СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ"

Транскрипт

1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т.А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Екатеринбург 6

2 УДК 56 Методическая разработка предназначена для проведения тестового контроля знаний студентов дневной формы обучения. Сборник содержит варианты контрольных заданий по темам: матрицы, определители, системы линейных уравнений, векторная алгебра, прямая на плоскости, прямая и плоскость в пространстве, линии второго порядка. Приведены примеры решения тестовых задач и основные формулы раздела «Алгебра и аналитическая геометрия». Задания могут быть использованы в период обучения математике, а также при проверке остаточных знаний студентов на старших курсах. Эта разработка полезна для самостоятельной работы студентов «Сборник при тестовых подготовке заданий к тестовому по алгебре контролю. и аналитической геометрии» утверждён на заседании кафедры «Высшая математика» Уральского государственного университета путей сообщения, протокол от..6. Автор: Т.А. Волкова, доцент кафедры «Высшая математика» УрГУПС, канд. физ.-мат. наук Рецензент: Л.П. Мохрачева, доцент кафедры «Высшая математика» УГТУ-УПИ, канд. физ.-мат. наук Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 6 ОГЛАВЛЕНИЕ

3 ВВЕДЕНИЕ 4 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ... 6 ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ... РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА... ВАРИАНТЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ.4 ВВЕДЕНИЕ

4 Предполагается, что тесты - это короткие задачи с четкой простой формулировкой, быстрым решением и достаточно простым ответом. Цифры в заданиях подобраны так, чтобы расчёты были минимальными. Если метод решения тестовой задачи выбран правильно, на решение и оформление задачи студенту требуется не более трех-четырех минут. Выбор метода требует знания определений и формул, понимания сути вопроса. Достаточно часто встречается ситуация, когда в беседе на экзамене преподаватель с удивлением обнаруживает, что студент не может ответить на, казалось бы, самые простые вопросы. При этом студент может решать более сложные задачи и рассказывать что-то по теории. Система тестового контроля в течение семестра позволяет своевременно обратить внимание студентов на ключевые моменты изучаемых тем и добиться их лучшего понимания. Она нужна по тем разделам, которые должны быть усвоены достаточно прочно, перейти в навыки. Тесты являются одной из составляющих системы рейтингового обучения и контроля знаний. Тестовый контроль дополняет традиционные методы обучения, не отменяя Для их. подготовки к тестам нужны настойчивые и систематические занятия. Нужно уметь связывать свои знания по различным темам, помнить определения и формулировки теорем. При этом активно используются школьные знания по математике. Опыт показывает, что вначале хорошие ответы по тестам получаются лишь у единиц. Возможно, это объясняется тем, что задачи выглядят простыми, и кажется, что их решение не требует специальной подготовки. Похожие задачи разбирали на практических занятиях, студенты решали их дома. Отвечая на тест, студент обнаруживает, что за ограниченное время нужно найти оптимальный, самый короткий метод решения. Это удаётся тем, кто понимает суть вопроса. Приведём некоторые примеры выбора метода решения.. Вычисляя определители, нужно сразу обратить внимание на строки или столбцы с большим количеством нулей. Затем проверить, не является ли какой-нибудь ненулевой элемент единственным в своей строке или столбце. В таких случаях определитель вычисляется очень быстро.. Векторное произведение это вектор, перпендикулярный своим сомножителям. Об этом сразу нужно вспомнить, если мы ищем уравнение плоскости, параллельной двум заданным векторам. Векторное произведение поможет также найти направляющий вектор прямой, лежащей на пересечении двух плоскостей.. Для вывода уравнения высоты в треугольнике не плоскости нужно знать угловой коэффициент основания треугольника и формулу, связывающую угловые коэффициенты перпендикулярных прямых. При ответе на тестовые задачи полезно использовать черновик. Бланк черновика представляет собой лист бумаги, разбитый по числу задач на необходимое количество зон по две - три строчки. Выдерживается заданный порядок вопросов. Решение обычно требует очень небольших расчетов. Не разрешается выходить за границы зоны с данным номером, так как длинная запись говорит о неудачном выборе метода решения. Если ответ на вопрос не 4

5 говорит о неудачном выборе метода решения. Если ответ на вопрос не найден, соответствующее место остается пустым. Решив задачи, студент отмечает номера правильных вариантов ответов на бланке. С помощью шаблона преподаватель проверяет тест. Студенты знакомятся с результатами проверки. Если возникают вопросы, преподаватель отвечает на них. При этом удобно разъяснить ошибки студента, используя его черновик. Бланки ответов и бланки черновиков остаются у преподавателя. Черновик нужен и для того, чтобы исключить возможность выбора студентом случайного варианта решения. В данной методической разработке приведены двадцать вариантов тестов из десяти задач по линейной алгебре, векторной алгебре и аналитической геометрии. Используются следующие разделы.. Матрицы. Умножение матриц.. Вычисление определителей второго, третьего и более высокого порядка.. Обратная матрица. Матричные уравнения. 4. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. 5. Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. 6. Векторная алгебра в трехмерном пространстве. Декартов базис, координаты, длина вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между векторами, проекция вектора на ось. 7. Векторное произведение векторов, его определение и свойства. 8. Смешанное произведение векторов, его определение и свойства. 9. Прямая линия на плоскости. Виды уравнений прямой линии на плоскости. Угол между прямыми. Параллельность и перпендикулярность прямых. Расстояние от точки до прямой. Деление отрезка в заданном отношении. Уравнения медианы и высоты в треугольнике.. Плоскость в пространстве. Уравнения плоскости: а) через нормаль и точку, б) общее уравнение, в) уравнение в отрезках, г) через три точки, Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности.. Прямая линия в пространстве. Направляющий вектор прямой. Каноническое уравнение прямой. Прямая как пересечение двух плоскостей. Взаимное расположение двух прямых.. Эллипс. Большая и малая оси, фокусы эллипса. Эллипс со смещенным центром симметрии.. Гипербола. Действительная и мнимая оси, фокусы гиперболы. Асимптоты гиперболы. Гипербола со смещенным центром симметрии. 4. Парабола. Параболы со смещенной вершиной и осью симметрии. 5. Полярная система координат. Формулы перехода к декартовой системе. Цилиндрическая система координат. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 5

6 . Умножение матриц A B = C. Элемент c ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. a b a b a b K cij = i j i j i j. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Алгебраическое i j дополнение элемента aij содержит множитель ( ) и получается вычёркиванием из матрицы i-ой строки и j-го столбца. Для определителей третьего порядка можно пользоваться также правилом «треугольников».. Обратная матрица существует, если определитель основной квадратной матрицы отличен от нуля. В расчётах участвует A ~ - транспонированная матрица T из алгебраических дополнений. ~ T A = A, Δ = det A. Например: Δ = Ранг матрицы равен наивысшему порядку её миноров, отличных от нуля. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. 4. Формулы Крамера применяются при решении систем n линейных уравнений c n неизвестными. Главный определитель системы Δ при этом должен быть отличен от нуля. Определители Δ k получаются из главного определителя заменой k го столбца на столбец свободных членов. k =,, n. Δ Δ x =, K x = n n. Δ. Δ Δ Векторы. Координаты вектора a получаются, если из координат конца вектора В(x, у, z ) вычесть координаты начала А(х, y, z ). { x x, y y, z z }, a { a, a a } a = =,.. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат. a это произведение модулей векто- r = ( x x) ( y y) ( z z), a = a = a a a.. Скалярное произведение векторов b ров на косинус угла между ними. Скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответствующих координат векторов. Скалярное произведение равно нулю, если векторы ортогональны. a b = ab cos α, a b = ab ab ab, 6

7 a = a, ( a b ) = a abcosα b, a a b a b = a b, cos α =. ab 4. Векторное произведение a b - это вектор, перпендикулярный векторамсомножителям и образующий с ним правую тройку. Модуль вектора a b равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях. Векторное произведение равно нулю, если векторы a, b коллинеарны. с = absinα i j k a b = c : a c, b c, a b = a a a, a, b, c правая тройка b b b a a =, a b = b a, a b = Sпар, a b = a b Смешанное произведение трёх векторов a b c это число, равное скалярному произведению третьего вектора на векторное произведение первых двух векторов. Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c. Смешанное произведение равно нулю, если сомножители компланарны. a a a a bc = ( a b ) c, abc = b b b, abc = ± V. c c c Прямая линия на плоскости. В зависимости от условий задачи используется несколько видов уравнений прямой линии. К ним относятся а) общее уравнение прямой; б) уравнение прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b; в) уравнение прямой, проходящей через заданную точку (x, y ), с угловым коэффициентом k; г) уравнение прямой, проходящей через две точки (x, y ), (x, y ) д) уравнение прямой в отрезках a, b на осях координат. а) Ax By C =, б) y = kx b, в) y y = k(x x ), г) x x x x = y y y y x y, д) =. a b. Параллельность и перпендикулярность прямых линий связана с их угловыми коэффициентами k, k и параметрами общего уравнения. 7

8 8, = = k k L L k k L L, = = B B A A L L B B A A L L. Плоскость. Общее уравнение плоскости Ax By Cz D =. Коэффициенты при неизвестных являются координатами нормали к плоскости n = {A, B, C}.. Уравнение плоскости, если заданы нормаль и точка (x, y, z ) ) ( ) ( ) ( = z z C y y B x x A.. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (x, y, z ), (x, y, z ), (x, y, z ) записывается с помощью определителя. = z z y y x x z z y y x x z z y y x x. 4. Уравнение плоскости в отрезках на осях координат: = c z b y a x. 5. Вычисляя расстояние d от точки (x, y ) до прямой на плоскости и расстояние d ~ от точки (x, y, z ) до плоскости в пространстве, нужно подставить координаты точки в соответствующее нормальное уравнение и выбрать знак так, чтобы результат был положительным. B A C By Ax d o o ± =, ~ C B A D Cz By Ax d o o o ± =. Прямая линия в пространстве. Уравнение прямой линии можно записать с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей. Направляющий вектор прямой l вычисляется с помощью нормалей плоскостей, n n., : n n l D z C y B x A D z C y B x A L = = =.. Каноническое уравнение прямой содержит координаты точки (x, y, z ) и l - направляющего вектора прямой. z y x l z z l y y l x x = =.. Уравнение прямой, проходящей через две точки (x, y, z ) и (x, y, z ).

