МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»"

Транскрипт

1 МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной к исследованию функций. Признак возрастания (убывания) функции. Критические точки функции. Точки максимума и минимума. Наибольшее и наименьшее значение функций.. Применение непрерывности Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то ее называют непрерывной на этом промежутке. А промежуток называют промежутком непрерывности. График функции на этом промежутке представляет собой непрерывную линию. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке. Все дробно рациональные и основные тригонометрические функции дифференцируемы во всех точках своих областей определения. Следовательно, эти функции непрерывны в каждой из этих точек. Свойство непрерывной функции Если на интервале (a,b) функция непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.. Метод интервалов Пусть функция непрерывна на интервале и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. В соответствии со свойством непрерывной функции этими точками разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция сохраняет знак. Пример. Решите неравенство 6 Функция ( ) - это дробно рациональная функция и непрерывна в 6 каждой точке своей области определения. Для определения области определения

2 необходимым условием существования функции функции (): или и 6. ( ) являются нули 6 Соответственно, решив данные неравенства, получим: и. Таким образом, вся числовая прямая (- ; + ) разбивается точками и и нулями функции на интервалы (- ; -), (-;), (;), (;) и (; + ). ( ) Подставляя произвольные точки из каждого интервала в функцию, находим знаки значений функции () на каждом интервале: ( 4) 7, ( 4) 7, , 6,, (,) (,) 6,, 6 6,, 6,,,, (,),666 (,),666 6,, 6, 7, 6,,7 ( ) ( ) (,),, (,),79 (,),79 (,) (,) 6, 7, 6,7 Учитывая знак исходного неравенства ( ), придем к решению : ( ; ] [;) (; ) Пример. Найдите один из корней уравнения с точностью до,. Функция ( ) непрерывна и поэтому достаточно найти отрезок длиной,, на концах которого функция имеет значения разных знаков. В точке = значение функции (), то есть ( ).

3 В точке = значение этой функции () и это значит, что ( ). Поэтому корень уравнения существует и принадлежит отрезку [;]. Значения функции в точке =,6 равно (,6),6,6, 84, то есть (,6), а так как значение функции в точке = положительно: ( ), то корень лежит на отрезке [,6;]. Далее, вычисляем значение функции в точке =,8 и получаем (,8),8,8,,6,, и (,8), а в точке =,6 значение функции (,6), то получили, что корень лежит на отрезке [,6;,8] и длина отрезка равна,. Таким образом, мы находим корень уравнения на отрезке [,6;,8] и, 7 с точностью,.. Касательная к графику. Формула Лагранжа Касательная к графику дифференцируемой в точке функции это прямая, проходящая через точку A (, ( )) и имеющая угловой коэффициент, равный k=tgα= ' ( ) (см. рис.). Рисунок Касательная и секущая к графику функции () Существование производной () функции в точке эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (, ( )) графика функции с угловым коэффициентом k= ). (

4 Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (, ( )). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид y k b, так как k ( ), то y ( ) b. Для вычисления b воспользуемся тем, что касательная проходит через точку А, тогда ( ) = ' ( )* +b, после преобразований получаем b = ( ) - ' ( )* Уравнение касательной имеет вид: y = ' ( )* - ' ( )* + ( ) или y = ( ) + ' ( )*(- ) Алгоритм составления уравнения касательной. Найдите производную функции ().. Подставьте значения в уравнение функции.. Подставьте значения в производную функции. 4. Составьте уравнение касательной по формуле y = ( ) + ' ( )*(- ).. В сформированное уравнение касательной подставьте значения аргумента. Пример. Найдите уравнение касательной к графику функции ( ) в точке с абсциссой =. В этом примере = и значение функции в этой точке будет равно ( ) () 8 8 Производная функции будет равна ( ) 4, значение производной в точке ( ) () Подставляем полученные значения ( ) и ( ) 4 в уравнение касательной y = ( ) + ' ( )*(- ), получаем уравнение: y 4( ). Выполнив алгебраические преобразования, получим уравнение вида y Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( ) имеет вид y 4 7

5 Формула Лагранжа Геометрический смысл производной это угловой коэффициент касательной или тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс: ( b) ( a) k tg b a или отношение приращения функции к приращению аргумента. Рисунок График функции () к теореме Лагранжа Если функция дифференцируема на интервале (a;b), то найдется такая точка с, принадлежащая интервалу (a;b), что производная в этой точке с будет равна ( b) ( c) ( c). b a Эта формула называется Формулой Лагранжа. Примеры:. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М графика функции ( ) М (-, 9) Тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, походящей через точку М (-, 9) графика функции ( ), равен значению производной функции в этой точке. Производная функции ( ) равна ) ( и значение производной функции в точке = - равно ( ) ( ) 6. Тангенс угла наклона касательной k tg () равен ее производной, то k tg ( ) 6.

6 . Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М графика функции ( ) М (; ) Тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, походящей через точку М (; ) графика функции ( ), равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную функции ( ), получим ( ) Подставив значение = в полученное значение производной, получим () 4. Так как тангенс угла наклона касательной k tg () равен ее производной, то k tg ( ). Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М графика функции ( ) cos М ( ; ) Тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, походящей через точку М ( ; ) графика функции ( ) cos, равен значению производной функции в этой точке. Производная функции ( ) cos равна ( ) (cos ) (cos ) ( sin ). Подставив значение = в полученную производную, получим: ( ) ( sin ) (sin ) (). Тангенс угла наклонной касательной равен k tg ( ). 4. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой Производная для функции точке будет равно ( ),, ( ) будет равна ( ). Значения функции в ( ). Значение производной функции будет равно ( ). Составим уравнение касательной по формуле ( ) в точке

7 y = ( ) + ' ( )*(- ) и подставив полученные значения, получим уравнение: y 6 Подставим значения и соответственно в полученное уравнение касательной 6 6 y, получим уравнения для y 6 и ( ) для 6 y () 6. Найдите точки графика функции ( ), в которых касательная параллельна оси абсцисс Касательная к графику функции ( ) параллельно оси абсцисс, если ее угловой коэффициент (то есть производная функции) равен. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. Производная функции ( ) равна ( ) 6 ( ) ( ) Приравняем производную функции к нулю ( ) и получим ( ) Решим равенство и найдем абсциссу точки касания =. Для нахождения ординаты точки касания необходимо значение абсциссы точки касания подставить в исходную функцию, таким образом: (). Мы получили точку, координатами которой являются = y=. Координаты точки, в которой касательная параллельна оси абсцисс (;).

8 4. Применение производной к исследованию функций. Признак возрастания (убывания) функции. Критические точки функции. Точки максимума и минимума. Наибольшее и наименьшее значение функций. Для исследования функции и определения особенностей ее поведения применяют производную функции. Одна из основных задач исследования функции - это определение промежутков возрастания и убывания функции. Такое исследование легко провести с помощью производной. Признак возрастания (убывания) функции Достаточный признак возрастания функции Если производная функции ( ) в каждой точке интервала, то функция () возрастает на этом интервале. Достаточный признак убывания функции Если производная функции ( ) в каждой точке интервала, то функция () убывает на этом интервале. Критические точки функции. Точки максимума и минимума. Точки экстремума функции это точки максимума и минимума функции, то есть точки, в которых меняется направление графика функции с возрастания на убывание и наоборот. Критические точки функции это точки, в которых производная функции ( ) равна нулю: ( ). Необходимое условие экстремума Если точка является точкой экстремума функции () и в этой точке существует производная (), то она равна нулю ( ). Признак максимума функции Если функция () непрерывна в точке, производная функции ( ) на интервале (a; ) и производная функции ( ) на интервале ( ;b), то точка является точкой максимума функции ().

9 Если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума. Признак минимума функции Если функция () непрерывна в точке, производная функции ( ) на интервале (a; ) и производная функции ( ) на интервале ( ;b), то точка является точкой минимума функции (). Если в точке производная меняет знак с минуса на плюс, то есть точка минимума. Пример. Найдите промежутки возрастания (убывания) функции ( ) и постройте график функции. Данная функция определена на множестве всех действительных чисел. Производная функции ( ) равна. ( ) Найдем корни уравнения ( ). Корни уравнения : = осью абсцисс.. Корни уравнения это точки пересечения с Применив метод интервалов, определим знаки производной (см. рис ) на интервалах. Рисунок Интервалы знакопостоянства производной функции ( ) Для определения знака в интервале необходимо подставить значения из каждого интервала. Например, для интервала ; возьмем значение =-, для интервала ; возьмем значение =, для интервала ; возьмем значение =.

10 Подставим выбранные значения в полученную производную, определим знак производной: ( ) ( ) На интервале ; производная функции ( ), то есть ( ). () () На интервале ; есть ( ). производная функции ( ), то () () На интервале ; ( ), то есть ( ). производная функции Для построения графика необходимо определить значения функции в точках пересечения оси. Подставим значения корней уравнения, в функцию ( ), получим координаты точек М и N (см. рис.4). ( ). Координаты точки M ; ( ) Координаты точки N ;. На основании полученных координат критических точек графика и знака производной, построим график, который представлен на рис.4. Рисунок 4 График функции ( )

11 Пример. Найдите точки экстремума функции ( ). Для определения точек экстремума применим необходимое условие экстремума в точке экстремума производная функции равна нулю. Таким образом, для определения точки экстремума необходимо найти производную функции ( ). Производная функции будет равна ( ). Решив уравнение ( ), найдем критические точки функции. Выполнив алгебраические преобразования в уравнении, получили уравнение ( ). Решив квадратное уравнение ( ), нашли корни уравнения. Корни уравнения., Подставив значения точек,, существования функции ;, ;, получим: и ; из полученных интервалов в производную, ( ) ( ) ( ) 6 () () ( ) ( ) 6 В точке - производная меняет знак с минуса на плюс ( ( ) при <- и при ( ) при -<<). В точке производная меняет знак с плюса на минус. Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка = - является точкой минимума, а точка = является точкой максимума функции. График функции представлен на рис.. Рисунок График функции ( )

12 Наибольшее и наименьшее значение функций. При решении практических задач необходимо определить наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции. Теорема Вейерштрасса Непрерывная на отрезке [a;b]функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, то есть на отрезке [a;b] существуют точки, в которых принимает наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке значения. Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции Для того, что бы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, необходимо вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции:. Найти производную функции.. Найти критические точки функции ( ).. Определить находятся ли в указанном отрезке критические точки функции. 4. Найти значения функции в критических точках.. Найти значения функции на концах отрезка. 6. Определить максимальное и минимальное значение функции в указанных точках. Пример. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y ( ), 6 на отрезке [-; ].. Определим критические точки функции. Найдем производную функции y ( ), 6 и решим уравнение y.

13 y ( ) (, 6 ) ( ) (, ) (6), 6 6 Производная функции y ( ), 6 равна y ( ) 6 Решим уравнение y. В результате получим корни уравнения, которые соответствуют критическим точкам : 6 Решаем квадратное уравнение. Дискриминант равен D ( ) 4( 6) D - это значит, что уравнение имеет корня. По формуле, b D найдем корни уравнения. Первый корень a 9 (вычисление корня по формуле ). Второй корень квадратного * уравнения ( вычисление корня по формуле ). * 6. Найдем значения функции в критических точках и в точках конца отрезка и определим наибольшее и наименьшее из найденных значений. Найденные критические точки не все попадают в интервал [-; ]. Точка не принадлежит указанному отрезку [-; ], поэтому ее не учитываем при определении наибольшего и наименьшего значения функции. Подставим значения найденной критической точки и и значения в концах отрезка [-; ] в функцию y ( ), 6, получим: y ( ) ( ),( ) 6( ) 8, y ( ) ( ), ( ) 6( ), 6 4, y (), 6 Наименьшее значение функции достигается в точке и y ( ), а наибольшее значение достигается в точке и y ( ) 4,. Ответ: ma y ( ) y( ) 4, min y( ) y( ) на отрезке [-; ].

14 Исследование функции это выявление характерных особенностей функции. Исследование функции выполняют по схеме. Схема исследования функции. Найдите области определения и значений данной функции.. Выясните особенности функции (четная или нечетная, периодическая). Вычислите координаты точек пересечения графика с осями координат. 4. Найдите промежутки знакопостоянства функции (положительное и отрицательное значение функции).. Выясните на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает. 6. Найдите точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислите значения функции в этих точках. Пример. Выполним исследование функции по указанной схеме ( ). Область определения функции D()=R, так как функция ( ) является многочленом.. Функция ( ) не является ни четной, ни нечетной.. График функции ( ) пересекается с осью ординат в точке (;()). 4. Для того, чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение. Один из корней равен, то есть =. Другие корни могут быть найдены только приближенно.. Найдем производную функции ( ). Производная функции будет равна ( ) ( ) 6. Вычисление производной: ( ) ( 4 ) ( ( ) ) ( ) 7. Найдем критические точки функции: ( ) ( ) 4

15 Критические точки функции = ; = -; = Составим таблицу и определим интервалы возрастания и убывания функции. (- ;-) - (-;) (;) (; ) '() () 4 ma min В первой строке таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках. В третьей строке указаны возрастание или убывание функции. Четвертая строка информация о виде критической точки. 8. Наибольшее и наименьшее значение функции Подставим найденные значения критических точек и значения в точках концов отрезка в функцию, получим: ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) (, 8 8 ) ( (), ) ( () 8 8 () Наибольшее значение функции ma ( ) () 8 и наименьшее значение функции min ( ) ( ) 4. На основании проведенного исследования функции построим график функции (см. рис.6)

16 Рисунок 6 График функции ( )


Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2

Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2 Задания для самостоятельного решения. Найдите область определения функции 6x. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку М (;) графика функции. Найдите тангенс угла

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ.

Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Определения и свойства Определение производной функции в заданной точке. Производной

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

3. Производная функции

3. Производная функции . Производная функции Актуальность темы Понятие производной одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

Построение графиков функций с помощью производной

Построение графиков функций с помощью производной Построение графиков функций с помощью производной Способ построения графика функции по точкам несовершенен. Даже вычисление ординат большого числа точек может не дать точное представление о графике, а,

Подробнее

Мусин Хасан Эльдарович, учитель математики Школа «Ретро». Персональная карточка Найдите длину промежутка возрастания убывания функции:

Мусин Хасан Эльдарович, учитель математики Школа «Ретро». Персональная карточка Найдите длину промежутка возрастания убывания функции: Урок обобщающего повторения по теме "Производная. Геометрический смысл производной. Задачи с использованием графика производной" (11-й класс, 2 часа) Мусин Хасан Эльдарович, учитель математики Школа «Ретро».

Подробнее

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач 0. Исследование функций 0.. Основные формулы и определения для решения задач Правилом Лопиталя называют теоремы, сводящие вычисление предела отношения двух функций в случае неопределённости 00 или к вычислению

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Решать задачи с использованием производной: x 2. Пользуясь определением, найдите производную функции. Найдите производные функций:

Решать задачи с использованием производной: x 2. Пользуясь определением, найдите производную функции. Найдите производные функций: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база и профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности,

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Практическая работа 6. Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков»

Практическая работа 6. Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков» Практическая работа 6 Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков» Цель работы: научиться исследовать функции по общей схеме и строить графики. В результате выполнения работы студент должен:

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

1. С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в. 2. Находим выражение для разностного отношения f

1. С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в. 2. Находим выражение для разностного отношения f Нахождение производной функции по определению. С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в точке х 0 : f = f x 0 + x f(x 0 ). Находим выражение для разностного отношения f, которое затем

Подробнее

График производной функции. Промежутки монотонности функции

График производной функции. Промежутки монотонности функции График производной функции Промежутки монотонности функции Пример 1. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (1;13). Найдите промежутки возрастания функции

Подробнее

Математический минимум. Часть 1. Теоретическая.

Математический минимум. Часть 1. Теоретическая. Сергей А Беляев стр 1 Математический минимум Часть 1 Теоретическая 1 Верно ли определение Наименьшим общим кратным двух целых чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из заданных чисел

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная»

Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная» ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Рабочая тетрадь по математике Тема «Производная» Составители: Глазунова Т.С., преподаватель ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Новикова Н.П.,

Подробнее

Домашний контрольный тест по теме «Производная»

Домашний контрольный тест по теме «Производная» Домашний контрольный тест по теме «Производная» А. Производная элементарной функции А. Вычислите y 7, если y. A) B) C) - D) - E) А. Найдите f, если f A),5 B) - C) - D) E) 5 5 5 5 А. f, f? A) B) C) D) E)

Подробнее

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной.

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C 0 2. 3. Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Геометрический смысл производной есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к

Подробнее

Применение производной к исследованию функций

Применение производной к исследованию функций Применение производной к исследованию функций 1. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

y и постройте еѐ график.

y и постройте еѐ график. Вариант 1 1 Найдите производную функции y 1 в точке Найдите f (0), если sin 0 Составьте уравнение касательной к графику функции 1, в точке графика с абсциссой 0 Составьте уравнение касательной к графику

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x)

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x) Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале ( 0, 0 ), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) ( ) f

Подробнее

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной

Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной Еще готовые работы: https://www.matburo.ru/sub_appear.php?pissl Контрольная работа с решением Исследование функции с помощью производной Задача. Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции:

Подробнее

Инструкция для выполнения домашней контрольной работы 4 по теме «Производная и ее применение»

Инструкция для выполнения домашней контрольной работы 4 по теме «Производная и ее применение» Инструкция для выполнения домашней контрольной работы 4 по теме «Производная и ее применение» 1. Найти скорость и ускорение тела при =1, которое движется по закону Последовательно найдем первую и вторую

Подробнее

1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Действия со степенями. Степени чисел имеют следующие основные свойства:

1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Действия со степенями. Степени чисел имеют следующие основные свойства: ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Действия со степенями Степени чисел имеют следующие основные свойства: y + y y y a a = a ; ( a b) = a b ; ( a ) = a ; y y a a = a a = a ; 5 y = a a

Подробнее

Лекция 2. ТЕМА Производные функции. Задачи с производными функции (часть 1)

Лекция 2. ТЕМА Производные функции. Задачи с производными функции (часть 1) Лекция 2 ТЕМА Производные функции. Задачи с производными функции (часть 1) Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 2017 Разбор домашнего задания

Подробнее

Критерии оценки заданий 18

Критерии оценки заданий 18 Задание 18 Критерии оценки заданий 18 Содержание критерия Балл ы Обоснованно получен правильный ответ. 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом

Подробнее

Алгебра и начала анализа, ХI

Алгебра и начала анализа, ХI Алгебра и начала анализа, ХI АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА По Положению о государственной (итоговой) аттестации выпускников XI(XII) классов общеобразовательных учреждений Российской Федерации учащиеся сдают

Подробнее

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1. Возрастание и убывание функции. Для того чтобы дифференцируемая на интервале ( ab, ) функция f была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Аналогично, условие

Подробнее

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x Производная и правила дифференцирования Пусть функция y = f получила приращение y f 0 f 0 соответствующее приращению аргумента 0 Определение Если существует предел отношения приращения функции y к вызвавшему

Подробнее

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова ЕГЭ Математика Задача B8 Содержание (виды заданий В8) 1 2 3 4 5 Найдите значение производной функции в точке х 0

Подробнее

x 2 > x 1 следует, что f(x 2 ) > f(x 1 ). f = f(x 2 ) f(x 1 ) > 0. Значит,

x 2 > x 1 следует, что f(x 2 ) > f(x 1 ). f = f(x 2 ) f(x 1 ) > 0. Значит, Тема 38 «Возрастание и убывание функций». (без вычисления производной) В данном разделе рассмотрим задачи на возрастание и убывание функции, в которых не надо вычислять производные. Функцию у = f(x) называют

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение максимального и минимального значения функции в замкнутой области Условный экстремум Комплексные

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

Модуль и производная В.В. Сильвестров

Модуль и производная В.В. Сильвестров Модуль и производная В.В. Сильвестров При решении некоторых задач приходится находить производную функции, содержащей один или несколько модулей. Такие задачи возможны и на едином государственном экзамене

Подробнее

МОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. Радужный. Решение заданий В9. по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года

МОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. Радужный. Решение заданий В9. по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года МОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. Радужный Решение заданий В9 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года Автор: Семёнова Елена Юрьевна Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной

Подробнее

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой:

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: 2.2.7. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал функции y = зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: dy d Тогда абсолютная погрешность:

Подробнее

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x

присутствие функций арксинуса вида arcsin f x Практическая работа Полное исследование функции и построение графика Цель: закрепить навыки исследования функций и построения графиков Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Исследование функций и построение графиков с помощью производной

Исследование функций и построение графиков с помощью производной ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Геометрический смысл производной, касательная

Геометрический смысл производной, касательная Геометрический смысл производной, касательная 1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Значение

Подробнее

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий)

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Корянов АГ, Надежкина НВ Задания В Исследование функций Математика ЕГЭ 0 (система задач из открытого банка заданий) Задания В Исследование функций Материалы подготовили: Корянов А Г (г Брянск); e-mail:

Подробнее

Уфимский государственный технический университет. lim 7 5). 1

Уфимский государственный технический университет. lim 7 5). 1 Уфимский государственный технический университет ПРОБНИК. Задача: Вычислить предел функции + 4 Ответы: ). ). ). /4 4). 0 5). нет правильного ответа. Задача: Найти предел: 0 sin5 7 Ответы: ). 5 ). 7 ).

Подробнее

Упражнения. Вариант 1. Наибольшее и наименьшее значения функции. Чётные и нечётные функции

Упражнения. Вариант 1. Наибольшее и наименьшее значения функции. Чётные и нечётные функции От авторов Данное пособие входит в учебно-методический комплект для 0 класса авторов А. Г. Мерзляка, Д. А. Номировского, В. Б. Полонского, М. С. Якира. Первая часть пособия («Упражнения») разделена на

Подробнее

x y ) Графический - функция задается в виде графика:

x y ) Графический - функция задается в виде графика: ФУНКЦИИ. Понятие функции. Допустим, скорость движения человека составляет 5 км/ч. Если принять время в пути за x часов, а пройденный путь за y км, то зависимость пройденного пути от времени в пути можно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 10 класс ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Новосибирск Для проверки

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин

Дифференциальное исчисление. Часть 2. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Составитель В.П.Белкин Дифференциальное исчисление Часть "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ" Составитель ВПБелкин Приращение функции Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Изменим это значение аргумента на новое

Подробнее

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ.

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ. ЧАСТЬ. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ. Тема 4. Производная и дифференциал. Непрерывность функции. Точки разрыва. В реальной жизни, в том числе и в политической, большинство

Подробнее

Контрольные работы по алгебре и началам математического анализа 10 класс

Контрольные работы по алгебре и началам математического анализа 10 класс Контрольные работы по алгебре и началам математического анализа 10 класс Контрольная работа 1. Тема: «Основные тригонометрические тождества». 1. Найдите значение выражения: а) 2cos 60º - 3 tg45 º + sin

Подробнее

Задача B8 геометрический смысл производной

Задача B8 геометрический смысл производной Задача B8 геометрический смысл производной В задаче B8 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин: 1.Значение производной в некоторой точке x0, 2.Точки

Подробнее

Лекция 3. ТЕМА Производные функции. Задачи с производными функции (часть 2)

Лекция 3. ТЕМА Производные функции. Задачи с производными функции (часть 2) Лекция ТЕМА Производные функции. Задачи с производными функции (часть ) Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 017 Проверка домашнего задания

Подробнее

бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n ), т.е. можно представить его в форме Пеано ( ) ( )

бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n ), т.е. можно представить его в форме Пеано ( ) ( ) 55 является при бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n (, ), где ρ ( ) + ( ), те можно представить его в форме Пеано n R, ρ Пример Записать формулу Тейлора при n с

Подробнее

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума).

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума). 6 По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума) Стационарная точка функции f( ), дважды дифференцируемой в Oδ ( ), является

Подробнее

Тема. Логарифмические уравнения, неравенства и системы уравнений

Тема. Логарифмические уравнения, неравенства и системы уравнений Тема. Логарифмические уравнения, неравенства и системы уравнений I. Общие указания 1. В процессе работы над темой, разбирая примеры и самостоятельно решая предложенные задачи, постарайтесь в каждом случае

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Исследование функций с помощью производной.

Исследование функций с помощью производной. ... Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функций. Теорема. ) Если функция f) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Задание Постройте график функции. строенный график в трѐх точках. Решение. Построим график функции (см. рисунок).

Задание Постройте график функции. строенный график в трѐх точках. Решение. Построим график функции (см. рисунок). Задание 23 314690. Постройте график функции будет пересекать по- и определите, при каких значениях прямая строенный график в трѐх точках. Построим график функции (см. рисунок). Из графика видно, что прямая

Подробнее

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б)

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б) Система задач по теме «Уравнение касательной» Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y f (), в точках с абсциссами a, b, c а) б) Укажите точки, в которых производная

Подробнее

и построения их графиков

и построения их графиков Применение производной для исследования функций и построения их графиков 1. Достаточные признаки монотонности функции. Достаточное условие возрастания функции Если f ( x ) > 0 в каждой точке интервала

Подробнее

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Комментарий Задачи с параметрами традиционно являются сложными заданиями в структуре ЕГЭ, требующими от абитуриента не только владения всеми методами и приемам решения различных

Подробнее

Задания В8. 8) Прямая является касательной к графику функции. Найдите c.

Задания В8. 8) Прямая является касательной к графику функции. Найдите c. Задания В8 1) Материальная точка движется прямолинейно по закону, В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 56 м/с? 2) Материальная точка движется прямолинейно по закону, В какой момент

Подробнее

Приложение производных к исследованию функций

Приложение производных к исследованию функций Приложение производных к исследованию функций Лекции 1 6 Л.И. Терехина, И.И. Фикс Курс: Высшая математика Семестр 1, 2009 год portal.tpu.ru Теорема 1 (Ферма) Если функция y = f (x): 1) непрерывна в замкнутом

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО ОВ Сильванович, ГВ Тимофеева ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (МОДУЛЬ ) ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Подробнее