.5 в результате чего оценка спектральной плотности получается состоятельной. 7

12 Δt Δt N- m / m / X m / m Gˆ N/m- m/ Gˆ N/m- m/ Gˆ m m N/m- m/ Gˆ N/m- m/ Рис Сглаживание по ансамблю 73

13 Сглаженные оценки имеют разрешающую способность Bm mb m и подчиняются распределению с m степенями свободы и имеют нормированную ошибку 5.9 m где т число усреднений. Δt Δt N- Gˆ X по m частотам по m частотам по m частотам по m частотам m/ / N- Рис Сглаживание по частоте 5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРАЦИИ Третий способ вычисления спектральной плотности подразумевает применение аналоговых устройств и включает следующие операции: частотную фильтрацию сигнала t с помощью узкополосного фильтра с полосой пропускания и центральной частотой ; в результате этой операции получаем величины t ; возведение в квадрат мгновенного значения отфильтрованного сигнала; 74

14 усреднение квадрата мгновенного значения по реализации длины в результате этой операции образуется оценка среднего квадрата отфильтрованного сигнала; деление на ширину полосы пропускания фильтра в результате чего получается оценка скорости изменения среднего квадрата в зависимости от центральной частоты. Описанная процедура представлена схематически на рис. 5.6 а оценка спектральной плотности имеет вид G t t. 5. t Узкополосный фильтр с полосой пропускания и центральной частотой Возведение в квадрат Усреднение Деление на G Для вычисления взаимной спектральной плотности аналоговыми методами применяется прямое обобщение описанной процедуры на случай двух сигналов t и y t которое включает следующие операции: раздельную частотную фильтрацию обоих сигналов с помощью узкополосных фильтров имеющих одинаковые полосы пропускания и одну и ту же центральную частоту ; в результате получают t и y t ; Рис Измерение спектральной плотности методом аналоговой фильтрации перемножение двух отфильтрованных сигналов при отсутствии сдвига фазы между ними с целью получения синфазных членов необходимых для получения коспектра; перемножение мгновенных значений двух отфильтрованных сигналов причем y t сдвигается по фазе на 9 по отношению к t с целью получения смещенных по фазе членов что нужно для вычисления квадратурного спектра; 75

15 усреднение каждого из этих произведений по реализации длинной Т с целью построения оценок произведений синфазных и смешанных по фазе членов; деление каждого из усредненных произведений на ширину полосы пропускания для получения оценок и. где C Q Таким образом оценка взаимной спектральной плотности имеет вид G C jq C t y t t ; Q t y t t y t сдвинутый по фазе на 9 отфильтрованный сигнал y t. Эквивалентность этого третьего аналогового метода определения спектральных плотностей предыдущим двум математическим определениям не очевидна и требует доказательств. Приведем такое доказательство для спектральной плотности G. Рассмотрим определение спектральной плотности по формуле 5.5 т. е. G lim M[ X ] 5. где величина X [ tcos tt] [ tsi tt] действует как фильтр выделяющий квадрат среднего значения t в узкой полосе частот окружающей центральную частоту. Чтобы доказать это неочевидное утверждение определим для любой реализации t процесса t величину 76

16 t t t t [ ] и тогда средний квадрат конкретной реализации t можно выразить формулой lim t t lim t t. Если F преобразование Фурье функции t то по теореме Парсеваля t t F. Поскольку X преобразование Фурье t т. е. то X t e j tt t t e j tt t lim X lim X. 5. Вычислив математическое ожидание от по всем возможным реализациям t процесса t получим где G определено формулой 5.8. M[ ] G 5.3 Предположим теперь что t проходит через узкополосный фильтр с центральной частотой и полосой пропускания передаточную характеристику H вида: имеющей 77

17 H для других В этом случае преобразование Фурье процесса на выходе фильтра равно H X где X преобразование Фурье входного процесса. Поэтому вместо формулы 5. для среднего квадрата отдельной отфильтрованной реализации t получим выражение. lim H X. 5.4 Взяв математическое ожидание от обеих частей формулы 5.4 получим H G G. 5.5 Таким образом формула 5.5 утверждает что G есть скорость изменения среднего квадрата в зависимости от частоты. Кроме того оператор X действует на реализацию t как фильтр который пропускает только те ее составляющие что лежат в узкой полосе частот а затем возводит в квадрат значения на выходе до выполнения соответствующих операций усреднения. Именно на этом принципе действуют аналоговые спектральные анализаторы.

