Е.В. Шульга Омский государственный педагогический университет

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Е.В. Шульга Омский государственный педагогический университет"

Транскрипт

1 Е.В. Шульга Омский государственный педагогический университет Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск Обучение математическому моделированию экономических процессов студентов специальности «Прикладная информатика в менеджменте» (на примере темы «Межотраслевой баланс») теория и методика обучения и воспитания (информатика) А В статье рассматриваются вопросы создания балансовых моделей. Модель межотраслевого баланса Леонтьева. Полные затраты. Схема межотраслевого баланса и ее анализ. Приводится пример решения задачи в MS Excel на нахождение коэффициентов полных затрат, вектора валового выпуска, межотраслевых поставок продукции, с проверкой продуктивности матрицы и заполнением схемы межотраслевого баланса. Современный уровень развития и запросы общества привели к повышению спроса в вузах на специальности с экономической направленностью. Спрос порождает предложение. Востребованный сегодня на рынке труда специалист, должен владеть, как минимум, навыками работы на персональном компьютере и начальными экономическими знаниями. Для студентов специальности «Прикладная информатика в менеджменте» математическое моделирование экономических процессов это одно из тех направлений, в котором изучаемая экономическая теория органично сочетается с ее реализацией на компьютере. «Межотраслевой баланс» относится к ключевым темам в экономикоматематическом моделировании. Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Суть сбалансированности в том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства. В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод: взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них. Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода. Наиболее простым вариантом модели межотраслевого баланса является модель Леонтьева, за которую автор в 1973 г. был удостоен премии Альфреда Нобеля по экономике «За развитие метода «затраты-выпуск» и его применение к важным экономическим проблемам» [2]. Для построения модели вводятся следующие условия: 1. Пусть вся экономика страны разбита на n отраслей материального производства и в ней продаются, покупаются, потребляются и инвестируются n продуктов, т. е. каждая отрасль выпускает некоторый продукт (разные отрасли выпускают разные продукты), часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт), а другая часть идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт). 2. Каждая отрасль является «чистой» это условная отрасль, которая объединяет все производство данного продукта независимо от ведомственной подчиненности предприятия, т. е. некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т. д.). 3. Под производственным процессом в каждой отрасли понимается преобразование некоторых (возможно всех) типов продуктов в определенный продукт. При этом соотношение затраченных продуктов и выпускаемого предполагается постоянным. Т. е. не-

2 зависимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношение затрат предполагаются постоянными. Обозначим: х i (i = 1,, n) общий объем продукции отрасли i за данный промежуток времени, т. е. валовой выпуск отрасли i; x ij объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства; у i объем продукции отрасли i, предназначенный для потребления; в непроизводственной сфере объем конечного потребления; Z j условно-чистая продукция, включающая оплату труда, чистый доход и амортизацию. Единицы измерения всех указанных величин могут быть натуральными (кубометры, тонны, штуки и т. п.) или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный или стоимостной межотраслевые балансы. Балансовый характер выражается следующим балансовым соотношением: при любом i = 1,, n должно выполняться: х i = х i1 + х i2 + + х in + у i. (1) Это соотношение обозначает, что валовой выпуск х i расходуется на производственное потребление, равное х i1 + х i2 + + х in, и непроизводственное потребление, равное у i. В.В. Леонтьев, рассматривая развитие экономики, обратил внимание на важное обстоятельство: величины а ij = x ij / х j остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии. Согласно предположению 3, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции и выполняется: x ij = а ij х j (i, j = 1,, n), где а ij коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты, коэффициенты материалоемкости) характеризуют количество продукции i-ой отрасли, использованной при производстве единицы валовой продукции j-ой отрасли. С учетом соотношения (1), модель Леонтьева для отраслей-производителей выглядит следующим образом: а 11 х 1 + а 12 х а 1n х n + у 1 = х 1 ; а 21 х 1 + а 22 х а 2n х n + у 2 = х 2 ;. a n1 х 1 + а n2 х а nn х n + у n = х n. Или в матричной записи: Х = АХ + У. (2) Вектор Х называется вектором валового выпуска, У вектор конечного потребления, А матрица коэффициентов прямых затрат. Матрица коэффициентов прямых затрат называется продуктивной, если: а ij > 0 и Σ а ij < 1. Экономический смысл этого определения заключается в том, что экономика должна быть рентабельной. Уравнение (2) называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода [t 0, t 1 ] задается У вектор конечного потребления. Требуется определить вектор Х валового выпуска. Другими словами, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции разных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? При этом нужно учитывать, что уравнения системы в модели Леонтьева имеют следующие особенности: 1) все компоненты матрицы А и вектора У неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и У): А 0, У 0; 2) все компоненты вектора Х также должны быть неотрицательными: Х 0.

3 С помощью модели Леонтьева можно выполнять еще три вида расчетов [3]: 1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли, можно определить объем конечной продукции каждой отрасли: У = Х АХ, следовательно, У = (Е А)Х, где Е единичная матрица. 2. Задав величины конечной продукции всех отраслей можно определить величины валовой продукции каждой отрасли: Х = (Е А) -1 У Обозначим обратную матрицу (Е А) -1 = В = b ij матрица коэффициентов полных затрат, тогда предыдущее равенство можно записать в виде: Х = ВУ, т. е. х i = b i1 у 1 + b i2 у b in у n. Коэффициент полных затрат b ij показывает какое количество продукции i-ой отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-ой отрасли. Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления продукции и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции. Пример [1]. Затраты на производство проката показаны в таблице 1. Руда Чугун Сталь Прокат Таблица 1 Косвенные затраты 2 порядка Косвенные затраты 1 порядка Прямые затраты 3. Задав для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых. Для того чтобы обеспечить положительный конечный выпуск У > 0 по всем отраслям, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий: 1. Определитель det Е А 0, т. е. матрица (Е А) имеет обратную матрицу (Е А) Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А: А - λе = 0, строго меньше единицы: max λ < Все главные миноры матрицы (Е А), т. е. определители матриц, образованных элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны. Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов (таблица 2). Первый квадрант отражает межотраслевые потоки продукции. Второй характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода. Третий представляет национальный доход как стоимость условно-чистой продукции. Четвертый квадрант показывает конечное распределение и использование национального дохода.. Межотраслевой баланс Производящие отрасли Потребляющие отрасли Конечный продукт Валовой продукт 1 2 n 1 х 11 х 12 x 1n у 1 х 1 2 x 21 x 22 x 2n y 2 x 2 Ι ΙΙ n x n1 x n2 x nn y n x n Амортизация Оплата труда Z 1 Z 2 Z n Таблица 2

4 Чистый продукт ΙΙΙ ΙV Валовой продукт х 1 x 2 x n Σх i = Σх j В соответствии с изложенной выше теорией студентам на лабораторных занятиях предлагается решить следующую задачу: Даны коэффициенты прямых затрат (матрица А) и конечное потребление (У) для трехотраслевой экономики: 0,1 0,2 0,1 200 А = 0,2 0,1 0, У = ,2 0,1 250 Требуется определить: а) коэффициенты полных затрат; б) вектор валового выпуска; в) межотраслевые поставки продукции; г) проверить продуктивность матрицы А; д) заполнить схему межотраслевого баланса. В результате в Excel получается решение, которое можно использовать как шаблон для решения других аналогичных задач или построения подобных балансовых моделей. Решение: 1. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат B = (E A) -1. В таблице 3 приведены результаты решения по первым трем пунктам задачи. A B C D E F G 1 2 0,1 0,2 0,1 3 А 0,2 0, ,2 0, ,9-0,2-0,1 7 Е - А -0,2 0, ,2 0,9 9 1) 10 1, , , В 0, , , У , , , ) , Х 235, , ) 20 31, , , Х 62, , , ,01887 Таблица 3 Для вычисления обратной матрицы необходимо: выделить диапазон ячеек для размещения обратной матрицы; выбрать функцию МОБР в категории математические; ввести диапазон ячеек, где содержится матрица Е А; нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. В ячейки B6:D8 запишем элементы матрицы Е А. Массив Е А задан как диапазон ячеек. Выделим диапазон B10:D12 для размещения обратной матрицы B = (E

5 A) -1 и введем формулу для вычислений МОБР (B6:D8). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна (это ответ на пункты «а» «г»). 2. Вычислим вектор валового выпуска Х по формуле Х = ВУ. Для умножения матриц необходимо: выделить диапазон ячеек для размещения результата умножения матриц; выбрать функцию МУМНОЖ в категории математические; ввести диапазоны ячеек, где содержатся матрицы В и У; нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта У. Выделим диапазон В15:В17 для размещения вектора валового выпуска Х, вычисляемого по формуле Х = (E A) -1 У. Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ (В10:D12, G10:G12). Далее следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. 3. Межотраслевые поставки х ij вычисляем по формуле х ij = а ij Х j. 4. Заполняем схему МОБ (таблица 4). Таблица 4 Производящие отрасли Потребляющие отрасли Конечный продукт Валовой продукт , , , , , , , , , ,1887 Условно чистая продукция 217, , , Валовой продукт 311, , , ,3585 Изучение экономических процессов математическими методами и средствами информатики является необходимым условием эффективного обучения не только студентов специальности «Прикладная информатика в менеджменте», но и студентов специальностей, в учебных планах которых имеются дисциплины «Экономическое моделирование», «Экономико-математические методы и модели», «Бизнес-анализ» и др. Кроме того, сочетание вышеназванных средств и методов отвечает современным требованиям, предъявляемым обществом к обучению в высшей школе. Библиография 1. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. СПб.: Изд-во «Лань», с. 2. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. М.: Вузовский учебник, с. 3. Экономико-математические методы и модели: Программа, методические указания и задания / Сост. И. П. Геращенко. Омск, с.

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными 223 Модель Леонтьева многоотраслевой экономики Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем,

Подробнее

Балансовые задачи - средствами Excel

Балансовые задачи - средствами Excel Балансовые задачи - средствами Excel В статье приведена методика решения балансовых задач в экономике с помощью реализованных в Excel методов линейной алгебры (см. также статью [1]), которая может использоваться

Подробнее

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В БИЗНЕС-СИСТЕМАХ

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В БИЗНЕС-СИСТЕМАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ИНСТИТУТ ХОЛОДА И БИОТЕХНОЛОГИЙ Т.Б. Полторацкая

Подробнее

Лабораторная работа 3_9. Поиск и принятие решений в Excel. 1-й вид продукции 2-й вид продукции 1,2 1,9 37 2,3 1,8 57,6 0,1 0,7 7

Лабораторная работа 3_9. Поиск и принятие решений в Excel. 1-й вид продукции 2-й вид продукции 1,2 1,9 37 2,3 1,8 57,6 0,1 0,7 7 Лабораторная работа 3_9. Поиск и принятие решений в Excel. Что осваивается и изучается? Решение задачи определения оптимального плана и транспортной задачи при помощи надстройки «Поиск решения». Задание

Подробнее

Глава 4. МНОГООТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ Формализация многоотраслевой экономики

Глава 4. МНОГООТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ Формализация многоотраслевой экономики Глава 4. МНОГООТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ 4.1. Формализация многоотраслевой экономики Основные идеи моделирования многоотраслевой экономики в середине XX в. разработал лауреат Нобелевской премии, американский ученый

Подробнее

Тема: Межотраслевой баланс. Полное решение задачи МОБ ( построение шахматной таблицы, матричный мультипликатор, затраты труда и фондов)

Тема: Межотраслевой баланс. Полное решение задачи МОБ ( построение шахматной таблицы, матричный мультипликатор, затраты труда и фондов) Тема: Межотраслевой баланс. Полное решение задачи МОБ ( построение шахматной таблицы, матричный мультипликатор, затраты труда и фондов) ЗАДАНИЕ. Дан следующий отчетный межотраслевой баланс (МОБ) отрасли

Подробнее

сырье Пусть матрица А матрица нормы расхода сырья на производство - матрица плана выпуска продукции. Матрица B b1 b2 b3

сырье Пусть матрица А матрица нормы расхода сырья на производство - матрица плана выпуска продукции. Матрица B b1 b2 b3 40 4. Использование матриц, определителей и систем уравнений в экономике 4. Использование матриц в экономике Пусть некоторое предприятие выпускает три вида продукции,, и использует для этого три вида сырья,,.

Подробнее

Статическая и динамическая межотраслевые модели. Кольцов С.Н.

Статическая и динамическая межотраслевые модели. Кольцов С.Н. Статическая и динамическая межотраслевые модели. Кольцов С.Н. www.linis.ru ОСНОВНЫЕ ТЕОРИИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА Экономическое развитие подразумевает большее, чем просто увеличение производства товаров

Подробнее

Рис Ввод матриц на рабочий лист

Рис Ввод матриц на рабочий лист МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 11 Умножение матриц 12 Транспонирование матриц 13 Обратная матрица 14 Сложение матриц 15 Вычисление определителей Обратите внимание на особенность

Подробнее

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ БОЛЬШИХ ЗАДАЧ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ БОЛЬШИХ ЗАДАЧ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ БОЛЬШИХ ЗАДАЧ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА О.В. Подчищаева, Ю.Н. Пыхтеев Нижегородский государственный университет Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует

Подробнее

Использование матричных моделей на машиностроительном предприятии в условиях кризиса

Использование матричных моделей на машиностроительном предприятии в условиях кризиса УДК 65.05 Использование матричных моделей на машиностроительном предприятии в условиях кризиса Т.И. Кузнецова, О.Н. Белоусова МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия Исследованы проблемы использования

Подробнее

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРЯМЫХ ЗАТРАТ В МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРЯМЫХ ЗАТРАТ В МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРЯМЫХ ЗАТРАТ В МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА Никонова Я.С., Фахрудинова А.К. Ставропольский государственный аграрный университет Ставрополь, Россия ECHNIQUE OF DEERMINAION

Подробнее

OpenOffice.org Calc. x 1. x 2. a 12

OpenOffice.org Calc. x 1. x 2. a 12 Глава 3 Решение систем линейных уравнений. Работа с матрицами OpenOffice.org Calc В этой главе мы изучим возможности пакета OpenOffice.org Calc при решении систем линейных алгебраических уравнений и выполнении

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

Динамические межотраслевые модели. Кольцов С.Н.

Динамические межотраслевые модели. Кольцов С.Н. Динамические межотраслевые модели. Кольцов С.Н. www.linis.ru ОСНОВНЫЕ ТЕОРИИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА Экономическое развитие подразумевает большее, чем просто увеличение производства товаров и услуг. Американский

Подробнее

114часов (3ЗЕ) из них: лекций 18 час. лабораторных занятий 18. практических занятий 4 час. самостоятельной работы студентов 98 час.

114часов (3ЗЕ) из них: лекций 18 час. лабораторных занятий 18. практических занятий 4 час. самостоятельной работы студентов 98 час. 1. Общая информация о дисциплине 1.1. Название дисциплины: Методы и модели в экономике 1.2.1 Трудоёмкость дисциплины по учебному плану очной формы обучения - 114 часов (3 ЗЕ) из них: лекций 18 час. лабораторных

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 6. Метод Гаусса

Линейная алгебра Лекция 6. Метод Гаусса Линейная алгебра Лекция 6 Метод Гаусса В свободной энциклопедии Википедии написано: «Метод Гаусса классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Этот метод последовательного

Подробнее

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

Рамазанов С. К. Рязанцева Н. А. Ляшенко Т. В. Мусаева Э. К. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В МЕНЕДЖМЕНТЕ И МАРКЕТИНГЕ

Рамазанов С. К. Рязанцева Н. А. Ляшенко Т. В. Мусаева Э. К. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В МЕНЕДЖМЕНТЕ И МАРКЕТИНГЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ Рамазанов С. К. Рязанцева Н. А. Ляшенко Т. В. Мусаева Э. К. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В МЕНЕДЖМЕНТЕ

Подробнее

И.А. Гетьман, Л.В. Васильева, Донбасская государственная машиностроительная

И.А. Гетьман, Л.В. Васильева, Донбасская государственная машиностроительная УДК 004.64 И.А. Гетьман, Л.В. Васильева, Донбасская государственная машиностроительная академія (г. Краматорск) МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА В ПОСЛЕДИПЛОМНОМ ОБРАЗОВАНИИ Гетьман

Подробнее

Нормы расхода ресурсов на одно изделие. шкафов. По смыслу задачи эти переменные неотрицательны, x1, x2

Нормы расхода ресурсов на одно изделие. шкафов. По смыслу задачи эти переменные неотрицательны, x1, x2 Составление, решение и анализ задачи линейного программирования в Excel ЗАДАНИЕ. Построить математическую модель задачи и решить её средствами Excel. Записать сопряжённую задачу. Провести анализ и сделать

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки 38.03.01

Подробнее

Метод анализа иерархий 16+

Метод анализа иерархий 16+ 16+ Шевченко Денис Вячеславович e-mail: DV@ieml.ru В vk.com/dv1973 1 Материалы лекции размещены по адресу: www.ieml-math.narod.ru/lect/mpur_mai.pdf 2 История и суть В 1970 г. Томас Саати (США) разработал

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

Лабораторная работа 3. Поиск решения в Microsoft Excel

Лабораторная работа 3. Поиск решения в Microsoft Excel Лабораторная работа 3. Поиск решения в Microsoft Excel Целью лабораторной работы является изучение возможностей средства Поиск решения MS Excel для решения оптимизационных задач. К защите лабораторной

Подробнее

ВЫБОР ПРИОРИТЕТОВ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ г. ОМСКА НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

ВЫБОР ПРИОРИТЕТОВ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ г. ОМСКА НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА ОМСКА ДЕПАРТАМЕНТ ГОРОДСКОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ ВЫБОР ПРИОРИТЕТОВ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ г. ОМСКА НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА П. Б. Хейфец Известно, что эффективным

Подробнее

Моделирование межотраслевых связей в регионе. Дырхеев К.П БГУ

Моделирование межотраслевых связей в регионе. Дырхеев К.П БГУ Моделирование межотраслевых связей в регионе Дырхеев К.П БГУ Система региональных счетов 1. Счет производства 2. Счет образования доходов 3. Счета распределения первичных доходов и вторичного распределения

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Глава 18. Функция массива МУМНОЖ

Глава 18. Функция массива МУМНОЖ Глава 18. Функция массива МУМНОЖ Это глава из книги: Майкл Гирвин. Ctrl+Shift+Enter. Освоение формул массива в Excel. Предыдущая глава Оглавление Следующая глава Функция МУМНОЖ используется в Excel для

Подробнее

1. Требования к результатам освоения дисциплины «Математические методы в экономике».

1. Требования к результатам освоения дисциплины «Математические методы в экономике». 2 1. Требования к результатам освоения дисциплины «Математические методы в экономике». 1.1. Процесс изучения дисциплины «Математические методы в экономике» направлен на формирование следующих компетенций:

Подробнее

Глава 5. ДИНАМИЧЕСКИЕ МНОГООТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ Синтез динамических многоотраслевых моделей В. Леонтьева

Глава 5. ДИНАМИЧЕСКИЕ МНОГООТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ Синтез динамических многоотраслевых моделей В. Леонтьева Глава 5. ДИНАМИЧЕСКИЕ МНОГООТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ 5.. Синтез динамических многоотраслевых моделей В. Леонтьева Динамические межотраслевые модели В. Леонтьев разработал в начале 50-х гг. XX в. Эти модели являются

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Формулы массива в Excel

Формулы массива в Excel 1 Формулы массива в Excel Массив набор элементов, который обрабатывается как единое целое. Разновидности массивов: 1. Одномерные вектор, значения которого хранятся в одной строке (столбце). Вектор-строка

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и

Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и аудит курс, 3 г.о., ДОТ Семестр: 2 Количество кредитов:

Подробнее

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция Решение систем алгебраических уравнений в средах Лектор MS Ecel и Mthcd Ст. преподаватель Купо А.Н. .Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Постановка задачи..методы решения СЛАУ.(Метод

Подробнее

Экономико-математические методы и модели.

Экономико-математические методы и модели. ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Экономико-математические методы и модели. МОСКВА - 00 Практические задания

Подробнее

Моделирование влияния инвестиционных проектов на динамику экономического развития страны с помощью многосекторных моделей

Моделирование влияния инвестиционных проектов на динамику экономического развития страны с помощью многосекторных моделей 36 Информатика, математическое моделирование, экономика ТРУДЫ МФТИ. 2013. Том 5, 3 УДК 06.35.51 Ю. Н. Волков, Ю. С. Поляков Московский физико-технический институт (государственный университет) Моделирование

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

3. Требования к результатам освоения дисциплины

3. Требования к результатам освоения дисциплины Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А по дисциплине «Математические методы в экономике» направление подготовки бакалавров 09.03.03 - Прикладная информатика 1. Цель и задачи дисциплины Основная цель дисциплины

Подробнее

ВАРИАНТ 5 0,2 0,3 0,0 A 0,3 0,1 0, 2, 0,1 0, 0 0,3

ВАРИАНТ 5 0,2 0,3 0,0 A 0,3 0,1 0, 2, 0,1 0, 0 0,3 ВАРИАНТ 5 Задание 1. Рассмотрим три отрасли промышленности: I, II, III, каждая из которых производит свой однородный продукт и для обеспечения производства нуждается в продукции других отраслей. Процесс

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Цель работы расчет ускорения свободного падения по результатам лабораторного эксперимента методом наименьших квадратов. Изучение

Подробнее

КОНСПЕКТ УРОКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» «ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ»

КОНСПЕКТ УРОКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» «ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ» Тюрикова Татьяна Леонидовна Краевое государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Кунгурский сельскохозяйственный колледж» Пермский край, г. Кунгур КОНСПЕКТ

Подробнее

ОТРАЖЕНИЕ ПРОПОРЦИЙ В МОДЕЛЯХ ОБЩЕСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА

ОТРАЖЕНИЕ ПРОПОРЦИЙ В МОДЕЛЯХ ОБЩЕСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА УДК 330.101.8 ОТРАЖЕНИЕ ПРОПОРЦИЙ В МОДЕЛЯХ ОБЩЕСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА Мельникова Т.А. Научный руководитель канд. экон. Наук, доцент Демченко С.К. Сибирский федеральный университет, г. Красноярск На сегодняшний

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Образец решения. получаем элемент матрицы AB, стоящий в 1-ой строке и 2-ом столбце (элемент C 12

Образец решения. получаем элемент матрицы AB, стоящий в 1-ой строке и 2-ом столбце (элемент C 12 1. Даны матрицы: Образец решения 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 Найти матрицу и выяснить, имеет ли она обратную матрицу. Решение. Найдѐм матрицу Найдѐм транспонированную матрицу Найдѐм

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ MS EXCEL В РЕШЕНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ПРИМЕНЕНИЕ MS EXCEL В РЕШЕНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ NovaInfo.Ru - 7, 2011 г. Технические науки 1 ПРИМЕНЕНИЕ MS EXCEL В РЕШЕНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Князева Анна Александровна Лыкова Нина Петровна Одним из важнейших на данный момент разделом логистики, является

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Практикум по высшей математике

Практикум по высшей математике МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Практикум по высшей математике Часть I Линейная алгебра

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы Транспортная задача. 1. Транспортная задача в матричной постановке Транспортная задача формулируется следующим образом. Пусть m поставщиков располагают a i (i = 1, 2,..., m) единицами некоторой продукции,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО- МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Б2.Б.4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГОС 200г., 3.0.200.,

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Геворкян Павел Самвелович Горелов Василий Александрович. для подготовки бакалавров по направлению «Экономика», заочная форма обучения

Геворкян Павел Самвелович Горелов Василий Александрович. для подготовки бакалавров по направлению «Экономика», заочная форма обучения Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Геворкян Павел Самвелович Горелов Василий Александрович «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для подготовки бакалавров

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ИННОВАЦИОННАЯ ЭКОНОМИКА И КАЧЕСТВО ЖИЗНИ НАСЕЛЕНИЯ Дудолад А.С. ОАО «Харьковгоргаз»

ИННОВАЦИОННАЯ ЭКОНОМИКА И КАЧЕСТВО ЖИЗНИ НАСЕЛЕНИЯ Дудолад А.С. ОАО «Харьковгоргаз» ИННОВАЦИОННАЯ ЭКОНОМИКА И КАЧЕСТВО ЖИЗНИ НАСЕЛЕНИЯ Дудолад А.С. ОАО «Харьковгоргаз» Преимущества экономики инновационного типа проявляются в конечном счете в показателях качества жизни населения (КЖН.

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ Протасеня Александр Анатольевич Рогожина Регина Григорьевна Ветохина Валентина Евгеньевна

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Нелинейная задача оптимизации.

Нелинейная задача оптимизации. Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Подробнее

Моделирование развития финансовой пирамиды средствами MS EXCEL

Моделирование развития финансовой пирамиды средствами MS EXCEL Моделирование развития финансовой пирамиды средствами MS EXCEL Цель работы: освоить приемы экономико-математического моделирования уравнений с помощью электронных таблиц Excel с использованием встроенных

Подробнее

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Кузбасский государственный технический университет» Кафедра вычислительной техники

Подробнее

К теме «Транспортная задача»

К теме «Транспортная задача» К теме «Транспортная задача» Математическая формулировка транспортной задачи. Построение опорного плана перевозок методом «северо-западного угла». Построение опорного плана перевозок методом минимальных

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

7.1 Оптимизация как задача линейного программирования

7.1 Оптимизация как задача линейного программирования Gnumeric: электронная таблица для всех И.А.Хахаев, 2007-2010 7 Линейная оптимизация (поиск решения) 7.1 Оптимизация как задача линейного программирования Пусть имеется функция, называемая целевой, линейно

Подробнее

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Ecel ЗАДАНИЕ. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие и Изделие. На изготовление единицы

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Негосударственное образовательное частное учреждение высшего профессионального образования «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ» Кафедра экономики РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

Подробнее

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях:

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях: Задача. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4+y при следующих ограничениях: Решить задачу при дополнительном условии (ДУ): ДУ: Найти минимум целевой функции L=-y при

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее