Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений"

Транскрипт

1 А. Ф. Заусаев, В. Е. Зотеев Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений Лабораторный практикум Самара Самарский государственный технический университет

2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики и информатики Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений Лабораторный практикум Самара Самарский государственный технический университет

3 Печатается по решению методического совета СамГТУ УДК 59.6 (75.8) Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений: лабораторный практикум / Сост. А. Ф. Заусаев, В. Е. Зотеев. Самара; Самар. гос. техн. ун-т,. 34 с. Предложены задания к лабораторным работам по темам «Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговыми методами», «Формирование таблицы начальных значений для многошаговых методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений», «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений явным многошаговыми методом Адамса-Бэшфорта», «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений неявным многошаговым методом Адамса-Мултона» и «Исследование устойчивости, сходимости и вычисление локальных и глобальных ошибок дискретизации одношаговых и многошаговых методов» Предназначено для студентов специальности.5. «Прикладная математика и информатика». УДК 59.6 (75.8) Составители: доктор физ.-мат. наук А. Ф. Заусаев, канд. физ.-мат. наук В. Е. Зотеев Рецензент: канд. физ.-мат. наук В. Л. Спицын А. Ф. Заусаев, В. Е. Зотеев, составление, Самарский государственный технический университет,

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 Введение Предлагаемый лабораторный практикум содержит учебные задания для лабораторных работ по курсу «Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений» и предназначен для студентов, обучающихся специальности.5. «Прикладная математика и информатика». Целью выполнения лабораторных работ является приобретение и закрепление практических навыков при решении основных задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с применением вычислительной техники. Лабораторный практикум по численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений включает в себя задания и методические указания к их выполнению по следующим темам:. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговыми методами.. Формирование таблицы начальных данных для многошаговых методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 3. Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений явными многошаговыми методами Адамса- Бэшфорта. 4. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений неявными методами Адамса-Мултона. 5. Исследование устойчивости и вычисление локальных и глобальных погрешностей дискретизации одношаговых и многошаговых методов. Каждое учебное задание содержит 4 варианта. Вариант задания выбирается из приложений или в соответствии с порядковым номером студента в списке группы. При выполнении лабораторной работы необходимо: изучить теоретический материал; подготовить исходные данные к решению задачи на ЭВМ; разработать алгоритм решения задачи; разработать и отладить программу на алгоритмическом языке и решить задачу на ЭВМ; проанализировать полученное решение и сделать выводы; оформить отчет о лабораторной работе. Отчет о лабораторной работе должен содержать: тему лабораторной работы, текст задания и исходные данные; необходимые расчеты, графические построения и т. п.; результаты вычислений на ЭВМ; выводы. 3

5 4 Тема. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговыми методами Лабораторная работа Решение задачи Коши методами Эйлера и Хойна Цель работы: практическое применение простейших одношаговых методов Эйлера и Хойна к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Наиболее известным способом нахождения решения в точке n, если оно известно в точке n, является способ, основанный на представлении решения в виде ряда Тейлора ( n ) ( n ) h ( n, n, h), n,,,..., (.) где h h (,, ) ( ) ( ) n n h n n ( n )....! 3! Если ряд (.) ограничить p членами и заменить ( n ) приближенным значением n, получим следующую приближенную формулу для определения n : n n hϕ( n, n, h), n,,,..., (.) p h h ( p) где ϕ(,, h) f (, ) f (, )... f (, ).! p! Для значений p имеем формулу метода Эйлера n n hf ( n, n ). (.3) Методы Рунге-Кутты основаны на построении формул для функции ϕ, которая максимально близка к и не содержит производных от функции f. Для двухэтапного метода этот процесс замены рядов Тейлора функцией ϕ (,, h) можно представить следующим образом. Положим ϕ,, h) c f (, ) c f ( ha, b hf (, )), (.4) (, c, a, b где c неизвестные постоянные, подлежащие определению Пусть c α, где α. Тогда c α, a b. α

6 При значении α имеем формулу метода Хойна: n n h f ( n, n ) f ( n h, n hf ( n, n Пример.. Решить задачу Коши для системы уравнений, ; )). (.5) методами Эйлера и Хойна с шагом h,;,;, на отрезке [, ]. Оценить погрешность численных решений. Решение. Аналитическое решение данной системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид: t e t. e В табл...3 представлены результаты вычислений точного решения Т ( t), Т ( t), решения, полученного методом Эйлера ( t), ( t), а также разность между приближенным и точным решениями ( t), ( t) в трех точках, соответствующих моментам времени t, t и t, для различных шагов интегрирования. В табл..4.6 представлены результаты вычислений точного решения Т ( t), Т ( t), полученного методом Хойна h ( t), h ( t), а также разность между приближенным и точным решениями ( t), ( t) в трех точках, соответствующих моментам времени t, t и t, для различных шагов интегрирования. Таблица. Результаты вычислений при шаге интегрирования h, t (t) (t) T (t) T (t) Δ Δ,,,,,, 7,9,383 8,389 4,778,97,395 39,338 76,675 55,598 9,96 6,6 3,5 5

7 Таблица. Результаты вычислений при шаге интегрирования h, t (t) (t) T (t) T (t) Δ Δ,,,,,, 8,45 4,489 8,389 4,778,44,89 53,485 4,97 55,598 9,96,3 4,6 Таблица.3 Результаты вычислений при шаге интегрирования h, t (t) (t) T (t) T (t) Δ Δ,,,,,, 8,374 4,749 8,389 4,778,5,9 55,38 8,76 55,598 9,96,8,435 Таблица.4 Результаты вычислений при шаге интегрирования h, t h (t) h (t) T (t) T (t) Δ Δ,,,,,, 7,9 3,8 8,389 4,778,478,955 45,66 89,39 55,598 9,96 9,938 9,877 Таблица.5 Результаты вычислений при шаге интегрирования h, t h (t) h (t) T (t) T (t) Δ Δ,,,,,, 8,335 4,67 8,389 4,778,54,7 54,388 6,777 55,598 9,96,,4 Таблица.6 Результаты вычислений при шаге интегрирования h, t h (t) h (t) T (t) T (t) Δ Δ,,,,,, 8,384 4,767 8,389 4,778,5, 55,474 8,949 55,598 9,96,4,47 6