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В курсе "Теория вероятностей" корреляция между двумя случайными величинами определяется математическим ожиданием их произведения Если в качестве двух случайных

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

5. Корреляционная обработка сигналов

5. Корреляционная обработка сигналов ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) 5 Корреляционная обработка сигналов 51 Различение сигналов Коэффициент корреляции сигналов Одной из задач, решаемых при обработке сигналов,

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ 54 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

Подробнее

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. Случайные сигналы и помехи в радиотехнических системах 3.1. Случайные процессы и их основные характеристики Помехой называют стороннее колебание, затрудняющее приѐм и обработку сигнала. Помехи могут

Подробнее

6. Оптимальные линейные цепи (фильтры)

6. Оптимальные линейные цепи (фильтры) ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-onlinenarodru 6 Оптимальные линейные цепи (фильтры) 61 Понятие оптимального фильтра его характеристики Пусть на вход линейной

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАДИОТЕХНИКЕ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ГРУППЫ ВДБВ-6-14

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАДИОТЕХНИКЕ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ГРУППЫ ВДБВ-6-14 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАДИОТЕХНИКЕ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ГРУППЫ ВДБВ-6-14 Список литературы 1. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем:

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЯ, КОНСТРУКЦИИ, ТЕХНОЛОГИИ. применение метода спектральных представлений для решения задач статистической динамики автомобиля 4 (81) 2013

ИССЛЕДОВАНИЯ, КОНСТРУКЦИИ, ТЕХНОЛОГИИ. применение метода спектральных представлений для решения задач статистической динамики автомобиля 4 (81) 2013 28 ИССЛЕДОВАНИЯ, КОНСТРУКЦИИ, ТЕХНОЛОГИИ УДК 629.113 применение метода спектральных представлений для решения задач статистической динамики автомобиля И.С. Чабунин, к.т.н. / В.И. Щербаков, к.т.н. Московский

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» Электронное учебное издание

МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» Электронное учебное издание МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» О.В. Михайлова, Т.В. Облакова Случайные процессы-. Стохастический анализ Электронное

Подробнее

Полосовая фильтрация 1. Полосовая фильтрация

Полосовая фильтрация 1. Полосовая фильтрация Полосовая фильтрация 1 Полосовая фильтрация В предыдущих разделах была рассмотрена фильтрация быстрых вариаций сигнала (сглаживание) и его медленных вариаций (устранение тренда). Иногда требуется выделить

Подробнее

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ осенний семестр учебного - года Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры

Подробнее

Методические материалы примеры билетов КР и вариантов РГР по курсу «Математические методы обработки цифровых сигналов»

Методические материалы примеры билетов КР и вариантов РГР по курсу «Математические методы обработки цифровых сигналов» Методические материалы примеры билетов КР и вариантов РГР по курсу «Математические методы обработки цифровых сигналов» Рубежный контроль 1 1. Разложите вектор (,1, 1 по векторам 1 ) ( 1,2,1), (,2,3) 1,

Подробнее

Лабораторная работа 1 ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ СТАЦИОНАРНЫХ ЭРГОДИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. 1. Цель работы

Лабораторная работа 1 ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ СТАЦИОНАРНЫХ ЭРГОДИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. 1. Цель работы 1 ВВЕДЕНИЕ При экспериментальных исследованиях различных явлений, процессов и систем часто возникает необходимость привлечений статистических методов для анализа случайных данных. Применение персональных

Подробнее

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ После введения вероятностного описания случайных процессов можно дать их классификацию с учетом тех или иных ограничений которые предъявляются к их вероятностным

Подробнее

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 43 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

Подробнее

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры Спектральные характеристики

Подробнее

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вектор среднего дисперсий границ математических ожиданий границ функции среднеквадратических отклонений границ величина гиперслучайная векторная непрерывная 1.2 скалярная 1.2 интервальная

Подробнее

Спектральный анализ непериодических сигналов. f(t) t 2. Ранее нами для периодического сигнала был получен ряд Фурье в комплексной форме: 1 2 T

Спектральный анализ непериодических сигналов. f(t) t 2. Ранее нами для периодического сигнала был получен ряд Фурье в комплексной форме: 1 2 T Ястребов НИ Каф ТОР, РТФ, КПИ Спектральный анализ непериодических сигналов () Т Ранее нами для периодического сигнала был получен ряд Фурье в комплексной форме: () jω C& e, где C & jω () e Поскольку интеграл

Подробнее

Цифровая обработка сигналов

Цифровая обработка сигналов Цифровая обработка сигналов Контрольные вопросы к лабораторной работе 1 1. Частоту дискретизации сигнала увеличили в два раза. Как изменится амплитуда выбросов аналогового сигнала, восстановленного согласно

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

Подробнее

Лекция 16. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Лекция 16. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 64 Лекция 6 ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа 3 Операторный метод анализа электрических цепей 4 Определение оригинала по известному

Подробнее

Содержание Содержание Теоретические основы ЦОС Виды сигналов Аналоговые сигналы Дискретные сигналы

Содержание Содержание Теоретические основы ЦОС Виды сигналов Аналоговые сигналы Дискретные сигналы Содержание Содержание.... Теоретические основы ЦОС..... Виды сигналов...... Аналоговые сигналы...... Дискретные сигналы.....3. Цифровые сигналы...3.. Аналоговые сигналы...3... Представление сигнала интегралом

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА План Тригонометрическая форма ряда Фурье Ряд Фурье в комплексной форме Комплексный частотный спектр 3 Мощности в цепях несинусоидального тока Коэффициенты,

Подробнее

- функция, заданная для всех действительных x и кусочно-гладкая на. может быть разложена в ряд Фурье. a n 1. nx l. a 2

- функция, заданная для всех действительных x и кусочно-гладкая на. может быть разложена в ряд Фурье. a n 1. nx l. a 2 ЛЕКЦИЯ Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье Пусть ( - функция, заданная для всех действительных x и кусочно-гладкая на каждом конечном интервале, Тогда на каждом таком отрезке ( может быть разложена

Подробнее

T cos. где звездочка означает знак комплексного сопряжения. Следовательно * или F F. можно представить в виде:

T cos. где звездочка означает знак комплексного сопряжения. Следовательно * или F F. можно представить в виде: Преобразование Фурье в оптике В математике доказывается, что периодическую функцию () с периодом Т, удовлетворяющую определенным требованиям, можно представить рядом Фурье: a a cos n b sn n, где / n, a

Подробнее

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ Лабораторная работа 5К Исследование случайных процессов 3 Варианты заданий Тип Относительная полоса

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ А.Н.ДЕНИСЕНКО, В.Н.ИСАКОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению лабораторных работ на ПК по дисциплине «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс

Подробнее

Задание 1. Анализ временных и частотных характеристик импульсных

Задание 1. Анализ временных и частотных характеристик импульсных сигналов. Задание. Анализ временных и частотных характеристик импульсных Пример.. С помощью свойств преобразования Фурье найти аналитическое выражение спектра аналогового импульсного сигнала (), изображенного

Подробнее

ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ, N4, 2013

ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ, N4, 2013 ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКРОНИКИ, N4, 03 УДК 6.39, 6.39.8 ОЦЕНКА ОНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ НА ОСНОВЕ ФАЗОВЫХ ФЛУКУАЦИЙ СИГНАЛА В. Г. Патюков, Е. В. Патюков, А. А. Силантьев Институт инженерной физики и радиоэлектроники,

Подробнее

Преобразование Фурье в оптике. В математике доказывается, что любую периодическую функцию f(t) с периодом Т можно представить рядом Фурье:,

Преобразование Фурье в оптике. В математике доказывается, что любую периодическую функцию f(t) с периодом Т можно представить рядом Фурье:, Преобразование Фурье в оптике В математике доказывается что любую периодическую функцию () с периодом Т можно представить рядом Фурье: a a cos b s где / a cos d b s d / / a и b - коэффициенты ряда Фурье

Подробнее

Интерференция квазимонохроматического света. Квазимонохроматическое излучение это излучение, удовлетворяющее условию

Интерференция квазимонохроматического света. Квазимонохроматическое излучение это излучение, удовлетворяющее условию Интерференция квазимонохроматического света Квазимонохроматическое излучение это излучение, удовлетворяющее условию, где - среднее значение длины волны источника, - диапазон длин волн Аналогичные соотношения

Подробнее

Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями

Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями УДК 59. Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями С. Н. Воробьев, канд. техн. наук, доцент Н. В. Гирина, аспирант Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Случайные величины Функции распределения вероятностей случайных величин Простейшая модель физического эксперимента последовательность независимых опытов (испытаний

Подробнее

АНАЛИЗ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА И.П. Гуров, П.Г. Жиганов, А.М. Озерский

АНАЛИЗ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА И.П. Гуров, П.Г. Жиганов, А.М. Озерский АНАЛИЗ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА И.П. Гуров, П.Г. Жиганов, А.М. Озерский Рассматриваются особенности динамической обработки стохастических сигналов с использованием дискретных

Подробнее

СИГНАЛЫ: ФОРМИРОВАНИЕ, ОБНАРУЖЕНИЕ И ОБРАБОТКА

СИГНАЛЫ: ФОРМИРОВАНИЕ, ОБНАРУЖЕНИЕ И ОБРАБОТКА 621.391 (075) Ч 493 5603 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное Образовательное учреждение высшего образования «Южный федеральный университет» Инженерно-технологическая

Подробнее

РАСЧЕТ ФОРМАНТ ПО УЧАСТКУ РЕЧЕВОГО СИГНАЛА

РАСЧЕТ ФОРМАНТ ПО УЧАСТКУ РЕЧЕВОГО СИГНАЛА УДК 004.934 1 В. Н. Поздин, М. Г. Хохлов РАСЧЕТ ФОРМАНТ ПО УЧАСТКУ РЕЧЕВОГО СИГНАЛА В статье рассматриваются проблемы, возникающие при анализе речевого сигнала. Описываются алгоритмы нахождения формант,

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

1) Искажающая (передающая) система - например, e( t) Реальные системы - казуальны - подчиняются принципу причинности, т.е.

1) Искажающая (передающая) система - например, e( t) Реальные системы - казуальны - подчиняются принципу причинности, т.е. Переходные процессы - операторный подход. Метод Фурье Искажающая передающая система - например B Q{ A } - пусть один вход один выход Реальные системы - казуальны - подчиняются принципу причинности т.е.

Подробнее

Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра теории электрической связи

Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра теории электрической связи Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова Кафедра теории электрической связи ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ по дисциплине «Сигналы и процессы в радиотехнике» для студентов заочного факультета Составитель

Подробнее

ГЛАВА 4 СТАЦИОНАРНЫЕ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Стационарные гиперслучайные функции

ГЛАВА 4 СТАЦИОНАРНЫЕ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Стационарные гиперслучайные функции ГЛАВА 4 СТАЦИОНАРНЫЕ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Формализованы понятия стационарности и эргодичности гиперслучайных функций Предложены различные характеристики описывающие стационарные и эргодические

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

УДК , ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ДОПЛЕРОВСКИХ СИСТЕМ

УДК , ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ДОПЛЕРОВСКИХ СИСТЕМ ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ, N5, 4 УДК 6.39, 6.37.7 ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ДОПЛЕРОВСКИХ СИСТЕМ В. Г. Патюков, Е. В. Патюков, Е. Н. Рычков Институт инженерной физики и радиоэлектроники Сибирского Федерального

Подробнее

Лекция 9. Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием

Лекция 9. Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием Лекция 9 Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием Для решения задачи об оптимальном алгоритме приема дискретных сообщений сделаем следующие допущения:. Все искажения

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Подготовлено к изданию в 2008 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ. Подготовлено к изданию в 2008 г. Подготовлено к изданию в 8 г. Ю. Н. Соколов. Компьютерный анализ и проектирование систем управления. Ч. 4. Статистическая динамика. Учеб. пособие. Харьков: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 8.

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

О ПРИНЦИПЕ ПРИЧИННОСТИ П.Н. Александровº º ЦГЭМИ ИФЗ РАН, Троицк

О ПРИНЦИПЕ ПРИЧИННОСТИ П.Н. Александровº º ЦГЭМИ ИФЗ РАН, Троицк О ПРИНЦИПЕ ПРИЧИННОСТИ ПН Александровº º ЦГЭМИ ИФЗ РАН, Троицк lexdr@igemiroiskru Ключевые слова: принцип причинности, теория фильтрации, дисперсия физических параметров Частотная дисперсия физических

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Восстановление аналоговых сигналов из дискретных сигналов Утверждено на заседании кафедры 405 3 августа 2006

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Статистическая радиофизика и теория информации

Статистическая радиофизика и теория информации Статистическая радиофизика и теория информации. Введение Радиофизика как наука изучает физические явления существенные для радиосвязи, излучения и распространения радиоволн, приема радиосигналов. Предметом

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОТЕХНИКА

СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОТЕХНИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений)

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений) Лекция 8 План лекции 53 Закон Пуассона 54 Показательный закон распределения 55 Нормальный (гауссов) закон распределения вероятностей 53 Закон Пуассона (закон редких явлений) Дискретная случайная величина

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Б. Р. Левин, Я. А. Фомин, Определение распределения длительности выбросов косинуса фазы нормального стационарного случайного процесса методом временной

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

Лекция 5. Идентификация модели объекта управления

Лекция 5. Идентификация модели объекта управления Лекция 5. Идентификация модели объекта управления Олег Игоревич Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Москва Идентификация ситсем

Подробнее

4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕМБРАНЫ

4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕМБРАНЫ 4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕМБРАНЫ 4.1 Временные характеристики динамической системы Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия,

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «Радиотехнические цепи и сигналы ч1» (Осенний семестр 2016/17у.г., дневное отделение)

Вопросы к экзамену по дисциплине «Радиотехнические цепи и сигналы ч1» (Осенний семестр 2016/17у.г., дневное отделение) Вопросы к экзамену по дисциплине «Радиотехнические цепи и сигналы ч1» (Осенний семестр 2016/17у.г., дневное отделение) 1. Понятие сигнала. Классификация сигналов. Математическое описание сигналов. Разрывные

Подробнее

дуальность частоты и времени;

дуальность частоты и времени; Вопросы для подготовки к экзамену по курсу «РТЦ и С» 1 Вопросы для подготовки к экзамену по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы» (I часть) для групп 14-301 302 (осень 2008/09) Преподаватель: Шевгунов

Подробнее

Характеристики турбулентности

Характеристики турбулентности Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Институт прикладной математики и механики Кафедра гидроаэродинамики Курс лекций «Модели турбулентности» (http://cd.spbstu.ru/agarbaru/lecture/turb_models)

Подробнее

1. Основные характеристики детерминированных сигналов

1. Основные характеристики детерминированных сигналов 1. Основные характеристики детерминированных сигналов В технике под термином «сигнал» подразумевают величину, каким-либо образом отражающую состояние физической системы. В радиотехнике сигналом называют

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

Проблемы обнаружения и идентификации радиосигналов средств негласного контроля информации (Продолжение, начало в 3, 2000)

Проблемы обнаружения и идентификации радиосигналов средств негласного контроля информации (Продолжение, начало в 3, 2000) 1 Каргашин Виктор Леонидович, кандидат технических наук Проблемы обнаружения и идентификации радиосигналов средств негласного контроля информации (Продолжение, начало в 3, 2000) Эффективность приемников

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА В ДИСКРЕТНЫЙ СИГНАЛ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА В ДИСКРЕТНЫЙ СИГНАЛ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА В ДИСКРЕТНЫЙ СИГНАЛ Теоретический материал В 933 году в работе "О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи" В.А. Котельников доказал

Подробнее

Тема 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Тема 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Понятие дискретной системы Методы описания линейных дискретных систем: разностное уравнение, передаточная функция, импульсная характеристика, частотная передаточная функция

Подробнее

ВЛИЯНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО ПРОСАЧИВАНИЯ НА ПОВЕДЕНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ УСЕЧЕННОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА. Г.С. Ханян

ВЛИЯНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО ПРОСАЧИВАНИЯ НА ПОВЕДЕНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ УСЕЧЕННОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА. Г.С. Ханян www.vntr.ru 6 (34), г. www.ntgcom.com УДК 57.443+57.8 ВЛИЯНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО ПРОСАЧИВАНИЯ НА ПОВЕДЕНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ УСЕЧЕННОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА Г.С. Ханян Центральный институт авиационного

Подробнее

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция.

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция. Оглавление ГЛАВА 3 продолжение. Функции случайных величин. Характеристическая функция... Функция одного случайного аргумента.... Основные числовые характеристики функции случайного аргумента.... Плотность

Подробнее

Алгоритмы синхронизации в OFDM системах

Алгоритмы синхронизации в OFDM системах Алгоритмы синхронизации в OFDM системах Синхронизация приёмо-передающих устройств в OFDM - системе Рассмотрим обобщенную функциональную схему системы передатчик канал - приемник использующей OFDM представленную

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Дискретные сигналы

СОДЕРЖАНИЕ. Дискретные сигналы СОДЕРЖАНИЕ Дискретные сигналы. Процедура аналого-цифрового преобразования... 2 2. Математическое описание дискретных сигналов... 4 3. Свойства дискретных сигналов. Спектры аналоговых и дискретных сигналов

Подробнее

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O Комплексные числа I Комплексные числа в алгебраической форме Определение Комплексным числом называется выражение вида где и действительные числа число называется мнимой единицей: Числа и называются соответственно

Подробнее

Ю.М. Яневич: Задачи приема сигналов и определения их параметров на фоне шумов

Ю.М. Яневич: Задачи приема сигналов и определения их параметров на фоне шумов ЮМ Яневич: Задачи приема сигналов и определения их параметров на фоне шумов Содержание: Введение 1 Характеристики и свойства случайного процесса 11 12 13 14 Определение моментов Стационарность случайного

Подробнее

Диаграммы дискретизирующих последовательностей

Диаграммы дискретизирующих последовательностей 3 Содержание 1. Цель задания 4. Содержание задания 4 3. Исходные данные 5 4. Методические указания.. 5 5. Оформление отчета. 8 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 9 ПРИЛОЖЕНИЕ.. 11 ПРИЛОЖЕНИЕ 3.. 1 ПРИЛОЖЕНИЕ 4.. 14 Литература.

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Тестовые задания по математике для студентов 1 2 курсов СГГА

Тестовые задания по математике для студентов 1 2 курсов СГГА Тестовые задания по математике для студентов курсов СГГА Пояснение к выполнению тестового задания. Прочитайте внимательно текст задания.. Если в ответах указан символ «Ο» то нужно выбрать единственный

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

8. Различение сигналов 8.1. Постановка задачи различения сигналов

8. Различение сигналов 8.1. Постановка задачи различения сигналов ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-onlinenarodru 8 Различение сигналов 81 Постановка задачи различения сигналов Среда где распространяется сигнал РПдУ + РПУ Рис81

Подробнее

! +1 при! 0, + 2!!! = 1 при!, 2 0 при прочих!

! +1 при! 0, + 2!!! = 1 при!, 2 0 при прочих! 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Подробнее

Лекция 4 Москва, 2015

Лекция 4 Москва, 2015 Спектральное представление сигналов к.ф.-м.н., доцент Московский государственный университет факультет ВМК кафедра Математических методов прогнозирования Спектральное представление сигналов Лекция 4 Москва,

Подробнее

План курса «Вопросы представления и обработки сигналов»

План курса «Вопросы представления и обработки сигналов» План курса «Вопросы представления и обработки сигналов» Речистов Григорий 30 ноября 2008 г. 1 Введение Цель курса ознакомить слушателей с некоторыми аспектами представления, обработки и передачи сигналов,

Подробнее

4.3. Сложение колебаний. что фаза 0 t растет линейно со временем, а соответственно вектор

4.3. Сложение колебаний. что фаза 0 t растет линейно со временем, а соответственно вектор 4.3. Сложение колебаний. 4.3.. Векторная диаграмма. Сложение колебаний одинаковой частоты. Удобно использовать наглядное изображение колебаний с помощью векторных диаграмм. Введем ось и отложим вектор,

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8 . ЦЕЛЬ РАБОТЫ 3 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.. Приобретение навыков по математическому моделированию и исследованию случайных процессов (СП) на персональном компьютере (ПК)...

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ А.Н.ДЕНИСЕНКО ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Методические указания по выполнению курсовой работы (специальность 96 МОСКВА УДК 66.3..7

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 11

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 11 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 11 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ И ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ.15.Глава 1. Основные понятия теории управления... 15 1.1.Понятия об управлении и системах управления... 15 1.2.Объекты

Подробнее

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции 1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции ( x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции ( x в произвольной точке x Для

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее