Тема 5. Непрерывные случайные величины.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 5. Непрерывные случайные величины."

Транскрипт

1 Тема 5. Непрерывные случайные величины. Цель и задачи. Цель контента темы 5 дать определение непрерывной случайной величины, ее функции распределения и функции распределения; рассмотреть особенности задания непрерывных случайных величин; познакомить читателя с основными непрерывными распределениями; ввести числовые характеристики непрерывных случайных величин, их свойства и способы вычисления. Задачи контента темы 5: Сформулировать определение непрерывной случайной величины и ее функции плотности. Определить функцию распределения непрерывной случайной величины, ее свойства и методику вычисления. Описать основные непрерывные распределения и их свойства. Определить числовые характеристики непрерывных случайных величин и их свойства. Оглавление 5. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения и кривая распределения. Свойства функции плотности. Функция распределения непрерывной случайной величины. 5.2 Основные непрерывные распределения. 5.3 Числовые характеристики непрерывных случайных величин. 5.4 Функция непрерывной случайной величины. 5. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения и кривая распределения. Свойства функции плотности. Непрерывные случайные величины принимают все значения некоторого интервала (a; b); это может быть и полубесконечный интервал: (; b) или (a; + ), и вся числовая ось: (; + ). Таким образом, первым этапом в

2 задании непрерывной случайной величины является определение интервала ее значений. Аналогом вероятностей в ряду распределения дискретной случайной величины в непрерывном случае является функция плотности распределения. Определение 5... Пусть задано непрерывное вероятностное пространство {Ω, F, P }, на котором определена случайная величина ξ. Будем говорить, что случайная величина ξ имеет непрерывное распределение вероятностей, если ее функция распределения F (x) абсолютно непрерывна, то есть существует такая функция f(x), определенная на (, + ), что F (x) = x f(t) dt. Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины ξ. Очевидно, что если f(x) непрерывна на всей числовой прямой, то по теореме Барроу f(x) = F (x), x R. Функция плотности непрерывной случайной величины обладает следующими свойствами:. Функция плотности всегда неотрицательна: f ξ (x). 2. Интеграл от функции плотности по всем возможным значениям x равен единице: + f ξ (x) dx =. График функции плотности называется кривой распределения. Первое свойство функции плотности означает, что кривая распределения всегда лежит над осью абсцисс или касается ее; второе свойство что площадь фигуры под кривой распределения равна единице. Функция плотности и кривая распределения показывают, как размещены на данном интервале значения случайной величины. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (x ; x 2 ) вычисляется с помощью определенного интеграла: 2

3 x 2 P {ξ (x ; x 2 )} = x f ξ (x) dx = F (x 2 ) F (x ). Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какоето отдельное значение x i, равна : Поэтому P {ξ = x i } =. P {ξ (x ; x 2 )} = P {ξ (x ; x 2 ]} = P {ξ [x ; x 2 )} = P {ξ [x ; x 2 ]}. Пример 5... Функция плотности случайной величины имеет вид: { ax x f(x) = 2, x [; ], x / [; ]. Определить константу a и найти функцию распределения. Для определения константы используем второе свойство функции плотности: + f ξ (x) dx =. + f ξ (x) dx = dx + (ax x 2 ) dx + + (x) dx = ; (ax x 2 ) dx = ) (a x2 2 x3 = a = ; a = 8 3. Таким образом, функция плотности имеет вид: { 8 f(x) = 3 x x2, x [; ], x / [; ]. Найдем функцию распределения данной случайной величины. ) x ; F (x) = x f(t) dt = x dt =. 2) x (; ]; 3

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 x F (x) = f(t) dt = 3) x > ; x dt+ ( ) 8 3 t t2 dt = ( ) x 8 3 t2 2 t3 3 = 4x2 x 3. 3 F (x) = x f(t) dt = dt+ ( ) 8 3 t t2 x dt+ dt = Таким образом, функция распределения имеет вид:, x 4x f(x) = 2 x 3 3, x (; ]., x > ( ) 8 3 t t2 dt =. Пример Функция распределения случайной величины имеет вид:, x x F (x) = 2 8, x (; 3]., x > 3 Найти плотность распределения. Поскольку f ξ (x) = d F (x) d x, функция плотности имеет вид: { x f(x) = 4, x (; 3], x / (; 3]. 5.2 Основные непрерывные распределения.. Нормальное (Гауссово) распределение с параметрами a, σ 2 : N(a, σ 2 ). Случайная величина, подчиняющаяся нормальному распределению, принимает все действительные значения: ξ (, + ); ее плотность распределения имеет вид: f(x) = σ e (x a)2 2σ 2. (5.2.) 4

5 f(x) σ a x Рис Функция плотности нормально распределенной случайной величины. Функция распределения вычисляется по формуле: F (x) = σ x e (t a) 2 2σ 2 dt. (5.2.2) При a =, σ 2 = распределение называется стандартным нормальным; плотность распределения имеет вид: f(x) = e x2 2. f(x) x Рис Функция плотности стандартной нормально распределенной случайной величины. Вероятность попадания такой случайной величины в интервал (x ; x 2 ) может быть вычислена с помощью функции Лапласа: Φ (x) = x e t2 2 dt, определенной при x > и являющейся нечетной: Φ ( x) = Φ (x). Рассмотрим случайную величину ξ = ξ a σ. 5

6 Такую случайную величину называют центрированной и нормированной случайной величиной. Эта случайная величина подчиняется стандартному нормальному распределению; следовательно, ее функция распределения имеет вид: F (x) = x e t2 2 dt. Предположим, что x >, и разобьем данный интеграл на сумму: x e t2 2 dt = e t2 2 dt + x e t2 2 dt. Первое слагаемое равно,5, поскольку + + e t2 2 dt =, 5 e t2 2 dt =, 5 =, 5, второе слагаемое функция Лапласа. Таким образом, F (x) = x e t2 2 dt =, 5 + Φ (x). Вероятность попадания случайной величины ξ в некий интервал (y ; y 2 ): P {ξ (y ; y 2 )} = F (y 2 ) F (y ) =, 5+Φ (y 2 ) (, 5+Φ (y )) = Φ (y 2 ) Φ (y ). Вероятность попадания исходной случайной величины в интервал (x ; x 2 ): P {ξ (x ; x 2 )} = P { ( ξ x a ; x )} ( ) ( 2 a x2 a x a = Φ Φ σ σ σ σ (5.2.3) Нормальный закон наиболее часто встречается на практике; он является предельным, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях. Пример Самолету отведен для полета коридор высотой метров, и задана высота, соответствующая середине коридора. Систематическая ошибка удержания высоты равна + 2 м, среднее квадратическое отклонение равно 75 м. Считая рапределение ошибки нормальным, определить вероятность того, что самолет будет лететь внутри коридора. 6 ).

7 Ошибка удержания высоты самолетом случайная величина, распределенная нормально со средним значением 2 и дисперсией 75 2 = 5625: ξ N(2; 5625). Полет внутри коридора означает, что ошибка удержания высоты находится в интервале (-5; 5): ( ) ( ) P {ξ ( 5; 5)} = Φ Φ Φ (, 4) Φ (, 93) = = Φ (, 4) + Φ (, 93) =, 6 +, 32 =, 48. Пример Автомат расфасовывает сахарный песок в пакеты по одному килограмму. Среднее квадратическое отклонение от точного веса составляет 2 граммов. Определить процент пакетов с перевесом более 25 граммов, если погрешность расфасовки подчиняется нормальному закону. Пусть случайная величина ξ вес пакета (в граммах); она распределена нормально со средним значением и дисперсией 4: ξ N(; 4). Необходимо определить вероятность того, что ξ примет значение более 25: ( ) 25 P {ξ (25; + )} = Φ(+ ) Φ, 5 Φ (, 25) = 2 =, 5, 39 =, ; таким образом, пакеты с перевесом более 25 граммов составляют примерно процентов. Пример Коробки с шоколадными конфетами расфасовываются автоматом; номинальный вес коробки 4 граммов. Контроль показал, что коробки с весом менее 39 г составляют 5 %. Определить процент коробок с весом более 45 г. Пусть случайная величина ξ вес коробки (в граммах); она распределена нормально со средним значением и неизвестной дисперсией σ 2 : ξ N(4; σ 2 ). Вероятность того, что случайная величина ξ примет значение менее 39 г, равна,5: 7

8 ( ) 39 4 P {ξ (; 39)} = Φ Φ() = Φ(+ ) Φ σ ( ), 5 Φ =, 5; σ следовательно, Φ ( ) =, 45; σ по таблице значений функции Лапласа ( ) σ =, 65; σ таким образом, σ 6. Вероятность того, что случайная величина ξ примет значение более 45 г, равна: ( ) 45 4 P {ξ (45; + )} = Φ(+ ) Φ 6, 5 Φ (2, 5) =, 5, 49 =,. Таким образом, коробки с весом более 45 граммов составляют примерно процент. 2. Экспоненциальное распределение с параметром λ: exp(λ). Случайная величина принимает положительные значения: ξ (, + ); функция плотности имеет вид: { λe f(x) =,, x > x. (5.2.4) f(x) λ x Рис Функция плотности экспоненциально распределенной случайной величины. 8

9 Функция распределения вычисляется по формуле: {, x F (x) = e λx, x >. (5.2.5) Экспоненциальное распределение имеют случайные отрезки времени между последовательными наступлениями редких событий. Пусть ξ длительность времени безотказной работы некоторого элемента; F ξ (t) = P {ξ < t} вероятность отказа за время t; R(t) = P {ξ t} = F ξ (t) вероятность безотказной работы за время t (функция надежности). Часто встречается показательный закон надежности: R(t) = e λt, λ интенсивность отказов. Он обладает следующим важным свойством: вероятность безотказной работы за время t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от t (при заданном λ). Пример Вероятность отказа устройства за время t задается формулой: F (t) = e,5t, t >. Определить вероятность тго, что устройство не откажет в течение 5 часов непрерывной работы. Пусть случайная величина ξ длительность времени безотказной работы устройства. Эта величина имеет экспоненциальное распределение с параметром λ =, 5. Необходимо определить вероятность того, что ξ примет значение не менее 5: P {ξ 5} = P {ξ < 5} = F (5) = ( e,5 5 ) = e,5 5, Равномерное распределение на отрезке [a; b]: R(a; b). Случайная величина принимает значения из данного отрезка: функция плотности имеет вид: f(x) = ξ [a; b]; { b a, x [a; b], x / [a; b]. (5.2.6) f(x) b a a b x 9

10 Рис Функция плотности равномерно распределенной случайной величины. Функция распределения вычисляется по формуле:, x a x a F (x) = b a, a < x b. (5.2.7), x > b Равномерное распределение имеют ошибки грубых измерений (приборы с крупными делениями), когда измеряемое значение округляется до ближайшего целого. Пример Шкала делений секундомера имеет цену делений,2 секунды. Отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность ошибки менее,3 сек? Пусть случайная величина ξ ошибка измерения; она распределена равномерно в интервале (, ;, ) (поскольку округление производится до ближайшего целого: например, время,4 сек будет округлено до сек с ошибкой,4 сек; а время,8 сек будет округлено до 2 сек с ошибкой, 2 сек). Необходимо определить вероятность того, что ξ <, 3: P {ξ (, 3;, 3} = F (, 3) F (, 3) = =, 3 (, ), (, ), 3 (, ), (, ) =, 3 (, 3), (, ) =, Числовые характеристики непрерывных случайных величин. ) Математическое ожидание (среднее значение, центральное значение): Mξ = + xf(x) dx. 2) Дисперсия (рассеивание): Dξ = M(ξ Mξ) 2 = + (x Mξ) 2 f(x) dx; среднее квадратическое отклонение: σ = Dξ.

11 Дисперсия может быть вычислена по формуле: Dξ = M(ξ 2 ) (Mξ) 2 = + x 2 f(x) dx (Mξ) 2. Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин обладают теми же свойствами, что и аналогичные характеристики дискретных случайных величин. 3) Начальный момент порядка k: m k = Mξ k = + (При k = - математическое ожидание.) 4) Центральный момент порядка k: M k = M(ξ Mξ) k = + x k f(x) dx. (x Mξ) k f(x) dx. (При k = 2 - дисперсия). Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии ("скошенности") распределения. Коэффициент асимметрии (или просто асимметрия) вычисляется по формуле: S k = M 3 σ 3. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то S k =. Четвертый центральный момент служит для характеристики "крутости" (островершинности или плосковершинности) распределения. Эксцесс вычисляется по формуле: Ex = M 4 σ 3. 4 Для нормального распределения Ex = ; если кривая более островершинная по сравнению с нормальной, то Ex > ; если более плосковершинная, то Ex <. Как и для дискретных случайных величин, вводятся определения моды и медианы непрерывной случайной величины. Модой m называется значение случайной величины, доставляющее максимум функции плотности. Если f(m ) = max f(x), то m является модой x

12 распределения. Если существует более одного максимума, то распределение называется полимодальным. Медианой m e называется значение, для которого выполняется следующее соотношение: P {ξ m e } = P {ξ > m e }. Пример Определить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) случайной величины с функцией распределения (пример 5..2.): F (x) =, x > 3, x x 2 8, x (; 3] Поскольку плотность случайной величины в интервале (; 3] равна x 4, а вне интервала равна, математическое ожидание вычисляем по формуле:. Mξ = 3 x x 3 4 dx = Дисперсия вычисляется по формуле: x 2 4 dx = ( x 3 2 ) 3 = 3 6. Dξ = 3 x 2 x 3 4 dx (Mξ)2 = x 3 4 dx ( 3 6 Среднее квадратическое отклонение: σ = Dξ =, ) 2 = ( x 4 6 ) = 36. Числовые характеристики основных непрерывных распределений: Распределение M ξ Dξ N(a, σ 2 ) a σ 2 exp(λ) R(a, b) λ a+b 2 λ 2 (b a) Функция непрерывной случайной величины. Пусть на непрерывном вероятностном пространстве (Ω, F, P ) задана непрерывная случайная величина ξ, а y = g(x) кусочно-непрерывная числовая функция числового аргумента. Тогда τ = g(ξ) тоже случайная величина непрерывного типа. 2

13 Теорема Пусть непрерывная случайная величина ξ имеет плотность распределения f ξ (x), а функция g(x) строго монотонна и дифференцируема. Тогда плотность распределения случайной величины τ = g(ξ) имеет вид: f τ (y) = f ξ (w(y)) w (y), (5.4..) где x = w(y) функция, обратная к y = g(x). Пример Пусть случайная величина ξ распределена нормально с параметрами a и σ 2 : ξ N(a; σ 2 ); случайная величина τ имеет вид: τ = kξ+b. Необходимо определить плотность распределения случайной величины τ. Случайная величина τ принимает значения: y = kx+b, где x значения случайной величины ξ. Найдем функцию w(y), обратную к y = kx + b: w(y) = y b k ; тогда w (y) = k. Плотность вероятности случайной величины ξ имеет вид: f ξ (x) = σ e (x a)2 2σ 2. Найдем плотность распределения τ по формуле (5.4..): f τ (y) = σ e ( y b k a)2 2σ 2 k = e (y b ka)2 2k 2 σ 2. σ k Таким образом, τ имеет нормальное распределение с параметрами ka+b и (kσ) 2. Выводы: Непрерывные случайные величины могут принимать значения из некоторого интервала. Они могут быть заданы с помощью функции плотности или функции распределения. Функция плотности является аналогом вероятностей ряда распределения в дискретном случае и обладает соответствующими свойствами. Для непрерывной случайной величины определяются такие числовые характеристики как математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия (разброс относительно среднего значения). Вводятся понятия начального и центрального моментов дискретной случайной величины, моды и медианы, коэффициента асимметрии и эксцесса. 3

14 Вопросы для самопроверки.. Какие значения принимает непрерывная случайная величина? 2. Как можно определить непрерывную случайную величину? 3. Как определяется функция плотности непрерывной случайной величины? 4. Чему равна площадь под графиком кривой распределения? 5. Как определяется функция распределения непрерывной случайной величины, если известна функция плотности? 6. Как вычислить вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал? 7. Как вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает некое отдельное значение? 8. Что такое стандартное нормальное распределение? 9. Как вычислить вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал?. Приведите примеры случайных величин с экспоненциальным распределением.. Что такое функция надежности? 2. В каких задачах встречаются равномерно распределенные случайные величины? 3. Какая числовая характеристика служит для оценки асимметрии распределения? 4. Что такое эксцесс? Библиография.. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Москва, Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва, Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва,

15 4. Буре В.М., Евсеев Е.А., Кирпичников Б.К. Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Санкт-Петербург, МБИ, Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва, Общий курс высшей математики для экономистов (под редакцией В.И.Ермакова). Москва, ИНФРА-М, 25. 5

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Закон распределения вероятностей случайной величины содержит полную информацию о случайной величине. Однако полная информация не всегда

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики положения и моменты непрерывных и дискретных случайных величин Числовые характеристики положения Закон

Подробнее

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания:

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания: МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 8 Числовые характеристики случайных величин При изучении случайных величин важную роль играют их числовые характеристики Математическим

Подробнее

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений. Случайная величина X называется

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика Случайные величины 1 Содержание Случайные величины Основные законы распределения 2 Случайные величины Понятие случайной величины и закона ее распределения

Подробнее

Модели постепенных отказов. Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0)

Модели постепенных отказов. Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0) Модели постепенных отказов Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0) Рассматриваемая модель (рис47) также будет соответствовать случаю, когда начальное рассеивание значений выходного

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО

ЛЕКЦИЯ 2. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО ЛЕКЦИЯ. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО Математический аппарат теории надёжности основывается главным образом на теоретико-вероятностных методах, поскольку сам процесс

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Современная теория вероятностей предпочитает где только возможно оперировать не случайными событиями а случайными величинами

Подробнее

2.4. Непрерывные случайные величины

2.4. Непрерывные случайные величины Лекции по ТВ и МС Олейник ТА 6-7 4 Непрерывные случайные величины Непрерывная случайная величина Плотность распределения Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, мода, медиана

Подробнее

Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Применяются вместо закона распределения случайной величины В сжатой форме выражают наиболее существенные особенности

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения.

Случайные величины и законы их распределения. Случайные величины и законы их распределения. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Сначала рассмотрим примеры. Число вызовов, поступивших от абонентов в течение

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Случайные величины и их числовые характеристики.

Случайные величины и их числовые характеристики. Случайные величины и их числовые характеристики Пример Устройство состоит из трех независимо работающих элементов Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна, Составить закон распределения

Подробнее

1 при x 0. x - плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная. x , то. x 4

1 при x 0. x - плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная. x , то. x 4 ) Случайная величина X задана плотностью распределения вероятности при f при при Найти интегральную функцию F и математическое ожидание M X. f - плотность распределения (плотность распределения вероятностей,

Подробнее

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений)

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений) Лекция 8 План лекции 53 Закон Пуассона 54 Показательный закон распределения 55 Нормальный (гауссов) закон распределения вероятностей 53 Закон Пуассона (закон редких явлений) Дискретная случайная величина

Подробнее

Нормальное распределение.

Нормальное распределение. Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид xa f x e где параметры a и имеют смысл: a M X - математическое ожидание;

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

Нормальное распределение.

Нормальное распределение. Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид xa f x e где параметры a и имеют смысл: a M X - математическое ожидание;

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ Погрешность В реальных условиях даже очень точные измерения будут содержать погрешность D, которая является отклонением результата измерения x от истинного

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки 2 Пример. Рост человека

Подробнее

К ВОПРОСУ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА ИНЖЕНЕРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЯХ

К ВОПРОСУ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА ИНЖЕНЕРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЯХ К ВОПРОСУ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА ИНЖЕНЕРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЯХ Рыщанова С.М Костанайский государственный университет им. А.Байтурсынова Түйін Бұл мақалада кездейсоқ шаманың кейбiр қосымшалары

Подробнее

2. «Простая» статистика

2. «Простая» статистика 2. «Простая» статистика 1 2. «Простая» статистика В большинстве статистических расчетов приходится работать с выборками случайной величины: либо с данными эксперимента, либо с результатами моделирования

Подробнее

Учебно-методические материалы

Учебно-методические материалы http://www-chemo.univer.kharkov.ua/ Учебно-методические материалы Рабочий план и программа курса Хімічна інформатика та хемометрія Примеры экзаменационных билетов Презентации Last updated November, 2008

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины.

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Лекция 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: часа. Вопросы: 1. Характеристики

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

ния которой изменяются в диапазоне от 0 до 1 (рисунок 33а).

ния которой изменяются в диапазоне от 0 до 1 (рисунок 33а). Лекция 8 8.1. Законы распределения показателей надежности Отказы в системах железнодорожной автоматики и телемеханики возникают под воздействием разнообразных факторов. Поскольку каждый фактор в свою очередь

Подробнее

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» ФИНАКАДЕМИЯ Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Основные понятия теории вероятностей Многие объекты в математике определяются указанием операций которые можно выполнять над объектами и перечислением свойств которым удовлетворяют

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний.

Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний. Конфуций говорил: Учитель: Я говорю лишь то, что вам самим должно быть ведомо. Давай наставления только тому, кто ищет знаний. http://www-chemo.univer.kharkov.ua/ 1 Случайные величины и их характеристики.

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

ВАРИАНТ 1. г) 3 вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу 0;

ВАРИАНТ 1. г) 3 вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу 0; ВАРИАНТ 1 x i 8 10 15 30 40 p i 0,1 0,2 0,3 0,1 0,3 отклонение (X), моду M 0 (Х); 3) вероятность P(8 X < 30). Построить Задача 2. Вероятность появления некоторого события А в каждом опыте равна 0,6. Требуется:

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика УЧЕБНЫЙ ПЛАН: Факультет Разработки нефтяных и газовых месторождений

Подробнее

Случайные величины. Дискретные случайные величины

Случайные величины. Дискретные случайные величины Случайные величины 1. Дано: Mξ = 3, Dξ = 1. Найти M(2ξ + 5), D(2ξ + 5). 2. Дано: случайные величины ξ, η независимы, Dξ = 1, Dη = 4. Найти D(ξ η). Дискретные случайные величины 1. В ящике находятся 4 шара

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для решения многих практических задач совсем не обязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а достаточно указать

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6. Непрерывные случайные величины

ЛЕКЦИЯ 6. Непрерывные случайные величины ЛЕКЦИЯ 6 Непрерывные случайные величины 6.. Определение непрерывной случайной величины Понятие закона распределения имеет смысл только в том случае, когда случайная величина принимает конечное или счётное

Подробнее

1. Биномиальный закон распределения

1. Биномиальный закон распределения Лекция 4 Тема: Законы распределения СВ 1. Биномиальный закон распределения Опр. Дискретная СВ Х имеет биномиальный закон распределения, если выполнены следующие условия: 1) эксперимент заключается в последовательном

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика- МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика- А.В. Иванов, А.П.

Подробнее

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 А.В. Иванов,

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Случайные величины Функции распределения вероятностей случайных величин Простейшая модель физического эксперимента последовательность независимых опытов (испытаний

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования Российской едерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Первичная обработка выборочных данных Методические указания и варианты заданий. Томск 00 Данная

Подробнее

характеристики положения характеристики рассеивания

характеристики положения характеристики рассеивания Числовые характеристики характеристики положения характеристики рассеивания Виды распределений Нормальное Равномерное Биномиальное характеристики положения Математическое ожидание Медиана характеристики

Подробнее

Биномиальное распределение B(n,p) Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью:

Биномиальное распределение B(n,p) Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью: ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Случайные величины измеряются и анализируются в терминах их статистических и вероятностных свойств, главным выразителем которых является функция

Подробнее

Лабораторная работа 1 Применения MATHCAD для решения задач теории вероятности.

Лабораторная работа 1 Применения MATHCAD для решения задач теории вероятности. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ]

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ] Законы распределения случайных величин [Часть II, стр. 0-3] Центральная предельная теорема: сумма произвольно распределенных независимых случайных величин при условии одинакового их влияния подчиняется

Подробнее

Практическая работа 8 Основные законы распределения непрерывной случайной величины

Практическая работа 8 Основные законы распределения непрерывной случайной величины Практическая работа 8 Основные законы распределения непрерывной случайной величины Цель работы: Нахождение значений, вероятностей и характеристик случайных величин, распределенных по основным законам НСВ.

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины 2. Место дисциплины в структуре ООП

1. Цели и задачи дисциплины 2. Место дисциплины в структуре ООП 1. Цели и задачи дисциплины Целью дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является обучение студентов основным методам теории вероятностей и математической статистики и использованию

Подробнее

1 Первичная обработка статистических данных

1 Первичная обработка статистических данных Первичная обработка статистических данных Абстрактная и конкретная выборки Основные числовые характеристики выборки Вариационные ряды выборки Гистограмма частот 5 Эмпирическая функция распределения Пусть

Подробнее

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция.

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция. Оглавление ГЛАВА 3 продолжение. Функции случайных величин. Характеристическая функция... Функция одного случайного аргумента.... Основные числовые характеристики функции случайного аргумента.... Плотность

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Требования к результатам освоения дисциплины:

Требования к результатам освоения дисциплины: 1. Цели и задачи дисциплины: получение базовых знаний и формирование основных навыков по теории вероятностей и математической статистике, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической

Подробнее

Лабораторная работа 1 Применения MATHCAD для решения задач теории вероятности.

Лабораторная работа 1 Применения MATHCAD для решения задач теории вероятности. Geerated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluatio oly. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (95) 509-8-0 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

2.6. Эксцесс и асимметрия

2.6. Эксцесс и асимметрия Лекция 9 План лекции.5.6. Распределение Симпсона (треугольное распределение)..6 Эксцесс и асимметрия.7 Теорема Ляпунова и её следствия 3. Системы случайных величин (случайные векторы) 3.1 Закон распределения

Подробнее

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика»

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) Решить задачи: 2.В партии 1000 деталей, из них 20 дефектных. Какова вероятность того,

Подробнее

Глава 3. Случайные величины (продолжение) Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение...

Глава 3. Случайные величины (продолжение) Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение... Глава. Случайные величины продолжение..... Основные распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение.... Интеграл Пуассона.... Определение нормального распределения.... Свойства плотности

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений

Статистическая обработка результатов измерений Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский Государственный Технологический Университет им. К. Э. Циолковского. Кафедра «Высшая математика» Статистическая обработка результатов измерений

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Задача 1. Некто заполнил карточку спортивной лотереи «6 из 49». Случайная величина X число угаданных им номеров при розыгрыше. 1) составить таблицу распределения случайной величины X; ) построить многоугольник

Подробнее

Приближенные числа и вычисления

Приближенные числа и вычисления ) Основные понятия ) Влияние погрешностей аргументов на точность функции 3) Понятие обратной задачи в теории погрешностей ) Основные понятия I Приближенные числа, их абсолютная и относительная погрешности

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее