тие множества всех множеств (безотносительно к ступени) является теперь незаконным. Является также незаконным и понятие множества всех нормальных

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "тие множества всех множеств (безотносительно к ступени) является теперь незаконным. Является также незаконным и понятие множества всех нормальных"

Транскрипт

1 Логицизм Логицизм в XX в. связан в основном с именем Рассела. Подвергнув критике построения Фреге, Рассел, однако, не отверг его программу в целом. Он полагал, что эта программа, при некоторой реформе логики, может быть осуществлена и тем самым желаемая строгость математики будет достигнута. Рассел исходит из того, что все логические парадоксы сводятся к антиномии лжеца и общий источник их состоит в том, что в суждении высказывается мысль не только о некоторых внешних по отношению к нему предметах, но одновременно и о самом суждении, или, иначе, суждение оборачивается само на себя. Рассел исключает такого рода суждения из математического языка посредством своей теории типов или теории логических ступеней. Суть этой теории состоит в том, что математические высказывания делятся на классы в соответствии с областью определения. Пусть имеется некоторая область объектов: а, b, с, и т. д. К первому типу относятся высказывания о свойствах этих объектов: f(a), g(b) и т. д. К типу второму относятся высказывания о свойствах этих свойств, которые могут быть выражены логическими функциями F(f), F(g), и т. д. К третьему типу относятся высказывания о свойствах свойств и т. д. Основное правило теории типов состоит в том, что каждый предикат относится только к определенному типу и может быть осмысленно применен только к объектам нижележащего типа; он не может быть применен к предикатам более высокого уровня или к самому себе как к объекту. Выражения f(a) и F(g) либо ложны, либо истинны, но выражения f(f), f(g), f(f) - не истинны и не ложны, но бессмысленны. Ошибка Фреге, по мнению Рассела, состоит в том, что он допускал универсальную область определения для любой логической переменной. Идея ступенчатой логики позволяет исключить все известные парадоксы теории множеств. Парадокс Кантора исключается потому, что само поня- 75

2 тие множества всех множеств (безотносительно к ступени) является теперь незаконным. Является также незаконным и понятие множества всех нормальных множеств. Мы можем говорить о нормальных множествах только определенной степени. Но множество, образованное из всех нормальных множеств п-й ступени, будет уже объектом n+1-й ступени, и высказывания о его включении или невключении в исходных ряд множеств согласно теории типов будут бессмысленными, основанными на смещении различных уровней логического рассуждения (областей определения логических функций). То же самое относится и к парадоксу Ришара. Определение ришарова числа не является уже собственно арифметическим, но является определением метаязыковым, определением 2-й ступени, и мы не имеем права ставить его в один ряд с собственно арифметическими определениями, из множества которых мы первоначально исходили. Усовершенствованная таким образом логистическая программа встретилась, однако, с рядом технических трудностей. Для их понимания необходимо рассмотреть принцип построения логистической арифметики. Конкретное число в логицистской трактовке относится к классу эквивалентных классов рассматриваемых предметов. Например, число «2» обозначает класс всех пар, число «5» класс всех классов, в которых содержится по пять предметов, и т. д. На этой основе каждому натуральному числу может быть поставлена в соответствие логическая формула, характеризующая соответствующий класс эквивалентных классов. Числу «0» мы ставим в соответствие формулу xf(x), которая является логической характеристикой пустого класса (или множества пустых классов вообще). Числу «1» будет соответствовать выражение: x[f(x) yf(y) (х, у)], что означает, что существует х, для которого выполняется свойство F, но любое y, для которого это свойство также выполняется, тождественно х, или, иначе говоря, предикат F образует класс из одного предмета. 76

3 Числу «2» будет соответствовать более длинная формула, а именно: (существуют два различных х и у, для которых выполняется F и каждое z, которое удовлетворяет F(z), тождественно с х или у). Ясно, что таким образом мы можем как угодно большому числу поставить в соответствие его логический эквивалент. Если теперь арифметической операции сложения мы поставим в соответствие логический знак дизъюнкции, а знаку равенства знак логического тождества, то оказывается, что любому истинному арифметическому утверждению, выражающему сложение чисел, будет соответствовать логическая тавтология, т. е. формула, выводимая только из аксиом логики. Если, к примеру, числу «5» соответствует формула Ф 5, числу «7» Ф 7, числу «12» Ф12, то логическая формула будет тавтологией в функциональном исчислении первого порядка. Рассматривая теперь уровень конкретных арифметических объектов и высказываний в качестве данного, мы можем ввести понятие натурального числа вообще, отношение равенства и т.д., т.е. построить уровень высказываний об этих высказываниях, который в своем логическом выражении будет сводиться к тавтологиям второй ступени в теории типов. Рациональное число задается как отношение двух натуральных чисел, удовлетворяющее некоторым свойствам. Произвольное действительное число может быть определено как нижний класс в соответствующем сечении множества рациональных чисел. К примеру, определяется как класс всех дробей, квадрат которых меньше, чем два. На основе этих определений могут быть обоснованы все операции в области действительных чисел. Наконец, общие законы теории множеств естественно включаются в логику вследствие возможности истолкования логического понятия «класс» как определенного множества 2. 2 Введение основных понятий логицистской математики имеется в работах [27; 121; 51]. 77

4 Программа логицизма состояла в том, чтобы поставить в соответствие каждому истинному математическому утверждению тавтологию логики, представив тем самым математику как единую «грандиозную тавтологию А=А» (выражение Пуанкаре), как простое продолжение логики. Обоснование математики сводится в этом случае к обоснованию логических исчислений. Что касается обоснования самой логики, то ни Фреге, ни Рассел не высказали здесь ничего определенного. По мнению Рассела, существует предел строгого мышления, дальше которого логическое обоснование уже не имеет смысла. Логика в системе логицизма и должна бы стать этой окончательной инстанцией надежности. Реализация этой программы, предпринятая Расселом и Уайтхедом, столкнулась с рядом затруднений. Оказалось, прежде всего, что мы не можем ввести общее понятие натурального числа как предиката от предиката, не предположив бесконечной области объектов, на которой выполняется предикат аргумент. Но тезис: «Область предметов, определяющих числовые функции, бесконечна» не может быть истолкован как закон логики, как тождественно истинное высказывание в рамках логистической системы. Оказалось также, что операции над произвольными числами не могут быть корректно заданы с логицистской точки зрения без использования аксиомы выбора, которая утверждает, что если даны множества А 1.. А n, то также существует множество В, которое содержит один и только один элемент от каждого из этих множеств. Эта аксиома неприемлема для логицизма по той же причине, что и аксиома бесконечности: обе они носят экзистенциальный характер они не утверждают отношения между заданными предварительного объектами, но сами задают объект с необходимыми свойствами и потому они заведомо не могут быть представлены в качестве логических тавтологий. Наконец, для доказательства ряда теорем анализа потребовался еще один тезис ad hoc так называемая аксиома сводимости, утверждающая, что для всякого пре- 78

5 диката л-й ступени существует предикат 1-й ступени, выполнимый по отношению к одному и тому же предмету (символически: (х)[р п (х) Р 1 (х)], где Р п предикат n-го уровня, а Р 1 - предикат 1-го уровня). Аксиома сводимости оказывается, в частности, необходимой для доказательства важной теоремы анализа о существовании верхней грани ограниченного множества. Действительно, доказывая эту теорему, мы должны говорить о классе чисел в целом как о заданной совокупности, определяющей свою грань. Предикаты, обозначающие отдельных индивидов совокупности, могут относиться к разным типам (это очевидно, если мы имеем дело с множеством действительных чисел, включающих в себя как целые, так и рациональные и иррациональные числа), но в рассуждениях необходимо предположить некоторый высший тип, к которому могут относиться предикаты, так как допущение произвольного уровня противоречит ограничению на область определения логических функций, накладываемых теорией типов. Пусть этот высший предикат относится к n-му уровню. Но в таком случае предикат, обозначающий верхнюю грань этого множества, т. е. как предикат от всех индивидуальных предикатов, должен быть уже отнесен к n+1-му уровню и, следовательно, не может быть числом данного множества вообще. Аксиома сводимости снимает затруднение тем, что она ставит предикату n+1-й ступени предикат более низкой ступени, удовлетворяющий формальным требованиям к верхней грани. Попытки обосновать эту аксиому в качестве логического закона или обойтись без нее оказались безрезультатными. Таким образом, логицизм как программа полного сведения математики к логике в какой-то мере сам поставил себя под сомнение в результате своего развития. Даже если принять, что ступенчатое исчисление предикатов само по себе непротиворечиво, то вместе с аксиомой бесконечности, аксиомой выбора и аксиомой сводимости оно становится уже проблематичным в этом отношении. Против логицизма с самого начала были выд- 79

6 винуты также возражения общего методологического порядка. Д. Гильберт видел в логическом обосновании математики порочный круг, ибо, «внимательно присматриваясь, мы замечает, что при обычном изложении законов логики применяются уже некоторые основные понятия арифметики» [26, с. 325]. Пуанкаре охарактеризовал логицизм как безнадежную попытку свести бесконечное к конечному [80, с. 5]. Сама мысль свести математику к логике возникла у Фреге прежде всего под влиянием учения Лейбница о «всеобщей характеристике» и традиционного разделения истин на истины опыта и истины разума. Как и Лейбниц, Фреге был убежден, что истины логики и метафизики (философии) не являются эмпирическими и что арифметика родственна с логикой, но не с физикой и поэтому должна найти свое окончательное обоснование на базе логики. Некоторую роль в идейном обосновании логицизма сыграла философия математического реализма, о которой мы будем говорить особо.

Понятие «реализм» в современной философии математики имеет несколько значений. Оно используется часто в методологическом смысле для

Понятие «реализм» в современной философии математики имеет несколько значений. Оно используется часто в методологическом смысле для Реализм (платонизм) Понятие «реализм» в современной философии математики имеет несколько значений. Оно используется часто в методологическом смысле для 143 обозначения всей математики, которая оперирует

Подробнее

НОМИНАЛИЗМ И РЕАЛИЗМ В СОВРЕМЕННОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ

НОМИНАЛИЗМ И РЕАЛИЗМ В СОВРЕМЕННОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ Глава 7 НОМИНАЛИЗМ И РЕАЛИЗМ В СОВРЕМЕННОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ В философских дискуссиях относительно обоснования математики выявились два диаметрально противоположных взгляда на сущность математических

Подробнее

Естественные негёделевы определения неполноты

Естественные негёделевы определения неполноты Естественные негёделевы определения неполноты Ватолин Дм. Даны определения «полноты» и «неполноты» для математических теорий, отличные от гёделевых. Исключены противоречия гёделевых доводов. Найдены теоремы,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ЛЕКЦИЯ 6 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ЛЕКЦИЯ 6 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 1 Формулировка теоремы Вспомогательные леммы Теорема о полноте исчисления высказываний будет доказана двумя способами Первый способ проще для понимания,

Подробнее

Естественные негёделевы определения неполноты

Естественные негёделевы определения неполноты Естественные негёделевы определения неполноты Ватолин Дм. Даны определения «полноты» и «неполноты» для математических теорий, отличные от гёделевых. Исключены противоречия гёделевых доводов. Найдены теоремы,

Подробнее

Математическая логика

Математическая логика Математическая логика и логическое программирование Лектор: Подымов Владислав Васильевич 2016, весенний семестр e-mail: valdus@yandex.ru Лекция 10 Аксиоматические теории Основные свойства теорий Теория

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 14. Теория множеств Цермело Френкеля. Наш предварительный план состоял в том, чтобы (1) выбрать язык для записи математических утверждений (в

Подробнее

Frege G. The concepts of number. In: Philosophy of mathematics, Russel B. Introduction to mathematical philosophy. L., 1919, p. 19.

Frege G. The concepts of number. In: Philosophy of mathematics, Russel B. Introduction to mathematical philosophy. L., 1919, p. 19. 5. Теоретико-множественный редукционизм Попытки определения ключевых понятий различных математических дисциплин с помощью теоретико-множественных идей были предприняты уже вскоре после создания теории

Подробнее

Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними

Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Формальные теории После открытия парадоксов в математике были выдвинуты различные пути их преодоления. С этой целью Д.Гильберт выдвинул программу

Формальные теории После открытия парадоксов в математике были выдвинуты различные пути их преодоления. С этой целью Д.Гильберт выдвинул программу Формальные теории После открытия парадоксов в математике были выдвинуты различные пути их преодоления. С этой целью Д.Гильберт выдвинул программу полной формализации математики, т.е. построения математических

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 1

Иррациональные уравнения и неравенства 1 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Свойства корней й степени Свойства корней Свойства степеней с рациональным показателем Примеры 5 Свойства корней -й степени Арифметическим корнем й степени

Подробнее

Основы логики и логические основы компьютера. Логика это наука о формах и способах мышления.

Основы логики и логические основы компьютера. Логика это наука о формах и способах мышления. Основы логики и логические основы компьютера. Формы мышления Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Лекция 5 Раздел 5. Дедуктивные теории. Понятие об эффективных и полуэффективных процессах (методах). Задание дедуктивных теорий. Свойства дедуктивных

Лекция 5 Раздел 5. Дедуктивные теории. Понятие об эффективных и полуэффективных процессах (методах). Задание дедуктивных теорий. Свойства дедуктивных Лекция 5 Раздел 5. Дедуктивные теории. Понятие об эффективных и полуэффективных процессах (методах). Задание дедуктивных теорий. Свойства дедуктивных теорий: непротиворечивость, полнота, независимость

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

{ формальные языки - формальные исчисления - теоремы формального исчисления - выводимость в формальном исчислении - свойства выводимости из посылок -

{ формальные языки - формальные исчисления - теоремы формального исчисления - выводимость в формальном исчислении - свойства выводимости из посылок - { формальные языки - формальные исчисления - теоремы формального исчисления - выводимость в формальном исчислении - свойства выводимости из посылок - формальный язык исчисления высказываний - пропозициональные

Подробнее

ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «ПАРАДОКСА ЛЖЕЦА» А.Н.Ахвледиани. Израиль, г. Кармиэль. Апрель 30, Аннотация

ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «ПАРАДОКСА ЛЖЕЦА» А.Н.Ахвледиани. Израиль, г. Кармиэль. Апрель 30, Аннотация ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Область знания философия (логика) «ПАРАДОКСА ЛЖЕЦА» А.Н.Ахвледиани Израиль, г. Кармиэль Апрель 3, 2 Аннотация В настоящей работе рассматриваются некоторые формально-логические

Подробнее

НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ПАРАДОКСЕ БЕРТРАНА РАССЕЛА Мясников К. А, Эркинов Н. К-у. Университетский колледж ОГУ Оренбург, Россия

НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ПАРАДОКСЕ БЕРТРАНА РАССЕЛА Мясников К. А, Эркинов Н. К-у. Университетский колледж ОГУ Оренбург, Россия НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ПАРАДОКСЕ БЕРТРАНА РАССЕЛА Мясников К. А, Эркинов Н. К-у. Университетский колледж ОГУ Оренбург, Россия A FEW WORDS ABOUT THE PARADOX OF BERTRAND RUSSELL Myasnikov, K. A, Erkinov N. K-y.

Подробнее

Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования.

Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования. Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования. Термы, элементарные формулы и формулы логики предикатов. Свободные и

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Scientific Cooperation Center "Interactive plus" Авторы: Коробков Георгий Павлович ученик 6 «А» класса Фёдоров Дмитрий Сергеевич ученик 6 «А» класса Научный руководитель: Загуменов Владимир Петрович учитель

Подробнее

Алгебра логики. Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра

Алгебра логики. Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Алгебра логики Семушева Алена Сергеевна, МОУ «Лицей» г. Перми, кл. Боркова Ольга Владимировн,

Подробнее

1. Сущность интуиционистской программы

1. Сущность интуиционистской программы 1. Сущность интуиционистской программы В понимании интуитивной данности исходных математических объектов Брауэр следует за Кантом. Однако он принимает лишь интуицию времени, полагая, что интуиция пространства

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Подробнее

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев. 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора

Логика и Алгоритмы. Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев. 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора Логика и Алгоритмы Факультет математики ВШЭ, 1-й курс, осень 2012 г. Л.Д. Беклемишев 1 Вполне упорядоченные множества и аксиома выбора 1.1 Упорядоченные множества Строгим частичным порядком на множестве

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Лекция 1. Наивная теория множеств

Лекция 1. Наивная теория множеств Лекция 1. Наивная теория множеств Множество Центральным понятием наивной теории множеств является множество. Множество это набор или совокупность объектов любой природы. Эти объекты называют элементами

Подробнее

ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «ПАРАДОКСА БРАДОБРЕЯ» А.Н.Ахвледиани. Израиль, г. Кармиэль. Май 1, Аннотация

ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «ПАРАДОКСА БРАДОБРЕЯ» А.Н.Ахвледиани. Израиль, г. Кармиэль. Май 1, Аннотация ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Область знания философия (логика) «ПАРАДОКСА БРАДОБРЕЯ» А.Н.Ахвледиани Израиль, г. Кармиэль Май, 2 Аннотация В настоящей работе предлагается формально-логический анализ известного

Подробнее

ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Традиционная логика и логика математическая

ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Традиционная логика и логика математическая ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ 2.1. Традиционная логика и логика математическая Логика есть наука о правилах рассуждений, наука о доказательствах, наука о том, как из верных посылок посредством

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Курс лекций по математической

Курс лекций по математической ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................. 3 Часть I. логике Курс лекций по математической Введение............................... 7 Глава 1. Алгебра логики...................... 11 1. Понятие

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поиск доказательства теоремы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

Логика функций vs логика отношений

Логика функций vs логика отношений Логика функций vs логика отношений В. И. Шалак abstract. It is proved that for any first-order theory with equality, the domain of interpretation of which contains at least two individuals, there exists

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 14 Алексей Львович Семенов Классическая и современная математика Нестандартный анализ(восстановление интуиции Лейбница) Бесконечно большие и

Подробнее

Ахвледиани Александр Нодарович

Ахвледиани Александр Нодарович ЛОГИЧЕСКИ СИНГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ «ВТОРОЙ ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА» И ЛОГИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА «МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ» В СИСТЕМЕ INCOL&TAMLA Ахвледиани Александр Нодарович Энциклопедический

Подробнее

Занятие 17. принципу индукции, мы уменьшаем число нужных «аксиом».

Занятие 17. принципу индукции, мы уменьшаем число нужных «аксиом». Занятие 17 Заметим сразу, что приводимые нами далее доказательства утверждений из Лекций особенно, в леммах 7, 9 и теореме 21 не требуется (но и не возбраняется) заучивать и «сдавать». Эти рассуждения

Подробнее

Математическая логика и теория вычислимости Лекция 5. Интуиционистское исчисление высказываний

Математическая логика и теория вычислимости Лекция 5. Интуиционистское исчисление высказываний Математическая логика и теория вычислимости Лекция 5. Интуиционистское исчисление высказываний Кафедра математических и информационных технологий Санкт-Петербургского академического университета 07.10.2014

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Математическая логика

Математическая логика Математическая логика Лектор: Подымов Владислав Васильевич e-mail: valdus@yandex.ru 2017, весенний семестр Лекция 11 Формальная арифметика Явные логические определения Теорема Гёделя о неполноте Аксиомы

Подробнее

1 Аксиоматическая теория множеств

1 Аксиоматическая теория множеств ПРОГРАММА обязательного курса для студентов кафедры математической логики и теории алгоритмов. 1 Аксиоматическая теория множеств 1. Понятие множества. Равенство множеств. Аксиома объемности. Противоречивость

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Личностные Метапредметные Предметные первоначальные представления об идеях и о методах математики как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования явлений и процессов;

Подробнее

МАОУ «Гимназия 1» Основы логики. 10 класс

МАОУ «Гимназия 1» Основы логики. 10 класс МАОУ «Гимназия 1» Основы логики 10 класс РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ I. Аристотель (384-322 гг. до н.э.) основатель формальной логики. Он пытался найти ответ на вопрос: «Как мы рассуждаем?», изучал правила мышления.

Подробнее

Рабочая программа основного общего образования по математике (алгебре) в МБОУ СОШ 30 г. Пензы (8 класс)

Рабочая программа основного общего образования по математике (алгебре) в МБОУ СОШ 30 г. Пензы (8 класс) Рабочая программа основного общего образования по математике (алгебре) в МБОУ СОШ 30 г. Пензы (8 класс) Пояснительная записка Статус документа Рабочая программа основного общего образования по математике(алгебре)

Подробнее

Пояснительная записка Формирование логической культуры учащихся важнейшее условие гуманизации образования. Логическая культура формируется в процессе

Пояснительная записка Формирование логической культуры учащихся важнейшее условие гуманизации образования. Логическая культура формируется в процессе Пояснительная записка Формирование логической культуры учащихся важнейшее условие гуманизации образования. Логическая культура формируется в процессе познания, самостоятельного мышления, при усвоении специальных

Подробнее

Метод резолюции в Исчислении высказываний

Метод резолюции в Исчислении высказываний Метод резолюции в Исчислении высказываний В.Я. Беляев Лекция 1. Метод Правило резолюции в логике высказываний представляет собой умозаключение со следующей структурой A B, A C B C Здесь A, B и C - произвольные

Подробнее

Математическая логика и теория алгоритмов

Математическая логика и теория алгоритмов Математическая логика и теория алгоритмов Лектор: А. Л. Семенов Лекция 2 Оглавление Теория множеств. Продолжение...1 Теория множеств. Пределы расширения...2 Гипотеза Континуума...3 Геометрия. Пятый постулат...4

Подробнее

Московский государственный университет Механико-математический факультет Введение в математическую логику 1-й курс, 2-й семестр Вопросы к экзамену

Московский государственный университет Механико-математический факультет Введение в математическую логику 1-й курс, 2-й семестр Вопросы к экзамену Московский государственный университет Механико-математический факультет Введение в математическую логику 1-й курс, 2-й семестр Вопросы к экзамену 1. Формулы логики высказываний, понятие подформулы. Истинностные

Подробнее

Тема урока: Основы логики.

Тема урока: Основы логики. Аксютин Алексей Сергеевич Учитель информатики и ИКТ МБОУ «Арсеньевская СОШ» Тема урока: Основы логики. Цели: 1. Введение в предмет Алгебра логики. 2. Сформировать у учащихся понятия: формы мышления, алгебра

Подробнее

ТРЕБОВАНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ 8 КЛАССА

ТРЕБОВАНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ 8 КЛАССА АЛГЕБРА 8 КЛАСС Пояснительная записка. Рабочая программа изучения алгебры в 8 классе составлена на основе следующих документов:. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7-9 классы. Составитель

Подробнее

ВОЗМОЖНОСТЬ И ПРЕДПОСЫЛКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНЦЕПЦИИ ЗНАНИЯ (1)

ВОЗМОЖНОСТЬ И ПРЕДПОСЫЛКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНЦЕПЦИИ ЗНАНИЯ (1) 98 ВОЗМОЖНОСТЬ И ПРЕДПОСЫЛКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНЦЕПЦИИ ЗНАНИЯ (1) Е.Е. Ледников Под динамической концепцией знания будем понимать концепцию, характеризующую процесс постижения истины (другими словами, получения

Подробнее

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ НОВОАЛЕКСАНДРОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ НОВОАЛЕКСАНДРОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ НОВОАЛЕКСАНДРОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА 6» УТВЕРЖДЕНА ПЕДАГОГИЧЕСКИМ СОВЕТОМ МОУ СОШ 6

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

1 Понятие множества. Способы задания множеств.

1 Понятие множества. Способы задания множеств. Московский физико-технический институт Факультет инноваций и высоких технологий Математическая логика, осень 2012 Лекция 1: множества и операции над ними Аннотация Понятие множества. Задание множества

Подробнее

2. Метод математической индукции. Множества и отображения

2. Метод математической индукции. Множества и отображения 2. Метод математической индукции. Множества и отображения 2.1. Метод математической индукции. Строение множества натуральных чисел порождает метод математической индукции доказательства утверждений, истинность

Подробнее

Глава 3. Логика и математика

Глава 3. Логика и математика Глава 3. Логика и математика Изложенные соображения позволяют высказать более определенные суждения об отношении логики к математике. Основная трудность состоит здесь в многозначности и неопределенности

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

В.А. Ладов, И.А. Эннс Аналитическое определение числа, парадокс Рассела и теория типов

В.А. Ладов, И.А. Эннс Аналитическое определение числа, парадокс Рассела и теория типов УДК 1.17 В.А. Ладов, И.А. Эннс Аналитическое определение числа, парадокс Рассела и теория типов Статья посвящена определению числа у Г. Фреге. Подход Г. Фреге сравнивается со взглядами И. Канта. Демонстрируется

Подробнее

18. Отображения, отношения и лемма Цорна

18. Отображения, отношения и лемма Цорна 18. Отображения, отношения и лемма Цорна Вернемся еще раз к теории множеств будем надеяться, что последний раз в курсе анализа. Вы уже знакомы с понятием отображения множеств. Именно, отображение f : X

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ 1 Понятие множества. Операции над множествами В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, множестве точек на прямой,

Подробнее

Основные определения и примеры ( )

Основные определения и примеры ( ) Э. А. Гирш: с/к Сложность пропозициональных доказательств, осень 2010 г. 1 Лекция 1 Основные определения и примеры (09.09.2010) (Конспект: А. Бешенов) 1.1 Введение. Основные определения (Детерминированный)

Подробнее

Некоторые примеры эквивалентностей (, обозначают произвольные формулы; ради удобства, крайние скобки часто не пишутся):

Некоторые примеры эквивалентностей (, обозначают произвольные формулы; ради удобства, крайние скобки часто не пишутся): ЛЕКЦИЯ Предмет математической логики Высказывания. Логические связки: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. Фиксируем бесконечный список пропозициональных букв (их также называют

Подробнее

Введение в математическую логику Лекция 7

Введение в математическую логику Лекция 7 Введение в математическую логику Лекция 7 Напомним некоторые определения и обозначения. Основным отношением для нас является истинность замкнутой формулы в некоторой структуре (модели). А именно, пусть

Подробнее

Основные понятия формальной логики

Основные понятия формальной логики Основные понятия формальной логики Элементы логики Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности. Логика, как наука о том какие формы рассуждений правильны возникла немногим

Подробнее

Сазонов Д.О. Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»

Сазонов Д.О.   Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы» Кафедра информатики и методики преподавания математики ВГПУ Сазонов Д.О. E-mail: imul@vspu.ac.ru Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»..

Подробнее

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Практическое занятие 1. Алгебра высказываний 1.1 Высказывания и операции над ними Под высказыванием понимают предложение, представляющее собой утверждение,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Булевы и логические функции Раздел электронного учебника для сопровождения практического занятия

Подробнее

В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими компетенциями:

В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими компетенциями: МАТЕМАТИКА 1. Цель освоения дисциплины Обеспечение будущего учителя начальных классов математической подготовкой, необходимой ему для грамотного, творческого обучения и воспитания младших школьников, для

Подробнее

Оглавление. 8. Множества, отношения, функции...89

Оглавление. 8. Множества, отношения, функции...89 Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / Владимир Иванович Игошин. М.: Издательский центр «Академия», 2004. 448 с. Предлагаемое учебное пособие

Подробнее

РОЛЬ ИДЕАЛЬНЫХ ОБРАЗОВ В ОБОСНОВАНИИ АПОДИКТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ *

РОЛЬ ИДЕАЛЬНЫХ ОБРАЗОВ В ОБОСНОВАНИИ АПОДИКТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ * УДК 1:001; 001.8 РОЛЬ ИДЕАЛЬНЫХ ОБРАЗОВ В ОБОСНОВАНИИ АПОДИКТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ * В статье рассматриваются проблемы, касающиеся определения роли идеальных образов («объектов») в обосновании аподиктического,

Подробнее

ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРЕМЫ КАНТОРА

ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРЕМЫ КАНТОРА ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРЕМЫ КАНТОРА Ахвледиани Александр Нодарович Энциклопедический Фонд Russika Научно-техническое общество «INCOL» Yasmin14/17, Carmiel 2194, Israel alexanderakhvlediany@yandex.ru 6/16/211

Подробнее

5. Методические указания по подготовке к семинарским занятиям Основная литература Гетманова А.Д. Логика для юристов. М.: КНОРУС. 2012, 344 с.

5. Методические указания по подготовке к семинарским занятиям Основная литература Гетманова А.Д. Логика для юристов. М.: КНОРУС. 2012, 344 с. 5. Методические указания по подготовке к семинарским занятиям Основная литература Гетманова А.Д. Логика для юристов. М.: КНОРУС. 2012, 344 с. Демидов И.В. Логика. М.: «ИТК Дашков и К». 2012, 348 с. Ивлев

Подробнее

Аннотация рабочей программы по предмету математика 8 класс

Аннотация рабочей программы по предмету математика 8 класс Аннотация рабочей программы по предмету математика 8 класс Рабочая программа по изучению математики в 8 классе составлена на основе следующих документов: 1. Примерная программа основного общего образования

Подробнее

Пояснительная записка. Общая характеристика учебного предмета.

Пояснительная записка. Общая характеристика учебного предмета. Пояснительная записка. Материалы для рабочей программы составлены на основе: федерального компонента государственного стандарта общего образования, примерной программы по математике основного общего образования,

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике. Часть II

Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике. Часть II 051216 Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике Часть II КЮ Поляков, дтн, учитель информатики ГБОУ СОШ 163, г Санкт-Петербург В данной статье рассматриваются задачи следующего типа впервые эти

Подробнее

Рабочая программа по алгебре в 8 классе (105 часов, 3 часа в неделю) учителя математики Т.В. Велякиной.

Рабочая программа по алгебре в 8 классе (105 часов, 3 часа в неделю) учителя математики Т.В. Велякиной. Рассмотрено Принято Утверждаю На МО учителей математики на заседании Директор МОУ СОШ Протокол 1 от 26.08. 2014. педагогического с. Поима Руководитель МО Праслова О.М. совета Родионова О.И. Протокол 1

Подробнее

Лекция 3: множества и логика

Лекция 3: множества и логика Лекция 3: множества и логика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Мы уже использовали понятие множества и в дальнейшем будем его использовать постоянно. Сейчас

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 7 Языки первого порядка: семантика (продолжение) На прошлой лекции было дано определение значений замкнутых термов в модели (определение

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 14 Одним из важнейших инвариантов линейного оператора является его спектр. Он содержит в себе хоть и не всю информацию об операторе, но весьма существенную

Подробнее

7 КЛАСС АЛГЕБРА. Статус документа:

7 КЛАСС АЛГЕБРА. Статус документа: 7 КЛАСС АЛГЕБРА Статус документа: Тематическое планирование по алгебре составлено на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования, ориентировано на учащихся 7

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Алгебра 8 класс

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Алгебра 8 класс РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Алгебра 8 класс Используемые учебные пособия: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова Алгебра 8 класс Учебник для обшеобразовательных учреждений М.: Просвещение ОАО «Московские

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ И ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ И ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ И ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Неразрешимые затруднения, встававшие в связи с проблемами математических объектов, математической истины ж плодотворности применения математики в познании внешнего

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА ОБ ОДНОЗНАЧНОСТИ РАЗБОРА

ЛЕКЦИЯ 2 БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА ОБ ОДНОЗНАЧНОСТИ РАЗБОРА ЛЕКЦИЯ 2 БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА ОБ ОДНОЗНАЧНОСТИ РАЗБОРА 1. Булевы функции. Таблицы истинности Определение 11: Булева функция это функция с булевыми аргументами и булевыми значениями, то есть: f {0, 1}

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

Тема 9. Логические основы ЭВМ.

Тема 9. Логические основы ЭВМ. Тема 9. Логические основы ЭВМ. 1. Логика. Информация, обрабатываемая в ЭВМ, представляется с помощью физических величин, которые могут принимать только два устойчивых состояния и называются «двоичные переменные».

Подробнее

Бабкина Наталья Анатольевна

Бабкина Наталья Анатольевна Бабкина Наталья Анатольевна Основы алгебры-логики. Цели- задачи: Знать: Основные понятия и законы алгебры логики. Уметь: Составлять выражения по сложным высказываниям, составлять таблицы истинности, упрощать

Подробнее

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Отношения и предикаты Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 3 Нормальные формы Определение 10 Литерал это переменная или ее отрицание. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) это дизьюнкция нескольких

Подробнее

КАЛЕНДАРНО ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

КАЛЕНДАРНО ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ к образовательной программе КАЛЕНДАРНО ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по алгебре в 8 классе Учебник «АЛГЕБРА 8», автор Ю. Н. Макарычев и другие, под редакцией С. А. Теляковского Учитель: Дудникова

Подробнее

ОСНОВЫ ЛОГИКИ Логика Logos Логика понятие; суждение; умозаключение. Понятие понятием память компьютера Понятие содержание объём Содержание понятия

ОСНОВЫ ЛОГИКИ Логика Logos Логика понятие; суждение; умозаключение. Понятие понятием память компьютера Понятие содержание объём Содержание понятия ОСНОВЫ ЛОГИКИ Современная логика базируется на учениях древнегреческих мыслителей. Основы формальной логики заложены Аристотелем. Термин «Логика» происходит от греческого слова «Logos», означающего мысль,

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ КУРТА ГЕДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ ФОРМАЛЬНЫХ АКСИОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ К КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ КУРТА ГЕДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ ФОРМАЛЬНЫХ АКСИОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ К КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ КУРТА ГЕДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ ФОРМАЛЬНЫХ АКСИОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ К КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ Ахвледиани Александр Нодарович Энциклопедический Фонд Russika Международное научное общество

Подробнее

Вводный курс математики

Вводный курс математики Высшее профессиональное образование БАКАЛАВРИАТ И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова Вводный курс математики Под редакцией академика В. Л. Матросова Рекомендовано Учебно-методическим объединением

Подробнее