ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А."

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008

2 Рецензенты: кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики Ростовского военного института РВ кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры алгебры и дискретной математики ЮФУ Задорожная Н. С. Кряквин В. Д. Аннотация Решебник по линейной алгебре предназначен для самостоятельной работы студентов специальностей Физика и Радиофизика. Решебник содержит описание основных методов решения задач по линейной алгебре, конкретные примеры с методическими ссоветами, а также задания для самостоятельного решения.

3 Содержание Учебный модуль. Системы линейных уравнений 4. Примеры для самостоятельного решения Учебный модуль. Определители. Примеры для самостоятельного решения Учебный модуль. Алгебра матриц. Основные свойства операций над матрицами Примеры для самостоятельного решения Учебный модуль 4. Линейные пространства 4. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора Правила сложения векторов и умножения вектора на число в координатах Связь координат вектора в двух разных базисах. Матрица перехода Линейные подпространства Ранг матрицы Линейные оболочки Множество решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений (ФСР) Примеры для самостоятельного решения Учебный модуль 5. Евклидовы пространства 5 5. Примеры для самостоятельного решения Учебный модуль 6. Линейные операторы в конечномерном пространстве Матрица линейного оператора. Ядро, образ оператора Собственные числа и собственные векторы линейного оператора Линейные операторы с симметрическими матрицами в евклидовых пространствах Примеры для самостоятельного решения Учебный модуль 7. Квадратичные формы Примеры для самостоятельного решения Список литературы 75

4 Учебный модуль. Системы линейных уравнений Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (СЛУ): a x + a x a n x n = b a x + a x a n x n = b () a m x + a m x a mn x n = b m, где a ij коэффициенты, b i свободные члены. Приведем основные определения:. Решением СЛУ называют упорядоченный набор n чисел (x 0, x 0... x 0 n), при подстановке которых в каждое из уравнений вместо соответствующих неизвестных получим верные равенства;. СЛУ называют совместной, если есть хотя бы одно решение, и, несовместной, если нет решений (множество решений пусто);. совместную СЛУ называют определенной, если она имеет единственное решение; 4. совместную СЛУ называют неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений; 5. две СЛУ с n неизвестными называют равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают. Рассмотрим один из вариантов метода Гаусса решения СЛУ. Он основан на элементарных преобразованиях (ЭП) СЛУ, которые приводят к равносильным СЛУ: ЭП : перемена местами двух уравнений СЛУ; ЭП : умножение обеих частей уравнения на число λ 0; ЭП : прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого уравнения, умноженных на некоторое число. Так как ЭП фактически выполняются над коэффициентами и свободными членами уравнений, то эти преобразования принято выполнять над строками таблицы (матрицы СЛУ): 4

5 a a... a n b a a... a n b расширенная матрица СЛУ, a m a m... a mn b m a a... a n a a... a n матрица СЛУ a m a m... a mn Будем символически записывать ЭП: ЭП c i c j ; ЭП λc i ; ЭП c i + λc j Идея метода Гаусса последовательное исключение неизвестных из всех уравнений, кроме одного, с помощью ЭП так, чтобы привести систему к такой эквивалентной системе уравнений, решение которой легко найти. Рассмотрим этот метод на примерах. Пример. Решить систему линейных уравнений: x x + 5x = 5; 6x + x 5x = ; x 6x + 0x =. Сначала запишем расширенную матрицу системы: Метод Гаусса состоит из шагов. На первом шаге выберем, например, неизвестное x, которое будем исключать из всех уравнений, кроме первого. Коэффициент a = назовем ведущим (ведущим может быть любой ненулевой элемент основной матрицы СЛУ) и выполним следующие ЭП: 5 5 c + c c c На втором шаге выберем, например, неизвестное x, которое исключим из всех уравнений, кроме второго. Коэффициент a = назовем ведущим и выполним 5

6 следующие ЭП: c c c c На третьем шаге исключим неизвестное x из всех уравнений, кроме третьего. Коэффициент a = 5 назовем ведущим и выполним следующие ЭП: 0 0 c + c Умножим первую строку на, вторую на, третью на 5, получим Восстановим по расширенной матрице СЛУ: x = x = x = 8 5 Итак, СЛУ имеет единственное решение. Важное замечание. В каждой ненулевой строке матрицы СЛУ ведущий элемент выбирается один раз. Метод Гаусса считаем завершенным, если в каждой ненулевой строке основной матрицы СЛУ был выбран ведущий элемент и с помощью ЭП в столбце с ведущим элементом все остальные элементы стали равными нулю. Пример. Решить систему линейных уравнений: x x x x 4 = 0; x x + x + x 4 = ; x + x x + x 4 = ; x x + x + x 4 = 4. 6

7 Запишем расширенную матрицу СЛУ: 0 4 Выберем ведущий элемент a = ( 0) и сделаем ЭП: c c c + c c 4 c Выберем ведущий элемент a = ( 0) и сделаем ЭП: c c 0 c 4 0 c 4 c Выберем ведущий элемент a 4 = ( 0) и сделаем ЭП: c 7c c 0 0 c c 4 c + c Выберем ведущий элемент a 4 = ( 0) и сделаем ЭП: c + c c 4 + c x =, x =, x = 0, x 4 =. СЛУ имеет единственное решение. Пример. Решить систему линейных уравнений (зададим СЛУ расширенной матрицей): c 0 4 c c c СЛУ : c c c c c 4 c

8 Четвертая строка матрицы соответствует уравнению 0 x + 0 x + 0 x + 0 x x 5 =, которое не имеет решений. Следовательно, СЛУ несовместна. Пример 4. Решить систему линейных уравнений : c c c c Запишем СЛУ, соответствующую этой матрице коэффициентов: 5x x + x =, x + x 4 =. c + c c +c c Неизвестные x, x 4 назовем главными, а остальные x, x свободными. Выразим главные неизвестные через свободные: x = 5x + x, x 4 = x +. Если теперь задать конкретные значения свободных неизвестных, например, x =, x =, и, подставить их вместо x, x в найденные уравнения, то получим x =, x 4 =. Так как свободные неизвестные могут принимать любые числовые значения, то множество всех решений СЛУ, называемое общим решением, можно записать в виде: x = α, x = 5α + β, x = β, x 4 = β +, а решение x =, x =, x =, x 4 = называют частным. Замечание. Так как ведущие коэффициенты можно выбирать различным образом, то и вид общего решения может быть разным. 8

9 Пример 5. Решить однородную систему линейных уравнений (ОСЛУ), т.е. такую СЛУ, у которой все свободные члены равны нулю: x x + x = 0; x + x x = 0; 4x + x + x = 0. Заметим, что ОСЛУ всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение, в данном примере x = x = x = 0. Решаем ОСЛУ методом Гаусса. Так как при любых ЭП в столбце свободных членов стоят нули, то обычно столбец свободных членов не выписывают. ОСЛУ : 7 0 c + c 4 0 c + c 4 0 c c c 5c c 7c 0 0 c ( ) 4 0 c 4c 0 0 = ОСЛУ имеет единственное решение x = x = x = 0. Пример 6. Решить ОСЛУ: ОСЛУ : x + x x + x 4 = 0; x + x = 0; x 5x + x 4 = 0. c c = 0 0 c c c + c x = x ; x = 5x x 4 ; x св. неизв.; x 4 св. неизв. Итак, ОСЛУ имеет бесчисленное множество решений, зависящее от двух параметров α и β. Общее решение ОСЛУ: x = α, x = 5α β, x = α, x 4 = β. 9

10 Пример 7. Решить ОСЛУ: ОСЛУ : 0 0 x + x x + x 4 x 5 = 0; x x + x 4 = 0. c + c = ОСЛУ имеет бесчисленное множество решений, зависящее от трех параметров α, β, γ. Общее решение: x = α, x = α + γ, x = β, x 4 = γ, x 5 = 5α β + 5γ.. Примеры для самостоятельного решения Решить СЛУ методом Гаусса: x. + x =, x + x =. Ответ: единственное решение: x =, x =. x. x =, 6x 4x = 0. Ответ: решений нет. 4x. + 6x = 4, x + x =..4 Ответ: бесконечное множество решений, общее решение: x = x, x свободное неизвестное. x + x + x = 4, x + x = 0, x + x + x = 7. Ответ: единственное решение: x =, x =, x =. 0

11 x x + x =,.5 x + x x =, x 6x + 4x = 5. Ответ: решений нет. x x + x =,.6 x + x + x =, x + x + 4x =..7.8 Ответ: бесконечное множество решений, общее решение: x = 5 x, x = 4 5 x, x свободное неизвестное. x + x x = 0, x + x + x = 0, 4x + 5x + x = 0. Ответ: единственное нулевое решение: x = x = x = 0. x + x x x 4 = 0, x x + x x 4 = 0, 4x + x 7x 4 = 0. Ответ: бесчисленное множество решений, зависящее от двух параметров (ответ неоднозначен).

12 Учебный модуль. Определители Основные определения: Определителем квадратной матрицы второго порядка называют число: a a a a = a a a a Определителем квадратной матрицы третьего порядка называют число: a a a a a a = a a a a a a a a a a a a a + a a a a a Определителем квадратной матрицы A n го порядка (определителем n го порядка) называют число: a a... a n a A = a... a n n = ( ) +i a i M i, i= a n a n... a где M i определитель матрицы (n )-го порядка, полученный из данной матрицы n-го порядка вычеркиванием первой строки и i-го столбца. M i называют дополнительным минором элемента a ij матрицы A. Аналогично определяют дополнительный минор M ij a ij матрицы A. Алгебраическим дополнением элемента a ij матрицы A называют число A ij = ( ) i+j M ij Для вычисления определителей используют, кроме определения, две теоремы о разложении определителя по элементам i- й строки (j-го столбца): Теорема. Теорема. A = A = n a ij A ij, i n. j= n a ij A ij, j n. i=

13 Рассмотрим примеры. Вычислить определители:. = ( ) 5 = = = = ( ) 5 = = ( ) ( 8) ( ) = = ( ) = 0+4+ ( ) = = 4 Вычислим определитель, используя теорему о разложении определителя по второй строке: = ( ) ( )+ 5 + ( ) ( )+ 7 4 = = (7 0) (44 ) = + 46 = Найти дополнительный минор M 4 и алгебраическое дополнение A A =, M 4 = = 5 5 Разложим определитель по второму столбцу: = ( ) ( ) ( )+ = 9 ( 7) =. 4 A 4 = ( ) 4+ 0 = 4

14 Разложим определитель по первому столбцу: = ( ) ( ) ( )+ = = ( (4 ) + ( )) = ( ) = = Разложим определитель по второму столбцу, так как в нем только один элемент отличен от нуля, то получим одно ненулевое слагаемое: 0 = 4 ( ) + 5 = 0 Разложим определитель по третьему столбцу: = 4 5 ( ) + = 0 ( 6) = 80. Из примеров видно, что применять теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) эффективно, если в строке (столбце) только один элемент отличен от нуля. Этого всегда можно добиться, используя следующие свойства определителей: если к какой-либо строке c i матрицы прибавить другую строку c j, умноженную на некоторое число (c i := c i + λc j ), то определитель не изменится, если какую-либо строку матрицы A (c i ) умножить на некоторое число (c i := λc i ), то определитель также умножится на это число (λ A ), если поменять местами любые две строки матрицы A, то определитель изменит знак ( A ). Аналогичные свойства имеют место для столбцов. Рассмотрим примеры = 7 Используя свойства определителей добьемся, чтобы во второй строке только один элемент был отличен от нуля (например, a = ). Для этого применим следующие свойства к столбцам (будем называть столбцы колонками и обозначать их к i ): 4

15 0 6 к := к + к = 0 0 = ( ) к := к + к 4 4 = = = 4 = = 4 5 Добьемся, чтобы, например, во второй колонке только один элемент был отличен от нуля (например, a = ). Для этого применим следующие свойства к строкам: c := c c, c := c c, c 4 := c 4 c. Заметим, что при этом определитель исходной матрицы умножится на 4, поэтому следует ввести компенсирующий увеличение множитель 4 : 8 0 = 8 4 = ( )+ 6 7 = к :=к 5к === c :=c c === = ( ) = = 5 = = Рассмотрим применение теории определителей к решению систем линейных уравнений (СЛУ). Теорема Крамера: Для того, чтобы квадратная СЛУ имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов был отличен от нуля ( A = 0). Решение СЛУ может быть найдено по формулам Крамера: x = A, x = A,... x n = n A, где i определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой i -го столбца на столбец свободных членов, например, 5

16 = b a... a n b a... a n b n a n... a nn. Рассмотрим примеры. Проверить, что СЛУ имеет единственное решение и найти его по формулам Крамера. x. + x =, x + x =. A = = 4 = 0 по теореме Крамера СЛУ имеет единственное решение. = = + 6 = 8, x = A = 8, = = 4 = 5, x = A = 5, Сделаем проверку: подставим в каждое уравнение СЛУ найденные значения x = 8, x = 5: 8 + ( 5) = верно, 8 + ( 5) = верно. x + x x =,. x x + x =, x + x x =. c :=c c A = c :=c c === = ( ) = ( + 0) = 8 0 СЛУ имеет единственное решение. c :=c c = === c :=c c = ( ) = ( 7 + 5) =, x = A = 8 = 4. = = 6

17 = c :=c c === c :=c c = ( ) + 0 = (5 5) = 0, x = A = 0 8 = c :=c c = === c :=c c = ( ) = ( 4 + 0) = 6, x = A = 6 8 =. Сделаем проверку: = верно, = верно, = верно. Решим этот же пример с помощью метода Гаусса: 5 5 = = СЛУ: c c c c c c (-) c 4 c c + 5c c c c c 4c + c получили тот же ответ: единственное решение x = 4, x = 5 4, x =. Заметим, что метод Крамера требует гораздо большего числа действий. Поэтому на практике решать СЛУ удобнее методом Гаусса. Однако, теорема Крамера имеет важное следствие, относящееся к квадратным однородным системам линейных уравнений (ОСЛУ). Следствие. Для того, чтобы квадратная ОСЛУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов был равен нулю ( A = 0). 7

18 Напомним, что ОСЛУ всегда имеет нулевое решение. Иногда требуется выяснить, имеет ли квадратная ОСЛУ, кроме нулевого, ненулевые решения, не решая самой ОСЛУ. Рассмотрим примеры. Установить, имеет ли ОСЛУ ненулевые решения: x x + x = 0,. x + x x = 0, 4x x + x = 0. c :=c +c c :=c c === = ( ) ( ) = = 0 ОСЛУ имеет только нулевое решение x = x = x = 0. x + x x = 0,. 4x + x + x = 0, x x 8x = 0. c :=c c 4 === c :=c +c 0 5 = ( ) = (0 0) = 0 ОСЛУ имеет ненулевые решения =. Найти значения λ, при которых ОСЛУ имеет только нулевое решение: 5x x + x = 0, x + λx x = 0, x + x + x = 0. 5 c :=c c λ c :=c +c === 7 λ + 0 = ( ) λ + = = 4(λ + ) + 5 = 4λ + 7. По теореме Крамера, если A = 0, то ОСЛУ имеет единственное (нулевое) решение. Следовательно, если 4λ + 7 0, т.е. λ 7, то ОСЛУ имеет 4 только нулевое решение. 8

19 . Примеры для самостоятельного решения Вычислить определители: Ответ : Ответ : Ответ : Ответ : Ответ :. Решить СЛУ по формулам Крамера, сделать проверку. x.6 x =, x + 4x =..7 Ответ: x = 5 8, x = x + 7x =, 6x 4x =. Ответ: x = 9 6, x = 6. 9

20 x + x + x = 4,.8 x x + x =, x + x + x = 5..9 Ответ: x = 4, x = 5 4, x =. 5x x + 5x = 0, 4x + x = 7, x + x + 5x =. Ответ: x = 4, x = 5 4, x =. Установить, имеет ли ОСЛУ ненулевые решения: x.0 + x = 0, 4x x = 0. Ответ: ОСЛУ имеет только нулевое решение. 6x. 8x = 0, x 4x = 0... Ответ: ОСЛУ имеет ненулевые решения. x x + x = 0, 4x + x x = 0, x 6x + 4x = 0. Ответ: ОСЛУ имеет ненулевые решения. x + x x = 0, 4x x + x = 0, x + 4x + x = 0. Ответ: ОСЛУ имеет только нулевое решение. 0

21 Учебный модуль. Алгебра матриц Основные определения: Матрица это прямоугольная таблица чисел (m строк, n столбцов) A = m n a a... a n a a... a n a m a m... a mn = (a ij ) Замечание. Если все элементы матрицы a ij = 0, то матрицу называют нулевой и обозначают Θ. Две матрицы одного размера называют равными, если равны их соответствующие элементы: A = B a ij = b ij m n m n Суммой двух матриц A и B одного размера называют матрицу C того же размера: A + B = C, c ij = a ij + b ij m n m n m n Произведением матрицы A на число λ называют матрицу C = λ A, c ij = λ aij m n m n C, эле- m p Произведением матрицы B на матрицу B называют матрицу m n n p менты c ij которой получают по правилу: c ij = n a ik bkj k= (элементы i-й строки матрицы A умножают на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и полученные произведения складывают). Матрицей, транспонированной к матрице A называют матрицу A m n элементы a T ij которой получают по правилу a T ij = a ji (строки матрицы A становятся столбцами матрицы A T ). n m T,

22 . Основные свойства операций над матрицами ) A + B = B + A. ) (A + B) + C = A + (B + C). ) λ (A + B) = λ A + λ B. 4) (λ + µ)a = λa + µa. 5) Вообще говоря A B B A, но для каждой квадратной матрицы есть n n n n n n n n бесконечное множество матриц, для которых A B = B A (например, B = E, B = Θ, B = A). Такие матрицы B называют перестановочными с матрицей A. 6) A m n ( B n p C p q ) = ( A m n B n p ) C p q 7) (A B) T = B T A T Матрицу B называют обратной к матрице n n (обозначают B = A ). A, если A B = B A = E n n Не всякая квадратная матрица имеет обратную, но если A существует, то она единственна. Критерий обратимости матрицы: для того, чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно чтобы A = 0. Рассмотрим решения простейших типовых примеров. Выполнить действия с матрицами: T. 4 = 4 5 = = = = T = =

23 . 4 = = = = ( ) 6 4 ( ) = ( = ) = = T 4 = = Найти все матрицы, перестановочные с матрицей A: 8. A = 0 Нужно найти такие матрицы B, для которых A B = B A. Обозначим элементы искомой матрицы B следующим образом: B = x x x x 4 Найдем произведения A B, B A и сравним соответствующие элементы полученных произведений. A B = x x = x + x x + x 4, 0 x x 4 x x

24 B A = x x x x 4 x + x = x + x x + x 4 = x x = x + x 4 x = x 0 = x + x x x + x 4 x x x = 0 x x x 4 = 0 x x x 4 = 0 x x = 0 Приходим к решению ОСЛУ. Решим ОСЛУ методом Гаусса: c c 0 c ОСЛУ: c 0 c 4 c Общее решение: x x = 0, x = x + x 4 x свободное неизвестное x = x x 4 свободное неизвестное Теперь можно записать общий вид всех матриц B, перестановочных с матрицей A: B = x + x 4 x x x 4 Заметим, что при x = x 4 = 0 получим нуль-матрицу, при x = 0, x 4 = получим единичную матрицу, при x =, x 4 = 0 получим матрицу A =. 0 Рассмотрим два способа отыскания обратной матрицы. Способ основан на известной конструктивной формуле, полученной при доказательстве критерия обратимости матрицы: 4

25 A = A A A... A n A A... A n A n A n... A nn T Решим примеры на отыскание обратной матрицы первым способом: 9. A =, A? A = = + = 5 0 A существует A = ( ) + =, A = ( ) + ( ) =, A = ( ) + =, A = ( ) + =, T A = = = Сделаем проверку: 5 5 = следовательно A = найдена верно. = 0 0, 0. A = 0 0 A =, A? c :=c c === = ( ) + 4 = = ( 4) = 6 0 A существует. 5

26 A = ( ) + =, A = ( ) + = 4, A = ( ) + =, A = ( ) + 0 =, A = ( ) + 0 =, A = ( ) + =, A = ( ) + 0 =, A = ( ) + 0 =, A = ( ) + = 7. T A = 6 = Сделаем проверку: A A = 4 = = = 6 0 0, следовательно A найдена верно. Второй способ отыскания обратной матрицы основан на использовании метода Гаусса: обозначим неизвестные элементы в столбцах искомой матрицы A разными буквами: 6

27 A = x y... z x y... z x n y n... z n Так как A A = E, то выполняя действие умножения A A и сравнивая соответствующие столбцы матриц в левой и правой частях равенства A A = E, получим n СЛУ: a x + a x a n x n = a x + a x a n x n = a n x + a n x a nn x n = 0, a y + a y a n y n = 0 a y + a y a n y n = a n y + a n y a nn y n = 0, a z + a z a n z n = 0 a z + a z a n z n = a n z + a n z a nn z n =. Будем решать эти n штук СЛУ методом Гаусса одновременно, т.к. матрица A коэффициентов у этих СЛУ одна и та же: a a... a n a a... a n a n a n... a nn При решении этих СЛУ возможны два случая: ) хотя бы одна СЛУ не имеет решения. Это значит A не существует, ) каждая СЛУ имеет единственное решение. Условно эти два случая покажем на схеме: (A E) ЭП (E A ) A не существует 7

28 Решим примеры на отыскание обратной матрицы вторым способом.. A = 4, A? 0 c 4c A = Сделаем проверку. 4 A A = следовательно A найдена верно. = 5c +c = 0 0,. A = , A? c c c +c c c c +c 0 0 6c +7c

29 A = Теперь рассмотрим решение так называемых матричных уравнений: A X = B матричное уравнение -го типа, m n n p m p X A = B матричное уравнение -го типа. m n n p m p Заметим, что уравнение -го типа можно свести к уравнению -го типа следующим приемом: X A = B (X A) T = B T A T X T = B T уравнение -го типа. Решать матричное уравнение можно методом Гаусса. Фактически мы уже решали матричное уравнение при отыскании обратной матрицы: A X = E. При решении матричного уравнения -го типа можно использовать ту же схему. Рассмотрим примеры:. 0 X = 0 уравнение имеет единственное решение X = это уравнение -го типа A X = B. Запишем расширенную матрицу (A B) и будем решать одновременно несколько СЛУ с одной и той же матрицей A коэффициентов методом Гаусса. c c X = c c В данном случае фактически решались две СЛУ, каждая из них имеет бесконечное множество решений. Выпишем общие решения этих СЛУ: 9

30 x = x x свободное неизвестное y = y y свободное неизвестное Найденные общие решения фактически являются столбцами искомой матрицы X: X = x y x y Вывод: матричное уравнение имеет бесконечное множество решений, зависящее от двух параметров x, y X = c +c Одно из уравнений решаемых СЛУ имеет вид: 0 y + 0 y =. Это уравнение не имеет решений, следовательно и матричное уравнение не имеет решений. 6. X = матричное уравнение -го типа. 0 X 0 T = уравнение -го типа. c +c 0 T Матричное уравнение имеет единственное решение T X = = X T = - это 0 0 0

31 . Примеры для самостоятельного решения. Выполнить действия: T. Ответ:. 4 T. Ответ: Ответ: Ответ: Hайти все матрицы, перестановочные с матрицей A: а) A =. Ответ: a + b a 0 0 b б) A =. Ответ: a a b 0 a b b.6 Найти обратную матрицу двумя способами: а). Ответ:. б). Ответ:. 5 в) 4. Ответ: г) 0. Ответ:. 0

32 д) 0. е) Ответ: Ответ: Решить матричные уравнения: а) X =. Ответ: 7. 5 б) X =. Ответ: в) 4 X =. Ответ: 4a 4b. 8 6 a b г) 4 X =. Ответ:. 0 д) X =. Ответ:. 4 е) X =. Ответ: a a. 4 b b.

33 4 Учебный модуль 4. Линейные пространства 4. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора Линейным пространством называют множество L элементов (векторов), для которых введены две операции: сумма двух векторов x + y L, произведение вектора x на число λ R, λx L, и эти операции удовлетворяют восьми аксиомам:. x, y L x + y = y + x. x, y, z L (x + y) + z = x + (y + z). θ L : x L x + θ = x 4. x L y L : x + y = θ 5. x L x = x 6. λ, µ R, x L : (λµ)x = λ(µx) 7. λ R, x, y L : λ(x + y) = λx + λy 8. λ, µ R, x L : (λ + µ)x = λx + µx Из аксиом линейного пространства есть три важных следствия: x L : λ R : если x + y = θ, то 0 x = θ λ θ = θ y = ( ) x Система векторов a, a,... a k L называется линейно независимой, если равенство ( ) α a + α a α k a k = θ выполняется только для нулевых α = α =... = α k = 0. Система векторов a, a,... a k L называется линейно зависимой, если равенство ( ) выполняется для ненулевого набора чисел α, α... α k. Система векторов e, e,... e n L называется базисом линейного пространства, если ) e, e,... e n линейно независима ) x L : x = x e + x e x n e n.

34 Числа x, x... x n называются координатами вектора x в базисе e... e n : x e = x x x n x T e = (x x... x n ) Размерностью линейного пространства называют число векторов в базисе: diml = n 4. Правила сложения векторов и умножения вектора на число в координатах. V множество геометрических коллинеарных векторов (векторы на прямой). Базис в V любой ненулевой вектор. dimv =.. V геометрических компланарных векторов (векторы на плоскости). Базис в V любые два некомпланарных вектора. dimv =.. V множество геометрических векторов. Базис в V любые три некомпланарных вектора. dimv =. 4. M m n пространство всех матриц одного размера. Один из базисов в пространстве M m n : E =, E =,..., E m n = dimm m n = mn P n пространство многочленов f(t) = a n t n + a n t n a t + a 0 степени не выше n. Один из базисов в пространстве P n : e =, e = t, e = t... e n = t n, e n= = t n dimp n = n + 6. R n арифметическое (координатное пространство). Элементы R n упорядоченные наборы n чисел: x = (α, α... α n ). Один из базисов: e = (, 0,... 0), e = (0,,... 0)... e n = (0, 0,... ). dimr n = n. Полученные в этих примерах базисы называют естественными базисами. 4

35 Пример Найти координаты вектора в естественном базисе.. В пространстве M A =. A = α E + α E + α E + α 4 E 4, = , по определению координат вектора ( A E = или A T E =. В пространстве P f(t) = t t + 4t + 5. Естественный базис в P : e =, e = t, e = t, e 4 = t, поэтому f(t) = 5e + 4e e + e 4, значит 5 4 ( ) f e = или fe T = 5 4. В пространстве R 4 x = (, 6,, 5). Естественный базис в R 4 : e = (, 0, 0, 0), e = (0,, 0, 0), e = (0, 0,, 0), e 4 = (0, 0, 0, ), поэтому x = e + 6e e + 5e 4, значит 6 ( x e = или x T e = ). ). Пример Проверить на линейную независимость систему векторов.. В пространстве M A =, A =, A = По определению система A, A, A линейно независима, если равенство ( ) α A + α A + α A = θ выполняется только для α = α = α = 0. 5

36 Выполняя действия над матрицами в равенстве ( ), получим: A + A + 4 A = 0, A + A + ( ) A = 0, A + 0 A + 4 A = 0, A + A + ( ) A = 0. Решим ОСЛУ методом Гаусса: c c c c c c α = x c + c, α = x 0 α св. неизв. c c 0 0 Например, если α =, то α =, α =. Следовательно, есть ненулевой набор α =, α =, α =, для которого выполняется равенство ( ), значит система матриц линейно зависима. Этот пример можно решить иначе. Запишем координаты матриц A, A, A в естественном базисе: 4 A E =, A E =, A E = Теперь равенство ( ) примет вид: ( ) α + α + α 0 = Выполняя действия над векторами пространства R 4, получим ту же ОСЛУ 4 с матрицей и далее решаем так же В пространстве P проверить на линейную независимость систему многочленов (векторов) f (t) = t, f (t) = t + t +, f (t) = t +. Запишем координаты многочленов f, f, f в естественном базисе: 6 0

37 f E = 0, f E =, f E = Запишем равенство ( ) α f + α f + α f = θ в координатной форме: α 0 + α + α 0 = Выполняя действия над векторами в пространстве R, получим ОСЛУ с матрицей 0 0 c + c 0 c 0 0 c c c c + c Так как r = n =, то ОСЛУ имеет только нулевое решение α = α = α = 0. Следовательно, равенство ( ) выполняется только для нулевого набора α = α = α = 0, тогда система векторов f, f, f по определению линейно независима.. Проверить на линейную независимость систему из двух векторов a = (,, 4, 5), a = (4, 6, 8, 0) в пространстве R 4. Заметим, что если α a + α a = θ для ненулевого набора α, α, то координаты векторов пропорциональны. Поэтому система векторов a, a в данном примере линейно зависима. Пример Доказать, что система данных n векторов a, a... a n в n мерном пространстве образует базис и найти координаты заданного вектора x в этом базисе.. В пространстве M : a =, a = 0, a =, 0 0 a 4 = 0, x = По определению векторы a, a, a, a 4 образуют базис в 4-хмерном пространстве M, если они линейно независимы, проверим этот факт, как в примере :

38 0 0 ОСЛУ: c 4 + c c 4 c c + c Так как r = n = 4, то векторы a, a, a, a 4 линейно независимы, а значит образуют базис. Найдем координаты вектора x в базисе a, a, a, a 4. Для этого надо вектор x разложить по векторам a, a, a, a 4 : ( ) x = x a + x a + x a + x 4 a 4 Запишем равенство ( ) в координатной форме в естественном базисе: x + x + x + x 4 =. 0 0 Выполнив действия, получим СЛУ: СЛУ: c 4 c c + c 4 c + c x =, x = =, x =, x 4 =. Итак, x T a = (,,, ). Заметим, что можно было совместить решение ОСЛУ и СЛУ. c + c c 4 + c. В пространстве R : a = (,, ), a = (,, 4), a = (,, 0), x = (4,, ). 8

39 Проверим, что векторы a, a, a линейно независимы и разложим вектор x по векторам a, a, a. Как замечено в предыдущем примере, эти два действия можно совместить. Будем решать СЛУ: 4 c + c / c + 7c c c 4 c c 0 c c = ОСЛУ с матрицей 4 0 имеет только нулевое решение, значит a, a, a образуют базис: x T a x = 8/a 9a + 44a. = (8/, 9, 44) или Пример 4 Проверить, можно ли вектор x разложить по векторам a, a,..., a k и если да, то единственным ли образом?. В пространстве R 4 : a = (, 0,, ), a = (,,, 0), a = (,, 0, 4), x = (0, 0,, ). Проверим, можно ли вектор x представить в виде: ( ) x = x a + x a + x a. Запишем это равенство в координатах, получим СЛУ: c + c c 4 c c 4 c c = c c c c c 4 + 4c c c c c СЛУ имеет единственное решение x =, x =, x =, следовательно вектор x можно разложить по векторам a, a, a единственным образом. 9

40 . В пространстве R 4 : a = (,,, ), a = (0,,, ), a = (4, 0,, ), x = (, 5,, ). Запишем равенство ( ) в координатной форме: c 4c c СЛУ: c c 4 c c c = СЛУ имеет бесчисленное множество решений: 0 x = 5 x, x св. неизв., x = + x. Итак, вектор x можно разложить по векторам a, a, a бесчисленным числом способов.. В пространстве R 4 : a = (, 0,, ), a = (0,,, ), a = (,, 0, ), x = (,,, ). Запишем равенство ( ) в координатах: СЛУ: 0 c c c 4 c 0 0 c c c 4 c = СЛУ несовместна, т.к. последнее уравнение имеет вид 0 x + 0 x + 0 x =. Итак, вектор x нельзя разложить по векторам a, a, a. 4. Связь координат вектора в двух разных базисах. Матрица перехода Пусть в линейном пространстве L даны два базиса: e, e,..., e n и e, e,..., e n. Матрицей перехода от базиса e, e,..., e n к базису e, e,..., e n называют матрицу в столбцах которой стоят координатные столбцы векторов базиса e, e,..., e n в базисе e, e,..., e n. 40

41 Матрицу перехода от e, e,..., e n к e, e,..., e n обозначаем.... P =.... e e.... e e e e... e ne Связь координат одного и того же вектора в двух разных базисах задается формулой: x e = P e e x e, здесь x e, x e столбцы координат вектора x в базисе e,..., e n и в базисе e,..., e n. Пример 5 В пространстве R заданы два базиса: a = (,, ), a = (0,, ), a = (0, 0, ) и b = (0,, ), b = (, 0, ), b = (,, 0). Найти матрицу перехода P. a b По определению: P = a b b a b a b a. Итак, нужно найти координаты векторов b, b, b в базисе a,a, a. Как было показано в примере ()), нужно решить три СЛУ с одной и той же матрицей коэффициентов. Будем решать их одновременно: a a a b b b Итак, P = a b 0 4. c + c c c c b a b a b a c c 4

42 Пример 6 В пространстве R дана матрица перехода от базиса u, u, u к базису v, v, v : P = u v. Даны также координаты вектора d в базисе u, u, u : 0 d u = и координаты вектора y в базисе v, v, v : y v =. Найти d v, y u. 4 Для любого вектора x : x u = P u v x v. ) Для вектора a : a u = P a v. Так как a u, P известны, то, фактически, нужно u v u v решить СЛУ: ( ) P a u = u v c c c + c 0 5 c c / c c 6c + c / /6 9 Итак, a v = ) Для вектора y : y u = P y v. Так как y v, P известны, то, фактически, нужно u v u v выполнить операцию умножения матриц: 4 y u = = Линейные подпространства Подмножество M векторов линейного пространства L (M L) называют линейным подпространством, если выполнены два условия:. для x, y M : x + y M,. для x M, λ R : λx M. Известно, что линейное подпространство является также линейным пространством, поэтому можно говорить о его размерности и базисе. 4 5

43 Пример 7 Проверить, является ли M линейным подпространством L. Если да, то найти какой-нибудь базис M и размерность. ) M подмножество векторов в R n вида x = (α, β, α, β,...), проверим два условия из определения линейного подпространства:. пусть y = (δ, γ, δ, γ,...) M, x + y = (α + δ, β + γ, α + δ, β + γ,...) M,. λx = (λα, λβ, λα, λβ,...) M. Следовательно, M линейное подпространство. Векторы a = (, 0,, 0,...) M и a = (0,, 0,,...) очевидно линейно независимы, а x M : x = αa + βa. По определению a, a образуют базис M, dimm =. ) M подмножество векторов в R n, вида x = (, α,, α,, α,...). Проверим два условия:. пусть y = (, β,, β,, β,...) M, x+y = (, α+β,, α+β,, α+β,...) / M. Следовательно, M не является линейным подпространством. 4.5 Ранг матрицы Существуют три определения ранга матрицы: Рангом матрицы называют максимальный порядок не равного нулю минора матрицы (такой ранг называют минорным ). Рангом матрицы называют максимальное число линейно независимых строк матрицы (такой ранг называют строчным ). Рангом матрицы называют максимальное число линейно-независимых столбцов матрицы (такой ранг называют столбцовым ). Известно, что все три ранга совпадают. На практике, фактически, ищут минорный ранг. При этом используется тот факт, что ранг матрицы не меняется при ЭП. Пример 8. Найти ранг матрицы: 0 0 A = ranga c + c 0 == rang c 4 + c c +c == 0 0 =

44 0 c 4 c == Очевидно, у последней матрицы максимальный порядок минора, не равного нулю, равен трем. таким минором, заведомо является минор Этот минор принято называть базисным Итак, rang A =. Заметим, что базисный минор построен из элементов матрицы, стоящих на пересечении строк и столбцов, содержащих ведущие элементы. 4.6 Линейные оболочки Линейной оболочкой, натянутой на систему векторов a, a,..., a k называют множество всех линейных комбинаций векторов этой системы. Линейную оболочку обозначают l(a, a,..., a k ), если x l, то по определению x = k α i a i, где α i некоторые числа. i= Известно, что линейная оболочка является линейным подпространством пространства L, которому принадлежат векторы a, a,..., a k. Базисом линейной оболочки является любая максимальная линейно независимая подсистема системы векторов a, a,..., a k. Пример 9. Найти размерность и базис линейной оболочки, натянутой на векторы a, a, a, a 4, a 5 пространства R 4, если a = (,,, ), a = (, 0,, ), a = (,, 0, ), a 4 = (0,, 5, 7), a 5 = (,, 4, 5). Составим матрицу A, записав в столбцы векторы a, a, a, a 4, a 5 (можно записать эти векторы в строки), и найдем ее ранг максимальное число линейно независимых столбцов (строк). Столбцы, входящие в базисный минор, образуют максимальную линейно независимую подсистему системы a, a, a, a 4, a 5, т.е. образуют базис линейной оболочки rang c + c == c 4 + c 0 rang c c == c 4 7c

45 0 0 0 = rang =. Базисный минор Базис оболочки образуют векторы a, a, a 4, dim l(a, a, a, a 4, a 5 ) = Множество решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений (ФСР) Рассмотрим ОСЛУ Ax = θ, имеющую бесконечное множество решений M R n. Если два вектора a, a являются решениями ОСЛУ, то A a θ, A a θ. Так как A (a +a ) = A a +A a θ, то a +a M; так как A (λa ) = λ (A a ) θ, то λa M. Следовательно, M линейное подпространство. Базис множества решений ОСЛУ называют фундаментальной системой решений (ФСР). Найти ФСР это значит построить такую систему частных решений, которая линейно независима, а любое другое частное решение является ее линейной комбинацией. рассмотрим алгоритм построения ФСР на примере. Пример 0. Найти ФСР множества решений ОСЛУ: x x + x x 4 = 0, x + x x + x 4 = 0, x 7x + 4x 6x 4 = 0. Решим ОСЛУ методом Гаусса и запишем ее общее решение: c ОСЛУ: c c c c c c c Число неизвестных n = 4, число главных неизвестных r =, r < n система имеет бесчисленное множество решений, зависящее от n r = 4 = свободных неизвестных x, x 4. Общее решение: 45

46 x = x x 4, x св.неизв., x = 5x + 5x 4, x 4 св.неизв. Теперь будем строить ФСР систему частных решений, которая должна быть, во-первых, линейно независимой. для этого будем задавать специальные наборы свободным неизвестным: одно из свободных неизвестных равно, остальные равны нулю; таких наборов столько, сколько свободных неизвестных. Такое построение удобно делать в таблице: x x x x 4 b / 5/ 0 b / 0 5/ Векторы b, b линейно независимы, т.к. матрица из строк-векторов b, b имеет ранг (есть минор ) Можно проверить, что любое другое решение является линейной комбинацией b и b. Действительно, пусть x = α, x 4 = β, тогда из формул общего решения x = α β 5α + 5β, x =. С другой стороны, линейная комбинация α β α αb + βb = 5α = 5β дает то же самое решение. β Заметим, что при построении ФСР свободным неизвестным, на самом деле, можно задавать такие наборы значений, чтобы обеспечить наличие минора (n r) -го порядка, не равного нулю. В частности, вместо одному из свободных неизвестных можно задавать любое ненулевое значение. Например, в данном примере можно было построить следующую таблицу ФСР: x x x x 4 c 5 0 c 0 5 векторы c, c также образуют ФСР. Пример. Найти ФСР множества решений ОСЛУ: 46

47 x + x x + x 4 x 5 = 0, x x + x + x 5 = 0, x + x x 4 = 0, x x 4 + x 5 = 0 0 ОСЛУ: c c 4 c c c 4 c c + c c 4c c 4 c c + c c + c c 4 c Число неизвестных n = 5, число главных неизвестных r = 4, число свободных неизвестных n r = 5 4 = : x. Общее решение: x = x, x св.неизв., x = 4 x, x 4 = x, x 5 = x Построим ФСР: x x x x 4 x 5 b 4 Итак, ФСР состоит из одного вектора b это базис пространства решений ОСЛУ. Заметим, что, если свободных неизвестных одно, то для построения ФСР нужно задать этому свободному неизвестному любое не равное нулю значение. 47

48 4.8 Примеры для самостоятельного решения 4. Выяснить, является ли система векторов (матриц) A, A, A, A 4 линейно зависимой в пространстве M : а) A =, A =, A =, A 4 =. Ответ: линейно независима. б) A =, A = 0, A = 0 0, A 4 = Ответ: линейно зависима. 4. Выяснить, является ли система векторов пространства R n линейно зависимой: а) a = (5,,,, 0), a = (, 8,, 4, 7), a = (,, 9,, 6), a 4 = (,, 5, 9, ). Ответ: линейно независима. б) a = (, 0, 0, 0), a = (0,, 0, 0), a = (0, 0,, 0), a 4 = (0, 0, 0, ). Ответ: линейно зависима. 4. Проверить, что система векторов a, a, a,... a n образует базис в пространстве R n и найти координаты вектора x в этом базисе. а) a = (,, ), a = (,, ), a = (,, ), x = (,, ). Ответ: x T a = (/, /, /). б) a = (,,, ), a = (,, 0, ), a = (,,, 4), a 4 = (,,, 0), x = (7, 4,, ). Ответ: x T a = (0,,, ). 4.4 Проверить, что матрицы A, A, A, A 4 образуют базис в пространстве m и найти координаты матрицы B в этом базисе. A =, A =, A =, A 4 = 4, 0 6 B = Ответ: BA T = (67, 5,, ). 4.5 В пространстве R : ) найти матрицу перехода от базиса u,u,u к базису v,v,v ; ) найти a u, b v, если известны a v, b u : u = (,, ), u = (,, 0), u = (, 0, 0), v = (, 0, ), v = (0,, ), v = (0,, 0), a u = (,, ), b v = (0,, ). 48

49 Ответ: P = u v 0 0, at v = (6, 5, 8), b T u = (,, ). 4.6 Найти ранг матрицы: 0 0 а). Ответ: 4; б) 4. Ответ: ; в). Ответ: ; г) Ответ: Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки, натянутой на данную систему векторов: а) a = (,,, ), a = (,,, 5), a = (, 4,, ), a 4 = (, 9,, 5). Ответ: dim l(a, a, a, a 4 ) = 4, базис: a, a, a, a 4. б) a = (,, 5,, ), a = (,, 0,, 0), a = (,,,, ), a 4 = (, 5,,, ), a 5 = (, 0,, 0, 0). Ответ: dim l(a, a, a, a 4, a 5 ) =, базис: a, a, a. 4.8 Найти общее решение и ФСР: 9x а) + x 5x + 5x 4 = 0, x + 8x 0x + 7x 4 = 0. Ответ: x = 7x + 5x, x св.неизв., x св.неизв., x 4 = 0 ФСР: x x x x 4 b b x + 4x + x x 5 = 0, б) x + 9x + 5x + x 4 + x 5 = 0, x + x + x x 4 9x 5 = 0 49 Ответ: x = x + 8x 4, x = x x 4, x св.неизв., x 4 св.неизв., x 5 = 0

50 x x x x 4 x 5 ФСР: b 0 0 в) b x 5x + 4x + x 4 = 0, x 4x + 7x + 5x 4 = 0, 4x 9x + 8x + 5x 4 = 0, x + x 5x + x 4 = 0 Ответ: Система имеет только нулевое решение. ФСР нет. 50

51 5 Учебный модуль 5. Евклидовы пространства Скалярным произведением двух векторов x, y линейного пространства L называют число (x, y), которое по определенному правилу ставится в соответствие векторам x, y и удовлетворяет четырем аксиомам:. x, y L : (x, y) = (y, x),. x, y L, λ R : λ(x, y) = (λx, y) = (x, λy),. x, y, z L : (x + y, z) = (x, z) + (y, z), 4. x L : (x, x) = x 0, x = 0 x = θ. Евклидовым n-мерным пространством (E n ) называют n-мерное пространство L с введенным в нем скалярным произведением. Операция скалярного произведения двух векторов позволяет дать определения длины вектора, угла между векторами, ортогональных векторов. Длиной вектора называется число x = x. Косинусом угла между ненулевыми векторами называют число cos( x, y) = (x, y) x y. Корректность этого определения следует из неравенства Коши-Буняковского: для любых x, y E : (x, y) x y Два вектора x и y называют ортогональными, если (x, y) = 0. Базис e, e,... e n называется ортонормированным, если, i = j (e i, e j ) = 0, i j В ортонормированном базисе скалярное произведение в координатах находим по формуле (x, y) = x y + x y + x y x n y n, x = x + x x n. В следующих примерах координаты векторов заданы в ортонормированном базисе e, e,... e n пространства E n. 5

52 Пример. Найти длины векторов x, y, косинус угла между ними. x e = (,,, 0), y e = (,, 0, ) (x, y) = =, x = = 6, y = = 4 cos( x, y) = 6 4 =. Пример. Проверить, являются ли векторы x, y ортогональными. а) x e = (,,, 4), y e = (,, 4, ), (x, y) = + = 0 векторы ортогональны. б) x e = (5,,, ), y e = (,,, 0), (x, y) = 0 9 = 0 векторы ортогональны. в) x e = (,,, 4), y e = (,, 6, ), (x, y) = + + = векторы не ортогональны. Пример. Рассмотрим, так называемый, процесс ортогонализации. Пусть дана линейно независимая система векторов a, a... a k (k n) в E n. Требуется построить ортогональную систему векторов b, b... b k, каждый из которых является некоторой линейной комбинацией векторов a, a... a k. При k = n будет построен ортогональный базис E n. Опишем процесс ортогонализации в общем виде: b = a, b = a + α b, b = a + β b + β b, α выберем из требования (b, b ) = 0 (b, a ) + αb = 0 α = (b, a ) b. β, β выберем из требований (b, b ) = 0 β = (a, b ) b, (b, b ) = 0 β = (a, b ) b b k = a k + k γ i b i, γ,... γ k выберем из требований i= (b k, b ) = 0 γ = (a k, b ) b (b k, b ) = 0 γ = (a k, b ) b (b k, b k ) = 0 γ k = (a k, b k ) b. k а) a = (,, ), a = (, 0, ), a = (5,, 7). Проверим, является ли система a, a, a линейно независимой. Для этого найдем ранг матрицы A. 5

53 5 5 rang 0 c c == rang Так как c и c не пропорциональны, то rang A =, т.е. векторы a, a, a линейно независимы. Начнем процесс ортогонализации. b = a, b = a + α b, (b, b ) = 0 α = (a, b ) b = a + b = 0 b + = =, / = / /, b = a + β b + β b, (b, b ) = 0 β = (a, b ) b (b, b ) = 0 β = (a, b ) b = a + b b = b = = 9, 0/ + 6/ + 7/ = 4/9 + 4/9 + /9 / 6 / = / 6 =, Проверка: (b, b ) = +4 = 0, (b, b ) = 6 6 = 0, (b, b ) = = 0. б) a = (,,, ), a = (,,, ), a = (, 0, 6, 8). rang c c == rang = = векторы a, a, a линейно независимы. b = a, b = a + α b, (b, b ) = 0 α = (a, b ) b = 4 4 =, b = a b = =, b = a + β b + β b, (b, b ) = 0 β = (a, b ) b (b, b ) = 0 β = (a, b ) b = 4 =, = 6 =, 5

54 0 b = a b + b = + = 6 8 Проверка: (b, b ) = + = 0, (b, b ) = + + = 0, (b, b ) = + + = 0. Пример 4. Построить ортонормированный базис линейной оболочки, натянутой на векторы a = (,, 4, 6), a = (, 8,, 6), a = (, 5, 4, 5), a 4 = (,, 4, 7). Найдем базис линейной оболочки. Для этого подсчитаем ранг матрицы: c 8 5 8c rang == c + c rang 0 9 = c 4 + 6c c 4 + c == c c 0 rang = = Базис линейной оболочки a, a, a Построим сначала ортогональный базис b, b, b : b = a, b = a + α b, (b, b ) = 0 α = (a, b ) b = 0 65 =, 8 b = a b = =, b = a + β b + β b, (b, b ) = 0 β = (a, b ) b (b, b ) = 0 β = (a, b ) b 5 b = a b + b = = =, = 0 65 =, 4 6 = Проверка: (b, b ) = = 0, (b, b ) = = 0; (b, b ) = + + =

55 Теперь пронормируем каждый из векторов b, b, b, получим ортонормированный базис c, c, c : 65 c = b b = b = , c = b b = b = = , c = b b = b = Примеры для самостоятельного решения 5. Найти длины векторов, косинус угла между ними. а) x = (,,, 4), y = (0,,, ). Ответ: x = 0, y =, cos( x, y) = 0. б) x = (,,, 4), y = (,,, ). Ответ: x = 0, y = 0, векторы ортогональны. 5. С помощью процесса ортогонализации построить ортогональный базис оболочки, натянутой на систему векторов a) a = (,,, ), a = (,, 5, ), a = (0,,, 7), a 4 = (,,, 9). Ответ неоднозначен, поэтому сделать проверку. б) a = (,,, ), a = (,,, ), a = (, 0, 6, 8). Ответ неоднозначен, поэтому сделать проверку. 55

56 6 Учебный модуль 6. Линейные операторы в конечномерном пространстве 6. Матрица линейного оператора. Ядро, образ оператора Линейным оператором, действующим из линейного пространства L в то же самое пространство L (линейным преобразованием L) называют закон A, по которому каждому вектору x L ставится в соответствие единственный вектор y = A(x) L и выполняются два условия:. A(x ) + A(x ) = A(x ) + A(x ), x, x L. A(λx) = λ A(x), x L, λ R. В равенстве y = A(x) вектор y называют образом вектора x, а вектор x прообразом вектора y. Матрицей линейного оператора A в базисе e, e... e n называют матрицу A e, в столбцах которой стоят координатные столбцы образов базисных векторов в этом базисе. Запишем символически это определение: A e = A(e ) e A(e ) e... A(e n ) e Понятие матрица линейного оператора позволяет в координатной форме отыскивать образ вектора: пусть задан базис e, e... e n, тогда y e = A e x e. Матрицы одного и того же оператора в разных базисах различны, между ними имеет место связь: пусть e, e... e n и e, e... e n два базиса, A e и A e матрицы оператора A в этих базисах, тогда A e = P A e e P. e e e Так как P = P e e e e, то эту формулу можно записать и в таком виде: A e = P e e A e P e e. Пример. Проверить, является ли данный оператор линейным. а) в пространстве V геометрических векторов A( x) = ( x, ā)ā, где ā постоянный вектор. Проверим два условия из определения линейного оператора:. A( x + x ) = ( x + x, ā) ā = ( ( x, ā) + ( x, ā) ) ā = ( x, ā) ā + ( x, ā) ā = 56

57 = A( x ) + A( x ) первое условие выполнено.. A(λ x) = (λ x, ā) ā = λ(( x, ā) ā) = λ A( x) второе условие выполнено. Вывод: A(x) линейный оператор. б) A(x) = (ā, x) x, ā постоянный вектор.. A( x + x ) = (ā, x + x ) ( x + x ) = ((ā, x ) + (ā, x )) ( x + x ) = = (ā, x ) x +(ā, x ) x +(ā, x ) x +(ā, x ) x = A( x )+A( x )+(ā, x ) x +(ā, x ) x первое условие не выполнено. Вывод оператор не линейный. в) в пространстве R A(x) = (x, x, x ), где x = (x, x, x ).. A(x +x ) = (x +x, x +x, (x +x ) ) = (x +x, x +x, x +x x с другой стороны A(x ) + A(x ) = (x + x, x + x, x + x ). Так как A(x + x ) A(x ) + A(x ), то оператор не является линейным. +x ), Пример. Найти матрицу линейного оператора из примера а), в базисе ē, ē, ē, если ā e = (,, 4). По определению A e =. A(e ) e A(e ) e A(e ) e Найдем образы базисных векторов: A(ē ) = (ē, ā) ā, так как ē e = (, 0, 0),ā e = (,, 4), то (ē, ā) = A(ē ) = ā, A(ē ) = (ē, ā) ā = ā, A(ē ) = (ē, ā) ā = 4ā, следовательно A e = Пример. Линейный оператор задан матрицей 0 A e =. Найти образ вектора u e = По формуле y e = A e x e находим 0 y e = = 4 Пример 4. В пространстве R задана матрица оператора A e = 9. Найти 5 матрицу этого оператора в базисе u e = (, ), u e = (, ). По формуле,

58 связывающей матрицы линейного оператора в разных базисах, имеем P = e u P : e u P : e u. Найдем P = P. u e e u ( P E ) ( E P ). e u e u 0 c c A u = P u e A e P e u. 0 0 E A u = 9 = 5 = 6 = P = e u c + c = 6. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора Собственным вектором, отвечающим собственному числу λ называют такой ненулевой вектор u, для которого A(u) = λu. Для отыскания собственных чисел следует решить характеристическое уравнение A e λ E = 0, известно, что характеристический многочлен A e λ E не зависит от выбора базиса, в котором найдена матрица A e линейного оператора. Так как мы рассматриваем линейные операторы в линейных пространствах над полем вещественных чисел, то нас интересуют только вещественные корни λ. Если найдено некоторое собственное число λ 0, то для отыскания отвечающих ему собственных векторов следует решать ОСЛУ: (A e λ 0 E)x = θ. Множество всех решений этой ОСЛУ составляют собственные векторы, отвечающие числу λ 0, ФСР данной ОСЛУ это линейно независимые собственные векторы. Пример 5. Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей A e =. 0 ) Решим характеристическое уравнение: A e λe = 0 λ = 0 = ( λ) ( λ) = 0 = 0 λ 58

59 λ =, λ =. ) Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу λ = : ОСЛУ: 0 0, n =, r =, n r = своб. неизв Общее решение: x св.неизв., x = 0, ФСР x x u e 0 Итак, все векторы u e = α 0 собственные, отвечающие λ =, вектор u = 0 один линейно независимый собственный вектор, отвечающий числу λ =. ) Найдем все собственные векторы, отвечающие собственному числу λ =. ОСЛУ: 4 ( ), n =, r =, n r = своб. неизв. 0 0 Общее решение: x св.неизв., x = x, ФСР x x u e Итак, все векторы u e = β β собственные, отвечающие λ =, вектор u e = один линейно независимый собственный вектор, отвечающий числу λ =. Заметим, что в этом примере векторы u, u очевидно линейно независимы, значит образуют базис. Найдём в этом базисе матрицу данного оператора. По определению: A u =. A(u ) u A(u ) = λ u = u, A(u ) = λ u = u. Следовательно, A(u ) u 59


ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.1

Линейная алгебра. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

Собственные числа и собственные векторы

Собственные числа и собственные векторы Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее