PDF created with FinePrint pdffactory trial version

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "PDF created with FinePrint pdffactory trial version"

Транскрипт

1 Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа Корни из комплексных чисел Показательная функция комплексного аргумента Формула Эйлера Показательная форма комплексного числа При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области Поэтому изучим предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними Определение 7 Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел а : термин «упорядоченная» означает что в записи комплексного числа важен порядок чисел а и : При этом первое число а называется действительной частью комплексного числа и обозначается Re а второе число называется мнимой частью : I Определение 7 Два комплексных числа и равны тогда и только тогда когда у них равны действительные и мнимые части то есть Действия над комплексными числами Суммой комплексных чисел и называется комплексное число такое что Свойства сложения: а ; б ; в существует комплексное число : для любого комплексного числа Произведением комплексных чисел и называется комплексное число такое что Свойства умножения: а ; б в Замечание Подмножеством множества комплексных чисел является множество действительных чисел определяемых как комплексные числа вида а Можно убедиться что при этом определение операций над комплексными числами сохраняет известные правила соответствующих операций над действительными числами Кроме того действительное число сохраняет свое свойство при умножении на любое комплексное число: Определение 7 Комплексное число называется чисто мнимым В частности число называют мнимой единицей и обозначают символом Свойства мнимой единицы: ² -; чисто мнимое число можно представить как произведение действительного числа и : Следовательно любое комплексное число можно представить в виде: Определение 7 Запись вида называют алгебраической формой записи комплексного числа DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero

2 Замечание Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры Определение 75 Комплексное число числу называется комплексно сопряженным Вычитание комплексных чисел определяется как операция обратная сложению: называется разностью комплексных чисел и если Деление комплексных чисел определяется как операция обратная умножению: число называется частным от деления и если Следовательно действительную и мнимую части частного можно найти из решения системы уравнений: Геометрическая интерпретация комплексных чисел Комплексное число можно представить в виде точки на плоскости с координатами или вектора с началом в начале координат и концом в точке При этом модуль полученного вектора называется модулем комплексного числа а угол образованный вектором с положительным направлением оси абсцисс- аргументом числа Учитывая что ρ os φ ρ s φ где ρ - модуль а φ rg его аргумент можно получить еще одну форму записи комплексного числа: Определение 76 Запись вида ρ os φ s φ 7 называется тригонометрической формой записи комплексного числа В свою очередь модуль и аргумент комплексного числа можно выразить через а и : ρ gϕ Следовательно аргумент комплексного числа определен не однозначно а с точностью до слагаемого кратного π Легко убедиться что операция сложения комплексных чисел соответствует операции сложения векторов Рассмотрим геометрическую интерпретацию умножения Пусть ρosϕ sϕ ρ osϕ sϕ тогда ρosϕ sϕ ρ osϕ sϕ ρ ρ osϕ osϕ sϕ sϕ sϕ osϕ osϕ sϕ ρρ os ϕ ϕ s ϕ ϕ Следовательно модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей а аргумент сумме их аргументов Соответственно при делении модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя а аргумент разности их аргументов Частным случаем операции умножения является возведение в степень: ρ os ϕ s ϕ 7 - формула Муавра Используя полученные соотношения перечислим основные свойства комплексно сопряженных чисел: rg rg / / DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero 5

