Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра."

Транскрипт

1 Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие можно обобщить на случай бесконечных промежутков интегрирования, а также на случай неограниченных функций... Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Понятие определенного интеграла от функции f() на отрезке [, ] в главе вводилось на основе процедуры разбиения отрезка [, ] на вспомогательные подотрезки. Если функция f () рассматривается на бесконечном интервале [, +) или (, ], разбить ее область определения на конечное число подотрезков невозможно. Поэтому определение понятия несобственного интеграла с бесконечными пределами будем проводить на основе предельного перехода в определенном интеграле. Определение. Пусть функция f () определена на интервале [,+) и при любом значении > интегрируема на конечном отрезке [, ]. Несобственным интегралом функции f () в пределах от до + называется предел интеграла f ( d ) при +: + f ( d ) = lim f( d ). () + Если предел () существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл f ( ) d сходится, а функцию f() называют интегрируемой в беско- + 89

2 нечном промежутке [,+) (иногда в этом случае используют обозначение: + f ( ) d < ). Если же этот предел () не существует (в частности, бесконечен), то интеграл f ( d ) называют расходящимся. + ПРИМЕР. Найти интеграл от функции до +, где положительное число. Тогда Имеем f ( ) = в пределах от p p p p, p, p ; d p p p p = d= p = ln, p =. ln, p = p d, p > ; lim = p p +, p. + Таким образом, при p > интеграл При p этот интеграл расходится. e p. d сходится и равен p p ПРИМЕР. Найти интеграл от функции f() = cos в пределах от = до = +. + Интеграл а предел cos lim sin + d расходится, поскольку не существует. cos d = sin = sin, 9

3 Определение. Несобственные интегралы от функции f() в интервалах (,] и (,+) определяются аналогичным образом: Если функция f() определена на интервале (, ] и для любого < эта функция интегрируема на отрезке [, ], то f ( ) d = lim f ( ) d. () Если функция f() определена на интервале (, +) и интегрируема на отрезке [, B] для любых и B, таких, что < B, то f ( d ) = lim f( d ) B + B. () Если пределы () или () существуют и конечны, то функция f() называется интегрируемой на интервалах (, ] или (, +), соответственно, а про несобственные интегралы, определяемые выражениями () или (), говорят, что они сходятся. Если пределы () или () не существуют или бесконечны, то говорят, что соответствующие интегралы расходятся. ПРИМЕР. Вычислить несобственный интеграл Имеем B d B B + B + B + d. + d = lim = lim rctg = lim (rctg B rctg ) = + + = lim rctgb lim rctg = π ( π ) = π, B + т.е. несобственный интеграл сходится. Замечание. Все дальнейшие утверждения будут формулироваться для несобственных интегралов вида (), однако, аналогичные утверждения могут быть сформулированы и доказаны для интегралов вида () и (). 9

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 Определение. Функция f() называется абсолютно интегрируемой в промежутке [, +), а интеграл () абсолютно сходящимся, если наряду с интегралом () сходится интеграл от абсолютной величины функции f(): + f ( ) d. (4) Если интеграл () сходится, но не абсолютно, то он называется условно сходящимся... Свойства несобственных интегралов. Из свойств определенных интегралов и пределов легко выводятся следующие свойства несобственных интегралов: +. Из сходимости интегралов f ( d ) и g( d ) следует сходимость интеграла ( f ( ) ± g( )) d= f ( d ) ± g( d ).. Пусть k произвольная постоянная, тогда из сходимости инте- + грала f ( ) d следует сходимость интеграла + + kf( ) d= k f( ) d. + Если же интеграл f ( d ) расходится, то расходится также интеграл + k f ( d ). 9

5 .. Признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Cформулируем и докажем ряд утверждений, аналогичных соответствующим утверждениям (признакам сравнения) для числовых рядов. Теорема. Если для некоторого числа c при c имеют место неравенства: f() g(), то из сходимости интеграла + g ( ) d () следует сходимость интеграла + f ( d ), () а из расходимости интеграла () следует расходимость интеграла (). Доказательство. Докажем сначала одно важное вспомогательное утверждение. Лемма. Пусть d наименьшее из чисел и c, т.е. d = min {, c}, и пусть функция f() определена и интегрируема на любом конечном промежутке [d, ], где > d. Тогда интегралы f ( ) d сходятся или расходятся одновременно. Действительно, имеем ) d = f ( ) d + c c + + f ( ) d и c f ( f ( ) d. () c Переходя в обеих частях равенства () к пределу при А + с учетом того, что ( ) f d = const, получим три возможных результата: 9

6 ) пределы в правой и левой частях () одновременно не существуют; ) оба этих предела бесконечны; ) оба предела конечны. В этом случае имеет место равенство: + c + ) d = f ( ) d + f ( f ( ) d. c Лемма, таким образом, доказана. Из нее следует, что на сходимость (расходимость) несобственного интеграла + f ( ) d влияет только поведение функции f () при достаточно больших значениях аргумента (т.е. при >> ). Теперь можно перейти к доказательству теоремы: Пусть значение с а. Тогда неравенство f() g() справедливо для всех а. Рассмотрим функцию F ( ) = f ( ) d. Эта функция неубывающая. Действительно, из условия f() при B F( B) = F( ) + f ( ) d F( ). B > следует неравенство Как известно, для монотонно неубывающей функции F() всегда существует предел: F lim F( ) = + o = const <, +, Аналогичные утверждения справедливы и для функции lim + G ( ) = g( ) d. Итак, если интеграл () сходится, т.е. существует конечный предел G( ) = G o если F() ограничена; если F() не ограничена., то функция G() ограничена, поскольку G() G о. Из неравенства f() g(), верного для всех а, и свойств определенного интеграла 94

7 получаем F() G() G о, т.е. функция F() ограничена. Поэтому существует конечный предел lim + F( ) = F o, и интеграл () сходится. + Наоборот, если интеграл () расходится, т.е. lim F( ) = +, то из неравенства F() G() следует: lim G( ) = +. Поэтому интеграл () также + расходится. Пусть теперь значение с > а. Если интеграл () сходится, то из доказанной выше леммы следует, что сходится интеграл g( d ). Поскольку для всех + c справедливо неравенство f() g(), то из доказанного, следует сходимость интеграла c + c f ( ) d, откуда по лемме вытекает сходимость интеграла (). Если же интеграл () расходится, то расходится и интеграл + c f ( ) d. Из + неравенства f() g() (при c) и доказанного выше, следует расходимость интеграла g ( ) d, откуда и следует расходимость интеграла (). c Теорема полностью доказана. Теорема. Если для функций f() и g() > существует предел f ( ) lim = k, k +, (4) g( ) + то из сходимости несобственного интеграла () при k < +, следует сходимость интеграла (), а из расходимости интеграла () при k > вытекает расходимость интеграла (). Доказательство. Доказательство утверждения основано на теореме. Если < k < +, то из равенства (4) и определения предела следует, что для 95

8 любого числа ε >, существует δ = δ(ε) > такое, что для любого х > δ выполняется неравенство: f( ) k < ε, т.е. g ( ) f( ) k ε < < k + ε. Взяв, например, ε = g ( ) = k/ и используя положительность функции g(), получим два неравенства: ( ) ( ) f ( ) > k g( ), (5) f ( ) < k g( ). + + Учитывая, что при c о = const интегралы g( d ) и co g( d ) сходятся или расходятся одновременно, из неравенства (5) и теоремы получаем, что интегралы () и () сходятся и расходятся одновременно. Если k =, из равенства (4) и определения предела следует: f( ) ε > δ = δ( ε) > : > δ < ε. g ( ) Взяв, например, ε =, получаем отсюда, что f() g(), и из теоремы выводим заключение теоремы : из сходимости интеграла () следует сходимость интеграла (). Если значение k в пределе (4) бесконечно ( k = +), то из равенства (4) и определения бесконечного предела получаем f( ) M > δ > : > δ > M. g ( ) Отсюда при M = имеем, что при > δ выполнено неравенство f() > g(). Тогда в силу теоремы из расходимости интеграла () следует расходимость интеграла (). Теоремы и называют теоремами сравнения. Из этих теорем следует, что сходимость несобственного интеграла можно установить, не вычисляя его значения, а просто сравнив его с интегралом от уже исследованной функции. + d Для сравнения часто используют интеграл от степенной функции: (см. p пример п..). 96

9 ПРИМЕР. Исследовать на сходимость интеграл + d. 4 + Подынтегральная функция положительна, а ее числитель и знаменатель многочлены, причем степень числителя на два меньше степени знаменателя. Следовательно, сравнение удобно проводить с функцией /( ). Существует предел: Поскольку интеграл 4 lim : = lim = d сходится (см. пример из п.., p = > ), то в си- лу теоремы сходится и интеграл + d. Поскольку на отрезке [,] 4 + подынтегральная функция непрерывна, то интеграл d сходится (он 4 + уже не является несобственным). Таким образом, сходится и исходный интеграл + d 4 +. Напомним, что для функций одной переменной имеет место Критерий Коши существования предела функции. Предел lim ϕ( ) существует и конечен тогда и только тогда, если + ( ) ( ) ε > δ = δ( ε) > : ', " > δ ϕ ϕ < ε. Аналогичный критерий справедлив и для несобственного интеграла с бесконечными пределами: 97

10 Критерий Коши сходимости несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования. + Для сходимости интеграла f ( ) d необходимо и достаточно, чтобы ε > δ = δ( ε) > : f( ) d < ε для, > δ. На основе критерия Коши может быть доказана еще одна важная теорема: Теорема. Если сходится интеграл также сходится f ( ) d, то интеграл Доказательство. Если f ( ) d <, то в силу критерия Коши " ε > δ > : ', " > δ f( ) d < ε. ' f ( ) d Но по свойству определенного интеграла справедливо неравенство " " f ( d ) f ( ) d. Отсюда f ( ) d < ε и по критерию Коши сходится ' ' + также несобственный интеграл " ' f ( ) d. ПРИМЕР. Исследовать на сходимость интеграл + cos d. + cos Подынтегральная функция f ( ) = на интервале [, +] не сохраняет знак, в то же время теоремы сравнения справедливы только для + положительных функций. Рассмотрим функцию ( ) f cos =. Для нее спра- + 98

11 + ведливо неравенство: f ( ) = = g( ). Поскольку несобственный интеграл теореме сходится и интеграл + g ( ) d < сходится (см. пример п.. при р = /), то по + f ( ) d, а значит, по теореме, интеграл cos также сходится. На отрезке [,] функция f() непрерывна, следо- + вательно, существует конечный интеграл интеграл ) d = f ( ) d + f ( f ( ) d сходится. f ( ) d. Таким образом, заданный Теоремы дают возможность исследовать на сходимость несобственные интегралы от положительных функций или абсолютную сходимость несобственных интегралов. Как быть с условной сходимостью? Приведем без доказательства признак сходимости, применимый и для неабсолютно сходящихся интегралов. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов. Пусть выполнены условия: ) функция φ() монотонно стремится к нулю при +; ) первообразная Ψ( ) = ψ( ξ)dξ ограничена. Тогда несобственный интеграл ( ) ϕ( ) d сходится (вообще говоря, не абсолютно). + ψ 99

12 Замечание. В качестве φ() часто берут степенную функцию φ() = / p, p >. Эта функция, очевидно, монотонно стремится к нулю при +. + sin ПРИМЕР. Исследовать на сходимость интеграл d. Рассмотрим функции ϕ( ) = = и ψ() = sin. Первообразная функции ψ() ограничена: Ψ( ) = ξ dξ = cosξ = cos cos ( ) cos cos sin, а значит Ψ +. Следовательно, по признаку Дирихле, интеграл + sin d сходится. Докажем, что сходимость этого интеграла условная. Предположим противное: имеет место абсолютная сходимость, т.е. интеграл sin d сходит- ся. Тогда по теореме, в силу неравенств sin, сходится также интеграл sin + sin d. Но sin cos = ( cos ), а интеграл d, как можно доказать, сходится по признаку Дирихле. Значит, по свойству несобственного интеграла должен также сходится интеграл d sin cos = d + d. Получено противоречие (см. интеграл из примера при p = / < ). Сделанное предположение оказалось неверным, интеграл, на самом деле расходится. + + sin d

13 .4. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Рассмотрим теперь функцию f(), заданную в конечном промежутке [,), но не ограниченную на этом промежутке. Предположим, что функция f() ограничена и интегрируема на любом отрезке [, δ], где δ >, но не ограничена на интервале ( δ, ). Точка в этом случае называется особой точкой. Определение. Несобственным интегралом функции f() в промежутке от до называется предел интеграла или бесконечный): δ δ δ f ( ) d при δ (конечный f ( ) d = lim f ( ) d. () Если предел () конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а функцию f() называют интегрируемой в промежутке [,). Если предел () бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично, для функции f(), определенной и интегрируемой в промежутке [ + δ, ] и неограниченной на интервале (, + δ) определяется несобственный интеграл f ( ) d = lim f ( ) d. () δ +δ Здесь точка особая точка функции f(). Возможен случай, когда особые точки расположены внутри отрезка [, ]. Пусть c < c < < c n, где c, c,, c n особые точки функции f(), т.е. f() не ограничена в окрестностях точек c i, но ограничена и интегрируема на отрезке [, ] с выброшенными окрестностями точек c i. Тогда несобственный

14 интеграл от функции f() по отрезку [, ] определяется как сумма несобственных интегралов вида () и (): где c c i+ f ( d ) = f ( d ) + f ( d ) + f ( d ), () i= c c n i+ i+ δ. c i f ( d ) = lim lim f ( d ) δ δ c c i c i+ δ Если c =, то первое слагаемое в правой части () отсутствует. Если c n =, то отсутствует последнее слагаемое. Определение. Интегралы вида () () из разделов. и.4 называются несобственными интегралами (в отличие от изученных в главе определенных интегралов Римана, называемых собственными). () имеем d ПРИМЕР. Вычислить несобственный интеграл. Здесь особые точки подынтегральной функции точки = ±. По формуле d δ d = lim = δ + δ δ π π = lim rcsin ( δ ) lim rcsin ( + δ ) = = π. δ δ d ПРИМЕР. Исследовать на сходимость несобственный интеграл. p Подынтегральная функция на отрезке [, ] имеет единственную особую точку: =. По определению получаем n

15 p+ те же утверждения, что и для несобственных интегралов с бесконечными пре- d d, при p, = lim = lim p + = p p δ δ δ δ ln, δ Итак, несобственный интеграл при p =, p δ lim, p,, p, p δ p < = = p lim ln δ, p =, +, p. δ d сходится при p <, а при p p этот интеграл расходится, (в отличие от несобственного интеграла примера п..). ПРИМЕР. Исследовать на сходимость интеграл ( ) Особая точка х = лежит внутри отрезка интегрирования. По определению, = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = d lim Интеграл расходится. d + d lim ( ) + ( ) d. + = ( ) + ( +) = +. + = d из p Замечание. Пример демонстрирует, как важно начинать исследование несобственного интеграла с определения особых точек. Ведь, если решать его формально по формуле Ньютона Лейбница для определенных интегралов: ( ) d = =, (???) был бы получен неверный результат. Для несобственных интегралов от неограниченных функций справедливы

16 делами интегрирования. Сформулируем, например теоремы сравнения для интеграла вида () (для интегралов вида () и () они формулируются и доказываются аналогично). Теорема. Если для некоторого числа δ > при а х а + δ имеет место неравенство: f() g(), то из сходимости интеграла g ( ) d, (а особая точка функции g()) следует сходимость интеграла f ( ) d, (а особая точка функции f()), а из расходи- мости интеграла f ( ) d следует расходимость интеграла g ( ) d. Теорема. Если существует предел f ( ) lim = k, k +, g( ) причем для некоторого положительного числа δ при а х а + δ справедливы неравенства f(), g() >, то из сходимости несобственного интеграла g( d ) при k < следует сходимость несобственного интеграла f ( ) d, а из расходимости интеграла g ( ) d при < k следует расходимость ин- теграла f ( ) d (точка а особая точка). Теорема. Если сходится несобственный интеграл f ( ) d, то схо- дится интеграл f ( ) d, (а особая точка функции f()). 4

17 Определение. Пусть несобственный интеграл () сходится. Тогда он называется абсолютно сходящимся, если, наряду с ним, сходится и интеграл f ( ) d, (4) и условно сходящимся, если интеграл (4) расходится. Замечание. Для исследования сходимости интеграла () по теоремам и функцию f(х) часто сравнивают со степенной функцией / p (см. пример ). ПРИМЕР 4. Исследовать на сходимость интеграл ln( + ) d. + 4 Здесь точка = особая точка. В окрестности нуля бесконечно малая функция ln(+ ) эквивалентна, а функция + 4 эквивалентна. Тогда, сравнивая подынтегральную функцию с функцией lim ln( + ) + 4 ln( + ) = lim = + 4 lim + 4 =, получим =. d Но интеграл расходится, следовательно, по теореме расходится и интеграл (5). ПРИМЕР 5. Интегралом Эйлера I-го рода, или бета-функцией, называется интеграл: Β (, ) = ( ) d, (6) где а и положительные постоянные. (5) 5

18 При а и в интеграле (6) особых точек нет, при а < особая точка ноль, при < особая точка единица. Разложим интеграл (6) на сумму двух интегралов: B(, ) = и оценим каждое из слагаемых. При / и < имеем: / ( ) d + ( ) d = I + I, / При и / имеем: / ( ) Интеграл / = ( ) ( ). = d d = сходится при р = а <, т.е. при а >. / / То же справедливо и для интеграла: ( ) d = ( ) d. Следовательно, по теореме интеграл I сходится при а > для всех. При / и а < имеем: ( ) После замены у = получаем = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) / / ( ) dy d= y dy = y dy = / / y. Этот интеграл сходится при <, т.е. при >. При а и / имеем: ( ) ( ). Следовательно, по теореме интеграл I сходится при >. Таким образом, интеграл Эйлера I-го рода определен (сходится) для любых положительных значений а и... 6

19 ПРИМЕР 6. Интегралом Эйлера II-го рода, или гамма-функцией, называется интеграл + Г( ) = e d, >. (7) Для исследования интеграла (7) на сходимость разобьем его на сумму двух интегралов: + e d = e d + + e d = I + I. Если а, то подынтегральная функция непрерывна, а значит, I собственный интеграл. При < а < и имеем х а е х х а. Поэтому в силу теоремы интеграл e d (подробнее см. пример ). cходится, если сходится интеграл d, т.е. при а > Исследуем теперь на сходимость интеграл I. Известно, что для достаточно больших значениий (т.е. при >> ) и при любом положительном числе λ справедливо соотношение: ln < λ < e. Поэтому, приняв λ = а, получим: e > при а >. Тогда подынтегральная функция в (7) удовлетворяет неравенству:. Поскольку / / / e = < e e e e d= e = e <, то по теореме п.. интеграл I сходится при а >. Таким образом, доказано, что интеграл Эйлера II-го рода (7) сходится при любом положительном значении параметра а. 7

20 Замечание. Отметим важное свойство гамма-функции. Имеем + Г() = e d= e =. + Для любого натурального значения n, применив формулу интегрирования по частям, получим n n n + n Г( n) = e d= de = e e d = + n = ( n ) e d= ( n ) Γ( n ). Повторяя процедуру интегрирования по частям, приходим к формуле Γ ( n) = ( n ) Γ( n ) = ( n ) ( n ) Γ( n ) = = ( n ) ( n ) Γ(). Отсюда получаем известное соотношение, связывающее гамму-функцию натурального аргумента n и факториал этого числа: Г( n) = ( n )! Таким образом, гамма-функция представляет собой обобщение понятия факториала на множество неотрицательных чисел..5. Интегралы, зависящие от параметра. Интегралы Эйлера представляют собой пример несобственных интегралов, зависящих от параметра. Такие интегралы можно рассматривать в качестве функции, аргументом которой является параметр. Тогда с этой функцией можно производить операции, известные из курса математического анализа, в частности, интегрировать или дифференцировать. Сформулируем некоторые получающиеся при этом результаты. 8

21 Исследуем интеграл: ϕ I( y) = ϕ Интегрирование под знаком интеграла. ( y) f (, y) d, () ( y) в котором и подынтегральная функция, и пределы интегрирования зависят от параметра у. В этом случае и результат интегрирования будет представлять собой функцию переменной у. Пусть функции φ (у) и φ (у) непрерывны, а функция f (, y) непрерывна по совокупности своих переменных. В этом случае существует интеграл: d d ϕ ( y) c c ϕ ( y) I( y) dy = dy f(, y) d. () В частном случае, если функции φ (у) и φ (у) есть постоянные: φ (у) ; φ (у), то в равенстве () можно поменять порядок интегрирования: d d d I( y) dy = dy f(, y) d = d f (, y) dy. () c c c Дифференцирование под знаком интеграла. Теорема. Пусть функция I(y) задана равенством: I( y) = f(, y) d, (4) где функция f (, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную f y (,y) в прямоугольнике: а, c у d. Тогда существует производная функции (4), причем d I '( y) = f(, y) d = f y (, y) d dy. (5) 9

22 ПРИМЕР. Найти производную функции = ( + ) Имеем по формуле (5): ' ( ) y I( y) ln y d. y I ( y) = ln( + y ) d = d = rctg + y y. Теорема. Пусть функция I(у) задается формулой (): ϕ ( y) I( y) = f(, y) d, ϕ ( y) где функция f(,y) непрерывна в прямоугольнике а, c у d, функции φ (у) и φ (у) непрерывны при c у d и принимают значения в интервале от а до. Тогда функция I(у) непрерывна при c у d. Если к тому же в указанном прямоугольнике существует и непрерывна частная производная f y (,y), а также существуют производные φ (у) и φ (у), то производная интеграла I(у) существует определяется по формуле ϕ ( y) ϕ ( y) ( ) ϕ ( ϕ ) ϕ ( ϕ ) I ( y) = f, y d + ( y) f ( y), y ( y) f ( y), y y ПРИМЕР. Найти производную функции По формуле (6) получаем y y y I( y) = e d. I ( y) = ( e ) d+ ( y ) e ( y) e = y y ' y y y y y = y = y y y 5 y y y. (6) = e d+ ye e. y

23 Интегрирование и дифференцирование по параметру в несобственных интегралах. Введем вначале важное понятие равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. и Определение. Несобственные интегралы + f (, y) d (7) f (, y) d, (а особая точка) (8) называются сходящимися равномерно по переменной у, принадлежащей некоторой области U, если они сходятся при любом фиксированном значении y U и величина δ в критерии сходимости несобственного интеграла (см. п..) не зависит от значения у, т.е. ε > δ = δ( ε) > : f(, y) d < ε для, > δ и y U для интеграла (7), + ε > δ = δ( ε) > : f(, y) d < ε для, : <, < δ и y U + для интеграла (8). Сформулируем свойства равномерно сходящегося интеграла (7). (Аналогичные свойства справедливы и для интеграла (8)):. Если функция f(х, у) непрерывна при х а и c у d и интеграл (7) сходится равномерно при c у d, то функция по у при c у d. I ( y) = f (, y) d непрерывна

24 . При условиях, сформулированных в свойстве, справедлива формула интегрирования под знаком интеграла: d dy f(, y) d = d f (, y) dy. c c d. Если функции f(,y) и f y (,y) непрерывны, несобственный интеграл (7) сходится, а интеграл f y ( yd, ) сходится равномерно, то имеет место формула дифференцирования под знаком интеграла: d dy f (, y) d = f ' y (, y) d. Интегрирование и дифференцирование по параметру иногда позволяет значительно упростить процедуру вычисления определенных интегралов: ПРИМЕР. Вычислить интеграл sin = d. sin Соответствующий неопределенный интеграл d не может быть выражен в элементарных функциях, он носит название интегрального синуса. Для вычисления искомого интеграла рассмотрим функцию Тогда = I(). t sin It () = e d, t. Дифференцируя под знаком интеграла, получим t I () t = e sind. Этот интеграл легко вычисляется при t > :

25 t t t I () t = sinde = sine e cosd = t t t t t = cos de = cos e + e sin d = ( I ( t) ). t t t Отсюда I () t =. + t Интегрируя полученное соотношение, находим It ( ) = dt= rctgt+ C + t. Постоянную интегрирования С можно определить из условия I(+) = : π π = + C C =. π Тогда It () = rctgt. По свойству функция It () непрерывна, поэтому искомый интеграл может быть найден в результате предельного перехода: sin π π d = I () = lim I ( t ) = lim( rctg t ) =. t t

26 Теоретические вопросы к главе.. Дать определения несобственного интеграла с бесконечным пределом.. Дать определение несобственного интеграла от неограниченной функции.. В каком случае интеграл d является несобственным? 4. Какие интегралы называются интегралами Эйлера? При каких значениях параметра они сходятся? 5. Справедлива ли следующая запись e+ d e + = ln = ln e ln e = =? e + e+ 6. Найти производную функции 5 I( y) = sin( y) d двумя способами: ) вычислив предварительно интеграл; ) используя формулу (6) из раздела.5. Сравнить результаты. y Задачи к главе. Вычислить интегралы или установить их расходимость: d e cos d d. 8. ( + ) d rctg d. + e sin d. 6. e d. e d. 9. rctg d

27 d... ln e d d... ln e ( ln ln ) d. e d ( ) d + d. d d. 7. e ln ( ) /. 9. ln d... d.. ln cos d sin.. d ( ( )) 4 ln ln ln. 4. d. 4 d d rctg d e d. 9. ln d.. d. 4 ( + ) / 5 rctg d. + Вычислить интегралы или установить их расходимость:. d.. 4 d 4 ln.. ( ) e d. / ( ) 4. / d ln d rcsin d. π /4 rccos d. 8. d 4 ln. 9. cos d. sin d. 4. d d ln. e 5

28 e d d d. e ln ( ln ln ) 46. d ln. 47. d. 48. ( ) d. ( )( ) / π d rcsin cos d d / 4 sin 5 d d d ( ) 4 ln. π / π / ctg d tg d ( + 5) d sin cos + 5 ( 4 + ) ( + ) d π d ln. 6. cos d. sin Исследовать интегралы на сходимость: d d d d d. 66. d d d d d

29 d d d d d d d d d d d d d d d d d. 88. d d , d

30 ГЛОССАРИЙ Двойной интеграл (doule integrl) обобщение понятия определенного интеграла на двумерный случай. Определяется как предел соответствующих интегральных сумм. Диаметр множества (dimeter of set) наибольшее расстояние между двумя точками множества. Замыкание области (closure of domin) объединение области и ее границы. Криволинейный интеграл (curviliner integrl) обобщение понятия определенного интеграла, связанное с заменой отрезка интегрирования на дугу кривой линии. Неопределенный интеграл (indefinite integrl) множество всех первообразных подынтегральной функции. Несобственный интеграл (improper definite integrl) интеграл, один из пределов интегрирования которого бесконечен, а также интеграл от разрывной функции. Определенный интеграл (definite integrl) предел последовательности интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка интегрирования. Первообразная (ntiderivtive) функции f() функция F(), производная которой равна f(). Повторный интеграл (iterted integrl) интеграл от функции двух переменных, взятый последовательно по одной переменной, а затем по другой. Потенциал (потенциальная функция) вектора (potentil) функция трех переменных, частные производные которой по соответствующим координатам совпадают с координатами вектора. Правильная область -го типа (regulr domin of -st type) область на плоскости, ограниченная прямыми = и = и кривыми y = = φ (х), у = φ (х), где функции φ (х), φ (х) непрерывны на отрезке [, ] и φ (х) φ (х). Правильная область -го типа (regulr domin of -nd type) область на плоскости, ограниченная прямыми y = c, y = d и кривыми = = ψ (у), х = ψ (у), где функции ψ (у) и ψ (у) непрерывны на отрезке [c, d] и ψ (у) ψ (y).

31 P( ) Рациональная дробь (rtionl frction) функция вида f( ) =, где D( ) P() и D() многочлены. Сапог Шварца (Schwrz s oot) вписанный в цилиндр многогранник, сумма площадей граней которого стремится к бесконечности при стремлении диаметров граней к нулю. Связное множество (connected set) множество, любые две точки которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству. Тройной интеграл (triple integrl) обобщение понятия определенного интеграла на трехмерный случай. Определяется как предел соответствующих интегральных сумм. «Хорошая» кривая (regulr curve) кривая, граница которой составлена из конечного числа графиков непрерывных функций. Циркуляция вектора (circultion) криволинейный интеграл II-рода от векторной функции по замкнутому контуру. Якобиан (Jcoin) определитель, составленный из частных производных n функций, зависящих от n переменных. Материалы, относящиеся к данному изданию можно найти на сайте кафедры высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина: 4

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность . Числовые ряды.. Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x, а члены

Подробнее

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА В. А. Шарафутдинов В этой главе, если не оговорено противное, многообразие означает многообразие без края. Марстон Морс первый обратил внимание на важные связи между топологией

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

b началу количество теплоты Q2

b началу количество теплоты Q2 Второе начало термодинамики Первое начало термодинамики, требуя, чтобы во всех процессах энергия сохранялась, не дает представления о направлении процессов, протекающих в природе Второе начало, напротив,

Подробнее

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 34 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Лекция 3.6. Работа силы. Кинетическая энергия Наряду с временнóй характеристикой силы ее импульсом, вводят пространственную, называемую работой. Как всякий вектор, сила

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Функции Уолша и их приложения

Функции Уолша и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1)

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1) Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Т.А. Чуракова Задачи по квантовой механике Учебное пособие для вузов Часть 3-е издание Воронеж 008 Утверждено научно-методическим советом

Подробнее

Задачи с зачётов по теории вероятностей

Задачи с зачётов по теории вероятностей Задачи с зачётов по теории вероятностей Преподаватель Александр Евгеньевич Кондратенко 4 семестр, архив за 4 8 г Издание -е, исправленное и дополненное Предисловие ко второму изданию В прошлом семестре

Подробнее

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными Цель работы Часто на практике необходимо исследовать, как изменение одной переменной величины X влияет на другую величину Y Например, как количество цемента X влияет на прочность бетона Y Такое влияние

Подробнее

Старков ВН Материалы к установочной лекции Вопрос 17 1 Аналитические функции Условия аналитичности Понятие аналитической функции [3,4] является основным понятием теории функций комплексного переменного

Подробнее

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения Д. В. АНОСОВ Отображения окружности, векторные поля и их применения МЦНМО Москва 2003 УДК 515.12 ББК 22.152 А69 Аносов Д. В. А69 Отображения окружности, векторные поля и их применения. М.: МЦНМО, 2003.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Теперь, когда все виды простейших деформаций бруса рассмотрены, можно было бы обратиться к исследованию усилий и перемещений в системах

Подробнее

Ветвящиеся процессы и их применения

Ветвящиеся процессы и их применения Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 8 Издание выходит с 26 года В. А. Ватутин Ветвящиеся процессы и их применения Москва 28 УДК 519.218.23 ББК

Подробнее