Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 Лекция 4 8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка связывающих независимую переменную x неизвестные функции y ( x) ( x) и их производные y ( x) ( x) В случае если уравнения разрешимы относительно производных систему можно записать в нормальной форме Коши: dy f( x y ) dy f ( x y ) d fn ( x y ) где f ( x y ) n известные функции Решением системы называется совокупность n функций y( x) ( x) непрерывных на некотором интервале ( a b) такая что подстановка этих функций в систему обращает все уравнения в тождества Задача Коши для системы состоит в нахождении решения системы удовлетворяющего начальным условиям: y ( x ) y y ( x ) y y ( x ) y где n n y y известные числа В векторной форме задача Коши имеет вид T ( n Y F ( x Y ) Y ( x ) Y где Y y y ) F ( x Y ) ( f ( x Y ) f ( x Y )) Y y ) n T ( y n Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши) Пусть выполнены следующие условия: а) функции f ( x y ) n определены и непрерывны в некоторой замкнутой области D а также имеют в D ограниченные частные производные по переменным y y n ; б) точка ( x y y ) лежит внутри области D Тогда решение задачи Коши существует и единственно T 34

2 З а м е ч а н и я Во многих практических приложениях независимая переменная обозначается через t и имеет смысл времени поэтому задача Коши называется начальной задачей Чтобы решить задачу Коши для дифференциального уравнения n -го порядка: y ( n) ( n ) f ( x y( x) y ( x)) y( x ) y y( x ) y y ( n ) ( x ) y ( n ) ( n ) где x ( a b) y y y заданные числа ее необходимо привести к системе n ( n ) уравнений первого порядка Обозначая y( x) y( x) y( x) y( x) ( x) y ( x) получаем dy y y( x ) y dy y3 y( x ) y d ( n ) f ( x y ) ( x ) y 3 Чтобы упростить изложение и в силу того что численные методы легко обобщаются на системы уравнений в дальнейшем будем рассматривать решение задачи Коши для уравнения первого порядка y f ( x y) y( x ) y x ( a b) (*) Чтобы записать формулы для решения задачи Коши необходимо заменить функцию y (x) на вектор-функцию Y (x) f ( x y) на F ( x Y ) а на Y y ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ Численное решение задачи (*) ищется в узлах сетки n x x x n где x x n расстояние между соседними узлами называемое шагом интегрирования (параметром сетки) Если const сетка называется равномерной (регулярной) а если var неравномерной (нерегулярной) В случае равномерной сетки узлы находятся по формуле x x n Решение находится в виде последовательности значений n являющихся приближением значений y y( x) y( x) y( xn ) точного решения y (x) в узлах сетки n (рис ) 35

3 y y ŷ y ( x ) y( x ) ŷ ŷ y x ) ( y( x ) ŷ y y(x) ŷ y x ) ( n ŷ n x x x x x x n x Рис Численные дискретные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений позволяющие найти решение только в узлах сетки делятся на две группы: явные и неявные Значение ŷ на ( ) -м шаге может определяться явно: ( ˆ ˆ ˆ x k x x y k y y ) где () некоторая функция зависящая от конкретного метода (кроме последней рассчитанной точки ( x ˆ y ) могут использоваться еще ( k ) предыдущих точек) или неявно: ( x x x x k k где искомая величина ŷ входит одновременно и в левую и в правую часть Явные и неявные методы делятся также на одношаговые и многошаговые (k - шаговые) В одношаговых методах для расчета очередной точки ( x ˆ y ) требуется информация только о последней рассчитанной точке ( x ˆ y ) В k -шаговых методах для нахождения точки x ) требуется информация о k предыдущих точках ( Формулы явных или неявных методов в общем случае представляют собой нелинейные уравнения относительно ŷ и называются разностными схемами Локальной ошибкой численного метода на ( ) -м шаге называется величина ) y( x ) ( где y ( x ) значение точного решения при x x а ŷ приближенное решение получаемое по формулам при условии что вместо приближенных значений y ˆ используются значения соответствующие точному решению те k y( x ) y ( x ) y( x k ) ) 36

4 Глобальной ошибкой называется величина e ˆ n ( ) y( xn ) где ŷn значение получаемое по формулам при n Глобальная ошибка определяется: а) ошибками округления и ошибками арифметических действий обусловленными числом разрядов компьютера и характером выполняемых операций для расчета значения искомой функции в очередной точке x ; б) методическими ошибками определяемыми выбранным алгоритмом; в) переходными ошибками обусловленными тем что при расчете значения ŷ вместо точных значений y x ) y( x ) y( x ) берутся приближенные значения k ( k полученные на предыдущих шагах Локальные ошибки «переносятся» в точку x n и формируют глобальную ошибку Число p называется порядком (точностью) численного метода если его глобальная ошибка есть О большое от те e ( ) O( ) p Пояснение Пусть R () некоторая функция переменной (как правило R () остаточное слагаемое некоторой аппроксимационной формулы) с конечной областью определения DR на полуоси причем DR Тогда если при некотором k справедливо неравенство R( ) c где c const не зависящая от k целое число то пишут R ( O ( ) и говорят что R () есть «O большое от» при ) k На практике в качестве характеристики точности метода часто используется величина ( ) max y( x ) n n Можно показать что если локальная ошибка имеет порядок ( p ) те ( ) O( p p ) то глобальная погрешность имеет на единицу меньший порядок те en ( ) O( ) Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости численных методов Она проверяется на «тестовом примере» y y y( ) где в общем случае комплексная константа Дифференциальное уравнение является простейшим линейным уравнением и для него можно получить значимые критерии устойчивости в явной форме Метод называется ограниченно устойчивым если существует такое число кр что при использовании метода для решения тестового примера где Re с шагом при глобальная ошибка ограничена Величина называется критическим шагом Если кр p k кр глобальная ошибка может неограниченно возрастать В ограниченно устойчивых методах при задании величины шага необходимо учитывать значение критического шага Для сложных дифференциальных уравнений и систем кр кр 37

5 нахождение кр является самостоятельной задачей а свойство ограниченной устойчивости предупреждает вычислителя о возможных проблемах Поэтому на практике становится актуальной задача конструирования таких методов которые были бы устойчивы при любом значении шага а его величина выбиралась бы только исходя из желаемой точности расчетов (при этом класс решаемых задач может быть ограничен) Метод называется А-устойчивым если при его применении с любым фиксированным положительным шагом все численные решения тестового примера с комплексной константой ( Re ) стремятся к нулю при А ЯВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ А Явный метод Эйлера Рассмотрим проблему нахождения численного решения задачи Коши: dy f ( x y) y( x ) y Вводится в общем случае неравномерная сетка n ( x x x x xn) Величина шага x x выражается через узловые точки Для аппроксимации производной Ш x dy x x x используем формулу записанную на двухточечном шаблоне dy y y : O( ) M x x Далее заменяется правая часть уравнения ее сеточным представлением те f ( x y) f ( x y ) а вместо y (x) рассматривается сеточная функция y( x ) которая определяется только в точках сетки Выполняется подстановка аппроксимаций производной и правой части в дифференциальное уравнение: y y O ( ) f( x y) После отбрасывания остаточных слагаемых получается явная схема Эйлера первого порядка (явный метод Эйлера): ˆ f ( x ) n ; y y Порядок точности метода как правило определяется порядком аппроксимации схем явный метод Эйлера является ограниченно устойчивым с критическим шагом кр (см тестовый пример) 38

6 А Метод Эйлера-Коши Для аппроксимации производной применяется формула: dy x x y y ( ) O M 3 6 Выполняется подстановка аппроксимаций производной и правой части в дифференциальное уравнение: y y O ( ) f( x y) После отбрасывания остаточных слагаемых получается явная схема метода Эйлера Коши второго порядка: ˆ ( ˆ y f x y ) n y Для начала расчетов требуется иметь две «разгонные» точки Первая определяется известным начальным условием а вторая может быть найдена с помощью другого метода например по формуле: y y f x ) ˆ ( y А3 Модифицированный метод Эйлера Модифицированный метод Эйлера второго порядка: ˆ y ( ˆ f x y ) n f x n Интервал устойчивости ( ) (здесь действительное число в тестовом примере) модифицированного метода Эйлера совпадает с интервалом устойчивости явного метода Эйлера А4 Методы Рунге-Кутты Формулы семейства методов Рунге Кутты имеют следующую структуру: ˆ ˆ b K b K b K n y y s s y 39

7 где K f ( x ) ; f x c a K ); K ( ˆ y ( a3 K a3 K ) ; K 3 f ( x c3 f x c ( a K a K a K ) K s ( s s s s s s K s где s число стадий (этапов) значения коэффициентов схемы Рунге Кутты вычисленные на основе правой части дифференциального уравнения c j s; a l s; m s ; b k s Первый индекс в обозначениях коэф- j l m k фициентов является порядковым номером а второй соответствует индексу точки x началу отрезка [ x x ] на котором производится расчет В некоторых методах кроме вычисления приближенного решения ŷ определяется еще дополнительное значение по формуле y~ ~ ˆ ~ ~ ~ y y bk bk bsk s порядок которого как правило на единицу больше или меньше обеспечиваемого выражением для ŷ Величина y ˆ ~ y служит для учета погрешности и управления величиной шага Наибольшее распространение в вычислительной практике нашел метод Рунге Кутты четвертого порядка: где y ˆ ŷ K K K 3 K 4 y n 6 K f f x K f x ( ) K K f x 3 K K f x 4 K 3 Схема является четырехчленной первый коэффициент относится к точке x K второй и третий к средней точке x четвертый к точке x Для этой схемы выбираются следующие параметры: s 4 c c 3 4 ; c ; a ; a3 a4 a4 ; a3 ; a4 3 Метод Рунге Кутты как и методы Эйлера является одношаговым так как значение вычисляется на основе текущего значения y ˆ По сравнению с явным методом Эйлера здесь на одной итерации требуется вычислять значение правой части решаемого уравнения четыре раза Как и явный метод Эйлера метод Рунге Кутты не требует дополнительных разгонных точек что позволяет легко менять шаг в процессе вычислений В методе Рунге Кутты пятого порядка точности для расчета точки используются следующие соотношения: 4

8 ˆ y K K K y 6 n где K f x y K f x y K ( ˆ) ˆ K3 f x ( K K ) 4 K4 f x K K3 K f x y K K K ˆ (7 4 ; ) K f x y K K K K K ˆ ( А5 Методы Адамса Бэшфорта Многошаговые схемы Адамса Бэшфорта: второго порядка: третьего порядка: четвертого порядка: ˆ ˆ y y [ 3 f f ] n ; ˆ ˆ y y [ 3 f 6 f 5 f ] n ; ˆ ˆ y y [ 55 f 59 f 37 f 9 f 3] 3 n ; 4 пятого порядка: [9 f 774 f 66 f 74 f3 5 f 4] 4 n 7 где f f( x ) Для начала расчетов по первой формуле требуются две «разгонные» точки: по второй формуле три «разгонные» точки: по третьей формуле четыре «разгонные» точки: 3 по четвертой формуле пять «разгонных» точек: 3 y ˆ4 Их необходимо вычислить с порядком точности не меньше порядка точности схемы Методы Адамса Бэшфорта не позволяют изменять шаг в процессе расчетов В отличие от метода Рунге Кутты четвертого порядка в этих методах требуется вычислять только одно новое значение правой части решаемого уравнения (системы) вместо четы- 4

9 рех Высокая точность методов достигается при этом за счет учета информации о предыдущих точках Напротив в методе Рунге Кутты как и в других одношаговых методах недостающую информацию о поведении правых частей системы получают в результате вычислений в специальным образом выбранных дополнительных точках А6 Явные методы Хемминга Многошаговый метод Хемминга четвертого порядка точности может быть реализован тремя различными способами в каждом из которых для нахождения точки используются четыре предыдущие точки: или или [9 f 99 f 69 f 7 f 3] 48 3 n ; [9 f 7 f 9 f 5 f3] n ; [9f 63f 57f 3 f3] n ; где f f( x ) Для начала расчетов по любой из приведенных формул требуется четыре «разгонные» точки ˆ y3 А7 Методы прогноза и коррекции Рассматриваемые здесь методы (схемы) называемые составными известны под общим названием методов прогноза и коррекции Из названия следует что сначала «предсказывается» значение ŷ а затем используется тот или иной метод для «корректировки» этого значения Таким образом составные схемы включают в себя два шага (этапа) расчета очередного значения ŷ : Шаг «предиктор» (предсказание) на котором рассчитывается предсказанное (предварительное) значение ˆ( П ) y Шаг «корректор» (коррекция) на котором предсказанное значение уточняется (К) В результате находится значение y ˆ которое принимается за ŷ Если промежуток интегрирования не исчерпан оно далее используется при реализации очередного шага ( П) «предиктор» для нахождения следующего предсказанного значения y ˆ Первый шаг реализуется с помощью явных методов а второй шаг основан на применении формул неявных методов в правую часть которых вместо неизвестного значения ŷ подставляется результат предсказания Схемы такого типа называются также схемами «предиктор-корректор» и в итоге относятся к явным методам 4

10 Приведем наиболее часто встречающиеся составные схемы Предсказание с помощью явного метода Эйлера или метода Эйлера Коши коррекция по методу трапеций Шаг «предиктор»: или при условии ) ( П ( ˆ f x y ) const ˆ ( П y ) ( ˆ f x y ) где и рассчитаны на предыдущих шагах ŷ ŷ Шаг «корректор»: (К) (П) [ f( x ) f( x )] Предсказание по методу Адамса Бэшфорта третьего или четвертого порядка коррекция по методу Адамса Мултона четвертого порядка (см неявные методы) (при const ) Шаг «предиктор»: ˆ ) ˆ y П y [ 3 f 6 f 5 f ] или ˆ ) ˆ y П y [ 55 f 4 59 f 37 f 9 f 3 ] Шаг «корректор»: ˆ ˆ( К ) ˆ [ ( ˆ( П) y y y f 5 f 9 f 9 f x y )] 4 Метод Хемминга четвертого порядка (при Шаг «предиктор»: const ) ˆ ( ) ˆ 4 y П y 3 [ f f f ] 3 Шаг «корректор»: ˆ ˆ( К ) ( ˆ ˆ 3 ) [ ( ˆ( П) y y 9y y f f f x y )] 8 8 З а м е ч а н и е Среди явных нашли также широкое применение методы Фельберга Ингленда Нюстрема Милна интерполяционные методы [3] 43

11 Б НЕЯВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Б Неявный метод Эйлера Формула неявного метода Эйлера первого порядка точности: y ˆ f ( x ) ( x x ) n Подчеркнем что свойство неявности схемы обусловлено наличием искомой величины ŷ в левой и правой частях в общем случае нелинейного уравнения Можно показать что неявный метод Эйлера обладает свойством А-устойчивости При реализации алгоритма решения задачи Коши неизвестное значение ŷ вычисляется одним из методов решения нелинейных уравнений Применение метода Ньютона связано с записью уравнения в форме y ˆ ( ˆ (ˆ x x y F y ) и с дифференцированием функции F ( ) что увеличивает время расчетов из-за возможной сложности вычисления производных Как правило используется метод простых итераций: ˆ ( k ) k) y ) ˆ( ( x x y ) k При применении методов Ньютона и простых итераций вначале задается или находится нулевое приближение решения по формуле y ˆ (так называемый ( ) «постоянный» прогноз) или явным методом Эйлера: ) y ( ( ˆ f x y ) Итерации завершаются при выполнении условия окончания где малое положительное число ˆ ( k) ( k) y Б Метод трапеций Формула метода трапеций - неявная одношаговая схема второго порядка точности: f f ( x ) ( x x ) ˆ ˆ y y n 44

12 где f f x ) Подчеркнем что свойство неявности схемы обусловлено наличием ( искомой величины ŷ в левой и правой частях в общем случае нелинейного уравнения Неизвестное значение ŷ вычисляется одним из методов решения нелинейных уравнений Можно показать что метод трапеций является А-устойчивым Б3 Методы Адамса Мултона Многошаговые неявные схемы Адамса Мултона: первого порядка (неявный метод Эйлера); второго порядка (метод трапеций); третьего порядка: ˆ ˆ y [ ( ˆ y f 8 f 5 f x y )] n ; четвертого порядка: ˆ ˆ y [ ( ˆ y f 5 f 9 f 9 f x y )] n ; 4 и [ f 4 f f( x )] n (неявная схема парабол); 3 пятого порядка: [ 9 f3 6 f 64 f 646 f 5 f( x )] 3 n 7 где f f( x ) f f( x ) f f( x ) f3 f( x3 3) Для расчетов по формулам требуется получить соответствующее число «разгонных» точек Чтобы найти искомое значение ŷ так же как в неявном методе Эйлера и методе трапеций требуется решить в общем случае нелинейное уравнение З а м е ч а н и е Среди неявных также получили распространение методы Гира Милна Хемминга Рунге Кутты [3] 45

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Решение задачи Коши... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального

Подробнее

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Постановка задачи Пусть в области D = {a x b, y i y i 0 b i } R n+1 Необходимо найти решение удовлетворяющее начальному

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши

Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши Численное решение дифференциальных уравнений - - Численное решение дифференциальных уравнений Задача Коши Значительное число задач вычислительной математики сводится к решению обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого

Подробнее

Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений А. Ф. Заусаев, В. Е. Зотеев Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений Лабораторный практикум Самара Самарский государственный технический университет МИНИСТЕРСТВО

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Лекция 6 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. План

Лекция 6 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. План 57 Лекция 6 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План. Численные методы интегрирования уравнений состояния 2. Устойчивость методов численного интегрирования 3. Многошаговые методы

Подробнее

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в виде дифференциальных уравнений ДУ или системы дифференциальных

Подробнее

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений При поддержке компании Intel Баркалов

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 1 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ Теперь, когда мы уже чуть больше знаем об алгоритмах решения задач Коши для ОДУ, продолжим разговор об их классификации. Остановимся

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А-1. Тесты текущего контроля СТО БТИ АлтГТУ 15.62.2.0008-2014 Вопросы к модулям (разделам) курса «Вычислительная

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Часть вторая ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Часть вторая ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный университет леса ВИ Мышенков ЕВ Мышенков ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Подробнее

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1 1. Оценочные средства текущего контроля. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению -Назовите виды погрешности. - Как рассчитывается абсолютная погрешность? - Как рассчитывается относительная

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА. Научно-исследовательский вычислительный центр. О. Б. Арушанян, С.Ф.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА. Научно-исследовательский вычислительный центр. О. Б. Арушанян, С.Ф. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА Научно-исследовательский вычислительный центр О. Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ РУНГЕ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП 1 Содержание Введение. 3 1. Приближение табличных данных конкретной системой базисных функций по методу наименьших квадратов. 4. Численное решение задачи

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013)

Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013) Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013) Билет 1. Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса. Билет 2. Трехдиагональные системы линейных алгебраических уравнений. Метод прогонки.

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов. 5 6 семестры

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов. 5 6 семестры МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов 5 6 семестры 1. Математические модели и вычислительный эксперимент. Классификация уравнений математической физики. Примеры корректных

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АФ Заусаев РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Программа по курсу «Вычислительная математика»

Программа по курсу «Вычислительная математика» Программа по курсу «Вычислительная математика» 1. Организационно-методический раздел. 1.1. Использование ЭВМ в различных областях науки и техники и управления народным хозяйством вызывают необходимость

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка Варианты задания 8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка 8.. Постановка задачи Рассмотрим задачу Коши для обыкновеннго дифференциального уравнения y =

Подробнее

А.Г.ЛЕБЕДЕВ ЛЕКЦИИ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ

А.Г.ЛЕБЕДЕВ ЛЕКЦИИ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Рубцовский индустриальный институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Алтайский государственный

Подробнее

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Математический анализ Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Новопоселенких

Подробнее

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании.

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и методики

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

Раздел 1. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. Тема 1. Существование и единственность решения краевой задачи. Матричные функции Грина.

Раздел 1. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. Тема 1. Существование и единственность решения краевой задачи. Матричные функции Грина. 6 Раздел ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Тема Существование и единственность решения краевой задачи Матричные функции Грина Рассмотрим на отрезке по линейную краевую задачу для системы из обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления. Ю.Н. Горелов

Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления. Ю.Н. Горелов ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра дифференциальных уравнений и теории

Подробнее

2. Разностные схемы Разностные схемы

2. Разностные схемы Разностные схемы 2. Разностные схемы 1 2. Разностные схемы В качестве численных алгоритмов решения уравнений в частных производных наиболее часто используют метод сеток (разностные схемы). Его математический смысл чрезвычайно

Подробнее

Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки физика 1 Аннотация рабочей программы дисциплины Численные методы и математическое моделирование в физике (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика»,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, с.: ил.

Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, с.: ил. Рецензенты: проф., д. ф.-м. н. В. Б. Миносцев (зав. каф. общей и прикладной математики Московского государственного индустриального университета); проф., д. ф.-м. н., действ, чл. РАЕН Ю. И. Яламов Пирумов

Подробнее

5. Теор. задача. Доказать, что среди явных многошаговых методов ( k=0

5. Теор. задача. Доказать, что среди явных многошаговых методов ( k=0 Прием заданий производится как правило в часы семинарских занятий ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА 3 курс 6 семестр 6 Жесткие ОДУ Участки решения характеризующиеся быстрым его изменением Понятие методов Гира

Подробнее

Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины.

Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины. Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины. 1.1. Цель преподавания дисциплины. Преподавание курса Численные методы имеет целью приобретение студентами навыков решения различных математических задач, анализа

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Министерство образования и науки Российской Федерации Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Соловьева Кафедра МПО ЭВС РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УТВЕРЖДАЮ Декан факультета РЭИ

Подробнее

Практикум по курсу «Численные методы»

Практикум по курсу «Численные методы» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Мастяева ИН Семенихина ОН Практикум по курсу «Численные методы» Москва УДК 596 ББК

Подробнее

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Контрольные вопросы Дайте определение вычислительного эксперимента Нарисуйте схему

Подробнее

А. П. ИВАНОВ, И. В. ОЛЕМСКОЙ

А. П. ИВАНОВ, И. В. ОЛЕМСКОЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ, И. В. ОЛЕМСКОЙ КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ДЛЯ II КУРСА Методические указания

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Вычислительная математика

Вычислительная математика Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Ухтинский государственный технический университет Вычислительная математика Методические указания и контрольные работы УХТА 6 УДК.6 7. ББК. я 7

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

Ш87(03) Береславский Э. Н., Далингер Я. М., Павлов В. Д., Соловьева Т. В. Численные методы. Учебное пособие/университет ГА. С.-Петербург, 2014.

Ш87(03) Береславский Э. Н., Далингер Я. М., Павлов В. Д., Соловьева Т. В. Численные методы. Учебное пособие/университет ГА. С.-Петербург, 2014. Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Э.

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений Варианты заданий 0. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0.1. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОПК-1 способностью самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую деятельность в соответствующей профессиональной области с использованием

Подробнее

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток Методическая разработка по курсу Численные методы. Постановка задачи Г.К. Измайлов Решить методом сеток смешанную краевую задачу для дифференциального

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.Н. Меркулова М.Д. Михайлов РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по

Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по 46 Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по обобщенным формулам средних прямоугольников, трапеций,

Подробнее

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Федеральное агентство по образованию Владивостокский государственный университет экономики и сервиса СВ КИСЕЛЕВСКАЯ АА УШАКОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Учебное пособие Владивосток Издательство

Подробнее

Численное решение жестких систем ОДУ

Численное решение жестких систем ОДУ Численное решение жестких систем ОДУ 1. Введение. Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений ставится следующим образом где у и f вектор-функции. Однако для простоты обычно рассматривается

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

ПРОГРАММА дисциплины «Методы вычислений» (лекция-60 часов, семинар-60 часов) ВЫ-ВЫЫ семестр

ПРОГРАММА дисциплины «Методы вычислений» (лекция-60 часов, семинар-60 часов) ВЫ-ВЫЫ семестр 3 ПРОГРАММА дисциплины «Методы вычислений» (лекция-60 часов, семинар-60 часов) ВЫ-ВЫЫ семестр Предисловие В процессе изучения дисциплины Методы вычислений студенты должны: - закрепить на практике теоретические

Подробнее

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 УДК 519.865 В.В. Поддубный, О.В. Романович МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЭЙЛЕРА С УРАВНИВАНИЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

Оглавление Методы градиентного и наискорейшего спуска Метод минимальных невязок... 56

Оглавление Методы градиентного и наискорейшего спуска Метод минимальных невязок... 56 Оглавление Предисловие............................... 13 Лекция 1. Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численногодифференцирования..................

Подробнее

10. Жесткие ОДУ. dy = A[y cos t ]. (88) dt. 10. Жесткие ОДУ 1. Рис. 31. Решение (88) при A=50 алгоритмом Рунге-Кутты

10. Жесткие ОДУ. dy = A[y cos t ]. (88) dt. 10. Жесткие ОДУ 1. Рис. 31. Решение (88) при A=50 алгоритмом Рунге-Кутты 10. Жесткие ОДУ 1 10. Жесткие ОДУ В завершение разговора об ОДУ нельзя не сказать несколько слов о классе задач, называемых жесткими, для решения которых обычные методы (типа Рунге-Кутты) неприменимы.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» Методические указания к лабораторной работе «Вычисления корней трансцендентных уравнений»

Подробнее

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0 Глава Вычисление определенных интегралов! " #%$&' %(" # )* +,- "#' dx. В общем виде задача решается путем аппроксимации функции другой функцией, для которой интеграл вычисляется аналитически. При этом

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ В НЕФТЯНОЙ И ГАЗОВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ В НЕФТЯНОЙ И ГАЗОВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Федеральное агентство по образованию Ухтинский государственный технический университет ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ В НЕФТЯНОЙ И ГАЗОВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Часть Методические указания Ухта 008 УДК [.7+.79]:59.

Подробнее

Список вопросов к экзамену по численным методам (31 мая 2016г.)

Список вопросов к экзамену по численным методам (31 мая 2016г.) Список вопросов к экзамену по численным методам (31 мая 2016г.) 0.1 Численное интегрирование 1. Перечислить приёмы вычисления несобственных интегралов. Построить квадратурную формулу для вычисления интеграла

Подробнее

4. Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание

4. Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание 1. Целью изучения дисциплины является: подготовка высокопрофессионального специалиста медицинского кибернетика, владеющего математическими знаниями, умениями и навыками применять математику как инструмент

Подробнее

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции 1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции ( x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции ( x в произвольной точке x Для

Подробнее

Методические материалы по организации самостоятельной работы магистрантов по дисциплине «Математические методы в инженерии»

Методические материалы по организации самостоятельной работы магистрантов по дисциплине «Математические методы в инженерии» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Волгодонский инженерно-технический институт

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

6.Бифуркации. f 1. f 2

6.Бифуркации. f 1. f 2 6.Бифуркации 1 6.Бифуркации Изучая нелинейную динамику, мы с Вами сталкивались со все более сложными численными методами исследования динамических систем. Теперь еще более усложним нашу задачу. Напомним,

Подробнее

du/dx=f(x, u), 0<x 1, u(0)=u 0, (1)

du/dx=f(x, u), 0<x 1, u(0)=u 0, (1) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Дальневосточный государственный университет Л.А. МОЛЧАНОВА "Разностные методы решения дифференциальных уравнений"

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА Методические указания Санкт-Петербург 2013

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 НОВОСИБИРСК 008 Министерство науки и образования РФ Новосибирский технологический институт Московского государственного

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных исследований

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный университет К. В. ГРИГОРЬЕВА, С. Е. МИХЕЕВ

Подробнее

Численные методы и математическое моделирование

Численные методы и математическое моделирование Министерство образования Российской Федерации МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДЫ, ОБЩЕСТВА И ЧЕЛОВЕКА «ДУБНА» УТВЕРЖДАЮ Проректор C.В.Моржухина 2008 г. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Численные методы и математическое

Подробнее

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 4: Обыкновенные дифференциальные уравнения (17 слайдов)

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 4: Обыкновенные дифференциальные уравнения (17 слайдов) ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 4: Обыкновенные дифференциальные уравнения (17 слайдов) Слайд 1: Методы решения ОДУ. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение вида:

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Е. С. Тверская МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва Методы аппроксимации функции. Постановка задачи приближения функции. Задачи, приводящие к задаче приближения функций. Функция

Подробнее

Численный анализ. Содержание. А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций)

Численный анализ. Содержание. А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций) Численный анализ А.М. Мацокин, ВКИ НГУ, 1994/95 учебный год (конспект лекций) Содержание 1. Алгебраические методы интерполирования................ 3 1.1. Интерполяционный полином в форме Лагранжа..........

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

1. О постановке задач Коши для ОДУ

1. О постановке задач Коши для ОДУ 1. О постановке задач Коши для ОДУ 1 1. О постановке задач Коши для ОДУ Обыкновенными дифференциальными уравнениями сокращенно, ОДУ, называются такие уравнения, в которых неизвестными являются некоторые

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 5: Интерполирование функций факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Алгебраическое интерполирование. Полином Лагранжа............. 2 1.1. Погрешность метода.

Подробнее

Дифференциально-разностный метод исследования процессов диффузии материалов.

Дифференциально-разностный метод исследования процессов диффузии материалов. УДК 6780153083 Дифференциально-разностный метод исследования процессов диффузии материалов Мартышенко ВА (Военная академия радиационной, химической и бактериологической защиты и инженерных войск) Процессы

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

Численные методы и математическое моделирование, Часть II

Численные методы и математическое моделирование, Часть II Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (Университет «Дубна») Факультет естественных

Подробнее