1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы"

Транскрипт

1 1 Количество решений системы уравнений Графический динамический метод Для нахождения количества решений системы уравнений, содержащих параметр, полезен следующий приём Строим графики каждого из уравнений при некотором фиксированном значении параметра и находим число общих точек построенных графиков Каждая общая точка это одно из решений системы Далее мысленно меняем параметр и представляем, как трансформируется график уравнения с параметром, как появляются и исчезают общие точки графиков Такое исследование требует развитого воображения Для тренировки воображения рассмотрим ряд типичных задач Назовём особыми значениями параметра те значения, при которых изменяется число решений Эти значения соответствуют ситуациям, когда графики решений касаются друг друга или угловая точка одного из графиков попадает на другой график Как правило, при переходе через особую точку число решений изменяется на два, а в самой такой точке оно на единицу отличается от числа решений при небольшом изменении параметра Рассмотрим задачи, в которых требуется найти число решений системы уравнений, одно из которых зависит от параметра а, а другое не зависит Переменные в системах x и y Числа xi, yi, r считаем заданными константами В ходе каждого решения, строим графики обоих уравнений Исследуем, как изменяется график уравнения с параметром при изменении значения параметра Затем делаем вывод о числе решений (общих точек построенных графиков) На интерактивном рисунке график уравнения без параметра показан синим цветом, а динамичный график уравнения с параметром показан красным цвета Для изучения темы (задания 1 7) используйте файл InMA 11, 5 Число решений системы с параметром Для исследований (задание 8) используйте файл GInMA Число решений системы с параметром ( x x0 ) + ( y y0 ) = r ; 1 Найдите число решений системы ( x x1 ) + y = a ( x x0 ) + ( y y 0 ) = r ; Найдите число решений системы y = kx + a ( x x0 ) + ( y y0 ) = r ; 3 Найдите число решений системы y = ax + y1 ( x x0 ) + ( y y0 ) = r ; 4 Найдите число решений системы ( x x1 ) + y = a ( x x0 ) + y y0 = r ; 5 Найдите число решений системы ( x x0 ) + ( y y0 ) = a ( x x0 ) + ( y y0 ) = r ; 6 Найдите число решений системы y = x a + y1 x x0 + y y0 = r; 7 Найдите число решений системы ( x x0 ) + ( y y0 ) = a f ( x, y ) = 0; g ( x, y, a ) = 0 8 Найдите число решений системы ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

2 1 Графики уравнений гладкие кривые ( x x0 ) + ( y y0 ) = r ; 1 Задание Найдите число решений системы ( x x1 ) + y = a Решение: График первого уравнения это окружность радиуса r с центром в точке О(х0; у0) График второго уравнения это окружность радиуса a с центром на оси абсцисс в точке А(х1; 0) Центр окружности неподвижен, радиус определяет параметр При увеличении модуля параметра окружность «раздувается» Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых окружность второго графика касается окружности первого Условие касания окружностей модуль суммы или разности радиусов окружностей равен межцентровому расстоянию: а ± r = АО а = ± АО ± r Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Начать исследование желательно с простейших случаев у0 = 0, когда общая ось окружностей горизонтальна, и х0 = х1, когда общая ось окружностей вертикальна В общем случае пользуйтесь треугольниками Пифагора Например, х0 х1 = 3, у0 = ±4 Типично, что как при малых по модулю, так и при больших по модулю значениях параметра решений нет Поскольку две несовпадающие окружности могут иметь не более двух общих точек, число решений в общем случае не более двух В точках касания число решений равно единице, при промежуточных значениях параметра двум Творческое задание Найдите то значение параметра, при котором три различные точки ( x 1) + ( y y0 ) = 9; являются решениями системы уравнений ( x x1 ) + y = a ( x x0 ) + ( y y0 ) = r ; Задание Найдите число решений системы y = kx + a Решение: График первого уравнения это окружность радиуса r с центром в точке О(х0; у0) График второго уравнения это семейство параллельных прямых, проходящих через точки А(0; а) и имеющих постоянный наклон Тангенс угла наклона прямых равен k При увеличении параметра прямые перемещаются вверх Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых прямые касаются окружности Условие касания находим, приравнивая тангенсы угла наклона окружности и прямой ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

3 3 Решая полученное уравнение, находим координаты двух точек касания: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = k k ( y y0 ) + ( y y0 ) = r r y y0 y = y0 1+ k Подставив полученные выражения в уравнение прямой, найдём значение параметра в особых точках: a = y 0 kx0 ± r 1 + k Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Начать исследование желательно с простейшего случая k = 0, когда прямые параллельны оси абсцисс Затем рассмотрите случаи, когда корень извлекается (например, k = 3 ), уделите внимание популярному случаю k = 1 При малых и при больших значениях параметра решений нет Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при промежуточных значениях параметра двум Творческое задание Известно, что данная система уравнений имеет не более одного решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет решение: ( x ) + ( y 3) = r ; y = x + a ( x x0 ) + ( y y0 ) = r ; 3 Найдите число решений системы y = ax + y1 Решение: График первого уравнения это окружность радиуса r с центром в точке О(х0; у0) График второго уравнения это семейство прямых, проходящих через точку А(0; у1) Тангенс угла наклона прямых (а) определяет значение параметра При увеличении параметра возрастает угол между графиком и положительным направлением оси абсцисс Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых прямые касаются окружности Если точка А(0; у1) находится внутри окружности, то любая возможная прямая пересекает окружность в двух точках Условие касания находим, приравнивая тангенсы угла наклона окружности и прямой Решая полученное уравнение, находим координаты двух точек касания: ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

4 4 ar x = x0 ± ; x0 x 1 + a = a a ( y y0 ) + ( y y0 ) = r r y y0 y = y0 1+ a Подставив полученные выражения в уравнение прямой, найдём значение параметра в ( y1 y 0 ) r особых точках Если x0 = 0, то особые значения параметра a = ± r Если y0 = y1, x0 r, то особые значения параметра a = ± ( y1 y 0 ) r r x0 Если х0 = ± r, то окружность касается вертикальной прямой, проходящей через точку r ( y1 y 0 ) А(0; у1) и значение параметра a = В остальных случаях x0 ( y1 y 0 ) a= x0 ( y 0 y1 ) ± r ( x0 + ( y 0 y1 ) r ) r x0 Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Начать исследование желательно с простейшего случая y0 = y1, x0 < r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 = ) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 = ) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум ( x + 3) + ( y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение ( x x0 ) + ( y y0 ) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы ( x x1 ) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 одинаковые по модулю, но разные по знаку абсциссы ±x0 Графики показаны синим и фиолетовым цветом График второго уравнения это окружность радиуса a с центром на оси абсцисс в точке А(х1; 0) Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых окружность второго графика касается окружностей первого Условия касания сумма или разность радиусов окружностей равна межцентровому расстоянию: а ± r = АО, а ± r = АQ Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Пользуйтесь целыми значениями для одного межцентрового расстояния (например, х0 = 6, y0 = 3, r = 3, х1 = ) Типично, что при малых по модулю и больших значениях параметра решений нет В точках касания число корней нечётное, в остальных точках число корней чётное ( x 6) + ( y y 0 ) = r ; Творческое задание Известно, что система уравнений при ( x x1 ) + y = a некотором значении параметра имеет ровно два решения При этом значении параметра, графики касаются Найдите это значение параметра ( x x0 ) + y y0 = r; 5 Найдите число решений системы ( x x0 ) + ( y y0 ) = a Решение: График первого уравнения состоит из пары парабол, которые стыкуются при y = y0 Уравнения парабол y = y0 ± (r (x x0)) Они имеют горизонтальную ось симметрии y = y0, вертикальную ось симметрии х = х0 Центр симметрии точка (x0, у0) Второй график это окружность радиусом а, центр которой расположен в центре симметрии парабол Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит касание окружности второго графика с вершинами парабол В точке касания: х = х0, y = y0 ± r = y = y0 ± а, значит, а = ± r Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит внутреннее касание окружности второго графика с параболами Чтобы найти это значение, переходим от системы уравнений к уравнению с одной переменной: ( y y 0 ) = a ( x x0 ) = (r ( x x0 ) ) Это квадратное уравнение для ( x x 0 ) Оно имеет один корень, если дискриминант равен нулю: ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

6 6 D = (r 0,5) (r a) = 0, a = ± r 1 4 Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит пересечение окружности и параболы в точках излома первого графика, то есть при y = y0 Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Пользуйтесь значениями r = 1, 4 и 9 Обратите внимание на то, что параметры х0 и y0 не влияют на ответ задачи При малых по модулю и больших значениях параметра решений нет x x0 + y y0 = r; 6 Найдите число решений системы ( x x0 ) + ( y y0 ) = a Решение: График первого уравнения это квадрат, наклоненный под углом 45 к осям координат, длина половины диагонали которого равна r Второй график это окружность радиусом а, центр которой расположен в центре симметрии квадрата Число корней изменяется при том значении параметра, при котором окружность проходит через вершины квадрата При этом y = у0, а = ±r Число корней изменяется при том значении параметра, при котором происходит внутреннее касание окружности со сторонами квадрата Чтобы найти это значение, переходим от системы уравнений к уравнению с одной переменной: ( y y 0 ) = a ( x x0 ) = (r x x0 ) Это квадратное уравнение для x x 0 Оно имеет один корень, если дискриминант равен нулю При этом a = ± r Радиус окружности в этом случае относится к радиусу в предыдущем случае, как sin 45 : 1 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

7 7 ( x x0 ) + ( y y0 ) = r ; 7 Найдите число решений системы y = x a + y1 График первого уравнения это окружность с центром O(x0; y0) График второго уравнения состоит из двух лучей с общим началом это «птичка, крылья вверх», вершина графика расположена в точке А(а; у1) Число корней изменяется при том значении параметра, при которых «крыло» второго графика касается окружности или вершина графика лежит на этой окружности Тангенс угла наклона «правого крыла» к оси абсцисс равен 1, значит прямая, r x = x ±, k 0 содержащая это крыло, касается окружности в точках (хk; уk), таких, что r yk = y0 Условие касания уk = хk а + у1 а = хk уkа + у1= x0 y0 + у1 ± r Поскольку «крыло» это луч, идущий вверх, добавляется условие, что ордината вершины должна быть не больше, чем ордината точки касания, то есть у1 уk y0 у1 ± r Аналогично записываем условия касания с «левым крылом» Если вершина графика лежит на окружности, то её координаты удовлетворяют уравнению окружности: (а x0) + (у1 у0) = r Изменяя значение параметра, исследуйте число решений системы, то есть количество общих точек графиков В особых точках число корней нечётное, в остальных точках число корней чётное ( x ) + ( y y 0 ) = r, Творческое задание Известно, что система уравнений при y = x a + y1, некотором значении параметра имеет три решения Найдите это значение параметра, если известно, что при этом ординаты двух решений совпадают f ( x, y ) = 0; g ( x, y, a ) = 0 8 Найдите число решений системы Задайте функции самостоятельно по образцу и исследуйте количество решений ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

8 8 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

9 9 Задания С5 (Семёнов Ященко) Вариант 1 Найдите все значения а, при каждом из которых множеством решений неравенства 4 x 1 x+ 3 a 3 является отрезок [0;] 3 a 4 x Размышляем Выполним преобразования x b 1, 1 x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a 3 a 4 x x ( x ) 0, (x +1) b 1 0 Граничные линии плоскости x 3a это: x = 0, x =, x= 3a, x=± 3 a a=( x+ 1) 1 4 Если 0 х, то b < 4x, b (x +1) 1 Так как 4x > (x +1) 1, то b (x +1) 1 Если 0 > х то b > 4x, (x +1) 1 b Решение есть при 1 b Например, x = 1 Если x >, то b > 4x, (x +1) 1 b Так как 4x < (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а > 8, то х [ 3 a+ 1 1,0] [, 3 a +1 1] Если 3а = 8, то х [ 4,0] х [ 3 a +1 1,0] [ 3 a+1 1, ] Если 0< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0 ) ( 0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } [0, ] Если 1 > 3а, то х [0, ] Решение Пусть 1 3а Тогда x = 1 удовлетворяет неравенству, 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 =, противоречие, это число вне отрезка 3 a 4 x 3 a+ 4 3 a +4 Пусть 1 > 3а Тогда x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a < 1 3 a 4 x 1 x b 1, x ( x ) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, то первое неравенство не выполнено ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

10 10 Если 0 > х, то b (x +1) 1, второе неравенство не выполнено Ответ: 1 > 3а Вариант 3 Найдите все значения а, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение a +7 x x + x +5= a+ 3 x 4 a +1 Размышляем Пусть f (a, x )=a +7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Особая точка функции х + 1 = 0 Если х = 1, то уравнение имеет вид a +10 a 1 a =0 Легко найти его четыре решения Нужно доказать, что исходная функция всегда больше этой Решение Пусть f (a, x )=a + 7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Уравнение f (a, x )=0 Тогда f (a, 1)=a +10 a 1 a =0 Разность f (a, x ) f ( a, 1)=7 x +1 +5( x + x +5 )+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3( x a 4 a x 1 ) 0 Значит, уравнение f (a, x )=0 имеет корни только в случае, если f (a, 1) 0 Уравнение f (a, 1)=0 имеет четыре корня a 1= , a = , a 3= , a 4 = Функция f (a, 1) 0 (не положительная) при a [a 1, a ] [a3, a 4 ] Например, если а = 10, то есть корень При остальных значениях а x= f (a, x ) f ( a, 1)>0 Корней нет Ответ: [ 5 15, 5+ 15] [7 39, 7+ 39] Вариант 5 Найдите все значения а, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение a +11 x+ +3 x + 4 x +13=5 a+ x a + Используем функцию f (a, )=a +9 5 a 4 a =0 и неравенство f (a, x ) f (a, ) ( x+ + a x a+ ) 0 Ответ: [ , ] Вариант 9 Найдите число корней уравнения x + 4x 5 3a = x + a 1 Размышляем Считаем известным следующее (очевидное) утверждение Пусть функции f(x) и g(x) заданы на некотором промежутке Пусть производная одной больше на промежутке, чем другой Пусть разность значений функций на левом конце имеет один знак, на правом другой Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке ровно один корень Решение Обозначим f(x, a) = 3а + x + a, g(x) = x + 4x Уравнение f(x, a) = g(x) ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

11 11 Особые точки функции g(x) это минимумы при x = 1 и x = 5 и максимум при x = Значения g(1) = g( 5) = 1, g( ) = 10 Функция имеет ось симметрии x = 3 При больших по модулю значениях икса квадратичная функция g(x) больше линейной f(x, a) Наклон функции вне отрезка [ 5,1] определяем производной (x + 4x 5)' = x при x > 1 Функция g(x) при x > 1 монотонно возрастает с коэффициентом больше, чем 6 В силу симметрии, функция g(x) монотонно убывает с коэффициентом больше, чем 6 при x< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке ( 5, 1) При этом производная ( x 4x + 5)' = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а > 0 Значения в ряде точек f( а, a) = 3а, f( 5, a) = 3а + 5 a, f(, a) = 3а + a, f(1, a) = 3а + 1+ a Графики f(x, a) и g(x) касаются, если равны их наклоны Касание возможно при x = 5 При этом g(x) = 39/4 f(x, a) = 4а + x = 39/4, 4a = 49/4, a = 49/16 Анализируем корни уравнения f(x, a) = g(x) Если a <, f( 5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x > 1, g(x) возрастает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f( 5, a) = 1, f(1, a) = 5 f( 5, ) = g( 5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f( 5, a) = а +5 > 1, f(1, a) = 4а + 1 < 1f(, a) = а + < 10 При x > f(x, a) < g(x), корней нет При x < f(1,a) > 1 При x < 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f( 5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x > Если a = 3, f( 3, 3) = 8 = g( 3), f(, 3) = 10 = g( ), корней 4, один два на левой ветке f(х, a) при x < 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x > 1 Если 3 < a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x > 1 Если a = 49/16, то число корней 3, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, один в точке касания при x = 5, один при x > 1 Если a > 49/16, то число корней, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, один на правой при x > 1 Ответ: нет корней при a < ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 Вариант 10 Найдите все значения параметра a, для каждом из которых имеет два корня уравнение 4x 3x x + a = 9 x 3 Решение Обозначим f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x) = 9 x 3 Особая точка функции g(x) это x = 3 Функция монотонно убывает с коэффициентом 9 при x < 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x > 3 Функция f(x, a) является кусочно линейной с коэффициентами 8, 6, или 0 Значит, она не убывает по иксу, скорость её роста меньше, чем у правой ветви функции 9 x 3 f(3, a) = a График этого выражение суть ломаная с вершинами ( 1, 1), ( 3, 3), (6, 1) Значения функции положительные при а ( 4, 18) Из найденного следует Если f(3, a) < 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) > f(x, a) Если f(3, a) = 0, уравнение имеет ровно один корень x = 3 Для других иксов g(x)> f(x, a) Если f(3, a) > 0, уравнение имеет ровно два корня, один при x < 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x > 3, когда быстро возрастающая ветвь g(x) пересекает медленно возрастающую ветвь f(x, a) Ответ: а ( 4, 18) Вариант 11 Найдите все значения параметра a, для каждом из которых при любом значении параметра b имеет хотя бы одно решение система уравнений (1+ 3 x )a +(b 4 b+5) y =, x y +(b ) x y+ a + a=3 Размышляем Система имеет вид (1+ 3 x )a +(1+( b ) ) y =, Удобно x y +(b ) x y=4 ( a+ 1) a (1+3 x ) =1, Видно решение x = y = 0 и x y =4 (a +1) соответствующие значения параметра a = 1 и a = 3 проанализировать особую точку b = Тогда (1+ 3 x )a +(1+(b ) ) y =, x y +(b ) x y=4 ( a+ 1) Решение Запишем систему в виде Решение x = y = 0 существует всегда при a = 1 или a = 3 Если b =, то система имеет вид (1+ 3 x )a +1 y =, или x y =4 (a +1) (1+3 x )a=1, x y =4 (a +1) Если a > 1 или a < 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x > 0, из первого найдём a = 0 Пусть a = 0 Тогда для b = 4 из первого уравнения получим, что у = 0 При этом второе уравнение не имеет решения Ответ: 1 или 3 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

13 13 Вариант 14 Найдите все значения параметра, при каждом из которых модуль разности корней уравнения x 6x a 4a = 0 принимает наибольшее значение Решение Запишем уравнение в виде (x 3) = 1 (a ) Его решение = 0 силу периодичности функций синус и косинус, задачу можно решать для отрезка x=3± 1 (a ) Наибольшая разность корней равна при a = Ответ: Вариант 15 Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение (4 4 k ) sin t =1 имеет хоть одно решение на отрезке [ 3 π ; 5 π ] cos t 4 sin t Решение В силу периодичности функций синус и косинус, задачу можно решать для отрезка t [ π ; 15 π ], затем из каждого полученного решения вычесть 4π Преобразуем уравнение к виду + 4 k sin t cos t =0 cos t 4 sin t На отрезке t [ π ; 15 π ] синус монотонно убывает от нуля до минус единицы, косинус монотонно нарастает от минус единицы до нуля Знаменатель обращается в нуль при 4tgt = 1, то есть при sin t = 1 4, cos t = Числитель при t = π равен 1, при t = 15π равен 4k Если k 0, числитель положительный и уравнение не имеет корней Если k > 0, оба переменных слагаемых числителя убывают, то есть числитель изменяется монотонно Значит, числитель принимает нулевое значение ровно один раз, если k 05 и положителен при меньших значениях k Уравнение имеет корень, если числитель нуль, а знаменатель не нуль, то есть в случае 4k =+ 4 k sin t cos t + k Ответ: k [ 05,+ )\1+ } Вариант 18 Найдите все значения параметра, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений ( x a 5) +( y 3 a +5) =16, (x a ) +( y a+1)=81 Размышляем Каждое уравнение описывает окружность Решение единственное в случае касания окружностей Решение Первое уравнение задает окружность с центром в точке (a + 5, 3a 5) и радиусом 4 Второе уравнение окружность с центром в точке (a +, a 1) радиусом 9 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

14 14 Система имеет единственное решение если окружности касаются При этом расстояние между центрами равно = 13 или 0 4 = 5 Квадрат межцентрового расстояния: ((a + 5) (a + )) + ((3a 5) (a 1)) = a a + 5 Если расстояние 5, то a = 0 или a = 1 Если расстояние 13, то a = 8 или a = 9 Ответ: 8, 0, 1, 9 Вариант 1 Найдите все значения параметра при каждом из которых имеет ровно два неотрицательных решения уравнение 10 0,1 x a 5 x + a =004 x Решение Выполняем преобразования 5 x a 5 x + a =5 x Обозначим t = 5x 1 В силу монотонности показательной функции 5x, каждый корень t 1 порождает ровно один корень x 0 Уравнение примет вид t a t+ a t =0 Если a t, то t + 3t + a = 0 нет корней, больших, чем 1 Если t > a t/, то t t + 3a = 0 При t > 1 функция монотонно возрастает, корень только один Если 1/ > t/ > a, то t 3t a = 0 При t > 1 функция t 3t монотонно убывает от при t = 1 до 5 при t = 15 и далее монотонно возрастает Значит, при 5 > a корней два, при меньших а нет корней, при больших а корень ровно один Ответ: 5 > a Вариант Найдите в зависимости от параметра число решений системы x ( a+1) x+ a 3= y, y ( a+1) y + a 3= x Размышляем Система имеет вид f(x)= y, f(y)= x, или f(f(х)) = x Одно из решений f(x)= x Второе решение находим, вычитая уравнения Решение Вычтем из первого уравнения второе Получим (x + y a )(x y) = 0 Пусть x = у Подставим в первое уравнение, преобразуем Получим (x a 1) = 4 + а Пусть x + у = а Подставим в первое уравнение, преобразуем: (x a) = 3 + а Если a <, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 > a >, то есть пара решений x= y =a+ 1± 4+ a Если a = 15, то два решения: x = y = a, x = y = a + Если 15 < a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, два решения, a > 15 четыре решения ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

15 15 Вариант 4 Найдите все значения а, при каждом из которых не имеет корней уравнение 7 x 6 +(4 a x)3 +6 x +8 a=4 x Размышляем 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x)3 Значит, уравнение включает сумму и сумму кубов одинаковых выражений Это можно использовать Решение Преобразуем уравнение к виду (3 x )3 +(4 a x )3+ (3 x + 4 a x)=0 Разложим сумму кубов (3 x +4 a x ) ((3 x ) 3 x (4 a x )+(4 a x) +)=0 Второй множитель это неполный квадрат разности увеличенный на Он положительный Выделив в первом множителе квадрат, получим 1 1 3( x ) + 4 a = Это уравнение не имеет корней, если 4 a >0, a > 3 1 Ответ: 1а > 1 Вариант 8 Найдите значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции x a x не меньше единицы Решение Если x a, функция f(x,a) = x a x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен 0,5 а При a < 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a > 0,5 наибольшее значение функции a + 0,5 1 при а 0,75 Ответ: а 0,75 или 075 а Пара функций Найти диапазон положительных значений а, для каждого из которых найдется такое b, что система уравнений: y = х4 + а, х = 8y + b имеет чётное число решений Решение: Из первого уравнения следует, что у > 0, второе уравнение можно 8 преобразовать к виду: y=, х (b; + ) Искдючим у: x b f ( x) = x a = 0; f `( x ) = 4 x 3 + x b ( x b)3 Каждый корень полученного уравнения порождает ровно одно решение исходной системы При b 0 функция f(x) монотонно возрастающая и уравнение имеет ровно один корень При отрицательных b < 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 = х1, оба корня совпадают и уравнение f(х) = 0 имеет только один корень Производная f`(x) положительная при х b и при х + Она равна нулю при условии f `( x) = 0 g ( x) = x ( x b) + 1 = 0 Последнее уравнение может иметь один или два корня, причём только при отрицательных иксах Обозначим их х1 и х: g(х1) = g(х) = 0 Ответ: a (0; 3) ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

2. Линейная комбинация модулей Задание. Найдите число корней уравнения bx a = x b 1 в зависимости от параметра a, если b = 3.

2. Линейная комбинация модулей Задание. Найдите число корней уравнения bx a = x b 1 в зависимости от параметра a, если b = 3. Примеры решения заданий типа С5 для ЕГЭ 013 Большинство рисунков в комплекте интерактивные. Вы можете изменять параметры и уравнения графиков. Вход в интерактивные файлы выполняется с помощью щелчка по

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

1 Корни и их количество

1 Корни и их количество 1 Функции, их графики и связанные с ними доказательства Оглавление 1 Корни и их количество...1 1.1 Корни уравнения...1 1.1.a Корни уравнения...1 1. Число корней... 1. Число корней... 1.4 Функциональное

Подробнее

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x):

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): 1. Область определения функции это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие

Подробнее

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ;

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ; C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Подробнее

Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2

Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2 Задания для самостоятельного решения. Найдите область определения функции 6x. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку М (;) графика функции. Найдите тангенс угла

Подробнее

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б)

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б) Система задач по теме «Уравнение касательной» Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y f (), в точках с абсциссами a, b, c а) б) Укажите точки, в которых производная

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел:

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел: Алгебра 0 класс Тема Тригонометрические функции и преобразования Основные понятия Буквой Z обозначается множество целы чисел: Z {0; ; ; ;} Арксинусом числа а, принадлежащего промежутку [- ; ], называется

Подробнее

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2 Вебинар 5 Тема: Повторение Подготовка к ЕГЭ (задание 8) Задание 8 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a a 0 имеет или семь или восемь решений Пусть, тогда t t Исходное уравнение

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 Общие сведения Задачи с параметрами Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 1 Подготовка к ЕГЭ Дихтярь М.Б. 1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если х 0; число x,

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Задачи с параметром в ЕГЭ

Задачи с параметром в ЕГЭ Л.А. Штраус, И.В. Баринова Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновск 05 Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В.

Подробнее

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Глава ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Т-0 Исследование функции по графику Т-0 Соответствие между графиком рациональной функции и формулой Т-0 Построение графика по свойствам Т-04 Параллельный перенос графика Т-05 Симметричное

Подробнее

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э - 2001 П О М А Т Е М А Т И К Е Часть 1 А1. Найдите значение выражения. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Решение. Ответ: 1. А2. Упростите выражение. 1.

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Общие сведения ЕГЭ Профильный уровень Задание 0 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Дихтярь МБ Уравнение f ( a) x + g( a) x + ϕ ( a) = 0, где f ( a) 0, является

Подробнее

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 А.В. Шевкин, avshevkin@mail.ru Аннотация: В статье разобраны различные способы решения ряда заданий с параметром. Ключевые слова: уравнение, неравенство, параметр, функция,

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

Задачи с параметром в ЕГЭ

Задачи с параметром в ЕГЭ Л.А. Штраус, И.В. Баринова Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновск 05 Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В.

Подробнее

Геометрический смысл производной, касательная

Геометрический смысл производной, касательная Геометрический смысл производной, касательная 1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Значение

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее

ID_4970 1/7 neznaika.pro

ID_4970 1/7 neznaika.pro Уравнения, неравенства, системы с параметром Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

Тема 10 «Графики элементарных функций».

Тема 10 «Графики элементарных функций». Тема 10 «Графики элементарных функций». 1. Линейная функция f(x) = kx + b. График - прямая линия. 1) Область определения D(f) = R. ) Область значений E(f) = R. 3) Нули функции у = 0 при x = k/b. 4) Экстремумов

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Задача C5. Окружность и ломаная. 01 C5 Найдите все значения а, при каждом из которых. имеет ровно три различных

Задача C5. Окружность и ломаная. 01 C5 Найдите все значения а, при каждом из которых. имеет ровно три различных Задача C5 Окружность и ломаная 01 C5 Найдите все значения а, при каждом из которых имеет ровно три различных 02 C5 Найдите все значения а, при каждом из которых имеет ровно три различных 03 C5 Найдите

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y=f(x) и касательную в точке P 0 (x 0 ; f(x 0 )). Найдем угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Угол наклона касательной Р 0

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

Математика. Собрание заданий (14 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (14 апреля 2013). Математика. Собрание заданий (14 апреля 01). Задачи с параметром-. Задача 1. При каких значениях параметра aсуществует единственное решение уравнения 4 + 1 = + a ax x x x a Задача. Найти все действительные

Подробнее

ID_6684 1/8 neznaika.pro

ID_6684 1/8 neznaika.pro Уравнения, неравенства, системы с параметром Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Решение задач с использованием программы GInMA. Шеломовский Владимир, Россия Интерактивные рисунки созданы в программе GInMA [1]

Решение задач с использованием программы GInMA. Шеломовский Владимир, Россия Интерактивные рисунки созданы в программе GInMA [1] Решение задач с использованием программы GInMA Шеломовский Владимир, Россия Интерактивные рисунки созданы в программе GInMA [1] Задача 1 Пусть f (x, y, a)=1 x a x y+ y 4 y+5. Предположим, что функция достигает

Подробнее

Математика 8 класс. (170 часов)

Математика 8 класс. (170 часов) Математика 8 класс (170 часов) Составлена на основе Программы для общеобразовательных школ, лицеев и гимназий (составители: Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. М.: Дрофа, 2004). СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Раздел

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

(c) О производной.

(c)  О производной. О производной. Начиная разговор о производной, я допускаю, что читателю известно, что такое функция, что он не путает таких два понятия, как функция и график функции, что он также знает, что такое область

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу Основные тригонометрические функции Чтобы дать определение тригонометрических функций, рассматривают окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Эту окружность называют тригонометрическим кругом.

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

МАТЕМАТИКА КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК

МАТЕМАТИКА КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК МАТЕМАТИКА КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК Алгебра Модуль действительного числа Модулем числа называется само это число если оно неотрицательно и противоположное ему число если оно отрицательно: { Выделим несколько

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 9 класс

Домашняя работа по алгебре за 9 класс Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра 9 класс» ЮН Макарычев и др, М: «Просвещение», 999 г учебно-практическое пособие wwwllsru а f 07; б f00 0 00; в f 0 9 0 9 0 0, 0, а f0 ; 0 0, 0,,

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

Задача 1. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4 + 3x x на

Задача 1. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4 + 3x x на Задача 1. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4 + 3x x на отрезке ; 2. (4 балла) Найдем значение функции на концах отрезка. При x = значение функции 4 + 3x x =, при x = 2, значение

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 1

Параметры и квадратный трёхчлен. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 1 Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax + bx + c = 0. 1 Если a 0, то уравнение 1 является квадратным. Не забываем,

Подробнее

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6.

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 1 1. Решите неравенство: Вариант 1 5 2x x 2 (2x 6) 0. 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: x 4 2x 9. 3. Найдите значение выражения при x = 35: 6 (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 4. Найдите наибольшее

Подробнее

Решение квадратных неравенств графическим способом.

Решение квадратных неравенств графическим способом. Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ 5-«Школа здоровья и развития» градужный Решение квадратных неравенств графическим способом Пример 1 х 4х 5 1 Рассмотрим функцию у х 4х 5 графиком которой

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 2

Параметры и квадратный трёхчлен. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы»

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Иногда трудно самостоятельно разобраться со всеми заданиями, предлагаемыми на контрольных, особенно

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru. Степенная функция

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru. Степенная функция А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Степенная функция Степенн ыми называют функции вида x α, где α может быть целым, дробным, положительным или отрицательным. К

Подробнее

I. ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЙ К УСВОЕНИЮ УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ

I. ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЙ К УСВОЕНИЮ УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от 23.12.2011 813 Программа вступительных испытаний по учебному предмету «Математика» для лиц, имеющих общее базовое образование, для получения

Подробнее

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5.

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Подробнее

y и постройте еѐ график.

y и постройте еѐ график. Вариант 1 1 Найдите производную функции y 1 в точке Найдите f (0), если sin 0 Составьте уравнение касательной к графику функции 1, в точке графика с абсциссой 0 Составьте уравнение касательной к графику

Подробнее

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Неравенства Модуль для 0 класса Учебно-методическая

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов АГ, г Брянск,

Подробнее

Из графика видно, что более ( трех пересечений горизонтальных линий с графиком будет при a 0, 1 )

Из графика видно, что более ( трех пересечений горизонтальных линий с графиком будет при a 0, 1 ) Пример 5. Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 8x 6 + (a x ) 3 + x x + a = 0 (1) имеет более трех различных решений. Судя по виду уравнения, надо проявлять наблюдательность и искать

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru

Подробнее

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ СК Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ Учебно-методическое пособие для учителей математики, студентов математических специальностей педагогических вузов, абитуриентов ОРЕЛ 0 Кожухов СК Уравнения

Подробнее

Домашнее задание по задачам С5 к лекции 2 по подготовке к ЕГЭ

Домашнее задание по задачам С5 к лекции 2 по подготовке к ЕГЭ Домашнее задание по задачам С5 к лекции по подготовке к ЕГЭ Задача 1 При каких р данная система имеет решения? Задача При каждом а решите систему уравнений: Задача 3 При каких значениях параметра а прямая

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Исследование свойств функций Подготовительные материалы Четные и нечетные функции 1

Исследование свойств функций Подготовительные материалы Четные и нечетные функции 1 Исследование свойств функций Подготовительные материалы Четные и нечетные функции Уровень. Если функция f( x ) нечетная, то а) f(-x ) = - f(x ); б) а) f(-x ) = - f(-x ); в) f(-x ) = f(-x(x )) ; г) f(x

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Исследование квадратного трехчлена

Исследование квадратного трехчлена Исследование квадратного тречлена Пусть f(x) = ax 2 + bx + c имеет действительные корни x 1 и x 2, а M какое-нибудь действительное число, D = b 2 4ас - дискриминант При решении конкретны задач нужно особо

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

Урок на тему: Построение графиков.

Урок на тему: Построение графиков. Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали

Подробнее

Линейная функция 1. Проведите полное исследование линейной функции. 1) y = 2x 5 2) y = 2 3x 3) y = 3 (x 2) 4 (x + 1)

Линейная функция 1. Проведите полное исследование линейной функции. 1) y = 2x 5 2) y = 2 3x 3) y = 3 (x 2) 4 (x + 1) Глава ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ Алгоритмы А- Функция А- Схема исследования функции А- Решение линейных неравенств А- Решение квадратных неравенств А-5 Решение рациональных неравенств А- Функция. Является ли

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ М- 8 класс Рабочая тетрадь 8 глава стр. 1 Глава 8 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-801 Установление вида зависимостей в физических формулах и законах Т-80 Выражение одной переменной через другие Т-803 Вычисление

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

Квадратичная функция

Квадратичная функция Квадратичная функция Функция вида y=ax +bx+c, где а 0, называется квадратичной. Значения х, при которых функция принимает значение, равное 0, называют нулями функции. Если b=c=0, то функция принимает вид

Подробнее

= 1 е) f(9) = 27; f(1) = 3

= 1 е) f(9) = 27; f(1) = 3 Глава 8 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Алгоритмы А- Задание стандартных функций А- Понятие функции. График функции А-3 Каноническая запись зависимостей А- Задание стандартных функций. К стандартным функциям отнесем

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Тест 337.Параллельный перенос вдоль оси ординат (вертикальный сдвиг)

Тест 337.Параллельный перенос вдоль оси ординат (вертикальный сдвиг) Тест 337.Параллельный перенос вдоль оси ординат (вертикальный сдвиг) 1. В результате сдвига на вектор ( 0,1) график функции y = x переходит в график функции y = x + 1 2. В результате сдвига на вектор (

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

Математика 9 класс 1 четверть Вихрова Юлия Вадимовна учитель математики, Учебник:

Математика 9 класс 1 четверть Вихрова Юлия Вадимовна учитель математики,  Учебник: Математика 9 класс 1 четверть Вихрова Юлия Вадимовна учитель математики, e-mail yul-vikhrova@yandex.ru Учебник: Алгебра 8,9 класс / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, и др. М.: Просвещение Геометрия 7-9 / Л.С.

Подробнее