3 Извлечение корня из комплексного числа Определение 77 Комплексное число ϕ Из определения следует что ρ ρ ϕ Так как аргумент комплексного числа определен не однозначно можно получить различных значений для аргумента : ϕ π ϕ где φ одно из значений rg а - Окончательно формулу задающую все значения можно записать в виде: ϕ π ϕ π ρ os s 7 Пример Число 6 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: 6os s Найдем все значения 6 : π π os s os s osπ sπ π π os s называется корнем -й степени из если Показательная форма комплексного числа Введем еще одну форму записи комплексного числа На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями задаваемая формулой Эйлера: ϕ e osϕ sϕ 7 справедливость которой будет доказана в дальнейшем Используя эту формулу можно получить из 7 еще один вид комплексного числа: ρe ϕ 75 Определение 7 Запись вида 75 называется показательной формой записи комплексного числа Представление 75 позволяет легко интерпретировать с геометрической точки зрения операции умножения деления возведения в степень и извлечения корня используя известные свойства показательной функции Лекция Многочлены и их корни Теорема Безу Основная теорема алгебры Разложение многочлена на линейные множители в поле комплексных чисел Простые и кратные корни многочлена Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители Рациональные функции Деление многочленов выделение целой части рациональной функции Правильные рациональные функции их разложение на простейшие Рассмотрим в комплексной области многочлен то есть функцию вида где - комплексные числа Числа называются коэффициентами многочлена а натуральное число его степенью DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero 6

4 Определение Два многочлена и равны тогда и только тогда когда Определение Число называется корнем многочлена если Теорема теорема Безу Остаток от деления многочлена на не обязательно корень многочлена равен Разделив на получим: r где число r остаток от деления а многочлен степени меньшей При подстановке в это равенство найдем что r что и требовалось доказать Теорема основная теорема алгебры Всякий многочлен в комплексной области имеет корень без доказательства Разложение многочлена в комплексной области на линейные множители Пусть многочлен степени а его корень Тогда по теореме Безу можно представить в виде: - где - многочлен степени Если при этом - его вновь можно представить как - - Определение Натуральное число называется кратностью корня многочлена если этот многочлен делится на но не делится на Корень кратности называется простым а корень кратности большей - кратным Итак если корень кратности то Из основной теоремы алгебры следует что многочлен тоже имеет корень Обозначим его а его кратность Тогда а N N N где Следовательно в комплексной области всякий многочлен можно разложить на линейные множители Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители Определим для многочлен где - число комплексно сопряженное коэффициенту При этом Следовательно если корень то - корень Если коэффициенты действительные числа то и если его корень кратности то - тоже его корень причем той же кратности Но - квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом Если теперь применить к многочлену с действительными коэффициентами от действительной переменной формулу то r s r s s то есть всякий многочлен на множестве действительных чисел можно разложить на множители степени не выше второй DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero 7

5 Рациональные дроби Если и многочлены в комплексной области то - рациональная дробь Она называется правильной если степень меньше степени и неправильной если степень Р не меньше степени Любую неправильную дробь можно представить в виде: R S где S R R многочлен степень которого меньше степени Таким образом интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов то есть степенных функций и правильных дробей так как R является правильной дробью Лемма Если - правильная рациональная дробь и корень ее знаменателя кратности те то существуют число А и многочлен такие что где последнее слагаемое является правильной дробью При этом последнее слагаемое является правильной дробью Выберем число А так чтобы было корнем многочлена то есть Тогда по теореме Безу Лемма доказана Замечание Если коэффициенты многочленов Р и и выбранный корень знаменателя действительные числа то и коэффициенты многочленов и тоже действительные числа Теорема Если - правильная рациональная дробь и N N то существуют такие комплексные числа N что N 5 Применив раз лемму к дроби получим: DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero

6 9 * * где N N * Применяя затем ту же лемму к остальным корням знаменателя придем к формуле 5 Лемма Пусть Рх и многочлены с действительными коэффициентами причем ² где ² - < Тогда существуют такие действительные числа В С и многочлен с действительными коэффициентами Р х что 6 где последнее слагаемое тоже является правильной дробью 7 где последнее слагаемое является правильной дробью Выберем В и С такими чтобы число y корень многочлена ² было корнем многочлена х- х х Можно показать что при этом y y где Следовательно В и С действительные числа а и число комплексно сопряженное корни многочлена х-х х Тогда по теореме Безу он делится на Поэтому последнюю дробь в равенстве 7 можно сократить на ² и получить равенство 6 Используя эту лемму можно доказать следующую теорему: Теорема Если - правильная рациональная дробь а s r s s r где < то существуют такие действительные числа ; r s что s r Примеры 6 5 Полученная дробь должна совпадать с исходной при любых х следовательно коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях обеих дробей должны быть равными Отсюда то есть А В - Следовательно исходную дробь DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero

7 знаменатель которой имеет только действительные корни причем простые то есть кратности можно представить в виде: 6 5 D D D Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях получаем: D откуда А В - С D 5 Таким образом данную дробь знаменатель которой имеет действительный корень х кратности и комплексно сопряженные корни 7 ± преобразуем в сумму дробей: 5 Лекция 9 Интегрирование простейших и произвольных правильных дробей Интегрирование произвольных рациональных функций Интегрирование дробнолинейных иррациональностей В пошлой лекции было показано что любую правильную рациональную дробь можно представить в виде линейной комбинации дробей вида: < 9 Эти дроби называются простейшими или элементарными дробями Выясним каким образом они интегрируются l d d d d 9 d d d 9 Сделаем замену и обозначим ~ Тогда требуется вычислить интеграл d d d d d ~ ~ ~ DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero

8 ~ l ~ l rg rg 9 При интегрировании простейших дробей последнего типа воспользуемся той же заменой что и в предыдущем случае и представим подынтегральное выражение в виде: ~ ~ ~ I d d d где d I Рассмотрим отдельно способ интегрирования I d d d d I d I d I I 95 Таким образом получена рекуррентная формула позволяющая в конечном счете свести вычисление этого интеграла к rg d I Итак интеграл от любой простейшей дроби находится в явном виде и является элементарной функцией Теорема 9 Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке на котором ее знаменатель не равен нулю существует и выражается через элементарные функции а именно рациональные дроби логарифмы и арктангенсы Представим рациональную дробь в виде: R S см лекцию При этом последнее слагаемое является правильной дробью и по теореме ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей Таким образом интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S и простейших дробей первообразные которых как было показано имеют вид указанный в теореме Замечание Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители то есть поиск всех его корней Пример d d d 5 l l 7 l d d d 7 7 l l rg DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero

9 Интегрирование дробно-линейных иррациональностей Из ранее доказанного следует что любую рациональную дробь можно проинтегрировать поэтому в дальнейшем будем считать задачу интегрирования функции выполненной если удается представить эту функцию в виде рациональной дроби В частности для r r интегралов вида R d где R рациональная функция d d многочлен или рациональная дробь r r дроби с одним и тем же знаменателем d r r а замена приводит к Таким образом d d х является рациональной функцией следовательно его производная тоже будет рациональной функцией Кроме того - тоже рациональные функции от d так как целое число Поэтому после замены подынтегральное выражение примет вид R d где R рациональная функция интегрируемая описанными выше способами Замечание С помощью подобных замен можно интегрировать функции вида r r R и в частности R r r Примеры d d Сделаем замену тогда а d Следовательно d d d l l r 6 d Так как а выберем в качестве новой переменной Тогда d 6 d Поэтому d 6 d 6 d Лекция Интегрирование рациональных тригонометрических выражений Интегрирование квадратичных иррациональностей Интегрируемость в элементарных функциях Рассмотрим интегрирование некоторых тригонометрических выражений DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero

10 Интегралы вида α os βd sαs βd osα os βd s вычисляются с применением формул sα os β s α β s α β sαs β os α β os α β osα os β os α β os α β Пример s 5 osd s d s d os os 6 Интегралы вида s os d где т и п целые числа интегрируются с помощью замен: а если хотя бы одно из чисел тп нечетное например т можно сделать замену s или os при нечетном п Пример s os d s os os d s s d s s s d Пример os os os d s d d os d s s os d l l os l os os os б если т и п четные положительные числа можно понизить степени тригонометрических функций с помощью формул os α os α s α os α Пример os s d d os 6os os os d 6 os os s 6 d s d s d 6 s s s s os os d s s s os d s s 6 7 s s в если т и п четные и хотя бы одно из них отрицательно можно применить замену g или g Пример DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero

11 s s d 6 d g g dg d os os os os g g g Интегралы вида R s os d где R рациональная функция сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: g тогда d s os rg d то есть все составляющие подынтегрального выражения представляют собой рациональные функции от d d Пример d s g Если подынтегральная функция имеет вид R s² os² можно выбрать замену d g При этом s os rg d и степень полученной рациональной функции будет ниже чем при универсальной тригонометрической подстановке что облегчает дальнейшее интегрирование Пример d d d d s os g l l l g Интегрирование квадратичных иррациональностей При вычислении интегралов d R ± R d свести подынтегральную функцию к рациональной помогают замены: а s при этом s os ; d os d rs d б g тогда g ; d rg os os s os в соответственно ; s s s s osd d rs s Пример Вычислим интеграл d Пусть s тогда d s os osd s d os d s rs s rs Заметим что s s os s os os DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero

12 s s s Поэтому ответ можно представить в виде: d rs Пример Для вычисления интеграла 9 d выберем замену g При этом 9 d d s du d d os 9 os os s s s g u u u где u s Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших du u дробей получим: d l u u u u u u u u s 9 9 l l Учитываем что s s 9 s g g 9 Пример Вычислим интеграл d d s s os d os s d d с помощью замены s Тогда s d os osrs Интегрируемость в элементарных функциях В предыдущих лекциях рассмотрены методы интегрирования некоторых элементарных функций Однако далеко не все элементарные функции интегрируемы то есть имеют первообразные также являющиеся элементарными функциями В качестве примеров можно привести функции e s s и другие Этим l операция интегрирования отличается от дифференцирования при котором производная любой элементарной функции является тоже элементарной функцией Для отыскания интегралов от функций не имеющих элементарной первообразной вводятся и используются новые классы функций не являющихся элементарными Лекция Задачи приводящие к понятию определенного интеграла Определенный интеграл его свойства Теорема о среднем для определенного интеграла Для решения многих задач из различных областей науки и техники требуется применение определенного интеграла К ним относятся вычисление площадей длин дуг DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero 5

13 объемов работы скорости пути моментов инерции и тд Определим это понятие Рассмотрим отрезок [ ] оси Ох и определим понятие разбиения этого отрезка как множества точек : < < < - < При этом точки называются точками y yf х а х п- х п разбиения отрезки [ - ] отрезками разбиения их длины обозначаются Δ а число τ Δ Δ Δ называется мелкостью разбиения Пусть на [] задана функция y f Выберем на каждом отрезке разбиения по точке ξ и составим сумму вида f ξ называемую интегральной суммой функции f Если f > такая сумма равна сумме площадей прямоугольников с основаниями Δ и высотами fξ Определение Если для любого разбиения отрезка [ ] существует один и тот же конечный предел интегральных сумм при и τ : l τ f ξ I то функция f называется интегрируемой на отрезке [ ] а число I называется определенным интегралом f на [ ] и обозначается I f d Числа а и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования Кроме того определение определенного интеграла дополняется следующими утверждениями: f d f d f d Теорема необходимое условие интегрируемости Если функция интегрируема на некотором отрезке то она ограничена на нем Пусть f интегрируема на [] и f d I Зафиксируем какое-либо ε например ε По определению существует такое δ > что для любой DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero 6

14 интегральной суммы σ τ соответствующей разбиению для которого τ < δ верно неравенство σ τ I < откуда I < σ τ < I то есть множество интегральных сумм функции f ограничено Если предположить при этом что f неограничена на [] то она неограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения Тогда произведение f ξ Δ на этом отрезке может принимать сколь угодно большие значения то есть интегральная сумма оказывается неограниченной что противоречит условию интегрируемости f Замечание Условие ограниченности функции является необходимым но не достаточным условием интегрируемости В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле f если х рационально и f если х иррационально Для нее на любом отрезке [] и при любом разбиении на каждом отрезке Δ найдутся как рациональные так и иррациональные значения х Выбрав в качестве ξ рациональные числа для которых f ξ получим что f ξ Если же считать что ξ иррациональные числа то f ξ Следовательно предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не интегрируема ни на каком отрезке Свойства определенного интеграла Сформулируем понятия верхней и нижней интегральных сумм Пусть т наименьшее значение функции f на отрезке Δ а M ее наибольшее значение на этом отрезке Определение Сумма функции f на [] а S M s называется нижней интегральной суммой Свойства интегральных сумм - верхней интегральной суммой Так как на любом отрезке разбиения M то s S Если т наименьшее значение f на [] а М ее наибольшее значение на [] то s S M При добавлении к выбранному разбиению новых точек s может только возрастать а S только уменьшаться Пусть отрезок [ - ] разбит на р отрезков Обозначим нижнюю и верхнюю интегральные суммы на этих отрезках как s и S Но для отрезка [ - ] наименьшим значением функции является т к а наибольшим М к Следовательно по свойству s Δ соответствующему слагаемому общей интегральной суммы s а S M Δ слагаемому верхней интегральной суммы Таким образом каждое слагаемое s может только увеличиваться при добавлении новых точек а каждое слагаемое S только уменьшаться что и доказывает сформулированное утверждение Существуют l s s и l S S DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero 7

15 Из свойств и следует что s ограничена s M и монотонно возрастает Следовательно она имеет предел Подобное же рассуждение справедливо для S 5 Если f непрерывна на [] то s S Назовем колебанием функции f на отрезке Δх к разность ω M Тогда в силу непрерывности f ε > δ > : ω < ε при τ < δ Следовательно S s < ε то есть l S s что и требовалось доказать Замечание Так как s и S можно считать частными случаями интегральных сумм функции f то s S I f d 6 Для любых двух разбиений данного отрезка τ и τ sτ S τ Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть разбиение включающее все точки разбиений τ и τ и воспользоваться свойствами и Перечислим основные свойства определенного интеграла Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: f d f d f d l τ f ξ l τ f ξ f d f f d f d f d f f d l d f f d τ f ξ f ξ l τ Если на отрезке [] < f g то f d g d g f d l g ξ f g d f d ξ g f ξ τ ξ Отсюда следует что d f ξ f ξ f g d так как DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero

16 у А В Геометрическая интерпретация: площадь криволинейной трапеции аа В не больше площади аа В Если т и М наименьшее и наибольшее значения функции f на отрезке [] то f d M Так как f M по свойству d f d Md M следовательно f d M Md Но d у А В Геометрическая интерпретация: площадь криволинейной трапеции содержится М между площадями прямоугольников и А т В а 5 Теорема о среднем Если функция f непрерывна на отрезке [] то на этом отрезке найдется такая точка ξ что f d f ξ Пусть < т и М наименьшее и наибольшее значения функции f на [] Тогда по свойству f d M Тогда f d µ µ M Так как f непрерывна на [] она принимает на нем все промежуточные значения между т и М то есть существует ξ ξ такое что f ξ µ Тогда f d f ξ что и требовалось доказать 6 Для любых трех чисел справедливо равенство d f d f f d если все эти интегралы существуют Пусть < < Составим интегральную сумму так чтобы точка с была точкой деления Тогда f f ξ f ξ ξ Переходя к пределу при τ получим доказательство свойства 6 DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero 9

17 Если < < то по только что доказанному d f d f d f d f d Но d d f d с f f d или f f d поэтому f f d Аналогично доказывается это свойство и при любом другом расположении точек и с Лекция Интегрируемость непрерывных кусочно-непрерывных и монотонных ограниченных функций Производная интеграла по переменному верхнему пределу Формула Ньютона Лейбница Теорема Функция непрерывная на отрезке интегрируема на нем Если функция f непрерывна на отрезке [] то она во-первых ограничена на нем а вовторых равномерно непрерывна то есть ε > δ > такое что [ ] < δ f f < ε Тогда для разбиения в котором τ < δ колебание ω < ε следовательно < S s < ε и по свойству 5 верхних и нижних интегральных сумм получим что существует f d Теорема Функция монотонная на отрезке интегрируема на нем Пусть f возрастает на [] Тогда [ ] f f f то есть f ограничена на [] Кроме того для любого интервала [ - ] f M f Следовательно S s M f f τ f f τ f f f f f f Поэтому l S s следовательно f интегрируема на [] τ Замечание В теореме не требовалась непрерывность функции Монотонная функция может быть и разрывной при этом она является интегрируемой по теореме Теорема Если f непрерывная функция и Φ f d то Φ f Производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела Пусть Δх приращение аргумента х Тогда по свойству 6 определенного интеграла Φ f d f d f d Φ Φ Φ DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero f d

18 По теореме о среднем свойство 5 Φ f ξ f ξ где < ξ < Φ f ξ Φ Поэтому f ξ Следовательно Φ l l f ξ Но при ξ и вследствие непрерывности функции f l f ξ l f ξ f Таким ξ образом Φ f Теорема доказана Замечание Из теоремы следует что всякая непрерывная функция имеет первообразную так как по теореме она интегрируема а по теореме ее первообразной является Φ f d Теорема Если F является первообразной непрерывной функции f то справедлива формула f d F F называемая формулой Ньютона Лейбница По теореме f d - первообразная функции f поэтому F и f d отличаются на постоянное слагаемое С Следовательно а Пусть ха тогда из получим - F Тогда f d F f d F то есть F откуда f d F F Принимая в этом равенстве получим формулу Ньютона Лейбница: f d F F Замечание Обычно вводится обозначение записывается так: f d F F F Примеры e e d d l e F F F и формула e l e l e e π π d rs rs rs 6 6 DF reed wh Fer dffory rl verso h://wwwfero

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д.

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д. Математический анализ Часть. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика»

Подробнее

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д.

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д. Математический анализ Часть. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика»

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b)

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b) Лекция подготовлена доц Мусиной МВ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функции и неопределенный интеграл В прошлой главе мы ввели понятие производной и научились находить производные элементарных функций

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по курсу ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА для студентов первого курса

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Как по данной функции fх найти такую функцию Fх, производная которой равна данной функции. Опр. Функция Fх называется первообразной от

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2 Разложение рациональных дробей на простейшие Лекция 1 n n1 Пусть Pn ( z) anz an 1z a0, an 0 многочлен степени n с комплексными в общем случае коэффициентами. Теорема 1. Всякий многочлен степени n можно

Подробнее

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов Тригонометрические формулы k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ИМЭИ ИГУ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Гражданцева ЕЮ, Дамешек ЛЮ В пособии излагается основной теоретический материал по теме: Неопределенный интеграл Приводятся

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл Методы

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Лекция 5. Комплексные числа

Лекция 5. Комплексные числа Лекция 5 Комплексные числа Не все многочлены с вещественными коэффициентами имеют вещественные корни. Например, многочлен x + x + не имеет вещественных корней, т.к. уравнение x + x + = 0 имеет отрицательный

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и. 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа в алгебраической форме 1Основные понятия Определение 1 Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение вида, где и действительные числа, а так называемая

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Лекции по интегральному исчислению Случай одной переменной

Лекции по интегральному исчислению Случай одной переменной Московский Государственный Университет Природообустройства А А Полежаев Лекции по интегральному исчислению Случай одной переменной Москва ISBN МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Множество комплексных чисел. Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных чисел недостаточно. Например, уравнение

Множество комплексных чисел. Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных чисел недостаточно. Например, уравнение 8 Примеры : ) Пусть A [,5] mifa, MsupA5 ) Пусть A (,) 5 mifa, MsupA5 3) Пусть { } A < 5, R, m if A 5, M supa 5 Множество комплексных чисел Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных

Подробнее

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 =

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 = Лекция. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.. Числовое поле. Числовое поле множество чисел, в котором корректны арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число. Примеры числовых полей:

Подробнее

называется первообразной для функции f (x) X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство является функция f (x), так как x ;

называется первообразной для функции f (x) X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство является функция f (x), так как x ; ГЛАВА 5 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятия первообразной и неопределённого интеграла П Понятие первообразной Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции

Подробнее

C R. ( x) . 3) + C. (3). (4)

C R. ( x) . 3) + C. (3). (4) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет имени НИ Лобачевского СЮ Галкина, ОЕ Галкин НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Курс лекций Рекомендовано методической

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b)

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b) Глава 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функции и неопределенный интеграл В прошлой главе мы ввели понятие производной и научились находить производные элементарных функций Теперь мы научимся решать

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: Лекция МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая форма комплексного числа Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая

Подробнее

Тематическое планирование по алгебре 11а класса у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов

Тематическое планирование по алгебре 11а класса у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов Тематическое планирование по алгебре 11а класса 2011 2012 у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов I полугодие [1 неделя] [1 2] Контрольная работа по курсу 10 класса [3 5] Первообразная. Неопределенный

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

МАТЕМАТИКА КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК

МАТЕМАТИКА КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК МАТЕМАТИКА КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК Алгебра Модуль действительного числа Модулем числа называется само это число если оно неотрицательно и противоположное ему число если оно отрицательно: { Выделим несколько

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.В. Ишханян МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 2 МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 2 МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Учебно-методический

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Комплексные числа и действия над ними

Комплексные числа и действия над ними Комплексные числа и действия над ними Лекция 1 Л. И. Лазарева, И. А. Цехановский Курс: Ряды и комплексный анализ Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 1. Определение и различные формы записи комплексного числа

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 1. Определение и различные формы записи комплексного числа КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа представляют собой расширение множества действительных чисел Впервые с необходимостью их введения математики столкнулись при изучении кубических уравнений В XVI в была

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

dx = F (+ ) F (a) (8.37)

dx = F (+ ) F (a) (8.37) 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Интегральное исчисление Составила: Миргородская Ирина

Подробнее

Интегралы Определенные и Неопределенные

Интегралы Определенные и Неопределенные 1 Интегралы Определенные и Неопределенные Опр. Интеграл функции это естественный аналог суммы последовательности. Опр. Интегрирование процесс нахождения интеграла. Зам. Интегрирование это операция обратная

Подробнее

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ ( u = u( Непосредственное интегрирование. степенные функции. m u. du = показательные функции

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ ( u = u( Непосредственное интегрирование. степенные функции. m u. du = показательные функции ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ 0 степенные ии l показательные ии l дробные рациональные и иррациональные ии 5 rg 6 l 7 rsi 8 l тригонометрические ии 9 si 0 si g g si гиперболические ии sh h h sh 5 h h 6 h sh f F C

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Многочлены Многочленом с одной переменной старшим коэффициентом значением многочлена корнем

Многочлены Многочленом с одной переменной старшим коэффициентом значением многочлена корнем Многочлены Многочленом с одной переменной х степени n называют выражение вида, где - любые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем называют старшим коэффициентом многочлена Если вместо переменной

Подробнее

Как выразить вещественную и мнимую части комплексного числа через пару комплексно сопряженных чисел? Вычислите (представьте решение в виде z x iy):

Как выразить вещественную и мнимую части комплексного числа через пару комплексно сопряженных чисел? Вычислите (представьте решение в виде z x iy): Тема.Компексные числа и функции. Определение комплексного числа, алгебраическая форма комплексного числа. Вещественная и мнимая части комплексного числа. Операции сложения и умножения комплексных чисел.

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее