МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)"

Транскрипт

1 МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Содержание АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Линейные уравнения Квадратные уравнения Уравнения высшей степени Уравнения с модулем 5 Дробно-рациональные уравнения 6 Иррациональные уравнения 7 Показательные уравнения 8 Логарифмические уравнения 9 Тригонометрические уравнения Уравнения смешанного типа Линейные неравенства Квадратные неравенства Неравенства высшей степени Неравенства с модулем 5 Дробно-рациональные неравенства 6 Иррациональные неравенства 7 Показательные неравенства 8 Логарифмические неравенства 9 Неравенства смешанного типа Инвариантность Функции ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Координатная плоскость хоу Параллельный перенос вдоль оси у Параллельный перенос вдоль оси х Поворот 5 Гомотетия Координатная плоскость аох 6 Уравнения Аналитические методы Линейные уравнения При каких значениях параметра b уравнение 9 b b b b b не имеет корней? (МГУ, ) Ответ: b При каких значениях параметра b уравнение b b b b b имеет бесконечно много корней? (МГУ, ) Ответ: b Для каких значений а решение уравнения 5 5 больше? (МГУ, 98) Ответ: ( ; ) (; ) Квадратные уравнения () Найдите все такие целые а и b, для которых один из корней уравнения b равен Ответ: 9, b При каких значениях параметра а уравнение ( ) имеет два действительных различных корня? (МГУ, 98) Ответ: ; ; 6 6 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) имеет единственное решение (МГУ, ) Ответ: ; При каких значениях параметра а уравнение 5

2 не имеет решений? (МГУ, ) 9 Ответ: ( ; 5) ; 7 5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых среди корней уравнения ( ) имеется ровно один отрицательный (МГУ, 7) Ответ: ; 6 () Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 5 5 ( )( ) имеет два различных отрицательных корня Ответ: ( ; ) 7 () Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) 5 имеет два различных положительных корня (МГУ, 99) Ответ: При каких значениях параметра а сумма S квадратов корней уравнения является наибольшей? Чему равна эта сумма? (МГУ, 99) Ответ:, S 8 9 Найдите все значения а, при которых уравнение ( 7) 5 имеет в точности один корень на отрезке ; (МФТИ, ) 5 Ответ: ; () Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все корни уравнения ( ) удовлетворяют неравенству Ответ: ; 5 Найдите все значения параметра, при каждом из которых расстояние между корнями уравнения ( ) больше (МГУ, ) Ответ: ; ; Найдите все значения, при каждом из которых уравнения ( ) 6 и имеют общий корень (МГУ, ) Ответ: ;; 9 () Найдите все значения, при каждом из которых система y y имеет ровно два решения Ответ: Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений y y y y имеет единственное решение (МГУ, 988) 7 Ответ: ; ; Уравнения высшей степени Число - один из корней уравнения b, где Найдите действительные корни уравнения b (МГУ, 99) Ответ: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) ( 5) ( ) 8 имеет а) единственное решение; б) ровно два различных решения (МГУ, ) Ответ: а) ; б) ; ; При каких значениях параметра уравнение имеет ровно различных решения? (МГУ, 996) 5 Ответ: ; Найдите все значения параметра, при которых уравнение ( ) ( ) ( ) на промежутке ( ; ) имеет не менее двух корней (МГУ, 8) Ответ: 5 При каких значениях уравнения ( ) и

3 (5 ) не имеют общего решения (МГУ, 997) Ответ: ; ; 6 Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений ( ) y y ( ) имеет не более двух решений (МГУ, ) Ответ: ; ; 7 При каких значениях параметра четыре корня уравнения ( ) ( ) являются последовательными членами арифметической прогрессии? (МГУ, 99) 9 Ответ: 7; 7 8 Найдите все значения параметра, при которых уравнение 5 5 5( ) ( 7) имеет ровно 5 различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию (МГУ, ) Ответ: 9 Определите все значения параметра, при каждом из которых три различных корня уравнения ( 9) 8 6 образуют геометрическую прогрессию Найдите эти корни (МГУ, ) Ответ: 7;,, 8 При каких значениях параметра система ( ) y 9 8 y имеет ровно три различных решения? (МГУ, 998) Ответ: Уравнения с модулем При каких значениях а уравнение ( ) имеет четыре различных решения? (МГУ, 99) Ответ: 8 При каких значениях параметра а уравнение 9 5 не имеет решений? При каких значениях параметра а все решения этого уравнения принадлежат отрезку ;6? (МГУ, ) Ответ: ;7; ; 7 () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 9 имеет хотя бы один корень (МГУ, 5) Ответ: 8 6 () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 9 имеет два различных корня (МГУ, 5) Ответ: ( ;8) 5 () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 7 имеет хотя бы один корень (МГУ, 5) Ответ: или 8 6 () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 5 имеет хотя бы один корень (МГУ, 5) Ответ: 8 7 Найдите все значения параметра с, при которых уравнение c имеет ровно три различных решения (МГУ, 99) 9 Ответ: ; 8 Найдите все значения параметра k, при которых уравнение k k k а) не имеет решений; б) имеет конечное непустое множество решений (МГУ, 99) Ответ: а) (;); б) ( ; ) ; 9 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все решения уравнения принадлежат отрезку ; (МГУ, 98) Ответ: При каких значениях b уравнение (b ) b b имеет два различных решения?

4 Ответ: b ; b () Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) имеет единственный корень Ответ: ; Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение? Ответ: если,5; ; 5 ; ;5 - два решения, то нет решений; если - одно решение; при При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Найдите это решение Ответ: при уравнение имеет единственное решение, 5 Дробно-рациональные уравнения 5 При каких значениях параметра а ( ) уравнение имеет 6 5 единственное решение? Ответ: или 6 Иррациональные уравнения 6 При каких значениях b уравнение b имеет единственное решение? Ответ: b,75; b 6 При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Ответ:,5; 6 При каких а уравнение имеет единственное решение? Ответ: ;5,5 6 Для каждого значения а из промежутка ( ;) найдите число различных решений уравнения 5 (МГУ, 7) Ответ: если, то одно решение; если, то два решения; если, то три решения 65 () При всех а решите уравнение Ответ: если, то решений нет; если, то 7 Показательные уравнения 7 При каких значениях параметра а уравнение 5 имеет единственное решение? Ответ: ; 7 При каких значениях параметра а уравнение ( ) 6 ( ) 9 имеет единственное решение? (МГУ, 5) 5 Ответ: ; ; 7 Найдите все значениях параметра b, при которых уравнение 9 b 6 b 6 не имеет решения (МГУ, 99) Ответ: ; 7 При каких значениях параметра а уравнение 6 ( ) имеет три различных корня? (МГУ, 7) Ответ: ; ; ;5 75 При каждом значении параметра а решить уравнение ( ) (МГУ, 985) Ответ: при решений нет; при единственное решение log ; при единственное решение ; при, два решения log, log 8 Логарифмические уравнения 8 При каких значениях а уравнение log log имеет четыре различных корня? Ответ: ; 8

5 8 Найдите все значения параметра а, при которых уравнение log 5 5 log 5 имеет единственное решение (МФТИ, ) Ответ: ; ; 5 8 Найдите все значения а, при которых система log ( log (7 8 ( ) y 6 имеет ровно два решения (МФТИ, ) Ответ: 5 9 Тригонометрические уравнения 9 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 6 9 sin cos 8 ( sin ) не имеет решений (МГУ, 989) Ответ: ; 6 9 Для каждого значения а найдите все решения уравнения cos sin ( ) sin, принадлежащие промежутку (МГУ, ) Ответ: при n, n Z; при других а решений нет 9 При каких значениях а уравнение cos cos имеет ровно одно решение на промежутке (МГУ, 999) Ответ: ; 9 При каких значениях параметра а уравнение sin log (sin ) 5 имеет ровно два корня на отрезке ;? (МГУ, ) Ответ: ; ; 95 Найдите все значения параметра q, при которых уравнение sin ( q ) sin q( q )( q ) имеет на отрезке ; ровно три корня (МГУ, 99) 5 Ответ: ; ; 96 Для каждого значения а найдите число решений уравнения tg cos, 5 принадлежащих промежутку ; (МГУ, 996) Ответ: решения при,, ; 5 решений при ; 7 решений при, Уравнения смешанного типа Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 6 lg(5 ) lg( ) имеет единственное решение (МГУ, ) Ответ: ; ; ; () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение cos имеет ровно восемь различных решений Ответ: 8 ; 6 6 ; 8 () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение cos имеет ровно десять различных решений Ответ: ; 8 8 ; () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение sin имеет ровно восемь различных решений Ответ: ; ; 5 () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение sin имеет ровно шесть различных решений Ответ: ; ; 6 При каких значениях параметра а уравнение ( sin()) 5 имеет ровно 5 различных корней? (МГУ, ) Ответ: ; ; 7 При каких значениях а, принадлежащих интервалу ;, уравнение sin( ) cos 6 имеет решения? (МГУ, 99) Ответ: ;; 8 Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

6 cos имеет ровно два корня (МГУ, 995) Ответ: и 9 9 При всех значениях параметра а решите уравнение 6 ( ) cos( ) 8 cos( ) (МГУ, 8) Ответ: если n, то n, n Z Линейные неравенства Найдите все значения параметра p ;, при которых неравенство ( p )(( )( p ) ) выполняется при любых (МГУ, ) ; ; Ответ: Квадратные неравенства () Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство а) выполняется для всех х; б) выполняется для всех ; в) выполняется для всех ; г) выполняется для всех Ответ: а) ; б) ; в) ; г) () Найдите все значения а, при каждом из которых из неравенств следует неравенство ( 5) Ответ: ; При каких целых а неравенство log log верно для любого значения х? (МГУ, 5) Ответ: ; ; ; ; 5; 6; 7 Для каких значений а система неравенств выполняется хотя бы при одном значении х? (МГУ, 99) Ответ: 5 Найдите такие значения х, при которых неравенство ( ) ( 7) ( ) 6 выполняется для всех а, удовлетворяющих условию (МГУ, 99) Ответ: 6; 5; 6 6 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит хотя бы одно целое число (МГУ, 7) Ответ: ( ;7) 7 Найдите все значения а, при которых система ( ) ( ) имеет единственное решение (МГУ, ) Ответ: ; 8 Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств 6 имеет единственное решение (МФТИ, ) Ответ: ; 9 Найдите все значения параметра b, при каждом из которых единственное решение имеет система неравенств by by 7b (МГУ, 99) b y b b Ответ: При каких целых значениях параметра k система неравенств y y k k 5 5y k ky 5 k имеет хотя бы одно решение? (МГУ, ) Ответ: Z \ ; ;; ; () Найдите все значения а, при каждом из которых система ( )( ) не имеет решений (МГУ, 967) Ответ: ; () Найдите все значения а, при каждом из которых система ( )( ) не имеет решений Ответ:

7 Неравенства высшей степени Найдите все значения х, для каждого из которых неравенство ( ) ( ) 6 5 выполняется хотя бы при одном значении ; (МГУ, 99) Ответ: ; ; ; Найдите все значения параметра а, при которых система ( ) ( ) ( ) имеет единственное решение (МГУ, ) Ответ: ; Неравенства с модулем () Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется при всех х Ответ: 5 Найдите все значения параметра а, при которых неравенство 5 не имеет решений на отрезке ; (МГУ, ) Ответ: ; Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство справедливо для всех действительных х (МГУ, 99) Ответ: ; Найдите все значения параметра а, при которых неравенство 6 9 имеет не более одного решения (МГУ, 995) Ответ: 5 () Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для любого х Ответ: ( ;,5) 6 () Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для любого х Ответ: (,5; ) 7 () Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для любого х Ответ: ( ;,5) 8 Найдите все значения, которые может принимать сумма при условии (МГУ, 5) Ответ: ;5 9 () Найдите все пары чисел p и q, для каждой из которых неравенство p q не имеет решений на отрезке ;5 Ответ: p 6, q 7 5 Дробно-рациональные неравенства 5 Найдите все значения параметра b, при каждом из которых отрезок ; целиком содержится среди решений неравенства b (МГУ, ) b Ответ: ( ; 6) ; 5 Найдите все значения а, при которых неравенство выполняется для всех таких х, что (МГУ, 97) Ответ: 5 () Найдите все значения, при каждом из которых система 8 не имеет решений (МГУ, 967) Ответ: ; 5 () Найдите все значения, при каждом из которых система 8 не имеет решений (МГУ, 967) Ответ: ; 7

8 55 Найдите все значения а, при каждом из которых система ( ) не имеет решений (МГУ, 967) Ответ: 5 56 Найдите все значения, при каждом из которых система 5 не имеет решений (МГУ, 967) Ответ:, 57 Для каждого значения а решите неравенство ( ) (МГУ, ) Ответ: ; ; ; при ; ; ; при ; ; ; при или 6 Иррациональные неравенства 6 При каких значениях а неравенство ( ) имеет единственное решение? (МГУ, ) Ответ: ; 6 Определите, при каких значениях а решения неравенства образуют на числовой прямой отрезок длиной (МГУ, 996) Ответ: ; 6 Найдите все значения параметра а, при которых все числа х из отрезка ;5 удовлетворяют неравенству 6 5 (МГУ, 99) Ответ: 5 ; 8 6 При всех значениях параметра b решите неравенство ( b ) b b (МГУ, 6) Ответ: при b ; ; при b ; ; при b ; 7 Показательные неравенства 7 Найдите все значения параметра а, при которых неравенство 6 не имеет ни одного целочисленного решения (МГУ, 995) Ответ: 8 Логарифмические неравенства 8 Для любого допустимого значения а решите неравенство log log и найдите, при каком значении а множество точек х, не являющихся решением неравенства, представляет собой промежуток, длина которого равна 6 (МГУ, 999) Ответ: ; ; при,5; ; ; при,5, длина промежутка равна 6 при 9 Неравенства смешанного типа 9 () Найдите наибольшее значение параметра b, при котором неравенство 5 b b 8 6 b cos 8 6 имеет хотя бы одно решение (МГУ) Ответ: 9 9 Найдите наибольшее значение параметра а, при котором неравенство sin имеет хотя бы одно решение (МГУ) Ответ: 6 9 () Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для любого значения х выполняется неравенство

9 sin sin cos cos (МГУ, 988) Ответ:,; 9 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для любого значения х выполняется неравенство sin ( )sin cos 5cos 6 (МГУ, 988) 9 Ответ: ; 5 95 При каких значениях параметров а и b система неравенств sin b имеет единственное решение? (МГУ, 99) Ответ:, b k, k Z;, b R Инвариантность * Инвариантность в математическом смысле неизменность какой-либо величины по отношению к некоторым преобразованиям * Инварианты (от лат invrins, родительный падеж invrintis неизменяющийся), числа, алгебраические выражения и т п, связанные с каким-либо математическим объектом и остающиеся неизменными при определенных преобразованиях этого объекта или системы отсчёта, в которой описывается объект Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет нечетное число решений (МГУ, 999) Ответ: или Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система y y 8 ( ) y имеет единственное решение (МГУ, 7) Ответ: ; () Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система y 5 y 5y y имеет единственное решение (МГУ, 987) Ответ: Найдите все значения а, при которых система y y имеет только одно решение (МГУ, 966) Ответ: 5 Найдите все значения а и b, при которых система yz z yz z b y z имеет только одно решение (МГУ, 966) Ответ: b 6 () Найдите все значения а, при каждом из которых система 7 y () 9y имеет ровно четыре различных решения (МГУ, 986) Ответ: ; 7 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств y y имеет единственное решение (МГУ, 98) Ответ: 8 8 () Найдите все значения p, при каждом из которых найдется q такое, что система y y q p имеет единственное решение Ответ: p, p 9 () Найдите все значения p, при каждом из которых для любого q система y y q p имеет решения Ответ: p Функции 9

10 () Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции f ( ) лежит на интервале ( ;) Ответ: ( 5;) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых множество значений функции p f ( ) содержит полуинтервал 5 7 ; Определите при каждом таком р множество значений функции f () (МГУ, 999) Ответ: p 9; ; Найдите все действительные значения с, для которых все числа из области значений функции c f ( ) принадлежат интервалу ( ;) (МГУ, 998) Ответ: ; 6 5 () Найдите все значения а, при каждом из которых функция f ( ) принимает ) только неотрицательные значения; ) как положительные, так и отрицательные значения Ответ: ) ; ) 5 Найдите значения а, при которых наибольшее значение функции f ( ) (5 ) на отрезке с концами в точках и минимально Укажите это значение (МГУ, 6) Ответ: 5; 6 () Найдите все такие значения а, для которых наименьшее значение функции ( ) ( ) меньше Ответ: ; 7 () Найдите все такие а, что наименьшее значение функции f ( ) меньше Ответ: ( ; ) (;) 8 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функция sin f ( ) принимает все значения из sin отрезка ; (МГУ, 5) Ответ: Функционально-графические методы Координатная плоскость хоу Параллельный перенос (вдоль оси у) При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно три корня? Ответ:, 5 или () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три различных решений Ответ: ;,5 () Найдите все значения а, при каждом из которых функция f ( ) имеет ровно три нуля функции Ответ: ;,5 () Найдите все значения а, при каждом из которых функция f ( ) имеет две различных точки перемены знака Ответ: ; 5 Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 5 имеет ровно три различные решения Для каждого полученного значения а найдите все эти решения Ответ: при решения,5; ; ; при 6 решения ;,5; 8 6 () Найдите все значения, при каждом из которых график функции f ( ) пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках Ответ: (,5;) 7 () Найдите все значения, при каждом из которых график функции f ( ) 5

11 пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках Ответ: ; ; 8 При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Ответ:, 5 или 9 При каких значениях а неравенство имеет решение? Ответ: При каких значениях с уравнение 6 c имеет единственное решение? (МГУ, 7) Ответ: ; Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений y y имеет единственное решение Ответ: Найдите значения параметра а, при y, которых система имеет ровно два y различных решения Ответ: ; При каких значениях параметра а y, система уравнений имеет ровно y три различные решения? Ответ: при Параллельный перенос (вдоль оси х) При каких значениях b уравнение b имеет единственное решение? Ответ: b,75; b () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень Ответ: ; 8 () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень Ответ: ; 8 При каком значении параметра а система уравнений y 5 ( ) y имеет три различных решения? Ответ: 7 5 () Найдите все значения, при каждом из которых решения неравенства образуют отрезок длины 5 9 Ответ:, 6 () Найдите все значения, при каждом из которых решения неравенства образуют отрезок длины Ответ:, 7 () Найдите все значения, при каждом из которых множеством решений неравенства является отрезок 5 Ответ: ( ;) ;5 8 Найдите все значения, при каждом из которых множеством решений неравенства 5 является отрезок 9 Ответ: 8; ( ;) 9 Найдите все значения, при которых уравнение ровно одно решение (МГУ, 99) ; ; 6 8 имеет Ответ: Поворот Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение? Ответ: если,5;, то нет решений; если ; 5 ; - одно решение; при ;5 - два решения Сколько решений в зависимости от параметра b имеет уравнение b?

12 Ответ: нет решений при b ;,5; одно решение при b ;,5 ; ; два решения при b,5; Найдите значения параметра а, при котором уравнение 5 6 имеет ровно три различных решения Ответ: 5 6 Найдите все значения параметра а, при которых уравнение ( ) имеет два различных корня Указать эти корни Ответ: ; ;, 5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 5 ( ) имеет ровно три различных корня (МГУ, ) Ответ: ; 6 При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Найдите это решение Ответ: при уравнение имеет единственное решение, 7 При каких значениях параметра а уравнение b имеет единственное решение? Найдите это решение Ответ: при b уравнение имеет b единственное решение, b 8 Выясните, при каких значениях а уравнение : () а) имеет единственный корень и найти его; б) имеет ровно два корня и найти их; в) имеет бесконечное множество корней Ответ: а), ; б),, 5 ; в) и 9 При каких значениях параметра а уравнение 6 7 имеет единственное решение? Ответ:,5; ; Найдите все значения а, при которых уравнение 9 7 имеет единственное решение Ответ:, 6 При каких значениях параметра а система y y имеет наибольшее число решений? Ответ: ; При каких значениях параметра а уравнение имеет три решения? Ответ: при Определите, при каких значениях параметра b при любых значениях параметра а система уравнений y 5 6 y y b имеет ровно два различных решения ( ; (МГУ, 6) Ответ: ( ; ) Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка ;8 значение выражения log 8 не равно значению выражения ( )log Ответ:, 5 Гомотетия 5 При каких действительных значениях параметра а система y y имеет наибольшее число решений? Ответ: ;6 5 При каких значениях параметра а система y y имеет ровно два решения? Ответ: 5 При каких значениях параметра а система y y имеет решение? Ответ: 5 Сколько решений имеет система уравнений

13 y y в зависимости от значений параметра а? Ответ: если или, то нет решений; если или, то решений четыре; если, то решений восемь 55 Найдите все значения а, при которых система уравнений y 6 6 y 6 y y имеет единственное решение Ответ: 8 6,, Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений 8y 5, y имеет единственное решение, удовлетворяющее условию y Ответ: ;,5 5,5 5; 57 Найдите все значения параметра а, при которых количество корней уравнения (,5 ) равно количеству общих точек линий y и y Ответ:,5;8; 58 При каких значениях а существует единственное решение системы y (МГУ, 8) ( ) ( y )? Ответ: 9; 9 Координатная плоскость аох 6 Уравнения 6 Найдите число различных решений уравнения в зависимости от параметра а Ответ: нет решений, если ; два решения, если или ; три решения, если ; четыре решения, если 6 () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три различных корня Ответ: 6 () Найдите все значения, при каждом из которых график функции f ( ) пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках Ответ: (,5;) 6 () Найдите все значения, при каждом из которых график функции f ( ) 5 пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках Ответ: ; ; 65 () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три корня Ответ: 5 66 Найдите все значения параметра с, при которых уравнение c имеет ровно три различных решения (МГУ, 99) 9 Ответ: ; 67 Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно три различных корня Ответ:, 5 или 68 При каких значениях а число корней уравнения 8 7 равно а? Ответ: 7 69 При каких значениях а уравнение log log имеет четыре различных корня? Ответ: ; 8 6 Найдите все значения p, при которых уравнение 7 cos p tg имеет хотя бы один корень Ответ: ;9

14 6 При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Ответ:, 5 или 7 Неравенства (метод областей) 7 Найдите все значения а, при которых неравенство log выполняется для всех значений х (МГУ, 5) Ответ: ; 7 Найдите все значения а, при которых неравенство ( )( ) выполняется при всех х, таких, что Ответ: ; 7 При каких а из неравенства следует неравенство? Ответ: ; ; 7 При каких значениях параметра а система неравенств имеет единственное решение? Ответ: или 75 Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка ; выполняется неравенство Ответ:,5; 76 () Найдите все значения, при каждом из которых общие решения неравенств и образуют на числовой оси отрезок длины единица Ответ: или 77 Найдите все значения параметра р, при каждом из которых множество всех решений неравенства ( p )( p ) не содержит ни одного решения неравенства (МГУ, 987) Ответ: p, p 78 () Найдите все значения, при каждом из которых общие решения неравенств y и y являются решениями неравенства y 9 Ответ: 8 Указания и решения Линейные уравнения При каких значениях параметра b уравнение 9 b b b b b не имеет корней? (МГУ, ) Решение Данное уравнение является линейным относительно неизвестной х b 9 b b b Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда b 9 b b b Первое уравнение этой системы имеет два корня: b, b Подстановка показывает, что второму условию удовлетворяет только b Ответ: b Квадратные уравнения () Найдите все такие целые а и b, для которых один из корней уравнения b равен Решение Подставим в уравнение Получим равенство ( b) (6 b), которое выполняется (а и b целые) при условии b 6 b Решая систему уравнений, находим 9, b При этих значениях квадратное уравнение имеет корни Ответ: 9, b При каких значениях параметра а уравнение ( ) имеет два действительных различных корня? (МГУ, 98)

15 Решение ) Если те, то получаем уравнение, которое имеет один корень ) При получаем квадратное уравнение, которое имеет два действительных различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен: D ( )( ) Решая это неравенство при условии, получаем ответ Ответ: ; ; 6 6 При каких значениях параметра а уравнение 5 не имеет решений? (МГУ, ) Решение Квадратное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда его 9 дискриминант отрицателен: D 7 5 Решая это неравенство методом интервалов, получаем ответ Замечание При 5 дробь не определена, поэтому и уравнение не определено, и не имеет смысла говорить о решениях уравнения 9 Ответ: ( ; 5) ; 7 5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых среди корней уравнения ( ) имеется ровно один отрицательный (МГУ, 7) Решение ) Пусть, тогда получаем линейное уравнение, которое имеет единственный отрицательный корень ) При получаем квадратное уравнение, дискриминант которого равен D ( ) ( ) 6 а) Уравнение имеет ровно один корень, те D Отсюда Так как корень, то остается б) Уравнение имеет корни разных знаков В этом случае свободный член приведенного уравнения отрицателен (дискриминант будет положительным): в) Один из корней равен нулю, те Квадратное уравнение принимает вид, и имеет корни, Значение не удовлетворяет условию задачи Ответ: ; 6 () Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 5 5 ( )( ) имеет два различных отрицательных корня Решение Используя теорему Виета, запишем условия существования двух различных отрицательных корней для квадратного уравнения: D Рассмотрим первые два неравенства ( )( ) 5 5 ( )( ) ( )( ) ( 5) ( 5) Теперь рассмотрим дискриминант с учетом 5 5 ( )( ), ( )( ), 5, 69, Так как, то получаем Ответ: ( ; ) 8 При каких значениях параметра а сумма S квадратов корней уравнения является наибольшей? Чему равна эта сумма? (МГУ, 99) 5

16 Указание Сумма квадратов корней данного уравнения в силу теоремы Виета равна 8 6, причем значение а должно удовлетворять условию существованию корней, те D Отсюда значения ; Далее рассмотреть линейную (убывающую) функцию f ( ) 8 6 на отрезке ; Ответ:, S 8 9 Найдите все значения а, при которых уравнение ( 7) 5 имеет в точности один корень на отрезке ; (МФТИ, ) Решение ) Пусть, тогда получаем линейное уравнение 7 5, которое имеет 5 единственный корень, причем 7 5 ; 7 ) При получаем квадратное уравнение, дискриминант которого равен D ( 7) ( 5) 6 9 а) Уравнение имеет ровно один корень, те 9 D Отсюда Так как корень , то значение не 9 6 удовлетворяет условию задачи б) Квадратное уравнение имеет один корень внутри интервала ( m ; M ), а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда f ( m) f ( M ), где f ( ) ( 7) 5 Имеем неравенство f ( ) f (), 5 ( )( 5), При этом в) Пусть f ( ), те Квадратное уравнение принимает вид, и имеет корни, 8, которые принадлежат отрезку ; Значение не удовлетворяет условию задачи 6 5 г) Пусть f ( ), те 5 Квадратное уравнение принимает вид 8 5 8, и имеет корни, 5 5 Значение удовлетворяет условию задачи С учетом первого случая окончательно получаем ответ 5 Ответ: ; () Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все корни уравнения ( ) удовлетворяют неравенству Решение ) Пусть, те, тогда получаем линейное уравнение, которое имеет единственный корень, причем ; Значение удовлетворяет условию задачи ) При получаем квадратное уравнение, дискриминант которого равен ( D ) (t ) t (t ), где t Тогда найдем корни ( t ) (t ) t, 6 (t ) (t ) Теперь поставим 6 условия для корней: Решите систему самостоятельно Ответ: ; 5 Найдите все значения параметра, при каждом из которых расстояние между корнями уравнения ( ) больше (МГУ, ) Решение ) Пусть, тогда получаем линейное уравнение, которое имеет единственный корень ) При получаем квадратное уравнение, D для которого ( ) ( )

17 При условии, те ( ) имеем ( ) два корня и ( ) Согласно условию задачи,,,, ( ),, С учетом условий ( ) получаем ответ Ответ: ; ; Найдите все значения, при каждом из которых уравнения ( ) 6 и имеют общий корень (МГУ, ) Решение Вычитая из первого уравнения второе, получаем ( ) (6 ) Отсюда или ( ) (6 ) Оба уравнения не могут иметь корень Значение не удовлетворяет равенству ( ) (6 ) При находим корень 6 Это значение подставим во второе исходное уравнение: 6 6, Отсюда имеем,, 9 При каждом из этих значений оба исходных уравнения имеют общий корень (покажите) Ответ: ;; 9 () Найдите все значения, при каждом из которых система y y имеет ровно два решения Решение Исключая параметр из системы, получаем уравнение ( y )( y ) Отсюда y или y Пусть y, тогда из системы имеем квадратное уравнение, дискриминант которого равен D 7 Если y, то из системы имеем квадратное уравнение, которое имеет дискриминант D Рассмотрим разные случаи для дискриминантов D ) D D ) D Система неравенств не имеет решений D ) D Система не имеет решений D ) D Первое уравнение имеет корни и Второе уравнение имеет один корень D 5) D Система не имеет решений D 6) D В этом случае выше приведенные квадратные уравнения не имеют общих корней (докажите, приравнивая корни) Тогда исходная система имеет четыре различных решения 7) Случай, те, приводит к значениям y и Тогда получаем одно уравнение, которое имеет корни и Ответ: Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений y y y y имеет единственное решение (МГУ, 988) Решение Второе уравнение исходной системы можно переписать в виде y ( ) ( ),

18 откуда следует, что эта система ни при каком значении параметра а не имеет решений с условием Поэтому исходная система уравнений равносильна системе ( ) y y ( ) ( 9) 8 y Найдем все значения параметра а, при которых первое уравнение последней системы имеет решение Для таких значений а должно выполняться равенство ( )( ) ( 9)( ) 8, откуда находим, что При первое уравнение системы перепишется в виде 8 Это уравнение имеет два корня и Второму из них соответствует значение y Для соответствующего значения у не существует Итак, при исходная система имеет единственное решение ;, и это значение а отвечает условию задачи При первое уравнение системы перепишется в виде 7 8 Оно имеет единственное решение 8, соответствующее значение у равно 7 6 Итак, при исходная система уравнений 8 имеет единственное решение ;, и это 7 6 значение а отвечает условию задачи При первое уравнение системы есть квадратное уравнение с дискриминантом D ( 9) 8 ( ) 8 7 Если D, то первое уравнение системы, а значит, и исходная система, не имеют решений Если D и, то первое уравнение системы имеет два решения, отличных от ( ) 8 Следовательно, система имеет два решения Эти значения а не удовлетворяют условию задачи Равенство D 8 7 выполняется 7 для Оба эти значения отличны 7 от Следовательно, при первое уравнение системы, а вместе с ним и система, имеют по одному решению 7 Ответ: ; ; Уравнения высшей степени Число - один из корней уравнения b, где Найдите действительные корни уравнения b (МГУ, 99) Указание Для корней биквадратного уравнения получаем, что либо, либо Ответ: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) ( 5) ( ) 8 имеет а) единственное решение; б) ровно два различных решения (МГУ, ) Решение Обозначим y f ( ) ( ), тогда уравнение принимает вид g( y ( 5) y 8 Квадратный трехчлен f ( ) ( )( ) принимает в одной точке значение f ( ), а остальные свои значения (большие ) по два раза Поэтому уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда: 6 ( 5) 8 g( ) ) 5 y в, а ровно два корня в следующих случаях:

19 ) y y ( 5) ( 5 D y в 8 ) ) y y g ( ) Ответ: а) ; б) ; ; ; При каких значениях параметра уравнение имеет ровно различных решения? (МГУ, 996) Указание Положив u, приводим уравнение к виду u, что равносильно совокупности двух уравнений u, u, или совокупности ( ) ( ) Совокупность двух квадратных уравнений может иметь три корня в трех случаях: когда одно из них имеет два корня, а другое один, не совпадающий ни с одним из корней первого; или когда каждое из них имеет два корня, причем один из них является общим для обоих уравнений 5 Ответ: ; Найдите все значения параметра, при которых уравнение ( ) ( ) ( ) на промежутке ( ; ) имеет не менее двух корней (МГУ, 8) Решение Приведем уравнение к виду ( ) ( ) y ( ) y, где функция y f ( ) возрастает на промежутке ( ; ) от до f ( ) Поэтому исходное уравнении имеет не менее двух корней на промежутке ( ; ) тогда и только тогда, когда полученное уравнение имеет два корня y, ( ; ), те когда ( ) ( ), Ответ: 6 Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений ( ) y y ( ) имеет не более двух решений (МГУ, ) Указание Преобразуем данную систему уравнений: y y ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) Второе уравнение последней системы приводит к рассмотрению трех случаев а) Тогда система имеет бесконечно много решений вида (t;), где t R Таким образом, значение не является искомым б) Система имеет решение ( ;) при любом а в) Третий вариант сводится к системе y ( ) ( ) y ( ) Заметим, что не удовлетворяет второму уравнению ни при каком значении параметра а Поэтому искомыми являются те и только те значения а, при которых система в) имеет не более одного решения У этой системы уравнений при есть единственное решение ( ; ) Если же ( ), то квадратное (а с ним и система) имеет не более одного решения при условии, что дискриминант D, что равносильно Ответ: ; ; 7 При каких значениях параметра четыре корня уравнения ( ) ( ) 9

20 являются последовательными членами арифметической прогрессии? (МГУ, 99) Указание Корни уравнения p q образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда уравнение t pt q имеет два различных положительных корня t t, причем числа t, t, t, t образуют арифметическую прогрессию, те при выполнении условий t t, t t t, t t, иначе говоря, при t, p q 9t p 9 p 9 p t, t Наконец, q В нашем случае p, q ( ), так что а удовлетворяет уравнению ( ) : ( ), имеющему корни 9 7; 7 9 Ответ: 7; 7 8 Найдите все значения параметра, при которых уравнение 5 5 5( ) ( 7) имеет ровно 5 различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию (МГУ, ) Указание Один из корней данного уравнения Остальные корни находятся из биквадратного уравнения 5 5( ) ( 7) Это равнение имеет различных решения тогда и только тогда, когда полученное из него заменой t квадратное уравнение 5t 5( ) t ( 7) имеет два различных положительных корня Пусть t t - эти корни Из условия следует равенство t t, те t По t t теореме Виета t t, tt (7 ) 5 Осталось решить полученную систему Ответ: 9 Определите все значения параметра, при каждом из которых три различных корня уравнения ( 9) 8 6 образуют геометрическую прогрессию Найдите эти корни (МГУ, ) Указание Если,, корни уравнения третьей степени, то по теореме Виета 6, а так как, то 6 Ответ: 7;,, 8 При каких значениях параметра система ( ) y 9 8 y имеет ровно три различных решения? (МГУ, 998) Указание Пусть z Рассмотрим уравнение z ( )( ) z ( )( )( )( ) Система имеет три решения, если это уравнение имеет корни z, z Но тогда ( )( )( )( ) ; ( )( ) Ответ: Уравнения с модулем При каких значениях а уравнение ( ) имеет четыре различных решения? (МГУ, 99) Указание Уравнение имеет четыре различных корня относительно х, если это же уравнение как квадратное относительно y имеет два различных положительных корня, те когда D 8 и Ответ: 8 При каких значениях параметра а уравнение 9 5 не имеет решений? При каких значениях параметра а все решения этого уравнения принадлежат отрезку ;6? (МГУ, ) Указание Функция f ( ) , если 9 8 5, если 9 линейно убывает на промежутке ; 9, линейно возрастает на промежутке 9 ; и имеет в точке 9а минимальное значение f (9) 9 5 Уравнение f ( ) не имеет решений тогда и только тогда, когда 5 f ( 9) 9 5 7

21 Уравнение f ( ) имеет решения, причем все они принадлежат отрезку ;6 тогда и только тогда, когда 9 6 f (9) f ( ) f (6) Решите самостоятельно эту систему Ответ: ;7; ; 7 () Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 9 имеет хотя бы один корень (МГУ, 5) Решение Запишем уравнение в виде 9 Непрерывная функция f ( ) 9 : ) неограниченно возрастает при, так как при любом раскрытии модулей имеем f ( ) 9 9 k m, где k 9 ; ) убывает при, так как при любом раскрытии модулей имеем f ( ) 9 9 k m, где k 9 9 Следовательно, - точка минимума функции f, а область ее значений есть множество f ( ); Поэтому уравнение будет иметь корень тогда и только тогда, когда f ( ) Решим это неравенство: ; ; 7; 7 7; 8 6 Ответ: 8 6 Предполагаемые критерии: Содержание критерия Обоснованно получен правильный ответ Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован (например, не указано явно, что функция принимает все Баллы значения из множества f ();) или решение содержит ошибки Верно рассмотрены отдельные случаи расположения, в результате чего получена часть верного ответа (возможно, другие случаи не рассмотрены или в них допущены ошибки) Верно рассмотрены отдельные случаи, но не найдена никакая часть верного ответа Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 7 Найдите все значения параметра с, при которых уравнение c имеет ровно три различных решения (МГУ, 99) Указание При и получаем уравнение c, имеющее один корень, принадлежащий указанному множеству при c, и два корня при c При приходим к уравнению c, имеющему в указанном промежутке один корень при c не имеющему корней, принадлежащих множеству, при остальных с При получаем уравнение 9 c Его корни в нужном 9 промежутке: при c - один корень и при 9 c - два корня, при остальных с все корн вне множества Осталось подвести итог 9 Ответ: ; 8 Найдите все значения параметра k, при которых уравнение k k k а) не имеет решений; б) имеет конечное непустое множество решений (МГУ, 99) Решение Уравнение равносильно совокупности четырех систем

22 Ответ: а) ;); ( ; ) ; 9 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все решения уравнения принадлежат отрезку ; (МГУ, 98) Решение На множестве исходное уравнение можно переписать в виде ( ), откуда Число лежит в области тогда и только тогда, когда выполняется неравенство, те если На множестве исходное уравнение можно переписать в виде ( ), откуда Число лежит в области в случае, если, те если Итак, при исходное уравнение имеет два решения и, при ( б) единственное решение и при решений не имеет Найдем теперь все значения, такие, что и удовлетворяют условиям и Решая эти неравенства получаем, что при оба корня принадлежат отрезку ; При корень также принадлежит отрезку ; Ответ: При каких значениях b уравнение (b ) b b имеет два различных решения? Решение Пусть t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях b квадратное уравнение t (b ) t b b имеет один положительный корень? По теореме, обратной теореме Виета найдем корни квадратного уравнения t b, t b Возможны три случая t b ) b t b t b ) Нет решений t b t t b b ) b t b Ответ: b ; b () Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) имеет единственный корень Решение ) Пусть, тогда уравнение перепишем в виде ( ) Если, то уравнение имеет один корень, причем выполняется условие Если, то уравнение имеет два корня или Подставим значение второго корня в неравенство, получим Корни совпадают при Таким образом, в первом случае исходное уравнение имеет единственный корень при

23 или ; два корня при ; ; ; ; не имеет решений при ) Пусть, тогда уравнение примет вид ( ) Чтобы исходное уравнение имело единственный корень (в совокупности из двух случаев), во втором случае достаточно проверить значения, и Значение не удовлетворяет условию, значит, удовлетворяет условию задачи При получаем квадратное уравнение, которое не имеет корней Значит, также удовлетворяет условию задачи Квадратное уравнение ( ) имеет дискриминант D 9 Функция f ( ) 9 при возрастает и принимает положительные значения Значит, исходное уравнение при имеет два корня Ответ: ; Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение? Решение Рассмотрим два случая ) Пусть, те Тогда данное уравнение принимает вид:, ( ) Последнее уравнение при решений не имеет, а при имеет единственный корень Найдем те значения параметра а, при которых для корня выполняется условие :,5 Следовательно, в первом случае исходное уравнение имеет одно решение при всех значениях ;,5 ; и не имеет решений при,5; ) Если, то будем иметь уравнение или ( ) При последнее уравнение не имеет корней, а при - единственное решение, которое должно удовлетворять условию :,5 Таким образом, во втором случае заданное уравнение при всех значениях (;,5) имеет одно решение, а при ;,5; решений не имеет Сравнивая результаты, найденные в двух случаях, получаем ответ Ответ: если,5; ; 5 ; ;5 - два решения, то нет решений; если - одно решение; при При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Найдите это решение Решение При исходное уравнение принимает вид, или ( ) Это уравнение не имеет корней при, а при получаем Выясним, при каких значениях а выполняется неравенство Итак, на множестве ; значений переменного х исходное уравнение при не имеет решений; при имеет единственное решение Если, то заданное уравнение принимает вид, или ( ) Это уравнение не имеет решений при, а при получаем Проверяем условие : Таким образом, на множестве ; значений переменного х исходное уравнение при не имеет решений; при имеет единственное решение Рассматривая в целом результаты двух случаев, получаем, что исходное уравнение при не имеет решений; при имеет

24 единственное решение ; при имеет два решения и Ответ: при уравнение имеет единственное решение, 5 Дробно-рациональные уравнения 5 При каких значениях параметра а ( ) уравнение имеет 6 5 единственное решение? Решение При условии и 5 имеем и (обратная теорема Виета) Для выполнения условия задачи необходимо рассмотреть пять случаев ) 5 ) 5 Нет решений 5 ) 5 ) 5 Нет решений 5 5) 5 Нет решений Ответ: или 6 Иррациональные уравнения 6 При каких значениях b уравнение b имеет единственное решение? Решение Имеем b 6 9, b 5 9 b, Квадратное уравнение 5 9 b имеет дискриминант D b ) D при b,75 В этом случае квадратное уравнение 5 6,5 имеет один корень,5, который удовлетворяет условию ) Пусть D, те b,75 Тогда квадратное уравнение имеет два действительных различных корня Чтобы заданное уравнение имело один корень, необходимо рассмотреть два случая а) Один из корней, а другой Подставим значение в квадратное уравнение, получим b Соответствующее уравнение 5 6 имеет корни, Для первого корня не выполняется условие б) В случае, когда, значение квадратного трехчлена f ( ) 5 9 b при отрицательно, так как f ( ) на промежутке ; Получаем f ( ) b, b Ответ: b,75; b 6 При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Решение Пусть t, где t Отсюда t Уравнение t имеет один корень, если t Получаем квадратное уравнение t t, дискриминант которого равен D 5 Если D, те, 5, то квадратное уравнение t t,5 или ( t,5) имеет единственный корень t,5 Следовательно, исходное уравнение имеет один корень при, 5 ) Если D, те, 5, то квадратное уравнение имеет два корня а) Корни будут разных знаков при условии t t, те из них только один положительный корень Решая систему,5 неравенств получим условие,, при котором исходное уравнение имеет один корень б) Хотя бы один из корней равен нулю, в этом случае, Квадратное уравнение

25 имеет два неотрицательных корня t и t Значит, исходное уравнение также имеет два корня Ответ:,5; 6 При каких а уравнение имеет единственное решение? Решение Пусть t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное уравнение t t имеет один неотрицательный корень? Возможны три случая ) Если квадратное уравнение имеет один корень, то он будет равен t Этот корень не удовлетворяет условию задачи ) Корни разных знаков Необходимое и достаточное условие: t t 5,5 ) Один из корней равен нулю, другой отрицательный В этом случае необходимо выполнение условия Отсюда или 5,5 Для этих значений один корень равен нулю, другой равен (,5) Замечание В данной задаче не потребовалось рассматривать дискриминант Ответ: ;5,5 6 Для каждого значения а из промежутка ( ;) найдите число различных решений уравнения 5 (МГУ, 7) Указание Отметим, что - корень данного уравнения при всех ; Корни квадратного трехчлена, должны удовлетворять условию Учитывая еще возможные совпадения, получаем ответ Ответ: если, то одно решение; если, то два решения; если, то три решения 65 () При всех а решите уравнение Решение Уравнение равносильно системе ( ) D,5,5 (один корень) Отсюда следует, что при исходное уравнение корней не имеет Ответ: если, то решений нет; если, то 7 Показательные уравнения 7 При каких значениях параметра а уравнение 5 имеет единственное решение? Решение Пусть t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное уравнение t (5 ) t имеет один положительный корень? По теореме, обратной теореме Виета найдем корни квадратного уравнения t, t Возможны следующие случаи t ) t t ) Нет решений t t t ) t ) Один из корней равен нулю, другой положительный В этом случае tt t t 5 Ответ: ; 5

26 7 При каких значениях параметра а уравнение ( ) 6 ( ) 9 имеет единственное решение? (МГУ, 5) Указание Перейдем к уравнению ( ) t t ( ), где t Зависимость t от х строго монотонна, поэтому каждому t соответствует ровно одно значение х Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное уравнение имеет один положительный корень? 5 Ответ: ; ; 7 Найдите все значениях параметра b, при которых уравнение 9 b 6 b 6 не имеет решения (МГУ, 99) Указание Задача сводится к определению всех b, при которых квадратное уравнение t b 6 t b 6 не имеет положительных корней Ответ: ; 7 При каких значениях параметра а уравнение 6 ( ) имеет три различных корня? (МГУ, 7) Указание Пусть t ( t ), тогда данное уравнение приводится к виду t 6t 8t ( ) t ( ) t t ( ) t t t t t Задача сводится к нахождению трех положительных различных корней из двух квадратных уравнений Самостоятельно рассмотрите возможные случаи Ответ: ; ; ;5 75 При каждом значении параметра а решите уравнение ( ) (МГУ, 985) Решение Обозначив через у, перепишем исходное уравнение в виде y ( ) y Это уравнение имеет два корня y и y Равенство корней достигается при или При получаем y y, и уравнение, которое не имеет решений При получаем y y,, и уравнение которое имеет единственное решение 6 Если,, то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений и При второе уравнение решений не имеет, а первое уравнение имеет решение log При, первое уравнение имеет решение log, второе уравнение - log Ответ: при решений нет; при единственное решение log ; при единственное решение ; при, два решения log, log 8 Логарифмические уравнения 8 При каких значениях а уравнение log log имеет четыре различных корня? Решение Пусть log t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное уравнение t t имеет два различных положительных корня? Возможен один случай 8 D tt t t 8 Ответ: ; 8 8 Найдите все значения параметра а, при которых уравнение log 5 5 log 5 имеет единственное решение (МФТИ, ) Решение Обозначим log 5 q, 5 t Тогда получаем t t q Исходное уравнение имеет единственное решение в двух случаях ) Если D q, те q,, 5 t ) Если D q и квадратное уравнение имеет один положительный корень При q это уравнение имеет два различных корня, причем при q оба корня

27 положительны, так как их сумма равна, а произведение равно q Если же q, то только один корень положителен Следовательно, log 5, те Ответ: ; ; 5 8 Найдите все значения а, при которых система log ( log (7 8 ( ) y 6 имеет ровно два решения (МФТИ, ) Указание Из первого уравнения получаем, что y, причем После подстановки во второе уравнение получаем, что 5 Последнее уравнение должно иметь корня, меньших Ответ: 5 9 Тригонометрические уравнения 9 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 6 9 sin cos 8 ( sin ) не имеет решений (МГУ, 989) Решение Введя обозначение sin t, исходное уравнение перепишем в виде ( ) t 7 6 (*) Теперь задача может быть переформулирована так: найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (*) не имеет корней, принадлежащих промежутку t При уравнение (*) принимает вид 6, и, следовательно, при исходное уравнение не имеет решений При уравнение (*) может быть переписано в виде 7 6 t, ( ) откуда искомые значения параметра а есть решения совокупности неравенств и (**) ( ) ( ) Первое из этих неравенств равносильно неравенству 7 ( ) Множество его решений есть Так как 7 6 ( )( 6) и на множестве имеем ( ), то множество решений второго неравенства совокупности (**) при условии есть и 6 Объединяя найденные значения а, получаем ответ Ответ: ; 6 9 Для каждого значения а найдите все решения уравнения cos sin ( ) sin, принадлежащие промежутку (МГУ, ) Указание Приведите уравнение к виду cos cos ( ) sin Это уравнение равносильно системе cos cos( ) sin Ответ: при n, n Z; при других а решений нет 9 При каких значениях а уравнение cos cos имеет ровно одно решение на промежутке (МГУ, 999) Указание Уравнение равносильно совокупности cos, cos Ответ: ; 9 При каких значениях параметра а sin log (sin ) уравнение имеет ровно два корня на отрезке (МГУ, ) Указание Поскольку функция 5 ;? y sin на 5 отрезке ; каждое значение y принимает в двух точках, а y лишь при, то исходное уравнение имеет корня в следующих случаях: log, те при ; log, ;, log ; ; Ответ:

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов АГ, г Брянск,

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров Неравенства с параметром на едином государственном экзамене ВВ Сильвестров Задания единого государственного экзамена (ЕГЭ) непременно содержат задачи с параметрами Планом экзаменационной работы 008 года

Подробнее

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ;

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ; C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Линейные уравнения и неравенства с параметрами и сводящиеся к ним

Линейные уравнения и неравенства с параметрами и сводящиеся к ним = n Задания к программе учебного курса «Задачи с параметрами» для учащихся класса социально-экономического профиля Учитель Тихонова АВ, школа 7 Линейные уравнения и неравенства с параметрами и сводящиеся

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

Симметрия в задачах с параметрами И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ СК Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ Учебно-методическое пособие для учителей математики, студентов математических специальностей педагогических вузов, абитуриентов ОРЕЛ 0 Кожухов СК Уравнения

Подробнее

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2 Вебинар 5 Тема: Повторение Подготовка к ЕГЭ (задание 8) Задание 8 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a a 0 имеет или семь или восемь решений Пусть, тогда t t Исходное уравнение

Подробнее

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 00 Корянов А.Г. Задания С г. Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: akoryanov@mail.ru УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) Линейные

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 1

Параметры и квадратный трёхчлен. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 1 Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax + bx + c = 0. 1 Если a 0, то уравнение 1 является квадратным. Не забываем,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов А Г г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА г Москва aaprokof@yanderu СОДЕРЖАНИЕ Способы отбора корней в тригонометрических

Подробнее

ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ

ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ Программа вступительного испытания по математике, проводимого Академией самостоятельно для отдельных категорий граждан в соответствии с Правилами приема На вступительном экзамене по математике поступающий

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Общие сведения ЕГЭ Профильный уровень Задание 0 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Дихтярь МБ Уравнение f ( a) x + g( a) x + ϕ ( a) = 0, где f ( a) 0, является

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Корянов АГ, Прокофьев АА Методы решения неравенств с одной переменной МАТЕМАТИКА ЕГЭ типовые задания С Методы решения неравенств с одной переменной Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru Прокофьев АА, г

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 Мы приступаем к изучению уравнений вида ax + bx + c = 0. (1) Если a 0, то уравнение (1) является квадратным.

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических. Отбор корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических. Отбор корней в тригонометрических Корянов АГ, Прокофьев АА Отбор корней в тригонометрических уравнениях МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов АГ, г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА,

Подробнее

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий)

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Корянов АГ, Надежкина НВ Задания В Простейшие уравнения Математика ЕГЭ 0 (система задач из открытого банка заданий) Задания В Простейшие уравнения Материалы подготовили: Корянов А Г (г Брянск); e-mail:

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Методы решения неравенств с одной переменной

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Методы решения неравенств с одной переменной Корянов АГ, Прокофьев АА Методы решения неравенств с одной переменной ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ типовые задания С Методы решения неравенств с одной переменной Корянов Анатолий Георгиевич, методист по математике

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях Корянов АГ, Прокофьев АА Отбор корней в тригонометрических уравнениях 00 ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов Анатолий Георгиевич, методист по математике,

Подробнее

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Системы линейных уравнений с двумя переменными Системы линейных уравнений с двумя переменными Система уравнений вида называется системой линейных уравнений с двумя переменными. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

Уравнения и неравенства с модулем

Уравнения и неравенства с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Уравнения и неравенства с модулем В данной статье мы рассмотрим алгебраические уравнения и неравенства с модулем и изучим основные приёмы избавления от модуля

Подробнее

Инвариантность и задачи с параметрами

Инвариантность и задачи с параметрами Инвариантность и задачи с параметрами Г.И. Фалин, А.И. Фалин МГУ им.м.в.ломоносова http://mech.math.msu.su/ falin 1 Введение В современной математике важную роль играет понятие инвариантности, т.е. неизменности

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ МАТЕМАТИКА Программа «11 класс» 2013-2014 учебный год Часть 1, алгебра и начала анализа Оглавление Глава 1. Содержание курса и контрольных работ...

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи А. И. Козко В. Г. Чирский Задачи с параметром и другие сложные задачи Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 512 ББК 22.141 К59 К59 Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. М.:

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее

Графический способ в задачах с параметром.

Графический способ в задачах с параметром. Графический способ в задачах с параметром. Задачи с одним подвижным ГМТ.. Уравнение вида.. Уравнения вида F(,а)=G().. Найти все значения a, при которых уравнение a имеет единственное решение.. Найти все

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Уравнения и неравенства с параметрами. Работу выполнила ученица 10 класса ГОУ СОШ 448 Бастрыгина Кристина Руководитель: Кноп Л. С.

Уравнения и неравенства с параметрами. Работу выполнила ученица 10 класса ГОУ СОШ 448 Бастрыгина Кристина Руководитель: Кноп Л. С. Уравнения и неравенства с параметрами Работу выполнила ученица класса ГОУ СОШ 8 Бастрыгина Кристина Руководитель: Кноп Л. С. Содержание. Введение. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным...

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ. Задачи, в которых участвуют обратные функции, встречаются в самых различных разделах математики и в ее приложениях.

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ. Задачи, в которых участвуют обратные функции, встречаются в самых различных разделах математики и в ее приложениях. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ Задачи, в которых участвуют обратные функции, встречаются в самых различных разделах математики и в ее приложениях Важную область математики составляют обратные задачи в теории интегральных

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 А.В. Шевкин, avshevkin@mail.ru Аннотация: В статье разобраны различные способы решения ряда заданий с параметром. Ключевые слова: уравнение, неравенство, параметр, функция,

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Показательные уравнения и неравенства Показательные уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина входит в аргумент

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013). Математика Собрание заданий (09 апреля 013) Задачи с параметром-1 Задача 1 (006 г, Тихов МС, Авдонин АА) Найти все значения параметра a, при каждом из которых система 3 x + ( a 4) x + (5 3 a) x + a 0 (1)

Подробнее

Ускользающая парабола

Ускользающая парабола Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи, сводящиеся к квадратичным Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 4 В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи,

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 2

Параметры и квадратный трёхчлен. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

ПРИМЕРНЫЕ ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ, СВЯЗАННЫХ С ЕГЭ

ПРИМЕРНЫЕ ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ, СВЯЗАННЫХ С ЕГЭ 7 г Труды ФОРА ПРИМЕРНЫЕ ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ, СВЯЗАННЫХ С ЕГЭ КС Мамий Адыгейский государственный университет, г Майкоп В работе излагаются примерные образцы решения ряда алгебраически

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Рабочая программа Заочной математической школы. 11 класс (набор 2009 года) Базовый уровень. Занятие 1.

Рабочая программа Заочной математической школы. 11 класс (набор 2009 года) Базовый уровень. Занятие 1. Рабочая программа Заочной математической школы 11 класс (набор 2009 года) Базовый уровень Занятие 1. Алгебраические преобразования. Рациональные дроби 1. Формулы сокращенного умножения. Разложение многочленов

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

квадрат обеих частей уравнения и последующей проверкой. Задача 1 (ИМБО, 2004) Решить уравнение

квадрат обеих частей уравнения и последующей проверкой. Задача 1 (ИМБО, 2004) Решить уравнение Основные методы решения смешанных уравнений Преподаватели математики: Белов А.И. Фадеичева Т.П.. Стандартные методы В вариантах ЕГЭ довольно часто встречаются стандартные иррациональные уравнения f g,

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее