Математика. 11 класс. Вариант МА10109, МА10111 (Запад, углублённый уровень) 1

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математика. 11 класс. Вариант МА10109, МА10111 (Запад, углублённый уровень) 1"

Транскрипт

1 5 Математика. класс. Вариант МА009, МА0 (Запад, углублённый уровень) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом π а) Решите уравнение cos( x) = tg x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π π;. а) Преобразуем уравнение: = ; x( ) sin x sin x sin cos x cos x = 0 sin x = 0 или cos x =, откуда π x= πk или x= ± +π k, k. π б) Отберем корни на промежутке π; с помощью тригонометрической окружности. π π π π 5π Получаем x = π ; x = и x = π. π 5π Ответ: а) πk, ± +π k, k ; б) π,, π. Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б, получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б Максимальный балл СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного π

2 Математика. класс. Вариант МА009, МА0 (Запад, углублённый уровень) 6 В основании правильной треугольной призмы ABCAB C лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N середина ребра AC. а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN. б) Найдите периметр этого сечения. а) Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой BC в точке K. Трапеция ABKN искомое сечение. C N A K B C A B б) Имеем AN=, так как точка N середина ребра AC. Значит AN = = 5. Аналогично BK = 5. Далее NK = как средняя линия треугольника ABC. Следовательно, искомый периметр сечения равен = 9. Ответ: 9. Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б Имеется верное доказательство утверждения пункта а или обоснованно получен верный ответ в пункте б Максимальный балл СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

3 Математика. класс. Вариант МА009, МА0 (Запад, углублённый уровень) Выполните ТОЛЬКО ОДНО из заданий: 7. или Решите неравенство ( x x ) log +. x + x ) Если x + x>, то x + x > 0, x + x > 0, x, 0 < x x + x + x; x, 5 откуда < x < или x >. ) Если 0< x + x<, то x + x> 0, x( x+ ) > 0, x + x < 0, x + x < 0, x x+ x + x; x, откуда 5 < x < или 0 < x Объединяя найденные промежутки, получаем решение неравенства: 5 < x <, или 0 < x 5, или < x <, или x >. 5 Ответ: ;, 0 ; + 5, ;, ( ; + ). Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением/исключением точек граничных точек получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Максимальный балл СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

4 Математика. класс. Вариант МА009, МА0 (Запад, углублённый уровень) 4 7. Решите неравенство x x+ x + x x + x 0. Перейдем к равносильной системе: x + x 0, x( x+ ) 0, x x+ 0, ( x ) 0, ( x x+ ) ( x + x ) x 0. 0; x + x x + x Из первого неравенства получаем x или x 0. Второе неравенство выполняется при всех x. 5 Из третьего неравенства получаем x 5 < или x >. 5 5 Решение данного неравенства: < x, 0 x или x >. 5 Ответ: ;, 0;, 5 ; +. Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением/исключением граничных точек получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Максимальный балл СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

5 Математика. класс. Вариант МА009, МА0 (Запад, углублённый уровень) 5 8 Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части. а) Докажите, что эти хорды равны. б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен. а) Пусть две хорды равны x и y. По теореме о произведении пересекающихся хорд x x=y y. Отсюда находим, что x= y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух. б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H проекция центра O на хорду AD. Тогда H общая середина отрезков AD и PQ, а OH радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ. A B F E T P H O Q C D Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P прямую, параллельную CF, а через точку Q прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на одинаковых равносторонних треугольников. Обозначим PQ =a. Тогда a a OH = =, 6 Отсюда находим, что a =, значит, PQ = a =6, Следовательно, Ответ: 7. a a 7 = OA = OH + AH = + 9 a =. S = a =9. PQT S = S = 9 = 7. ABCDEF PQT СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

6 Математика. класс. Вариант МА009, МА0 (Запад, углублённый уровень) 6 Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б Обоснованно получен верный ответ в пункте б, имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Максимальный балл 9 Оля хочет взять в кредит рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 0 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 4000 рублей? Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b= + 0,0a. Составим таблицу выплат. Год Долг банку (руб.) Остаток доли после выплаты (руб.) ,6 458, ,46 0 Значит, Оля погасит кредит за 6 лет. Ответ: 6. СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

7 Математика. класс. Вариант МА009, МА0 (Запад, углублённый уровень) 7 Обоснованно получен верный ответ Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано Верно построена математическая модель, и решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение не завершено Максимальный балл 0 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений a + x ax функции y = содержит отрезок [ ] x + ax + a + 0;. a+ ( a) x Запишем функцию в виде y = ( x+ a) +. Отрезок [ 0; ] содержится в множестве значений данной функции тогда и только a+ ( a) x a+ ( a) x тогда, когда уравнения = 0 и = имеют решения. ( x+ a) + ( x+ a) + Решим первое уравнение. Уравнение ( a ) x= a имеет решение при любом a. Решим второе уравнение. Уравнение x + ( a ) x+ a a+ = 0 имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен: D= 9 a 4 a a+ 0; 5a 4a+ 5 0; ( ) ( ) a + a 0 5 5, откуда a или a. Следовательно, a, a < или a > Ответ: a, a <, a >. 5 5 СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

8 Математика. класс. Вариант МА009, МА0 (Запад, углублённый уровень) 8 Обоснованно получен правильный ответ 4 Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки. Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены. Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a Максимальный балл 4 Красный карандаш стоит 7 рублей, синий рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять. а) Можно ли купить при таких условиях карандаша? б) Можно ли купить при таких условиях 5 карандашей? в) Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях? а) Например, можно купить 4 красных и 8 синих карандашей: = 47 (руб.). б) Дешевле всего 5 карандашей будут стоить, если купить наибольшее возможное число синих карандашей и наименьшее возможное число красных, то есть если купить 5 красных и 0 синих, поскольку если красных меньше 5, то синих больше 0, и в этом случае разность между числом красных и синих больше чем 5. Но тогда стоимость покупки = 55 (руб.), что больше, чем имеющаяся сумма 495 рублей. в) Пусть n и m число синих и красных карандашей соответственно. Тогда 7m+ n 495, m n 5, mn, = 0,,,... СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

9 Математика. класс. Вариант МА009, МА0 (Запад, углублённый уровень) 9 Положим s= n+ m, тогда 495 s m, 4m+ s 495, 4 5 m s 5, s 5 s + 5 m, m= 0,,..., s; m= 0,,..., s. s s Следовательно,, откуда s. 4 Можно купить не больше карандашей. Осталось проверить, возможен ли случай, когда s =. При m = 4, n = 9 получаем = 485 < 495. Значит, наибольшее возможное число карандашей. Ответ: а) да; б) нет; в). Верно получены все перечисленные (см. критерий на балл) 4 результаты Верно получены три из перечисленных (см. критерий на балл) результатов Верно получены два из перечисленных (см. критерий на балл) результатов Верно получен один из следующих результатов: пример в п. а, обоснованное решение в п. б, искомая оценка в п. в, пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки Максимальный балл 4 СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

10 5 Математика. класс. Вариант МА00, МА0 (Запад, углублённый уровень) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом π а) Решите уравнение cos( + x) = tg x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π π;. а) Преобразуем уравнение: sin x sin x = ; sin x 0 cos x + = cos x ; sin x = 0 или cos x =, откуда 5π x= πk или x= ± +π k, k. 6 π б) Отберем корни на промежутке π; с помощью тригонометрической окружности. π 5π 6 π π 5π 6 7π Получаем x = π ; x = и x = π. 6 5π 7π Ответ: а) πk, ± +π k, k ; б) π,, π. 6 6 Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б, получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б Максимальный балл СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

11 Математика. класс. Вариант МА00, МА0 (Запад, углублённый уровень) 6 В основании правильной треугольной призмы ABCAB C лежит треугольник со стороной 8. Высота призмы равна. Точка N середина ребра AC. а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN. б) Найдите площадь этого сечения. а) Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB до пересечения с прямой BC в точке K. Трапеция ABKN искомое сечение. C N A K B C A H B б) Имеем AN= 4, так как точка N середина ребра AC. Значит, AN = = 5. Далее NK = как средняя линия треугольника ABC. AB NK Опустим из точки N высоту NH на сторону AB. Имеем AH = =. Высота NH равна AN AH =. Следовательно, искомая площадь AB + NK 8+ 4 сечения равна NH = = 6. Ответ: 6. Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б Имеется верное доказательство утверждения пункта а, или обоснованно получен верный ответ в пункте б Максимальный балл СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

12 Математика. класс. Вариант МА00, МА0 (Запад, углублённый уровень) Выполните ТОЛЬКО ОДНО из заданий: 7. или Решите неравенство ( x x ) log x x ) Если x откуда ) Если x>, то x x > 0, x + 4x+ 4 x x; 0< x x<, то 5 4 x < или 5 x x > 0, x x < 0, 0 < x + 4x + 4 x x; вместо x x > 0, 5x 4, 5 + x >. ( x ) x > 0, x x < 0, x, 5x 4. Система решений не имеет, поскольку неравенства x x < 0 и 5x 4 совместно не выполняются ни для какого x. 4 5 Ответ: + 5 ; 5 ; +., Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением/исключением точек граничных точек получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Максимальный балл СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

13 Математика. класс. Вариант МА00, МА0 (Запад, углублённый уровень) 4 7. Решите неравенство x + 4x+ 4 x x 0. x x Перейдем к равносильной системе: x x 0, x( x ) 0, x + 4x+ 4 0, ( x + ) 0, ( x + 4x+ 4) ( x x 5 4 ) x ; x x x x Из первого неравенства получаем x 0 или x. Второе неравенство выполняется при всех x. 4 Из третьего неравенства получаем x или 5 + < x < Решение данного неравенства: x, < x 0 или x <. 5 4 Ответ: ( ; 5, ;0, ;. Обоснованно получен верный ответ Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением/исключением граничных точек получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения Максимальный балл СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

14 Математика. класс. Вариант МА00, МА0 (Запад, углублённый уровень) 5 8 Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части. а) Докажите, что эти хорды равны. б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен 4. а) Пусть две хорды равны x и y. По теореме о произведении пересекающихся хорд x x=y y. Отсюда находим, что x= y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух. б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H проекция центра O на хорду AD. Тогда H общая середина отрезков AD и PQ, а OH радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ. A B F E T P H O Q C D Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P прямую, параллельную CF, а через точку Q прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на одинаковых равносторонних треугольников. Обозначим PQ =a. Тогда a a OH = =, 6 a a 7 4 = OA = OH + AH = + 9 a =. S = a =6. Отсюда находим, что a = 6, значит, PQ = a = 6, Следовательно, Ответ: 78. S = S = 6 = 78. ABCDEF PQT PQT СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

15 Математика. класс. Вариант МА00, МА0 (Запад, углублённый уровень) 6 Имеется верное доказательство утверждения пункта а. и обоснованно получен верный ответ в пункте б Обоснованно получен верный ответ в пункте б, имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Максимальный балл 9 Оля хочет взять в кредит рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 0 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более рублей? Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b= + 0,0a. Составим таблицу выплат. Год Долг банку (руб.) Остаток доли после выплаты (руб.) Значит, Оля погасит кредит за 5 лет. Ответ: 5. СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

16 Математика. класс. Вариант МА00, МА0 (Запад, углублённый уровень) 7 Обоснованно получен верный ответ Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано Верно построена математическая модель, и решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение не завершено Максимальный балл 0 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений 5a 5x + ax функции y = содержит отрезок [ 0; ]. x ax + a + 5 5a+ ( a 5) x Запишем функцию в виде y =. ( x a) + 5 Отрезок [ 0; ] содержится в множестве значений данной функции тогда и 5a+ ( a 5) x 5a+ ( a 5) x только тогда, когда уравнения = 0 и = имеют ( x a) + 5 ( x a) + 5 решения. Решим первое уравнение. Уравнение ( 5 a) x= 5a имеет решение при любом a 5. Решим второе уравнение. Уравнение x + ( 5 a) x+ a 5a+ 5 = 0 имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен. D= 9 5 a 4 a 5a+ 5 0 ; a 4a+ 5 0 ; ( ) ( ) ( a )( a ) , откуда a 7 6 или a Следовательно, a 7 6, a < 5 или a > 5. Ответ: a 7 6, a < 5, a > 5. СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

17 Математика. класс. Вариант МА00, МА0 (Запад, углублённый уровень) 8 Обоснованно получен правильный ответ 4 Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки. Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены. Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a Максимальный балл 4 Красный карандаш стоит 8 рублей, синий 4 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть. а) Можно ли купить 0 карандашей? б) Можно ли купить карандаша? в) Какое наибольшее число карандашей можно купить? а) Например, можно купить красных и 8 синих карандашей: = 468 (руб.). б) Дешевле всего карандаша будут стоить, если купить наибольшее возможное число синих карандашей и наименьшее возможное число красных, то есть если купить 4 красных и 9 синих, поскольку если красных меньше 4, то синих больше 9, и в этом случае разность между числом красных и синих больше чем 6. Но тогда стоимость покупки = 58 (руб.), что больше, чем имеющаяся сумма 499 рублей. в) Пусть n и m число синих и красных карандашей соответственно. Тогда 8m+ 4n 499, m n 6, mn, = 0,,,... СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

18 Математика. класс. Вариант МА00, МА0 (Запад, углублённый уровень) 9 Положим s= n+ m, тогда s m, 4m+ 4s 499, 4 6 m s 6, s 6 s + 6 m, m= 0,,..., s. m= 0,,..., s. s s 5 Следовательно,, откуда s. 4 6 Можно купить не более карандаша. Осталось проверить, возможен ли случай, когда s =. При m =, n = 8 получаем = 486 < 499. Значит, наибольшее возможное число карандашей. Ответ: а) да; б) нет; в). Верно получены все перечисленные (см. критерий на балл) 4 результаты Верно получены три из перечисленных (см. критерий на балл) результатов Верно получены два из перечисленных (см. критерий на балл) результатов Верно получен один из следующих результатов: пример в п. а, обоснованное решение в п. б, искомая оценка в п. в, пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки Максимальный балл 4 СтатГрад уч. г. Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного

Диагностическая работа. 21 января 2015 года 11 класс. Вариант МА10109 (углубленный уровень)

Диагностическая работа. 21 января 2015 года 11 класс. Вариант МА10109 (углубленный уровень) Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 1 января 015 года 11 класс Вариант МА10109 (углубленный уровень) Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Математика. 11 класс. Вариант МА10109

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Математика класс Вариант МА0 (профильный) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 3 а) Решите уравнение cos x sinx 5tgx 0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5π π; а)

Подробнее

Математика. 11 класс. Вариант МА10309 (профильный уровень) 1. Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Математика. 11 класс. Вариант МА10309 (профильный уровень) 1. Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Математика. класс. Вариант МА0309 (профильный уровень) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 3 а) Решите уравнение cos x 0. tg x 3 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. tg 1 13cos x 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. tg x 1, cos x 0, 3π;

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. tg 1 13cos x 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. tg x 1, cos x 0, 3π; Математика. класс. Вариант МА007 (профильный) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение x tg cos x 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π π;. tg x,

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развернутым ответом. Вариант МА11002

Критерии оценивания заданий с развернутым ответом. Вариант МА11002 Критерии оценивания заданий с развернутым ответом Вариант МА00 а) Решите уравнение 3sin x sin x 0 5 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ;. a) sin x 0 x n, 3sin x sin n Z б) Отрезку

Подробнее

( ) 2. Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

( ) 2. Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Математика класс Вариант 55 57 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение cos x cos x + = б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π; π] C Математика класс

Подробнее

M середина AD 1, N середина BC 1. Проведем перпендикуляр NH из точки N. C1 Решите уравнение (2sinx 1)( cosx + 1) = 0. Решение:

M середина AD 1, N середина BC 1. Проведем перпендикуляр NH из точки N. C1 Решите уравнение (2sinx 1)( cosx + 1) = 0. Решение: Математика класс Варианты,, 9, (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Решите уравнение (sinx )( cosx + ) Левая часть уравнения имеет смысл при cosx Выражение cosx + положительно

Подробнее

C1 а) Решите уравнение sin 2 x. cos2 2 cos2x б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π

C1 а) Решите уравнение sin 2 x. cos2 2 cos2x б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π Математика класс Вариант Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C а) Решите уравнение sin x x cos cosx б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π ;π Преобразуем уравнение:

Подробнее

Точки О(0; 0), А(19; 0), В(17; 14), С(2; 14) являются вершинами трапеции. Найдите длину её средней линии DE. Ответ:.

Точки О(0; 0), А(19; 0), В(17; 14), С(2; 14) являются вершинами трапеции. Найдите длину её средней линии DE. Ответ:. Часть Ответом к каждому заданию является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы. На счету Настиного мобильного телефона

Подробнее

[ ] A K. Ответ: Сечением является равнобедренный треугольник SKM, причём его основание KM средняя линия треугольника ABC. π 2π. 10π. 11π.

[ ] A K. Ответ: Сечением является равнобедренный треугольник SKM, причём его основание KM средняя линия треугольника ABC. π 2π. 10π. 11π. C1 МАТЕМАТИКА (4 1/8) а) Решите уравнение cos + x = cos x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 4;. [ ] Ответ: а) x = + n, n ; x = + n, n ; x = + n, n ; 11 7 10 б) ; ;. а) cos

Подробнее

Решите уравнение sinxcosx. tg2x. Решение:

Решите уравнение sinxcosx. tg2x. Решение: Математика. класс. Вариант C Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Решите уравнение sinxcosx. tgx + = Преобразуем уравнение:. sinx tgx + tgx = sinx =, случай: Решений нет. tgx. tgx + =, tgx

Подробнее

В трапеции DC 1 B 1 AB 1 C 1 = 4, DA = 8, DC 1 = B 1 A = 4 2. Уравнение cosx = 5 не имеет решений, а из уравнения cosx = 1 находим:

В трапеции DC 1 B 1 AB 1 C 1 = 4, DA = 8, DC 1 = B 1 A = 4 2. Уравнение cosx = 5 не имеет решений, а из уравнения cosx = 1 находим: Математика. класс. Вариант 5-7--5 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Решите уравнение 6cos x 7cosx 5 =. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ π;π]. Сделаем замену cosx

Подробнее

Тренировочная работа. в формате ЕГЭ. 19 мая 2014 года. 11 класс. Вариант МА Район. Город (населённый пункт) Школа. Класс. Фамилия Имя Отчество.

Тренировочная работа. в формате ЕГЭ. 19 мая 2014 года. 11 класс. Вариант МА Район. Город (населённый пункт) Школа. Класс. Фамилия Имя Отчество. Математика. класс. Вариант МА73 Тренировочная работа в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 9 мая 4 года класс Вариант МА73 Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике даётся 3 часа 55 минут

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

В трапеции DC 1 B 1 AB 1 C 1 = 4, DA = 8, DC 1 = B 1 A = 4 2. Уравнение cosx = 5 не имеет решений, а из уравнения cosx = 1 находим:

В трапеции DC 1 B 1 AB 1 C 1 = 4, DA = 8, DC 1 = B 1 A = 4 2. Уравнение cosx = 5 не имеет решений, а из уравнения cosx = 1 находим: Математика. класс. Вариант --9-(без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Решите уравнение 6cos x 7cosx 5 =. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ π;π]. Сделаем замену cosx =

Подробнее

tg A 1 BM A 1M Ответ: arctg 0,6.

tg A 1 BM A 1M Ответ: arctg 0,6. Математика класс Вариант -3-9- Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Дано уравнение cos 3π x cosx а) Решите уравнение; б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 5π ;4π Решение а)

Подробнее

tg A 1 BM A 1M Ответ: arctg 0,6.

tg A 1 BM A 1M Ответ: arctg 0,6. Математика класс Вариант 5-7--5 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Дано уравнение cos π x cosx а) Решите уравнение; б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 5π ;π Решение а) По

Подробнее

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2011 года по математике

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2011 года по математике Демонстрационный вариант ЕГЭ 0 г. МАТЕМАТИКА, класс. (0 - / 8) Демонстрационный вариант ЕГЭ 0 г. МАТЕМАТИКА, класс. (0 - / 8) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов

Подробнее

tg MN M 1 = MM 1. M 1 N = 6 5

tg MN M 1 = MM 1. M 1 N = 6 5 Математика. класс. Вариант (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Решите систему уравнений y + sinx =, (4 sinx )(y + ) =. y = Из второго уравнения получаем, или sinx =. 6

Подробнее

Часть 1 Ответом на задания B1 B10 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1 Ответом на задания B1 B10 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерений писать не нужно. B B Часть Ответом на задания B B должно быть целое число или конечная десятичная дробь Единицы измерений писать не нужно В доме, в котором живёт Игорь, один подъезд На каждом этаже по шесть квартир Игорь

Подробнее

(2n + 1) = (2m) 2

(2n + 1) = (2m) 2 Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 001 год 9 КЛАСС Задача 1. Пусть n (n 3) различных точек расположены на плоскости так, что любые три из них лежат на одной прямой. Доказать, что все они лежат

Подробнее

Критерии проверки заданий С1 С6

Критерии проверки заданий С1 С6 Критерии проверки заданий С С6 С Обоснованно получен верный ответ балла; В верном рассуждении допущена вычислительная ошибка, которая, возможно, привела к неверному ответу балл В остальных случаях 0 баллов

Подробнее

( ) Часть 1 Ответом на задания B1 B10 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерения писать не нужно.

( ) Часть 1 Ответом на задания B1 B10 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерения писать не нужно. B B B Математика. класс. Вариант МА6 Часть Ответом на задания B B должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерения писать не нужно. В летнем лагере на каждого участника полагается

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Модуль «Алгебра» x; откуда получаем решения системы уравнений: 2; 1 Ответ: (2;1) ; (2; 1).

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Модуль «Алгебра» x; откуда получаем решения системы уравнений: 2; 1 Ответ: (2;1) ; (2; 1). Математика. 9 класс. Вариант МА90701 1 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Модуль «Алгебра» 1 Решите систему уравнений x 3y 11, 4x 6y 11 x. Преобразуем систему уравнений: x 3y 11, 3y 811,

Подробнее

Тренировочная работа 5 по МАТЕМАТИКЕ

Тренировочная работа 5 по МАТЕМАТИКЕ Тренировочная работа 5 по МАТЕМАТИКЕ класс Вариант Математика. класс. Вариант Часть Ответом на задания B B должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерений писать не нужно. B Аня

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ ПРОЕКТ МАТЕМАТИКА, класс. Профильный уровень (5 - / 8) Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для единого государственного

Подробнее

Проект Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2011 года. Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Проект Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2011 года. Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Проект Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 0 года по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 0 года разработан по заданию Федеральной службы

Подробнее

Решения заданий варианта ЕГЭ 2007 года. Часть 1

Решения заданий варианта ЕГЭ 2007 года. Часть 1 Решения заданий варианта ЕГЭ 007 года Часть Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru A Упростите выражение b b, 0,,6 b 0,, b, b 0,,6 b, 0,, 0,, Решение: b b = b + = b Правильный ответ:

Подробнее

ПРОЕКТ. Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

ПРОЕКТ. Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ ПРОЕКТ Демонстрационный вариант ЕГЭ 7 г. МАТЕМАТИКА, класс. Профильный уровень. / 8 Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ МАТЕМАТИКА, класс. Профильный уровень (5 - / 9) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 5 года по МАТЕМАТИКЕ Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный

Подробнее

1 B1 B10.. ( ) , (.) , ( ),. (.) (.) . 87.? ? D, E, F ABC. - DEF 5. ABC.

1 B1 B10.. ( ) , (.) , ( ),. (.) (.) . 87.? ? D, E, F ABC. - DEF 5. ABC. B B B B..,,.. 87.?.. 49.? B4.. (.) ( ) (.), (.) 9 4 5 74 9 9 5 8 7 8, ( ),. B5 D, E, F ABC. - DEF 5. ABC. B ( ).,.? B 5,.,. B7 = 9x+ 8x 4. B8 A ABCD,, 5. C.. B, ( ). B9 y= f ( x) f ( x ), ( 4; 8). [ ;

Подробнее

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решите уравнение ( x+ )( x ) + ( x ) x + = x О т в е т: { + ; 5} Решение Найдем область определения уравнения (ОДЗ): x ; x> Далее воспользовавшись свойствами

Подробнее

Тренировочная работа. в формате ЕГЭ. 14 ноября 2013 года. 11 класс. Вариант МА10201

Тренировочная работа. в формате ЕГЭ. 14 ноября 2013 года. 11 класс. Вариант МА10201 Математика класс Вариант МА Тренировочная работа в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 4 ноября 3 года класс Вариант МА Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике даётся 3 часа 55 минут (35

Подробнее

(8 баллов) 2. Решите уравнение. ( )( x 5 x 1) 0. log x log (6 x) найдите множество значений при x [0; 0,5], где g( x) 2sin

(8 баллов) 2. Решите уравнение. ( )( x 5 x 1) 0. log x log (6 x) найдите множество значений при x [0; 0,5], где g( x) 2sin Заключительный этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 0 г Вариант 5 Васе и Пете, участвующим в школьной спортивно-развлекательной

Подробнее

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1 АЛГЕБРА 1. Построить эскизы графиков следующих функций: y = 2 (x+2)/(3 2x) ; y = y = ( ) (4 x)/(x+1) 1 ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = 3 ( ) 2x 1 1 ; 2 1 x 2 x 2 ; y = 1 x 2 3 x + 2 ; y =

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. Модуль «Алгебра»

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. Модуль «Алгебра» Математика. 9 класс. Вариант МА9005 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 1 Модуль «Алгебра» 1 Решите уравнение x( x x 1) ( x 1) + + = +. Преобразуем уравнение: ( + 1) = ( x + 1) ; ( x ) x(

Подробнее

Тренировочная работа 4 по МАТЕМАТИКЕ

Тренировочная работа 4 по МАТЕМАТИКЕ Тренировочная работа 4 по МАТЕМАТИКЕ 1 мая 11 года 11 класс Вариант 1 Математика 11 класс Вариант 1 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (4 мин)

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет. Факультет ПМ-ПУ. Олимпиада по математике. 2009г. Вариант 1.

Санкт-Петербургский государственный университет. Факультет ПМ-ПУ. Олимпиада по математике. 2009г. Вариант 1. Олимпиада по математике 009г Вариант 1 1) На координатной плоскости Oxy изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению y + y 1 + x = ) Решите уравнение 4x + 1 = + 3 8x 6 3) Решите

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Документ подготовлен к утверждению (изменения в КИМ 3 года в сравнении с КИМ года отсутствуют) Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов

Подробнее

Инструкция по выполнению работы.

Инструкция по выполнению работы. Диагностическая работа 1 по МАТЕМАТИКЕ 2 сентября 2012 года 11 класс Вариант (Запад без производной) Математика. 11 класс. Вариант (Запад без производной) Инструкция по выполнению работы. r00001 На выполнение

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1988 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Санкт-Петербургский государственный университет, 1988 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Санкт-Петербургский государственный университет, 988 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

Вступительный тест по математике для поступающих в 9 естественнонаучный класс СУНЦ УрФУ май 2014 года Вариант 1

Вступительный тест по математике для поступающих в 9 естественнонаучный класс СУНЦ УрФУ май 2014 года Вариант 1 B C Сумма Балл Подпись Вступительный тест по математике для поступающих в 9 естественнонаучный класс СУНЦ УрФУ май 2014 года Вариант 1 Часть B К каждому заданию приведите только ответ. B1. Решите неравенство:

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Кафедра высшей математики Сборник задач для выявления одаренной молодежи ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДАРЕННОЙ МОЛОДЕЖИ 1. В окpужность вписан

Подробнее

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Доказательство верное 3 Доказательство в целом верное, но содержит неточности 2

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Доказательство верное 3 Доказательство в целом верное, но содержит неточности 2 Математика 9 класс Вариант Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 9 Решите уравнение x x 2 5x Решение Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем x за скобки: x(x 2 x 5) 0 x 0 или

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса

Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса (ноябрь 011 года, заочный тур) Задача 1 Докажите, что если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне, одного треугольника равны соответственно

Подробнее

. (8 баллов) 3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a17 52, a30. 13?

. (8 баллов) 3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a17 52, a30. 13? Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», осень 0 г Вариант Двое рабочих одновременно приступили к изготовлению

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Модуль «Алгебра»

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Модуль «Алгебра» Математика. 9 класс. Вариант МА90901 1 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Модуль «Алгебра» 1 Решите уравнение x 6 6 x 8 3. x 6 6 x 8 3 ; x откуда x или x 4. Ответ: ; 4. 6x 8; x x 4 0, Преобразования

Подробнее

Решение задач заочного тура 2011

Решение задач заочного тура 2011 Решение задач заочного тура 0 I Математический блок Задача Найдите число натуральных корней уравнения Ответ: 00 0 решений Решение задачи Представим число в виде Тогда правая часть данного уравнения равна

Подробнее

Филиал КемГУ в г. Анжеро-Судженске Кафедра информатики и математики Олимпиада по элементарной математике, 2014

Филиал КемГУ в г. Анжеро-Судженске Кафедра информатики и математики Олимпиада по элементарной математике, 2014 Филиал КемГУ в г Анжеро-Судженске Кафедра информатики и математики Олимпиада по элементарной математике, 04 М В Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас Когда цены выросли на 0%, на ту же денежку он

Подробнее

Задания заочного тура олимпиады «Абитуриент »

Задания заочного тура олимпиады «Абитуриент » Задания заочного тура олимпиады «Абитуриент - 06» Найдите без вычислительных средств значение выражения: a 0 4 0 4 Решение -й способ Обозначим 0 4 b 40 ab Требуется найти a b Имеем:, a, 0 4 6 40 a b a

Подробнее

Контрольная работа за курс 10 класса. Вариант 1

Контрольная работа за курс 10 класса. Вариант 1 Контрольная работа за курс класса Вариант На выполнение контрольной работы дается 9 мин Работа состоит из двух частей и содержит заданий Первая часть содержит десять заданий (В-В) базового уровня сложности,

Подробнее

x x x числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна Найдите знаменатель прогрессии x sin cos y. 4

x x x числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна Найдите знаменатель прогрессии x sin cos y. 4 Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» весна г Вариант Друзья Вася Петя и Коля живут в одном доме Однажды

Подробнее

РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B

РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathet.spb.ru РАЗБОР ДЕМОНСТРАЦИОННОЙ ВЕРСИИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (НОВАЯ МОДЕЛЬ КИМов) Часть B. (Б) * Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ ПРОЕКТ МАТЕМАТИКА, класс. Профильный уровень (05 - / 7) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 05 года по МАТЕМАТИКЕ

Подробнее

8 2 4 cosπ + 4 cos2 ( π ))) = 1 (

8 2 4 cosπ + 4 cos2 ( π ))) = 1 ( Олимпиада школьников РАНХиГС 04-05 Математика 0 класс Очный этап вариант. Вычислить (максимум 0 баллов): Решение: sin 8 ( π 6 ) + cos 8 ( π 6 ) sin 8 ( π 6 ) + cos 8 ( π 6 ) = (sin ( π 6 )) 4 + (cos (

Подробнее

x= p 6 +2pk x= 5p 6 +2pk

x= p 6 +2pk x= 5p 6 +2pk 15. а) 3cos x 5sin x +1=0 - решено программой UMS 5p б) корни из промежутка [p; ] а) 3cos x 5sin x +1=0 3 ( 1 sin x ) 5sin x +1=0 3 6sin x 5sin x +1=0 6sin x 5sin x +4=0 6sin x +5sin x 4=0 Пусть sin x

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Инструкция по выполнению работы

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Инструкция по выполнению работы Единый государственный экзамен, г. МАТЕМАТИКА / Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике даётся часа минут ( минут).

Подробнее

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Докажите, для любых неотрицательных чисел, и выполняется неравенство 6+ + 5 5 + 7 +. Решение. Сложив почленно три известных

Подробнее

2. Вписанные и описанные четырехугольники

2. Вписанные и описанные четырехугольники 005-006 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Планиметрия (часть II).. Вписанные и описанные четырехугольники Четырехугольник называется вписанным в окружность, если окружность проходит через все его вершины.

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант КИМ 2008 г. подготовлен Федеральным государственным научным учреждением

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант КИМ 2008 г. подготовлен Федеральным государственным научным учреждением «УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки «СОГЛАСОВАНО» Председатель Научнометодического совета ФИПИ по математике Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Подробнее

Математика. 9 класс. Математика. 9 класс. Вариант 9. Вариант 11. Решение задания 18. Вариант 12. Вариант 10. МИОО, 2012 г. МИОО, 2012 г.

Математика. 9 класс. Математика. 9 класс. Вариант 9. Вариант 11. Решение задания 18. Вариант 12. Вариант 10. МИОО, 2012 г. МИОО, 2012 г. Математика. 9 класс. Математика. 9 класс. Вариант 9 Решение задания 18 Вариант 11 Решение задания 18 Вариант 10 Решение задания 18 Вариант 1 Решение задания 18 Математика. 9 класс. Вариант 9 1 Критерии

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант ЕГЭ 4 г. МАТЕМАТИКА, класс (4 - / 8) Проект подготовлен к общественно-профессиональному обсуждению Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант контрольных

Подробнее

Вариант 1. x 6(x + 2) x 6 x 2 < 1

Вариант 1. x 6(x + 2) x 6 x 2 < 1 Вариант 1 ( cos x 7 cos x + ) log 1 ( sin x) = 0 π + πn; π + πn C. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, точки D, E середины ребер соответственно A 1 B 1 и B 1 C 1.

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

Желаем успеха! Вариант 1

Желаем успеха! Вариант 1 - Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (40 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 0 заданий. Часть содержит 4 заданий с кратким ответом

Подробнее

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6.

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 1 1. Решите неравенство: Вариант 1 5 2x x 2 (2x 6) 0. 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: x 4 2x 9. 3. Найдите значение выражения при x = 35: 6 (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 4. Найдите наибольшее

Подробнее

СПЕЦИФИКАЦИЯ диагностической работы по математике для 10 классов общеобразовательных организаций г. Москвы

СПЕЦИФИКАЦИЯ диагностической работы по математике для 10 классов общеобразовательных организаций г. Москвы СПЕЦИФИКАЦИЯ диагностической работы по математике для классов общеобразовательных организаций г. Москвы Диагностическая работа проводится в соответствии с Дорожной картой, утверждённой Департаментом образования

Подробнее

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий)

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий) В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий) 1. Доказательство 1. Докажите, что если в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, медиана СM равна медиане С 1

Подробнее

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Подробнее

ID_9151 1/10 neznaika.pro

ID_9151 1/10 neznaika.pro Углы и расстояния в пространстве Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. В основание

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 6 7 4 5 6 5 4 4 6 6 4 4 Решение Пользуясь свойствами арифметического

Подробнее

Единый Государственный Экзамен. Задание 16

Единый Государственный Экзамен. Задание 16 Единый Государственный Экзамен Задание 16 Пример 1 В треугольнике A медиана и биссектриса K равны соответственно 14 см и 10 см и пересекаются под прямым углом в точке О а) Докажите, что площадь треугольника

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Тренировочные задачи

Тренировочные задачи И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Параллелограмм. Периметр параллелограмма равен, а одна из его сторон вдвое больше другой. Найдите стороны параллелограмма. и 4. Найдите

Подробнее

Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС. Задача 1. Доказать, что x 4 4x + 4 > 0 для любого вещественного x.

Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС. Задача 1. Доказать, что x 4 4x + 4 > 0 для любого вещественного x. Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС Задача 1. Доказать, что x 4 4x + 4 > 0 для любого вещественного x. Решение. x 4 4x + 4 = (x 2 1) 2 + 2(x 1) 2 + 1 1 > 0. Задача 2. На плоскости

Подробнее

VI онлайн-турнир 18 мая 2012г. на форуме

VI онлайн-турнир 18 мая 2012г. на форуме VI онлайн-турнир 8 мая г. на форуме Решения задач части С. С. А) Решить уравнение cos 7 sin 7. Б) Найти все решения данного уравнения, принадлежащие промежутку 6 ( ; ) 5 7. cos7 sin 7 cos7 sin 7 cos(7

Подробнее

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров)

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров) Т е м а 1 ПОВТОРЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИИ Практика 1 В классе (5 номеров) 1. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка MN, концы которого делят боковые стороны AB и CD в отношении AM : MB =

Подробнее

Самойлов Леонид Михайлович. «Сириус», г.

Самойлов Леонид Михайлович. «Сириус», г. «Сириус», 03.09.2016 г. Теория Через точку P, лежащую вне окружности, провели две прямые. Первая из них пересекает окружность в точках A и B, вторая в C и D. Докажите, что PA PB = PC PD. PA PC = PD PB

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год демонстрационная версия. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год демонстрационная версия. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmthnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год демонстрационная версия Часть A A Найдите значение выражения 65 + 6 5 5+ 9 5 5+ 9 7 5 65 + 6

Подробнее

Примеры решения задач

Примеры решения задач И. В. Яковлев Материалы по математике athus.ru Расстояние от точки до плоскости Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости это длина перпендикуляра, проведённого из точки

Подробнее

Тренировочные задачи

Тренировочные задачи И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Теорема Пифагора 1. Найдите диагональ квадрата со стороной a. a. В прямоугольном треугольнике с углом 60 гипотенуза равна. Найдите катеты.

Подробнее

Вариант Решение. Налог составит 700 0,13 = 91 рубль. После выплаты налога останется = 609 рублей. Разделим

Вариант Решение. Налог составит 700 0,13 = 91 рубль. После выплаты налога останется = 609 рублей. Разделим Вариант 2917722 1 B 1 26636 Летом килограмм клубники стоит 80 рублей Мама купила 1 кг 200 г клубники Сколько рублей сдачи она получит с 500 рублей? Найдем стоимость покупки: 1 кг 200 г клубники стоит 1,2

Подробнее

Какое из нижеперечисленных чисел принадлежит интервалу 0,7; 0,8? в) 6 7. а) 3 5. б) 7 9. г) 8 9

Какое из нижеперечисленных чисел принадлежит интервалу 0,7; 0,8? в) 6 7. а) 3 5. б) 7 9. г) 8 9 Задача 1 Какое из нижеперечисленных чисел принадлежит интервалу 0,7; 0,8? а) 3 5 б) 7 9 в) 6 7 г) 8 9 2 Задача 2 Чему равен наибольший общий делитель чисел 3 2 3 5 и 2 3 3 5? а) 6 б) 15 в) 30 г) 45 3 Задача

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант КИМ 2009 г. подготовлен Федеральным государственным научным учреждением

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант КИМ 2009 г. подготовлен Федеральным государственным научным учреждением «УТВЕРЖДАЮ» Директор Федерального института педагогических измерений «СОГЛАСОВАНО» Председатель Научнометодического совета ФИПИ по математике Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный

Подробнее

Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 11 класс 22 сентября 2016 года Вариант МА10109 (профильный уровень) Инструкция по выполнению работы

Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 11 класс 22 сентября 2016 года Вариант МА10109 (профильный уровень) Инструкция по выполнению работы Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 11 класс сентября 016 года Вариант МА10109 (профильный уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1985 год математико-механический факультет. Вариант 1

Санкт-Петербургский государственный университет, 1985 год математико-механический факультет. Вариант 1 Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 1985 год математико-механический факультет Вариант 1 + 1 a 5 1. Для каких действительных

Подробнее

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ГГ.

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ГГ. ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ МГУ ИМ М В ЛОМОНОСОВА ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ 99-998 ГГ ВСТУПИТЕЛЬНЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ (ПИСЬМЕННО) Вариант 99 г (Предварительный экзамен) В арифметической

Подробнее

Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 10 класс 18 мая 2016 года Вариант МА00609 (профильный уровень) Инструкция по выполнению работы

Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 10 класс 18 мая 2016 года Вариант МА00609 (профильный уровень) Инструкция по выполнению работы Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 10 класс 18 мая 2016 года Вариант МА00609 (профильный уровень) Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа

Подробнее

Математика - 7 класс

Математика - 7 класс Межрегиональная олимпиада школьников «Будущие исследователи будущее науки» 07 г. Математика - 7 класс. Найти значение выражения 0.(5a 7 b).( a 4 b) (b a ) при a 0.5, b 0.5.. Решить уравнение ( ).. В записи

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

В1 В2 В3 В4 В5 В ,5 35 В7 В8 В9 В10 В11 В12 6, получаем: n, n, и 3

В1 В2 В3 В4 В5 В ,5 35 В7 В8 В9 В10 В11 В12 6, получаем: n, n, и 3 КР. МА-. 8..9. Запад (без производной) Вариант 4 В В В В4 В5 В6 9 4 5 59,5 5 В7 В8 В9 В В В 6,5 7 45 5 9 C Решите систему уравнений cos x cos x 8 9 7, log 7( y) y sin x. Из уравнения cos x cos x 8 9 7

Подробнее

Вариант Найдите угол между касательными к графику функции y x 3 24, проходящими. 9. Определите все значения a, при которых уравнение x x 2 3 2ax

Вариант Найдите угол между касательными к графику функции y x 3 24, проходящими. 9. Определите все значения a, при которых уравнение x x 2 3 2ax Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень 5 г Вариант Один рабочий за два часа делает на 5 деталей больше

Подробнее

Инструкция по выполнению работы. Диагностическая работа. 17 апреля 2014 года. 9 класс. Вариант МА90601

Инструкция по выполнению работы. Диагностическая работа. 17 апреля 2014 года. 9 класс. Вариант МА90601 Математика. 9 класс. Вариант МА90601 Район Город (населённый пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 17 апреля 014 года 9 класс Вариант МА90601 Инструкция по выполнению

Подробнее

Уважаемые коллеги! Желаем успеха!

Уважаемые коллеги! Желаем успеха! 06 год Уважаемые коллеги! Вам предлагаются два блока заданий: 5. «Математический» (задачи для решения). 6 8. «Методический» (задания, моделирующие работу учителя). Оцениваются только те работы, в которых

Подробнее

ID_9086 1/9 neznaika.pro

ID_9086 1/9 neznaika.pro Углы и расстояния в пространстве Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. В правильной

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА. 9 класс. 24 декабря 2011 года. Вариант 3. Район Город (населенный пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА. 9 класс. 24 декабря 2011 года. Вариант 3. Район Город (населенный пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество Район Город (населенный пункт) Школа Класс Фамилия Имя Отчество КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по МАТЕМАТИКЕ 9 класс 4 декабря 11 года Вариант 3 Математика 9 класс Вариант 3 Инструкция по выполнению работы Работа

Подробнее

ОТВЕТЫ ,8 16 4,5 51, ,2. б) , ,2 0,2 а) k, k Z; 2 608, ,2. а) k, 2 k; 3 36, ,5 0,75

ОТВЕТЫ ,8 16 4,5 51, ,2. б) , ,2 0,2 а) k, k Z; 2 608, ,2. а) k, 2 k; 3 36, ,5 0,75 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Ноябрь 0 Вариант/ ОТВЕТЫ задания В В В В В5 В В7 С 7 5,5 80 5, 0, k, k Z 08, 5 8 8500 5-0,,8 7 50500 5 -,5 0,75 5 5,5-85, - 0,75, 5 5 0,5 -,5 0,, 7 0 000-0, 7 9 758,5

Подробнее