ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ". Составитель: В.П.Белкин

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ". Составитель: В.П.Белкин"

Транскрипт

1 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ" Составитель: ВПБелкин Занятие Классическая вероятность Пример Монета брошена два раза Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится "герб" Построить пространство элементарных событий Решение Простейший исходы (Герб; Герб), (Герб; Решка), (Решка; Герб), (Решка; Решка) Эти исходы образуют пространство элементарных событий Число всех исходов n 4 Обозначим событие A - "при двух бросках появится хотя бы один раз появится "герб " Применим формулу классической вероятности m P ( A), где m - число исходов, благоприятствующих появлению событию A n Пример Найти вероятность того, что при двух бросках игральной кости выпадет а) две шестерки (событие A ); б) не равные между собой очки (событие B ); в) на первой кости выпадет большее число очков, чем на второй (событие C ) Построить пространство элементарных событий Решение Простейший исходы имеют общий вид ( ; y), где, y {,,,6} Здесь -число очков, выпавших при первом броске кости, а y - при втором броске Число всевозможных исходов равно n 6 Событие A - выпали две шестерки Число m Пример Вычислить; а) число способов размещения расстановки трех разных книг на полке; б)число трехэлементных подмножеств множества {,,, 4 } ;в)число трехзначных чисел, в записи которых все цифры различны и не равны нулю Решение А) число перестановок n предметов в определенном порядке равно n! n, те три различные книги можно упорядочить! способами Б)Каждое подмножество есть сочетание, те неупорядоченный набор предметов без учета их порядка Число сочетаний предметов из множества n предметов равно n ( n ) ( n + ) Cn Принять n 4, В)Упорядоченный набор предметов называется размещением Число размещений предметов из множества предметов равно A n n n + n n Пример 4 В ящике имеется деталей, среди которых шесть окрашенных Сборщик наудачу извлекает пять деталей Найти вероятность того, что: а) извлеченные детали окажутся окрашенными (событие A ); б) среди деталей будет только две окрашенные(событие B ) Решение А)Простейший исход - это сочетание пяти деталей, взятых из множества деталей Сочетание - это любой неупорядоченный набор,те подмножество предметов Число сочетаний n ( n ) ( n + ) рассчитываем по формуле C n Итак, число всевозможных исходов 5 равно n C

2 Событие A - извлеченные пять деталей окажутся окрашенными Число m, благоприятствующих появлению событию A, равно числу сочетаний равно m C Б) событие B -среди деталей будет только две окрашенные Изобразим набор из пяти деталей в виде отрезка, разделенного на две части C 6 C 4 окр неокр Подсчитаем число способов выбрать окрашенных детали из 6, это число сочетаний неокрашенных деталей число способов составит C 4 число наборов из пяти деталей равно произведению C 6 Так как эти способы независимы, то m C 6 C 4 Для Пример 5 В лотерее участвуют билеты с трехзначными номерами, начиная с Определить вероятность того, что номер наудачу выбранного билета не содержит одинаковых цифр Решение Обозначим событие A - номер наудачу выбранного лотерейного билета не m содержит одинаковых цифр Применим формулу классической вероятности P(A) n, где n число всевозможных исходов, а m - число исходов, благоприятствующих появлению события A Исход это тройка цифр yz В каждой из трех позиции трехзначного номера yz можно независимо от других позиций прописать одну из цифр Поэтому число вариантов каждой позиции следует перемножить, чтобы получить число всевозможных исходов n вариантов для выбора вариантов для выбора y вариантов для выбора z y z Находим число исходов, благоприятствующих появлению события A Оно равно числу размещений m A Это число выражает число упорядоченных наборов из трех предметов, взятых из множества, состоящего из элементов Число размещений рассчитываем по формуле A n ( n ) ( n + ) n 5 Итак, число исходов, благоприятствующих появлению событию A равно m A m A Отсюда P(A) n 7,7 Пример 6 В группе из студентов распространяют три бесплатных билета на дискотеку Какова вероятность того, что из шести друзей этой группы трое получат билеты на дискотеку (событие A )

3 Решение Исход сочетание, те это неупорядоченная тройка человек, выбранных из десяти 9 8 Число всевозможных исходов равно числу сочетаний n C 654 Число исходов, благоприятствующих появлению события A, равно m C 6 m C Найдем вероятность по формуле классической вероятности P( A) 6 n C 6 Пример 7 В группе студентов, из которых парней Какова вероятность того, что среди 5 опоздавших на занятие две девушки (событие A )? Решение Исход это сочетание неупорядоченный набор пяти человек из студентов Число всевозможных исходов равно n C Исход, благоприятствующий появлению событию A, это множество, состоящее из трех парней и двух девушек Представим исход в виде отрезка, у которого левая часть изображает число парней,, опоздавших на занятие, а правая часть отрезка - число девушек, опоздавших на занятие Графическое изображение исхода парня девушки Число выбора Число выбора парней из девушек из 8 Число вариантов выбора -х парней из равно m C, а для девушек подобное число вариантов равно m 8 C Так как варианты выбора парней не зависят от выбора девушек, то следует применить правило перемножения вариантов, те m m m Применим формулу классической вероятности P( A) m n C C8 5 C Занятие Теоремы умножения и сложения вероятностей C C 8 8, Пример Брошены две игральных кости Найти вероятность того, что на каждой из них появится 5 очков Решение Событие A - на первой кости выпало 5 очков, B - на второй кости выпало 5 очков P AB P A P B События независимые, те Пример Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора Вероятность того, что при аварии сработает сигнализатор, равна,95 для первого сигнализатора и,9 для второго Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) оба сигнализатора; б) хотя бы один сигнализатор Решение А) P( AB) P( A) P( B) ; Б) Находим вероятность события A + B, P A + B P A + P B P A B

4 4 Пример После бури на участке телефонной линии произошел обрыв Какова вероятность того, что обрыв произошел на участке от 5 до км, если вероятность обрыва на участках от 5 до 5 км, от до км, от до 5 км равны соответственно,6,,8 и,5 Решение Вводим событие: A - обрыв на участке от 5 до 5 км; событие B - обрыв на участке от до км Тогда событие AB -обрыв от до 5 км равны Вероятности этих событий известны A AB 5 5 Событие A + B - обрыв на участке от 5 до км Применим формулу P A + B P A + P B P A B B Пример 4 В автопарке % грузовых машин, а остальные легковые Найти вероятность того, что выехавшие из ворот автопарка две машины будут одного вида Решение Обозначим события: A - первая машина грузовая, B - вторая машина грузовая Сложное событие A B, B События P A B + A B означает, что обе машины одинакового вида События A не совместны, поэтому верно P( A B + A B) P( A B) + P( A B) A, B независимые, события также A, B независимые ( A B + A B) P( A B) + P( A B) P( A) P( B) + P( A) P( B) Подставим вероятности ( A) P( B), B, P, P ( A) P 7 Пример 5 В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов равны соответственно p,, p 5,, p, Найти вероятность того, что тока в цепи не будет Решение Изобразим электрическую цепь I A B C Обозначим события: A, B,C - -ый, -ой, -ий элемент отказал соответственно Сложное событие События A B, C D A B C означает, что три элемента исправны и ток в цепи идет, не зависимы, P( D) P( A B C) P( A) P( B) P( C) Находим вероятность P ( A) P( A), 9 Противоположное событие D означает, что откажет хотя бы один из трех элементов, поэтому тока в цепи не будет Пример 6 Процесс изготовления детали состоит из нескольких операций После первой и второй операций производится контроль качества, и при обнаружении брака деталь отбрасывается Решение Вероятность того, что деталь окажется бракованной после первой операции равна,, а после второй,5 Определить вероятность того, что деталь окажется отбракованной до третьей операции Решение Обозначим событие A - деталь окажется бракованной после первой операции и событие B - деталь окажется бракованной после второй операции

5 5 Событие A + A B означает, что деталь окажется отбракованной до третьей операции, те отбраковка происходит после первой операции или после первой операции деталь без брака, но она отбракована после второй операции События A; A B попарно несовместны Поэтому можно применить формулу вероятности попарно несовместных событий P( A + A B) P( A) + P( A B), + P( A B), + P( A) P( B/ A) Условная вероятность P( B/ A ),5 P( A + A B), + P( A B), ( P( A) ),5 + +,,8,5,6 Занятие Формула полной вероятности Формула Байеса Геометрическая вероятность Пример В каждой из двух урн содержится 6 белых и 4 черных шара Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну После чего из второй урны наудачу извлечен шар Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из второй урны, окажется белым Решение Обозначим гипотезы: H - из первой урны вынут белый шар; H - из первой урны вынут черный шар; События H, H образуют полную группу событий Это означает, что эти события не совместны и их сумма - достоверное событие Вероятности этих гипотез находим по формуле классической вероятности P 4 P( H ) Событие A состоит в том, что взятый наугад шар из второй урны окажется белым Условные вероятности этого события P ( A / H ) 7 ; P ( A / H ) 6 Формула полной вероятности: P( A) P( H) P( A/ H) + P( H) P( A/ H ) P( A ) + H m n 6 ; Пример В стройотряде работают студенты первых двух курсов, из них 6 % студентов первого курса Среди первокурсников % девушек, а среди студентов второго курса -% девушек Одному из студентов пришла телеграмма Найти вероятность того, что телеграмму получила девушка Решение Обозначим гипотезы: H - телеграмму получил студент-первокурсник; H - телеграмму получил студент-втовокурсник События H, H образуют полную группу событий Вероятности этих гипотез P,6 6% P H,4 4% H ; Событие A состоит в том, что девушка получила телеграмму P A / H, ; P ( A / H ), Формула полной вероятности: P A P H P A/ H + P H P A/ H P( A ),6,+,4, Условные вероятности этого события Пример Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго автомата Первый автомат производит в среднем 6 % деталей отличного качества, а второй - 8%

6 6 Наудачу взятая с конвейера деталь, оказалась отличного качества Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом Решение Обозначим гипотезы: H - деталь произведена первым автоматом; События H, H образуют полную группу событий ; - деталь произведена вторым автоматом H Вероятности этих гипотез P H P H Событие A состоит в том, что наудачу взятая с конвейера деталь, оказалась отличного качества Условные вероятности этого события P ( A / H ),6; P ( A / H ),8 Вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом, это вероятность условного события H / A Ее находим по формуле Байеса : P( H) P( A/ H) P( H / A) P( A ),6, +, 4, P H P A/ H + P H P A/ H Пример 4 Монета радиуса a случайным бросается внутрь круга радиуса R > a Какова вероятность того, что(событие A ) монета накроет центр этого круга? Решение Множество исходов- это точки круга радиуса ( R a), внутрь которого может попасть центр монеты R a O R D O a Площадь пространства исходов равна S π R a Изобразим множество D исходов благоприятствующих появлению события A Площадь этого круга S π a Вероятность того, что(событие A ) монета накроет центр этого круга равна P A S π a S π R a a ( R a) Занятие 4 Формула Бернулли Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях Локальная и интегральная теоремы Лапласа Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях Формула Пуассона Пример В партии изделий 5% бракованных Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 5 изделий будет бракованных? Решение Применим формулу Бернулли Производятся n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событие A равна p, примем q p Вероятность того, что событие A произойдет раз равна Pn Cn p q n (Формула Бернулли) В нашем случае событие A обозначает, что изделие бракованные Вероятность появления событие A равна p P( A), 5 (находим как вероятность противоположного события, те P( A) P( A) ) Отсюда q p, 95 Число испытаний равно числу партий n 5 Величина X равна числу появлений события A в n независимых испытаний

7 Вероятность P( X ) события X обозначается, вычисляем ее по формуле n n n Бернулли P C p q Рассчитаем вероятности:, P5 C5 p q,5, Находим биномиальный коэффициент C 5! P n 7 Пример Испытывается каждый из 5 элементов некоторого устройства Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна,9 Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание Решение Наивероятнейшее число появления события A находим как целое число, принадлежащее промежутку np q np+ p Если границы этого отрезка - целые числа, то они равновероятны и каждое из них может быть принято в качестве np q np+ p 5,9, 5,9 +,9,,4 4,4 Отсюда 4 Пример Вероятность того, что расход электроэнергии на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна,75 Какова вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение четырех суток не превысит норму Решение Напомним схему Бернулли: Производится n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равна p P( A) Тогда вероятность появления n n n раз этого события равна P C p q, где q p - вероятность противоположного события A В нашем случае испытание означает, что в течение одного дня оценивается расход электроэнергии Число таких независимых испытаний равно n 6 Пусть событие A обозначает, что перерасхода электроэнергии не произойдет Вероятность этого события в каждом испытании равна p P( A),75 и q p,5 Пусть - это число дней, когда не было перерасхода электроэнергии Событие 4 равносильно тому, что в течение 4 дней из 6 перерасхода электроэнергии не произойдет Тогда вероятность этого события равна P ( 4) P6 ( 4) C6,75, 5,75, Пример 4 Вероятность того, что на случайно взятой странице рукописи есть опечатки (событие A ) равна,5 Какова вероятность, что на 7 страницах из 4 страниц есть опечатки Решение Применим схему Бернулли В нашем случае испытание проверка есть ли на странице опечатки Число испытаний равно n 4 Вероятность появления событие A равна p P ( A), 5 Отсюда q p,75, число появлений события A равно 7 Так как n велико и p >,, то удобней применить локальную теорему Лапласа : Pn Cn p q n np ϕ ( ), где, функция ϕ ( ) e табулирована npq npq π (прил, Гмурман ВЕ Теория вероятностей и математическая статистика ) np 7 4,5 7; ϕ ( ) e 56 npq 4,5,75 π Вероятность того, что событие A произойдет ровно 7 раз равна

8 P 4 (7) 4,5,75,56, 8 Пример 5 Вероятность опоздания пассажира на поезд равна, Найти вероятность того, что на поезд опоздают не более 5 пассажиров из Решение Применим схему Бернулли: Испытание- это приход пассажира к отправлению поезда Эти испытания независимы и их число n Событие A - пассажир опоздал Вероятность p P( A), и q p,8 Число n велико и p >,, поэтому применяем интегральную теорема Лапласа Вероятность того, что событие A произойдет раз в n независимых испытаниях, где, равна : np Pn ( ) Φ( ) Φ( ), где, np и npq npq Φ( ) ϕ ( ) d Число π e d- функция Лапласа появлений события A удовлетворяет неравенству 5 Поэтому 5 и np npq,,,8 5 ; np npq Pn ( 5) Φ(,5) Φ( 5 ),944+,5 Применили свойство нечетности Ф( ) Ф( ) 5,,,8,8944, 5 Пример 6 Вероятность оплаты долга по ипотеке,8 Какова вероятность того, что от 7 до 8 клиентов из погасят долг ( не менее 7 человек, но не более 8)? Решение Применим схему Бернулли: Производится n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равна p P( A) Тогда вероятность появления n n n раз этого события равна P C p q, где q p - вероятность противоположного события A Число независимых испытаний равно n Пусть событие A обозначает, что долг по ипотеке будет оплачен Вероятность этого события в каждом испытании равна p P( A),8 и q p, Пусть - это число появлений события A Так как n велико, то применим интегральную теорема Лапласа Вероятность того, что событие A произойдет раз в n независимых испытаниях, где, равна : np Pn ( ) Φ( ) Φ( ), где, np npq npq и Φ( ) ϕ ( ) d e π d- функция Лапласа Находим 7, 8 ; np 7,8,5 ; np 8,8 npq,8, npq,8, Pn ( 7 8 ) Φ() Φ(,5) +,498,498 Применили свойство нечетности Φ ( ) Φ( )

9 Пример 7 Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью,7698 следует ожидать, что относительная частота появления " герба " (события A ) отклонится от вероятности p P A по абсолютной величине не более, чем на,,5 9 Решение Отклонение относительной частоты n появления события A от его вероятности p в n схеме Бернулли, P p <δ Φ δ n pq n Согласно условиям известна вероятность P p <δ,7698 Φ δ,7698 n pq Обозначим δ n pq Решим с помощью таблиц уравнение Φ,7698 Φ ( ),849 ;, Подставим δ,; p,5 ; q p,5 δ n n p q pq δ,,5,5, 9 раз и более Пример 8 Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна, Найти вероятность того, что из изделий хотя бы одно изделие не выдержит испытание Решение Применим схему Бернулли Число испытаний n Событие A означает, что изделие не выдержит испытание Вероятность этого события равна p P( A),, вероятность противоположного события Так как вероятность события применить формулу Пуассона: A q P A P A p меньше, и число испытаний велико, то следует λ λ Pn e, для p, где λ n p - среднее число появлений события A в n! независимых испытаниях Находим λ n p, Находим вероятность того, что из 5 изделий не выдержит испытания,те все изделия выдержит испытания λ λ Pn ( ) e!! e,5 Находим вероятность P ( ) P( ) P( ),95 Занятие 5 Дискретные случайные величины (СВ) Математическое ожидание Дисперсия Функция распределения случайной величины Плотность распределения вероятности Пример Дискретная случайная величина X задана законом (рядом ) распределения: 5 i p,,5, i

10 Построить многоугольник (полигон) распределения найти его математическое ожидание M( X) и дисперсию DX Решение Полигон это ломаная с вершинами ( ; ) p Вычислим числовые характеристики случайной величины X M X p + p + p + + p ; Математическое ожидание m m M ( X ), +,5 + 5,,5 Математическое ожидание квадрата X случайной величины X M X p + p + p + + p m m M X,+,5+ 5, 5,5 Дисперсия D( X) M( X ) M( X) 5,5,5,5 Среднее квадратическое отклонение σ DX,8 i i Пример Случайные величины X, Y независимы Найти дисперсию случайной величины Z X + Y, если известно, что DX 5, DY 6 Ответ DZ 69 Решение Применим свойства дисперсии D( X Y) D( X) D( Y) где X, Y независимые случайные величины ; DC ( X) C DX ( + ) ( ) + ( ) D Z D X Y D X D Y + +, D( X Y) D( X) D( Y) +, для любой константы C D X + D Y Пример Случайная величина X задана функцией распределения (интегральной функцией) F( ) Найти плотность вероятности (дифференциальную функцию), математическое ожидание и дисперсию Построить графики интегральной и дифференциальной функций Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (,5;) если F( ) если < если > Решение Находим дифференциальную функцию f ( ) как производную от интегральной df( ) функции, те f ( ) d Отсюда если df( ) f ( ) если < d если > Построим их графики График интегральной функции Y yf() y X График дифференциальной функции (плотности вероятности)

11 Y yf() y X Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х находим по формуле + + M ( X) f( ) d d + f ( ) d + d d d Интегрируем M( X) d Математическое ожидание непрерывной случайной величины X находим по аналогичной формуле + M( X ) f ( ) d f( ) d d d M( X ) 4 d 4 4 Дисперсия случайной величины X определяется по формуле D( X) ( ) D X M X M X,56 8 Средне квадратическое отклонение случайной величины равно σ( X ) D( X),7 Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал ( α; β) (,5;)находим по формуле ( α < X < β ) F( β) F( α) P P(,5 X ) F F(,5) < <,5,75 Пример 4 Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно a, дисперсия σ 4 Написать дифференциальную функцию случайной величины X Решение Нормальное распределение f( ) e π σ a σ f( ) e π Пример 5 Математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение случайной величины X соответственно равны и Найти вероятность того, что в результате испытания X примет ; ;4 значение, заключенное в интервале ( α β ) Дано: a, σ, α, β4 Изобразить схематически на графике функции плотности найденную вероятность Решение Вероятность P ( α < X < β) того, что значение случайной величины X попадет в заданный интервал ( α ; β) в предположении, что X - нормально распределенная величина: β a α a 4 P( α< X <β ) Φ Φ P( < X < 4 ) Φ Φ σ σ Ô( ) Ô( ) 59 Находим по таблице значений функцииф( ) ее частные значения: Φ () 4; Φ 477

12 Y σ ϕ( ) π σ e a σ O a 4 X Пример 6 Дифференциальная функция значение C в интервале ( ab ; C b a f ( ) равномерного распределения сохраняет постоянное f ( ) Найти значение C Ответ ); вне этого интервала + Решение Применим свойство f ( ) d, оно означает, что площадь под графиком функции плотности f ( ) равна единице Площадь находим по формуле площади прямоугольника


m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный или синий. 2. Три стрелка независимо

Подробнее

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Подробнее

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5 ) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N ; б) произведение числа очков не превосходит N ; в) произведение числа очков делится на N. Решение:

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 1 Из букв слова бизнес наугад выбирается одна буква. Укажите пространство элементарных событий

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=mreatv МИРЭА. Типовой расчет по теории вероятностей с решением Вариант 1 Часть 1. Случайные события Задача 1.1. В магазине 0 калькуляторов трех разных производителей:

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X X X. где каждый

Подробнее

Решение типовых задач

Решение типовых задач типовых задач Теоремы сложения и умножения вероятностей 1) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что: а) шары будут одинакового цвета (шары

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности:

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности: .8.. В коробке находятся синих, красных и зеленых карандашей. Одновременно вынимают карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет синих и красных. Решение: Всего: + + = карандашей в коробке!

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике Вопросы к зачету Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» 1. Комбинаторика. 2. Вычисление вероятности (классическая модель). 3. Геометрическая вероятность. 4.Основные теоремы теории вероятностей

Подробнее

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Вариант Выполнил студент групы Преподаватель - 9 План:. Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

Вопросы по Теории Вероятностей

Вопросы по Теории Вероятностей Вопросы по Теории Вероятностей 1. Понятия испытания и случайного события. 2. Понятие статистической устойчивости. 3. Относительная частота появления случайного события. Статистическое определение вероятности.

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X, X, X 3., где

Подробнее

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6 Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи -0. Вариант 6 Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение

Подробнее

со стороной 3 см, находящийся внутри ABCD.

со стороной 3 см, находящийся внутри ABCD. Примерные задания для подготовки к зачету по математике по теме «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 270100 4 семестр 1 часть. Теория вероятностей. 1.Комбинаторика.

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по теории вероятностей с решением Вариант 1 Часть. Случайные величины Задача.1. Фекла решила удивить своего бойфренда роскошным ужином и купила для этого в супермаркете пакет с картофелем.

Подробнее

1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность.

1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность. билет 1 1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность. 2. Свойства математического ожидания. Вывести формулу для дисперсии D( ξ )

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

По классическому определению вероятности: По классическому определению вероятности: извлеченных изделий 2 будут бракованными, и 2 качественными.

По классическому определению вероятности: По классическому определению вероятности: извлеченных изделий 2 будут бракованными, и 2 качественными. .7. В партии готовой продукции состоящей из изделий три бракованных. Определить вероятность того что при случайном выборе изделий одновременно все они окажутся не бракованными. Какова вероятность того

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

Вариант 1 Выберите один правильный вариант ответа. Возможен только один вариант правильного ответа. 1. Количество способов, которыми можно записать

Вариант 1 Выберите один правильный вариант ответа. Возможен только один вариант правильного ответа. 1. Количество способов, которыми можно записать Вариант Выберите один правильный вариант ответа. Возможен только один вариант правильного ответа.. Количество способов, которыми можно записать трёхзначное число, используя без повторения цифры,,,8,9,

Подробнее

Основные положения теории вероятностей

Основные положения теории вероятностей Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Институт пути, строительства

Подробнее

вероятностью 0,6 и 2- с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

вероятностью 0,6 и 2- с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок? Вопросы для подготовки к экзамену (Уравнения математической физики. Теория вероятностей.) 1. Уравнения с частными производными. Классификация линейных уравнений второго порядка. Приведение к каноническому

Подробнее

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности. Пусть имеется группа событий H 1, H 2,..., H n, обладающая следующими свойствами: 1) Все события попарно несовместны: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Их объединение образует

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ К ТИПОВЫМ РАСЧЁТАМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СБОРНИК ЗАДАНИЙ К ТИПОВЫМ РАСЧЁТАМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ. Практические занятия ЧАСТЬ 1. Примеры вопросов с пояснениями

ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ. Практические занятия ЧАСТЬ 1. Примеры вопросов с пояснениями ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ Практические занятия ЧАСТЬ 1 Этот раздел состоит из простых тестовых вопросов, требующих ответов «ДА» или «НЕТ», в зависимости от того, верное

Подробнее

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно 1.1. Классическое определение вероятности Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может

Подробнее

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2;

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2; СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2016 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, зная закон ее распределения: X 2 3 5 P 0,3 0,1 0,6 2. Из партии, содержащей

Подробнее

( A) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Теория вероятностей

( A) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Теория вероятностей КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Теория вероятностей Задача В ящике находится 5 кондиционных и бракованных однотипных деталей Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Подробнее

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки Тест 01 1. Случайные события и их классификация. 2. Математическое ожидание случайной величины. 3. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность

Подробнее

Расчетно-графическая работа. Теория вероятностей

Расчетно-графическая работа. Теория вероятностей Расчетно-графическая работа Теория вероятностей Вариант n = 4 Задание 1. В урне 6 белых шаров и 6 черных шаров. Найти вероятность, что: А) вытащили белый шар; Б) вытащили белых шара; В) вытащили 3 черных

Подробнее

По классическому определению вероятности:

По классическому определению вероятности: ..3. Среди 00 лотерейных билетов есть выигрышных. Найти вероятность того, что наудачу выбранных билета выиграют. Решение: 00! 99 00 C 00 490 способами можно выбрать билета из 00. 9!!! 4 C 0 способами можно

Подробнее

1. Формула классического определения вероятн

1. Формула классического определения вероятн ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЗАДАЧИ. Оглавление (по темам) 1. Формула классического определения вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность 4. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Теория вероятностей и математическая статистика Методическое пособие по выполнению

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск 018 018 Кафедра высшей

Подробнее

ВЗФЭИ. Контрольная работа 3 Вариант 9

ВЗФЭИ. Контрольная работа 3 Вариант 9 ВЗФЭИ. Контрольная работа 3 Вариант 9 Задача 1. В поселке имеется 6 производственных предприятий, 8 магазинов и 4 банка. Вероятность того, что имеется свободная вакансия бухгалтера равна: 0,4 для предприятия,

Подробнее

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика»

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) Решить задачи: 2.В партии 1000 деталей, из них 20 дефектных. Какова вероятность того,

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание. Описание экзаменационного билета. Теоретические вопросы

Материалы для подготовки к экзамену Содержание. Описание экзаменационного билета. Теоретические вопросы 70800 «Строительство» семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 70800 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для

Подробнее

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка»,

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка», .6 Бросают три игральных кубика. Найти ряд и функцию распределения числа выпавших «пятерок» Х, а также M(X), D(X) и вероятность того, что Х>. Решение: Пусть Х число выпавших «пятерок». Перечислим все возможные

Подробнее

Задание Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 выбирается наугад карточка с числом а, а затем карточка с числом в. Из них составляется дробь а/в.

Задание Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 выбирается наугад карточка с числом а, а затем карточка с числом в. Из них составляется дробь а/в. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1 1.1 Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 выбирается наугад карточка с числом а, а затем карточка с числом в. Из них составляется дробь а/в. Какова вероятность того, что эта

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин Методические указания к выполнению типового расчета по теории вероятностей Москва ИздательствоМГТУ

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика УЧЕБНЫЙ ПЛАН: Факультет Разработки нефтяных и газовых месторождений

Подробнее

Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1

Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1 Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) 2.Среди 100 элементов находится 5 бракованных.

Подробнее

Институт Транспортных Систем. Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине «Теоретические основы» Направление подготовки

Институт Транспортных Систем. Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине «Теоретические основы» Направление подготовки МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р. Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ) Институт Транспортных

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

Теория вероятностей. Лекция 1 Случайные события Классическая схема

Теория вероятностей. Лекция 1 Случайные события Классическая схема Теория вероятностей Лекция 1 Случайные события Классическая схема 1 Литература Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. М.: Айрис-пресс,

Подробнее

Задачи по теории вероятностей и математической статистике. 1. Случайные события

Задачи по теории вероятностей и математической статистике. 1. Случайные события Задачи по теории вероятностей и математической статистике. Случайные события Задача. В партии из N изделий изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад изделий k изделий

Подробнее

14. Тесты по теории вероятностей. Тест 1

14. Тесты по теории вероятностей. Тест 1 1 Если A B, то чему равно AB? 14 Тесты по теории вероятностей Тест 1 Сформулируйте классическое определение вероятности События A, B, C взаимно независимы P( A) P( B) P( C) 1 Найдите P( A B C) 4 Испытываются

Подробнее

5 Таблица значений функции Гаусса x e

5 Таблица значений функции Гаусса x e Практическая работа 5 Вычисление вероятности по формуле Бернулли и с помощью теорем Лапласа Цель работы: научиться вычислять вероятность с использованием формулы Бернулли и с помощью теорем Лапласа. Содержание

Подробнее

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В ЭКОНОМИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Принцип умножения. 2. Построение функции распределения для дискретной случайной величины. 3. Генеральная и выборочная совокупности, свойство репрезентативности. Экзаменационный

Подробнее

Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки

Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки 08.03.01 строительство Вариант 1 1) Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее

Подробнее

=n! n!= n - произведение натуральных чисел от 1 до n. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3? 5! =20

=n! n!= n - произведение натуральных чисел от 1 до n. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3? 5! =20 Часть 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1.1. Элементы комбинаторики Комбинаторика раздел математики, изучающий методы решения задач, связанных с выбором и расположением элементов какого-либо множества, в соответствии

Подробнее

Вопросы к зачету по математике. IV семестр

Вопросы к зачету по математике. IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальностей: 900. ААХ, 00. МОЛК, 900. СТТМО IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика.. Элементы комбинаторики..

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Подробнее

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. А. Ивашко Теория

Подробнее

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения.

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения. 1.6. Независимые испытания. Формула Бернулли При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно и исход каждого испытания

Подробнее

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1

A.В. Браилов С.А. Зададаев П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 1 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАКАДЕМИЯ). Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ 1... 13 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 13 1. Определение теории вероятностей... 13 2. Некоторые примеры... 14 3. Устойчивость частот в массовых статистических

Подробнее

Определить значение константы a, функцию распределения

Определить значение константы a, функцию распределения Вариант 1. 1. Из полного набора костей домино наугад выбирается кость затем она возвращается обратно и извлекается еще одна кость. Опpеделить веpоятность того что сумма цифp на каждой из костей меньше

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

Теоретические вопросы.

Теоретические вопросы. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики. Дисциплина Математика Специальность 160505. Курс 2. Осенний семестр 2012 года Теоретические вопросы. РАЗДЕЛ

Подробнее

С k n = n! / (k! (n k)!)

С k n = n! / (k! (n k)!) ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

Подробнее

Теоретические вопросы и задачи по математике для студентов 2-го курса специальностей ЛИД, ТДП в зимнюю сессию Теоретические вопросы

Теоретические вопросы и задачи по математике для студентов 2-го курса специальностей ЛИД, ТДП в зимнюю сессию Теоретические вопросы Теоретические вопросы и задачи по математике для студентов -го курса специальностей ЛИД, ТДП в зимнюю сессию Теоретические вопросы 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Классическое определение

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Вариант 1 Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Вариант 1 Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Вариант 1 Из партии в 20 деталей, из которых 6 бракованных, случайным образом выбираются 3 детали. С какой вероятностью в число отобранных деталей войдут: а) только бракованные; б) только

Подробнее

Пакет контрольно-измерительные материалы по учебной дисциплине. «Теория вероятностей и математическая статистика»

Пакет контрольно-измерительные материалы по учебной дисциплине. «Теория вероятностей и математическая статистика» Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Свердловской области «Нижнетагильский государственный профессиональный колледж им. Н.А. Демидова» СОГЛАСОВАНО

Подробнее

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к самостоятельной подготовке за четвертый семестр по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск

Подробнее

Контрольная работа 5 (2 курс, 3 семестр) Тема «Теория вероятностей», «Математическая статистика»

Контрольная работа 5 (2 курс, 3 семестр) Тема «Теория вероятностей», «Математическая статистика» Контрольная работа 5 ( курс, 3 семестр) Тема «Теория вероятностей», «Математическая статистика» Вариант 1 1. Из урны, содержащей 4 красных, 5 синих и 1 белый шар, извлекли одновременно четыре шара. Какова

Подробнее

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ Г. МОСКВЫ ГБОУ СПО КИГМ 23

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ Г. МОСКВЫ ГБОУ СПО КИГМ 23 ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ Г. МОСКВЫ ГБОУ СПО КИГМ 23 АККРЕДИТАЦИОННЫЕ ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ (для проведения внутренней экспертизы) По учебной дисциплине ОП.02 «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Домашнее задание 1 «Теория вероятностей» Задача 1.

Домашнее задание 1 «Теория вероятностей» Задача 1. Домашнее задание 1 «Теория вероятностей» Задача 1. 1.1. Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность

Подробнее

Кронштадтский б-р, д. 43А, Москва, Россия, , тел.: (495) , ; факс: (495)

Кронштадтский б-р, д. 43А, Москва, Россия, , тел.: (495) , ; факс: (495) Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ Ю.А.СЕНКЕВИЧА (ГАОУ ВПО МГИИТ имени

Подробнее

Индивидуальные задания по теории вероятностей. Обязательные задачи., второй с вероятностью p. попадания в цель ровно 3 раза. 6).

Индивидуальные задания по теории вероятностей. Обязательные задачи., второй с вероятностью p. попадания в цель ровно 3 раза. 6). Индивидуальные задания по теории вероятностей. Обязательные задачи.. Имеется деталей, среди которых деталей первого сорта. Наудачу отобрано деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей

Подробнее

Случайные величины. Дискретные случайные величины

Случайные величины. Дискретные случайные величины Случайные величины 1. Дано: Mξ = 3, Dξ = 1. Найти M(2ξ + 5), D(2ξ + 5). 2. Дано: случайные величины ξ, η независимы, Dξ = 1, Dη = 4. Найти D(ξ η). Дискретные случайные величины 1. В ящике находятся 4 шара

Подробнее