МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания для студентов I и II курсов всех специальностей дневного обучения Москва - 7

2 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение.. 4 I. Числовые ряды. 5. Сходимость и расходимость ряда. Необходимый признак сходимости.. 5. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости.. 8. Знакопеременные ряды II. Степенные ряды. 5. Сходимость функциональных рядов. 5. Степенные ряды.. 6. Ряд Тейлора Приложения степенных рядов.. III. Ряды Фурье.. IV. Варианты контрольных заданий 9

3 4

4 5 I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Сходимость и расходимость ряда. Необходимый признак сходимости. Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел a, a,..., a,... Тогда выражение a a a a... a... называется числовым рядом, а сами числа a, a,... членами ряда. Сумма первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда и обозначается : S S k a k a a... a. Если существует предел S бесконечной последовательности чисел S, S,..., S,..., т. е. lim S, S то этот предел называют суммой ряда, а сам ряд в этом случае называется сходящимся. Если же предел lim S не существует, то ряд называют расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. Однако, если lim S ±, то иногда говорят, что ряд имеет бесконечную сумму. Пусть ряд сходится. Тогда его частичная сумма S является приближённым значением для суммы S. Погрешность этого приближения r S S 4 называется остатком ряда. Этот остаток является суммой ряда: Если ряд сходится, то k k r a a a... 5 lim r. Бесконечная геометрическая прогрессия a aq aq... aq... a есть сходящийся числовой ряд, если q <. Сумма ряда 6 равна в этом случае a S. q В случае q ряд 6 расходится. Если ряд имеет сумму S, то ряд 6

5 6 c a ca ca ca сходится и имеет сумму c S. Если же ряд расходится, то при c расходится и ряд 7. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е., если даны сходящиеся ряды то ряды 7 S a a... a... 8 σ b b... b..., 9 a b a b... a b... a b a b... a b... тоже сходятся, и суммы их соответственно равны S σ и S σ. Свойство сходимости или расходимости ряда не нарушается, если отбросить или прибавить к нему любое конечное число членов. Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при, т. е. lim a. Обратное утверждение неверно. Из того, что lim a, сходимость ряда a не следует. Для сходимости ряда общий член ряда должен не просто стремиться к нулю, но делать это достаточно быстро. Пример. Члены ряда......, называемого гармоническим, стремятся к нулю с ростом их номеров lim, однако этот ряд расходится, его lim S доказана интегральным признаком.. Расходимость может быть Пример. Члены ряда тоже 4 8 стремятся к нулю с ростом их номеров lim, но убывают быстрее, чем члены гармонического ряда. Этот ряд уже является сходящимся, его

6 7 сумма может быть найдена по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: a S. q С помощью необходимого признака сходимости нельзя доказать сходимость ряда, но иногда удаётся доказать расходимость, применяя следствие из необходимого признака, которое легко доказывается от противного. Следствие из необходимого признака сходимости: Если lim a, то ряд расходится. Пример. Выяснить, сходится или расходится ряд. Общий член этого ряда a. lim a lim lim, т. е. lim a. На основании следствия из необходимого признака заключаем, что данный ряд расходится. Пример 4. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда. lim a lim lim. Необходимый признак выполняется, поэтому ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, что можно установить лишь после дополнительного исследования. Исследование сходимости рядов, как правило, сводится к вычислению некоторых пределов, при этом часто используются известные условия эквивалентности бесконечно малых, которые применительно к рядам принимают вид при : si ~, tg ~, l ~,

7 8 arcsi ~, arctg ~, e ~,! ~ формула Стирлинга. e Часто также приходится иметь дело с пределами: l lim >, lim p p e, lim. p. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости. Рассмотрим числовые ряды с положительными членами: a a a... a... a > b b b... b... b > Первый признак сравнения. Если для a b и ряд сходится, то сходится также и ряд. Если для a b и ряд расходится, то расходится и ряд. Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел a lim A, b то ряды и сходятся или расходятся одновременно. При использовании признаков сравнения исследуемый ряд часто сравнивают или с бесконечной геометрической прогрессией которая при < a q a, q сходится, а при q расходится, или с рядом Дирихле p действительное число. При p этот ряд является гармоническим можно сравнивать и с другими известными рядами. Признак Даламбера. Пусть для ряда p a lim q. a

8 9 Если q <, то ряд сходится, если q >, то ряд расходится. При q вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым. Признак Коши. Пусть для ряда lim a q. Если q <, то ряд сходится, если q >, то ряд расходится. При q вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым. Интегральный признак. Если f неотрицательная невозрастающая функция при >, то ряд f сходится или расходится одновременно с интегралом f d. Замечание. Нижним пределом интегрирования может быть любое другое положительное число из области определения функции. Замечание. С помощью интегрального признака легко доказать, что ряд Дирихле сходится при p > и расходится при p. p Примеры Пример. Выяснить, сходится или расходится ряд. Данный ряд знакоположительный. Сравним его с гармоническим рядом, который расходится. Члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда:,,,... По первому признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость данного ряда. Замечание. Расходимость данного ряда можно доказать с помощью интегрального признака или просто указать, что ряд есть ряд Дирихле при p. Так как p <, то ряд расходится. Пример. Выяснить, сходится или расходится ряд

9 Данный ряд знакоположительный. Сравним его с рядом, который является сходящейся геометрической прогрессией с q <. По первому признаку сравнения сравним соответствующие члены двух рядов:,,... Так как члены данного ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда, то данный ряд сходится. Пример. Выяснить, сходится или расходится ряд. si. Данный ряд является знакоположительным. Применим второй признак сравнения, для сравнения возьмём гармонический ряд, который является расходящимся. Найдём si a si lim lim α α lim. b α α α По второму признаку сравнения данный ряд и гармонический ведут себя одинаково, т. е. из расходимости гармонического следует, что и данный ряд расходится. Пример 4. Исследовать, сходится или расходится ряд Данный ряд перепишем в виде. /. Это ряд Дирихле при p. Так как p >, то данный ряд сходится. Пример 5. С помощью интегрального признака доказать сходимость ряда.

10 Общий член ряда f a. Записывая в этой формуле вместо, получаем функцию f. Эта функция удовлетворяет условиям интегрального признака: она принимает положительные значения и убывает с возрастанием. Вычислим 4 4 arctg arctg lim arctg d. Так как интеграл сходится, то сходится и данный ряд. Замечание. Сходимость данного ряда можно доказать также по второму признаку сравнения, взяв для сравнения ряд Дирихле, сходящийся, так как p >. Пример 6. С помощью признака Даламбера выяснить, сходится или расходится ряд!. Общий член ряда! a. Заменяя всюду на, получим:! a. Находим: a a!! ; e lim lim a a. Но e >, значит, e >, откуда, согласно признаку Даламбера, ряд расходится. Пример 7. Применяя признак Коши, исследовать, сходится или расходится ряд. Общий член ряда a. a ;

11 lim a lim lim. Так как предел >, то, согласно признаку Коши, ряд расходится. Замечание. Расходимость этого ряда можно доказать иначе. Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости: lim lim.. Знакопеременные ряды. Числовой ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным. Пусть дан знакопеременный ряд a Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: a a a... a... Если ряд сходится, то сходится и ряд. Ряд в этом случае называется абсолютно сходящимся. Если ряд расходится, то из этого не следует, вообще говоря, что и расходится: ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. Возможен случай, когда ряд сходится, а расходится; тогда ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Признак Лейбница для знакопеременных рядов. Если члены знакочередующегося ряда a a a... a... a > монотонно убывают по абсолютной величине: a < a,,,... и стремятся к нулю: lim a, то ряд сходится, сумма его S положительна и не превосходит первого члена ряда: < S < a. Если знакочередующийся ряд начинается с отрицательного члена: a a a... a, >

12 и для этого ряда выполнены условия и теоремы Лейбница, то и такой ряд сходится, сумма его S отрицательна и удовлетворяет неравенству a < S <. При замене суммы S ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, суммой его первых членов S абсолютная величина ошибки r не превышает абсолютного значения первого из отброшенных членов: r a. Знак ошибки знак r совпадает со знаком первого из отброшенных членов. Здесь r S см.. S......, Пример. Ряд называемый рядом Лейбница, сходится по признаку Лейбница. В то же время ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится гармонический ряд. Таким образом, ряд Лейбница условно неабсолютно сходящийся ряд. Пример. Ряд p p > 4 является знакочередующимся. При p > он удовлетворяет условиям признака Лейбница: <,,,... p p lim p и, следовательно, сходится. Если заменить все члены их абсолютными величинами, получим ряд Дирихле: p, который сходится при p > и расходится при p см.. Таким образом, ряд 4 при p > сходится абсолютно, а при < p сходится условно.

13 4 si Пример. Доказать сходимость ряда. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда, т. е. ряд si si si si Так как si, то каждый член ряда 5 не превышает соответствующего члена ряда Ряд 6 является рядом Дирихле, т. е. рядом вида, где p. Так как p p >, то ряд 6 сходится. Согласно первому признаку сравнения, ряд 5 также сходится. Тогда, по теореме об абсолютной сходимости, данный знакопеременный ряд сходится абсолютно. Пример 4. Сколько членов ряда нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до,? Данный ряд является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим всем условиям признака Лейбница: > > > >...; lim. 4 Следовательно, данный ряд сходится, притом абсолютно. Чтобы вычислить сумму этого ряда с указанной точностью, необходимо найти такой член, абсолютная величина которого меньше,, т. е. <, или >, иначе говоря, >. Следовательно, нужно просуммировать первых членов данного ряда. Так как a <,, то получаем следующую оценку для ошибки: r a <,. Пример 5. Исследовать, сходится или расходится ряд. Данный ряд знакочередующийся. Абсолютная величина его общего члена Поскольку a. 6

14 5 lim a lim e, т. е. общий член ряда к нулю не стремится, ряд расходится не выполнен необходимый признак сходимости. В заключение темы "Числовые ряды" напомним, какие признаки сходимости можно применять к рядам с положительными членами, и какие к знакопеременным рядам: Необходимый признак сходимости Ряды с положительными членами Признаки сравнения Признак Даламбера Признак Коши Интегральный признак Знакопеременные ряды Теорема Лейбница знакочередующиеся ряды Теорема об абсолютной сходимости знакопеременные ряды II. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. Сходимость функциональных рядов. Ряд u u u... u... называется функциональным, если его члены являются функциями от аргумента. При каждом фиксированном значении функциональный ряд становится числовым рядом u u u... u... Если ряд сходится, то называется точкой сходимости ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости, а функция S lim S lim k суммой данного ряда. Функция r S S называется остатком ряда. Если ряд расходится, то значение расходимости ряда. u k называется точкой

15 6 В простейших случаях для определения области сходимости ряда можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, считая фиксированным. a. Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида u a a a a a... a a..., где,,, числа, называемые коэффициентами ряда. При a ряд принимает вид a a a a... a... Теорема Абеля. Если ряд сходится при, то он абсолютно сходится при любом значении, удовлетворяющем неравенству <. Если ряд расходится при, то он расходится и при любом значении, для которого >. Область сходимости степенного ряда есть симметричный относительно начала координат O интервал R, R, называемый интервалом сходимости ряда. Число R R < называется радиусом сходимости ряда. Радиус сходимости может быть вычислен по формулам a R lim a или R lim. 4 a Степенной ряд внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Вне интервала сходимости ряд расходится. При R или R ряд может оказаться расходящимся, сходящимся условно или сходящимся абсолютно. Степенной ряд сходится абсолютно на интервале a R, a R. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция. Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то определённый интеграл от суммы ряда в этих пределах равен сумме таких же интегралов от членов ряда. Интервал сходимости нового ряда остаётся прежним. Пусть S a a a... a...

16 7 степенной ряд, имеющий интервал сходимости R, R. Тогда ряд ϕ a a a... a... сходится на том же интервале, и его сумма ϕ S ' при < R. Простейшим примером степенного ряда является геометрическая прогрессия Этот ряд сходится при q <. Следовательно, для данного ряда радиус сходимости R, а интервалом сходимости является интервал,. Сумма этого ряда равна S a в соответствии с формулой S, a, q. Поэтому для q функции S имеем следующее разложение в степенной ряд: < Пример. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда.! Применим формулу 4: a lim lim : lim. a!! R, значит, ряд сходится при всех, т. е. в интервале,. Заметим для дальнейшего, что из сходимости ряда вытекает: lim при всех.! Пример. Найти область сходимости степенного ряда! Радиус сходимости найдём по признаку Даламбера:! R lim lim.! e Таким образом, ряд сходится на интервале < <. Исследуем e e сходимость ряда на концах интервала: На левом конце ряд принимает вид, т. е. является! e знакочередующимся. Абсолютная величина его общего члена. учётом формулы Стирлинга стр. 4 эквивалентна при!e 5 с

17 8 e e. По теореме Лейбница, ряд на левом конце интервала сходится. На правом конце интервала ряд принимает вид e! ; / e e ~ e! a. Это ряд Дирихле при p, поэтому данный ряд на правом конце своего интервала сходимости расходится. Таким образом, область сходимости ряда есть промежуток e ; e.. Ряд Тейлора. Пусть функция f имеет на некотором отрезке непрерывные производные до -го порядка включительно, а точка a находится внутри этого отрезка. Тогда для любого из этого отрезка имеет место формула Тейлора:!...! ' R a a f a a f a f f, где остаточный член может быть записан в виде R! ξ a f R форма Лагранжа, причём ξ лежит между a и. Очевидно, число ξ можно записать также в виде a θ a, где < θ <. В случае a формула Тейлора принимает вид:!...! ' R f f f f, где θ! θ < < f R. 4 Формула носит название формулы Маклорена. Если функция f имеет производные всех порядков на некотором отрезке, содержащем внутри себя точку a, и выполняется условие

18 9 R lim для всех из указанного отрезка, то функция на этом отрезке является суммой степенного ряда f ' a f a f f a a... a... 6!! Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции. В случае a ряд Тейлора принимает вид f ' f f f !! Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции. Разложение функции в степенной ряд единственно, т. е., если функция f разложена каким-либо образом в степенной ряд f a a a... a a..., f a то a.! Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки a имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться к породившей его функции f только при тех значениях, при которых остаточный член R при неограниченном возрастании стремится к нулю. Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно: Написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычислить значения этой функции и её производных при a и подставить их в общее выражение ряда Тейлора 6; исследовать остаточный член R формулы Тейлора для данной функции и определить те значения, при которых полученный ряд сходится к данной функции, т. е. при которых lim. R При разложении функций в степенные ряды часто используются разложения в ряд Маклорена следующих функций: e < <!!!! si cos l!!!! 4 4! 5 5! !... 6! < < < < < 5 8 9

19 α α α α α α... α < <!!! < < < < 4 В скобках указаны промежутки, на которых верны данные разложения. Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию f arcsi, используя разложение функции. Разложим в ряд Маклорена, для чего воспользуемся формулой, заменив в этой формуле на и положив α. Получим: Этот ряд сходится при <. Интегрируя его по промежутку [, ], где < <, находим: d d Так как d arcsi, то 5... arcsi Полученный ряд сходится при < см.. 4. Приложения степенных рядов. Ряды широко используются в приближённых вычислениях. С помощью рядов с заданной точностью можно вычислить значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определённых интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений. Интегрирование многих дифференциальных уравнений не приводится к квадратурам, а их решения не выражаются в элементарных функциях. Решения некоторых из этих уравнений могут быть представлены в виде степенных рядов, сходящихся в определённых

20 интервалах. Ряд, являющийся решением можно найти или способом неопределённых коэффициентов, или способом, основанным на применении ряда Тейлора Маклорена. Способ неопределённых коэффициентов особенно удобен в применении к линейным уравнениям. 4 Пример. Вычислить интеграл e d с точностью. / 4 Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для этого в основное разложение 8, подставим вместо : 4 e < <.!!! Этот ряд можно интегрировать в любых конечных пределах, т. е. / 4 e / 4 d d!! d / 4 / 4.!! 4 Полученный числовой ряд есть знакочередующийся, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, поэтому если мы возьмём для вычислений несколько первых членов ряда, то ошибка, которая при этом будет сделана, не превзойдёт абсолютной величины первого из отброшенных членов. Замечаем, что третий член ряда 4 <. 5! Следовательно, чтобы вычислить интеграл с точностью до достаточно взять всего два члена ряда. С требуемой точностью / 4 e d 4! 4 4 9,448. 4, Пример. Найти первые пять членов разложения в ряд решения уравнения y ' y, удовлетворяющего условию y при. Искомое решение запишем в виде ряда Маклорена: y ' y '' y ''' y y y......!!!! Найдём выражения для трёх производных, дифференцируя исходное уравнение: y '' yy', y' '' y' yy' ', 4 y 6y' y' ' yy' ''.

21 Вычислим значения этих производных при, принимая во внимание начальное условие y и данное уравнение y ' y, откуда y ' ; y '' ; y ''' ; y Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получаем: 9 4 y III. РЯДЫ ФУРЬЕ. Рядом Фурье функции f, определённой на отрезке [, ], называется ряд a a cos b si, коэффициенты которого определяются по формулам При этом пишут a f d, a cos,,... f d, b si,,... f d. a f ~ a cos b si. Поскольку построение ряда. выполнено формально, то этот ряд может расходиться или сходиться, но сумма его, вообще говоря, может не совпадать с разложенной в него функцией..сформулируем достаточные условия, при выполнении которых ряд. имеет сумму, равную заданной функции f : Функция f может иметь на отрезке [, ] лишь конечное число максимумов и минимумов и должна быть непрерывной, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода. Эти условия называются условиями Дирихле. Теорема Дирихле. Если функция f удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [, ], то её ряд Фурье сходится к функции f во всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции

22 f c f c ряд сходится к полусумме её предельных значений слева и справа c точка разрыва первого рода. Если f f, то f f в точках ± ряд сходится к значению. При этом сумма ряда. является периодической с периодом функцией на всей оси O.. Пусть теперь функция f задана на отрезке [ l, l]. Ряд Фурье в этом случае имеет вид a f ~ a cos b si,. l l где a l l l l l a f d l, l f cos d l,,..., b f si d,,.... l l l Вопрос о сходимости ряда., в свою очередь, определяется теоремой Дирихле, но на отрезке [ l, l], соответственно. Суммой ряда будет периодическая на всей числовой оси функция с периодом l. Замечание: Значок ~ в. и. нужно понимать следующим образом: если f удовлетворяет условиям Дирихле на [, ] и [ l, l] соответственно, то во всех точках её непрерывности значок ~ надо заменить знаком и помнить, что в точках разрыва сумма ряда равна полусумме левого и правого пределов f в этих точках, а на концах f f f l f l отрезка, если f f f l f l соответственно. Пример. Разложить функцию,, f, < в ряд Фурье на интервале,.

23 4 Рис. si cos b a a f. Данная функция непрерывна на отрезке [, ] и не имеет там экстремумов, следовательно, удовлетворяет условиям Дирихле. Вычислим коэффициенты ряда: d d a ; si, cos,, cos cos v dv d du u d d a cos si si d ;, ,,,, cos нечётное k k k чётное k cos, si,, si si v dv d du u d d b cos cos d si cos. Таким образом, разложение функции f в ряд Фурье имеет вид si cos 4 k k k f. для 4. В соответствии с теоремой Дирихле, график суммы ряда Фурье функции f имеет вид Рис. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций.

24 5 а Пусть функция f, заданная на отрезке [ l, l] чётная и удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда ряд Фурье для этой функции б удет содержать только a и члены с косинусами, т. е. a f a cos, 4. l a l f cos d,,,..., b. l l Пример. Разложить в ряд Фурье на отрезке [, ] чётную функцию f. Рис. Данная функция непрерывна на заданном отрезке l и имеет на нём один экстремум, поэтому удовлетворяет условиям Дирихле. Ряд 4. в данном случае принимает вид a f a cos. Так как f при, то a d, u, du d, a cos d dv cos d, v si si si cos d, k чётное k,,..., 4 4, k нечётное. Следовательно, k f 4 cos k. k k В соответствии с теоремой Дирихле, график суммы ряда Фурье периодическая функция с периодом, которая совпадае т с f на отрезке [, ] рис. 4.

25 6 Рис. 4 На рис. 5 изображены графики частичных сумм ряда Фурье S cos, S cos cos, S cos cos cos 5 : 9 5 Рис. 5 б Пусть функция f, заданная на отрезке [ l, l] нечётная и удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда ряд Фурье для этой функции будет содержать только члены с синусами: f b si, l l где b f si d,,,... l l Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f.. на отрезке [, ] нечётную Рис. 6 Эта функция на заданном отрезке удовлетворяет условиям Дирихле, так как непрерывна и не имеет там экстремумов. Ряд Фурье для данной функции имеет вид f si, b

26 где 7 u, du d, b si d dv si d, v cos 4 4 cos cos d cos si 4. Таким образом, 4 f si. На рис. 7 изображены графики частичных сумм ряда Фурье S 4 si , S si si, S si si 4 si : Рис Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке [, l]. В этом случае можно доопределить функцию на полуинтервал [ l, либо чётным, либо нечётным образом. В первом случае получится чётная на [ l, l] функция, которая будет раскладываться в ряд Фурье по косинусам, а во втором нечётная на [ l, l] функция, и её ряд Фурье будет содержать только синусы. В обоих случаях на отрезке [, l] эти ряды дадут разложение исходной функции в ряд Фурье. Пример 4. Разложить функцию f, заданную на отрезке [, ], доопределив её чётным образом на полуинтервал [,. В результате получим чётную функцию φ ; для < будет φ φ f, следовательно, φ на [, ]. Разложение этой функции было сделано в примере, и оно одновременно является разложением f на отрезке [, ]. Пример 5. Разложить функцию f, заданную на отрезке [, ], в ряд Фурье, продолжив её нечётным образом на полуинтервал [-,

27 8 Рис. 8 В результате получим нечётную функцию φ ; для < будет φ, <, φ f, следовательно, φ Эта,. функция непрерывна на [, ] за исключением точки, в которой она и меет разрыв первого рода, т. е. удовлетворяет условиям Дирихле: φ b si, где u, du d, b si d dv si d, v cos cos cos d [ cos ] [ ] si. Таким образом, φ si. В этот ряд одновременно разложен а заданная на [, ] функция f. Замечание: Можно также разложить f и на отрезке [, l], но тогда в разложение войдут члены ряда и с синусами, и с косинусами, а сумма ряда будет периодической ф ункцией с периодом T l. 4

28 9 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. si!!! 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится,. Найти область сходимости степенного ряда. 9 х х 5. Вычислить интеграл с точностью до,. e ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. d y si y ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье f, < <

29 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. l! 4 si 5 4. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, l. Найти область сходимости степенного ряда. ch 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,5 х d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y y ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье f, < <

30 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. si 7 5! si 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится,. Найти область сходимости степенного ряда Вычислить интеграл с точностью до,. cos d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y e y ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье f, < <

31 Вариант 4. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.! 4 si. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, tg 4. Найти область сходимости степенного ряда.! 6 8 х х 5. Вычислить интеграл с точностью до,. d 8 ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y e y ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье f, < <

32 Вариант 5. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. l ! l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, si. Найти область сходимости степенного ряда. l 6 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,5 si d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y cos y ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье при < f, < < при < <

33 4 Вариант 6. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. si! 4! l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, si. Найти область сходимости степенного ряда Вычислить интеграл с точностью до,.,5 e 5 d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y e y; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье 4 f, < <

34 5 Вариант 7. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. cos cos. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, si. Найти область сходимости степенного ряда. l cos 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,5 d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье f, < <

35 6 Вариант 8. Исследовать сходимость знакоположительных рядов ! 5 e l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, l. Найти область сходимости степенного ряда. 5! l 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,4 cos 5 ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. d y y si ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. f, < <

36 7 Вариант 9. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. si! 4 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится,!. Найти область сходимости степенного ряда. sh 5. Вычислить интеграл с точностью до,., l ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y d y e y; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. при < f, < < при < <

37 8 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. tg 4 4 arctg l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится,!. Найти область сходимости степенного ряда.! Вычислить интеграл с точностью до,. d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y ; y 5 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье f, < <

38 9 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, arctg. Найти область сходимости степенного ряда Вычислить интеграл с точностью до,.,5 d 4 ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y cos y ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. f, < <

39 4 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. si l!! 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, -. Найти область сходимости степенного ряда. 4 arcsi 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,5 si 4 ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. d y e y ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье f, < <

40 4 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. tg! Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, si. Найти область сходимости степенного ряда.! 7 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,4 e 4 d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y y; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье при < < f, < < при <

41 4 Вариант 4. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.! 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится,. Найти область сходимости степенного ряда Вычислить интеграл с точностью до,., e ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. d y e y; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье f, < <

42 4 Вариант 5. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. tg! 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, arcsi. Найти область сходимости степенного ряда. l 6 5. Вычислить интеграл с точностью до,., l d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y si ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье f, < <

43 44 Вариант 6. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. 4 cos! 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, 4. Найти область сходимости степенного ряда Вычислить интеграл с точностью до,. d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y 5 e y ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. при < f, < < при < <

44 45 Вариант 7. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. si si 4 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, l. Найти область сходимости степенного ряда. si 5 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,4 e ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. d y y ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье при < f, < < при < <

45 46 Вариант 8. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. cos arctg 5 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится,. Найти область сходимости степенного ряда. 5 l 8 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,5 cos 4 ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. d y si y ; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. f, < <

46 47 Вариант 9. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. l 4 7! 4 cos 4. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится,. Найти область сходимости степенного ряда. 5 si 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,5 d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y' e y; y 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. f, < <

47 48 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. si 5! tg! l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, l. Найти область сходимости степенного ряда. si cos 5. Вычислить интеграл с точностью до,., si5 d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y ; y 4 7. Данную функцию f разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. при < f, < < при < <

48 49 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. l 7 4 8! 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.. Найти область сходимости степенного ряда. l в котором это разложение имеет место. sh 5. Вычислить интеграл с точностью до,., cos 5 ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. d y y cos si ; y 7. Разложить функцию в указанном интервале в неполный ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. f, < <

49 5 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. 5 l! 4 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, 6. Найти область сходимости степенного ряда. arctg 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,5 d 7 ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y e y ; y 7. Разложить функцию в указанном интервале в неполный ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. f, < <

50 5 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. si 4! l 5. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, 4. Найти область сходимости степенного ряда. 4 l Вычислить интеграл с точностью до,.,4 5 si ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. d y cos y si ; y 7. Разложить функцию в указанном интервале в неполный ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. f, < <

51 5 Вариант 4. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. l!! 4 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится,. Найти область сходимости степенного ряда Вычислить интеграл с точностью до,., e d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y ; y 7. Разложить функцию в указанном интервале в неполный ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. при < f, < < при < <

52 5 Вариант 5. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. arctg 5 4! 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится,!. Найти область сходимости степенного ряда Вычислить интеграл с точностью до,., e d ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y e y ; y 7. Разложить функцию в указанном интервале в неполный ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. f, < <

53 54 Вариант 6. Исследовать сходимость знакоположительных рядов arctg 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, 4. Найти область сходимости степенного ряда.! х х 5. Вычислить интеграл с точностью до,. l ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. 5 d y e y ; y 7. Разложить данную функцию f в указанном интервале в неполный ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. f, < < 4

54 55 Вариант 7. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. arctg 6! 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится,. Найти область сходимости степенного ряда. l 5. Вычислить интеграл с точностью до,. d 64 ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y y ; y 5 7. Разложить функцию f в указанном интервале в неполный ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. f, < <

55 56 Вариант 8. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. si 5 arctg 4 8!! 5 l l l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, si. Найти область сходимости степенного ряда.! l 5. Вычислить интеграл с точностью до,., e ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. d y y cos si ; y 7. Разложить функцию f в указанном интервале в неполный ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье при < < f, < < при <

56 57 Вариант 9. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. l 5 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, cos 6. Найти область сходимости степенного ряда.! e 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,4 l ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. d y y si ; y 7. Разложить функцию f в указанном интервале в неполный ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. при < f, < < при < <

57 58 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. arctg! si 4 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, l. Найти область сходимости степенного ряда. ch 5. Вычислить интеграл с точностью до,.,5 d 5 ряд решения y y удовлетворяющего данному начальному условию y a. y y ; y 7. Разложить функцию f в указанном интервале в неполный ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график функции f и график суммы ряда Фурье. при < f, < < при < <

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 45 «Сети

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

Математический анализ Конспект лекций

Математический анализ Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Математический анализ Конспект лекций для направления

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x)

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x) Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале ( 0, 0 ), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) ( ) f

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Белорусский национальный технический университет Факультет информационных технологий и робототехники Кафедра высшей математики 1

Белорусский национальный технический университет Факультет информационных технологий и робототехники Кафедра высшей математики 1 Белорусский национальный технический университет Факультет информационных технологий и робототехники Кафедра высшей математики СОГЛАСОВАНО СОГЛАСОВАНО Заведующая кафедрой Декан факультета Катковская И

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти радиус сходимости степенного ряда, используя признак Даламбера: ( 89 ( ) n n (n!) ) p (n + )! n= Ряд Тейлора f(x)

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. Учебное пособие

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВОЕННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ВВС «ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н. Е. ЖУКОВСКОГО и Ю. А. ГАГАРИНА» Н. Г. АФЕНДИКОВА, И. Н. ОМЕЛЬЧЕНКО, Г. В. РЫЖАКОВ, А. Ф. САЛИМОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРИМЕРЫ

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Основные понятия теории рядов Критерий Коши сходимости числового ряда Необходимый признак сходимости числовых рядов Достаточные признаки

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD Рязань 009 Предисловие Практикум является приложением к учебному

Подробнее