Решение: Исходные данные: = 2 = 2 = 2

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Download "Решение: Исходные данные: = 2 = 2 = 2"

Леонид Лихачёв
4 лет назад
Просмотров:

1 Задача 1 Для данного бруса требуется: - вычертить расчетную схему в определенном масштабе, указать все размеры и величины нагрузок; - построить эпюру продольных сил; - построить эпюру напряжений; - для опасного сечения определить размер поперечного сечения (d -?) при [σ]=140 МПа Исходные данные: F F = 4 F F = 5 F F = 2 l l l l l l = 2 = 2 = 2 Решение: 1. Построение эпюры продольных сил На брус действует три силы, следовательно, продольная сила по его длине будет изменяться. Разбиваем брус на участки, в пределах которых продольная сила будет постоянной. В данном случае границами участков являются сечения, в которых приложены силы. Обозначим сечения буквами A, B, C, D, начиная со свободного конца. Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем произвольное поперечное сечение. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D, начинаем расчеты со свободного конца бруса А. Разрезаем брус на участке АВ поперечной плоскостью в произвольном сечении I-I и отбрасываем левую часть бруса. Составляем уравнение равновесия отсеченной части.

2 F = 4F N = 0 N = 4F Разрезаем брус на участке ВС в произвольном сечении II-II и отбрасываем левую часть. Из уравнения равновесия отброшеной части находим продольную силу. F = 4F + 2F N = 0 N = 6F Разрезаем брус на участке СВ в произвольном сечении III-III и отбрасываем левую часть. Аналогично находим продольную силу. F = 4F + 2F + 5F N = 0 N = 11F По найденым значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учитывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянная. 2. Построение эпюры напряжений σ Действующая в поперечном сечении продольная сила N равномерно распределяется по всему сечению и, как следствие этого нормальные напряжения σ также равномерно распределяются по всему сечению. Их величина определяется по формуле. σ = N A где N продольная сила в поперечном сечении А его площадь. A = πd 4 σ АВ = N = 4F A A σ = N = 6F A A σ = N = 11F A A По полученным данным строим эпюру напряжений.

3 3. Условие прочности записываем в следующем виде: σ [σ] Максимальное напряжение σ находим по эпюре напряжений, выбирая максимальное по абсолютной величине: σ = 11F A = 11F 4 πd 11F πd Из условия прочности находим d d 44F 140π = 0.32 F

4 Задача 2 Для балки на двух опорах построить эпюры Q у и М х (эпюры Q у и М х рекомендуется строить в долях F и Fl соответственно). Выбрать опасное сечение. Из расчета на прочность, приняв F = 10 кн; l = 0,1 м; [ ] = 150 МПа, подобрать: - круглое сечение, диаметром d; - квадратное сечение, со сторонами, равными d; - двутавровое сечение. Исходные данные: F F = 4 F F = 2 l l l l = 2 = 1 M Fl = 3 M Fl = 2 Решение: 1. Определение опорных реакций. На схеме показываем опорные реакции R A, R C, H A. Записываем уравнение равновесия: Z = 0 ; H = 0 M = 0 ; 4Fl 3Fl R 3l + 2F 5l + 2Fl = 0 Отсюда R = M = 0 ; R 3l 4F 2l 3Fl + 2F 2l + 2Fl = 0

5 R = 5F 3 Проверим правильность вычислений, составив еще одно уравнение равновесия: Y = 0 R 4F + R 2F = 0 5F 3 4F + 13F 3 2F = 0 0=0 Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно. 2. Построение эпюры Q Мысленно разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых к балке приложены сосредоточенные силы или пары сил, начинаются или заканчиваются распределенные нагрузки, имеются промежуточные шарниры. В рассматриваемой балке граничными сечениями будут сечения A, B, C, D, E. Для каждого из четырех участков запишем аналитическое выражение Q(z). Участок AB, 0<z<l. Рассмотрим произвольно выбранное сечение с абсциссой z. Рассекая балку в этом сечении на две части и отбросив правую часть, вычисляем алгебраическую сумму проекций на ось у всех сил, действующих на оставшуюся часть: Q(z)=R A =5F/3 Поперечная сила не зависит от переменной z на протяжении всего участка, следовательно, эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси абсцисс. Участок ВС, l<z<3l. Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось у слева от сечения: Q(z)=R A -4F=-7F/3 Участок СD, 3l<z<5l. Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось у слева от сечения: Q(z)=R A -4F+R C =2F Участок DE, 5l<z<6l. Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось у слева от сечения:

6 Q(z)=R A -4F+R C -2F=0 По полученным данным строим эпюру Q. 3. Построение эпюры М х Запишем аналитическое выражение изгибающего момента для каждого участка балки. Участок AB: M (z) = R z = 5F 3 z Изгибающий момент возрастает по линейному закону и эпюра М х ограничена наклонной прямой. Вычисляем его значения на границах участка и строим эпюру М х на сжатом волокне. M (0) = 0 M (l) = 5 3 Fl Участок BC: M (z) = R z 4F(z l) = 5 3 Fz 4F(z l) = 4Fl 7 3 Fz На этом участке эпюра М х так же ограничена наклонной прямой. Вычисляем его значения на границах участка и строим эпюру М х. M (l) = 5 3 Fl M (3l) = 3Fl Участок CD: M (z) = R z 4F(z l) + R (z 3l) 3Fl = 5 3 = 12Fl + 2Fz 13 Fz 4F(z l) + F(z 3l) 3Fl = 3 На этом участке эпюра М х так же ограничена наклонной прямой. Вычисляем его значения на границах участка и строим эпюру М х. Участок DE: M (3l) = 6Fl M (5l) = 2Fl M (z) = R z 4F(z l) + R (z 3l) 3Fl 2F(z 5l) = = Fz 4F(z l) + F(z 3l) 3Fl 2F(z 5l) = 3 = 2Fl

7 На этом участке эпюра М х не зависит от z и ограничена прямой параллельной оси z. В точке Е: М х =М DE +2Fl=0 Рис.2.1 Расчетная схема балки (а), Эпюры поперечных сил (б) и изгибающих моментов (в) 4. По эпюре М х находим опасное сечение балки сечение, в котором изгибающий момент максимален по абсолютной величине. Для заданной балки изгибающий момент в опасном сечении М х мах =6Fl Из условия прочности определим требуемый момент сопротивления сечения W M [σ] = 6Fl [σ] = = м = 40 см

8 Подбираем круглое сечение диаметром d. Момент сопротивления круглого поперечного сечения определятся по формуле W = πd 32 d = 32W π = = 7.41 см 3.14 Подбираем квадратное сечение со стороной d d = 6W W = d 6 = 6 40 = 6,21 см Подбираем двутавровое сечение. По сортаменту требуемое W x =40 см 3 заключено между W x =39,7 см 3 (двутавр 10) и W x =58,4 см 3 (двутавр 12). Допускается перенапряжение 5%, поэтому выбираем двутавр 10, W x =39,7 см 3.

9 Задача 3 Стальной ступенчатый вал круглого поперечного сечения защемлен одним концом и нагружен системой скручивающих моментов. Для данного вала подобрать величину диаметра d по условиям прочности вала, построив при этом эпюры крутящих моментов и максимальных касательных напряжений. Принять: модуль сдвига стали G = МПа, [τ] = 90 МПа. Исходные данные: a = 1.5м b = 0,95м с = 1,3м М = 45кН м М = 22кН м М = 15кН м Решение: 1. Построение эпюры крутящих моментов М К. Для построения эпюры М К последовательно рассмотрим три участка вала, на каждом из которых применим метод сечений. Сделав произвольное поперечное сечение на участке CD, отбрасываем левую часть вала. Для оставшейся части вала в полученном сечении вводим крутящий момент М К1 в положительном направлении. Составляем уравнение равновесия в отсеченной части вала (сумма моментов относительно продольной оси равна нулю). М = 0 М К + М = 0 М К = М = 45 кн м Аналогично рассматриваем участок BC. Разрезаем вал поперечной плоскостью в произвольном сечении на этом участке, отбрасываем левую часть, для отсеченной правой части вводим внутренний крутящий момент М К2 в положительном направлении. Составляем уравнение равновесия для отсеченной части и находим крутящий момент М К2 : М = 0

10 М К + М + М = 0 М К = М М = = 67 кн м Участок АВ. Разрезаем вал поперечной плоскостью в произвольном сечении на этом участке, отбрасываем левую часть, для отсеченной правой части вводим внутренний крутящий момент М К3 в положительном направлении. Составляем уравнение равновесия для отсеченной части и находим крутящий момент М К3 : М = 0 М К + М + М + М = 0 М К = М М М = = 82 кн м По полученным значениям строим эпюру крутящих моментов. 2. Построение эпюры касательных напряжений для вала. На каждом участке вала определяем максимальные касательные напряжения в сечениях по формуле: τ = M W где W pi полярный момент сопротивления сечения на i-ом участке вала. Вал сплошного сечения, поэтому W p считаем по формуле: W = πd D W = 0.2d W = 0.2d W = 0.2(2d) = 1.6d Записываем выражения для максимальных касательных напряжений в поперечных сечениях вала на каждом участке: τ = M W = τ = M W = ,2d ,2d 225 = 10 d 335 = 10 d

11 τ = M W = d = 10 d Строим эпюру касательных напряжений. 3. Расчет вала на прочность По эпюре касательных напряжений определяем опасное сечение. На участке ВС касательное напряжение принимает максимальное значение τ = 335 d 10 Записываем условие прочности для вала в виде: τ [τ]

12 Откуда 335 d 10 [τ] d = 0.15м = 150мм Определяем значения диаметров на участках вала: D AB = 2d = 300 мм D BC = D CD = d = 150 мм

Похожие документы

МПа, предел текучести Т 240 МПа и коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести n Т

МПа, предел текучести Т 240 МПа и коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести n Т Номер варианта Номер схемы по рис..6 Задача. Ступенчатый брус нагружен силами, и F, направленными вдоль его оси. Заданы длины участков l, l, l и соотношение площадей их поперечных сечений и. Модуль упругости