Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н."

Транскрипт

1 Лекция Решение систем алгебраических уравнений в средах Лектор MS Ecel и Mthcd Ст. преподаватель Купо А.Н.

2 .Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Постановка задачи..методы решения СЛАУ.(Метод обратной матрицы).решение СЛАУ методом Крамера. 4.Решение СЛАУ методом Гаусса. 5.Итерационный метод Гауса-Зейделя. 6.Решение систем нелинейных уравнений. 7. Работа с векторами и матрицами в системе Mthcd.

3 Общие сведения о решении СЛАУ 75% всех расчетных математических задач приходится на решение СЛАУ. Это понятно поскольку чаще всего сразу строят наиболее простые математические модели реальных процессов т.е. линейные модели. С решением СЛАУ связаны такие задачи как вычисление определителей обращение матриц вычисление собственных значений и собственных векторов матриц интерполирование аппроксимация по методу наименьших квадратов и многие другие.

4 Постановка задачи. Методы решения Определение. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется совокупность равенств вида: b b... m m m m b m (.)

5 Постановка задачи. Методы решения Переменные... этой совокупности равенств называются неизвестными переменные коэффициентами а переменные b свободными членами СЛАУ. Значения переменных которые обращают равенства в тождества называются решением СЛАУ. Таким образом задача решения СЛАУ состоит в том чтобы по известным коэффициентам системы и свободным членам b найти значения переменных... обращающие равенства в тождества.

6 Постановка задачи. Методы решения СЛАУ вида это система m уравнений с неизвестными. Не останавливаясь на общей теории таких систем уравнений в дальнейшем ограничимся рассмотрением системы уравнений с неизвестными b b... b Эту систему уравнений можно записать в краткой форме (.) b. (.)

7 Постановка задачи. Методы решения Часто систему записывают в векторно-матричной форме. Для этого вводят в рассмотрение ( )-матрицу коэффициентов A ( ) и векторы-столбцы неизвестных X ) и свободных членов B b ) : ( ( A X ( ) B b b ( b ). b

8 Постановка задачи. Методы решения Тогда СЛАУ (.) записывается в виде AX B (.4) поскольку сумма в левой части выражения (.) есть формула для расчета элементов матрицы AX. Если определитель матрицы A не равен нулю ( det( A ) A 0) то система (.) (или (.4)) имеет единственное решение которое определяется формулой где A матрица обратная матрице A. X A B (.5)

9 Метод Крамера Известно правило Крамера для решения СЛАУ (.4) в соответствии с которым неизвестные определяются по формуле: (.6) где det( A) определитель матрицы A а определитель матрицы A в которой столбец коэффициентов при заменен столбцом свободных членов.

10 Метод Крамера. Недостатки.. Большая трудоемкость (вычислительная сложность) Если при реализации формул Крамера определители вычислять путем понижения порядка т.е. путем разложения по элементам какой-нибудь строки или какогонибудь столбца то на вычисление определителя потребуется! операций умножения а на решение СЛАУ! таких операций. Факториальный рост количества арифметических операций с увеличением размерности задачи (и вообще очень быстрый рост) называется «проклятьем размерности».. Сильное влияние на окончательный результат округлений Погрешности за счет округлений катастрофически нарастают с увеличением числа переменных

11 В связи с указанными недостатками классических методов разработаны и применяются другие методы решения СЛАУ. Все методы решения СЛАУ можно разделить на конечные и итерационные. Конечные методы называются также точными. Точные методы это методы которые в условиях отсутствия округлений приводят к точному решению за конечное число арифметических и логических операций. Итерационные методы это методы которые в условиях отсутствия округлений могут привести к точному решению путем бесконечного повторения единообразных действий (итераций). При наличии округлений и точные и итерационные методы приведут к приближенному решению.

12 Метод исключения Гаусса Метод состоит из двух этапов которые называются прямым и обратным ходом. В процессе прямого хода система уравнений путем исключения переменных приводится к так называемому верхнему треугольному виду. В процессе обратного хода находится решение системы. Прямой ход состоит из k... шагов. На шаге k исключается неизвестная из всех уравнений начиная со второго. На шаге k исключается из всех уравнений начиная с третьего. На любом k -м шаге исключается k из всех уравнений начиная k уравнения. На последнем шаге k исключается из последнего уравнения. В результате выполнения прямого хода мы получаем систему уравнений с так называемой верхней треугольной матрицей коэффициентов. Обратный ход позволяет последовательно получить неизвестные системы уравнений. Сначала определяют из последнего -го уравнения. Затем это значение подставляют в ( )-е уравнение и определяют и т. д. до определения из первого уравнения.

13 Расчетные формулы метода Гаусса Прямой ход базируется на том что решение системы уравнений не изменится если из некоторого уравнения вычесть любое другое уравнение умноженное на некоторый коэффициент. Коэффициенты подбираются таким образом чтобы при вычитании исключались определенные переменные.

14 и из Расчетные формулы метода Гаусса На первом шаге для -го уравнения начиная с вводится коэффициент m ( ) -го уравнения вычитается -е уравнение умноженное на этот коэффициент. Результирующее уравнение записывается на место приводит к исключению переменной из система уравнений примет следующий вид: () () () () () () -го. Это -го уравнения. После этого шага () () ( ) b b b b () () () где ( ) () b коэффициенты полученные на первом шаге прямого хода. Они определяются следующими выражениями: ( ) ( ) m b ( ) ( ) b m b.

15 и из Расчетные формулы метода Гаусса На втором шаге для -го уравнения начиная с вводится коэффициент m ( ) ( ) ( ) -го уравнения вычитается -е уравнение умноженное на этот коэффициент. Это приводит к исключению из После второго шага система уравнений примет вид () () () () -го уравнения переменной () () () b b b b () () (). где ( ) () b коэффициенты полученные на втором шаге прямого хода. Они определяются выражениями b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m ( ) ( ) ( ) b m b.

16 Расчетные формулы метода Гаусса Теперь выполняется обратный ход. Видно что из последнего уравнения можно сразу определить ( ) ( ) b. Подставляя это значение в предпоследнее уравнение находим ( ) ( ) b ( ). Для нахождения любой переменной применяется формула b ( ) ( ) ( )... ( )....

17 Расчетные формулы метода Гаусса Метод исключения Гаусса требует приблизительно ячеек памяти. Реализация прямого хода требует выполнения приблизительно арифметических операций а обратного приблизительно операций. арифметических Замечание. В процессе решения СЛАУ легко может быть получен определитель системы det ( A ). Он равен произведению диагональных элементов матрицы верхней треугольной системы: () () ( ) det( A).

18 Обращение матрицы Матрица A называется обратной матрице A ( ) если выполняется соотношение AA E (.8) где E единичная матрица. Обозначим A ( ) E ) где ( символ Кронекера если 0 если Тогда соотношение (.8) можно записать так:. k k k. (.9) k Из этого выражения видно что если рассматривать -й столбец обратной матрицы как вектор то он является решением системы линейных алгебраических уравнений (.9) с матрицей A и вектором правой части все элементы которого равны нулю кроме -го который равен. Таким образом элементы обратной матрицы могут быть получены решением системы линейных алгебраических уравнений.

19 Метод Гаусса-Зейделя это итерационный метод решения задачи или метод последовательных приближений. Пусть решается система уравнений (.). Выразим из -го уравнения из - го уравнения и т.д. В результате получим ) ( b ) ( b. ) ( b или вообще для любого b )... (. (.8)

20 Метод Гаусса-Зейделя Предположим что на некоторой k -й итерации мы получили решение ( k) ( k) ( k). Используем известные к моменту расчета значения других переменных в правой части уравнения (.8) для расчета значения в левой части. В результате мы получим следующую рекуррентную формулу которая и составляет метод Гаусса-Зейделя: ( k ) ( k ) ( k ) ( k) ( k) ( b ). Расчеты по последней формуле продолжаются при k... до тех пор пока не будет выполняться условие или условие m ( k ) ( k) m ( k) ( k) ( k) где 0 0 причем допустимая абсолютная погрешность нахождения решения СЛАУ а допустимая относительная погрешность.

21 Решение систем нелинейных уравнений Систему нелинейных уравнений можно кратко записать в векторном виде f () = 0 или более подробно в координатном виде Такие системы решают практически только итерационными методами. Для такой системы используют метод простой итерации. Для этого систему приводят к ниже указанному виду т.е. к канонической форме:

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

- столбец напряжений в узлах схемы;

- столбец напряжений в узлах схемы; Лекция 5. Основные уравнения и граничные условия, описывающие электростатическое поле. Расчеты установившихся режимов необходимы при выборе конфигурации схемы электрической системы и параметров ее элементов,

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Лекция 3 АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

Лекция 3 АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ Лекция АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ План Введение Решение систем линейных уравнений методом исключения Гаусса Метод LU- разложения 4 Анализ линейных цепей в установившемся синусоидальном

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ Вспомним основные результаты, полученные на предыдущей лекции 1 Норма вектора = u Были введены следующие нормы вектора: =1 1 Октаэдрическая норма: 1 = max u, где p = 2 Кубическая

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

Задача 1 Вычислить определитель матрицы

Задача 1 Вычислить определитель матрицы Задача Вычислить определитель матрицы 4 4 A 4 4 Решение Для вычисления определителя приведем матрицу к треугольному виду. После этого определитель будет равен произведению элементов главной диагонали.

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Итерационные методы решения СЛАУ.

Итерационные методы решения СЛАУ. 4 Итерационные методы решения СЛАУ Метод простых итераций При большом числе уравнений прямые методы решения СЛАУ (за исключением метода прогонки) становятся труднореализуемыми на ЭВМ прежде всего из-за

Подробнее

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В общем виде СЛАУ можно записать в следующем виде......

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В общем виде СЛАУ можно записать в следующем виде...... (С) ИиКП РХТУ февраль г. Калинкин Владимир Николаевич Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В общем виде СЛАУ можно записать в следующем виде. b.... m m m m... mm b Совокупность коэффициентов

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Введение в решение СЛАУ

Введение в решение СЛАУ Введение в решение СЛАУ Нормы векторов и матриц. Число обусловленности матрицы СЛАУ к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич 1 e-mal: utkn@cad.org.ru, pavel_utk@mal.ru (926) 2766560 Данная лекция доступна по адресу

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений Часть 2. Прямые и итерационные методы решения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Системы линейных алгебраических уравнений Часть 2. Прямые и итерационные методы решения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Системы линейных алгебраических уравнений Часть 2. Прямые и итерационные методы решения Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Методы решения СЛАУ Прямые и итерационные методы Численные методы решения СЛАУ

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методические

Подробнее

Эту систему можно представить в матричном виде: AX=b, где

Эту систему можно представить в матричном виде: AX=b, где Тема: Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Ecel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

УДК Исабеков К.А., Маданбекова Э.Э. ЫГУ им К.Тыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

УДК Исабеков К.А., Маданбекова Э.Э. ЫГУ им К.Тыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ УДК 55 Исабеков КА Маданбекова ЭЭ ЫГУ им КТыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В данной статье приводятся алгоритмы двух методов решения плохо

Подробнее

Матричная форма записи

Матричная форма записи Матричная форма записи b x x x b x x x b x x x 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 Ax b A 2 1 2 22 21 1 12 11 b b b b 2 1 x x x x 2 1 Пусть имеется система уравнений для которой существуют точные значения

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Численные методы линейной и нелинейной алгебры

Численные методы линейной и нелинейной алгебры ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Подробнее

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений. Определение блочных матриц Для решения систем линейных алгебраических уравнений синтезированного алгоритма МНК-уравнивания

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Тема. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначается:. m n Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические указания к выполнению лабораторных работ ПЕНЗА 7 Приведена методика и

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 2: решение систем алгебраических уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 2: решение систем алгебраических уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 2: решение систем алгебраических уравнений факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Нормы векторов и матриц.............................. 2 2. Некоторые специальные

Подробнее

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Математика Серия: МАТЕМАТИКА Недосекин ЮА Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Аннотация Предложен новый метод решения неоднородной системы линейных алгебраических

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( )

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( ) Лекция 1 Работа с матрицами. 1. Основные понятия. Определение. Матрицей размерности чисел, содержащая строк и столбцов. называется таблица пронумерованных Исходя из такого определения матрицы, можно сделать

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В разделе «Численные методы линейной алгебры» рассматриваются численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и численные методы решения задач

Подробнее

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n.

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. 5. КРАМЕРОВСКИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В этом параграфе будем рассматривать системы линейных уравнений, у которых количество неизвестных равно числу уравнений. В самом общем виде эта система может

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. Методы спуска На прошлой лекции были рассмотрены итерационные методы вариационного типа. Для системы Au = f, для которой выполняется A = A, был введен функционал Φ( u, u)

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Шаги решения задачи с использованием математики:.

Подробнее

Семинар 1. Однородные СЛАУ (ОСЛАУ)

Семинар 1. Однородные СЛАУ (ОСЛАУ) Семинар Однородные СЛАУ ОСЛАУ) Рассмотрим систему, состоящую из m однородных линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a n x n =, a { x + a x + + a n x n =, a m x + a m x + + a mn x n =. Введём

Подробнее

СРАВНЕНИЕ ПРОСТЫХ И ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

СРАВНЕНИЕ ПРОСТЫХ И ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СРАВНЕНИЕ ПРОСТЫХ И ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Сенина А. С., Межаков А. В. Белгородский государственный национальный исследовательский университет Белгород, Россия

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ Протасеня Александр Анатольевич Рогожина Регина Григорьевна Ветохина Валентина Евгеньевна

Подробнее

Терминология, определения и задачи теории систем линейных уравнений. Детерминант (определитель) квадратной матрицы.

Терминология, определения и задачи теории систем линейных уравнений. Детерминант (определитель) квадратной матрицы. Лекция Терминология, определения и задачи теории систем линейных уравнений Детерминант (определитель) квадратной матрицы В первых лекциях излагаются вопросы, связанные с теорией систем линейных алгебраических

Подробнее

4.5 Решение задачи линейной алгебры в электронных таблицах. Пример 4.9. Решим методом обратной матрицы следующую систему уравнений:

4.5 Решение задачи линейной алгебры в электронных таблицах. Пример 4.9. Решим методом обратной матрицы следующую систему уравнений: . Решение задачи линейной алгебры в электронных таблицах Пример.9. Решим методом обратной матрицы следующую систему уравнений: - -. В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы (вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Под матрицей в математике понимается таблица,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее