ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Save this PDF as:
Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ"

Транскрипт

1 М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Волгодонский инженерно-технический институт филиал НИЯУ МИФИ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий Волгодонск

2 Задание Составить уравнение касательной и нормали к графику функции y ) в точке с абсциссой х Уравнение касательной к графику данной функции y ) в точке с абсциссой х имеет вид: y y y ( ) ( ), () где y ) - значение функции в точке, y ( ) - значение производной функции y ) в точке, которое даст значение углового коэффициента касательной Уравнение нормали к графику функции y ) в точке с абсциссой х имеет вид: y y ( y ( ) ) () Пример Пусть дана функция y, Написать уравнения касательной и нормали Решение Тогда y ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y () Напишем уравнение касательной по формуле (): y ( ) В итоге y 5 Уравнение нормали напишем по формуле (): y ( ) В итоге y Задание Теорема Лопиталя Пусть функции f () и g () дифференцируемы в некоторой окрестности точки за исключением, может быть, самой точки и непрерывны в этой окрестности (включая саму точку ), причем g () и f ( ) = g ( ) = Тогда, если f ( ) f ( ) существует, то существует и эти пределы равны, то есть g ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( )

3 Таким образом, для нахождения предела f ( ) (для раскрытия неопределенности g( ) типа ( )) достаточно найти производные числителя и знаменателя дроби и вычислить f ( ) предел g ( ) Такое же правило применяется при типа ( ), а также для раскрытия неопределенностей Замечание Если производные числителя и знаменателя в свою очередь стремятся к нулю или, то описанное правило применяется повторно и так далее Для вычисления предела вида g( ) f ( ), где f () и g (), или f () и g (), или f () и g (), можно использовать описанное правило, предварительно прологарифмировав выражение Пример Вычислить Решение cos cos ( cos ( ) sin g( ) A f ( ) cos ) (sin ) () Пример Вычислить sin Решение ( = sin (sin ) ) cos Пример Вычислить ( ) Решение Ясно, что рассматриваемый предел представляет собой неопределенность типа Логарифмируем выражение ( ) A ln( ) ) Получаем ln A ln( С учетом последнего равенства находим:

4 ln( ) (ln( )) ln A ( ) Воспользовавшись непрерывностью функции y ln на вcей естественной области определения, получим: ln A ln A A Отсюда ( ) Задание Если функция f () непрерывна на замкнутом промежутке [ a ; b], то наибольшее и наименьшее значения она принимает или на концах этого отрезка, или в точках ее экстремума Следовательно, для решения поставленной задачи надо найти значения функции на концах отрезка [ a ; b] и в стационарных точках, принадлежащих этому отрезку Затем из них выбрать наименьшее и наибольшее значения Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( ) на отрезке [ ; ] Решение Определяем критические, или стационарные, точки функции f () : f ( ) ; ; ; Рассматриваем только те стационарные точки, которые принадлежат отрезку [ ; ] Такой точкой является точка Вычисляем значения функции на концах промежутка и в точке : ) f ( ) ( ) ( ) 5 ; ) f () = ; ) f () = Ясно, что наибольшее значение функции будет равно, которое она принимает в точке ; наименьшее значение принимается функцией в точке и равно 5 Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( ) на отрезке [ ;] Решение Определим критические точки функции f () : f ( ) ; ; [ ; ; Точка расположена на отрезке ] Вычисляем значения функции на концах промежутка и в точке ) f ( ) ( ) ( ) 5 ; :

5 ) f ( ) = ; 8 ) f () =,59,77 Наибольшее значение функции будет равно, которое она принимает в точке ; наименьшее значение принимается функцией в точке и равно 5 Задание По условию задачи составляется функция одной переменной, которую исследуют на наибольшее и наименьшее значение на заданном отрезке Пример Число 6 представить в виде произведения двух положительных сомножителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей Решение Два положительных числа, произведение которых равно 6, запишем в виде и 6 Составим функцию f (), равную сумме квадратов чисел и 56 f ( ) Исследуем полученную функцию на минимум f ( ) 56 ( ) 56, f ( ), f ( ) ( )( )( 6) f, если х=, х=- ( 6 ) f не определена, если х= С помощью метода интервалов исследуем f () : 6 : (- ;-) =- (-;) = (;) = (;+ ) f + f убывает min возраста ет не сущест вует не сущест вует + убывает min возраста ет 6 Положительное значение х= - искомый минимум функции f () Значит,, Ответ 6= Задание 5 Общее исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме: ) Найти область определения функции ) Найти точки пересечения с осями координат

6 ) Выяснить, не является ли функция четной или нечетной, периодической или непериодической ) Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках Установить интервалы монотонности функции 5) Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения функции в этих точках Установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции 6) Найти асимптоты графика функции 7) Используя результаты исследований, построить график функции Пример Исследовать функцию y 9 и построить ее график Решение ) Функция определена и непрерывна на всей оси Итак, D ( f ) ( ; ) ) Найдем точки пересечения с осями координат а) с осью ОХ: y 9,,, Следовательно, точки пересечения с осью ОХ A ( ;), A ( ; ), A (; ), A (; ) ; б) с осью ОY: y () 9 Следовательно, точка пересечения с осью ОY O (;9) ) Функция четная, так как y ( ) ( ) ( ) 9 9 ) (поэтому ее график будет симметричен относительно оси OY) Функция непериодическая ) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции Имеем y = Следовательно, точки 5,, 5 будут подозрительными на экстремум Разбиваем всю область определения на промежутки ( ; 5), ( 5;), ( ; 5), ( 5; ) и исследуем функцию для Информация о поведении функции на интервале ( 5;) необходима для анализа функции в точке По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке Результаты исследований заносим в таблицу: ( 5;) ( ; 5) 5 ( 5; ) y () ) Возрастает yma 9 Убывает ymin 6 Возрастает 5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную: y Находим точки, в которых y или y не существует y при 5 Исследуем знак второй производной на промежутках ( ; ), ( ; ), ( ; ) и результаты исследований представим в таблице:

7 5 ( ; ) ( ; ) 5 ( 5 ; ) y () ) Выпукла Перегиб Вогнута Перегиб Выпукла 6) Вертикальных асимптот нет, поскольку область определения функции вся числовая ось Найдем наклонную асимптоту y k b : ) 9 k = Следовательно, наклонных асимптот нет 7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис) Пример Исследовать функцию ( ) Рис y и построить ее график Решение ) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки Итак, D ( f ) ( ;) (; ) ) Найдем точки пересечения с осями координат а) с осью ОХ: y Следовательно, точка пересечения с осью ОХ O (;) б) с осью ОY: y () Следовательно, точка пересечения с осью ОY O (;)

8 ) Функция общего вида, так как Функция непериодическая ) ( ) (( ) ) ( ) ) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции ( ) ( ) ( ) Имеем y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Следовательно, точка будет подозрительной на экстремум Точка, в которой производная не существует, но в этой точке не существует и функция Разбиваем всю область определения на промежутки ( ;), ( ; ), ( ; ) и исследуем функцию на указанных интервалах По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке Результаты исследований заносим в таблицу: ( ;) ( ; ) ( ; ) y () нет ) Убывает ymin Возрастает нет Убывает 5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную: ( ) 6( ) y 6 ( ) ( ) (( ) 6 ( ) ) ( ) ( ) Находим точки, в которых y или y не существует: y при существует при Исследуем знак второй производной на промежутках ( ; ), ( ;), ( ; ) и результаты исследований представим в таблице: ( ; ) ( ; ) ( ; ) y () нет, не ) Вогнута Перегиб Выпукла нет Выпукла 6) Найдем вертикальные асимптоты: Исследуем поведение функции в окрестности точки : ( ) ; ( ) Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет вид:

9 Найдем наклонную асимптоту y k b : ) k ; ( ) b ( ) k) ( ) Следовательно, наклонная асимптота: y 7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис) Рис Пример Исследовать функцию y и построить ее график Решение ) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки Итак, D ( f ) ( ;) (; ) ) Найдем точки пересечения с осями координат а) с осью ОХ: y точек пересечения с осью ОХ нет б) с осью ОY: y () Следовательно, точка пересечения с осью ОY A ( ; ) ) Функция общего вида, так как Функция непериодическая ) ) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции ( ) ( ) Имеем y ( ) ( ) Следовательно, точка будет подозрительной на экстремум Точка, в которой производная не существует, но в этой точке не существует и функция Разбиваем всю область определения на промежутки ( ;), ( ;), ( ; ) и исследуем функцию на

10 указанных интервалах По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке Результаты исследований заносим в таблицу: ( ;) ( ;) ( ; ) y () нет ) Убывает нет Убывает y min Возрастает 5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную: ( ( ) )( ) ( )( ) y ( ) ( )(( )( ) ( )) ( 8 7) 6 ( ) ( ) Находим точки, в которых y или y не существует: y, не существует при Исследуем знак второй производной на промежутках ( ;), ( ; ) и результаты исследований представим в таблице: ( ;) ( ; ) y () нет y () Вогнута нет Выпукла 6) Найдем вертикальные асимптоты: Исследуем поведение функции в окрестности точки : ( ) ; ( ) Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет вид: Найдем наклонную асимптоту y k b : ) k ; ( ) Следовательно, при асимптоты нет ) k ( ) b ( ) k) ( ) Следовательно, при наклонная асимптота: y 7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис)

11


равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0

1.Областью определения функции является интервал x ( ;0) 3.Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек разрыва. Точка x 0 Построить график функции y Областью определения функции является интервал ( ;0) (0; ) Функция y является четной, тк y( ) y( ), а ( ) график функции симметричен относительно оси OY 3Рассмотрим поведение

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя). Контрольная работа 2 (КР-2) Тема 3. Пределы и производные функций Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Подробнее

СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ ПРИМЕРЫ

СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ ПРИМЕРЫ СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ Найти область определения функции Исследовать четность и периодичность функции Исследовать точки разрыва найти вертикальные асимптоты 4 Найти наклонные асимптоты (если

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач 0. Исследование функций 0.. Основные формулы и определения для решения задач Правилом Лопиталя называют теоремы, сводящие вычисление предела отношения двух функций в случае неопределённости 00 или к вычислению

Подробнее

Построение графиков функций с помощью производной

Построение графиков функций с помощью производной Построение графиков функций с помощью производной Способ построения графика функции по точкам несовершенен. Даже вычисление ординат большого числа точек может не дать точное представление о графике, а,

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 2 ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 2 ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее

Инструкция для выполнения домашнего задания 2

Инструкция для выполнения домашнего задания 2 Инструкция для выполнения домашнего задания Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл, заполнить первую строку табл, затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из

Подробнее

Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной

Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной Еще готовые работы: https://www.matburo.ru/sub_appear.php?pissl Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной Задача. Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции:

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений.

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений. Вариант Найти область определения функции : si + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и si Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π (k+ π,

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Исследование поведения функции с помощью производных Интервалы монотонности. Экстремумы Определение. Промежутки, на которых функция f (x) возрастает (убывает),

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

Решать задачи с использованием производной: x 2. Пользуясь определением, найдите производную функции. Найдите производные функций:

Решать задачи с использованием производной: x 2. Пользуясь определением, найдите производную функции. Найдите производные функций: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база и профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности,

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

Контрольная работа с решением Исследование функции и построение графика. 6) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную: '

Контрольная работа с решением Исследование функции и построение графика. 6) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную: ' Контрольная работа с решением Исследование функции и построение графика Задача 1. Заданную функцию исследовать методами дифференциального исчисления. Построить график функции. ( 1) 3 y = Решение. 1) Область

Подробнее

Исследование функций с помощью производной.

Исследование функций с помощью производной. ... Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функций. Теорема. ) Если функция f) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x x> Освободимся от знака модуля: при x 0 неравенство x x>

Область определения данной функции определяется неравенством x x> Освободимся от знака модуля: при x 0 неравенство x x> Вариант Найти область определения функции : y / Область определения данной функции определяется неравенством > Освободимся от знака модуля: при неравенство > никогда не выполняется; при < неравенство >

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Исследование функций и построение графиков

Исследование функций и построение графиков Исследование функций и построение графиков Теоретический материал Содержание 1) Область определения функции 2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность) 4) Точки пересечения функции с осями

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки Вариант Найти область определения функции : y lg Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > и lg или Достаточно рассмотреть второе неравенство так как первое неравенство перекрывается

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u ; ) (сигнум u). показательные функции

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u ; ) (сигнум u). показательные функции ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos) степенные функции. ) a. b. ) c. ) e. ) ) показательные функции. a ) a l a a. e ) e логарифмические функции 4. loga ) l a 4a. l ) a l l a l b l a l a ) b тригонометрические функции

Подробнее

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u).

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u). ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos ) степенные. ). ) b. ) c. ) e. ) ) показательные. ) l. e ) e логарифмические. log ) l. l ) l l l b l l ) b тригонометрические. si ) cos 6. cos) si 7. g ) cos 8. cg ) si обратные

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2.

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д). 2. ЗАДАЧА Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) г); с использованием правила Лапиталя в пункте д) х + х х + + 6х а) lim ; б) lim ; х х + х х х ( + х ) + х в) lim ; х х + Решение

Подробнее

3. Производная функции

3. Производная функции . Производная функции Актуальность темы Понятие производной одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО ОВ Сильванович, ГВ Тимофеева ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (МОДУЛЬ ) ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Подробнее

Практическая работа 6. Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков»

Практическая работа 6. Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков» Практическая работа 6 Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков» Цель работы: научиться исследовать функции по общей схеме и строить графики. В результате выполнения работы студент должен:

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Контрольная по высшей математике за 1 курс

Контрольная по высшей математике за 1 курс Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatbror Контрольная по высшей математике за курс Найдите производные от данных функций: а, б tg tg, в arctg, Решение a Тк,, то воспользуемся формулой из таблицы

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Математический анализ. Часть 1» Задание 2. Найдите производные функций. 2. а) б) ( ) 12. а) 2.

( ) ( ) ( ) ( ) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Математический анализ. Часть 1» Задание 2. Найдите производные функций. 2. а) б) ( ) 12. а) 2. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Математический анализ. Часть» Задание. Найдите производные функций.. а) б) ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( ) Задание. Найдите производные функций.. а) arctg ) ( ) ( ) ( б) ln ln ) (ln ln ln ln

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума).

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума). 6 По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума) Стационарная точка функции f( ), дважды дифференцируемой в Oδ ( ), является

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для модуля ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Харьков

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

{ интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции }

{ интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции } { интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции } Интервалы монотонного возрастания и убывания функции

Подробнее

7. Общий план исследования функции и построение её графика

7. Общий план исследования функции и построение её графика 7 Общий план исследования функции и построение её графика Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах Исследование функции по этому плану позволит

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x Практическая работа Полное исследование функции и построение графика Цель: закрепить навыки исследования функций и построения графиков Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

Исследование функций и построение графиков с помощью производной

Исследование функций и построение графиков с помощью производной ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям); Преподаватель: Шарапова Н.А. Студент должен

Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям); Преподаватель: Шарапова Н.А. Студент должен Министерство труда, занятости и трудовых ресурсов Новосибирской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Новосибирской области «Новосибирский радиотехнический колледж»

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Урок на тему: Построение графиков.

Урок на тему: Построение графиков. Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали

Подробнее

Приложение производных к исследованию функций

Приложение производных к исследованию функций Приложение производных к исследованию функций Лекции 1 6 Л.И. Терехина, И.И. Фикс Курс: Высшая математика Семестр 1, 2009 год portal.tpu.ru Теорема 1 (Ферма) Если функция y = f (x): 1) непрерывна в замкнутом

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1. Возрастание и убывание функции. Для того чтобы дифференцируемая на интервале ( ab, ) функция f была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Аналогично, условие

Подробнее

y и постройте еѐ график.

y и постройте еѐ график. Вариант 1 1 Найдите производную функции y 1 в точке Найдите f (0), если sin 0 Составьте уравнение касательной к графику функции 1, в точке графика с абсциссой 0 Составьте уравнение касательной к графику

Подробнее

Практическая работа «Применение производной к исследованию функций»

Практическая работа «Применение производной к исследованию функций» Практическая работа «Применение производной к исследованию функций» Цель: закрепить и проверить ЗУН по исследованию функций с помощью производной Оборудование: канцелярские принадлежности, методическая

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Решение задач на тему "Производная"

Решение задач на тему Производная МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

График производной функции. Промежутки монотонности функции

График производной функции. Промежутки монотонности функции График производной функции Промежутки монотонности функции Пример 1. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (1;13). Найдите промежутки возрастания функции

Подробнее

Исследование функции и построение её графика

Исследование функции и построение её графика Исследование функции и построение её графика Пункты Исследования: 1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции. 2) Асимптоты графика функции. 3) Нули функции, интервалы

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты индивидуальных заданий

Подробнее

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x)

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x) Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале ( 0, 0 ), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) ( ) f

Подробнее

4 и решим неравенства: 2 и. не существует. Причем, если x 0 - критическая точка, то y f ( x ) достигает своего максимума в этой точке, f (x)<0

4 и решим неравенства: 2 и. не существует. Причем, если x 0 - критическая точка, то y f ( x ) достигает своего максимума в этой точке, f (x)<0 Тема: Исследование функций с помощью производных Возрастание и убывание, экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции Исследование функции на монотонность Теорема Если во всех точках некоторого

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба 3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть l кривая, M 0 точка кривой, причем в M 0 существует невертикальная касательная к l. Кривую l называют выпуклой в точке M 0, если в некоторой

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : arcsi Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или Из

Подробнее