Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е АЛЕКСЕЕВА» НГТУ Институт радиоэлектроники и информационных технологий Кафедра «Прикладная математика» Методические указания по дисциплине «Математика» Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Нижний Новгород 5

2 Определение функции нескольких переменных Рассматривая функции одной переменной мы указывали что при изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных Приведем несколько примеров Пример Площадь S прямоугольника со сторонами длины которых равны х и у выражается формулой S = ху Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S; S есть функция двух переменных Пример Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами длины которых равны х у выражается формулой V = где V функция трех переменных х у Пример Дальность R полета снаряда выпущенного с начальной скоростью v из орудия ствол которого наклонен к горизонту под углом выражается формулой R v sn g если пренебречь сопротивлением воздуха Здесь g ускорение силы тяжести Для каждой пары значений v и эта формула дает определенное значение R те R является функцией двух переменных v и здесь и есть функция четырех перемен- Пример 4 ных х у t t Определение Если каждой паре х у значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D соответствует определенное значение величины то мы говорим что есть функция двух независимых переменных х и у определенная в области D Символически функция двух переменных обозначается так: = = F и тд Пример 5 Выразить объем конуса V как функцию его образующей и радиуса основания Решение Из геометрии известно что объем конуса равен V = h/ где

3 h высота конуса Но h Следовательно V Здесь объем конуса V есть функция двух переменных и Функция двух переменных может быть задана например с помощью таблицы или аналитически с помощью формулы как это сделано в рассмотренных примерах На основании формулы можно составить таблицу значений функции для некоторых пар значений независимых переменных Так для первого примера можно составить следующую таблицу: S = ху у В этой таблице на пересечении строки и столбца соответствующих определенным значениям х и у проставлено значение функции S Если функциональная зависимость = получается в результате измерений величины при экспериментальном изучении какого-либо явления то сразу получается таблица определяющая как функцию двух переменных В этом случае функция задается только таблицей Как и в случае одной независимой переменной функция двух переменных существует вообще говоря не при любых значениях х и у Определение Совокупность пар х у значений х и у при которых определяется функция = называется областью определения или областью существования этой функции Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически Если каждую пару значений х и у мы будем изображать точкой Мх у в плоскости Оху то область определения функции изобразится в виде некоторой со-

4 вокупности точек на плоскости Эту совокупность точек будем также называть областью определения функции В частности областью определения может быть и вся плоскость В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с областями представляющими собой части плоскости ограниченные линиями Линию ограничивающую данную область будем называть границей области точки области не лежащие на границе внутренними точками области Область состоящая из одних внутренних точек называется открытой или незамкнутой Если же к области относятся и точки границы то это замкнутая область Область называется ограниченной если существует такая постоянная С что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С те OM < С Пример 6 Найти естественную область определения функции = х у Аналитическое выражение х у имеет смысл при любых значениях х и у Следовательно естественной областью определения функции является вся плоскость Оху Пример 7 Для того чтобы имело действительное значение нужно чтобы под знаком корня стояло неотрицательное число те х и у должны удовлетворять неравенству х у или х + у Все точки Мх у координаты которых удовлетворяют указанному неравенству лежат в круге радиуса с центром в начале координат и на границе этого круга Пример 8 ln Так как логарифмы определены только для положительных чисел то должно удовлетворяться неравенство х + у > или у > х Это значит что областью определения функции является половина плоскости расположенная над прямой у = х не включая самой прямой 4

5 Пример 9 Найти область существования функции rcsn Решение Первое слагаемое функции определено при или Второе слагаемое имеет действительные значения если те в двух случаях: при или при Область существования всей функции изображена на рисунке и включает границы области - Рис Пример Площадь треугольника S представляет собой функцию основания х и высоты у: S = / Областью определения этой функции является область х у так как основание треугольника и его высота не могут быть отрицательными и нулевыми Заметим что область определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью определения того аналитического выражения с помощью которого задается функция так как естественной областью определения выражения ху/ является очевидно вся плоскость Оху Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех или более переменных Определение Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных х у t соответствует определенное значение переменной w то будем называть w функцией независимых переменных х у t и писать w = Fх у t или w = х у t и тп Так же как и для функции двух переменных можно говорить об области определения функции трех четырех и более переменных Так для функции трех переменных областью определения является некоторая совокупность тро- 5

6 ек чисел х у Заметим что каждая тройка чисел задает некоторую точку Мх у в пространстве Оху Следовательно областью определения функции трех переменных является некоторая совокупность точек пространства Аналогично этому можно говорить об области определения функции четырех переменных = t как о некоторой совокупности четверок чисел t Однако область определения функции четырех или большего числа переменных уже не допускает простого геометрического истолкования В примере приведена функция трех переменных определенная при всех значениях х у в примере 4 функция четырех переменных Пример w здесь w функция четырех переменных х у и определенная при значениях переменных удовлетворяющих соотношению Геометрическое изображение функции двух переменных Рассмотрим функцию = определенную в области G на плоскости Оху эта область может быть в частности и всей плоскостью и систему прямоугольных декартовых координат Оху рис В каждой точке х у восставим перпендикуляр к плоскости Оху и на нем отложим отрезок равный х у Тогда мы получим в пространстве точку Р с координатами = х у Геометрическое место точек Р координаты которых удовлетворяют уравнению называется графиком функции двух переменных Из курса аналитической геометрии мы знаем что уравнение в пространстве определяет некоторую поверхность Таким образом графиком функции двух переменных является поверхность проектирующаяся на плоскость Оху в область определения функции Каждый перпендикуляр к плоскости Оху пересекает поверхность = не более чем в одной точке 6

7 х P у у = + G х у Рис Рис Пример Графиком функции = х + у как известно из аналитической геометрии является параболоид вращения рис Замечание Функцию трех и более переменных изобразить с помощью графика в пространстве невозможно Задание для самостоятельной работы Выразить площадь S треугольника как функцию его трех сторон Выразить объем V правильной четырехугольной пирамиды как функцию ее высоты и бокового ребра Выразить площадь S боковой поверхности правильной шестиугольной усеченной пирамиды как функцию сторон и оснований и высоты Определить и изобразить область существования следующих функций: 4 8 ln 5 ln 9 sn 6 rcsn ln ln sn 4 rccos 7 ln ln 5 6 Вершины прямоугольного треугольника лежат внутри круга радиуса R Площадь S треугольника является функцией его катетов и : S Какова область определения функции S 7

8 7 Составить таблицу значений функции давая независимым переменным значения от до 5 через единицу 8 Найти значение функции при = = ; = = ; = = 9 Дана функция F Найти F / В частности положить и = и и = и и подсчитать F / Частное и полное приращение функции Рассмотрим линию пересечения поверхности = с плоскостью = const параллельной плоскостью O Так как в этой плоскости у сохраняет постоянное значение то вдоль кривой у которой у постоянное будет меняться только в зависимости от изменения х Дадим независимой переменной х приращение х; тогда получит приращение которое называется частным приращением по х и обозначается х так что Аналогично если х сохраняет постоянное значение а у получает приращение у то получает приращение называемое частным приращением по у Это приращение обозначают символом у : Приращение у функция получает «вдоль линии» пересечения поверхности = х у с плоскостью = const параллельной плоскости O Наконец сообщив аргументу х приращение х а аргументу у приращение у получим для новое приращение которое называется полным приращением функции и определяется формулой Надо заметить что полное приращение не равно сумме частных приращений те Пример = ; ; 8

9 При х = у = х = у = имеем 4 76 Аналогичным образом определяются частные и полное приращения функции любого числа переменных Так для функции трех переменных = = t имеем t t t t t t t t t t t Задание для самостоятельной работы Найти частные и полное приращения функции : = 4 = ln+ 8 = = tg 7 4 Непрерывность функции нескольких переменных Введем важное вспомогательное понятие понятие окрестности данной точки Окрестностью радиуса r точки М х у называется совокупность всех точек х у удовлетворяющих неравенству х х у у r те совокупность всех точек лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке М х у 9

10 Если мы говорим что функция х у обладает каким-либо свойством «вблизи точки х у» или «в окрестности точки х у» то под этим подразумеваем что найдется такой круг с центром х у во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством Прежде чем рассматривать понятие непрерывности функции нескольких переменных рассмотрим понятие предела функции нескольких переменных Пусть дана функция = х у определенная в некоторой области G плоскости Оху Рассмотрим некоторую определенную точку М х у лежащую в области G или на ее границе рис 4 G М х у r Мх у Определение 4 Число А называется пределом функции х у при стремлении Мх у к точке М х у если для каждого число найдется такое число r > что для всех точек Мх у для которых выполняется неравенство ММ r имеет место неравенство A то пишут Если число А является пределом функции х у при Мх у М х у lm A Определение 5 Пусть точка М х у принадлежит области определения функции х у Функция = х у называется непрерывной в точке М х у если имеет место равенство Рис 4

11 lm причем тоска Мх у стремится к точке М х у произвольным образом оставаясь в области определения функции Если обозначим х = х + х у = у + у то равенство можно переписать так: lm х у или lm [ х у ] 4 Обозначим ρ При х и у и обратно если то х и у Замечая далее что выражение стоящее в квадратных скобках в равенстве 4 есть полное приращение функции равенство 4 можно переписать в форме lm Функция непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в области Если в некоторой точке Nх у не выполняется условие то точка Nх у называется точкой разрыва функции = х у Условие может не выполняться например в случаях: = х у определена во всех точках некоторой окрестности Nх у за исключением самой точки Nх у ; функция = х у определена во всех точках окрестности точки Nх у но не существует предел lm ; функция определена во всех точках окрестности Nх у и существует предел lm но lm Пример 4 Функция = х + у непрерывна при любых значениях х и у те в любой точке плоскости Оху

12 Действительно каковы бы ни были числа х и у х и у имеем следовательно lm Приведем пример разрывной функции Пример 5 Функция определена всюду кроме точки х = у = Рассмотрим значения вдоль прямой = k k = const Очевидно вдоль этой прямой k k const k k те функция вдоль всякой прямой проходящей через начало координат сохраняет постоянное значение зависящее от углового коэффициента k прямой Поэтому подходя к началу координат по различным путям мы будем получать различные предельные значения а это значит что функция х у не имеет предела когда точка х у на плоскости Оху стремится к началу координат Следовательно функция разрывна в этой точке Эту функцию нельзя доопределить в начале координат так чтобы она стала непрерывной Легко видеть с другой стороны что в остальных точках эта функция непрерывна Пример 6 Найти точки разрыва функции Решение Функция потеряет смысл если знаменатель обратится в нуль Но х у = или у = х уравнение параболы Следовательно данная функция имеет линией разрыва параболу у = х Укажем некоторые важные свойства функции многих переменных непрерывной в замкнутой и ограниченной области Эти свойства аналогичны свойствам непрерывной на отрезке функции одной переменной Свойство Если функция х у определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D то в области D найдется по крайней мере одна

13 точка Nх у такая что для всех других точек области будет выполняться соотношение х у х у и по крайней мере одна точка Рх у такая что для всех других точек области будет выполняться соотношение х у х у Значение функции х у = М будем называть наибольшим значением функции х у в области D а значение х у = т наименьшим значением Это свойство формулируется и так Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения т Свойство Если функция х у непрерывна в замкнутой и ограниченной области D и если М и т наибольшее и наименьшее значения функции х у в области то для любого числа удовлетворяющего условию т < < М найдется в области такая точка Р * х * у * что будет выполняться равенство х * у * = Следствие свойства Если функция х у непрерывна в замкнутой ограниченной области и принимает как положительные так и отрицательные значения то внутри области найдутся точки в которых функция х у обращается в нуль Задание для самостоятельной работы Найти точки разрыва следующих функций: ln 8 sn sn 5 sn 9 sn sn

14 если ; 4 Показать что функция в точке М; если непрерывна вдоль каждого луча t cos tsn t проходящего через эту точку те существует lm t cos t sn ; однако эта t функция не является непрерывной в точке ; 4 Является ли функция rcsn непрерывной в своей области определения? 5 Частные производные функции нескольких переменных Определение 6 Частной производной по х от функции = х у называется предел отношения частного приращения х по х к приращению х при стремлении х к нулю Частная производная по х от функции = х у обозначается одним из символов: Таким образом по определению lm lm Аналогично частная производная по у от функции = х у определяется как предел отношения частного приращения у по у к приращению у при стремлении у к нулю Частная производная по у обозначается одним из символов: у у Таким образом у у у lm у у у lm у у у Заметив что х вычисляется при неизменном у а у при неизменном х мы можем определения частных производных сформулировать так: частной производной по х от функции = х у называется производная по х вычислен- 4

15 ная в предположении что у постоянная Частной производной по у от функции = х у называется производная по у вычисленная в предположении что х постоянная Из этого определения ясно что правила вычисления частных производных совпадают с правилами указанными для функций одной переменной и только требуется каждый раз помнить по какой переменной ищется производная Пример 7 Дана функция = sn ; требуется найти частные производные и Решение sn Пример 8 = Здесь ; cos ; ln Пример 9 ln cos Решение Рассматривая у как постоянную величину получим: sn tg cos Аналогично рассматривая как постоянную величину будем иметь: sn tg cos Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично Так если имеем функцию и четырех переменных х у t то = t t t lm ; t lm t и тд 5

16 Пример t t ; ; t ; t Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных Частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой получающейся в сечении поверхности = х у плоскостью = const Аналогично частная производная численно равна тангенсу угла х наклона касательной к сечению поверхности = х у плоскостью у = const Задания для самостоятельной работы Найти частные производные : 4 47 cos 4 = 48 ln rctg 45 e 5 46 tg 5 5 Показать что если ln 5 cos Найти cos / 4 6

17 54 Вычислить определитель r r если r cos rsn 55 Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к линии 4 4 в точке 4 5? 6 Полное приращение и полный дифференциал По определению полного приращения функции = х у имеем 5 Предположим что х у в рассматриваемой точке х у имеет непрерывные частные производные Выразим через частные производные Для этого в правой части равенства 5 прибавим и вычтем х у + у: [ ] [ ] 6 Выражение х у + у х у стоящее во второй квадратной скобке можно рассматривать как разность двух значений функции одной переменной у значение х остается постоянным Применяя к этой разности теорему Лагранжа получим у 7 где заключено между у и у + у Точно так же выражение стоящее в первой квадратной скобке равенства 6 можно рассматривать как разность двух значений функции одной переменной х второй аргумент сохраняет одно и то же значение у + у Применяя к этой разности теорему Лагранжа получим у х у х 8 х 7

18 8 где х заключено между х и х + х Внося выражения 7 и 8 в равенство получим х у х 9 Так как по предположению частные производные непрерывны то х у lm ; lm так как х и заключены соответственно между х и х + х у и у + у то при х и у х и стремятся соответственно к х и у Равенство можно переписать в виде γ ; γ х у где величины и стремятся к нулю когда х и у стремятся к нулю те когда ρ у х В силу равенства соотношение 9 принимает вид х х х Сумма двух последних слагаемых правой части является бесконечно малой высшего порядка относительно ρ у х Действительно отношение ρ γ х при так как является бесконечно малой величиной а ρ х ограниченной ρ х Аналогично проверяется что ρ γ у Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно х и у При и это выражение представляет собой глав-

19 ную часть приращения отличаясь от на бесконечно малую высшего порядка относительно ρ х у Определение 7 Функция = х у полное приращение которой в данной точке х у может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения линейного относительно х и у и величины бесконечно малой высшего порядка относительно называется дифференцируемой в данной точке а линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается через d или d Из равенства следует что если функция х у имеет непрерывные частные производные в данной точке то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал d Равенство можно переписать в виде γ d γ и с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно можно написать следующее приближенное равенство: d Приращения независимых переменных х и у мы будем называть дифференциалами независимых переменных х и у и обозначать соответственно через d и d Тогда выражение полного дифференциала примет вид d d d 4 Таким образом если функция = х у имеет непрерывные частные производные то она дифференцируема в точке х у и ее полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных Пример Найти полный дифференциал и полное приращение функции = ху в точке ; при х = у = Решение = х + ху + у ху = ух + ху + ху 9

20 d d d d d Следовательно = + + = 7 d = + = 7 Предыдущие рассуждения и определения соответственным образом обобщаются на функции любого числа аргументов Если имеем функцию любого числа переменных w = t причем все частные производные непрерывны в точке t t то выражение dw d d d dt t является главной частью полного приращения функции и называется полным дифференциалом Доказательство того что разность w dw является бесконечно малой более высокого порядка чем t проводится совершенно так же как и для функции двух переменных Пример Найти полный дифференциал функции e sn трех переменных х у Решение Заметив что частные производные e sn ; e sn ; e sn cos e sn непрерывны при всех значениях х у находим d d d d e sn d sn d sn d Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях Пусть функция = х у дифференцируема в точке х у Найдем полное приращение этой функции откуда

21 5 Подставляя в формулу 5 вместо согласно развернутое выражение для d 4 получим приближенную формулу х 6 верную с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно х и у Покажем как используются формулы и 6 для приближенных вычислений Пример Вычислить объем материала нужного для изготовления цилиндрического стакана следующих размеров рис 5: радиус внутреннего цилиндра R высота внутреннего цилиндра Н толщина стенок и дна стакана k k R H Рис 5 Решение Дадим два решения этой задачи: точное и приближенное Точное решение Искомый объем v равен разности объемов внешнего и внутреннего цилиндров Так как радиус внешнего цилиндра равен R + k а высота H + k то v π R k H k πr H или v πrhk R k Hk Rk k 7 Приближенное решение Обозначим через объем внутреннего цилиндра тогда πr H Это функция двух переменных R и Н Если увеличим R и Н на k то функция получит приращение ; но это и будет искомый объем v те v =

22 или ; R = Н = k то получаем На основании соотношения 5 имеем приближенное равенство v d v R H Но так как πrh ; R H R H πr v πrhk R k 8 Сравнивая результаты 7 и 8 видим их различие на величину π Hk Rk k состоящую из членов второго и третьего порядка малости относительно k Применим эти формулы к числовым примерам Пусть R = 4 см Н = см k = см Применяя 7 получим точно v π π Применяя формулу 8 получим приближенно v π π Следовательно приближенная формула 8 дает ответ с погрешностью мень- π шей что составляет % те менее % измеренной величины 788 Пример 4 Вычислить приближенно Решение Рассмотрим функцию 5 8 Искомое число можно считать наращенным значением этой функции при 5 8 Первоначальное значение функции 5 d ln ln 4 Следовательно Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях Пусть некоторая величина и является функцией величин х у t: и = t причем определяя каким-то способом значения величин х у t мы допускаем погрешности х у t Тогда значение и вычисленное по неточным значениям аргументов получится с погрешностью

23 и = + х + у + t + t t Далее мы займемся оценкой погрешности и если известны погрешности х у t При достаточно малых абсолютных значениях величин х у t можем приближенно заменить полное приращение полным дифференциалом: и t t Здесь значения частных производных и значения погрешностей аргументов могут быть как положительными так и отрицательными Заменяя их абсолютными величинами получим неравенство и t t Если через * * * t * обозначим максимальные абсолютные погрешности соответствующих величин границы для абсолютных величин значений погрешностей то можно очевидно принять * * * * и t 9 t Пример 5 а Пусть = + + тогда * * * * б Пусть в Пусть г Пусть тогда * * тогда * * * * * тогда * * * * Пример 6 Гипотенуза с и катет а прямоугольного треугольника АВС определенные с максимальными абсолютными погрешностями с * * а соответственно равны c = 75 = Определить угол А по формуле

24 sn A а также максимальную абсолютную погрешность A при вычислении угла c А A c c A Решение sn A A rcsn следовательно c c c Тогда по формуле 9 получим: c A радианов 9 4 ' '' Таким образом A rcsn 9 ' 4 '' 75 Отношение погрешности х некоторой величины к приближенному значению х этой величины называется относительной погрешностью величины х Будем его обозначать х: δ х х Максимальной относительной погрешностью величины х называется отношение максимальной абсолютной погрешности к абсолютной величине х и обозначается * х: * δ х * х х Для оценки максимальной относительной погрешности функции и разделим все числа равенства 9 на и= t: * и и * * t * t но ln ln Поэтому равенство можно переписать так: t ln t 4

25 δ * и * * * ln ln ln t t или коротко δ * и * ln Из формул как так и следует что максимальная относительная погрешность функции равняется максимальной абсолютной погрешности логарифма этой функции Замечание Если и = х у то δ * и * х х у * у Если х и у близки то может оказаться что δ * и будет очень велика по сравнению с определяемой величиной х у Это обстоятельство следует учитывать при вычислении Пример 7 Период колебания маятника равен T l / g где l длина маятника g ускорение силы тяжести Какую относительную погрешность в определении T мы допустим по этой формуле принимая 4 с точностью до 5 l = м с точностью до м g = 98 м/сек с точностью до м/ сек Решение Максимальная относительная погрешность равна * δ T * ln T Но ln T ln ln / ln l / ln g Вычислим ln T Учитывая что * * * * * 4 5 l = м * l м g = 98 м/сек * g м/сек полу- * l g 5 чим: ln T 76 l g 4 98 Итак максимальная относительная погрешность равна T 76 76% * Задания для самостоятельной работы Найти полный дифференциал и полное приращение функции в точке ; при х = у = 5

26 m n Найти полные дифференциалы функций трех переменных х у rctg 65 ln 69 tg 6 7 Найти d ;4;5 если Заменяя приращение функции дифференциалом приближенно вычислить: ln sn 9 tg46 75 На сколько изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами = 6 м и = 8 м если первая сторона увеличится на мм а вторая сторона уменьшится на 5 мм? 76 При измерении радиуса основания R и высоты H цилиндра были получены следующие результаты: R=5 мм; Н=4 мм С какой абсолютной и относительной погрешностью может быть вычислен объем цилиндра? 6

27 77 Стороны треугольника = м м = м 5 м и угол между ними С = 6 о о С какой абсолютной погрешностью может быть вычислена третья сторона? 7 Производная сложной функции Полная производная Полный дифференциал сложной функции Предположим что в уравнении = F v и и v являются функциями независимых переменных х и у: и = х у v = х у В этом случае есть сложная функция от аргументов х и у Конечно можно выразить и непосредственно через х и у а именно: = Fх у х у 4 Пример 8 Пусть = v + + = + v = e + + тогда = х + у е х+у + +х + у + Предположим что функции F v х у х у имеют непрерывные частные производные по всем аргументам и поставим задачу вычислить исходя из уравнений и и не используя уравнение 4 у Дадим аргументу х приращение х сохраняя значение у неизменным тогда в силу уравнения и v получат приращения получают приращения и х и v то и функция = F v получит приращение определяемое формулой : и х х и v Но если и v F х F v γ Разделим все члены этого равенства на х: v γ v F F v v γ γ v х 7

28 8 Если х то и х и v х в силу непрерывности функций и v но тогда и тоже стремятся к кулю Переходя к пределу при х получим lm ; lm ; v v lm ; γ lm ; γ lm и следовательно v v F F 5 Если бы мы дали приращение у переменной у а х оставили неизменным то с помощью аналогичных рассуждений нашли бы у v v F у F у 6 Пример 9 ln v e v v ; v v ; e ; уe у ; v ; v Используя формулы 5 и 6 находим e v v e v 4 e v v e v В последнем выражении вместо и v необходимо подставить e и соответственно Пример Показать что функция = + где t дифференцируемая функция удовлетворяет уравнению d Решение Функция зависит от и через промежуточный аргумент t поэтому t dt d ' и t dt d ' Подставив частные производные в левую часть уравнения будем иметь: ' ' ' ' d

29 Для случая большего числа переменных формулы 5 и 6 естественным образом обобщаются Например если w = F v s есть функция четырех аргументов v s а каждый из них зависит от х и у то формулы 5 и 6 принимают вид w w w w v w s v s w w w w v w s v s 7 Если задана функция = F v где v в свою очередь зависят от одного аргумента х: у = = v = х то по сути является функцией только одной переменной х и можно ставить вопрос о нахождении производной d d Эта производная вычисляется по первой из формул 7: d d v ; v но так как v функции только одного х то частные производные обраща- ются в обыкновенные кроме того ; поэтому d d d d dv 8 d d v d Эта формула носит название формулы для вычисления полной производ- d ной в отличие от частной производной d Пример sn ; d ; cos d Формула 8 дает в этом случае следующий результат: d d cos cos d d sn 9

30 Найдем далее полный дифференциал сложной функции определенной равенствами и Подставляя выражения и определенные равенствами 5 и 6 в формулу полного дифференциала у d d d 9 F F v F F v получаем d d d v v Произведем следующее преобразование в правой части: но F F v v d d d d d v d d d v v d d dv Равенство с учетом равенства можно переписать так: F F d d dv v или d d dv v Сравнивая 9 и можем сказать что выражение полного дифференциала функции нескольких переменных дифференциала первого порядка имеет тот же вид те форма дифференциала инвариантна являются ли и v независимыми переменными или функциями независимых переменных Пример Найти полный дифференциал сложной функции = v = sn v = e Решение По формуле имеем

31 d v d v e v dv v sn d d e d Последнее выражение можно переписать и так: cos d d v v cos v sn v e e d d d d Задание для самостоятельной работы Найти частные производные : 78 ln v e v 8 v v 79 v v v 8 8 v v e sn v 8 rctg v d Найти полную производную : d v 84 sn v cos 87 tg t t 85 sn e 88 e v ln v 86 ln e e 89 v t v t 9 rcsn v sn cos v cos sn 9 Найти полный дифференциал сложной функции: v v v 94 v v ln 9 = v = v = 95 9 v e v 96 v v t t 97 Найти d если где d

32 98 Показать что функция rctg где v v удовлетворяет v соотношению v v k 99 Показать что однородная функция k-го порядка F ; где F дифференцируемая функция удовлетворяет соотношению k 8 Производная от функции заданной неявно Начнем рассмотрение этого вопроса с неявной функцией одной переменной Пусть некоторая функция у от х определяется уравнением Fх у = Докажем следующую теорему Теорема Пусть непрерывная функция у от х задается неявно уравнением Fх у = где Fх у F х х у F у х у непрерывные функции в некоторой области D содержащей точку х у координаты которой удовлетворяют уравнению ; кроме того в этой точке F у х у Тогда функция у от х имеет производную F F Доказательство Пусть некоторому значению х соответствует значение функции у При этом Fх у = Дадим независимой переменной х приращение х Функция у получит приращение у те значению аргумента х + х соответствует значение функции у + у В силу уравнения Fх у = будем иметь Fх + х у + у = Следовательно Fх + х у + у Fх у = Левую часть последнего равенства являющуюся полным приращением функции двух переменных по формуле можно переписать так F F F F х γ х γ х

33 где и стремятся к нулю при х и у стремящихся к нулю Так как левая часть последнего выражения равна нулю можно написать F F х γ х γ х Разделим последнее равенство на х и вычислим F х х F у γ γ у : х Устремим х к нулю Тогда учитывая что при этом и также стремятся к F нулю и что в пределе получим F 4 F Мы доказали существование производной у х от функции заданной неявно и нашли формулу для ее вычисления Пример Уравнение х + у = определяет у как неявную функцию F F от х Здесь F Следовательно по форму- ле d d Заметим что заданное уравнение определяет две разные функции так как каждому значению х в промежутке соответствует два значения у; однако найденное значение у х справедливо как для одной так и для другой функции Пример 4 Дано уравнение связывающее х и у: e e Здесь F F e e e F e

34 Следовательно по формуле получаем Рассмотрим теперь уравнение вида d d e e e e F = 5 Если каждой паре чисел х и у из некоторой области соответствует одно или несколько значений удовлетворяющих уравнению 5 то это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций от х и у Например уравнение R неявно определяет две непрерывные функции от х у которые можно выразить явно разрешив уравнение относительно ; в этом случае мы получим: R и R Найдем частные производные неявной функции от х и у определяемой уравнением 5 Когда ищем и то считаем у постоянным поэтому можно применить формулу 4 если только независимой переменной считать х а функцией - Следовательно F F Таким же путем находим F F F предполагая что Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные Пример 5 R ; Дифференцируя эту функцию как явную после разрешения уравнения относительно мы получили бы тот же результат Пример 6 e 5 Здесь F e 5 4

35 F ; F Пример 7 Найти F ; e ; ; e и если e Решение -й способ Обозначая левую часть данного уравнения через F найдем частные производные: F F 4 ' ' ' F 6 Применив формулы получим: ' F ' F 6 ' F 4 ' F 6 -й способ Дифференцируя данное уравнение получим: d 4d 6d d d d Отсюда определяем d те полный дифференциал неявной функции: d 4 d d 6 Сравнивая с формулой d d d видим что Замечание Все изложенные рассуждения производились в предположении что уравнение Fх у = определяет некоторую функцию одной переменной у = х; уравнение Fх у = определяет некоторую функцию двух переменных = х у Укажем без доказательства какому условию должна удовлетворять функция Fх у чтобы уравнение Fх у = определяло однозначную функцию у = х Теорема Пусть функция Fх у непрерывна в окрестности точки х у и имеет там непрерывные частные производные причем F у х у и пусть Fх у = Тогда существует окрестность содержащая точку х у в которой уравнение Fх у = определяет однозначную функцию у = х 5

36 Аналогичная теорема имеет место и для условий существования неявной функции определяемой уравнением Fх у = Замечание При выводе правил дифференцирования неявных функций мы пользовались условиями которые и определяют существование неявных функций Задание для самостоятельной работы d Найти частную производную при = = d 4 5 ln const rctg 6 F 5 5 sn e 7 Найти частные производные и : 8 e 9 ln e 4 rctg e 5 cos cos cos 6 F Доказать что ; 7 Пусть функция определяется следующим уравнением c где произвольная дифференцируемая функция и c постоянные Показать что c c 6

37 9 Частные производные и дифференциалы различных порядков Пусть имеем функцию двух переменных = х у Частные производные и вообще говоря являются функциями переменных х и у поэтому от них можно снова находить частные производные Следовательно частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре так как каждую из функций можно дифференцировать как по х так и по у Вторые частные производные обозначаются так: здесь дифференцируется последовательно два раза по х; у у здесь сначала дифференцируется по х а результат дифференцируется по у; у ух Здесь сначала дифференцируется по у а результат дифференцируется по х; у уу здесь дифференцируется последовательно два раза по у и Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х так и по у Получим частные производные третьего порядка Их будет очевидно уже восемь: у у ух ух 7 уху у х у Частная производная п-го порядка есть первая производная от производной п -го порядка Например п р у п р есть производная п-го порядка; здесь функция сначала р раз дифференцировалась по х а далее п р раз по у

38 8 Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично Пример 8 Вычислить частные производные второго порядка от функции Решение Последовательно находим 6 Пример 9 Вычислить у и х у если e Решение Последовательно находим e e 6 e e 6 e 6 e Пример 4 Вычислить у 4 если e Решение e ; e ; e ; 4 4 e Естественно поставить вопрос зависит ли результат дифференцирования функции нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным те будут ли например тождественно равны производные и или t t и t t и тд Оказывается что справедлива следующая теорема Теорема Если функция = х у и ее частные производные х у ху и ух определены и непрерывны в точке Мх у и в некоторой ее окрестности то в этой точке

39 ух ху = ух Из данной теоремы как следствие получается что если частные производные n k nk и n n n непрерывны то n k k k n k nk k Аналогичная теорема имеет место и для функции любого числа переменных Пример 4 Найти Решение и если и e sn e sn ; e sn e sn ; e cos ; e sn ; e cos ; e cos e cos e cos Следовательно Дифференциалом второго порядка от функции = х у называется дифференциал от его полного дифференциала те d = dd Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков: d = dd ; те d п = dd п- Если х и у независимые переменные и функция х у имеет непрерывные частные производные то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам d d dd d ; d d d d dd d Вообще имеет место символическая формула d n d d 9 n

40 4 которая формально раскрывается по биномиальному закону Пример 4 Найти d если = Решение ; ; ; ; ; ; ; d d d dd d d d d 6 Задание для самостоятельной работы 8 Найти если 9 Найти если c Найти если sn Найти если Найти 4 если rctg Показать что функция e sn cos удовлетворяет уравнению 4 Показать что функция удовлетворяет уравнению

41 5 Показать что функция удовлетворяет уравнению 6 При каком значении постоянной функция v удовлетворяет v v уравнению? 7 Найти d если 8 Найти d если e cos Найти d в точке sn Найти d в точках ; -/ / Найти производные и дифференциалы второго порядка от сложных функций независимые переменные: а ; б Предполагается что имеет производные до второго порядка включительно по всем переменным Поверхности уровня Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть в плоскости х у имеется область D в которой задана функция и = их у В этом случае говорят что в области D задано скалярное поле Если например их у обозначает температуру в точке Мх у то говорят что задано скалярное поле температур; если область D заполнена жидкостью или газом и их у обозначает давление то имеется скалярное поле давлений и тд Рассмотрим точки области D в которых функция их у имеет постоянное значение с: их у = с Совокупность этих точек образует некоторую поверхность Если возьмем другое значение с то получим другую поверхность Эти поверхности называются поверхностями уровня 4

42 Пример 4 Пусть задано скалярное поле Здесь поверхностями уровня будут поверхности c те эллипсо- 6 иды с полуосями c c 4 c Если функция и есть функция двух переменных х и у: и = их у то «поверхностями» уровня будут линии на плоскости Оху: их у = с которые называются линиями уровня Если значения и мы будем откладывать по оси О: = их у то линиями уровня на плоскости Оху будут проекции линий которые получаются в пересечении поверхности = их у с плоскостями = с Зная линии уровня легко исследовать характер поверхности = их у Пример 44 Определить линии уровня функции = х у Линиями уровня будут линии с уравнениями х у = с Это окружности с радиусом с В частности при с = получается окружность х + у = Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость содержащая в себе касательные ко всем кривым проведенным на поверхности через точку М Нормалью к поверхности в точке М называется прямая проходящая через М перпендикулярно касательной плоскости в этой точке Если поверхность задана уравнением F = и в точке Мх у частные производные F M F M F M конечны и не обращаются в нуль одновременно то уравнение касательной плоскости к поверхности в точки Мх у записывается в виде F M F F а уравнение нормали к поверхности в этой же точке M M F F F 4 M M M

43 Если же уравнение поверхности задано явным образом: = х у где частные производные M и M в точке Мх у конечны и могут быть равны нулю одновременно то уравнение касательной плоскости в точке М за- писывается в виде а уравнение нормали Равенство нулю например M M M M 4 M означает что касательная плоскость параллельна оси Ох а нормаль лежит в плоскости х = х Пример 45 Дана поверхность Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке М Найдем частные производные х у значения в точке М : Уравнение касательной плоскости: Уравнение нормали: M или + = х /- = у / = /- M и х у у и их Пример 46 К поверхности х + у + = провести касательные плоскости параллельные плоскости х + у + = Здесь F = х + у + Найдем частные производные: F F F х 4 у 6 Из условия параллельности касательной плоскости у и данной плоскости следует что F// = F// = F// или х/ = 4у/ = 6/ Присоединив к этим уравнениям уравнение поверхности

44 х + у + = найдем координаты точек касания: 6 6 / 6 / М 6 6 / 6 / имеют вид те М и Следовательно уравнения касательных плоскостей 6 6 / 6 / / 6 и / 6 Задание для самостоятельной работы Найти линии уровня функции ln Найти линии уровня функции rcsn 4 Найти линии уровня функции 5 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M; ; 5 6 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M4; ; 4 7 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности R в точке MR cos ; R sn ; R 8 К поверхности провести касательные плоскости параллельные плоскости К эллипсоиду провести касательные плоскости отсекающие на положительных координатных полуосях равные по величине отрезки c 4 К поверхности провести касательную плоскость проходящую через точку M; ; параллельно прямой 44

45 45 4 На поверхности найти точки в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям 4 Показать что конус c и сфера c c c c касаются друг друга в точках c Производная по направлению Градиент Рассмотрим в области D функцию и = их у и точку Мх у Проведем из точки М вектор S направляющие косинусы которого cos cos cos рис 6 На векторе S на расстоянии s от его начала рассмотрим точку М х + х у + у + Таким образом s Будем предполагать что функция их у непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D Полное приращение функции представим так: ε ε ε 6 где и стремятся к нулю при s Разделим все члены равенства 6 на s: s s s s s s s ε ε ε 7 х у M S Рис 6

46 Очевидно что s cos α cosβ cos γ s s Следовательно равенство 7 можно переписать так: s cos α cosβ cos γ ε cos α ε cosβ ε cos γ 8 Предел отношения s при s называется производной от функции и = их у в точке х у по направлению вектора S и обозначается lm s s s Таким образом переходя к пределу в равенстве 8 получим 46 и те s cos α cosβ cos γ 9 s Из формулы 9 следует что зная частные производные легко найти производную по любому направлению S Сами частные производные являются частным случаем производной по направлению Так например при = π γ получаем Пример 47 Дана функция π π cos cos cos s в точке М в направлении вектора S = + j + k Находим направляющие косинусы вектора S: cos α Следовательно Частные производные s cosβ Найти производную и s cos α π β х у в точке М будут х у

47 Итак s х M M M Пример 48 Найти производную функции в точке Р ; в направлении составляющем с осью ОХ угол в точке Р: Решение Найдем частные производные данной функции и их значения в 4 ; 4; 6 ; ; P P Здесь cos cos sn sn Применяя формулу 9 по- лучим 4 s 47 Знак минус показывает что функция в данной точке и в данном направлении убывает В каждой точке области D в которой задана функция = определим вектор проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке: grd j k Этот вектор называется градиентом функции Говорят что в области D определено векторное поле градиентов Докажем следующую теорему устанавливающую связь между градиентом и производной по направлению Теорема Пусть дано скалярное поле и = и определено в нем поле градиентов grd j k

48 Производная и s вектора grd и на вектор S вектору S: по направлению некоторого вектора S равняется проекции Доказательство Рассмотрим единичный вектор S соответствующий S = cos + j cos + k cos Вычислим скалярное произведение векторов grd и и S : S grd cos α cosβ cos γ Выражение стоящее в правой части этого равенства есть производная от функции по направлению вектора S Следовательно мы можем написать grd S s Если обозначим угол между векторами grd и и S через рис 7 то можно написать или Теорема доказана grd cos 4 s пр grd s S grd s S Рис 7 S и = с grd М s Р Рис 8 S На основании доказанной теоремы наглядно устанавливается связь между градиентом и производной в данной точке по любому направлению В данной точке Мх у строим вектор grd и рис 8 Строим сферу для которой grd и является диаметром Из точки Мх у проводим вектор S Обозначим точку 48

49 пересечения вектора S с поверхностью сферы Р Тогда очевидно что МР = grd cos если угол между направлениями градиента и отрезка МР при этом π те MP Очевидно что при изменении направления вектора s S на противоположное производная изменит знак а ее абсолютная величина останется прежней Установим некоторые свойства градиента Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение если направление вектора S совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно grd Справедливость этого утверждения непосредственно следует из равенства 4: наибольшее значение s наиб s grd будет при = и в этом случае 49 Производная по направлению вектора перпендикулярного к вектору grd и равна нулю Это утверждение следует из формулы 4 Действительно в этом случае π cos = и grd cos s Пример 49 Дана функция и = х + у + Определим градиент в точке М Выражение градиента этой функции в произвольной точке будет grd = + j + k Следовательно grd M = + j + k grd M Определим производную от функции и в точке М в направлении градиента Направляющие косинусы градиента будут cos α cosβ cosγ Следовательно те grd s s

50 Замечание Если функция и = их у есть функция двух переменных то вектор grd j лежит в плоскости Оху Докажем что grd и направлен перпендикулярно к линии уровня их у = с лежащей в плоскости Оху и проходящей через соответствующую точку Действительно угловой коэффициент k касательной к линии уровня их у = с будет равен k Угловой коэффициент k градиента равен k Очевидно что k k = Это и доказывает справедливость нашего утверждения Аналогичное свойство имеет градиент функции трех переменных Пример 5 Определить градиент функции и Здесь х М х и у у М 8 х у и в точке М 4 Следовательно grd = + 8 j Уравнение линии уровня проходящей через данную точку будет х у Задание для самостоятельной работы 4 Найти производную функции в точке М; в направлении вектора S = + j 44 Найти производную функции в точке М; ; 5 в направлении вектора S = j + k 45 Найти производную функции в точке P; в направлении составляющем с осью O угол в 6 46 Найти производную функции в точке M; в направлении идущем от этой точки к точке N4; 6 5

51 47 Найти производную функции ln в точке М; в направлении биссектрисы первого координатного угла 48 Найти производную функции в точке M; ; в направлении идущем от этой точки к точке N5; 5; 5 49 Найти градиент функции в точке P; 5 Найти градиент функции в точке P5; 5 Найти градиент функции в точке P; ; 5 Найти угол между градиентами функций и в точке P; 4 Формула Тейлора для функции двух переменных Пусть функция двух переменных = х у непрерывна вместе со всеми частными производными до п + -го порядка включительно в некоторой окрестности точки Ма Тогда функцию двух переменных представим в виде суммы многочлена п-го порядка по степеням х а и у и некоторого остаточного члена Для случая п = эта формула имеет вид A B C A D E R 4! где коэффициенты А D E А В С не зависят от х и у а R остаточный член структура которого аналогична структуре остаточного члена в формуле Тейлора для функции одной переменной Применим формулу Тейлора для функции х у одной переменной у считая х постоянным ограничимся членами второго порядка: х η 4 где = + у Функции разложим по формуле Тейлора по степеням х а ограничиваясь смешанными производными до третьего порядка включительно: 5

52 5 ξ 4 где = х + х а ; ξ у у у у 44 где = х + х а ; ξ уу уу уу 45 где = х + 4 х а 4 Подставляя выражения 4 45 в формулу 4 получим η ξ ξ ξ уу уу у у у Располагая слагаемые так как указано в формуле 4 получим η ξ ξ ξ!! 46 Это и есть формула Тейлора при п = Выражение η ξ ξ ξ! R называется остаточным членом Обозначим далее х а = х у = у ρ у х Преобразуем R :

53 R! ρ ξ ξ ρ ρ η ρ ξ Так как х у и третьи производные по условию ограничены то коэффициент ограничен в рассматриваемой области; обозначим его через Тогда можно написать R = вид Формула Тейлора 46 в принятых обозначениях для случая п = примет! α Δρ При любом п формула Тейлора имеет аналогичный вид Пример 5 Найти приращение получаемое функцией = + при переходе от значений = = к значениям = + h = + k 46' Решение Искомое приращение можно найти применяя формулу 46' Вычислим предварительно последовательные частные производные и их значения в данной точке ; : ' 9 ' ' ' '' '' '' '' '' 4 ''' '' ''' 6 6 ''' ''' ''' ''' ''' ''' 5

54 ''' ''' Все дальнейшие производные тождественно равны нулю Подставляя найденные результаты в формулу 46' получим: ;! h k h 9 k h h 6 h k hk k 9h k h hk k h k 6 hk k 4 Задание для самостоятельной работы 5 Разложить h k по целым положительным степеням k и h если c π π 54 Разложить функцию sn sn по степеням и 4 4 Найти члены первого и второго порядка и R остаточный член второго порядка 55 Функцию 6 4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки ; 56 Найти приращение получаемое функцией при переходе от значений = = к значениям = + h = + k 57 Найти приращение получаемое функцией 4 4 при переходе от значений = = к значениям = + h = + k Ограничиваясь членами -го порядка включительно вычислить ; 58 Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки ; до членов -го порядка включительно функцию 59 Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки ; до членов -го порядка включительно функцию e 54

55 6 Вывести приближенную формулу с точностью до членов -го порядка относительно величин и для выражения α rctg β 6 Используя формулу Тейлора до членов -го порядка вычислить приближенно 6 Разложить в ряд Тейлора при = = функцию ln ln Максимум и минимум функции нескольких переменных Определение Мы говорим что функция = х у имеет максимум в точке М х у те при х = х у = у если х у х у для всех точек х у достаточно близких к точке х у и отличных от нее Определение Совершенно аналогично говорят что функция = х у имеет минимум в точке М х у если х у х у для всех точек х у достаточно близких к точке х у и отличных от нее Максимум и минимум функции называются экстремумами функции те говорят что функция имеет экстремум в данной точке если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке Пример 5 Функция достигает минимума при х = у = те в точке Действительно = - а так как х и у всегда положительны при х у то х + у те х у Пример 5 Функция sn при х = у = те в начале ко- ординат достигает максимума Действительно = ½ Возьмем внутри окружности х + у = /6 точку х у отличную от точки ; тогда при х + у /6 будет snх + у те х у и поэтому sn 55

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный университет ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза УДК 5755 Никитина ОГ Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление:

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П. Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4.

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4. Найти общий член последовательности,,,, ) Найти b) lim ( ) c) 9 7 7 ) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ( )!! lim ( )! ) b) c) Найти 6 si lim si d) ) b) c) d) d) ( ) Найти lim [ (l( ) l )] ) b) c) e d) l 6 Найти

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных

Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Боревич АЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Санкт-Петербург 5 Оглавление Глава Предел Непрерывность

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Докажите, для любых неотрицательных чисел, и выполняется неравенство 6+ + 5 5 + 7 +. Решение. Сложив почленно три известных

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. Московский Государственный Технический Университет имени НЭ Баумана Дубограй ИВ Скуднева ОВ Левина А И Функции нескольких переменных методические указания для подготовки к аттестации Москва Издательство

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее