Хмельник С.И. Уравнения Максвелла как следствие вариационного принципа. Вычислительный аспект.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Хмельник С.И. Уравнения Максвелла как следствие вариационного принципа. Вычислительный аспект."

Транскрипт

1 Серия: МАТЕМАТИКА Математика 3 Хмельник СИ Уравнения Максвелла как следствие вариационного принципа Вычислительный аспект Аннотация Эта статья является продолжением статьи [] доказано что существует функционал для которого уравнения Максвелла являются необходимыми и достаточными условиями существования глобального экстремума В данной статье предлагается метод градиентного спуска по этому функционалу Этот спуск заканчивается вычислением стационарного значения подынтегральных функций которые удовлетворяют уравнениям Максвелла Предлагается основанный на этом метод решения уравнений Максвелла который иллюстрируется примером расчета линейного и нелинейного коаксиальных кабелей Оглавление Метод вычислений Нелинейные уравнения Максвелла 3 Пример Расчет коаксиального кабеля 3 Постановка задачи 3 Функционал задачи 33 Решение задачи при фиксированных функциях времени 34 Решение задачи при фиксированных функциях переменной 35 Кабель переменного диаметра Литература Метод вычислений Известно [6] что уравнения Максвелла выводятся из принципа наименьшего действия Однако этот вывод делается в

2 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 предположении что токи заданы Но в уравнениях Максвелла плотности токов являются неизвестными Поэтому указанный вывод имея познавательную ценность не позволяет построить функционал которым можно воспользоваться для инженерных расчетов В этой главе используется такой функционал у которого первые вариации при обращении в нуль совпадают с уравнениями Максвелла [] Затем описывается метод спуска по этим вариациям что эквивалентно решению уравнений Максвелла Предложенный метод решения уравнений Максвелла иллюстрируется конкретными примерами Очевидными достоинствами метода является универсальность простота вычислений возможность решения нелинейных задач Вместе с этим следует сразу же подчеркнуть что это только метод а не готовые к использованию алгоритмы и программы Кроме того метод не аппробирован настолько чтобы можно было проводить обоснованные сравнения с существующими методами Предлагая эту статью автор надеется на то что идея метода покажется интересной и найдет развитие у других исследователей С этой же целью математические выкладки приводятся без «очевидных» сокращений В данной статье используются обозначения и ссылки на формулы статьи [] Последние имеют вид Aномер_формулы Рассмотрим вектор-функцию E E E H H H K L и вектор-функции d de E E H H H K L dm dm dm dm dm dm dm dm dm m { } Будем рассматривать также вектор-функции d d компонентами которых являются функции E H dm dm и их производные с одним или двумя штрихами соответственно Тогда функционал A может быть переписан в виде 33

3 Математика 34 Φ d ddd d d d d d d d d d d d d d d d d 3 ρ σ В [4 5] рассмотрен функционал вида E d d d d f А вторичный функционал вида

4 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 { } F E d В а также так называемая квазивариация вторичного функционала имеющая вид d p E С d D заметим что она отличается от вариации этого функционала Показано что необходимыми условиями существования седловой линии функционала А является равенство нулю квазивариации С По аналогии с этим рассмотрим соответствующий функционалу 3 вторичный функционал вида Φ d d d d d 4 d d d dddd 4 5 Его квазивариация по каждой из переменных имеет вид: d d d d p 6 d d d d При p система уравнений 6 превращается в систему уравнений Максвелла: A9-A которая в более подробной записи имеет вид: dh dh de dk d d d d dh dh de dk d d d d dh dh de dk d d d d 35

5 Математика de de dh dl d d d d de de dh dl d d d d de de dh dl d d d d de de de ρ d d d dh dh dh σ d d d Для их решения можно воспользоваться методом спуска по квазивариации известным в применении к электрическим цепям [4 5] Пусть 7 зависят только от соответственно В Символом обозначено покомпонентное умножение векторов Аналогично 8 Далее будем для сокращения записи обозначать Перепишем 4 в виде Φ { Φ} dddd 9 С учетом принятых предположений и обозначений подынтегральное выражение в 9 примет вид: 36

6 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 37 Φ d d d d d d d d Рассмотрим функционал 9 при фиксированных функциях в зависимости только от функций независимой переменной х После громоздких преобразований функционал 9 можно представить в виде Φ d V d d ddd d d d d d d f ddd f V ddd f s v r Можно заметить что выражение эквивалентно квазивариации С Таким образом при фиксированных функциях можно найти функцию являющуюся стационарным значением доставляющим экстремум функционалу Аналогичные выражения можно получить для функций при фиксированных тройках других функций

7 Математика Для нахождения стационарного значения функции определенной как 7 следует выполнять покоординатный спуск по каждой независимой переменной m { } Заметим еще что функционал 4 эквивалентен функционалу dh de H E H E Φ d d dddd 3 K dive ρ L divh σ Нелинейные уравнения Максвелла Пространство в котором распространяется электромагнитное поле может быть неоднородным Это выражается в том что магнитная проницаемость и диэлектрическая проницаемость зависят от пространственных координат те являются векторфункциями этих координат Мы ограничимся случаем когда каждая координата вектора или зависит только от одноименной пространственной координаты Рассмотрим функционал в котором учитывается неоднородность поля Для этого представим уравнения A9 A в следующем виде: de r H grad K d dh r E grad L d {} знаком обозначена операция покомпонентного умножения векторов Уравнения 7 8 являются уравнениями квазивариации для функционала dh de H E H E Φ d d dddd 3 K dive ρ L divh σ аналогичного фунционалу 3 Метод решения уравнений 7 8 квазивариации функционала 3 полностью аналогичен рассмотреному выше методу решения уравнений A9 A кавазивариации функционала 3 несмотря на зависимость и 38

8 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 от независимых переменных Далее эти методы будут рассмотрены на конкретном примере 3 Пример Расчет коаксиального кабеля 3 Постановка задачи Для иллюстрации вышеизложенного рассмотрим частный случай уравнений Максвелла а именно уравнения идеального коаксиального кабеля см также рис В цилиндрической системе координат r вектор напряженности магнитного поля будет иметь только составляющую направленную только по дуге Вектор напряженности электрического поля также будет иметь только составляющую направленную по радиусу При этом для электромагнитного поля в диэлектрике кабеля уравнения Максвелла принимают следующий вид: H E J E H H напряженность магнитного поля направленная по дуге E напряженность электрического поля направленная по радиусу J плотность электрического тока создаваемая источником напряжения подключенного к кабелю в точке Рис Коаксиальный кабель 39

9 Математика Эти уравнения соответствуют уравнениям A9 A Все входящие в них величины являются функциями времени и координаты Плотность электрического тока J создается источником напряжения u подключенного к кабелю в точке Как известно u J β 3 β проводимость кабеля в данной точке Поэтому уравнение может быть переписано в виде H E u β 4 Пусть u v 5 Вначале рассмотрим известное решение уравнений 4 при > те уравнений и H E 6 Оно имеет вид [3]: κ κ E E E κ κ H H H 7 κ 8 4 Подставляя это решение в и 6 сокращая на множитель приравнивая нулю суммы коэффициентов при κ κ и а также учитывая 8 находим: E E E E 9 H H H H При бесконечно большой нагрузке кабеля E E При этом из 9 следует чт о H H В этом случа е решение 7 принимает вид: κ κ E E κ κ H H

10 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 или E E in κ H H Cs κ 3 Функционал задачи Наша задача заключается в следующем Известны уравнения 4 5 и величины β v Необходимо найти вид функций E H а в том случае если будет показано что решение имеет вид надо определить также величины E H κ Решение будем искать в виде H E - неизвестные числа - неизвестные функции Функцию u заданную в единственной точке естественно определить в виде u γ v γ функция Дирака производная единичной ступени Применим рассмотренный выше метод к данной задаче Обозначим: H E d de dh d d d de H d d d d u βv γ β Тогда уравнения 4 примут вид единственного уравнения d d d d 4

11 Математика 4 Функционал 4 в данном случае примет вид: Φ Z d d d d d d или Φ Z d d d d d d или Φ Z d d v d d d d d d d d γ β 3 33 Решение задачи при фиксированных функциях времени Рассмотрим этот функционал при фиксированных функциях в зависимости только от функций независимой переменной : Φ Z d d d d d γ 4

12 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 43 { } { } { } 4 4 d v d d d d π π β При представлении экспоненты комплексным числом определенный интеграл заменяется на скалярное произведение: b ad b d D a π Здесь D действительная квадратная матрица π - верхний предел в интеграле а символом обозначена операция покомпонентного скалярного умножения комплексных векторов a и b и сложения полученных произведений Результатом такой операции является действительное число Множитель можно не учитывать тк он сокращается Учитывая это находим: 4 4 Cs v Cs Cs β π π При этом из 4 получаем: Φ Z d d d γ 5

13 π 4 Cs Математика π 4 Cs При π 4 имеем: 6 При имеем: βv Квазивариация 6 функционала 5 с учетом того что γ γ имеет вид: d p γ d Таким образом на данном этапе оптимизация заключается в решении уравнения d d γ 7 Метод алгоритм и программа решения такого уравнения рассмотрены в [5] При в развернутом виде это уравнение имеет вид d d u 8 d d а его решение - вид 44

14 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 H E in κ Cs κ γ κ H u H E u H u 9 Пример Пусть π βv 55 3 Это соответствует тому что в начале расчета принимается π Уравнение 7 при этом принимает вид: d d Из этого уравнения следует что A Cs κ A in κ 55 γ κ 8 κa in κ κa Cs κ A 55 A A 375 Можно убедиться что величина κ удовлетворяет условию 8 Таким образом на первой же итерации находится решение поставленной задачи: H 55 Cs κ E 375 in κ Оно по форме соответствует формуле Подставляя это решение в и 6 находим: E H 375 in κ 55 Cs κ Cs κ 375κ 55 45

15 H E in κ Математика 55 Cs κ 375 in κ 55κ 375 A u а в точке выполняется условие что и требовалось показать На следующем рисунке представлен результат решения данного уравнения изложенным в [5] методом вид функций является следствием решения а не определен изначально 34 Решение задачи при фиксированных функциях переменной В примере показано что при известных функциях времени могут быть найдены функции переменной которые принимают следующий вид: A Cs κ γ κa in κ A γ A in κ γ κa Cs κ 46

16 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 47 u A A A κ Теперь будем полагать что известны эти функции и будем искать функции времени Рассмотрим функционал 3 при фиксированных функциях в зависимости только от функций независимой перемен ой : н Φ d d d d d { } { } { } Z Z Z Z Z A d d d d A d A d d d d γ γ При этом из получаем: Φ d d d v A A β Квазивариация этого функционала принимает вид:

17 d p d Таким образом необходимо решить систему уравнений d A A v d β d d Отсюда находим Подставляя βv A Математика E H непосредствено в уравнение находим: или учитывая κ A Cs κ A Cs κ A те Итак получен результат который был κa исходны в примере Таким образом показана сходимость итерационнго процесса 35 Кабель переменного диаметра Как указывалось в разделе метод расчета без изменений используется и в том случае когда магнитная проницаемость и диэлектрическая проницаемость зависят от пространственных координат Рассмотрим для иллюстрации расчет кабеля с переменным диаметром d При этом можно полагать что d d известные константы а d известная функция независимой переменной Задаваясь как и выше определенными значениями электрической составляющей электромагнитного поля вновь получаем уравнение 7 отличающееся только тем что в нем матрица 6 представляется в виде 48

18 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 49 d 3 Для уравнения вида 7 является функцией от попрежнему применим изложенный в [5] метод Однако нет доказательства того что этот метод применим для уравнения вида 7 является функцией от хотя формально он может быть использован и дает правильное решение! Поэтому необходимо доказать что уравнение 7 9 может быть преобразовано к виду не зависит от а зависит от Покажем это Уравнение 7 при условии 9 является системой двух уравнений: d d d d d d γ Очевидно их можно переписать в виде d d d d d d d γ Представим их в матричной форме d d γ 4 d d Заметим что здесь является функцией от Уравнение 4 при этом может быть решено указанным выше методом

19 Математика Пример Добавим к условиям примера условие 3 При этом уравнение 4 примет вид d d 55 γ d d Это уравнение решено в данном примере На следующем рисунке представлены результаты решения этого уравнения при d 34 левые окна и при d 5 35 in5 правые окна Можно заметить что частота пространственных колебаний изменяется в зависимости от Полное решение имеет вид H H E E 5

20 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 Литература Хмельник СИ Уравнения Максвелла как следствие вариационного принципа «Доклады независимых авторов» изд «DNA» prind in A Lulu Inc ID Россия- Израиль 6 вып 3 Андре Анго Математика для электро- и радиоинженеров изд «Наука» Москва с 3 Сысун ВИ Теория сигналов и цепей Министерство Образования РФ и Американский Фонд Гражданских Исследований и Развития Петрозаводск 3 Wb-версия p://mdiakarliaru/~kip/circui/mainm 4 Хмельник СИ О вариационном принципе экстремума в электромеханических системах «Доклады независимых авторов» изд «DNA» prind in A Lulu Inc ID 473 Россия-Израиль 5 вып 5 Хмельник СИ Вариационный принцип экстремума в электромеханических системах Publisd b MiC - Mamaics in Cmpur Cmp Израиль-Россия 5 prind in A Lulu Inc ID Бредов ММ Румянцев ВВ Топтыгин ИН Классическая электродинамика Изд «Лань» 3 4 с 5

Оглавление 1. Введение 2. Решение уравнений Максвелла 3. Напряженности и потоки энергии 4.Обсуждение Литература

Оглавление 1. Введение 2. Решение уравнений Максвелла 3. Напряженности и потоки энергии 4.Обсуждение Литература Хмельник С. И. Электромагнитная волна в заряженном конденсаторе Аннотация Показывается, что в заряжаемом конденсаторе распространяется электромагнитная волна, а математическое описание этой волны является

Подробнее

Хмельник С.И. Принцип экстремума полного действия

Хмельник С.И. Принцип экстремума полного действия Физика и астрономия Хмельник С.И. Принцип экстремума полного действия 196 Аннотация Предлагается новый вариационный принцип экстремума полного действия, который расширяет лагранжев формализм на диссипативные

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Хмельник С.И., Хмельник М.И. К вопросу о «магнитных стенах» в экспериментах Рощина-Година

Хмельник С.И., Хмельник М.И. К вопросу о «магнитных стенах» в экспериментах Рощина-Година Физика и астрономия Хмельник С.И., Хмельник М.И. К вопросу о «магнитных стенах» в экспериментах Рощина-Година 06 Аннотация Рассматривается природа «магнитных стен», которые обнаружены в экспериментах Рощина-Година

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

ГЛАВА 5. Плоские волны

ГЛАВА 5. Плоские волны ГЛАВА 5 Плоские волны Излучатель электромагнитной волны создает вокруг себя фронт этих волн На больших расстояниях от излучателя волну можно считать сферической Но на очень больших расстояниях от излучателя

Подробнее

Хмельник С. И. Математическая модель электрического торнадо

Хмельник С. И. Математическая модель электрического торнадо Хмельник С. И. Математическая модель электрического торнадо Аннотация Предполагается, что существование торнадо обеспечивается множеством внутренних молний. Строится математическая модель торнадо, показывается

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Лекция 12 Задачи нелинейного и квадратичного программирования

Лекция 12 Задачи нелинейного и квадратичного программирования Лекция Задачи нелинейного и квадратичного программирования Нелинейное программирование (НЛП). НЛП это такая задача математического программирования, F когда-либо целевая функция, либо ограничения, либо

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

'. И пусть для простоты dl dl F V, B

'. И пусть для простоты dl dl F V, B Экзамен Закон электромагнитной индукции Фарадея (продолжение) ЭДС возникает, если поток изменяется по любым причинам ЭДС возникает, если контур перемещается, поворачивается, деформируется, и если контур

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

10. Векторный и скалярный потенциалы

10. Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы Уравнения Максвелла это, в общем случае, сложные интегральнодифференциальные уравнения, поэтому непосредственно их решать относительно трудно Были введены две вспомогательные

Подробнее

29. Условия на границе раздела двух сред.

29. Условия на границе раздела двух сред. 29 Условия на границе раздела двух сред div( D) = ρ Для электрического поля уравнения Максвелла 1 B для D2n D1n = σ границы раздела двух сред превращаются в граничные условия, E2τ E1τ где n= n1 2, σ поверхностная

Подробнее

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Математика Серия: МАТЕМАТИКА Недосекин ЮА Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Аннотация Предложен новый метод решения неоднородной системы линейных алгебраических

Подробнее

Электрические цепи переменного тока. (рассмотрение этой темы будет проведено в системе СИ)

Электрические цепи переменного тока. (рассмотрение этой темы будет проведено в системе СИ) Электрические цепи переменного тока. (рассмотрение этой темы будет проведено в системе СИ) Экзамен. Связь тока и напряжения для линейных элементов цепи переменного тока. Для резистора: U = I Для конденсатора:

Подробнее

2.6. Энергия электрического поля.

2.6. Энергия электрического поля. .6. Энергия электрического поля..6.. Энергия системы зарядов. Энергию электрического поля мы уже фактически рассматривали ранее, когда вводили понятие потенциала и разности потенциалов. При сближении электрических

Подробнее

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЕМКОСТЕЙ МНОГОЖИЛЬНОГО КАБЕЛЯ С КОМБИНИРОВАННОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЕМКОСТЕЙ МНОГОЖИЛЬНОГО КАБЕЛЯ С КОМБИНИРОВАННОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЕМКОСТЕЙ МНОГОЖИЛЬНОГО КАБЕЛЯ С КОМБИНИРОВАННОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ КК Абрамов канд техн наук ведущий научный сотрудник ОАО «ВНИИКП» Электрические емкости емкостные связи асимметрия жил относятся

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

Хмельник С. И. Вторая математическая модель шаровой молнии

Хмельник С. И. Вторая математическая модель шаровой молнии Хмельник С. И. Вторая математическая модель шаровой молнии Аннотация На основе уравнений Максвелла и представления об электропроводности тела шаровой молнии строится математическая модель шаровой молнии,

Подробнее

Непротиворечивое решение уравнений Максвелла

Непротиворечивое решение уравнений Максвелла Хмельник С. И. Непротиворечивое решение уравнений Максвелла Проспект книги Аннотация Предлагается новое решение уравнений Максвелла для вакуума, для провода с постоянным и переменным током, для конденсатора,

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Оглавление 1. Вступление 2. Конфигурация поля 3. Сила Лоренца 4. Сила Ампера 5. Обсуждение Литература

Оглавление 1. Вступление 2. Конфигурация поля 3. Сила Лоренца 4. Сила Ампера 5. Обсуждение Литература Хмельник С.И. Силы Лоренца, Ампера и закон сохранения импульса. Количественный анализ и следствия. Аннотация Известно, что силы Лоренца и Ампера противоречат третьему закону Ньютона, но не противоречат

Подробнее

10.2 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

10.2 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 1.2 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория не только объясняла все известные в то время экспериментальные

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

1.9. Преобразования векторов электромагнитного поля. c v

1.9. Преобразования векторов электромагнитного поля. c v .9. Преобразования векторов электромагнитного поля..9.. Преобразования компонент электромагнитного поля. Полученные и изученные нами законы электродинамики применимы для описания явлений, которые происходят

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств. (x a)2 + ( y a) 2 = a2 a 1

Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств. (x a)2 + ( y a) 2 = a2 a 1 Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств (x + + 2a)2 + ( y + 1 + a) 2 a2 a 1, x + 2y 2 имеет единственное решение. Первое, на что можно обратить внимание в условии

Подробнее

Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения

Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 68 www.a.ru/scece/rudy/ УДК 537.87+6.37 Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения Гиголо А. И. * Кузнецов Г. Ю. ** Московский

Подробнее

Модификация уравнения Клейна-Гордона

Модификация уравнения Клейна-Гордона 1 Модификация уравнения Клейна-Гордона Львов Олег Сергеевич г. Пенза С целью более корректного теоретического описания свободных заряженных частиц и античастиц предлагается разложение уравнения Клейна-Гордона

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Глава 2. Природа движущих

Глава 2. Природа движущих Глава 2. Природа движущих сил Оглавление 1. Расчет и измерение магнитного поля постоянного магнита 2. Магнитные заряды постоянного магнита 3. Уравнения Максвелла для постоянного магнита 4. Силы взаимодействия

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

r r E dl ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ L электрического поля. Другими словами,

r r E dl ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ L электрического поля. Другими словами, Сафронов В.П. 2012 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА - 1 - Глава 17 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Система из четырех уравнений Максвелла полностью описывает электромагнитные процессы. 17.1. ПЕРВАЯ ПАРА

Подробнее

Факультатив. Дополнение к теореме Лармора. Мы доказали, что в магнитном поле электронная оболочка может e вращаться с частотой Ω= B.

Факультатив. Дополнение к теореме Лармора. Мы доказали, что в магнитном поле электронная оболочка может e вращаться с частотой Ω= B. Факультатив. Дополнение к теореме Лармора. Мы доказали, что в магнитном поле электронная оболочка может вращаться с частотой Ω= B. Однако будет ли она раскручиваться при включении магнитного поля? Оказывается,

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Базовые понятия о фотонных кристаллах. Закон дисперсии и фотонная запрещенная зона

Базовые понятия о фотонных кристаллах. Закон дисперсии и фотонная запрещенная зона Базовые понятия о фотонных кристаллах. Закон дисперсии и фотонная запрещенная зона понятие о фотонных кристаллах аналогии между фотонными кристаллами и «атомными» кристаллами плотность мод электромагнитного

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ УДК

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ УДК СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ 5 - УДК 57946+58 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И КОНЕЧНОЭЛЕ- МЕНТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ОСЕСИММЕТРИЧ- НОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ, ВОЗБУЖДАЕ- МОГО ТОРОИДАЛЬНЫМ ТОКОМ МГ ПЕРСОВА, АВ ЗИНЧЕНКО

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

W09 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ. ПОЛЯРИТОНЫ.

W09 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ. ПОЛЯРИТОНЫ. W09 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ. ПОЛЯРИТОНЫ. Перейдем к рассмотрению особенностей электромагнитных волн в различных средах. Всем известные уравнения Максвелла будем использовать в виде 1 B div D 0 rot E t (1)

Подробнее

Доклады независимых авторов 2012 выпуск 20. Хмельник С.И. Детектирование гравитационных волн

Доклады независимых авторов 2012 выпуск 20. Хмельник С.И. Детектирование гравитационных волн Хмельник С.И. Детектирование гравитационных волн Аннотация Указывается на дорогостоящие эксперименты по обнаружению гравитационного излучения, которые пока не дали результата. Показывается, что известные

Подробнее

Глава 8. Элементы квантовой механики

Глава 8. Элементы квантовой механики Глава 8 Элементы квантовой механики Задачи атомной физики решаются методами квантовой теории которая принципиально отличается от классической механики Решение задачи о движении тела макроскопических размеров

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 21 ЛЕКЦИЯ 21

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 21 ЛЕКЦИЯ 21 ЛЕКЦИЯ 21 Электростатика. Медленно меняющиеся поля. Условия медленно меняющихся полей. Уравнение Пуассона. Решение уравнения Пуассона для точечного заряда. Потенциал поля системы зарядов. Напряженность

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1)

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1) 4 ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид ot E, div E ρ (4 Безвихревой характер поля позволяет ввести скалярный потенциал электрического поля: E gad, для которого

Подробнее

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ Протасеня Александр Анатольевич Рогожина Регина Григорьевна Ветохина Валентина Евгеньевна

Подробнее

Квазистационарное электромагнитное поле. Экзамен. Закон электромагнитной индукции Фарадея.

Квазистационарное электромагнитное поле. Экзамен. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Квазистационарное электромагнитное поле. Экзамен. Закон электромагнитной индукции Фарадея. d инд = закон электромагнитной индукции Фарадея. При dt изменении потока магнитного поля через контур в контуре

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

1 2 i ( ) ( ) ui u , (3.1) x x x x. j j j j (3.2) = + ( ) ( ) 2 ( ) ( ) (3.3) (3.4) (3.5) j j j j j j. t x t x t x t x t x x

1 2 i ( ) ( ) ui u , (3.1) x x x x. j j j j (3.2) = + ( ) ( ) 2 ( ) ( ) (3.3) (3.4) (3.5) j j j j j j. t x t x t x t x t x x 3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбулентности. Одним из важнейших параметров, характеризующих турбулентное движение, является турбулентная кинетическая энергия

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие......................................... 3 Глава1 Элементы линейной алгебры............................ 5 1.1. Матрицы и определители........................... 5 1.2. Линейные пространства............................

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

А.П.Попов. Методы оптимальных решений. Пособие для студентов экономических специальностей вузов

А.П.Попов. Методы оптимальных решений. Пособие для студентов экономических специальностей вузов А.П.Попов Методы оптимальных решений Пособие для студентов экономических специальностей вузов Ростов-на-Дону 01 1 Введение В прикладной математике имеется несколько направления, нацеленных в первую очередь

Подробнее

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа Лекция 6 Операционное исчисление Преобразование Лапласа Образы простых функций Основные свойства преобразования Лапласа Изображение производной оригинала Операционное исчисление Преобразование Лапласа

Подробнее

Продвинутые методы многомерной оптимизации. Решение СЛАУ с помощью метода сопряжённых градиентов

Продвинутые методы многомерной оптимизации. Решение СЛАУ с помощью метода сопряжённых градиентов Курс: Методы оптимизации в машинном обучении, Продвинутые методы многомерной оптимизации Рассмотрим задачу безусловной оптимизации в многомерном пространстве: f(x) min x R N. Ранее для решения этой задачи

Подробнее

Оглавление. 1. Введение. Хмельник С.И. Четвертая электромагнитная индукция. 1. Введение

Оглавление. 1. Введение. Хмельник С.И. Четвертая электромагнитная индукция. 1. Введение Хмельник С.И. Четвертая электромагнитная индукция Аннотация Рассматриваются варианты электромагнитной индукции. Выделяется индукция, вызванная изменением потока электромагнитной энергии. Находится зависимость

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

К вопросу о вторичном квантовании (и спонтанном излучении).

К вопросу о вторичном квантовании (и спонтанном излучении). К вопросу о вторичном квантовании (и спонтанном излучении. Китаев А.Е. (E-mail: kiav_a_@mail.ru Попробуем рассмотреть физический смысл вторичного квантования (я уже обращался к этому вопросу в работе «Нелинейные

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

dt dt Частная производная по времени вместо полной производной подчеркивает неизменность пространственных координат при вычислении производной.

dt dt Частная производная по времени вместо полной производной подчеркивает неизменность пространственных координат при вычислении производной. Факультатив Намагниченность и связанные токи для переменных полей j Соотношение ot( M) = справедливо только для постоянных магнитных полей, независящих от времени В более общем случае P j = + ot( M) t

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ТЕПЛОВЫХ БАЛАНСОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ. В.И.Антонов. Аннотация.

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ТЕПЛОВЫХ БАЛАНСОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ. В.И.Антонов. Аннотация. dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 1, 2002 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Прикладные задачи ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

Подробнее

, Инженерный вестник, 01, Январь 2014 Страница 501

, Инженерный вестник, 01, Январь 2014 Страница 501 Расчет на ЭВМ осесимметричных систем с постоянными магнитами Инженерный вестник # 01, январь 2014 автор: Волченсков В. И. volchens@yandex.ru МГТУ им. Н.Э. Баумана Массовое применение устройств с постоянными

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ 4 ( ) ( ) Выражение мгновенного значения вектора E через комплексную амплитуду E m

ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ 4 ( ) ( ) Выражение мгновенного значения вектора E через комплексную амплитуду E m ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ 1 Уравнение Максвелла, несправедливое для электростатического поля А. divd = ρ Б. divd = В. rot E = Г. rot H = j ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ 2 Формула связи напряженности электрического поля и электростатического

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что Математика. О некоторых экстремальных прямых Ипатова Виктория физико-математический класс ГБОУ «Химический лицей» город Москва Научный руководитель: Привалов Александр Андреевич МПГУ доцент к.ф.-м.н. Пусть

Подробнее

заряд электронной оболочки.

заряд электронной оболочки. Взаимодействие света с веществом Экзамен Модель атома Томсона Комплексная поляризуемость атомов Когда Томсон придумывал свою модель атома, еще не было известно, что в атоме есть положительное ядро Томсон

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. Для линейных цепей законы коммутации чаще записывают так:

ВВЕДЕНИЕ. Для линейных цепей законы коммутации чаще записывают так: Оглавление ВВЕДЕНИЕ Раздел КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Раздел РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕГРАЛОВ НАЛОЖЕНИЯ9 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ7

Подробнее

R. Будем искать коэффициенты и уравнений Максвелла

R. Будем искать коэффициенты и уравнений Максвелла Секция устный УДК 55837 О ЗАДАЧЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Губатенко ВП Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского Сформулирована обратная задача электроразведки переменными токами

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Оглавление. 1. Введение. Хмельник С.И. Четвертая электромагнитная индукция. 1. Введение

Оглавление. 1. Введение. Хмельник С.И. Четвертая электромагнитная индукция. 1. Введение Хмельник С.И. Четвертая электромагнитная индукция Аннотация Рассматриваются варианты электромагнитной индукции. Выделяется индукция, вызванная изменением потока электромагнитной энергии. Находится зависимость

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:, Получены два различных действительных корня Всё, что осталось сделать записать ответ, руководствуясь формулой

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Бережной Д.В. Тазюков Б.Ф. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие

Подробнее

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция Решение систем алгебраических уравнений в средах Лектор MS Ecel и Mthcd Ст. преподаватель Купо А.Н. .Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Постановка задачи..методы решения СЛАУ.(Метод

Подробнее

Рассмотрим теперь последовательное соединение двух конденсаторов. При последовательном соединении конденсаторов. Тогда

Рассмотрим теперь последовательное соединение двух конденсаторов. При последовательном соединении конденсаторов. Тогда Экзамен. Электрическая емкость параллельного и последовательного соединения конденсаторов. Пусть два конденсатора с емкостями C и C соединены параллельно и помещены в черный ящик, из которого торчат два

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

[m r] [r j ]dv. F = (mb) = (m )B, N = [m B].

[m r] [r j ]dv. F = (mb) = (m )B, N = [m B]. 1 Магнитостатика 1 1 Магнитостатика Урок 19 Векторный потенциал, магнитный диполь Векторный магнитный потенциал A (B = rot A) удовлетворяет уравнениям Векторный потенциал магнитного диполя ϕ t = 0 A =

Подробнее

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

РАЗДЕЛ II НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

РАЗДЕЛ II НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 1 ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет» РАЗДЕЛ II НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Лекция 6.1 КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА.

Подробнее