8 Задания для самостоятельной работы Задание. Решить аналитически систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении. Задание. Составить алгоритмы и программы для решения индивидуальных заданий методами Эйлера и Хойна. Задание 3. Используя простейшие одношаговые методы Эйлера и Хойна, решить систему на отрезке [; ] с шагом интегрирования h,;,;,. Результаты вычислений представить с шагом h,. Задание 4. Оценить погрешность численных решений. Контрольные вопросы. Разновидностью каких методов являются методы Эйлера и Хойна?. Какому порядку точности соответствуют методы Эйлера и Хойна? 3. Какой из методов обладает большей областью устойчивости: метод Эйлера или метод Хойна? Тема. Закладка таблицы начальных данных Лабораторная работа Формирование таблицы начальных значений для многошаговых методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений Цель работы: получение начальных данных с высокой степенью точности для выполнения последующих работ с использованием многошаговых методов. Рассмотрим применение численных методов для решения задачи Коши f (, ), [ a, b], ( a). (.) При решении задачи (.) с помощью одношаговых методов значение n зависит только от информации в предыдущей точке n. Можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках n, n,..., nk. На этой идее основаны многошаговые методы. Многошаговые методы порождают трудности, которые становятся понятными, если, например, обратиться к многошаговому методу пятого порядка. 7

9 В задаче (.) задано начальное значение, но при n для счета многошаговым методом 5-того порядка необходима информация, кроме того, в точках,, 3, 4, которая естественно отсутствует. Обычный выход из данной ситуации заключается в использовании какого-либо одношагового метода того же порядка точности, например метода Рунге-Кутты, до тех пор, пока не будет получено достаточно значений для работы многошагового метода. Или же можно на первом шаге использовать одношаговый метод, на втором двухшаговый и так далее, пока не будут получены все стартовые значения. При этом существенно, чтобы эти стартовые значения были вычислены с той же степенью точности, с какой будет работать окончательный метод. Поскольку стартовые методы имеют более низкий порядок точности, вначале приходится считать с меньшим шагом и использовать больше промежуточных точек. Для закладки таблицы начальных значений можно также использовать разложение решения заданной системы в ряды Маклорена: k k t ( ) ( ) t, (.) k! 8 k k t ( ) t. (.3) k k! Закладку начальных данных для 5 моментов с помощью формул (.) и (.3) рассмотрим на примере двух задач. Пример.. Построить таблицу пяти начальных значений с шагом h,;,;, для дальнейшего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, ; методами Адамса-Бэшфорта и Адамса-Мултона. Оценить погрешность решения. Решение. Аналитическое решение данной системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид: t e t. e По формулам (.), (.3) вычисляем коэффициенты рядов IV V ( ), 4, 8, 6, 3, ( k )

10 IV V ( ) 4, 8, 6, 3, 64. Ограничиваясь в разложении шестью первыми членами, получаем формулы для приближенного вычисления n и n c шагом интегрирования h (tnh, n,,, 3, 4): n nh ( nh) ( nh) ( nh) ( nh), (.4)!! 3! 4! 5! n nh ( nh) ( nh) ( nh) ( nh), (.5)!! 3! 4! 5! где n,,,3,4. Результаты вычислений представлены в третьем и четвертом столбцах таблиц..3 для значений h,;, и., в пятом и шестом столбцах находятся точные решения. В двух последних столбцах этих таблиц представлены разности между приближенными и точными значениями n ( t), n ( t) Таблица. Результаты вычислений при шаге интегрирования h, n t (t) (t) T (t) T (t) Δ Δ,,,,,,,,,4,448,4,448 9,5 8,83 7,,498,98364,498, ,3 6, 5 3,3,85 3,644,85 3,6444 7,8 5,4 4 4,4 3,53 4,456 3,554 4,458 4, 4 8, 4 Таблица. Результаты вычислений при шаге интегрирования h, n t (t) (t) T (t) T (t) Δ Δ,,,,,,,,,,44,,44 8,88 4,78 3,,48,86,48,86 5,7,4 3,3,684,367,684,367 6,54,3 4,4,839,6657,839,6657 3,68 7,37 9

11 Таблица.3 Результаты вычислений при шаге интегрирования h, n t (t) (t) T (t) T (t) Δ Δ,,,,,,,,,,4,,4,,,,4,8,4,8,, 3,3,6,4,6,4,, 4,4,83,66,83,66,, Пример.. Построить таблицу пяти начальных значений с шагом h,;,;, для дальнейшего решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка,, методами Адамса-Бэшфорта и Адамса-Мултона. Оценить погрешность решения. Решение. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения имеет вид ( ) e, ( ) e. Пять первых значений функций T (t) и T (t) точных значений решения заданной системы представлены в пятом и шестом столбцах таблиц.4.6 при различных значениях шага интегрирования h. Для закладки таблицы начальных значений используем разложение решения в ряд Маклорена по формуле (.3): ( k ) k ( ). k k! Для вычисления коэффициентов ряда находим производные высших порядков и вычисляем их значения при : ( ), ( ),, IV V VI IV ( ) 3, 6, IV V 4,, IV V ( ) 5, 3. Ограничиваясь в разложении членами пятого порядка, получаем формулы для приближенного вычисления n и n c шагом интегрирования h (tnh, n,,, 3, 4): VI

12 n nh ( nh) ( nh) ( nh) ( nh),!! 3! 4! 5! ( ) ( ) 5 n nh nh nh,! 3! 5! где n,,, 3, 4. Результаты вычислений представлены в третьем и четвертом столбцах таблиц.4.6 для значений h,;, и,, в пятом и шестом столбцах находятся точные решения. В двух последних столбцах этих таблиц, представлены разности между приближенным и точным значениями,. Таблица.4 Результаты вычислений при шаге интегрирования h, n () () T () T (),,,,,,,,,3,,3, 4,7 8 4,7 9,,44,488,44,488,68 6 5,36 7 3,3,93,676,96,676 3,7 7 9, 6 4,4,664,86656,6657,86663,74 4 6,97 5 Таблица.5 Результаты вычислений при шаге интегрирования h, n () () T () T (),,,,,,,,,,,, 4,7 4 4,6 6,,4,4,4,4,67 5,33 4 3,3,9,63,9,63 3,4 9, 3 4,4,6,86,6,86,7 6,83 Таблица 6 Результаты вычислений при шаге интегрирования h, n () () T () T (),,,,,,,,,,,,,,,,,4,,4,, 3,3,,6,,6,, 4,4,,8,,8,,

13 Задания для самостоятельной работы Задание. Построить таблицу пяти начальных значений для дальнейшего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методами Адамса-Бэшфорта и Адамса-Мултона. Задание выполнить для различных значений шага интегрирования h,;,;,. Задание. Оценить погрешность между аналитическим и приближенным решениями. Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении. Задание 3. Построить таблицу пяти начальных значений для дальнейшего решения дифференциального уравнения второго порядка методами Адамса-Бэшфорта и Адамса-Мултона. Задание выполнить для различных значений шага интегрирования h,;,;,. Задание 4. Оценить погрешность между аналитическим и приближенным решениями. Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении. Контрольные вопросы. Какие трудности возникают при использовании многошаговых методов?. Какие методы рекомендуется использовать для закладки начальных данных для многошаговых методов? 3. Какая зависимость между порядком многошагового метода и количеством неизвестных начальных данных. Тема 3. Многошаговые методы Лабораторная работа 3 Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений явным многошаговым методом Адамса-Бэшфорта Цель работы: использование явного многошагового метода Адамса- Бэшфорта к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. При решении задачи методами Адамса-Бэшфорта -го, 3-го, 4-го и 5-го порядков соответственно используются формулы (3.), (3.), (3.3), (3.4) и (3.5): h n n (3 f ( n, n ) f ( n, n)), n,,... (3.) 3 f ( n, n ) 6 f ( n, n) 5 f ( n, n ) n n h, n,3,... (3.)

14 n n 55 f ( n, n ) 59 f ( n, n) 37 f ( n, n ) 9 f ( n3, n3) h, 4 n 3,4,... (3.3) 9f ( n, n ) 774 f ( n, n) 66 f ( n, n ) h, 7 n n 74 f ( n3, n3) 5f ( n4, n4 ), n 4,5,... (3.4) 7 () () ( k ) где { ( ), ( ),..., ( )} вектор решений системы уравнений, аргумент, f (, ) { f (, ), f (, ),..., f (, )} вектор-функция правых частей системы уравнений, h шаг интегрирования. Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений с использованием формул (3.) (3.5). Пример 3.. Используя результаты лабораторной работы, решить систему дифференциальных уравнений, ; на интервале времени [; ], применяя методы Адамса-Бэшфорта -го, 3-го, 4-го и 5-го порядков. Оценить погрешность численных решений. Решение. Аналитическое решение данной системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид: t e t. e В табл представлены результаты вычислений точного решения Т ( t), Т ( t), решений, полученных методами Адамса- Бэшфорта -го, 3-го, 4-го и 5-го порядков ( t), ( t), а также разность между приближенным и точным решениями ( t), ( t) на конце интервала интегрирования в точке, соответствующей моменту времени t, для различных шагов интегрирования. () () ( k ) 3

15 Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Бэшфорта второго порядка h Т (t) Т (t) (t) (t) Таблица 3., 55,598 9,96 5,7 3,44,896 5,79, 55,598 9,96 55,56 9,5,357,75, 55,598 9,96 55,598 9,96,4,7 Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Бэшфорта третьего порядка h Т (t) Т (t) (t) (t) Таблица 3., 55,598 9,96 55,7 8,54,47,94, 55,598 9,96 55,598 9,95,6,3, 55,598 9,96 55,598 9,96 6,53 7,3 6 Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Бэшфорта четвертого порядка h Т (t) Т (t) (t) (t) Таблица 3.3, 55,598 9,96 55,59 9,4,78,56, 55,598 9,96 55,598 9,96,6 5,6 5, 55,598 9,96 55,598 9,96, 9,4 9 Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Бэшфорта пятого порядка h Т (t) Т (t) (t) (t) Таблица 3.4, 55,598 9,96 55,575 9,5,9,458, 55,598 9,96 55,598 9,96,36 7 4,7 7, 55,598 9,96 55,598 9,96 9,73,95 Пример 3.. Используя результаты лабораторной работы, решить дифференциальное уравнение второго порядка,, на интервале времени [; ], применяя методы Адамса-Бэшфорта -го, 3-го, 4-го и 5-го порядков. Оценить погрешность численных решений. 4

16 Решение. Аналитическое решение данного обыкновенного дифференциального уравнения и производная от решения имеют вид: ( ) e, ( ) e, При решении задачи методами Адамса-Бэшфорта -го, 3-го, 4-го и 5-го порядков соответственно используем формулы аналогичные формулам (3.), (3.), (3.3), (3.4) и (3.5), рассматривая вектор решений как вектор с координатами () и (). В табл представлены результаты вычислений точного решения Т ( ), Т ( ), решений, полученных методами Адамса- Бэшфорта -го, 3-го, 4-го и 5-го порядков ( ), ( ), а также разность между приближенным и точным решениями ( t), ( t) на конце интервала интегрирования в точке, соответствующей моменту времени t, для различных шагов интегрирования. Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Бэшфорта второго порядка Таблица 3.5 h Т (t) Т (t) (t) (t), 9,556 3,778 7,77 3,6,89,773, 9,556 3,778 9,533 3,768,9,97, 9,556 3,778 9,556 3,778, 9,83 5 Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Бэшфорта третьего порядка Таблица 3.6 h Т (t) Т (t) (t) (t), 9,556 3,778 9,57 3,65,399,63, 9,556 3,778 9,556 3,778,6,, 9,556 3,778 9,556 3,778 5,74 7,34 7 Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Бэшфорта четвертого порядка Таблица 3.7 h Т (t) Т (t) (t) (t), 9,556 3,778 9,456 3,739,997,396, 9,556 3,778 9,556 3,778,6 5 6,38 6, 9,556 3,778 9,556 3,778,69 9 6,67 5

17 Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Бэшфорта пятого порядка Таблица 3.8 h Т (t) Т (t) (t) (t), 9,556 3,778 9,53 3,768,63,, 9,556 3,778 9,556 3,778 4,9 7,87 7, 9,556 3,778 9,556 3,778,53 9,8 3 Задания для самостоятельной работы Задание. Решить аналитически систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении. Используя результаты лабораторной работы, решить методами Адамса-Бэшфорта -го, 3-го, 4-го и 5-го порядков систему обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале времени [; ] с шагом интегрирования h,;,;,. Задание. Решить аналитически обыкновенное дифференциальное уравнение. Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении. Используя результаты лабораторной работы, решить методами Адамса-Бэшфорта -го, 3-го, 4-го и 5-го порядков обыкновенное дифференциальное уравнение на интервале времени [; ] с шагом интегрирования h,;,;,. Задание 3. Оценить погрешность численных решений. Контрольные вопросы. В чем заключается отличие многошаговых методов от одношаговых?. Обладают ли методы Адамса-Бэшфорта сильной устойчивостью? 3. Какие трудности возникают при использовании многошаговых методов? 6

18 Лабораторная работа 4 Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений неявным многошаговым методом Адамса-Мултона Цель работы: использование неявного многошагового метода Адамса- Мултона при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений. При решении задачи методами Адамса-Мултона 3-го, 4-го и 5-го порядков, соответственно используем формулы (4.), (4.), и (4.3): h n (5 f ( n 8 f ( n, n ) f ( n, n )), h n (9 f ( n, n ) 9 f ( n, n ) 5 f ( 4 n n n, n n,,... (4.) ) f ( n, n )), n,3,... (4.) h n (5f ( n, n ) 646 f ( n, n ) 64 f ( n, ) 7 6 f ( n, n ) 9 f ( n3, n3)), n 3,4,5,... (4.3) n n () () ( k ) где { ( ), ( ),..., ( )} вектор решений системы уравнений, аргумент, f (, ) { f (, ), f (, ),..., f (, )} вектор-функция правых частей системы уравнений, h шаг интегрирования. Алгоритм решения задачи предполагает использование метода прогноза и коррекции PEC (predictor-evolution-corrector): P P: вычисление n явным методом Адамса-Бэшфорта по формулам (3.) (3.5); P P E: вычисление f n f ( n, n ) ; C: вычисление n неявным методом Адамса-Мултона по формулам (4.) (4.3). Например, при решении задачи методом Адамса-Мултона четвертого порядка последовательно используются формулы: ( P) 55 f ( n, n ) 59 f ( n, n) 37 f ( n, n ) 9 f ( n3, n3) n n h, 4 n 3,4,... ( P) ( P) f n f ( n, n ), () () ( k ) 7

19 h ( P) n n (9 f ( n, n ) 9 f ( n, n ) 5 f ( n, n) f ( n, n )), 4 n,3,... Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений с использованием формул (4.) (4.3). Пример 4.. Используя результаты лабораторной работы, решить систему дифференциальных уравнений, ; на интервале времени [; ], применяя методы Адамса-Мултона 3-го, 4-го и 5-го порядков. Оценить погрешность численных решений. Решение. Аналитическое решение данной системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид: t e t. e В табл представлены результаты вычислений точного решения Т ( t), Т ( t), решений, полученных методами Адамса- Мултона 3-го, 4-го и 5-го порядков ( t), ( t), а также разность между приближенным и точным решениями ( t), ( t) на конце интервала интегрирования в точке, соответствующей моменту времени t, для различных шагов интегрирования. 8 Таблица 4. Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Мултона третьего порядка h Т (t) Т (t) (t) (t), 55,598 9,96 55,67 9,35,93,386, 55,598 9,96 55,598 9,96 6,57 5,, 55,598 9,96 55,598 9,96 7, 8,44 7 Таблица 4. Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Мултона четвертого порядка h Т (t) Т (t) (t) (t), 55,598 9,96 55,597 9,94,3,5, 55,598 9,96 55,598 9,96 7,97 7,6 6, 55,598 9,96 55,598 9,96 5,37 8,7 7

20 Таблица 4.3 Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Мултона пятого порядка h Т (t) Т (t) (t) (t), 55,598 9,96 55,597 9,94,,, 55,598 9,96 55,598 9,96 7,66 9,53 8, 55,598 9,96 55,598 9,96,9,38 Пример 4.. Используя результаты лабораторной работы, решить обыкновенное дифференциальное уравнение,, на интервале времени [; ], применяя методы Адамса-Мултона 3-го, 4-го и 5-го порядков. Оценить погрешность численных решений. Решение. Аналитическое решение данного обыкновенного дифференциального уравнения и производная от решения имеют вид: ( ) e, ( ) e. При решении задачи методами Адамса-Мултона 3-го, 4-го и 5-го порядков соответственно используем формулы аналогичные формулам (4.), (4.), (4.3), рассматривая вектор решений как вектор с координатами () и (), а также алгоритм PEC. В табл представлены результаты вычислений точного решения ( ), Т Т ( ), решений, полученных методами Адамса- Мултона 3-го, 4-го и 5-го порядков ( ), ( ), а также разность между приближенным и точным решениями ( t), ( t) на конце интервала интегрирования в точке, соответствующей моменту времени t, для различных шагов интегрирования. Таблица 4.4 Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Мултона третьего порядка h Т (t) Т (t) (t) (t), 9,556 3,778 9,578 3,785,8,7, 9,556 3,778 9,556 3,778 5,84 5,35 5, 9,556 3,778 9,556 3,778 6,35 8,58 8 9

21 Таблица 4.5 Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Мултона четвертого порядка h Т (t) Т (t) (t) (t), 9,556 3,778 9,554 3,778,,3, 9,556 3,778 9,556 3,778,3 6 4,38 7, 9,556 3,778 9,556 3,778,34 5,3 Таблица 4.6 Результаты вычислений при использовании метода Адамса-Мултона пятого порядка h Т (t) Т (t) (t) (t), 9,556 3,778 9,555 3,777,8,5, 9,556 3,778 9,556 3,778,5 8 9,8 9, 9,556 3,778 9,556 3,778 7,6 7,6 Задания для самостоятельной работы Задание. Решить аналитически систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении. Используя результаты лабораторной работы, решить методами Адамса-Мултона 3-го, 4-го и 5-го порядков систему обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале времени [; ] с шагом интегрирования h,;,;,. Оценить погрешность численных решений. Задание. Решить аналитически обыкновенное дифференциальное уравнение. Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении. Используя результаты лабораторной работы, решить методами Адамса-Мултона 3-го, 4-го и 5-го порядков обыкновенное дифференциальное уравнение на интервале времени [; ] с шагом интегрирования h,;,;,. Задание 3. Оценить погрешность численных решений. Контрольные вопросы. В чем заключается преимущество метода Адамса-Мултона по сравнению с методом Адамса-Бэшфорта?. Является ли метод Адамса-Мултона нуль устойчивым? 3. Какими способами можно производить численное решение дифференциального уравнения методом Адамса-Мултона?

22 Тема 4. Устойчивость и сходимость одношаговых и многошаговых методов Лабораторная работа 5 Исследование устойчивости, сходимости и вычисление локальных и глобальных ошибок дискретизации одношаговых и многошаговых методов Цель работы: исследование устойчивости многошаговых методов Адамса-Мултона и Адамса-Бэшфорта, а также оценка погрешности данных методов на конце интервала интегрирования. Исследование устойчивости и сходимости многошагового метода рассмотрим на конкретном примере. Пример 5.. Пусть линейный многошаговый метод численного решения дифференциального уравнения f (, ) описывается разностным уравнением вида n 3n n h( fn fn ), (5.) s( h), s( h). Исследуем сходимость и устойчивость данного разностного уравнения. Для обеспечения согласованности метода, начальные значения будем выбирать таким образом, чтобы выполнялось условие s ( h), s ( h) при h. Применим этот метод к задаче Коши,, точное решение, которое описывается функцией ( ). Тогда последовательность { n } будет описываться формулами n nh, s h), s ( ), ( h n 3n n h( n n ) h ( n). (5.) n,,, 3,... Общее решение разностного уравнения (5.) представляет собой сумму общего решения ~ соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения n. n

23 Общее решение однородного уравнения n 3n n имеет вид ~ n n C q C q, n где C,C произвольные постоянные; q и q корни характеристического уравнения q 3q. Таким образом, получаем ~ n n C C. Легко убедится, что частное решение уравнения (5.) имеет вид n n( n ) h. Тогда общее решение разностного уравнения (5.) имеет вид n n C C n( n ) h. (5.3) Частное решение разностного уравнения (5.) получаем из (5.3) с учетом начальных значений C C s( h), C C s( h). Отсюда C s( h) s( h), C s ( h) s( h). Следовательно, частное решение, удовлетворяющее задаче (5.), имеет вид n n [ s ( h) s( h)] [ s( h) s( h)] n( n ) h. (5.4) Метод сходится, если для любого [ a, b] выполняется условие a n () при h, где n. h Если в качестве начальных значений выбрать значения s( h), s ( h), что в данном случае не совпадает с точными начальными значениями ( ), ( h) h, то n n( n ) h ( nh) ( nh) h при h, n. h

24 Если, однако, s ( h), s( h) при h, так что p s ( h) s( h) Ο( h ), p >, то второй член в (5.4) стремится к бесконечности, так как при q > p n p q lim h q lim h n n nh n p. Следовательно, метод неустойчив, а его согласованность не достаточна для его сходимости. При исследовании разностных методов на сходимость можно использовать следующие необходимые условия согласованности: k i i j, k α i, β i, (5.5) где α, i, k, β, j l коэффициенты в разностном уравнении Так, например, для метода Адамса-Бэшфорта 5-го порядка имеем: k i i n i k i i α h β f (, ). l i k i i n i α, i n i β i ( ), 7 следовательно, метод согласованный. Для доказательства устойчивости разностного метода следует найти корни характеристического уравнения k i i α iq. Метод будет устойчивым, если все корни характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса ( q < ), кроме быть может одного простого, который лежит на единичной окружности. Для рассматриваемого примера характеристическое уравнение имеет вид q. Здесь простой корень q лежит на единичной i 3

25 окружности. Следовательно, метод устойчив. Согласованный и устойчивый метод всегда является сходящимся. Пример 5.. Рассмотрим две задачи Коши. Задача :, ; ; Задача :,,. Методом экстраполяции и вложенным методом оценим полную погрешность дискретизации на конце интервала интегрирования при решении задач методами Адамса-Бэшфорта и Адамса-Мултона для различных h,;,;,. Решение. При использовании метода экстраполяции интегрирование от точки n до точки n выполняется дважды: один раз с шагом h и другой раз с шагом. Тогда полную погрешность n в h точке n можно оценить по формуле h n ( h) n n, (5.6) p h где n (h) и n результаты вычислений, соответственно, с ша- гом h и h ; р порядок метода. При использовании вложенных методов на каждом шаге интегрирование выполняется дважды: методом порядка p и методом порядка p. Разность полученных значений дает оценку величины погрешности n в точке n. В таблицах представлены полные погрешности и, вычисленные по формуле (5.6), при решении задачи методом экстраполяции, соответственно, методами второго, третьего, четвертого и пятого порядков. Там же для сравнения приведены истинные погрешности и, вычисленные с учетом точного решения задачи. В таблицах представлены полные погрешности и, вычисленные по формуле (5.6), при решении задачи методом экстраполяции, соответственно, методами второго, третьего, четвертого и пятого порядков. Там же для сравнения приведены истинные погрешности и, вычисленные с учетом точного решения задачи. 4

26 Таблица 5. Полные погрешности для задачи, полученные методом экстраполяции, при использовании метода Адамса-Бэшфорта второго порядка h Δ Δ Δ Δ,5,9,59,74,48,5,76 3 3,5 3,69 3 3,37 3,5,8 5 3,63 5,35 4 3,6 5 Таблица 5. Полные погрешности для задачи, полученные методом экстраполяции, при использовании метода Адамса-Бэшфорта третьего порядка h Δ Δ Δ Δ,5 5, 3,4, 3 4, 3,5 8,65 6,73 5 8,5 6,6 5,5 9,7 9,8 8 9, 9,8 8 Таблица 5.3 Полные погрешности для задачи, полученные методом экстраполяции, при использовании метода Адамса-Бэшфорта четвертого порядка h Δ Δ Δ Δ,5,4 4 4,7 4 9,73 4 4, 3,5 5,37 8,7 7 4,96 6 9,9 8,5,36 4,7 5,9,6 Таблица 5.4 Полные погрешности для задачи, полученные методом экстраполяции, при использовании метода Адамса-Бэшфорта пятого порядка h Δ Δ Δ Δ,5,9 4 4,9 4 3,6 4 6,5 4,5 7,65,53,45 4,9,5,8 3,63, 3,9 Таблица 5.5 Полные погрешности для задачи, полученные методом экстраполяции, при использовании метода Адамса-Бэшфорта второго порядка h Δ Δ Δ Δ,5,4 3,4 7,57 3,43,5,55 3,8 5,9 4 5,43 3,5,93 4,9 3 9,5 5 6,3 4 5

27 Таблица 5.6 Полные погрешности для задачи, полученные методом экстраполяции, при использовании метода Адамса-Бэшфорта третьего порядка h Δ Δ Δ Δ,5,85 3 4,9 3 7,34 4,4 3,5 3,9 6 7,65 6,9 6 7,6 6,5 3,4 9 7,98 9 3, 9 7,9 9 Таблица 5.7 Полные погрешности для задачи, полученные методом экстраполяции, при использовании метода Адамса-Бэшфорта четвертого порядка h Δ Δ Δ Δ,5,34 4 3,9 4, 5,4 4,5,96 8 7,57 8,7 8,5 8,5 7,3,7 3,6 7,8 Таблица 5.8 Полные погрешности для задачи, полученные методом экстраполяции, при использовании метода Адамса-Бэшфорта пятого порядка h Δ Δ Δ Δ,5 6,9 6,6 5,65 5,48 5,5 3,4 8,6,89 5,3,5 4,4 9,7 3, 3 6,8 3 При использовании вложенных методов на каждом шаге интегрирование выполняется дважды: методом порядка p и методом порядка p. Разность полученных значений дает оценку величины погрешности n в точке n. В таблицах представлены полные погрешности и, вычисленные вложенным методом, при решении задачи, соответственно, при использовании методов второго и третьего, третьего и четвертого, четвертого и пятого порядков. Там же для сравнения приведены истинные погрешности и, вычисленные с учетом точного решения задачи. В таблицах представлены полные погрешности и, вычисленные вложенным методом, при решении задачи, соответственно, при использовании методов второго и третьего, третьего и четвертого, четвертого и пятого порядков, Там же для сравнения при- 6

28 ведены истинные погрешности и, вычисленные с учетом точного решения задачи. Таблица 5.9 Полные погрешности для задачи, полученные вложенным методом, при использовании метода Адамса-Бэшфорта второго и третьего порядков h Δ Δ Δ Δ, 3,5 7,3 3,3 4 6,65, 6,8 3,36 6,6 3,35, 7,3 4,45 4 7,3 4,45 4 Таблица 5. Полные погрешности для задачи, полученные вложенным методом, при использовании метода Адамса-Бэшфорта третьего и четвертого порядков h Δ Δ Δ Δ,,93 3,86,8 3,6, 6,57 5,3 4 6,49 5 6,34 5, 7, 8,44 7 7, 8,44 7 Таблица 5. Полные погрешности для задачи, полученные вложенным методом, при использовании метода Адамса-Бэшфорта четвертого и пятого порядков h Δ Δ Δ Δ,,5 3,49 3 9,5 3,8, 7,97 7,59 6 7,9 7,57 6,,3,6 9,,8 Таблица 5. Полные погрешности для задачи, полученные вложенным методом, при использовании метода Адамса-Бэшфорта второго и третьего порядков h Δ Δ Δ Δ,,37,57,67,36, 4,3 3 3,45 4,3 3 3,44, 5,78 4 3,8 4 5,78 4 3,8 4 7

29 Таблица 5.3 Полные погрешности для задачи, полученные вложенным методом, при использовании метода Адамса-Бэшфорта третьего и четвертого порядков h Δ Δ Δ Δ, 6,99 3,8 6,67 3,97,,35 5 5,84 5,3 5 5,73 5,,58 8 6,34 8,58 8 6,33 8 Таблица 5.4 Полные погрешности для задачи, полученные вложенным методом, при использовании метода Адамса-Бэшфорта четвертого и пятого порядков h Δ Δ Δ Δ, 3,6 4, 3 8,35 4,89 3, 4,38 7,3 6 4,9 7, 6, 5,3,34 5,,7 Задания для самостоятельной работы Задание. Провести исследование сходимости и устойчивости одного из численных методов Адамса-Бэшфорта или Адамса- Мултона 3 5 порядков (по указанию преподавателя). Задание. Методом экстраполяции и вложенным методом оценить полную погрешность дискретизации на конце интервала интегрирования при использовании методов Адамса-Бэшфорта и Адамса- Мултона при различных h,;,;,. Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении и. Контрольные вопросы. Какие методы называются согласованными и сходящимися?. Достаточно ли выполнения условия согласованности метода для его сходимости? 3. Какие бывают виды погрешностей? 4. Какие методы используются для оценки погрешностей? 8

30 9 Приложение Системы дифференциальных уравнений и начальные условия к лабораторным работам 5 Вар. Система ДУ Нач. усл. Вар. Система ДУ Нач. усл. 3 3 t t sin cos e t sin ) ( 3 z z z z 5 t t () () 4 6 t t e e 4 3 ) ( z z z z z t t e e t e t 9 z z z z t t 3 () 3 ()

31 z z z z z z z 3t e 3t e z z e 3e t t 3 sin t Дифференциальные уравнения и начальные условия к лабораторным работам 5 Приложение Вар. ДУ Нач. усл. Вар. ДУ Нач. усл., > 4cos () 4 3 () ( ) ( ) 3 5 ( ) 3 6 ( ) () 5 () 4 7 () () 4 3π ( ) 8 3 ( ) ( ) () 3π () ( ) 3

32 ( π ) 6 π ( ) e π e 6 5 ( ) ( ) ( ) () () () () 3

33 Список рекомендованной литературы. Бахвалов Н. С. Численные методы Т.. М.: Бином. ЛЗ, с.. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. М.: Наука, с. 3. Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений, М.: Физмат-гиз, с. 4. Ортега Д., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, с. 5. Самарский А. А, Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, с. 6. Хемминг Р. В. Численные методы. М.: Наука, с. 7. Холл Д, Уатт Д. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, с. 8. Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, с. 9. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Математическое моделирование орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы. М.: Машиностроение, 8. 5 с.. Заусаев А. Ф. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Самара: РИО Самарск. гос. тех. ун-та,. с. 3

34 Содержание Введение... 3 Тема. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговыми методами... 4 Лабораторная работа. Решение задачи Коши методами Эйлера и Хойна... 4 Тема. Закладка таблицы начальных данных... 7 Лабораторная работа. Формирование таблицы начальных значений для многошаговых методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений... 7 Тема 3. Многошаговые методы... Лабораторная работа 3. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений явным многошаговым методом Адамса-Бэшфорта... Лабораторная работа 4. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений неявным многошаговым методом Адамса-Мултона... 7 Тема 4. Устойчивость и сходимость одношаговых и многошаговых методов... Лабораторная работа 5. Исследование устойчивости, сходимости и вычисление локальных и глобальных ошибок дискретизации одношаговых и многошаговых методов... Приложение. Системы дифференциальных уравнений и начальные условия к лабораторным работам Приложение. Дифференциальные уравнения и начальные условия к лабораторным работам Список рекомендованной литературы

35 Учебное издание Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений ЗАУСАЕВ Анатолий Федорович ЗОТЕЕВ Владимир Евгеньевич Печатается в авторской редакции Лицензия ИД 65 от 8.8. Подписано в печать *** Формат 684 /6, Бумага офсетная, Печать офсетная, Усл. п. л.,86. Уч.-изд. л.,8. Тираж 5 экз. Рег. 53/. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет» 443, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 44. Главный корпус Отдел типографии и оперативной полиграфии 443, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 44. Корпус 8

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Постановка задачи Пусть в области D = {a x b, y i y i 0 b i } R n+1 Необходимо найти решение удовлетворяющее начальному

Подробнее

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 4 8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка связывающих

Подробнее

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АФ Заусаев РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Решение задачи Коши... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Владимирский авиамеханический колледж» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине ЧИСЛЕННЫЕ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем

9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем Варианты задания 9. Вопросы устойчивости и численной реализации решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем 9.1. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 6547

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Практикум по высшей математике

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Практикум по высшей математике ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в виде дифференциальных уравнений ДУ или системы дифференциальных

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г

Подробнее

Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения

Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения Лабораторная работа 7 ( часа) Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения Цель работы: получение практических навыков построения алгоритмов численного решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию

Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Типовая учебная программа для высших учебных заведений

Подробнее

Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши

Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши Численное решение дифференциальных уравнений - - Численное решение дифференциальных уравнений Задача Коши Значительное число задач вычислительной математики сводится к решению обыкновенных дифференциальных

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов. 5 6 семестры

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов. 5 6 семестры МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов 5 6 семестры 1. Математические модели и вычислительный эксперимент. Классификация уравнений математической физики. Примеры корректных

Подробнее

Лекция 6 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. План

Лекция 6 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. План 57 Лекция 6 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План. Численные методы интегрирования уравнений состояния 2. Устойчивость методов численного интегрирования 3. Многошаговые методы

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А-1. Тесты текущего контроля СТО БТИ АлтГТУ 15.62.2.0008-2014 Вопросы к модулям (разделам) курса «Вычислительная

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю) Формируемые

4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю) Формируемые I. Аннотация 1. Цель и задачи дисциплины (модуля) Целью освоения дисциплины (модуля) является: подготовка студентов к разработке и реализации на ЭВМ вычислительных алгоритмов решения математических задач,

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании.

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и методики

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

(n 1) (t)) y(t) = y 2 (t) m (t)) y m (t) u (t) = u (t)u 2 (t) + sin t, u(0) = 1, u (0) = 1, u (0) = 2. y 1 = u, y 2 = u, y 3 = u

(n 1) (t)) y(t) = y 2 (t) m (t)) y m (t) u (t) = u (t)u 2 (t) + sin t, u(0) = 1, u (0) = 1, u (0) = 2. y 1 = u, y 2 = u, y 3 = u Глава 3 Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений!" $# &%' '()* +(, '+ -.' / ' 01!23434 5'6 %7 2098: : 1;= @?BA&C Рассмотрим методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений»

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений» Лабораторная работа по теме «Тема.. Методы решения нелинейных уравнений» Перейти к Теме. Теме. Огл.... Вопросы, подлежащие изучению. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.. Этапы численного

Подробнее

П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А

П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е З А 4 С Е М Е С Т Р Д Л Я С Т У Д Е Н Т О В Г Ф 2 1-4, 7-8. Май 2011 г. Лектор Лисеев И.А.

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

4. Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание

4. Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание 1. Целью изучения дисциплины является: подготовка высокопрофессионального специалиста медицинского кибернетика, владеющего математическими знаниями, умениями и навыками применять математику как инструмент

Подробнее

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) «Численные методы решения задач математической физики»

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) «Численные методы решения задач математической физики» Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Утверждаю: Руководитель ООП: 0 г. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) «Численные методы решения

Подробнее

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений Варианты заданий 0. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0.1. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения

8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения 8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения Постановка задачи Решение уравнений движения является классической задачей механики. В общем случае это система дифференциальных уравнений

Подробнее

5. Теор. задача. Доказать, что среди явных многошаговых методов ( k=0

5. Теор. задача. Доказать, что среди явных многошаговых методов ( k=0 Прием заданий производится как правило в часы семинарских занятий ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 3 курс 6 семестр 6 Жесткие ОДУ Участки решения характеризующиеся быстрым его изменением Понятие методов Гира

Подробнее

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR Пояснения к тексту: знак читается как "равносильно" и обозначает, что у уравнений справа от знака и слева от знака множество решений совпадает, знак IR обозначает ммножество вещественных чисел, знак IN

Подробнее

Вычисление и приложения тройного интеграла

Вычисление и приложения тройного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

т<$мк/3>> io 2015 г. Методы вычислений Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет»

т<$мк/3>> io 2015 г. Методы вычислений Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» УтвеРждаю: \.Д ;Руководитель ООП; \о!д\ оу -* Шаров Г.С. ' о Ч т> io 2015 г. Рабочая программа

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Теория устойчивости Ляпунова.

Теория устойчивости Ляпунова. Теория устойчивости Ляпунова. Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

Направление подготовки Прикладная информатика. Профиль подготовки общий. Уровень высшего образования БАКАЛАВРИАТ

Направление подготовки Прикладная информатика. Профиль подготовки общий. Уровень высшего образования БАКАЛАВРИАТ Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Утверждаю: Руководитель ООП: 20 г. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) «Численные методы» Направление

Подробнее

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1 1. Оценочные средства текущего контроля. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению -Назовите виды погрешности. - Как рассчитывается абсолютная погрешность? - Как рассчитывается относительная

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 УДК 519.865 В.В. Поддубный, О.В. Романович МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЭЙЛЕРА С УРАВНИВАНИЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические указания к выполнению лабораторных работ ПЕНЗА 7 Приведена методика и

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 1 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ Теперь, когда мы уже чуть больше знаем об алгоритмах решения задач Коши для ОДУ, продолжим разговор об их классификации. Остановимся

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Методы одномерного поиска. Методические указания к практическим занятиям

Методы одномерного поиска. Методические указания к практическим занятиям Министерство образования Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра материаловедения и композиционных материалов Методы одномерного поиска Методические указания

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» А.И. ФРОЛОВИЧЕВ, М.В.

Подробнее

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Министерство образования и науки Российской Федерации Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Соловьева Кафедра МПО ЭВС РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УТВЕРЖДАЮ Декан факультета РЭИ

Подробнее

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений При поддержке компании Intel Баркалов

Подробнее

Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки физика 1 Аннотация рабочей программы дисциплины Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика»,

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ И КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ по дисциплине «ИНФОРМАТИКА» ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ

Подробнее

Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины.

Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины. Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины. 1.1. Цель преподавания дисциплины. Преподавание курса Численные методы имеет целью приобретение студентами навыков решения различных математических задач, анализа

Подробнее

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Контрольные вопросы Дайте определение вычислительного эксперимента Нарисуйте схему

Подробнее

Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, с.: ил.

Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, с.: ил. Рецензенты: проф., д. ф.-м. н. В. Б. Миносцев (зав. каф. общей и прикладной математики Московского государственного индустриального университета); проф., д. ф.-м. н., действ, чл. РАЕН Ю. И. Яламов Пирумов

Подробнее

ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ В НЕФТЯНОЙ И ГАЗОВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ В НЕФТЯНОЙ И ГАЗОВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Федеральное агентство по образованию Ухтинский государственный технический университет ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ В НЕФТЯНОЙ И ГАЗОВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Часть Методические указания Ухта 008 УДК [.7+.79]:59.

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 003. Том 44, 6 УДК 517.96. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Аннотация: Рассматривается некоторый

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Программа по курсу «Вычислительная математика»

Программа по курсу «Вычислительная математика» Программа по курсу «Вычислительная математика» 1. Организационно-методический раздел. 1.1. Использование ЭВМ в различных областях науки и техники и управления народным хозяйством вызывают необходимость

Подробнее

Вычислительные методы в математическом анализе, алгебре и теории чисел

Вычислительные методы в математическом анализе, алгебре и теории чисел Вычислительные методы в математическом анализе, алгебре и теории чисел I. Аннотация. Цели и задачи дисциплины Цель дисциплины «Вычислительные методы в алгебре и теории чисел» состоит в изучение основных

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее