Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Обыкновенные дифференциальные уравнения."

Транскрипт

1 Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту ил иную задачу с какой либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки Известно что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле: at S Vt В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V которая также является производной по времени t от перемещения S Те ds dv d S V a dt dt dt f t t Тогда получаем: S f t Vt - уравнение связывает функцию ft с независимой переменной t и производной второго порядка функции ft Определение Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимые переменные их функции и производные или дифференциалы этой функции Определение Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением если же независимых переменных две или более то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных Определение Наивысший порядок производных входящих в уравнение называется порядком дифференциального уравнения Пример обыкновенное дифференциальное уравнение го порядка В общем виде записывается F d d - обыкновенное дифференциальное уравнение го порядка d d В общем виде записывается F z z - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка Определение Общим решением дифференциального уравнения первого называется такая дифференцируемая функция = которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество Свойства общего решения Тк постоянная С произвольная величина то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений При каких- либо начальных условиях х = х ух = у существует такое значение С = С при котором решением дифференциального уравнения является функция у = х С

2 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Определение Решение вида у = х С называется частным решением дифференциального уравнения Определение Задачей Коши Огюстен Луи Коши французский математик называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = х С удовлетворяющего начальным условиям ух = у Теорема Коши теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения - го порядка Если функция f непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную f то какова бы не была точка х у в области D существует единственное решение уравнения f определенное в некотором интервале содержащем точку х принимающее при х = х значение х = у те существует единственное решение дифференциального уравнения Определение Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение не содержащее производных для которого данное дифференциальное уравнение является следствием Пример Найти общее решение дифференциального уравнения Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения которое предварительно преобразовано следующим образом: d d d d d d d d Теперь интегрируем: ln ln ln ln ln - это общее решение исходного дифференциального уравнения Допустим заданы некоторые начальные условия: = = тогда имеем С При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях решение задачи Коши Определение Интегральной кривой называется график = решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY Определение Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется те в окрестности некоторой точки х у существует не менее двух интегральных кривых

3 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Особые решения не зависят от постоянной С Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения то особое решение будет изображаться линией которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой Отметим что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения Пример Найти общее решение дифференциального уравнения: Найти особое решение если оно существует d d d d d d ln Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = Это решение невозможно получить из общего однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество Мнение что решение = можно получить из общего решения при С = ошибочно ведь = Далее рассмотрим подробнее приемы и методы которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение связывающее функцию ее первую производную и независимую переменную те соотношение вида: F Если такое соотношение преобразовать к виду f то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением разрешенным относительно производной Преобразуем такое выражение далее: d f d d f d f d d Функцию f представим в виде: P f Q Q тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем: P d Q d - это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения

4 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Уравнения вида = f Пусть функция f определена и непрерывна на некотором интервале a < < b В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как f d Если заданы начальные условия х и у то можно определить постоянную С Уравнения с разделяющимися переменными Определение Дифференциальное уравнение f называется уравнением с разделяющимися переменными если его можно записать в виде Такое уравнение можно представить также в виде: d d d d при Перейдем к новым обозначениям X Y Получаем: X d Y d X d Y d После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными Если заданы начальные условия то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С а соответственно и частное решение Пример Найти общее решение дифференциального уравнения: d cos d cos d d cos d d Интеграл стоящий в левой части берется по частям cos u dv cos d cos d du d v sin sin sin d sin cos sin cos sin cos - это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения тк искомая функция и не выражена через независимую переменную В этом и заключается отличие общего частного интеграла от общего частного решения Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х sin cos sin - верно cos Пример Найти решение дифференциального уравнения ln при условии у = 4

5 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» d d ln ln d d ln d d ln d ln ln ln при у = получаем Итого: ln 4 или - частное решение 4 Проверка: итого ln - верно Пример Решить уравнение d d d d d d 7 - общий интеграл - общее решение 7 Пример Решить уравнение d d d d arctg tg Пример Решить уравнение при условии у = d d d d d d d d Интеграл стоящий в левой части будем брать по частям 5

6 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» u d du d d dv d v Если у = то Итого частный интеграл: Пример Решить уравнение sin sin sin sin sin cos sin cos sin cos d d cos d cos d sin sin Для нахождения интеграла стоящего в левой части уравнения Получаем общий интеграл: ln tg sin Пример Решить уравнение Преобразуем заданное уравнение: d d d d d d ln Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения Если из этого соотношения выразить искомую функцию у то получим общее решение Пример Решить уравнение d d d d d d arctg tg Допустим заданы некоторые начальные условия х и у Тогда: 6

7 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» arctg arctg Получаем частное решение tg arctg Однородные уравнения Определение Функция f называется однородной n го измерения относительно своих аргументов х и у если для любого значения параметра t кроме нуля выполняется тождество: n f t t t f Пример Является ли однородной функция f? f t t t t t t t t t Таким образом функция f является однородной - го порядка f Определение Дифференциальное уравнение вида f называется однородным если его правая часть f есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов Любое уравнение вида P d Q d является однородным если функции P и Q однородные функции одинакового измерения Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными Рассмотрим однородное уравнение f Тк функция f однородная нулевого измерения то можно записать f t t f Параметр t вообще говоря произвольный предположим что t Получаем: f f Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента u те f u Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде: u Далее заменяем = u u u u u u u u u u u u таким образом получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u du d du d u u u u Далее заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы получим общее решение однородного дифференциального уравнения 7

8 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Пример Решить уравнение ln Введем вспомогательную функцию u u u u u Отметим что введенная нами функция u всегда положительна тк в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение содержащее ln u ln Подставляем в исходное уравнение: u u uln u u u uln u u u uln u du d du d Разделяем переменные: u ln u u ln u Интегрируя получаем: ln ln u ln ln u u Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у получаем общее решение: Уравнения приводящиеся к однородным Кроме уравнений описанных выше существует класс уравнений которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным a b c Это уравнения вида f a b c a b Если определитель то переменные могут быть разделены подстановкой a b u v a b c где и - решения системы уравнений a b c Пример Решить уравнение d d d d Получаем d d Находим значение определителя 4 5 / 5 Решаем систему уравнений 4 7 / 5 Применяем подстановку u /5 v 7/5 в исходное уравнение: u /5 v 4/5 dv u /5 v 7/5 du u v dv u v du dv u v v / u du v u v / u Заменяем переменную v t u v ut v tu t при подстановке в выражение записанное выше имеем: 8

9 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» t u t t t dt t t t t t t Разделяем переменные: u t du t t t du u t du t dt dt t t u t t ln t t ln t ln u ln t ln u ln t t ln t t u u Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х v 7 / t u / 5 u / Итого выражение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения a b c В случае если в исходном уравнении вида a b f определитель a b c a b то переменные могут быть разделены подстановкой a b t Пример Решить уравнение d d d d Получаем d d Находим значение определителя 6 6 Применяем подстановку t d t d Подставляем это выражение в исходное уравнение: t t t t 9t 9 tt 6t 9t 9 tt t 9 t 9

10 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» t t Разделяем переменные: dt d dt d t 9 t dt d t t ln t Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х ln ln ln ln таким образом мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения Линейные уравнения Определение Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной если оно может быть записано в виде: P Q при этом если правая часть Q равна нулю то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением если правая часть Q не равна нулю то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением P и Q- функции непрерывные на некотором промежутке a < < b Линейные однородные дифференциальные уравнения Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида P Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей d P d Общее решение: ln P d ln ln P d P d Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Для интегрирования линейных неоднородных уравнений Q применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа

11 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Метод Бернулли Якоб Бернулли швейцарский математик Суть метода заключается в том что искомая функция представляется в виде произведения двух функций uv dv du При этом очевидно что u v - дифференцирование по частям d d Подставляя в исходное уравнение получаем: dv du u v P uv Q d d dv du u v P u Q d d Далее следует важное замечание тк первоначальная функция была представлена нами в виде произведения то каждый из сомножителей входящих в это произведение может быть произвольным выбранным по нашему усмотрению Например функция может быть представлена как и тп Таким образом можно одну из составляющих произведение функций выбрать так что du выражение P u d Таким образом возможно получить функцию u проинтегрировав полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме: du du P d P d ln u P d u u P d ln ln u P d u / Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для dv du функции u в исходное уравнение u v P u Q с учетом того что выражение d d стоящее в скобках равно нулю dv С P d Q d Интегрируя можем найти функцию v: v Q P d d dv Q P d P d v Q d Те была получена вторая составляющая произведения uv которое и определяет искомую функцию Подставляя полученные значения получаем: uv Окончательно получаем формулу: P d Q P d d P d P d Q d С - произвольный коэффициент Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли d

12 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Метод Лагранжа Ларганж Жозеф Луи французский математик през Берлинской АН поч чл Пет АН 776 Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной Вернемся к поставленной задаче: P Q Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем P Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения: P d Для того чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения будем считать постоянную С некоторой функцией от х Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем: d d P d P d P d d Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение d P d P P d P d P Q d d P d Q d Из этого уравнения определим переменную функцию С х: P d d Q d Интегрируя получаем: P d Q d Подставляя это значение в исходное уравнение получаем: P d P d Q d Таким образом мы получили результат полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций входящих в исходный интеграл Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты Пример Решить уравнение a Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду: a Применим полученную выше формулу: P Q a d d a d a d ad a

13 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Уравнение Бернулли Определение Уравнением Бернулли называется уравнение вида n P Q где P и Q функции от х или постоянные числа а n постоянное число не равное Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку z n с помощью которой уравнение Бернулли приводится к линейному Для этого разделим исходное уравнение на n P Q n n n n n Применим подстановку учтя что z n n z Pz Q n z n Pz n Q Те получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z Решение этого уравнения будем искать в виде: Q Pd z Q n Q P P d d n P Пример Решить уравнение ln Разделим уравнение на : ln Полагаем z z z z ln z z ln Полагаем P Q ln d d ln ln z ln d z ln d d z ln z ln d ln ln z Произведя обратную подстановку получаем: ln Пример Решить уравнение 4 Разделим обе части уравнения на

14 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» d 4 d Полагаем z z z 4 dz z z z d Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение: dz z dz z dz d d d z dz d ln z ln ln z z Полагаем = и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение с учетом того что: dz d d d d d d ln d Получаем: z ln Применяя обратную подстановку получаем окончательный ответ: 4 ln Уравнения в полных дифференциалах тотальные Определение Дифференциальное уравнение первого порядка вида: M d N d называется уравнением в полных дифференциалах если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции u F Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u после чего решение легко находится в виде: du u Таким образом для решения надо определить: в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u как найти эту функцию Если дифференциальная форма M d N d является полным дифференциалом некоторой функции u то можно записать: u u du M d N d d d 4

15 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» 5 Те N u M u Найдем смешанные производные второго порядка продифференцировав первое уравнение по у а второе по х: N u M u Приравнивая левые части уравнений получаем необходимое и достаточное условие того что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом Это условие также называется условием тотальности N M Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u Проинтегрируем равенство M u : d M u Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С а некоторую функцию Су тк при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром Определим функцию Су Продифференцируем полученное равенство по у d M N u Откуда получаем: d M N Для нахождения функции Су необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство Однако перед интегрированием надо доказать что функция Су не зависит от х Это условие будет выполнено если производная этой функции по х равна нулю M N d M N d M N С Теперь определяем функцию Су: d d M N Подставляя этот результат в выражение для функции u получаем: d d M N d M u Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид: d d M N d M

16 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Следует отметить что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу Решение может получиться более компактным если просто следовать методу которым формула была получена Пример Решить уравнение d 5 d M Проверим условие тотальности: N 5 Условие тотальности выполняется следовательно исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах Определим функцию u u M d d 5 u 5 N 5 d Итого u 5 Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения: u 5 С 5 Уравнения вида = f и = f Решение уравнений не содержащих в одном случае аргумента х а в другом функции у ищем в параметрической форме принимая за параметр производную неизвестной функции p dp Для уравнения первого типа получаем: f p f p d dp Делая замену получаем: p f p d В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными f p f p d dp dp p p Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений: f p dp p f p Исключив из этой системы параметр р получим общий интеграл и не в параметрической форме Для дифференциального уравнения вида = f с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат: pf p dp f p 6

17 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Уравнения Лагранжа и Клеро Алекси Клод Клеро французский математик ин поч член Петерб АН Определение Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение линейное относительно х и у коэффициенты которого являются функциями от P Q R Для нахождения общего решение применяется подстановка p = P R f p p f p p Q Q Дифференцируя это уравнениеc учетом того что d pd получаем: pd f p d f p dp p dp Если решение этого линейного относительно х уравнения есть F p то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде: F p f p p F p f p p Определение Уравнением Клеро называется уравнение первой степени те линейное относительно функции и аргумента вида: Вообще говоря уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа С учетом замены p уравнение принимает вид: p p dp dp dp dp p p p p p d d d d dp p d Это уравнение имеет два возможных решения: dp или p В первом случае: p c c c Видно что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений: p p p Исключая параметр р получаем второе решение F = Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения следовательно не является частным решением Это решение будет являться особым интегралом Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка Пример Решить уравнение с заданными начальными условиями Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка 7

18 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Решим соответствующее ему однородное уравнение d d d d d d ln ln ln Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид: Дифференцируя получаем: Для нахождения функции Сх подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение: d ln Итого общее решение: ln учетом начального условия определяем постоянный коэффициент ln Окончательно получаем: ln Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: ln ln верно Ниже показан график интегральной кривой уравнения Пример Найти общий интеграл уравнения d d Это уравнение с разделяющимися переменными d d d d ln ln Общий интеграл имеет вид: ln 8

19 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С С = - 5 С = - С = - С = С = С = 5 С = С = Пример Найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющее заданным начальным условиям cos sin Это уравнение с разделяющимися переменными sin d tgd cos d tgd ln ln cos ln ln cos ln Общее решение имеет вид: cos cos Найдем частное решение при заданном начальном условии у = С Окончательно получаем: cos Пример Решить предыдущий пример другим способом Действительно уравнение cos sin может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение 9

20 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» cos sin sin Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение cos sin cos sin d tgd d tgd ln ln ln cos ln cos cos Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: cos cos sin Тогда cos Подставляя в исходное уравнение получаем: cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin sin d cos cos cos Итого cos cos С учетом начального условия у = получаем cos Как видно результаты полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами совпадают При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения исходя из сложности преобразований Пример Решить уравнение cos sin с начальным условием у = Это линейное неоднородное уравнение Решим соответствующее ему однородное уравнение d cos cos d ln sin sin sin Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид: sin Для определения функции Сх найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin cos

21 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» С sin sin sin V sin cos d dv sin sin du cos d cos d U sin sin sin sin sin cos d sin sin sin Итого sin sin sin Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение sin sin cos cos sin cos cos cos sin cos верно Найдем частное решение при у = sin sin Окончательно sin Пример Найти решение дифференциального уравнения d d d 5 d с начальным условием у = Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными d d d 4 d ln С учетом начального условия: 4 5 ln ln С 5 4 С Окончательно Пример Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у = Это линейное неоднородное уравнение

22 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Решим соответствующее ему однородное уравнение d d d ln ln ln d Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: Подставим в исходное уравнение: Общее решение будет иметь вид: учетом начального условия у = : Частное решение: Пример Найти решение дифференциального уравнения ln с начальным условием у = е Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных u u u u Обозначим: ln u u Уравнение принимает вид: u u u u u u u u u Получили уравнение с разделяющимися переменными du du d u d u du d ln u ln ln u u Сделаем обратную замену: ln ln Общее решение: учетом начального условия у = е: Частное решение:

23 Второй способ решения Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» ln ln ln ln ln Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение Соответствующее однородное: ln ln ln ln ln ln d d ln ln d ln ln Решение исходного уравнения ищем в виде: Тогда Подставим полученные результаты в исходное уравнение: ln ln d ln ln d u ln dv ln ln d ln d d du v ln Получаем общее решение: Пример Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у= В этом уравнении также удобно применить замену переменных u u ln u ln u ln u u u Уравнение принимает вид: ln u u ln u u u u du d du d u u u u ln ln ln u u Делаем обратную подстановку: ln lnln Общее решение: lnln

24 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» учетом начального условия у = : lnln Частное решение: lnln Второй способ решения Замена переменной: u u u u u u u u u u du u d d u du u u du ln ln u lnln Общее решение: lnln d u ln u lnln Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка у a b A S Как уже говорилось выше линия S которая задается функцией являющейся каким- либо решением дифференциального уравнения называется интегральной кривой уравнения f Производная является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой В любой точке Ах у интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения Тк касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения то при условии непрерывности функции f и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения те представляют собой его общее решение 4

25 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Определение Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения: Задать дифференциальное уравнение первого порядка это значит задать поле направлений Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение это значит найти всевозможные кривые у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений Определение Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами Численные методы решения дифференциальных уравнений Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции однако эти методы применимы для очень ограниченного класса уравнений Большинство уравнений встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов В таких случаях используются численные методы решения которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата Рассмотрим некоторые из них Метод Эйлера Леонард Эйлер швейцарский математик Известно что уравнение f задает в некоторой области поле направлений Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую которая касается поля направлений в любой точке Если взять последовательность точек х х х и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней то получим ломаную линию M M M M M 4 4 При подстановке заданных начальных условий х у в дифференциальное уравнение f получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке tg f Заменив на отрезке [ ] интегральную кривую на касательную к ней получаем значение f 5

26 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Производя аналогичную операцию для отрезка [ ] получаем: f Продолжая подобные действия далее получаем ломаную кривую которая называется ломаной Эйлера Можно записать общую формулу вычислений: n f n n n n n Если последовательность точек х i выбрать так чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h называемое шагом вычисления то получаем формулу: n n f n n h Следует отметить что точность метода Эйлера относительно невысока Увеличить точность можно конечно уменьшив шаг вычислений однако это приведет к усложнению расчетов Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета Суть метода состоит в том что в формуле f h вместо значения f берется среднее арифметическое значений f и f Тогда уточненное значение: f f h Затем находится значение производной в точке Заменяя f средним арифметическим значений f и f находят второе уточненное значение у f f h Затем третье: f f h и тд пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности Тогда это значение принимается за ординату точки М ломаной Эйлера Аналогичная операция производится для остальных значений у Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата Метод Рунге Кутта Метод Рунге Кутта является более точным по сравнению с методом Эйлера Суть уточнения состоит в том что искомое решение представляется в виде разложения в ряд Тейлора 4 h h IV h i i ih i i i!! 4! Если в этой формуле ограничиться двумя первыми слагаемыми то получим формулу метода Эйлера Метод Рунге Кутта учитывает четыре первых члена разложения h h i i ih i i i i!! В методе Рунге Кутта приращения i предлагается вычислять по формуле: 6

27 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» i i i i 4 i 6 где коэффициенты i вычисляются по формулам: i i i i h hf i i i h hf i i i i hf i i 4 hf i h i Пример Решить методом Рунге Кутта дифференциальное уравнение начальном условии у = на отрезке [ 5] с шагом при Для i = вычислим коэффициенты i hf 6 h h hf 5 5 h hf hf h Последующие вычисления приводить не будем а результаты представим в виде таблицы i i i i

28 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Решим этот же пример методом Эйлера Применяем формулу hf n n n n f hf h hf f hf h hf Производя аналогичные вычисления далее получаем таблицу значений: i 4 5 i 4 5 i Применим теперь уточненный метод Эйлера i 4 5 i 4 5 i Для сравнения точности приведенных методов численного решение данного уравнения решим его аналитически и найдем точные значения функции у на заданном отрезке Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка Решим соответствующее ему однородное уравнение d d d d d d ln ln ln Решение неоднородного уравнения имеет вид u dv d С d d du d v Общее решение: учетом начального условия: Частное решение: 8

29 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Для сравнения полученных результатов составим таблицу i i i Метод Эйлера Уточненный метод Эйлера Метод Рунге - Кутта Точное значение Как видно из полученных результатов метод Рунге Кутта дает наиболее точный ответ Точность достигает Кроме того следует обратить внимание на то ошибка расхождение между точным и приближенным значениями увеличивается с каждым шагом вычислений Это обусловлено тем что во первых полученное приближенное значение округляется на каждом шаге а во вторых тем что в качестве основы вычисления принимается значение полученное на предыдущем шаге те приближенное значение Таким образом происходит накопление ошибки Это хорошо видно из таблицы С каждым новым шагом приближенное значение все более отличается от точного Дифференциальные уравнения высших порядков Определение Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида: n F В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно n : n n f Так же как и уравнение первого порядка уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений n Определение Решение удовлетворяет начальным условиям n n если n Определение Нахождение решения уравнения F удовлетворяющего начальным условиям n называется решением задачи Коши Теорема Коши Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши n Если функция n- й переменных вида f в некоторой области D n- - мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по n n то какова бы не была точка в этой области существует n n единственное решение уравнения f определенного в некотором интервале содержащем точку х удовлетворяющее начальным условиям n Дифференциальные уравнения высших порядков решение которых может быть найдено аналитически можно разделить на несколько основных типов Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений 9

30 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Уравнения допускающие понижение порядка Понижение порядка дифференциального уравнения основной метод решения уравнений высших порядков Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение однако он применим далеко не ко всем уравнениям Рассмотрим случаи когда возможно понижение порядка Уравнения вида n = f Если f функция непрерывная на некотором промежутке a < < b то решение может быть найдено последовательным интегрированием n f d n f d d d f d d d f d n n! n n! n Пример Решить уравнение с начальными условиями = = d d Подставим начальные условия: С Получаем частное решение решение задачи Коши: 8 4 Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения

31 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Уравнения не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка включительно n Это уравнения вида: F В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на единиц Для этого производят замену переменной: n n z z z n Тогда получаем: F z z z Теперь допустим что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением: z n Делая обратную подстановку имеем: n Интегрируя полученное соотношение последовательно раз получаем окончательный ответ: n Пример Найти общее решение уравнения Применяем подстановку z z z dz z dz d dz d z d z z ln z ln ln z Произведя обратную замену получаем: d d 6 Общее решение исходного дифференциального уравнения:

32 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Отметим что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х = Уравнения не содержащие явно независимой переменной n Это уравнения вида F Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных p d d d dp p d d d d dp d p d d d d d d p dp p p p p и тд d d d d d d d Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение получаем: n dp d p F p n d d Если это уравнение проинтегрировать и Ф p n - совокупность его решений то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка: Ф n Пример Найти общее решение уравнения 4 dp Замена переменной: p p d dp p p d 4p p dp d p 4 dp dp p p 4 4 d d Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной: p u du d u 4 u du 4 d d du 4 u 4ln 4ln u 4ln p 4 ln С учетом того что d p получаем: d d 4 ln d d 4 ln d

33 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» dln 4 ln ln ln 4 Общий интеграл имеет вид: ln ln 4 p Таким образом получили два общих решения Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Определение Линейным дифференциальным уравнением n го порядка называется n любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида: n n n p p p pn pn f где p p p n функции от х или постоянные величины причем p Левую часть этого уравнения обозначим L n n n p p p pn pn L Определение Если f = то уравнение L = называется линейным однородным уравнением если f то уравнение L = f называется линейным неоднородным уравнением если все коэффициенты p p p p n постоянные числа то уравнение L = f называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков которое отличает их от нелинейных Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего а для линейных наоборот общий интеграл составляется из частных Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения Если при решении каких либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение то часто применяются приближенные методы позволяющие заменить такое уравнение близким к нему линейным Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами n n n Рассмотрим уравнение вида p p p p n pn n n n Определение Выражение p p p pn pn L линейным дифференциальным оператором Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами: называется L L L L L

34 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами: Если функция у является решением уравнения то функция Су где С постоянное число также является его решением Если функции у и у являются решениями уравнения то у +у также является его решением Структура общего решения Определение Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n го порядка на интервале a b называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения Определение Если из функций i составить определитель n го порядка n n W n то этот определитель называется определителем Вронского Юзеф Вроньский польский математик и философ - мистик n Теорема Если функции n линейно зависимы то составленный для них определитель Вронского равен нулю Теорема Если функции n линейно независимы то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала Теорема Для того чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения n была фундаментальной необходимо и достаточно чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю Теорема Если n - фундаментальная система решений на интервале a b то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений n n где i постоянные коэффициенты Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка n n Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка Из вышеизложенного видно что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений Однако даже для уравнения второго порядка если коэффициенты р зависят от х эта задача не может быть решена в общем виде Тем не менее если известно одно ненулевое частное решение то задача может быть решена 4

35 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Теорема Если задано уравнение вида p p и известно одно ненулевое решение у = у то общее решение может быть найдено по формуле: p d d Таким образом для получения общего решения надо подобрать какое либо частное решение дифференциального уравнения хотя это бывает часто довольно сложно Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами n n Решение дифференциального уравнения вида a a L будем искать в виде где = const n n Тк то L n a a n n n или короче n n При этом многочлен F a an называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения Для того чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения необходимо и достаточно чтобы L те F Тк то F - это уравнение называется характеристическим уравнением Как и любое алгебраическое уравнение степени n характеристическое уравнение n n a an имеет n корней Каждому корню характеристического уравнения i соответствует решение дифференциального уравнения В зависимости от коэффициентов характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней либо среди действительных корней могут быть кратные корни могут быть комплексно сопряженные корни как различные так и кратные Не будем подробно рассматривать каждый случай а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами Составляем характеристическое уравнение и находим его корни Находим частные решения дифференциального уравнения причем: a каждому действительному корню соответствует решение б каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений: m в каждой паре комплексно сопряженных корней i характеристического уравнение ставится в соответствие два решения: cos и sin г каждой паре m кратных комплексно сопряженных корней i характеристического уравнения ставится в соответствие m решений: m cos cos cos m sin sin sin Составляем линейную комбинацию найденных решений 5

36 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами Пример Решить уравнение Составим характеристическое уравнение: D 4 i i Общее решение имеет вид: cos sin Пример Решить уравнение Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение Таким частным решением будет являться функция Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать: d Общее решение имеет вид: d ln d d d ln Окончательно: ln 4 Пример Решить уравнение IV 4 Составим характеристическое уравнение: i 4 i Общее решение: cos 4 sin 6

37 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Пример Решить уравнение 4 4 Характеристическое уравнение: 4 Общее решение: Пример Решить уравнение 5 4 Характеристическое уравнение: 5 D 6 i Общее решение: cos sin i Пример Решить уравнение 7 6 Характеристическое уравнение: Общее решение: Пример Решить уравнение Характеристическое уравнение: Общее решение: Пример Решить уравнение V 9 5 Характеристическое уравнение: Общее решение: Пример Решить уравнение 4 Это уравнение не является линейным следовательно приведенный выше метод решения к нему неприменим Понизим порядок уравнения с помощью подстановки p dp dp Тогда p d d dp p p p d dp dp d dp d p ln p ln ln d p p d d p d d С С ln ln ln Окончательно получаем: 5 7

38 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения Полученное выше решение у = С получается из общего решения при С = Пример Решить уравнение dp dp Производим замену переменной: p p d d dp p p p d dp dp d dp p d p p d ln p ln ln p d d d d 4 4 Общее решение: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами n n Рассмотрим уравнение вида p p f n n С учетом обозначения p pn L можно записать: L f При этом будем полагать что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале конечном или бесконечном Теорема Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n n p pn f в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения Доказательство Пусть Y некоторое решение неоднородного уравнения Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество: L Y f Пусть n - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения L Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде: n n i const Далее покажем что сумма Y n n является общим решением неоднородного уравнения L Y n n L Y L L L n n L Y f Вообще говоря решение Y может быть получено из общего решения тк является частным решением n 8

39 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Таким образом в соответствии с доказанной теоремой для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения Обычно оно находится подбором На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде: n n Затем полагая коэффициенты i функциями от х ищется решение неоднородного уравнения: n i i i Можно доказать что для нахождения функций i надо решить систему уравнений: n i i i n i i i n n i i f i Пример Решить уравнение sin Решаем линейное однородное уравнение i i Acos Bsin Acos Bsin Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: A cos B sin Составляем систему уравнений: A cos B sin A sin B cos sin Решим эту систему: cos B A A sin sin sin cos A sin A sin B cos sin sin Из соотношения A sin cos sin найдем функцию Ах A sin cos sin d sin cos d sin d sin sin d u dv sin d sin cos cos d sin cos sin du d v cos Теперь находим Вх n i i i 9

40 sin cos sin cos Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» u dv cos d B cos d cos sin d sin sin d cos du d v sin cos sin cos Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения: sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin Окончательный ответ: sin cos sin Таким образом удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора Вообще говоря метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения Но тк нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Уравнения с правой частью специального вида Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения Различают следующие случаи: I Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: где f P P A Тогда частное решение ищется в виде: m m A Am - многочлен степени m r Q Здесь Q- многочлен той же степени что и P но с неопределенными коэффициентами а r число показывающее сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения Пример Решить уравнение 4 Решим соответствующее однородное уравнение: Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части рассмотренным выше P r Частное решение ищем в виде: Q где r Q A B 4

41 Упрощенный курс обыкновенных дифференциальных уравнений для «Блондинок» Те A B Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение A B A 8A 4B 8A A 8 B Итого частное решение: 8 Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: 8 II Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: f P cos P sin Здесь Р х и Р х многочлены степени m и m соответственно Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид: r Q cos Q sin где число r показывает сколько раз число i является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения а Q и Q многочлены степени не выше m где m- большая из степеней m и m Заметим что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений каждое из которых имеет правую часть соответствующую выражению входящему в комбинацию Те если уравнение имеет вид: L f f то частное решение этого уравнения будет где у и у частные решения вспомогательных уравнений L f и L f Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом Пример Решить уравнение sin Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f + f = + -sin Составим и решим характеристическое уравнение: i r Для функции f решение ищем в виде Q Получаем: r Q A B Те A B A A B A B Итого: r Для функции f решение ищем в виде: Q cos Q sin 4

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у fх.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ 1. Цель и задачи дисциплины Математический анализ Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является формирование у будущих специалистов знаний и умения применять математический аппарат и математические

Подробнее