Хмельник С.И. Уравнения Максвелла как следствие вариационного принципа. Вычислительный аспект.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Хмельник С.И. Уравнения Максвелла как следствие вариационного принципа. Вычислительный аспект."

Транскрипт

1 Серия: МАТЕМАТИКА Математика 3 Хмельник СИ Уравнения Максвелла как следствие вариационного принципа Вычислительный аспект Аннотация Эта статья является продолжением статьи [] доказано что существует функционал для которого уравнения Максвелла являются необходимыми и достаточными условиями существования глобального экстремума В данной статье предлагается метод градиентного спуска по этому функционалу Этот спуск заканчивается вычислением стационарного значения подынтегральных функций которые удовлетворяют уравнениям Максвелла Предлагается основанный на этом метод решения уравнений Максвелла который иллюстрируется примером расчета линейного и нелинейного коаксиальных кабелей Оглавление Метод вычислений Нелинейные уравнения Максвелла 3 Пример Расчет коаксиального кабеля 3 Постановка задачи 3 Функционал задачи 33 Решение задачи при фиксированных функциях времени 34 Решение задачи при фиксированных функциях переменной 35 Кабель переменного диаметра Литература Метод вычислений Известно [6] что уравнения Максвелла выводятся из принципа наименьшего действия Однако этот вывод делается в

2 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 предположении что токи заданы Но в уравнениях Максвелла плотности токов являются неизвестными Поэтому указанный вывод имея познавательную ценность не позволяет построить функционал которым можно воспользоваться для инженерных расчетов В этой главе используется такой функционал у которого первые вариации при обращении в нуль совпадают с уравнениями Максвелла [] Затем описывается метод спуска по этим вариациям что эквивалентно решению уравнений Максвелла Предложенный метод решения уравнений Максвелла иллюстрируется конкретными примерами Очевидными достоинствами метода является универсальность простота вычислений возможность решения нелинейных задач Вместе с этим следует сразу же подчеркнуть что это только метод а не готовые к использованию алгоритмы и программы Кроме того метод не аппробирован настолько чтобы можно было проводить обоснованные сравнения с существующими методами Предлагая эту статью автор надеется на то что идея метода покажется интересной и найдет развитие у других исследователей С этой же целью математические выкладки приводятся без «очевидных» сокращений В данной статье используются обозначения и ссылки на формулы статьи [] Последние имеют вид Aномер_формулы Рассмотрим вектор-функцию E E E H H H K L и вектор-функции d de E E H H H K L dm dm dm dm dm dm dm dm dm m { } Будем рассматривать также вектор-функции d d компонентами которых являются функции E H dm dm и их производные с одним или двумя штрихами соответственно Тогда функционал A может быть переписан в виде 33

3 Математика 34 Φ d ddd d d d d d d d d d d d d d d d d 3 ρ σ В [4 5] рассмотрен функционал вида E d d d d f А вторичный функционал вида

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 { } F E d В а также так называемая квазивариация вторичного функционала имеющая вид d p E С d D заметим что она отличается от вариации этого функционала Показано что необходимыми условиями существования седловой линии функционала А является равенство нулю квазивариации С По аналогии с этим рассмотрим соответствующий функционалу 3 вторичный функционал вида Φ d d d d d 4 d d d dddd 4 5 Его квазивариация по каждой из переменных имеет вид: d d d d p 6 d d d d При p система уравнений 6 превращается в систему уравнений Максвелла: A9-A которая в более подробной записи имеет вид: dh dh de dk d d d d dh dh de dk d d d d dh dh de dk d d d d 35

5 Математика de de dh dl d d d d de de dh dl d d d d de de dh dl d d d d de de de ρ d d d dh dh dh σ d d d Для их решения можно воспользоваться методом спуска по квазивариации известным в применении к электрическим цепям [4 5] Пусть 7 зависят только от соответственно В Символом обозначено покомпонентное умножение векторов Аналогично 8 Далее будем для сокращения записи обозначать Перепишем 4 в виде Φ { Φ} dddd 9 С учетом принятых предположений и обозначений подынтегральное выражение в 9 примет вид: 36

6 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 37 Φ d d d d d d d d Рассмотрим функционал 9 при фиксированных функциях в зависимости только от функций независимой переменной х После громоздких преобразований функционал 9 можно представить в виде Φ d V d d ddd d d d d d d f ddd f V ddd f s v r Можно заметить что выражение эквивалентно квазивариации С Таким образом при фиксированных функциях можно найти функцию являющуюся стационарным значением доставляющим экстремум функционалу Аналогичные выражения можно получить для функций при фиксированных тройках других функций

7 Математика Для нахождения стационарного значения функции определенной как 7 следует выполнять покоординатный спуск по каждой независимой переменной m { } Заметим еще что функционал 4 эквивалентен функционалу dh de H E H E Φ d d dddd 3 K dive ρ L divh σ Нелинейные уравнения Максвелла Пространство в котором распространяется электромагнитное поле может быть неоднородным Это выражается в том что магнитная проницаемость и диэлектрическая проницаемость зависят от пространственных координат те являются векторфункциями этих координат Мы ограничимся случаем когда каждая координата вектора или зависит только от одноименной пространственной координаты Рассмотрим функционал в котором учитывается неоднородность поля Для этого представим уравнения A9 A в следующем виде: de r H grad K d dh r E grad L d {} знаком обозначена операция покомпонентного умножения векторов Уравнения 7 8 являются уравнениями квазивариации для функционала dh de H E H E Φ d d dddd 3 K dive ρ L divh σ аналогичного фунционалу 3 Метод решения уравнений 7 8 квазивариации функционала 3 полностью аналогичен рассмотреному выше методу решения уравнений A9 A кавазивариации функционала 3 несмотря на зависимость и 38

8 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 от независимых переменных Далее эти методы будут рассмотрены на конкретном примере 3 Пример Расчет коаксиального кабеля 3 Постановка задачи Для иллюстрации вышеизложенного рассмотрим частный случай уравнений Максвелла а именно уравнения идеального коаксиального кабеля см также рис В цилиндрической системе координат r вектор напряженности магнитного поля будет иметь только составляющую направленную только по дуге Вектор напряженности электрического поля также будет иметь только составляющую направленную по радиусу При этом для электромагнитного поля в диэлектрике кабеля уравнения Максвелла принимают следующий вид: H E J E H H напряженность магнитного поля направленная по дуге E напряженность электрического поля направленная по радиусу J плотность электрического тока создаваемая источником напряжения подключенного к кабелю в точке Рис Коаксиальный кабель 39

9 Математика Эти уравнения соответствуют уравнениям A9 A Все входящие в них величины являются функциями времени и координаты Плотность электрического тока J создается источником напряжения u подключенного к кабелю в точке Как известно u J β 3 β проводимость кабеля в данной точке Поэтому уравнение может быть переписано в виде H E u β 4 Пусть u v 5 Вначале рассмотрим известное решение уравнений 4 при > те уравнений и H E 6 Оно имеет вид [3]: κ κ E E E κ κ H H H 7 κ 8 4 Подставляя это решение в и 6 сокращая на множитель приравнивая нулю суммы коэффициентов при κ κ и а также учитывая 8 находим: E E E E 9 H H H H При бесконечно большой нагрузке кабеля E E При этом из 9 следует чт о H H В этом случа е решение 7 принимает вид: κ κ E E κ κ H H

10 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 или E E in κ H H Cs κ 3 Функционал задачи Наша задача заключается в следующем Известны уравнения 4 5 и величины β v Необходимо найти вид функций E H а в том случае если будет показано что решение имеет вид надо определить также величины E H κ Решение будем искать в виде H E - неизвестные числа - неизвестные функции Функцию u заданную в единственной точке естественно определить в виде u γ v γ функция Дирака производная единичной ступени Применим рассмотренный выше метод к данной задаче Обозначим: H E d de dh d d d de H d d d d u βv γ β Тогда уравнения 4 примут вид единственного уравнения d d d d 4

11 Математика 4 Функционал 4 в данном случае примет вид: Φ Z d d d d d d или Φ Z d d d d d d или Φ Z d d v d d d d d d d d γ β 3 33 Решение задачи при фиксированных функциях времени Рассмотрим этот функционал при фиксированных функциях в зависимости только от функций независимой переменной : Φ Z d d d d d γ 4

12 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 43 { } { } { } 4 4 d v d d d d π π β При представлении экспоненты комплексным числом определенный интеграл заменяется на скалярное произведение: b ad b d D a π Здесь D действительная квадратная матрица π - верхний предел в интеграле а символом обозначена операция покомпонентного скалярного умножения комплексных векторов a и b и сложения полученных произведений Результатом такой операции является действительное число Множитель можно не учитывать тк он сокращается Учитывая это находим: 4 4 Cs v Cs Cs β π π При этом из 4 получаем: Φ Z d d d γ 5

13 π 4 Cs Математика π 4 Cs При π 4 имеем: 6 При имеем: βv Квазивариация 6 функционала 5 с учетом того что γ γ имеет вид: d p γ d Таким образом на данном этапе оптимизация заключается в решении уравнения d d γ 7 Метод алгоритм и программа решения такого уравнения рассмотрены в [5] При в развернутом виде это уравнение имеет вид d d u 8 d d а его решение - вид 44

14 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 H E in κ Cs κ γ κ H u H E u H u 9 Пример Пусть π βv 55 3 Это соответствует тому что в начале расчета принимается π Уравнение 7 при этом принимает вид: d d Из этого уравнения следует что A Cs κ A in κ 55 γ κ 8 κa in κ κa Cs κ A 55 A A 375 Можно убедиться что величина κ удовлетворяет условию 8 Таким образом на первой же итерации находится решение поставленной задачи: H 55 Cs κ E 375 in κ Оно по форме соответствует формуле Подставляя это решение в и 6 находим: E H 375 in κ 55 Cs κ Cs κ 375κ 55 45

15 H E in κ Математика 55 Cs κ 375 in κ 55κ 375 A u а в точке выполняется условие что и требовалось показать На следующем рисунке представлен результат решения данного уравнения изложенным в [5] методом вид функций является следствием решения а не определен изначально 34 Решение задачи при фиксированных функциях переменной В примере показано что при известных функциях времени могут быть найдены функции переменной которые принимают следующий вид: A Cs κ γ κa in κ A γ A in κ γ κa Cs κ 46

16 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 47 u A A A κ Теперь будем полагать что известны эти функции и будем искать функции времени Рассмотрим функционал 3 при фиксированных функциях в зависимости только от функций независимой перемен ой : н Φ d d d d d { } { } { } Z Z Z Z Z A d d d d A d A d d d d γ γ При этом из получаем: Φ d d d v A A β Квазивариация этого функционала принимает вид:

17 d p d Таким образом необходимо решить систему уравнений d A A v d β d d Отсюда находим Подставляя βv A Математика E H непосредствено в уравнение находим: или учитывая κ A Cs κ A Cs κ A те Итак получен результат который был κa исходны в примере Таким образом показана сходимость итерационнго процесса 35 Кабель переменного диаметра Как указывалось в разделе метод расчета без изменений используется и в том случае когда магнитная проницаемость и диэлектрическая проницаемость зависят от пространственных координат Рассмотрим для иллюстрации расчет кабеля с переменным диаметром d При этом можно полагать что d d известные константы а d известная функция независимой переменной Задаваясь как и выше определенными значениями электрической составляющей электромагнитного поля вновь получаем уравнение 7 отличающееся только тем что в нем матрица 6 представляется в виде 48

18 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 49 d 3 Для уравнения вида 7 является функцией от попрежнему применим изложенный в [5] метод Однако нет доказательства того что этот метод применим для уравнения вида 7 является функцией от хотя формально он может быть использован и дает правильное решение! Поэтому необходимо доказать что уравнение 7 9 может быть преобразовано к виду не зависит от а зависит от Покажем это Уравнение 7 при условии 9 является системой двух уравнений: d d d d d d γ Очевидно их можно переписать в виде d d d d d d d γ Представим их в матричной форме d d γ 4 d d Заметим что здесь является функцией от Уравнение 4 при этом может быть решено указанным выше методом

19 Математика Пример Добавим к условиям примера условие 3 При этом уравнение 4 примет вид d d 55 γ d d Это уравнение решено в данном примере На следующем рисунке представлены результаты решения этого уравнения при d 34 левые окна и при d 5 35 in5 правые окна Можно заметить что частота пространственных колебаний изменяется в зависимости от Полное решение имеет вид H H E E 5

20 Доклады независимых авторов 6 выпуск 4 Литература Хмельник СИ Уравнения Максвелла как следствие вариационного принципа «Доклады независимых авторов» изд «DNA» prind in A Lulu Inc ID Россия- Израиль 6 вып 3 Андре Анго Математика для электро- и радиоинженеров изд «Наука» Москва с 3 Сысун ВИ Теория сигналов и цепей Министерство Образования РФ и Американский Фонд Гражданских Исследований и Развития Петрозаводск 3 Wb-версия p://mdiakarliaru/~kip/circui/mainm 4 Хмельник СИ О вариационном принципе экстремума в электромеханических системах «Доклады независимых авторов» изд «DNA» prind in A Lulu Inc ID 473 Россия-Израиль 5 вып 5 Хмельник СИ Вариационный принцип экстремума в электромеханических системах Publisd b MiC - Mamaics in Cmpur Cmp Израиль-Россия 5 prind in A Lulu Inc ID Бредов ММ Румянцев ВВ Топтыгин ИН Классическая электродинамика Изд «Лань» 3 4 с 5

диэлектрической и магнитной цепи переменного тока.

диэлектрической и магнитной цепи переменного тока. Хмельник С. И. Электромагнитная волна в диэлектрической и магнитной цепи переменного тока Аннотация Предлагается решение уравнений Максвелла для диэлектрической и магнитной цепи переменного тока. Рассматривается

Подробнее

Хмельник С. И. К теории хранителя вечного движения

Хмельник С. И. К теории хранителя вечного движения Физика и астрономия Серия: ФИЗИКА И АСТРОНОМИЯ Хмельник С. И. К теории хранителя вечного движения Аннотация Рассматривается эксперимент, демонстрирующий сохранение целостности сборной конструкции при отсутствии

Подробнее

Оглавление 1. Введение 2. Решение уравнений Максвелла 3. Напряженности и потоки энергии 4.Обсуждение Литература

Оглавление 1. Введение 2. Решение уравнений Максвелла 3. Напряженности и потоки энергии 4.Обсуждение Литература Хмельник С. И. Электромагнитная волна в заряженном конденсаторе Аннотация Показывается, что в заряжаемом конденсаторе распространяется электромагнитная волна, а математическое описание этой волны является

Подробнее

Хмельник С.И. Математическая модель плазменного кристалла

Хмельник С.И. Математическая модель плазменного кристалла Хмельник С.И. Математическая модель плазменного кристалла Аннотация. Предлагается математическая модель плазменного кристалла построенная с использованием уравнений Максвелла. Оглавление. Постановка задачи.

Подробнее

Оглавление 1. Введение 2. Математическая модель 3. Потоки энергии 4. Вертикальная устойчивость 5. Движение вихря Приложение Литература

Оглавление 1. Введение 2. Математическая модель 3. Потоки энергии 4. Вертикальная устойчивость 5. Движение вихря Приложение Литература Хмельник С. И. Математическая модель песчаного вихря Аннотация Рассматривается вопрос об источнике энергии в песчаном вихре. Атмосферные явления не могут быть единственным источником энергии, поскольку

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

D t. 4π c σ E. Таким образом система уравнений Максвелла в квазистационарном приближении имеет вид: div D = 4πρ; div B = 0; c t ; rot H = 4π j; (3)

D t. 4π c σ E. Таким образом система уравнений Максвелла в квазистационарном приближении имеет вид: div D = 4πρ; div B = 0; c t ; rot H = 4π j; (3) 1 1 Условие квазистационарности поля Квазистационарное переменное электромагнитное поле - это приближенный способ описания электромагнитного поля при котором можно пренебречь током смещения в системе уравнений

Подробнее

Хмельник С.И. Принцип экстремума полного действия

Хмельник С.И. Принцип экстремума полного действия Физика и астрономия Хмельник С.И. Принцип экстремума полного действия 196 Аннотация Предлагается новый вариационный принцип экстремума полного действия, который расширяет лагранжев формализм на диссипативные

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Хмельник С.И., Хмельник М.И. К вопросу о «магнитных стенах» в экспериментах Рощина-Година

Хмельник С.И., Хмельник М.И. К вопросу о «магнитных стенах» в экспериментах Рощина-Година Физика и астрономия Хмельник С.И., Хмельник М.И. К вопросу о «магнитных стенах» в экспериментах Рощина-Година 06 Аннотация Рассматривается природа «магнитных стен», которые обнаружены в экспериментах Рощина-Година

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ГЛАВА 13. Лагранжев формализм в СТО

ГЛАВА 13. Лагранжев формализм в СТО ГЛАВА 3 Лагранжев формализм в СТО 3.. О вариационном методе в механике В данной главе уравнения движения, импульс и энергия релятивистской частицы будут получены вариационным методом. Общим принципом,

Подробнее

ГЛАВА 5. Плоские волны

ГЛАВА 5. Плоские волны ГЛАВА 5 Плоские волны Излучатель электромагнитной волны создает вокруг себя фронт этих волн На больших расстояниях от излучателя волну можно считать сферической Но на очень больших расстояниях от излучателя

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ.

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ. УДК 63966 ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ Г Ф Савинов В работе получен алгоритм оптимального фильтра для случая когда входные воздействия и шумы представляют собой случайные гауссовы

Подробнее

Хмельник С. И. Математическая модель электрического торнадо

Хмельник С. И. Математическая модель электрического торнадо Хмельник С. И. Математическая модель электрического торнадо Аннотация Предполагается, что существование торнадо обеспечивается множеством внутренних молний. Строится математическая модель торнадо, показывается

Подробнее

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ.

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. Журнал технической физики, том XVIII, вып 7, 1948 А Н Тихонов, А А Самарский О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ Несмотря на то, что утверждение о возможности разложения произвольного

Подробнее

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Математика Серия: МАТЕМАТИКА Недосекин ЮА Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Аннотация Предложен новый метод решения неоднородной системы линейных алгебраических

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

'. И пусть для простоты dl dl F V, B

'. И пусть для простоты dl dl F V, B Экзамен Закон электромагнитной индукции Фарадея (продолжение) ЭДС возникает, если поток изменяется по любым причинам ЭДС возникает, если контур перемещается, поворачивается, деформируется, и если контур

Подробнее

Лекция 12 Задачи нелинейного и квадратичного программирования

Лекция 12 Задачи нелинейного и квадратичного программирования Лекция Задачи нелинейного и квадратичного программирования Нелинейное программирование (НЛП). НЛП это такая задача математического программирования, F когда-либо целевая функция, либо ограничения, либо

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

29. Условия на границе раздела двух сред.

29. Условия на границе раздела двух сред. 29 Условия на границе раздела двух сред div( D) = ρ Для электрического поля уравнения Максвелла 1 B для D2n D1n = σ границы раздела двух сред превращаются в граничные условия, E2τ E1τ где n= n1 2, σ поверхностная

Подробнее

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Уравнение с частными производными это уравнение, содержащее частные производные. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

Лекция 3 АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

Лекция 3 АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ Лекция АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ План Введение Решение систем линейных уравнений методом исключения Гаусса Метод LU- разложения 4 Анализ линейных цепей в установившемся синусоидальном

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЭДС ПРИ ДВИЖЕНИИ ПРОВОДНИКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЭДС ПРИ ДВИЖЕНИИ ПРОВОДНИКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЭДС ПРИ ДВИЖЕНИИ ПРОВОДНИКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ М.Г. Колонутов канд. техн. наук, доцент Контакт с автором: kolonutov@mail.ru http://kolonutov.mylivepage.ru Аннотация В работе отвергается привлечение

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств. (x a)2 + ( y a) 2 = a2 a 1

Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств. (x a)2 + ( y a) 2 = a2 a 1 Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств (x + + 2a)2 + ( y + 1 + a) 2 a2 a 1, x + 2y 2 имеет единственное решение. Первое, на что можно обратить внимание в условии

Подробнее

+ b 2M 0 cos θ 1. uuur. a 2

+ b 2M 0 cos θ 1. uuur. a 2 1. Магнитостатика 1 1. Магнитостатика Урок 1 Граничные условия. Метод изображений 1.1. (Задача 5.9) Равномерно намагниченная сфера (идеализированный ферромагнетик) вносится во внешнее однородное магнитное

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Хмельник С. И. Вторая математическая модель шаровой молнии

Хмельник С. И. Вторая математическая модель шаровой молнии Хмельник С. И. Вторая математическая модель шаровой молнии Аннотация На основе уравнений Максвелла и представления об электропроводности тела шаровой молнии строится математическая модель шаровой молнии,

Подробнее

10. Векторный и скалярный потенциалы

10. Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы Уравнения Максвелла это, в общем случае, сложные интегральнодифференциальные уравнения, поэтому непосредственно их решать относительно трудно Были введены две вспомогательные

Подробнее

22. Условия на границе раздела двух сред.

22. Условия на границе раздела двух сред. 22 Условия на границе раздела двух сред div( D) = ρ Для электрического поля уравнения Максвелла 1 B для c D2n D1n = σ границы раздела двух сред превращаются в граничные условия, E2τ E1τ где n= n1 2, σ

Подробнее

Электрические цепи переменного тока. (рассмотрение этой темы будет проведено в системе СИ)

Электрические цепи переменного тока. (рассмотрение этой темы будет проведено в системе СИ) Электрические цепи переменного тока. (рассмотрение этой темы будет проведено в системе СИ) Экзамен. Связь тока и напряжения для линейных элементов цепи переменного тока. Для резистора: U = I Для конденсатора:

Подробнее

2.6. Энергия электрического поля.

2.6. Энергия электрического поля. .6. Энергия электрического поля..6.. Энергия системы зарядов. Энергию электрического поля мы уже фактически рассматривали ранее, когда вводили понятие потенциала и разности потенциалов. При сближении электрических

Подробнее

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЕМКОСТЕЙ МНОГОЖИЛЬНОГО КАБЕЛЯ С КОМБИНИРОВАННОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЕМКОСТЕЙ МНОГОЖИЛЬНОГО КАБЕЛЯ С КОМБИНИРОВАННОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЕМКОСТЕЙ МНОГОЖИЛЬНОГО КАБЕЛЯ С КОМБИНИРОВАННОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ КК Абрамов канд техн наук ведущий научный сотрудник ОАО «ВНИИКП» Электрические емкости емкостные связи асимметрия жил относятся

Подробнее

МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК В ПРОБЛЕМЕ МИНИМИЗАЦИИ ЗАГРЯЗНЕНИЙ АТМОСФЕРЫ ЧАСТИЦАМИ ВРЕДНЫХ ПРИМЕСЕЙ

МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК В ПРОБЛЕМЕ МИНИМИЗАЦИИ ЗАГРЯЗНЕНИЙ АТМОСФЕРЫ ЧАСТИЦАМИ ВРЕДНЫХ ПРИМЕСЕЙ МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК В ПРОБЛЕМЕ МИНИМИЗАЦИИ ЗАГРЯЗНЕНИЙ АТМОСФЕРЫ ЧАСТИЦАМИ ВРЕДНЫХ ПРИМЕСЕЙ Проф Др Рамиз РАФАТОВ Кыргызско Турецкий Унивеситет Манас Институт Естественных Наук В предположении что

Подробнее

Модификация уравнения Клейна-Гордона

Модификация уравнения Клейна-Гордона 1 Модификация уравнения Клейна-Гордона Львов Олег Сергеевич г. Пенза С целью более корректного теоретического описания свободных заряженных частиц и античастиц предлагается разложение уравнения Клейна-Гордона

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ТЕМА 16. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

ТЕМА 16. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ТЕМА 16 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 161 Ток смещения 162 Единая теория электрических и магнитных явлений Максвелла Система уравнений Максвелла 164 Пояснения к теории классической электродинамики 165 Скорость распространения

Подробнее

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА Материалы Международной научно-технической школы-конференции, 3 ноября 8 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ 8, часть 4 МИРЭА РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА ДВОИЧНЫХ

Подробнее

10.2 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

10.2 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 1.2 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория не только объясняла все известные в то время экспериментальные

Подробнее

Оглавление 1. Вступление 2. Конфигурация поля 3. Сила Лоренца 4. Сила Ампера 5. Обсуждение Литература

Оглавление 1. Вступление 2. Конфигурация поля 3. Сила Лоренца 4. Сила Ампера 5. Обсуждение Литература Хмельник С.И. Силы Лоренца, Ампера и закон сохранения импульса. Количественный анализ и следствия. Аннотация Известно, что силы Лоренца и Ампера противоречат третьему закону Ньютона, но не противоречат

Подробнее

1.9. Преобразования векторов электромагнитного поля. c v

1.9. Преобразования векторов электромагнитного поля. c v .9. Преобразования векторов электромагнитного поля..9.. Преобразования компонент электромагнитного поля. Полученные и изученные нами законы электродинамики применимы для описания явлений, которые происходят

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

Непротиворечивое решение уравнений Максвелла

Непротиворечивое решение уравнений Максвелла Хмельник С. И. Непротиворечивое решение уравнений Максвелла Проспект книги Аннотация Предлагается новое решение уравнений Максвелла для вакуума, для провода с постоянным и переменным током, для конденсатора,

Подробнее

Оглавление 1. Вступление 2. Конфигурация поля 3. Сила Лоренца 4. Сила Ампера 5. Обсуждение Литература

Оглавление 1. Вступление 2. Конфигурация поля 3. Сила Лоренца 4. Сила Ампера 5. Обсуждение Литература Хмельник С.И. Силы Лоренца, Ампера и закон сохранения импульса. Количественный анализ и следствия. Аннотация Известно, что силы Лоренца и Ампера противоречат третьему закону Ньютона, но не противоречат

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения

Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 68 www.a.ru/scece/rudy/ УДК 537.87+6.37 Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения Гиголо А. И. * Кузнецов Г. Ю. ** Московский

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

1. Постановка задачи и сведение её к одномерному случаю

1. Постановка задачи и сведение её к одномерному случаю А С КУТУЗОВ ОПТИМАЛЬНАЯ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА Предложено решение одной двумерной граничной обратной задачи с подвижной границей оптимальным по порядку методом Впервые

Подробнее

Факультатив. Дополнение к теореме Лармора. Мы доказали, что в магнитном поле электронная оболочка может e вращаться с частотой Ω= B.

Факультатив. Дополнение к теореме Лармора. Мы доказали, что в магнитном поле электронная оболочка может e вращаться с частотой Ω= B. Факультатив. Дополнение к теореме Лармора. Мы доказали, что в магнитном поле электронная оболочка может вращаться с частотой Ω= B. Однако будет ли она раскручиваться при включении магнитного поля? Оказывается,

Подробнее

Глава 2. Природа движущих

Глава 2. Природа движущих Глава 2. Природа движущих сил Оглавление 1. Расчет и измерение магнитного поля постоянного магнита 2. Магнитные заряды постоянного магнита 3. Уравнения Максвелла для постоянного магнита 4. Силы взаимодействия

Подробнее

Базовые понятия о фотонных кристаллах. Закон дисперсии и фотонная запрещенная зона

Базовые понятия о фотонных кристаллах. Закон дисперсии и фотонная запрещенная зона Базовые понятия о фотонных кристаллах. Закон дисперсии и фотонная запрещенная зона понятие о фотонных кристаллах аналогии между фотонными кристаллами и «атомными» кристаллами плотность мод электромагнитного

Подробнее

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ Протасеня Александр Анатольевич Рогожина Регина Григорьевна Ветохина Валентина Евгеньевна

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

r r E dl ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ L электрического поля. Другими словами,

r r E dl ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ L электрического поля. Другими словами, Сафронов В.П. 2012 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА - 1 - Глава 17 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Система из четырех уравнений Максвелла полностью описывает электромагнитные процессы. 17.1. ПЕРВАЯ ПАРА

Подробнее

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ УДК

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ УДК СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ 5 - УДК 57946+58 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И КОНЕЧНОЭЛЕ- МЕНТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ОСЕСИММЕТРИЧ- НОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ, ВОЗБУЖДАЕ- МОГО ТОРОИДАЛЬНЫМ ТОКОМ МГ ПЕРСОВА, АВ ЗИНЧЕНКО

Подробнее

Квазистационарное электромагнитное поле. Экзамен. Закон электромагнитной индукции Фарадея.

Квазистационарное электромагнитное поле. Экзамен. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Квазистационарное электромагнитное поле. Экзамен. Закон электромагнитной индукции Фарадея. d инд = закон электромагнитной индукции Фарадея. При dt изменении потока магнитного поля через контур в контуре

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

W09 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ. ПОЛЯРИТОНЫ.

W09 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ. ПОЛЯРИТОНЫ. W09 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ. ПОЛЯРИТОНЫ. Перейдем к рассмотрению особенностей электромагнитных волн в различных средах. Всем известные уравнения Максвелла будем использовать в виде 1 B div D 0 rot E t (1)

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Доклады независимых авторов 2012 выпуск 20. Хмельник С.И. Детектирование гравитационных волн

Доклады независимых авторов 2012 выпуск 20. Хмельник С.И. Детектирование гравитационных волн Хмельник С.И. Детектирование гравитационных волн Аннотация Указывается на дорогостоящие эксперименты по обнаружению гравитационного излучения, которые пока не дали результата. Показывается, что известные

Подробнее

Экзамен. Токи Фуко (продолжение).

Экзамен. Токи Фуко (продолжение). ν t d Экзамен Токи Фуко (продолжение) ν = Для вычисления интеграла мысленно разобьем объем цилиндра цилиндрическими поверхностями с близкими радиусами, тогда R R 2 2 λω B d = h 2 rdr= 0r 2 h 2 rdr= t t

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ С П ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, СР ТИХОМИРОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Формулировка задания 3 Варианты задания 3 Пример выполнения задания и комментарии

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 21 ЛЕКЦИЯ 21

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 21 ЛЕКЦИЯ 21 ЛЕКЦИЯ 21 Электростатика. Медленно меняющиеся поля. Условия медленно меняющихся полей. Уравнение Пуассона. Решение уравнения Пуассона для точечного заряда. Потенциал поля системы зарядов. Напряженность

Подробнее

Глава 8. Элементы квантовой механики

Глава 8. Элементы квантовой механики Глава 8 Элементы квантовой механики Задачи атомной физики решаются методами квантовой теории которая принципиально отличается от классической механики Решение задачи о движении тела макроскопических размеров

Подробнее

Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения

Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения Лекция 3. Основы теории оптимального управления 3. Общие положения В общем случае система автоматического управления состоит из объекта управления (управляемой системы) ОУ регулятора Р и программатора

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1)

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1) 4 ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид ot E, div E ρ (4 Безвихревой характер поля позволяет ввести скалярный потенциал электрического поля: E gad, для которого

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Экзамен. Система уравнений Максвелла. (один из основных вопросов курса) Уравнения Максвелла справедливы для переменных электромагнитных полей.

Экзамен. Система уравнений Максвелла. (один из основных вопросов курса) Уравнения Максвелла справедливы для переменных электромагнитных полей. Экзамен Система уравнений Максвелла (один из основных вопросов курса) Уравнения Максвелла справедливы для переменных электромагнитных полей div( D) = ρ 1 B = c система уравнений Максвелла в div( B) = 0

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Оглавление 1. Введение 2. Математическая модель 3. Потоки энергии 4. Вертикальная устойчивость и движение Приложение 1 Приложение 2 Литература

Оглавление 1. Введение 2. Математическая модель 3. Потоки энергии 4. Вертикальная устойчивость и движение Приложение 1 Приложение 2 Литература Хмельник С. И. Математическая модель водного и песчаного цунами Аннотация Предлагается математическая модель цунами, аналогичная математическим моделям песчаного вихря и солитона [1,, 3]. Рассматриваются

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

1 2 i ( ) ( ) ui u , (3.1) x x x x. j j j j (3.2) = + ( ) ( ) 2 ( ) ( ) (3.3) (3.4) (3.5) j j j j j j. t x t x t x t x t x x

1 2 i ( ) ( ) ui u , (3.1) x x x x. j j j j (3.2) = + ( ) ( ) 2 ( ) ( ) (3.3) (3.4) (3.5) j j j j j j. t x t x t x t x t x x 3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбулентности. Одним из важнейших параметров, характеризующих турбулентное движение, является турбулентная кинетическая энергия

Подробнее

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции.

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции. Функции от матриц Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ. 2011-2012 учебный год. Общее замечание. В этом листочке мы рассматриваем матицы над полем комплексных чисел, хотя условие задач везде вещественно. Следите

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа Лекция 6 Операционное исчисление Преобразование Лапласа Образы простых функций Основные свойства преобразования Лапласа Изображение производной оригинала Операционное исчисление Преобразование Лапласа

Подробнее