9 x x x x y = y y y z z =. z z 4. Деление отрезка AB в заданном отношении AM : MB = λ. Здесь A(x, y, z ), B(x, y, z ), M(x, y, z,). x λx x =, λ y λy y =, λ z λz z =. λ Линии второго порядка.уравнение эллипса с центром симметрии ( x ) фокусным расстоянием c. ( x x ) a ( y y) b =,, y, полуосями a, b (a > b) и a b = c..уравнение гиперболы с центром симметрии ( x ), y, действительной полуосью a, мнимой полуосью b, фокусным расстоянием c и асимптотами. ( x x ) ( y y) b =, a b = c, y y ( ) = ± x x. a b a.уравнения парабол с вершиной ( x, y ) и фокусным расстоянием p c =. ( y y) = p( x x) - ветви направлены вправо при p > и влево при p <. ( x x) = p( y y) - ветви направлены вверх при p > и вниз при p <. x = ρcosϕ ρ = x y Полярная система координат, = ρsinϕ y. y tgϕ = x x = ρcosϕ Цилиндрическая система координат y = ρsinϕ. z = z Здесь ρ полярная ось, φ угол, образованный радиус-вектором точки с положительным направлением полярной оси. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ 9

10 Вариант. Найти ранг матрицы. Раскрыть скобки и вычислить вектор: (( i k ) ( i - k )) i.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти тангенс угла В Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = i j, b = j k. 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,5) перпендикулярно плоскости x y z =. 6. Найти расстояние между фокусами линии x - 4y - 8y =. 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,,) параллельно векторам {,,} и {,,}. 8. Найти разложение вектора c = {; } по базису a = {; }, b ={; - }. 9. Перейти от декартовых координат точки М(, -, ) к цилиндрическим координатам (ρ, ϕ, z).. Найти a b, если a =, b =, угол между векторами a, b равен. Варианты ответов для теста. 4 {; ; -} {; ; } {; ; } {; ; } 5/ / x- =- y = z-5 x y 5z = x = y = -z x- = y- = 5-z x y - z = x y = x - y = x - y z = 8 a - b a b a b a b 9 (, π/4, ) (, π/4, ) (, π/4, ) (, - π/4, ), -,,,,,,, РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА

11 Рассмотрим пример решения тестового задания. В черновике нужно записать краткое решение задач. В бланке ответов отмечаем номера правильных вариантов ответов. Условие задачи Краткая запись решения. Найти ранг матрицы RgA =. Объяснение. С помощью элементарных преобразований получим нули среди элементов матрицы. Для этого из второго столбца вычтем элементы первого столбца, из третьего столбца вычтем элементы первого столбца. В новой матрице умножим второй столбец на, а результат сложим с четвёртым столбцом. Третий и четвёртый столбцы теперь состоят из нулей. Можно сделать вывод, что существует базисный минор второго порядка. Это может быть, например, минор в левом верхнем углу. Он отличен от нуля, так как равен -. Все миноры третьего порядка равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен двум. Условие задачи. Раскрыть скобки и вычислить вектор: (( i k ) ( i - k )) i. Краткая запись решения i i = j j = k k =. ( k i i k ) i = = ( k i ) i = j i = - k. Объяснение. Единичные координатные векторы i, j, k перпендикулярны друг другу и образуют правую тройку. Если на чертеже показать координатные векторы, то хорошо видно, что i j = k, j k = i, k i = j. Для любых векторов a, b верно также a b = - b a, a a =. В векторном произведении разрешается раскрывать скобки. При этом исчезнут слагаемые, где вектор умножается сам на себя. Меняя порядок сомножителей, не забываем сменить знак перед произведением на противоположный. Условие задачи Краткая запись решения

12 . В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти тангенс угла В. AB: y =.5 x, k =.5, BC: y =, k =. k k tgb = =.5 k k Объяснение. Используя уравнения прямой, проходящей через две точки, запишем уравнения прямых линий АВ и ВС. Преобразуем уравнения к виду y = k x b. Найдём угловые коэффициенты линий. Для АВ k, для ВС k. У горизонтали ВС угловой коэффициент равен нулю. Затем применим формулу для тангенса угла через угловые коэффициенты сторон, образующих этот угол. Условие задачи Краткая запись решения 4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = i j, b = j k. a b = i j k =, S = Объяснение. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах - сомножителях. Вычисляем векторное произведение через определитель и координатные векторы. Затем находим модуль вектора a b. Условие задачи 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,5) перпендикулярно плоскости x y z =. Краткая запись решения x y z 5 = =, x - = - y = z - 5. Объяснение. В общем уравнении плоскости коэффициенты при переменных x, y, z являются координатами вектора - нормали к плоскости. Следовательно, n = {, -, }. Вектор n является также направляющим вектором искомой прямой. Учтём координаты точки, через которую проходит прямая, и воспользуемся каноническим уравнением прямой в пространстве. Условие задачи Краткая запись решения

13 6. Найти расстояние между фокусами линии x - 4y - 8y =. x - 4(y ) x ( y ) = - 4, =, 4 c = 4, с = 5. Объяснение. Выделим полный квадрат в уравнении линии. x - 4(y у - ) =, x - 4(y) = - 4. Эта линия будет гиперболой, так как коэффициенты при квадратах переменных x и y имеют разные знаки. Чтобы увидеть значения полуосей гиперболы a и b, нужно преобразовать уравнение так, чтобы справа стояла единица. Теперь ясно, что a = 4, b =. Для гиперболы a b = c. Расстояние между фокусами равно с. Условие задачи 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,,) параллельно векторам {,, } и {,, }. Краткая запись решения i j k n = =, (x-) y =, x y =. Объяснение. Нормаль плоскости перпендикулярна заданным векторам. Следовательно, нормаль направлена вдоль их векторного произведения. Вычислим векторное произведение через определитель и координатные векторы. Теперь нам известны нормаль и точка на плоскости. Запишем соответствующее уравнение плоскости nx ( x x ) n y ( y y) nz ( z z) =. Условие задачи Краткая запись решения 8. Найти разложение вектора c = {5; } по базису a = {; }, b = {; - }. c = a х b у 5 = x y, x y = 5 x =,. x y = y = Объяснение. Векторы a, b не параллельны и могут служить базисом. Нужно найти неизвестные координаты х, у для вектора c в данном базисе. Для этого приравняем соответствующие элементы векторов c и a х b у. Решая систему уравнений, находим координаты разложения по базису. Условие задачи Краткая запись решения

14 9. Перейти от декартовых координат точки М(-,, ) к цилиндрическим координатам (ρ, ϕ, z). ρ = =, tg ϕ =. Угол ϕ находится во второй четверти ϕ = π/4. z =. M(, π/4, ). Объяснение. Используем формулы перехода от декартовых координат к цилиндрическим. Для ρ и ϕ формулы перехода такие же, как в полярных координатах. ρ = x y, tg ϕ =. Уточняем значение угла ϕ, заметив, что x y x = - <, y = >. Угол находится во второй четверти, поэтому ϕ = π/4. Координата z в цилиндрических координатах остаётся такой же, как и в декартовых координатах. Условие задачи Краткая запись решения. Найти a b, если a =, b =, угол между векторами a, b равен. ( a b ) = a a a b b b = = 4 cos O = = 4 4 ( ) =, a b =. Объяснение. Скалярный квадрат любого вектора равен квадрату модуля. a a = a. Найдём скалярный квадрат вектора a b. Раскрывая скобки, пользуемся свойством a b = b a. Скалярное произведение a b равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними, cos O =. Ответ:. 4

15 Результаты решения варианта отметим в бланке ответов. Здесь приведены также шаблоны для проверки решений варианта и варианта. Рекомендуется самостоятельно решить эти варианты и проверить свои знания. Бланк ответа на тест с номерами найденных решений. ШАБЛОНЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ РЕШЕНИЙ Номер варианта Группа Фамилия Отметьте номер правильного ответа 4 * * * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * Вариант Номер правильного ответа 4 * * * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * * Вариант Номер правильного ответа 4 * * * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * * ВАРИАНТЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ 5

16 Вариант. Найти определитель. Раскрыть скобки и вычислить вектор (( i k ) ( i - k )) j.. 6. Перейти от декартовых координат, точки М( ) к полярным координатам (ρ, ϕ). 7. Найти угловые коэффициенты асимптот линии (x - ) - 4(y ) = 4.. В треугольнике с вершинами А(,), В(-4,), С(-,5) найти уравнение высоты АК. 8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,) перпендикулярно векторам {, -, }, {,, }. 4. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a = i j, b = k. 9. Найти высоту из вершины М для пирамиды А(,,), В(,,), С(-,,), М(,,). 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,-,) перпендикулярно вектору {,4,-}.. Найти координаты фокуса линии y - 4x 4y 4 =. Варианты ответов для теста i j -k x - y = x - 4y = x 4y = 4x y = 4 / /4 / 5 4x - y z = x 4y - z = x - 4y - z = x - 4y z = 6 (;.5π ) (;.5 π ) (; π ) (;.75 π ) 7 ± ± / ±.5 ± 8 x - = y = - z x = y = z x - = - y = - z x - = y = z - 9 4,5 (, ) (, -) (, -) (-, 4) Вариант 6

17 . Найти ранг матрицы. Найти вектор c так, чтобы векторы a, b, c образовали базис. a = i j, b = k.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти уравнение медианы АМ. 4. Найти объем параллелепипеда,. построенного на векторах a, b, c, если a = i j, b = k, c = i - k. 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,-,) параллельно плоскости ХОZ. 6. Найти расстояние между фокусами линии x 4y =. 7. Найти a - b, если a =, b =, угол между a и b равен Записать уравнение линии x y = в полярных координатах. 9. Найти косинус угла между плоскостями х у - z = и х у z =.. Найти расстояние от начала координат до прямой х 4у =. Варианты ответов для теста 4 {, -, } {,, } {,, } {,, } x - y = x = y = x y = x y = x - y = y = x z = - 6 / / 5 / 7 8 ρ sinϕ = ρ cosϕ = ρ cos ϕ = ρ cosϕ = 9 / / /6-5 Вариант 7

18 . Найти произведение матриц АВ A = =, B.. Найти единичный вектор c, ортогональный векторам a = i j и b = k.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти тангенс угла А. 4. Найти объем пирамиды с вершинами А(,,), В(,,), С(,-,), D(,,). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,4) перпендикулярно плоскости x - z =. 6. Найти синус угла между прямой x = y = z и плоскостью x - y - z =. 7. Найти координаты центра симметрии линии x - y - 8x - y 4 =. 8. Вычислить расстояние от точки М(,,-) до плоскости x - 4z =. 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,-,) параллельно векторам {,,} и {,,}.. Найти разложение вектора {; } по базису a = {; -}, b = {; }. Варианты ответов для теста 4 {; ; }/ 5 {-; -; }/ 5 {; -; }/ 5 {; -; }/ x y x y x y x y = = 4z = = z4 = = 4z = = 4z 6 /9 / / 7 (- 4, ) (4, -) (4, ) (, -) 8 / / 9 y = x z - = y = x = a - b a b a b a b Вариант 4 8

19 . Решить матричное уравнение X =.. Найти параметр р так, чтобы векторы {, p, }, {,, }, {,,-} были компланарны.. Найти уравнение серединного перпендикуляра отрезка А(,), В(,). 4. Найти площадь четырехугольника А(,,), В(,,), С(,,), D(,,). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,) перпендикулярно плоскости x - y z =. 6. Найти координаты точки М, если она лежит на отрезке АВ и АМ = МВ. А(,5), В(6,). 7. Найти расстояние от точки А(,,-) до плоскости х у - z =. 8. Найти косинус угла между плоскостями у - z = и х z =. 9. Перейти от декартовых координат точки М(,, ) к цилиндрическим координатам (ρ,ϕ,z).. Прямая линия лежит на пересече нии плоскостей x - y = и z =. Найти направляющий вектор этой прямой. Варианты ответов для теста x y = x - y = x y = x y = x = -y = z-4 x- = y = z-4 x- = -y = z4 x- =-y = z-4 6 (.5; ) (4; ) (4.5; ) (4.5; ) 7 7 / / 4 7 / 4 / 7 8 / -/ / -/5 9 (, π/4, ) (, π/4, ) (, π/4, ) (, - π/4, ) {,, } {,, } {, -, } {-,, } Вариант 5 9

20 . Найти определитель Перейти от декартовых координат, точки М( ) к полярным координатам (ρ, ϕ).. Раскрыть скобки и вычислить вектор (( i k ) ( j - k )) j.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти уравнение высоты АК. 4. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a = i j, b = j. 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,-,) перпендикулярно вектору {,,-}. 7. Найти угловые коэффициенты асимптот линии 8(x) - 4(y-) = Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,) перпендикулярно векторам {,, -}, {,, }. 9. Найти высоту из вершины М для пирамиды А(,,), В(,,), С(,,), М(,,).. Найти координаты фокуса линии y - 4x y =.. Варианты ответов для теста {,, } {,, - } {-,, - } {,, - } y = x y = - x y = - 4x y = 4x x y - z - = x - y - z = x y - z = x y z = 6 ( ; - π /6) ( -; 5π /6) ( -; 5π /) (; 5π /6) 7 ±, 4 ±, x- = y = z- x = y = z x- = - y = -z x- = -y = z- 9 / (, ) (, -) (, ) (, -) Вариант 6

21 . Найти ранг матрицы. 6. Найти расстояние между фокусами линии x - 4y =.. Найти вектор c так, чтобы векторы a, b, c образовали базис. a = i - j, b = i - k.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти уравнение высоты АМ. 4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, если a = i - j, b = k, c = j k. 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,,) параллельно плоскости YОZ. 7. Найти a - b, если a =, b =, угол между векторами a, b равен Записать уравнение линии x y = в полярных координатах. 9. Найти косинус угла между плоскостями х у - z = и х у z =.. Найти расстояние от начала координат до прямой х 4у =. Варианты ответов для теста {,, } {,, } {-,, - } {-, -, } x - 4y = 4x y = x - 4y = 4x - y = x y =5 x = y z = 4 y - z = 6 (± ; ) 5 (± 5 ; ) ρ = ρ = ρ cos ϕ = ρ cos ϕ = 9 / /6 / 5 4 Вариант 7

22 . Найти произведение матриц АВ A = =, B.. Найти единичный вектор c, ортогональный векторам a = i - j и b=k -i.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти тангенс угла В. 4. Найти объем пирамиды с вершинами А(,,), В(,,), С(,-,), D(,-,). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,) перпендикулярно плоскости x z =. 6. Найти синус угла между прямой x = y = z и плоскостью x - y z =. 7. Найти координаты центра симметрии линии x y - 8x y =. 8. Вычислить расстояние от точки М(,,) до плоскости x у - 4z = Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,-,) параллельно векторам {,,} и {,,}.. Найти разложение вектора {; } по базису a = {; -}, b = {; }. Варианты ответов для теста 7 4 {; ; }/ 6 {; ; }/ 4 {; ; -}/ 4 {; -; }/ 4 / 5/ 5/ /5 4-5 x y z x y z x y z x y z = = = = = = = = 6 / /6 / /9 7 (; ) (4; -) (4; ) (; -) 8 /4 7/ 7/ 5 7/ 9 9 x y = x y = x y = x y = a - b a - b - a b a b Вариант 8

23 . Решить матричное уравнение X =.. Найти параметр р так, чтобы векторы {, -p, }, {,, }, {,,-} были компланарны.. Найти уравнение серединного перпендикуляра отрезка А(,), В(4,4). 4. Найти площадь четырехугольника А(,,), В(,,), С(,,), D(,,). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,) перпендикулярно плоскости x - y z = Найти координаты точки М, если она лежит на отрезке АВ и АМ = МВ. А(,5), В(5,). 7. Найти расстояние от точки А(,,-) до плоскости х у z 4 =. 8. Прямая линия лежит на пересечении плоскостей x y = и z =. Найти направляющий вектор этой прямой. 9. Найти косинус угла между плоскостями х - z = и х у z =.. Перейти от декартовых координат точки М(,, ) к цилиндрическим координатам (ρ, ϕ, z). Варианты ответов для теста x y = 7 x y = 5 x - y = 5 x y = y z y z y z y z x = = x = = x = = x = = 6 (.5;.5) (; ) (; ) (; 4) 7 /5 5/ 5 8 {,, } {, -, } {,, } {, -, } 9 / /4 / 6 (, - π/4, ) (, π/4, ) (, π/4, ) (-, π/4, ) Вариант 9.

24 . Найти определитель. Раскрыть скобки и вычислить вектор ( i k ) ( i - j ).. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти уравнение высоты CК. 4. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a = i j, b = i - j Перейти от декартовых координат точки М(, ) к полярным координатам (ρ, ϕ). 7. Найти угловые коэффициенты асимптот линии (x - ) 4(y ) = Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,) перпендикулярно векторам {,, }, {,, }.. Найти высоту из вершины М для пирамиды А(,,), В(,,), С(,,), М(,,4). 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,-,) перпендикулярно вектору {,,-}.. Найти координаты фокуса линии y 4x 4y 4 =. Варианты ответов для теста {; ; } {; ; -} {; ; -} {-; ; } x - = x y = x y = y - = xy-z5= xy-z5= xy-z-5= xy-z5= 6 (; π /) (; π /) (; - π /) (; - π /) 7 асимптот нет ± ± ±/ 8 - x = y = z x = y = z - x = y = - z - x = - y = z - 9 / (-, -) (, -) (, ) (, -) Вариант 4

25 . Найти ранг матрицы. Найти вектор c так, чтобы векторы a, b, c образовали базис. a = i k, b = j k.. 6. Найти расстояние между фокусами линии x x 4y =. 7. Найти a - b, если a =, b =, угол между векторами a, b равен.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,4) найти уравнение средней линии, параллельной АС. 4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, если a = j k, b = - i k, c = j - k. 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,-,) параллельно плоскости ХОY. 8. Записать уравнение линии x - y = в полярных координатах. 9. Найти косинус угла между плоскостями х у - z = и х у z =.. Найти расстояние от начала координат до прямой х - 4у = 5. Варианты ответов для теста 4 {- 4; ; -} {4; - ; } {4; ; } {-; -; } x y - = x y = x - y - = x y - = 4 5 z = x y = x - y = x y = 6 / / 7 / 8 ρ cosϕ = ρ cosϕ = ρ cos ϕ = ρ cosϕ = 9 / 5 / / Вариант 5

26 . Найти произведение матриц АВ A = =, B.. Найти единичный вектор c, ортогональный векторам a = i k и b = j k.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти тангенс угла С. 4. Найти объем пирамиды с вершинами А(,,), В(,,), С(,,), D(,,). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,5) перпендикулярно плоскости x у - z =. 6. Найти синус угла между прямой x = y = z и плоскостью x y - z =. 7. Найти расстояние между фокусами линии x - y - 8x - y - =. 8. Вычислить расстояние от точки М(,,) до плоскости x у - 4z =. 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,,) параллельно векторам {,,} и {,,}.. Найти разложение вектора {5; } по базису a = {; -}, b ={; }. Варианты ответов для теста 4 {; ; }/ {-; ; }/ {; -; }/ {; ; -}/ / 5/ 7/ 9/ x y x y x y x y = = 5 z = = 5 z = = 5z = = 5 z 6 / /6 /9 / / 4 / 4 4/ 4 9 x z = x y = x z = x y = a b a - b a b a - b Вариант 6

27 . Решить матричное уравнение X =.. Найти параметр р так, чтобы векторы {,, }, {,, }, {, p,-} были компланарны.. Найти уравнение серединного перпендикуляра отрезка А(,6), В(,). 4. Найти площадь четырехугольника А(,,), В(,,), С(,,), D(,,). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(4,,) перпендикулярно плоскости y z = Найти координаты точки М, если она лежит на отрезке АВ и АМ = МВ. А(,5), В(6,). 7. Найти расстояние от точки А(,,4) до плоскости х - у - z 5 =. 8. Найти косинус угла между плоскостями у - z = и х у z =. 9. Перейти от декартовых координат точки М(, -, ) к цилиндрическим координатам (ρ, ϕ, z).. Найти координаты фокуса линии y x 4y 4 =. Варианты ответов для теста x y 5 = x - y 5 = x - y 7 = x 4y 7 = x 4 y z x y z 4 x4 y z x y z = = = = = = = = 4 6 (4, 7/) (4, /7) (, 5/) (4, 7/) 7 / 4 -/ 4 / 4 / 4 8 / 5 / 5 4/ 5 / 5 9 (, - π/4, ) (, π/4, ) (, π/4, ) (, π/4, ) (6, ) (-6, -) (, -) (-, -) 5 5 Вариант 7

28 . Найти определитель Перейти от декартовых координат точки М(, ) к полярным координатам (ρ, ϕ).. Раскрыть скобки и вычислить вектор ( i j ) ( i j ). 7. Найти угловые коэффициенты асимптот линии 8(x ) - 4(y - ) = 6.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти уравнение высоты CК. 8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,) перпендикулярно векторам {,, -}, {,, }. 4. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a = i j, b = k - i. 9. Найти высоту из вершины М для пирамиды А(,,), В(,,), С(,,), М(,,). 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,4,6) перпендикулярно оси OZ.. Найти координаты фокуса линии y 4x y =. Варианты ответов для теста {; -; } {; ; } {; -; } {; -; } x - y = x - y = x y - = x - y - = 4 / 6 / 6 / 6 /6 5 x = y = 4 x y =6 z = 6 6 (, π /) (, π ) ( π /, ) ( π, ) 7 ± ± ± ± 8 - x = y = z x = y = z - x = y = - z x - = - y = z - 9 / (-, -) (, ) (-, ) (, -) Вариант 4 8

29 . Найти ранг матрицы. 6. Найти расстояние между фокусами линии x 4y - 8y =.. Найти вектор c так, чтобы векторы a, b, c образовали базис. a = j k, b = - i k.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти уравнение биссектрисы угла А. 4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, если a = i - j, b = - j k, c = i k. 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,-,) параллельно плоскости x z =. 7. Найти a - b, если a =, b =, угол между векторами a, b равен. 8. Записать уравнение линии (x - y ) х = в полярных координатах. 9. Найти косинус угла между плоскостями х z = и х у =.. Найти расстояние от начала координат до прямой 4х у =. Варианты ответов для теста {; 4; } {; 4; -} {; -4; } {-; 4; } x - y = x y = y - x = x y = x - z = x = y = - x z = 6 / / / ρ cosϕ = ρ cosϕ = ρcosϕ cosϕ = ρ cosϕ cosϕ= Вариант 5 9

30 . Найти произведение матриц АВ A = =, B.. Найти единичный вектор c, ортогональный векторам a = j k и b = i - j.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти тангенс угла А. 4. Найти объем пирамиды с вершинами А(,,), В(4,,), С(,,), D(,,). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,4) перпендикулярно плоскости x -yz =. 6. Найти синус угла между прямой x = y = z и плоскостью x y - z =. 7. Найти координаты правого фокуса линии x - y 8x = Вычислить расстояние от точки М(,,-) до плоскости x - 4z =. 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-,,) параллельно векторам {,,} и {,,}.. Найти разложение вектора {7; } по базису a = {; -}, b = {; }. Варианты ответов для теста {; ; }/ 6 {; ; -}/ 6 {; -; -}/ 6 {-; ; }/ 6 7/4 4/7-7/4-4/ x = - y = (z-4) x- = -y = (z-4) x- = y = (z-4) x- = -y = (z-4) 6 /9 / /6 7 (4, ) (, 4) (, ) (, ) 8 /5 /5 9 z = x y = x = x y = 4a b a 4 b a b a - b Вариант 6. Решить матричное уравнение 6. Найти координаты точки М, если

31 X =. она лежит на отрезке АВ и АМ = 5МВ. А(,5), В(6,).. Найти параметр р так, чтобы векторы {,, }, {,, }, {,, p} были компланарны.. Найти уравнение серединного перпендикуляра отрезка А(,), В(4,). 4. Найти площадь четырехугольника А(,,), В(,,), С(,,), D(,,). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,) перпендикулярно плоскости z - y = Найти расстояние от точки А(,,4) до плоскости х =. 8. Найти косинус угла между плоскостями х - z = и х у z =. 9. Перейти от декартовых координат точки М(,, ) к цилиндрическим координатам (ρ, ϕ, z).. Вычислить проекцию вектора a ={,, } на вектор b ={- 4,, }. Варианты ответов для теста x - y = 4 x - y = 4 x y = 4 x y = ( 8 )/ 5 x y x z x z x z = = = y = = y = = y = 6 (4, /) (4, 5/) (5, ) (5, 5/) 7 8 / 5 / 5 - / 5 / 5 9 (, - π/6, ) (, π/6, ) (, π/, ) (, π/6, ) - 5 Вариант 7

32 . Найти определитель. Раскрыть скобки и вычислить вектор (( i k ) ( i - k )) i.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти уравнение высоты ВК Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = i j, b = j k. 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,-,) перпендикулярно оси ОХ. 6. Перейти от декартовых координат точки М(-, ) к полярным координатам (ρ, ϕ). 7. Найти угловые коэффициенты асимптот линии (x - ) - 4(y ) = Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,) перпендикулярно векторам {, -, }, {,, }. 9. Найти высоту из вершины М для пирамиды А(,,), В(,,), С(,,), М(,,).. Найти координаты фокуса линии y - 8x y =. Варианты ответов для теста {; ; -} {; ; } {; ; } {; ; } x - y = x y = x - y = x y = x y = x = y z = y - z = 6 (, π /4) (, - π /4) (, π /4) (, π /4) 7 ± 4 ± ±.5 асимптот нет 8 - x = y = z x = y = z - x = y = - z x = - y = - z (, -) (4, -) (, ) (, -) Вариант 8

33 . Найти ранг матрицы. Найти вектор c так, чтобы векторы a, b, c образовали базис. a = j k, b = k - i Найти расстояние между фокусами линии x - 4y - 8y =. 7. Найти a - b, если a =, b =, угол между векторами a, b равен 45.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти уравнение медианы СМ. 4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, если a = k j, b = k - j, c = i - k. 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,,) параллельно плоскости y z = Записать уравнение линии y x y = в полярных координатах. 9. Найти косинус угла между плоскостями х z = и у z =.. Найти расстояние от начала координат до прямой х - 4у =. Варианты ответов для теста 8 4 {; -; } {; ; } {-; ; } {; ; } x y = 5 x - y = x y = 5 x y = x y = x z = x - y = y z = ρ sinϕ = ρ cosϕ = ρ sinϕ = ρ sinϕ = Вариант 9. Найти произведение матриц АВ 6. Найти синус угла между

34 A = =, B.. Найти единичный вектор c, ортогональный векторам a = i - j и b = j k.. В треугольнике с вершинами А(,), В(,), С(-,) найти тангенс угла В. 4. Найти объем пирамиды с вершинами А(,,), В(,,), С(,-,), D(,,). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,5) перпендикулярно плоскости x y - z =. прямой x = y = z и плоскостью x - y z =. 7. Найти длину действительной оси линии x - y - 4x =. 8. Вычислить расстояние от точки М(,,) до плоскости x -у - z = Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(,,) параллельно векторам {,,} и {,,}.. Найти разложение вектора {9; } по базису a = {; -}, b = {; }. 4 Варианты ответов для теста {-; -; 6}/ 46 {-; -; 6}/ {-; -; }/ {; ; 6}/ 5/ / 4 5/ 4 5 x- = y- = z-5 x y 5z = x = y = -z x- = y- = 5-z 6 / / 6 4/ 9 / / 5 5 / 4/ 5 / 7 9 x z = x y = x z = x y = 4 a 5 b 5 a - b a 4 b a - b Вариант. Решить матричное уравнение 6. Найти координаты точки М, если она лежит на отрезке АВ и 4

35 X =.. Найти параметр р так, чтобы векторы {,, }, {,, }, {p,, } были компланарны.. Найти уравнение серединного перпендикуляра отрезка А(,), В(,4). 4. Найти площадь четырехугольника А(,,), В(,,), С(,,), D(,,). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(,,) перпендикулярно плоскости y =. АМ = МВ. А(,5), В(6,). 7. Найти расстояние от точки А(,,-) до плоскости х у - z =. 8. Найти косинус угла между плоскостями х у - z = и х у z =. 9. Перейти от декартовых координат точки М(-,, ) к цилиндрическим координатам (ρ, ϕ, z).. Вычислить проекцию вектора a ={,, } на вектор b = {-,, 4}. Варианты ответов для теста 4 / / /4 /5 x y = 5 x y = 5 x y = 5 x - y = 5 4 / 6 / x y z = 8 x y z x z x z = = = y = = y = 6 (.4;.4) (; ) (; ) (.6;.6) / 4 / 4 /4 8 / /4 /5 / 9 (, π/4, ) (, π/4, ) (, π/4, ) (, 5π/4, ) - Татьяна Александровна Волкова 5

36 Сборник тестовых заданий по алгебре и аналитической геометрии Методическая разработка по математике для студентов всех специальностей дневного отделения Редактор С.В. Пилюгина 64, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66, УрГУПС Редакционно-издательский отдел Подписано в печать Бумага писчая. Формат 6х84 /6. Усл. п.л. Уч-изд. л. Тираж экз. Цена договорная. Заказ 6

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ!УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» В И Белугин И Н Пирогова Э Е Поповский Часть Екатеринбург Федеральное

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое

Подробнее

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Элементы линейной алгебры.

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Элементы линейной алгебры. МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВОХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РФ Волгоградский государственный медицинский университет Медико-биологический факультет Кафедра математики и информатики М.В.Ларина Аналитическая геометрия

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее