тие множества всех множеств (безотносительно к ступени) является теперь незаконным. Является также незаконным и понятие множества всех нормальных

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "тие множества всех множеств (безотносительно к ступени) является теперь незаконным. Является также незаконным и понятие множества всех нормальных"

Транскрипт

1 Логицизм Логицизм в XX в. связан в основном с именем Рассела. Подвергнув критике построения Фреге, Рассел, однако, не отверг его программу в целом. Он полагал, что эта программа, при некоторой реформе логики, может быть осуществлена и тем самым желаемая строгость математики будет достигнута. Рассел исходит из того, что все логические парадоксы сводятся к антиномии лжеца и общий источник их состоит в том, что в суждении высказывается мысль не только о некоторых внешних по отношению к нему предметах, но одновременно и о самом суждении, или, иначе, суждение оборачивается само на себя. Рассел исключает такого рода суждения из математического языка посредством своей теории типов или теории логических ступеней. Суть этой теории состоит в том, что математические высказывания делятся на классы в соответствии с областью определения. Пусть имеется некоторая область объектов: а, b, с, и т. д. К первому типу относятся высказывания о свойствах этих объектов: f(a), g(b) и т. д. К типу второму относятся высказывания о свойствах этих свойств, которые могут быть выражены логическими функциями F(f), F(g), и т. д. К третьему типу относятся высказывания о свойствах свойств и т. д. Основное правило теории типов состоит в том, что каждый предикат относится только к определенному типу и может быть осмысленно применен только к объектам нижележащего типа; он не может быть применен к предикатам более высокого уровня или к самому себе как к объекту. Выражения f(a) и F(g) либо ложны, либо истинны, но выражения f(f), f(g), f(f) - не истинны и не ложны, но бессмысленны. Ошибка Фреге, по мнению Рассела, состоит в том, что он допускал универсальную область определения для любой логической переменной. Идея ступенчатой логики позволяет исключить все известные парадоксы теории множеств. Парадокс Кантора исключается потому, что само поня- 75

2 тие множества всех множеств (безотносительно к ступени) является теперь незаконным. Является также незаконным и понятие множества всех нормальных множеств. Мы можем говорить о нормальных множествах только определенной степени. Но множество, образованное из всех нормальных множеств п-й ступени, будет уже объектом n+1-й ступени, и высказывания о его включении или невключении в исходных ряд множеств согласно теории типов будут бессмысленными, основанными на смещении различных уровней логического рассуждения (областей определения логических функций). То же самое относится и к парадоксу Ришара. Определение ришарова числа не является уже собственно арифметическим, но является определением метаязыковым, определением 2-й ступени, и мы не имеем права ставить его в один ряд с собственно арифметическими определениями, из множества которых мы первоначально исходили. Усовершенствованная таким образом логистическая программа встретилась, однако, с рядом технических трудностей. Для их понимания необходимо рассмотреть принцип построения логистической арифметики. Конкретное число в логицистской трактовке относится к классу эквивалентных классов рассматриваемых предметов. Например, число «2» обозначает класс всех пар, число «5» класс всех классов, в которых содержится по пять предметов, и т. д. На этой основе каждому натуральному числу может быть поставлена в соответствие логическая формула, характеризующая соответствующий класс эквивалентных классов. Числу «0» мы ставим в соответствие формулу xf(x), которая является логической характеристикой пустого класса (или множества пустых классов вообще). Числу «1» будет соответствовать выражение: x[f(x) yf(y) (х, у)], что означает, что существует х, для которого выполняется свойство F, но любое y, для которого это свойство также выполняется, тождественно х, или, иначе говоря, предикат F образует класс из одного предмета. 76

3 Числу «2» будет соответствовать более длинная формула, а именно: (существуют два различных х и у, для которых выполняется F и каждое z, которое удовлетворяет F(z), тождественно с х или у). Ясно, что таким образом мы можем как угодно большому числу поставить в соответствие его логический эквивалент. Если теперь арифметической операции сложения мы поставим в соответствие логический знак дизъюнкции, а знаку равенства знак логического тождества, то оказывается, что любому истинному арифметическому утверждению, выражающему сложение чисел, будет соответствовать логическая тавтология, т. е. формула, выводимая только из аксиом логики. Если, к примеру, числу «5» соответствует формула Ф 5, числу «7» Ф 7, числу «12» Ф12, то логическая формула будет тавтологией в функциональном исчислении первого порядка. Рассматривая теперь уровень конкретных арифметических объектов и высказываний в качестве данного, мы можем ввести понятие натурального числа вообще, отношение равенства и т.д., т.е. построить уровень высказываний об этих высказываниях, который в своем логическом выражении будет сводиться к тавтологиям второй ступени в теории типов. Рациональное число задается как отношение двух натуральных чисел, удовлетворяющее некоторым свойствам. Произвольное действительное число может быть определено как нижний класс в соответствующем сечении множества рациональных чисел. К примеру, определяется как класс всех дробей, квадрат которых меньше, чем два. На основе этих определений могут быть обоснованы все операции в области действительных чисел. Наконец, общие законы теории множеств естественно включаются в логику вследствие возможности истолкования логического понятия «класс» как определенного множества 2. 2 Введение основных понятий логицистской математики имеется в работах [27; 121; 51]. 77

4 Программа логицизма состояла в том, чтобы поставить в соответствие каждому истинному математическому утверждению тавтологию логики, представив тем самым математику как единую «грандиозную тавтологию А=А» (выражение Пуанкаре), как простое продолжение логики. Обоснование математики сводится в этом случае к обоснованию логических исчислений. Что касается обоснования самой логики, то ни Фреге, ни Рассел не высказали здесь ничего определенного. По мнению Рассела, существует предел строгого мышления, дальше которого логическое обоснование уже не имеет смысла. Логика в системе логицизма и должна бы стать этой окончательной инстанцией надежности. Реализация этой программы, предпринятая Расселом и Уайтхедом, столкнулась с рядом затруднений. Оказалось, прежде всего, что мы не можем ввести общее понятие натурального числа как предиката от предиката, не предположив бесконечной области объектов, на которой выполняется предикат аргумент. Но тезис: «Область предметов, определяющих числовые функции, бесконечна» не может быть истолкован как закон логики, как тождественно истинное высказывание в рамках логистической системы. Оказалось также, что операции над произвольными числами не могут быть корректно заданы с логицистской точки зрения без использования аксиомы выбора, которая утверждает, что если даны множества А 1.. А n, то также существует множество В, которое содержит один и только один элемент от каждого из этих множеств. Эта аксиома неприемлема для логицизма по той же причине, что и аксиома бесконечности: обе они носят экзистенциальный характер они не утверждают отношения между заданными предварительного объектами, но сами задают объект с необходимыми свойствами и потому они заведомо не могут быть представлены в качестве логических тавтологий. Наконец, для доказательства ряда теорем анализа потребовался еще один тезис ad hoc так называемая аксиома сводимости, утверждающая, что для всякого пре- 78

5 диката л-й ступени существует предикат 1-й ступени, выполнимый по отношению к одному и тому же предмету (символически: (х)[р п (х) Р 1 (х)], где Р п предикат n-го уровня, а Р 1 - предикат 1-го уровня). Аксиома сводимости оказывается, в частности, необходимой для доказательства важной теоремы анализа о существовании верхней грани ограниченного множества. Действительно, доказывая эту теорему, мы должны говорить о классе чисел в целом как о заданной совокупности, определяющей свою грань. Предикаты, обозначающие отдельных индивидов совокупности, могут относиться к разным типам (это очевидно, если мы имеем дело с множеством действительных чисел, включающих в себя как целые, так и рациональные и иррациональные числа), но в рассуждениях необходимо предположить некоторый высший тип, к которому могут относиться предикаты, так как допущение произвольного уровня противоречит ограничению на область определения логических функций, накладываемых теорией типов. Пусть этот высший предикат относится к n-му уровню. Но в таком случае предикат, обозначающий верхнюю грань этого множества, т. е. как предикат от всех индивидуальных предикатов, должен быть уже отнесен к n+1-му уровню и, следовательно, не может быть числом данного множества вообще. Аксиома сводимости снимает затруднение тем, что она ставит предикату n+1-й ступени предикат более низкой ступени, удовлетворяющий формальным требованиям к верхней грани. Попытки обосновать эту аксиому в качестве логического закона или обойтись без нее оказались безрезультатными. Таким образом, логицизм как программа полного сведения математики к логике в какой-то мере сам поставил себя под сомнение в результате своего развития. Даже если принять, что ступенчатое исчисление предикатов само по себе непротиворечиво, то вместе с аксиомой бесконечности, аксиомой выбора и аксиомой сводимости оно становится уже проблематичным в этом отношении. Против логицизма с самого начала были выд- 79

6 винуты также возражения общего методологического порядка. Д. Гильберт видел в логическом обосновании математики порочный круг, ибо, «внимательно присматриваясь, мы замечает, что при обычном изложении законов логики применяются уже некоторые основные понятия арифметики» [26, с. 325]. Пуанкаре охарактеризовал логицизм как безнадежную попытку свести бесконечное к конечному [80, с. 5]. Сама мысль свести математику к логике возникла у Фреге прежде всего под влиянием учения Лейбница о «всеобщей характеристике» и традиционного разделения истин на истины опыта и истины разума. Как и Лейбниц, Фреге был убежден, что истины логики и метафизики (философии) не являются эмпирическими и что арифметика родственна с логикой, но не с физикой и поэтому должна найти свое окончательное обоснование на базе логики. Некоторую роль в идейном обосновании логицизма сыграла философия математического реализма, о которой мы будем говорить особо.

ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА

ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА ЛЕКЦИЯ 15 ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА 1 ПРИМЕРЫ ПОЛЕЙ Пример 1. Числовые поля Q, R, C являются основными примерами полей для нас. Пример

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Исчисление предикатов

Исчисление предикатов Исчисление предикатов Оглавление 1. Определение предиката 2. Множество истинности предиката 3. Классификация предикатов 4. Теоремы о тождественно истинных (тождественно ложных) и равносильных предикатах

Подробнее

18. Отображения, отношения и лемма Цорна

18. Отображения, отношения и лемма Цорна 18. Отображения, отношения и лемма Цорна Вернемся еще раз к теории множеств будем надеяться, что последний раз в курсе анализа. Вы уже знакомы с понятием отображения множеств. Именно, отображение f : X

Подробнее

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Отношения и предикаты Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Обучение учащихся решению иррациональных неравенств

Обучение учащихся решению иррациональных неравенств Выпуск 007 www.omsk.edu Р.Ю. Костюченко Омский государственный педагогический университет Обучение учащихся решению иррациональных неравенств 13.00.0 теория и методика обучения и воспитания (математика)

Подробнее

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать. 9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Лекция 2. Степенные ряды

Лекция 2. Степенные ряды С А Лавренченко wwwlwreekoru Лекция Степенные ряды Понятие степенного ряда Степенной ряд можно рассматривать как многочлен с бесконечным числом членов Определение (степенного ряда) Степенным рядом называется

Подробнее

Расширения логики ALC

Расширения логики ALC Глава 6 Расширения логики ALC Существуют многочисленные расширения логики ALC путем добавления новых конструкторов для построения составных концептов и ролей, либо добавления новых видов аксиом. Они будут

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Докритический Кант о взаимоотношениях двух родов противоположностей. Ю. К. Протопопов (К алининградский государственный университет)

Докритический Кант о взаимоотношениях двух родов противоположностей. Ю. К. Протопопов (К алининградский государственный университет) I 6 Так, например, соотношение между вопросом и ответом в системе образования проследил Э. Фромм. Правда, он не занимался методическим исследованием проблемы. Ему это надо для различения двух способов

Подробнее

Вычислительная сложность логики ALC

Вычислительная сложность логики ALC Глава 5 Вычислительная сложность логики ALC 5.1 Верхняя оценка сложности логики ALC Обычно длиной какого-либо синтаксического объекта (концепта, TBox, ABox и т.п.) называют число символов, использованных

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 146 Системы логических уравнений.

Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 146 Системы логических уравнений. Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 46 Системы логических уравнений. Оглавление Замечание о замене переменных.... Задачи содержащие импликацию или ее эквивалентную запись....2 Наличие дополнительного условия...6

Подробнее

Методические рекомендации к практическим занятиям по курсу математики.

Методические рекомендации к практическим занятиям по курсу математики. Методические рекомендации к практическим занятиям по курсу математики. Составные части задачи и этапы её решения в школьном курсе. При обучении решению задач необходимо научить учащихся разбираться в условии

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА. Конечное и бесконечное в дискретной математике. Лекция 1. Предмет дискретной математики. Натуральный ряд N и его подмножества

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА. Конечное и бесконечное в дискретной математике. Лекция 1. Предмет дискретной математики. Натуральный ряд N и его подмножества ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Лекция 1 Курс лекций Конечное и бесконечное в дискретной математике Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова Экономический факультет 1 2 Предмет дискретной математики

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. А. Ю. Эвнин

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. А. Ю. Эвнин 2008 Математика в высшем образовании 6 УДК 511(07 СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ А Ю Эвнин Южно-Уральский государственный университет,

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Функции конечнозначных логик. Элементарные функции k-значной логики. Способы задания функций k-значной логики: таблицы, формулы, I-я и II-я формы, полиномы. Полнота. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом А.Л. Макарьев Омский государственный педагогический университет Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск 006 www.os.edu Нильпотентные полугруппы,

Подробнее

Логические основы работы ЭВМ

Логические основы работы ЭВМ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Логические основы работы

Подробнее

11. Аксиомы отделимости

11. Аксиомы отделимости 48 11 Аксиомы отделимости Понятие топологического пространства было введено в самом общем виде Рассмотрим ограничения, накладываемые на топологические пространства Определение Говорят, что топологическое

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

(1971г.) П. Дж. Коэн:

(1971г.) П. Дж. Коэн: Эссе ТОКАЛИНА В.Н. на публикацию книги Аюра Кирусса «Основные понятия о Нестандартном анализе», в виде критических замечаний к статье П.Дж.Коэна «ОБ ОСНОВАНИЯХ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ» в переводе Манина Ю.И. Источник:

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Составитель: М.С. Спирина

Составитель: М.С. Спирина ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА (ПВГУС)» Кафедра «Высшая математика»

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения.

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения тела достаточно знать его скорость и время движения. Но как подойти к

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ

ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ Губко М.В., Новиков Д.А. ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В настоящем приложении рассматривается аппарат описания предпочтений участников организационных систем отношения предпочтения и функции

Подробнее

Календарно-тематическое планирование по математике 2 класс (Демидова Т.Е., Козлова С.А.)

Календарно-тематическое планирование по математике 2 класс (Демидова Т.Е., Козлова С.А.) Календарно-тематическое планирование по математике 2 класс (Демидова Т.Е., Козлова С.А.) п/п Тема урока Кол-во часов Характеристика деятельности учащихся Дата проведения Числа от до 0.(5ч) 5 Действия сложения

Подробнее

ЯЗЫКИ ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ. 1.1. Алфавиты и языки. Часть I: ЯЗЫКИ, ГРАММАТИКИ, АВТОМАТЫ. Глава 1

ЯЗЫКИ ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ. 1.1. Алфавиты и языки. Часть I: ЯЗЫКИ, ГРАММАТИКИ, АВТОМАТЫ. Глава 1 Часть I: ЯЗЫКИ, ГРАММАТИКИ, АВТОМАТЫ Глава 1 ЯЗЫКИ ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 1.1. Алфавиты и языки Приступая к изучению теории языков, прежде всего следует определить, что мы подразумеваем под термином язык. Энциклопедическое

Подробнее

Простые и составные числа

Простые и составные числа А. Шень Простые и составные числа 183 182 181 180 179 178 177 176 175 174 173 172 171 170 225 184 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 169 224 185 134 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 121 168 223

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Натуральное число p, больше единицы называется простым, если оно делится нацело только на 1 и на себя. Теорема (Эвклид). Множество простых чисел бесконечно. Обозначим через π(x)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

14. Гармонические формы

14. Гармонические формы 14. Гармонические формы В этой лекции мы под дифференциальными формами будем (до поры до времени) понимать дифференциальные формы класса C. Мы разрешаем дифференциальным формам быть комплекснозначными.

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ ЛОМОНОСОВА ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКТОР ПРОФ ЧИРСКИЙ

Подробнее

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат 87 Теорема Фундаментальная группа окружности S является бесконечной циклической группой с образующей α, где α - гомотопический класс петли l: I S, где l () t = ( os πt,sin π t ), t [ 0 ; ] 5 Степень отображения

Подробнее

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс)

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Найдите все простые числа p и q такие, что выражение целого числа является квадратом 1 Очевидно, что при q

Подробнее

Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок. Лекция 8

Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок. Лекция 8 Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок Лекция 8 CВОЙСТВА ОЦЕНОК КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ Для того чтобы полученные по МНК оценки обладали некоторым полезными статистическими свойствами

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Интегралы Определенные и Неопределенные

Интегралы Определенные и Неопределенные 1 Интегралы Определенные и Неопределенные Опр. Интеграл функции это естественный аналог суммы последовательности. Опр. Интегрирование процесс нахождения интеграла. Зам. Интегрирование это операция обратная

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

1. Производная и её свойства

1. Производная и её свойства ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1. Производная и её свойства Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена в интервале (a,b) и x 0 точка этого интервала. Пусть x такая величина, что x 0 ± x (a,b),

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Производные категории

Производные категории Часть 1. Локализация категорий Производные категории Гомологическая алгебра 6 22.10.2008 Определение производной категории очень просто. Производная категория абелевой категории A это локализация категории

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность.

ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ЛЕКЦИЯ 2 ТОПОЛОГИЯ ОСЕНЬ 2010 Г Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность. Топологическим

Подробнее

Лекция 9: Прямая в пространстве

Лекция 9: Прямая в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению прямой в пространстве. Излагаемый

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

И. С. Кузнецова К А Н Т О М А Т Е М А Т И Ч Е С К О М З Н А Н И И

И. С. Кузнецова К А Н Т О М А Т Е М А Т И Ч Е С К О М З Н А Н И И И. С. Кузнецова К А Н Т О М А Т Е М А Т И Ч Е С К О М З Н А Н И И Н а всем протяжении развития науки ученые сознавали связь, между гносеологией и конкретными науками. О б этом со всей определенностью писал

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Топология, лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа

Топология, лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа Топология, лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа Миша Вербицкий 6 апреля, 2008 матфак ВШЭ 1 Метрические пространства Определение: Пусть M - множество. Метрикой на M называется функция d : M

Подробнее

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ Практикум Кострома

Подробнее

24. p-адические числа

24. p-адические числа 24. p-адические числа На этой лекции мы разберем важные примеры пространств, свойства которых в некотором отношении противоположны свойствам R и прочих связных пространств. Определение 24.1. Топологическое

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ю. В. Сидоров. Лекции по теории функций комплексного переменного. Многозначные аналитические функции. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов

Подробнее

Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций

Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций На этом занятии рассматривается вычисление интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций. Обсуждаются случаи

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ:

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ: Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Витебский государственный университет имени П.М. Машерова» Кафедра алгебры и методики преподавания математики ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ:

Подробнее

Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А по геометрии для 10 класса

Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А по геометрии для 10 класса АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 100 с углубленным изучением отдельных предметов Утверждаю Директор школы 100

Подробнее

а соответствующая характеристика, как видим, представляет собой площадь поперечного сечения элемента.

а соответствующая характеристика, как видим, представляет собой площадь поперечного сечения элемента. Понятие о геометрических характеристиках однородных поперечных сечений Центр тяжести; статические моменты; моменты инерции осевые, центробежный, полярный; моменты сопротивления; радиусы инерции Главные

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

Рональд Джонс СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФАКТОРАМИ И ТЕОРЕМА ХЕКШЕРА ОЛИНА

Рональд Джонс СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФАКТОРАМИ И ТЕОРЕМА ХЕКШЕРА ОЛИНА Рональд Джонс СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФАКТОРАМИ И ТЕОРЕМА ХЕКШЕРА ОЛИНА Jones Ronald Factor proportion and the H-O theorem 1. Недавние достижения в области чистой теории международной торговли в значительной

Подробнее

В. Н. Дятлов, Г. В. Дятлов МАТЕМАТИКА. Между школой и вузом (ПРОБНАЯ ВЕРСИЯ)

В. Н. Дятлов, Г. В. Дятлов МАТЕМАТИКА. Между школой и вузом (ПРОБНАЯ ВЕРСИЯ) В. Н. Дятлов, Г. В. Дятлов МАТЕМАТИКА. Между школой и вузом (ПРОБНАЯ ВЕРСИЯ) 1 УДК 51 ББК 22.1 Д998 Дятлов В. Н. Математика. Между школой и вузом / В. Н. Дятлов, Г. В. Дятлов Новосибирск: Издательство

Подробнее

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» Программа и правила проведения вступительного испытания по «Математике»

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике -2, 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике -2, 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Схемы из функциональных элементов с задержками (СФЭЗ), автоматность осуществляемых ими отображений. Представление КАВ СФЭЗ. Упрощения КАВ. Отличимость и неотличимость состояний КАВ. Теорема Мура

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

Тема: Системы счисления Алгоритм перевода целой части из десятичной системы счисления в другую целой части числа 18 202 2619 121

Тема: Системы счисления Алгоритм перевода целой части из десятичной системы счисления в другую целой части числа 18 202 2619 121 Лабораторная работа Тема: Системы счисления Алгоритм перевода целой части из десятичной системы счисления в другую Для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Частично упорядоченные множества (ЧУМ). Диаграмма ЧУМ. Максимальные, минимальные, наибольший и наименьший элементы. Цепи и антицепи, длина и ширина конечных ЧУМ. Теорема о разбиении ЧУМ на антицепи.

Подробнее

вовала такая посылка достижению некоторой «ценности» (например, процветанию

вовала такая посылка достижению некоторой «ценности» (например, процветанию вовала такая посылка достижению некоторой «ценности» (например, процветанию штата Мехико). 9 Там же. С. 169. 10 Козловски считает принцип категорического императива Канта слишком неконкретным, чтобы он

Подробнее

О группах ограниченных подстановок

О группах ограниченных подстановок Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 200, 3(2), 262 266 УДК 59.45 Николай М. Сучков Надежда Г. Сучкова Институт фундаментальной подготовки, Сибирский федеральный университет, Свободный

Подробнее

Лекция 7: Прямая на плоскости

Лекция 7: Прямая на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта и следующие две лекции посвящены изучению прямых и плоскостей.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ Министерство образования и науки Краснодарского края Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «АРМАВИРСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ» Краснодарского

Подробнее

1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Переполнение разрядной сетки

1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Переполнение разрядной сетки Конспекты лекций по курсу «Введение в информатику и системы программирования», 1 семестр С.А. Немнюгин, направление «Прикладные математика и физика») 1 Лекция 9 Архитектура ЭВМ Форматы хранения данных.

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее