МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011, ЗАДАЧИ С2 (лекция для учителей в издательстве «Бином» ) Замечания и пожелания направляйте по адресу:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011, ЗАДАЧИ С2 (лекция для учителей в издательстве «Бином» ) Замечания и пожелания направляйте по адресу:"

Транскрипт

1 МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0, ЗАДАЧИ С (лекция для учителей в издательстве «Бином» 000) Замечания и пожелания направляйте по адресу: Различные методы решения задач на определение углов в пространстве Задачи С ЕГЭ 00 и 0 посвящены нахождению углов между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями; нахождению расстояний от точки прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми Угол между прямыми в пространстве Углом между двумя пересекающимися прямымиl и l называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых 0 ( l, l ) 90 Углом между двумя скрещивающимися прямыми l и l называется угол между пересекающимися прямыми m и m, соответственно параллельными данным скрещивающимся Для нахождения угла прямыми в пространстве наиболее часто используют следующие методы: ) Поэтапно-вычислительный метод ) Координатно-векторный метод В первом случае строится вспомогательный треугольник, две стороны которого параллельны прямым l и l, и находится косинус угла между этими сторонами по формуле b c cos, () b где стороны и треугольника параллельны соответственно l и l Во втором способе вводится система координат и находится косинус угла между прямыми l p q и l по формуле cos, которая в координатной форме имеет вид p q p q pq pq cos, () p p p q q q где p { p, p, p} и q { q, q, q} векторы, параллельные прямым l и l (иначе их называют направляющие векторы прямых) Пример Дан куб Найдите угол между прямыми и, точки,, середины ребер, и соответственно (рис ) Решение -й способ Пусть ребро куба равно Через точку проведем прямую, параллельную следующим образом В плоскости основания куба построим квадрат (рис ) Пусть точка P середина его стороны Легко доказать, что P Тогда искомый угол (, ) (, P) Корянов А Математика ЕГЭ 00 Задания типа С-С5 Методы решения (на сайте ) Смирнов ВА ЕГЭ 00 Математика Задача С / Под редакцией АЛ Семенова и ИВ Ященко М: МЦНМО, 00 6 стр Бардушкин ВВ, Белов АИ, Ланцева ИА, Прокофьев АА, Фадеичева ТП Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника при решении стереометрических задач Журнал «Математика для школьников», 00, стр 9-, стр -

2 Тогда Рассмотрим треугольник P В соответствии с формулой () P P cos cos( (, P)) P Из прямоугольного треугольника находим ( ) Из прямоугольного треугольника P находим P ( P ) Из прямоугольного треугольника P находим 7 P P () 9 7 cos cos( (, P)) и 6 Рис Рис 6 rccos 6 -й способ Пусть ребро куба равно Введем декартову систему координат, как указано на рис В этой системе координат находим координаты точек: (0, 0, 0),,,, 0,, и, 0, Тогда имеем,, и,, Используя формулу (), получаем Рис cos 6 Ответ rccos 6 Замечание Преимущество второго способа в общем случае состоит в том, что для вычисления угла между скрещивающимися прямыми достаточно знать координаты двух точек на каждой из этих прямых При использовании первого метода для школьника построение вспомогательного треугольника является проблемой I P

3 В случае куба или прямоугольного параллелепипеда система координат вводится очевидным образом В случае правильных пирамид удобно вводить систему координат, как показано на рис O O O E F Рис За начало координат принимается основание высоты пирамиды В этом случае координаты точек, лежащих на ребрах пирамиды и делящих ребро в заданном отношении вычисляются с использованием следующего правила Координаты точки (,, ), делящей отрезок между точками (,, ) и (,, ) в отношении : k, определяются формулами k k k, и () k k k P O Рис 5 Пример Дан правильный тетраэдр, ребро которого равно Найти угол меду прямыми и P, точки,, P, взяты на ребрах,, и соответственно так, что : :, : :, P : P : и Решение Введем декартову систему координат, как указано на рис 5 Точка O основание высоты пирамиды, O Так как вершина проектируется в центр описанной окружности около треугольника, то O равно радиусу этой окружности Высота пирамиды находится из прямоугольного треугольника O и равна Запишем координаты вершин пирамиды,, 0,,, 0, 0,, 0 и 0, 0, Тогда, используя формулы (), имеем,,,,,, P, 0, 0, 0,, Отсюда P,, и 8 8 cos 6 8 9, 8, Используя формулу (), получаем 6 7 9, отсюда rccos 9 9 Ответ rccos 9 9 9

4 Угол между плоскостями Двугранным углом в пространстве называется фигура, образованная двумя полуплоскостями (гранями) с общей граничной прямой (ребром) Мерой двугранного угла называется мера его линейного угла, получающегося при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к его ребру Она равна величине угла между лучами (полупрямыми), по которым эта плоскость пересекает грани двугранного угла (рис 6а) Двугранный угол может быть острым, прямым или тупым, и его величина лежит в пределах от 0 до b c c b Две различные плоскости либо пересекаются, либо параллельны Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0 Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла (рис 6б) Если же пересекающиеся плоскости не перпендикулярны, то величина угла между ними определяется как мéньшая из величин двугранных углов, образованных этими плоскостями Угол между плоскостями лежит в пределах от 0 до 90 Для нахождения угла между пересекающимися плоскостями наиболее часто используют следующие методы: ) Поэтапно-вычислительный метод ) Координатно-векторный метод В первом случае задача сводится к построению линейного угла двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями и, и последующему его вычислению с помощью вспомогательного треугольника с применением теоремы косинусов Во втором способе задача сводится к нахождению угла между векторами нормалей плоскостей n { p; q; r } и n { p; q; r } по формуле: n n p p q q r r cos (, ) () n n p q r p q r Пример В кубе найдите угол между плоскостями сечений и Решение -й способ Пусть ребро куба равно Прямая Рис 7 Рис 6а линия пересечения плоскостей сечений и, так как и их общие точки (рис 7) В прямоугольных треугольниках и проведём высоты к гипотенузе из точек и соответственно Поскольку треугольники и равны, то эти высоты «сойдутся» в одной точке Следовательно, линейный угол двугранного угла Поскольку прямоугольные треугольники и равны, то равны и высоты и, опущенные на гипотенузу Рис 6б

5 Длины указанных высот можно найти, например, через площадь любого из этих треугольников: Далее, рассмотрим равнобедренный треугольник В нём Найдём угол, воспользовавшись теоремой косинусов для стороны : cos 0,5 Отсюда Следовательно, искомый угол равен Ответ: Прежде чем решать вторым способом, отметим следующее Вектор нормали плоскости любой вектор, перпендикулярный этой плоскости Если плоскость задана уравнением p q r d 0, то ее векторами их нормали имеет координаты n { p; q; r } Для нахождения вектора нормали достаточно знать координаты трех точек плоскости,, P, не лежащих на одной прямой В этом случае находим координаты двух векторов плоскости { ; ; } и b P { b ; b; b } Предположим, что вектор с координатами n { p; q; r} (здесь p, q, r неизвестные числа, которые нужно найти) перпендикулярен любому вектору плоскости, те и b в том числе Его координаты ищутся из условий равенства нулю скалярных произведений n с векторами и b из следующей системы уравнений: n 0, p q r 0, n b 0; b p bq br 0 -й способ Пусть ребро куба равно Найдем вектор нормали плоскости Рас- смотрим два вектора этой плоскости {0,, } и {, 0, 0} (рис 8) Пусть n { p ; q ; r } Получаем систему n Рис 8 n 0, n 0 0 p q p 0 q r 0 r 0, p 0, q r 0; Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости, бесконечно много Выберем из данного множества ненулевой вектор n, положив r Тогда n {0,, } Аналогично получим, что n {, 0, } 0 0 Тогда по формуле () получаем cos, те 0 0 Замечание Преимущество второго способа в общем случае состоит в том, что для вычисления угла между пересекающимися плоскостями не обязательно строить линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями, а достаточно знать для каждой плоскости координаты трех точек лежащей в ней Так, например, в приведенной ниже задаче построение линейного угла не столь очевидно 5

6 Задача (С ЕГЭ 00) В прямоугольном параллелепипеде известны ребра 8, 6, 6 Найдите угол меду плоскостями и Отметим, что пример можно решить, используя тот факт, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям Так на рис 7,, а угол между прямыми и легко находится из равностороннего треугольника Также в качестве примера ниже продемонстрирован фрагмент урока (или точнее слайды, оставшиеся на интерактивной доске после решения задачи школьником) в 0-м классе Пример Все ребра пирамиды S с вершиной S равны между собой Найдите угол между плоскостями S и S, где точка середина ребра Решение Сначала было показано, что данная пирамида правильная Ответ rccos 6

7 Угол между прямой и плоскостью Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой l называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость 0 (, l ) 90 Пусть в пространстве введена декартова система координат, и плоскость задана в этой системе координат уравнением: 0, тогда вектор нормали плоскости n {,, } Пусть задан направляющий вектор прямой l : q { q, q, q} Тогда синус угла между прямой и плоскостью определяется формулой (см рис 9): n q q q q sin cos( (, l)) (5) n q q q q l l n q q Рис 9 n Продолжение следует 7

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: виды задач и методы их решения МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов А Г г Брянск korynov@milru Прокофьев АА

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: виды задач и методы их решения ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов Анатолий Георгиевич методист по математике

Подробнее

ЕГЭ Математика Задача 16

ЕГЭ Математика Задача 16 ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ В. А. Смирнов ЕГЭ 05. Математика Задача 6 Геометрия. Стереометрия Под редакцией И. В. Ященко Электронное издание Москва Издательство МЦНМО 05 УДК 373:5 ББК.я7 С50 Смирнов В. А. ЕГЭ 05.

Подробнее

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК АТЕАТИКА, класс Ответы и критерии, Январь 0 ОТВЕТЫ Вариант/ задания В В В В4 В5 В6 В7 С,5 0 4,5 940 0-5 4 4600 4,5 7 0,65 4,8 50 0 98 0,,4 4 4,5 0,5 4 7,5 5 96 7,5 950 6,5 90 6 97,8 45 0,5 500-0,5 455

Подробнее

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми И. В. Яковлев Материалы по математике thus.ru Угол между скрещивающимися прямыми Скрещивающиеся прямые не пересекаются. Можно ли в таком случае говорить об угле между ними? Оказывается, можно. Угол между

Подробнее

ФДП МАТЕМАТИКА. ЕГЭ 2013

ФДП МАТЕМАТИКА. ЕГЭ 2013 Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: типы задач и методы их решения ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Многогранники: типы задач и методы их решения (типовые задания С) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор

Подробнее

Использование метода координат при решении стереометрических задач

Использование метода координат при решении стереометрических задач Использование метода координат при решении стереометрических задач алгоритм решения задач методом координат. Ввести прямоугольную систему координат (выбор зависит от объекта).. Выписать координаты всех

Подробнее

ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ. УГОЛ ДВУГРАННЫЙ

ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ. УГОЛ ДВУГРАННЫЙ ВИРыжик ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ УГОЛ ДВУГРАННЫЙ Окончание Начало см в и 3 за 009 г Использование теоремы синусов для трехгранного угла при вычислении угла между плоскостями Настала очередь поработать этой теореме,

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , ,1 0, ,5 0, ,4 2 0,875 2

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , ,1 0, ,5 0, ,4 2 0,875 2 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Декабрь 0 ариант/ задания ОТЕТЫ 6 7 9,7 0, 0,8 0 90 6 0, 0, 00 80 -, 8 0,6 0,9 0, 0, 6 0, 0, 6 6 0 6 00-8, 0,87 7 9, 0,9-6 0, 8 0 -, 0, 8 9 8 00 700 -, 7, 0,9 0 6 0,9

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ 1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ 1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 0- КЛАССЫ Рабочая программа учебного курса «Геометрия», 0- классы составлена в соответствии федеральным компонентом государственного стандарта общего образования

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД. Координатно- векторный метод решения заданий класса С2

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД. Координатно- векторный метод решения заданий класса С2 АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД Координатно- векторный метод решения заданий класса С2 СОДЕРЖАНИЕ 1 2 3 Некоторые факты Формулы, решающие за тебя Примеры и что порешать НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ Далеко не все задания удобно

Подробнее

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , , ,5 0, ,4 2 0, , ,2

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , , ,5 0, ,4 2 0, , ,2 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Декабрь 0 ариант/ задания ОТЕТЫ 6 7 6 00-0, 0 0, 0, 6 0, 0, 0 6 00-8, 0,87 0,9 0, 00,,6-0, 6 6 0,9 7, 0 0, 0, 0 7 00 80 -, 8 0,6 8, 00 7 9 0, 6 8 6 9 9,7 0, 0,8 0 8

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

Примеры решения задач

Примеры решения задач И. В. Яковлев Материалы по математике athus.ru Расстояние от точки до плоскости Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости это длина перпендикуляра, проведённого из точки

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски)

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) п/п Содержание материала Четырехугольники Колво часов сроки приме чание

Подробнее

Многогранники в задаче С2

Многогранники в задаче С2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче С Цель данного пособия помочь школьнику научиться решать задачи С единого госэкзамена по математике.

Подробнее

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ» Бардушкин В.В., Корянов А.Г., Прокофьев А.А.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ» Бардушкин В.В., Корянов А.Г., Прокофьев А.А. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ДВУГРАННЫЙ УГОЛ УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ» Бардушкин ВВ, Корянов АГ, Прокофьев АА Задачи, связанные с вычислением величин двугранных углов и углов между плоскостями, традиционно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Рекомендации по подготовке к выполнению задания 14 (стереометрия) ЕГЭ профильного уровня

Рекомендации по подготовке к выполнению задания 14 (стереометрия) ЕГЭ профильного уровня НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «Московский институт электронной техники» Зеленоград 28 декабря 2017 Рекомендации по подготовке к выполнению задания 14 (стереометрия) ЕГЭ профильного уровня

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

ЕГЭ Математика. Задача B9. Рабочая тетрадь

ЕГЭ Математика. Задача B9. Рабочая тетрадь ЕГЭ 2010. Математика. Задача B9. Рабочая тетрадь Смирнов В.А. (под редакцией А. Л. Семенова и И.В.Ященко) М.: Издательство МЦНМО; 2010, 48 стр. Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 2010.Математика»

Подробнее

А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ КЛАССЫ»

А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ КЛАССЫ» А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ. 0 КЛАССЫ» Базовый уровень (,5 ч в неделю) Номера пункта Содержание материала Кол-во часов Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий). Аксиомы

Подробнее

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ.

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

Подробнее

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения.

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 8: СТЕРЕОМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: МНОГОГРАННИКИ Куб правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

Подробнее

Глава 8 ВЫЧИСЛЕНИЯ В СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 8 ВЫЧИСЛЕНИЯ В СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 8 ВЫЧИСЛЕНИЯ В СТЕРЕОМЕТРИИ 8.1. РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ 8.1.1. Расстояние от точки до плоскости с известным вектором нормали. Уравнение плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Часто встречается задача

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Пояснительная записка целей: задач

Пояснительная записка целей: задач Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе Федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Подробнее

МОДУЛЬ 10 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.»

МОДУЛЬ 10 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.» МОДУЛЬ 0 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.». Декартовы координаты и векторы в пространстве.. Многогранники. 3. Тела вращения. 4. Объемы многогранников 5. Объемы

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , ,5 3,6-3 0, , , , ,3

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , ,5 3,6-3 0, , , , ,3 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Декабрь 0 ариант/ задания ОТЕТЫ 5 6 7 5 50 -,5 0, 8 5 5 00,5,6-0,5 5 0,95 0, 5 6 0550-0, 0 0, 5 0 6 0600 7 6-0,875 6 00 80-5, 8 0,6 7 0 90 5 65 0,5 0, 8 8 500 7500

Подробнее

«Метод координат в задачах стереометрии» Карпов Роман Викторович Российская Федерация Забайкальский край г. Краснокаменск МАОУ «Средняя

«Метод координат в задачах стереометрии» Карпов Роман Викторович Российская Федерация Забайкальский край г. Краснокаменск МАОУ «Средняя «Метод координат в задачах стереометрии» Карпов Роман Викторович Российская Федерация Забайкальский край г. Краснокаменск МАОУ «Средняя общеобразовательная школа 7» «А» класс Алгебра не что иное как записанная

Подробнее

16+ УДК 372.8:514 ББК Г36

16+ УДК 372.8:514 ББК Г36 УДК 372.8:514 ББК 74.262.21 Г36 16+ Составитель: Т. А. Бурмистрова Г36 Геометрия. Сборник рабочих программ. 10 11 классы. Базовый и углубл. уровни: учеб. пособие для учителей общеобразоват. организаций

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Пирамида

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Пирамида И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Пирамида Пирамида и призма присутствуют в очень многих задачах по стереометрии (в частности, они фигурируют во всех задачах С2, предлагавшихся на ЕГЭ по математике

Подробнее

по геометрии 11 класс.

по геометрии 11 класс. Тематическое планирование учебного материала по геометрии класс. урока пункта Тема. Количество часов. 3-4 5-6 7 8-9 0 39 40 4-43 44 45 46 5Многогранники Двугранный угол Трёхгранный и многогранный углы

Подробнее

Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой.

Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой. Тема 65 «Сфера и шар» Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой. Шаром называется тело, которое состоит из

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Задачи: Место предмета в учебном плане

Задачи: Место предмета в учебном плане 1 Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе: - Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике, утвержденного

Подробнее

Использование векторно-координатного метода при решении стереометрических задач. Проект «Одаренные дети. Математика» 1

Использование векторно-координатного метода при решении стереометрических задач. Проект «Одаренные дети. Математика» 1 Использование векторно-координатного метода при решении стереометрических задач Математика» 1 Программные темы 1) Координатная плоскость (6 кл). 2) Координаты в пространстве (10 кл). 3) Векторы на плоскости

Подробнее

Многогранники в задаче 16

Многогранники в задаче 16 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче 16 Цель данного пособия помочь школьнику научиться решать задачи 16 (в прошлом С) единого госэкзамена

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Элементы сферической геометрии.

Элементы сферической геометрии. Глава 6 Элементы сферической геометрии. План. Открытые сферические круги, открытые и замкнутые подмножества сферы, непрерывные кривые на сфере, линейная связность и компоненты подмножества сферы, сферическая

Подробнее

ПРОГРАММА РЛБОЧАЯ. по геометрии в классе. у ителъ математики. составлена на основе ПрограМма ГеоМетрия. кпассы Профилъный уровень Потоскуев Е в

ПРОГРАММА РЛБОЧАЯ. по геометрии в классе. у ителъ математики. составлена на основе ПрограМма ГеоМетрия. кпассы Профилъный уровень Потоскуев Е в П ШППЦШ ДЛЪНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРДЗОВДТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДСКОГО ОКРУТА ТОЛЬЯТТИ пицейль Принято Педагогическим советом Ппотокол от о г РЛБОЧАЯ ПРОГРАММА по геометрии в классе составлена на основе ПрограМма

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

рис. 1)); D E F E F Рис. 2 имеется произвол в выборе линейного элемента; имеется произвол выбор углового элемента;

рис. 1)); D E F E F Рис. 2 имеется произвол в выборе линейного элемента; имеется произвол выбор углового элемента; МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0, ЗАДАЧИ С4 (лекция для учителей в издательстве «Бином» 0..00) Замечания и пожелания направляйте по адресу: aapokof@yandex.u Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные

Подробнее

Задачи группы С2. Задача 1

Задачи группы С2. Задача 1 Как научить выпускников решать задачи C2 из ЕГЭ по математике? Существует три основных метода решения задач C2. Условно назовем их «методом построений», «векторно-координатным методом» и «методом объемов».

Подробнее

Геометрия. серия. в определениях, таблицах и схемах. спасатель. В. А. Дергачев

Геометрия. серия. в определениях, таблицах и схемах. спасатель. В. А. Дергачев серия спасатель СПАСАТЕЛЬ В. А. Дергачев Геометрия в определениях, таблицах и схемах zопределения, свойства и признаки геометрических фигур Геометрические z фигуры и соотношения между их элементами zформулы

Подробнее

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2}

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2} Геометрия 9 класс Тема Метод координат Основные понятия Векторы i и j называются координатными векторами, если их длины равны единице, вектор i сонаправлен с осью абсцисс, а вектор j сонаправлен с осью

Подробнее

18. Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости. 1. Угол между прямыми

18. Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости. 1. Угол между прямыми Тема 58 «Прямые на плоскости и в пространстве. Плоскости в пространстве» В заданиях ЕГЭ типа С данная тема занимает весомое место (более 50% всех заданий С). Основные определения и теоремы 1. Две прямые

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В5 Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

Задачи для подготовки к экзамену по математике для студентов 172, 173 и 174 групп I курс (1 семестр уч.г.)

Задачи для подготовки к экзамену по математике для студентов 172, 173 и 174 групп I курс (1 семестр уч.г.) Задачи для подготовки к экзамену по математике для студентов 7 7 и 7 групп I курс ( семестр 07-08 уч.г.). Найти число сопряженное с z = 7 + i; отметить числа на комплексной плоскости. Найдите модуль комплексного

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)»

Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)» Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ для абитуриентов, поступающих в вуз

Подробнее

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана. Специализированный учебно-научный центр. ГОУ лицей 1580

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана. Специализированный учебно-научный центр. ГОУ лицей 1580 Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580 Вопросы к зачёту по математике (11-й класс, 3-й семестр, декабрь 2013 года)

Подробнее

3 MN SN Подставим координаты точек А, К, S и М в уравнение (6), получим систему

3 MN SN Подставим координаты точек А, К, S и М в уравнение (6), получим систему 009-00 уч. год. 5, кл. Математика. Стереометрия.. Сфера и многогранники В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задаётся уравнением (х х 0 ) + (у у 0 )

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

10 класс Алгебра. Количество контрольных работ по математике класс

10 класс Алгебра. Количество контрольных работ по математике класс Количество контрольных работ по математике класс количество из них контрольных работ по алгебре по геометрии итоговая к/р 10 класс 12 7 4 1 11 класс 13 7 5 1 10 класс Алгебра Геометрия КОНТРОЛЬНАЯ

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа составлена на основе федерального компонента государственных образовательных стандартов среднего общего образования (Приказ МО РФ от 05.03.004 089) и авторской программы

Подробнее

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Новосибирск I. Проектирование

Подробнее

Л. С. АТАНАСЯН, В. Ф. БУТУЗОВ, С. Б. КАДОМЦЕВ, Л. С. КИСЕЛЁВА, Э. Г. ПОЗНЯК «ГЕОМЕТРИЯ, КЛАССЫ» Базовый уровень (1,5 ч в неделю)

Л. С. АТАНАСЯН, В. Ф. БУТУЗОВ, С. Б. КАДОМЦЕВ, Л. С. КИСЕЛЁВА, Э. Г. ПОЗНЯК «ГЕОМЕТРИЯ, КЛАССЫ» Базовый уровень (1,5 ч в неделю) Л. С. АТАНАСЯН, В. Ф. БУТУЗОВ, С. Б. КАДОМЦЕВ, Л. С. КИСЕЛЁВА, Э. Г. ПОЗНЯК «ГЕОМЕТРИЯ, 10 11 КЛАССЫ» Базовый уровень (1,5 ч в неделю) Номер параграфа и пункта Содержание материала Кол-во часов Характеристика

Подробнее

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см,

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см, Тест по теме 62 «Сечения многогранников» 1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см, 21 см. Высота призмы 18 см. Найти площадь сечения проведенного через боковое ребро и меньшую

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Метод объёмов

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Метод объёмов И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод объёмов Объём треугольной пирамиды можно посчитать несколькими разными способами. Методом объёмов мы называем приравнивание двух подходящих выражений

Подробнее

Планиметрия. 1. Площади плоских фигур. Площадь треугольника: Сайт: стр. 1

Планиметрия. 1. Площади плоских фигур. Площадь треугольника: Сайт:  стр. 1 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Биссектриса, медиана и

Подробнее

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Перовская школа- гимназия»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Перовская школа- гимназия» 2 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Перовская школа-гимназия» РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ на заседании методического замдиректора по УВР Директор МБОУ объединения учителей «Перовская

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ

ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ 9 ВИРыжик ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ Окончание Начало см в 3 за 2008 г Задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми Ясно, что установление

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Решение задач из материалов ЕГЭ векторно-координатным методом

Решение задач из материалов ЕГЭ векторно-координатным методом Решение задач из материалов ЕГЭ векторно-координатным методом Задание С2 Единого государственного экзамена по математике с 2010 года представляет стереометрическую задачу на определение расстояний или

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на учебный год Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение г. Бузулука «Средняя общеобразовательная школа 8» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на 206-207 учебный год Класс : 0- Количество

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач по планиметрии (В5 и В8) Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 Необходимо знать все фигуры планиметрии. А также следующие

Подробнее

A 1. В Рис. 14 б. Рис. 14 а. t O B. Рис. 15. Лекция 10 Тема: Изображение пространственных фигур в параллельной проекции

A 1. В Рис. 14 б. Рис. 14 а. t O B. Рис. 15. Лекция 10 Тема: Изображение пространственных фигур в параллельной проекции Лекция Тема: Изображение пространственных фигур в параллельной проекции План лекции. Изображение призмы и пирамиды в параллельной проекции. 2. Изображение цилиндра, конуса, шара в параллельной проекции.

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: Рабочая программа по геометрии 10-11 (профильный уровень). Рабочая программа по предмету «Геометрия», изучаемому на ступени среднего (полного) общего образования на профильном уровне, составлена на основе

Подробнее

Рабочая программа по геометрии для 10-11класса

Рабочая программа по геометрии для 10-11класса Рассмотрено на заседании НМС Протокол 23 от «28»08.2016г. Министерство образования и науки РФ Муниципальное общеобразовательное учреждение «Буретская средняя общеобразовательная школа» Боханского района

Подробнее

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением . Сфера и многоугольники В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) =. 0 0 0 R Задача. SABCD правильная четырехугольная

Подробнее

Часть 1. Вопросы по программе лекций 11-го класса (с выводом и доказательством).

Часть 1. Вопросы по программе лекций 11-го класса (с выводом и доказательством). Часть 1. Вопросы по программе лекций 11-го класса (с выводом и доказательством). 1.1. Дифференциал (определение). Дифференцируемость функции в точке. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции (с

Подробнее

D

D Открытый урок по геометрии в 0 классе Тема: «Расстояния между прямыми и плоскостями в прямоугольном параллелепипеде» Цели урока: ) Образовательные: вспомнить и систематизировать те знания, которые ученики

Подробнее