Дифференциальные уравнения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Дифференциальные уравнения"

Транскрипт

1 Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008

2 СК Соболев Дифференциальные уравнения Предисловие В обычной школьной математике школьники привыкли что в задачах и уравнениях к которым эти задачи сводятся неизвестными являются одно или несколько чисел те постоянных величин Однако с развитием математики и более глубоким осознанием возникающих проблем которые можно было решить применяя математику стали появляться задачи в которых неизвестными являются не постоянные величины а переменные те функции Уравнения содержащие неизвестную функцию которую надо найти называются функциональными Большой класс функциональных уравнений связывает между собой аргумент искомую функцию и её производную Как правило аргументом является время Например при прямолинейном движении точки уравнение F( t v a ) = 0 связывает координату ( t ) точки её скорость v( t) = d и ускорение dt a( t) = dv d dt = dt в любой момент времени t что может быть записано в виде d d F t 0 dt = Уравнение связывающие аргумент искомую функцию и её одну dt или несколько первых производных называется дифференциальным уравнением Оказывается дифференциальными уравнениями связаны между собой многие физические величины например величина заряда на конденсаторе электрический ток и скорость его изменения в замкнутом контуре Дифференциальными уравнениями описываются многие процессы в технике химии экономике биологии психологии и тд Дифференциальное уравнение в котором кроме аргумента и искомой функции входят производные искомой функции вплоть до п-го порядка называется дифференциальным уравнением п-го порядка Если дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию одного аргумента то оно называется обыкновенным А если неизвестная функция зависит от двух или большего числа аргументов и в уравнение входят частные производные этой функции то тогда оно называется дифференциальным уравнением с частными производными В настоящем пособии рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет бесконечное число решений зависящих от п произвольных констант Чтобы найти значения этих констант надо еще задать дополнительные начальные условия В настоящем пособии разбираются методы решения дифференциальных уравнений в основном первого и второго порядка Подробно разбираются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами метод Лагранжа и метод неопределенных коэффициентов Данное пособие будет полезно студентам экономических и технических специальностей

3 СК Соболев Дифференциальные уравнения 3 Дифференциальные уравнения первого порядка Введение в дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка имеет вид F( ) = 0 где х аргумент d = ( ) неизвестная функция (которую надо найти) = её d производная Его решение надо начать с того что привести его в виду: d = f ( ) = f ( ) где f ( ) известная функция d Дифференциальное уравнение имеет бесконечное число различных решений Каждое из таких решений называется частным решением Совокупность всех частных решений называется общим решением дифференциального уравнения Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную константу С те имеет вид = ϕ( C) ; это значит что при любом значении C = C0 функция ( C 0) является решением и любое частное решение можно найти из общего подобрав соответствующее значение константы С Если задано дополнительное начальное условие: ( 0 ) = 0 то как привило можно найти единственное частное решение удовлетворяющее ему Дифференциальное уравнение вида = f ( ) с начальным условием ( 0 ) = 0 называется задачей Коши Решение дифференциального уравнения может быть получено как в явном виде = ( ) (у выражено через х) так и в неявном те в виде G( ) = 0 (когда не удается явно выразить у через х) В последнем случае решение дифференциального уравнения называется интегралом этого ДУ Теорема Коши Если в некоторой (двумерной) окрестности точки M0( 0; 0) f ( ) функция f ( ) и её частная производная по у непрерывны то найдется такая (одномерная) окрестность точки 0 в которой решение задачи Коши = f ( ) ( ) = существует и единственно 0 0 Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка вида d = f ( ) = f ( ) d Мы будем классифицировать эти уравнения в зависимости от вида функции f ( ) ) f ( ) = g( ) h( ) дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид d g( ) h( ) d = Окрестность точки M 0 на плоскости это внутренность круга или квадрата с центром в данной точке M 0

4 СК Соболев Дифференциальные уравнения 4 Метод решения: разделить переменные (те отделить их друг от друга) а затем проинтегрировать: d d d = g( ) h( ) = g( ) d g( ) d d h( ) = h( ) H ( ) = G( ) + C ) f ( ) ϕ ( ) = дифференциальное уравнение с однородной правой частью те данное дифференциальное уравнение имеет вид: d = ϕ d ( ) d du Метод решения: ввести новую неизвестную u = u( ) = = u = u + d d получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u( ) : d du du ϕ( ) ( ) ( ) u u du d du d = ϕ u + = ϕ u = = = d d d ϕ( u) u ϕ( u) u Интегрируя находим функцию u( ) а затем и ( ) = u( ) 3) f ( ) = A( ) + B( ) (где A( ) и B( ) некоторые известные функции) линейное дифференциальное уравнение те вида = A( ) + B( ) Метод решения: существуют два метода решения этого уравнения которые различаются лишь обозначениями Первый метод (метод Бернулли): Решение линейного дифференциального уравнения = A( ) + B( ) ищут в виде произведения двух функций = u( ) v( ) которые находят по формулам: A( ) d u( ) = e (без произвольной константы) B( ) v( ) = d (с произвольной константой) u( ) Обоснование: пусть = u( ) v( ) тогда = u v + u v подставим в ДУ (*) получим u v + u v = A( ) u v + B( ) v ( u A( ) u ) + u v = B( ) Мы имеем одно дифференциальное уравнение с двумя неизвестными функциями u( ) и v( ) Однозначно эти функции найти нельзя Добавим еще одно условие а именно положим равной нулю выражение в скобках в последнем уравнении Получим систему однородная функция порядка k функция нескольких переменных f ( n ) для которой k выполняется равенство f ( λ λ λn ) = λ f ( n ) для любого λ R Однородная функция нулевого порядка называется просто однородной для неё выполняется условие: f ( λ λ λ ) = f ( ) Однородная функция двух переменных f ( ) зависит только от n отношения переменных те имеет вид f ( ) ϕ ( ) n =

5 СК Соболев Дифференциальные уравнения 5 дифференциальных уравнений: du du ( ) ( ) ( ) 0 A u = A d u A u = = d u { u v = B( ) dv B( ) u( ) dv = B( ) = d d u( ) Возьмем частное решение первого уравнения B( ) получим v = d u( ) A( ) d u( ) = e и подставим его во второе Второй способ решения линейного ДУ = A( ) + B( ) : (метод Лагранжа вариации постоянной) Сначала решим соответствующее линейное однородное ДУ d = A( ) = A( ) d Решив это уравнение получим его общее решение = C ( ) где ( ) ( ) A d = e Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения = A( ) + B( ) будем искать в виде = C( ) ( ) где функцию C( ) надо найти Найдем производную = C ( ) ( ) + C( ) ( ) и подставим её в неоднородное ДУ = A( ) + B( ) получим: C ( ) ( ) + C( ) ( ) = A( ) C( ) ( ) + B( ) Поскольку A( ) C( ) C( ) A( ) получим такое уравнение: B( ) C ( ) ( ) = B( ) из которого находим C ( ) = ( ) интегрируя которого находим C( ) (при этом возникает настоящая произвольная постоянная) Понятно что эти два метода различаются лишь обозначениями: u( ) = ( ) v( ) = C( ) 4) f ( ) = A( ) + B( ) α (где α 0 и α ) дифференциальное уравнение типа Бернулли те это ДУ вида = A( ) + B( ) α Для этого ДУ также существуют два метода решения: метод Бернулли и метод сведения к линейному ДУ Первый метод: метод Бернулли пусть = u( ) v( ) тогда = u v + u v подставим в ДУ (*) получим α u v + u v = A( ) u v + B( ) u v α β v ( u A( ) u ) + u v = B( ) u v Опять положим равной нулю выражение в скобках в последнем уравнении Получим систему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными: β

6 СК Соболев Дифференциальные уравнения 6 du du A( ) u = A( ) d = d u dv α α dv α u = B( ) u v = B( ) ( u( ) ) d d α v Из первого уравнения находим функцию u( ) (без произвольной константы) а из второго функцию v( ) (с произвольной константой С) Второй метод решения дифференциального уравнения Бернулли: сведение его к линейному ДУ Умножим обе части уравнения Бернулли = A( ) + B( ) α на ( α) α введем новую переменную z = α α тогда z = ( α) и получится линейное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции z( ) : z = ( α ) A( ) z + ( α ) B( ) z = A ( ) z + B( ) где A ( ) = ( α) A( ) B ( ) = ( α) B( ) Решая это линейное ДУ методом Бернулли или (что почти одно и тоже) методом Лагранжа находим функцию z( ) а затем и ( ) z α = d 5) если дифференциальное уравнение первого порядка = f ( ) не является ни одним d d из этих четырех видов надо его «перевернуть» те записать в виде d = f ( ) При этом часто получается линейное ДУ d A( ) B( ) d = + () или ДУ типа Бернулли d α = A( ) + B( ) () d относительно неизвестной функции ( ) которые решаем вышеописанными способами с тем исключением что во всех формулах х и у меняются местами А именно решение дифференциального уравнения () ищется в виде = u( ) v( ) где A( ) d u( ) = e B( ) v( ) = d u( ) а дифференциальное уравнение () сводится к линейному ДУ умножением обеих частей на ( α ) α и введением новой переменной z = α получится z = A ( ) z + B( ) 6) Если дифференциальное уравнение имеет вид P( ) d + Q( ) d = 0 то его надо d P( ) сначала привести к виду = f ( ) определить вид данного ДУ и применить d Q( ) один из вышеописанных методов Если оно не является дифференциальным уравнением ни одного из вышеуказанных четырех видов то надо проверить не является ли выражение P( ) d + Q( ) d полным дифференциалом некоторой функции U( )

7 СК Соболев Дифференциальные уравнения 7 те проверить существует ли такая функция U( ) что U P( ) U Q( ) во всех точках области Ω в которой ищется решение данного дифференциального уравнения Как известно из курса дифференциального исчисления функций нескольких переменных если область Ω односвязна такая функция U( ) существует тогда и только тогда когда и во всех точках этой области выполняется условие Q P Если это условие выполнено то данное ДУ P( ) d + Q( ) d = 0 называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах Чтобы его решить надо найти функцию U( ) : U( ) = P( ) d = const = F( ) + C( ) Для нахождения функции C( ) надо найти U = F + C и приравнять функции Q( ) Если требуемая функция U( ) найдена то общее решение данного ДУ имеет вид U( ) = C 3 Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка Пример Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка: (а) ( + 3) d + + 3d = d ; (б) ( d d) = ( d + d) ; (в) ( ) + = ln ; (г) = ; 4 (д) 3 cos + d + d = 0 d Решение (а) Запишем данное ДУ в виде f ( ) d = : d ( + 3) ( + 3) d d = d ( + 3) d = ( + 3) d = d + 3 Правая часть этого ДУ имеет вид произведения двух функций: одной зависящей только от х и другой зависящей только от у те это ДУ с разделяющимися переменными Разделяем их (те отделяем их друг от друга) и интегрируем: d ( + 3) d = = d d d d d = ln ln( 3) ln 3 C = Отсюда = C = ± e C = C ( + + 3) ( + + 3) + 3 ln где C = ± e C

8 СК Соболев Дифференциальные уравнения 8 d (б) Запишем данное ДУ в виде f ( ) d = : d ( d d) = ( d + d) ( ) d = ( + ) d = = d + + Это ДУ с однородной правой частью тк его правая часть зависит только от отношения Положим d du u = = u = u + тогда d d d du u du u u u u = u + = = u = d + d + u d + u + u Получили ДУ с разделяющимися переменными решим его: ( u + ) du d ( u + ) du d = = ln u + u = ln + lnc u u u + u ( ) ( ) u + u = C + = C + = C + = C (в) Запишем данное ДУ в виде = f ( ) : ( ) + = ln = + ln + Это линейное ДУ тк оно имеет вид = A( ) + B( ) где A( ) = B( ) = ln + Решение ищем в виде = u( ) v( ) где d A( ) d ln ln ( ) u = e = e = e = ( e ) = ; B( ) v( ) = d = (ln + ) d = { по частям} = ln + C u( ) Следовательно C = u v = ( ln + C ) = ln + d (г) Дифференциальное уравнение = не принадлежит ни к одному из известных d 4 d 3 нам типов поэтому попробуем «перевернуть» его получим: = Это линейное d ДУ относительно неизвестной функции ( ) ln виде = u( ) v( ) где u( ) = e = e = поэтому общее решение есть d ( ) ( ) 3 A = B = его решение ищем в = ( C ) = C d (д) Если записать данное ДУ в виде f ( ) d = то получим 3 + cos d d 3 + = = d d cos 3 B( ) 3 3 v( ) = d = d = + C u( ) Это дифференциальное уравнение не принадлежит ни к одному из первых четырех типов Поэтому проверим не является ли исходное ДУ

9 СК Соболев Дифференциальные уравнения 9 3 cos + d + d = 0 уравнением в полных дифференциалах Здесь P( ) = 3 + Q( ) = cos Q = = P 3 ( ) Следовательно левая часть данного дифференциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U ( ) и U U = P( ) = 3 + = Q( ) = cos Найдем функцию U ( ) : 3 ( ) U ( ) = P ( ) d = 3 + d = = const = + + C( ) Но U 3 = ( + + C( ) ) = + C ( ) = = Q( ) = cos Следовательно C ( ) = cos C( ) = sin 3 Окончательно U ( ) = + + sin и решение нашего ДУ имеет вид sin = C Ответы: (а) (г) 3 + = C ; (б) 3 = C ; (д) + + sin = C C + = C ; (в) = ln + ; Пример Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию: (а) = (4 + + ) (0) = ; (б) 3 d + ( ) d = 0 () = Решение (а) Сделаем замену z = тогда z = 4 + = z 4 подставим в исходное ДУ получим ДУ с разделяющимися переменными: dz dz = (4 + + ) z 4 = z = z + 4 = d d z + 4 dz z = d arctg = + C z = z = tg( + C ) = tg( + C ) 4

10 СК Соболев Дифференциальные уравнения 0 Подставим начальное условие ( = 0 = ) и определим значение константы С: = tg( C) C = π Следовательно = tg( + π ) (б) Запишем данное ДУ в виде = f ( ) : 3 d 3 d + ( ) d = 0 = = + d Это ДУ типа Бернулли с показателем α = 3 Умножим обе части этого ДУ на α 3 ( α) = α 3 и положим z = = Тогда z = и получим линейное ДУ относительно неизвестной функции z( ) : Решим его: = z = z 3 d ln ln z = u( ) v( ) u( ) = e = e = ( e ) = v( ) = d = + C z = u v = ( + C) = + C = = ± C + Подставляем начальное условие ( = = ) получаем знак «плюс» и C = 3 Окончательно = + 3 Ответы: (а) tg( π = + 4 ) 4 ; (б) = Задачи для самостоятельного решения Найти общее решение дифференциального уравнения: 3 sin (а) = ; (б) = + 3 ; (в) = e + ; (г) d ln d = 0 ; (д) ( + )( e d e d) = ( + ) d ; (е) = sin( ) [указание: ввести новую переменную z = = z + + = z + ] (ж) sin( = + ) ; (з) d + d = d ; (и) d cos( ln( ) ) d = 0 ; (sin + e ) d + cos3 e d = 0 (к) ( ) Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию: (а) tg ( π = ) = ; (б) ( + + ) d d = 0 () = 0 3 Найти общее решение дифференциального уравнения: 3 (а) = + ; (б) cos + sin = ; (в) ( + ) d + ( arctg ) d = 0 ; (г) + ln = ( + ln ) ; (д) = + ; (е) d + d = e d ; (ж) 3 sin + = 4 Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию: (а) + = + e (0) = 4 ; (б) 3 d + ( + 3 ) sin d = 0 ( π ) =

11 СК Соболев Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков Основные сведения Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид F( ) = 0 где = ( ) неизвестная функция которую надо найти Общее решение такого ДУ зависит от двух произвольных констант С и С значения которых можно найти если заданы начальные условия: значение искомой функции и её производной в некоторой точке: ( 0) = 0 ( 0) = получится частное решение Дифференциальное уравнение вида = f ( ) где f известная функция трех переменных вместе с начальными условиями называется задачей Коши Теорема Коши Если в некоторой (трехмерной) окрестности 3 точки M 0( 0; 0; ) f f функция f ( ) и её частные производные и непрерывны то найдется такая (одномерная) окрестность точки 0 в которой решение задачи Коши = f ( ) ( ) = ( ) = существует и единственно ( n) Дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид F( ) = 0 где = ( ) неизвестная функция Общее решение такого ДУ зависит от п произвольных констант C C C n значения которых можно найти если заданы начальные условия: значение искомой функции и её производных порядка от до ( n ) включительно в некоторой точке: ( n ) ( ) = ( ) = ( ) = n получится частное решение Методы понижения порядка ДУ второго и высших порядков ) Простейшее дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид = f ( ) где f ( ) известная функция Решение такого дифференциального уравнения находится п- кратным последовательным интегрированием функции f ( ) при каждом интегрировании возникает аддитивная постоянная Пример 3 Найти общее решение дифференциального уравнения = sin Решение Последовательно находим: ( ) sin cos = d = d = + C ( ) ( cos ) sin 4 ( ) ( sin 4 ) cos 8 = d = + C d = + C + C = d = + C + C = + C + C + C 3 Общее решение содержит три произвольные константы ( C = C ): C C C 3 = 8 cos Далее рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка которые с помощью подходящей замены сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка ( n) 3 Окрестность точки M 0 в пространстве это внутренность шара или куба с центром в данной точке M 0

12 СК Соболев Дифференциальные уравнения ) ДУ второго порядка F( ) = 0 не содержит явно у те имеет вид F( ) = 0 Метод решения: ввести новую переменную p = p( ) тогда d d( ) dp = = = = p Получится ДУ первого порядка F( p p ) = 0 решив d d d которое находим функцию p( ) = (зависящую от константы С ) затем с помощью интегрирования находим ( ) = p( ) d (при этом появится вторая константа С ) Пример 4: Найти общее решение дифференциального уравнения sin cos = cos cos 4 Решение: Поскольку данное ДУ второго порядка не содержит явно у положим p = p( ) тогда = p получится линейное ДУ первого порядка относительно неизвестной функции p( ) : p sin p cos = cos cos 4 p = p ctg + sin 3 (поскольку cos cos 4 sin sin 3 sin (3 4sin ) sin ( + cos ) Здесь A( ) = ctg B( ) = sin 3 A( ) d ctg d ln(sin ) Решая это ДУ находим: p = u( ) v( ) u( ) = e = e = e = sin B( ) v( ) = sin3 d = d ( cos ) d sin C u( ) = + = + + sin = p = sin ( + sin + C) = sin + sin sin + C sin Теперь находим и саму функцию ( ) ( ) = d = sin + cos cos 3 + C sin = = cos + sin + sin sin 3 C cos + C 3 Ответ: = cos + 3sin + sin 3 C cos + C 3 3) ДУ второго порядка F( ) = 0не содержит явно х те имеет вид F( ) = 0 Метод решения: ввести новую переменную p = p( ) тогда по формуле d( ) dp dp d производной сложной функции = = = = p p Получится ДУ первого d d d d d порядка F( p p p) = 0 решив которое находим функцию p( ) = = (она будет d содержать также произвольную константу С ) Последнее уравнение есть ДУ первого d d порядка с разделяющимися переменными интегрируя его d = d p( ) = p( ) получаем искомое решение (в неявной форме) содержащее вторую произвольную константу Замечание Если заданы начальные условия и не требуется получить общее решение (а только частное) то значения каждой константы следует находить сразу после её появления подстановкой начальных условий Пример 5: Найти частное решение для ДУ второго порядка = ( ) с начальными условиями: (0) = (0) =

13 СК Соболев Дифференциальные уравнения 3 Решение Поскольку данное ДУ второго порядка не содержит явно х положим = p( ) тогда = p p Получим дифференциальное уравнение первого порядка с однородной правой частью (которое одновременно является и ДУ типа Бернулли с параметром α = ) относительно неизвестной функции p( ) : p pp = p p = (3) p Первый способ Решим уравнение (3) как ДУ с однородной правой частью: Положим p u = p = u p = u + u Подставив это в уравнение (3) получим ДУ с разделяющимися переменными: d u + u du = u = u du u d u = Интегрируя получаем p u = C ln = u = ± C ln = p = ± C ln Подставив в последнее равенство начальные условия (0) = (0) = определим нужный знак и значение константы С : = ± C 0 C = перед корнем должен стоять знак «минус» и тогда d = = 4 ln d Последнее уравнение есть ДУ с разделяющимися переменными решим его: d d 4 ln = В левом интеграле сделаем замену t = 4 ln dt = d получим 4 ln = + C подставим сюда начальное условие = 0 = получим 4 0 = 0 + C C = следовательно частное решение (в неявной форме) имеет вид: ( ) 4 ln = + откуда 4 ln = ( + ) ln = ( + ) = ± e + Подставляя сюда еще раз начальное условие выбираем знак «плюс» Ответ: ( ) = e + Второй способ Решим ДУ p p = p как ДУ типа Бернулли с параметром α = α α α Умножим обе части этого ДУ на множитель ( ) p = p и положим z = p = p Тогда z = pp Получим pp = p z = z Решим это линейное ДУ: z = u( ) v( ) ln( ) ( ) d u = e = e = v( ) = d = ln + C поэтому p = z = u v = ( C ln ) = p = ± C ln ) Далее решение такое же что и первым способом 4) Порядок ДУ можно понизить используя формулы n n n = ( ) + = n ( ) + ( ) ( )

14 СК Соболев Дифференциальные уравнения 4 ( ) ( g( ) ) = = g ( ) + g( ) итд Тогда если в ДУ удалось представить левую и правую части в виде полных производных (по ) выражений F( ) и G( ) те в виде d F( ) = d G( ) d d то тогда F( ) = G( ) + C Пример 6: Найти общее решение ДУ второго порядка = ( ) + sin Решение Это ДУ второго порядка содержит явно и х и у и и Перепишем его в виде ( ) = sin и заметим что левая часть есть производная (по х) дроби те данное ДУ имеет вид = sin Следовательно d = = sin = C cos d откуда d C sin = ( C cos ) d ln = C sin + ln C = Ce C sin Ответ: = C e 3 Задачи для самостоятельного решения Найти общее решение дифференциальных уравнений: IV (а) 3 = ; (б) + ( ) = ( ) ; (в) ln = ; (г) + = + ; (д) + ( ) = Найти частное решение дифференциальных уравнений удовлетворяющее начальным условиям: (а) ( + ) + ( ) + = 0 (0) = (0) = ; (б) = e () = 0 () = ; (в) + = ( ) () = () = 3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 3 Основные сведения Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) второго порядка имеет вид a( ) + b( ) + c( ) = f ( ) где a( ) 0 Если f ( ) 0 это ЛДУ называется однородным а если f ( ) T 0 то оно называется неоднородным Общее решение однородного ЛДУ (ОЛДУ) второго порядка a( ) + b( ) + c( ) = 0 имеет вид

15 СК Соболев Дифференциальные уравнения 5 = C ϕ ( ) + C ϕ ( ) оо где ϕ ( ) ϕ ( ) два линейно независимых4 частных решения этого уравнения образующее его фундаментальную систему решений (ФСР) Общее решение неоднородного ЛДУ a( ) + b( ) + c( ) = f ( ) имеет вид он = oo + чн где он общее решение неоднородного ЛДУ чн какое-то частное решение неоднородного ЛДУ oo общее решение соответствующего однородного ЛДУ 3 Построение общего решения ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Пусть дано ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами a + b + c = 0 ( a 0) (4) aλ + bλ + c = 0 соответствующее характеристическое уравнение имеющее вещественные или комплексные корни λ λ Тогда общее решения ОЛДУ (4) имеет следующий вид (в зависимости от знака дискриминанта D = b 4ac ): (а) если D > 0 и λ λ различные вещественные корни то λ λ оо = C e + C e ; (б) если D = 0 и λ = λ = α R то α оо α = C e + C e ; (в) если D < 0 и корни λ = α ± iβ комплексные причем α R β R i мнимая единица ( i = ) то α оо cos β α = C e + C e sin β Пример 7 Найти общее решение ОЛДУ: (а) 3 = 0; (б) = 0 ; (в) = 0 Решение Составляем соответствующее характеристическое уравнение и находим корни 3 oo = Ce + Ce ; = 0 = = 3 oo = Ce + Ce ; oo (а) λ λ 3 = 0 λ = λ 3 = (б) λ λ λ λ (в) λ + λ + 5 = 0 λ = ± i = C e cos + C e sin + 4 функции ( ) n( ) называются линейно зависимыми на промежутке ( α; β ) если тождественное равенство λ ( ) + + λ ( ) 0 на ( α; β ) выполняется при некоторых λ λ n не равных одновременно нулю В противном случае те если тождественное равенство λ ( ) + + λ ( ) 0 на ( α; β ) возможно только при λ = = λ n = 0 функции ( ) n( ) называются линейно независимыми на промежутке ( α; β ) Две функции ( ) и ( ) линейно независимы тогда и только когда когда они не ( ) пропорциональны те const ( )

16 СК Соболев Дифференциальные уравнения 6 3 Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных Этот метод позволяет находить общее решение любого неоднородного линейного дифференциального уравнения (НЛДУ) если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ) Рассмотрим подробно ЛДУ второго порядка Теорема Пусть для однородного ЛДУ второго порядка a( ) + b( ) + c( ) = 0 нам известно его общее решение: оо = Сϕ ( ) + Сϕ ( ) Тогда для неоднородного ЛДУ a( ) + b( ) + c( ) = f ( ) общее решение можно найти в виде = С ( ) ϕ ( ) + С ( ) ϕ ( ) он где производные C ( ) и C ( ) являются решениями системы двух линейных уравнений с расширенной матрицей: ϕ( ) ϕ( ) 0 f ( ) и f ϕ ( ) ϕ ( ) f0( ) 0( ) = a( ) Эта система всегда имеет единственное решение на любом промежутке где непрерывны все коэффициенты ОЛДУ и a( ) 0 Пример 8 Найти общее решение дифференциального уравнения 4 + = 8 (5) + cos Решение Напишем соответствующее однородное ЛДУ: 4 + = 0 составим для него характеристическое уравнение 4λ + = 0 и найдем его корни: λ = ± Общее решение для ОЛДУ имеет вид i оо = C cos + C sin Общее решение данного уравнения (5) будем искать в виде он = C( )cos + C( )sin (6) В данном случае ϕ( ) = cos ϕ( ) = sin Производные функций C ( и C ( удовлетворяют системе линейных уравнений с расширенной матрицей: cos sin 0 sin cos + cos Решим эту систему по формулам Крамера: sin cos sin sin cos = cos = + = 0 sin sin sin = = = cos cos + cos + cos ( )

17 СК Соболев Дифференциальные уравнения 7 cos 0 cos = = = sin + cos cos + cos sin Следовательно C ( ) = = cos Теперь интегрируя находим: ( ) C ( ) = = cos sin d 4 sin d + ( ) = = + C C cos ( ) cos ( ) = = 4ln + C cos cos C (7) где C C = const Подставляя полученные функции C ( ) и C ( ) (7) в (6) получим искомое общее решение неоднородного ЛДУ (5): sin 4 он cos 4ln sin cos C + cos C = = ( C C ) = sin 4 4sin + ln cos sin cos оо чн частное реш неодн ЛДУ общее реш однор ЛДУ (черту над настоящими константами уже можно опустить) 33 Задачи для самостоятельного решения Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами: (а) = 0 ; (б) = 0; (в) 5 = 0 ; (г) 9 = 0 ; (д) + 9 = 0; (е) ; (ж) = 0 ; Найти частное решение удовлетворяющее начальным условиям: (а) + 6 = 0 (0) = (0) = 4 ; (б) = 0 (0) = (0) = ; (в) = 0 (0) = (0) = 0 (а) Найти общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка: = e + ; (б) + = e ; (в) = sin 4 Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами Неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ) имеет вид: ( n) ( n ) 0 n a ( ) + a ( ) + + a ( ) + an( ) = f ( ) (8) или символически L [ ] = f ( ) (8*) Соответствующее однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) имеет вид ( n) ( n ) 0 n a ( ) + a ( ) + + a ( ) + a ( ) = 0 (9) n

18 СК Соболев Дифференциальные уравнения 8 или символически L [ ] = 0 Структура общего решения однородного ЛДУ п-го порядка Общее решение ОЛДУ (9) с непрерывными коэффициентами имеет вид = С ϕ ( ) + + С ϕ ( ) оо где ϕ( ) ϕ ( ) линейно независимые частные решения этого ЛДУ образующие фундаментальную систему решений этого ОЛДУ C C n произвольные константы 4 Решение ОЛДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим ОЛДУ: ( n) ( n ) 0 n a + a + + a + a = 0 (0) где ai = const R a0 0 Многочлен n n 0 0 n P( λ) = a λ + a λ + + a λ + a () def называется характеристическим для ОЛДУ (3) Алгебраическое уравнение P( λ ) = 0 также называется характеристическим Построение фундаментальной системы решений для ОЛДУ с постоянными коэффициентами п-го порядка Пусть λ λ λ k все корни (вещественные и/или комплексные) характеристического уравнения (4) а натуральные числа r r r k соответствующие кратности этих корней Это значит что характеристический многочлен разлагается в произведение 0 r r k r P( λ) = a ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) k и общее количество корней с учетом их кратностей равно порядку п ОЛДУ те r + r + + rk = n Заметим также что все коэффициенты характеристического уравнения вещественны и поэтому его комплексные корни попарно комплексно сопряжены те если имеется корень λ = α + iβ кратности r то имеется и корень λ = α iβ той же кратности r ( ) Каждому вещественному корню λ j = γ R кратности r соответствуют ровно r различных функций составляющих ФСР уравнения (0): γ ( ) γ e ( ) e r ( ) r γ = = = e ϕ ϕ ϕ ( ) Каждой паре комплексно сопряженных корней λ j = α ± iβ где α R β R каждый из которых имеет кратность r соответствуют r пар функций составляющих ФСР уравнения (3) (а всего их r ): α α r r α α α r r α ϕ ( ) = e cos β ϕ ( ) = e cos β ϕ ( ) = e cos β; ψ ( ) = e sin β ψ ( ) = e sin β ψ ( ) = e sin β Полная фундаментальная система решений ОЛДУ (0) состоит из всех функций построенных таким образом для всех корней характеристического уравнения +

19 СК Соболев Дифференциальные уравнения 9 Пример 9 Найти общие решения следующих ОЛДУ: (а) 8 = 0 ; (б) 5 3 = 0 ; (в) (7) (3) 6 = 0 Решение Запишем для каждого ОЛДУ характеристический многочлен P( λ ) и разложим его на множители: (а) 3 P( λ) = λ 8 = ( λ )( λ + λ + 4) = 0 корни λ = λ3 = ± i 3 их кратности равны Поэтому ( ) ( ) (б) = C e + C e cos 3 + C e sin 3 ; оо 3 P( λ) = λ λ 5λ = ( λ + )( λ λ 3) = ( λ + ) ( λ 3) = 0 корни и их кратности: 3 λ = r = λ = 3 r = поэтому оо Ce Ce C3e = + + (в) P( λ) = λ 6 λ = λ ( λ 6) = λ ( λ )( λ + )( λ + 4) корни и их кратности: λ = 0 r = 3; λ = r = λ = r = λ 45 = 0 ± i r 45 = общее решение оо = С + С + С + C4e + C5e + C6 cos + C7 sin = С e + С e + С e + C e + C e + C e cos + C e sin = Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения Общее решение неоднородного ЛДУ ( n) ( n ) 0 n a ( ) + a ( ) + + a ( ) + an( ) = f ( ) (8) есть сумма частного решения этого НЛДУ и общего решения соответствующего однородного ЛДУ Символически: ( n) ( n ) 0 n a ( ) + a ( ) + + a ( ) + a ( ) = 0 (9) он = чн + оо Теорема о наложении частных решений НЛДУ) Пусть правая часть f ( ) неоднородного ЛДУ () те L [ ] = f ( ) является суммой других функций f ( ) = f ( ) + + f ( ) m а для каждого k = m функция k ( ) является частным решением неоднородного ЛДУ L [ ] = fk ( ) Тогда функция o( ) = ( ) + + m( ) является частным решением уравнения (8) 4 Метод неопределенных коэффициентов решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Мы умеем строить общее решение оо ( ) однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами: ( n) ( n ) 0 n n a + a + + a + an = 0 Для этого надо составить характеристического уравнения n n 0λ λ λ 0 a + a + + a + a = 0

20 СК Соболев Дифференциальные уравнения 0 найти его корни λ λ λ k и определить их кратности r r r k (натуральные числа те целые положительные) Условимся считать что если вещественное или комплексное число λ не является корнем данного характеристического уравнения то мы все равно будем считать его корнем кратности ноль Для нахождения общего решения он ( ) неоднородного ЛДУ ( n) ( n ) 0 n a + a + + a + a = f ( ) n надо знать его какое-нибудь частное решение чн ( ) поскольку он = чн + оо Такое частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов в том случае если функция f ( ) имеет специальный вид первого или второго типа α m Специальный вид правой части -го типа: f ( ) = e P ( ) где α R Pm ( ) многочлен степени т Пусть число α является корнем кратности r характеристического уравнения В этом случае частное решение можно найти в виде: r α m чн = e P ( ) где P ( ) многочлен степени т с неопределенными коэффициентами Напомним что многочлены степени 0 и с неопределенными коэффициентами имеют вид A A + B A + B + D соответственно ( A B D неопределенные коэффициенты которые надо найти) Чтобы найти эти коэффициенты следует: r α m ( n) ( n ) α 0 n n () найти первую вторую и тд производные функции чн = e P ( ) ; () подставить их в данное НЛДУ a + a + + a + a = e P( ) привести подобные и сократить левую и правую части на e α ; (3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной х слева и справа; получится система линейных уравнений (число этих уравнений будет равно ( m + ) числу искомых неопределенных коэффициентов); (4) Решить полученную систему уравнений α Специальный вид правой части -го типа: f ( ) e ( P ( ) cos β Q ( )sin β ) + = + где α R β R Pm ( ) и Qk ( ) многочлены степени т и k соответственно (один из этих многочленов может вовсе отсутствовать те быть нулевым) Нулевой многочлен будем считать имеющим степень минус один Пусть комплексные числа λ = α ± iβ являются корнями характеристического уравнения кратности r и N = ma{ m k} В этом случае частное решение можно найти в виде : r α чн = e ( P N ( ) cos β + QN ( )sin β ) Чтобы найти коэффициенты многочленов P ( ) и Q ( ) надо: () найти первую вторую и тд производные функции чн = e P ( ) ; () подставить их в данное НЛДУ N ( β β ) ( n) ( n ) α 0 n n m k N m r α m a + a + + a + a = e P ( )cos + Q ( )sin привести подобные и сократить левую и правую части на e α ; k

21 СК Соболев Дифференциальные уравнения (3) Представить левую часть в виде в виде A( )cos β + B( )sin β где A( ) и B( ) многочлены приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа в многочленах при cos β (те в A( ) и P ( ) ) а затем приравнять коэффициенты при m одинаковых степенях х слева и справа в многочленах при sin β те при B( ) и Qk ( ) ); получится система из ( N + ) линейных уравнений; (4) Решить полученную систему уравнений Замечание Часто правая часть f ( ) не имеет специального вида но является суммой нескольких функций f ( ) = f( ) + + fs( ) где каждая из функций fi ( ) имеет специальный вид -го ил -го типа В этом случае по теореме 8 частное решение имеет вид чн = ( ) + + ( ) где ( ) частное решение для НЛДУ s i 0 ( n) ( n ) n n i a + a + + a + a = f ( ) Пример 0 Найти общее решение НЛДУ 3 = (4 + 8) e + 3sin Решение Для соответствующего однородного ЛДУ 3 = 0 характеристическое уравнение λ λ 3 = 0 имеет корни λ = и λ = 3кратности r = каждый Общее решение ОЛДУ есть 3 оо = С e + C e Правая часть есть сумма двух функций f ( ) = ( + ) e + 3sin = f ( ) + f ( ) имеющих специальный вид -го и -го типа соответственно Частное решение есть сумма: чн = ( ) + ( ) где ( ) 3 = f( ) = (4 + 8) e () ( ) 3 = f( ) = 3sin (3) α m () f ( ) = e P ( ) = e ( + ) α = корень кратности m = следовательно ( ) = e P ( ) = e ( A + B) = e ( A + B) Находим первую и вторую производные: = e ( A + B) + e ( A + B) = e ( A + ( A B) + B) = e ( A + ( A B) + B) + e ( A + A B) = ( ( 4 ) ( )) = e A + B A + A B и подставим в уравнение () получим: ( ) ( ) e A + ( B 4 A) + (A B) e A + ( A B) + B 3 e ( A + B) = (4 + 8) e Сократим на e приведем слева подобные: 0 8 A + (A 4 B) = + и приравняем коэффициенты при 8A = 4 A = получим систему: A 4B 8 B 9 = = 4 ( ) = 9 e Итак ( ) 4 α () ( β β ) и 0 слева и справа f ( ) = e P ( ) cos + Q ( )sin = 3sin α = 0 β = λ = 0 ± i корень m k кратности r = 0 P ( ) = 0 Q ( ) = 3 m = k = 0 N = 0 поэтому m k ( ) ( ) = e P ( ) cos + Q ( )sin = Acos + B sin

22 СК Соболев Дифференциальные уравнения Находим первую и вторую производные: = Asin + B cos = 4A cos 4B sin и подставим в уравнение (3) получим: ( 4A cos 4B sin ) ( Asin + B cos ) 3( A cos + B sin ) = 3sin приравняем слева и справа коэффициенты при cos и sin получим систему уравнений: 4 7A 4B = 0 A = 5 4A 7B 3 поэтому 4 7 = B = 7 ( ) = cos sin Окончательно получаем: ( ) он оо чн оо = + = + + = С e + C e + ( ) + e + cos sin Пример Не находя неопределенных коэффициентов указать вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения IV = 3sin + e + e Решение Сначала найдем общее решение соответствующего однородного линейного ДУ IV 5 36 = 0 для чего найдем корни характеристического уравнения: 4 λ 5λ 36 = 0 ( λ 9)( λ + 4) = 0 λ = 3 λ = 3 λ34 = ± i 3 3 Следовательно общее решение есть оо = Ce + Ce + C3 cos + C4 sin Правая часть исходного неоднородного ЛДУ есть сумма трех функций: 3 f ( ) = f ( ) + f ( ) + f ( ) где f ( ) = 3sin f ( ) = e f ( ) = e Поэтому 3 3 общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид он = оо + чн где чн = и i ( ) частное решение неоднородного ЛДУ IV 5 36 = fi ( ) i = 3 IV ) для неоднородного ЛДУ 5 36 = f ( ) = 3sin частное решение есть: = ( A cos + B sin ) ; ) для неоднородного ЛДУ 3 = ( A + B ) e ; 3) для неоднородного ЛДУ IV ( ) = f = e частное решение есть: IV ( ) = f = e частное решение есть: 3 = ( A3 + B3 + D ) e Поэтому для всего исходного нелинейного ЛДУ общее решение имеет вид = = C e + C e + C cos + C sin + он оо ( A cos + B sin ) + ( A + B ) e + ( A + B + D ) e Здесь С С C3 C 4 произвольные постоянные (которые всегда присутствуют в общем решении дифференциального уравнения) Ai Bi ( i = 3) и D конкретные числовые постоянные которые в принципе можно найти (методом неопределенных коэффициентов) но в данной задаче это не требуется

23 СК Соболев Дифференциальные уравнения 3 43 Задачи для самостоятельного решения Найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений: (а) 3 = 0 ; (б) = 0 ; (в) = 0 ; IV IV (г) + = 0 ; (д) = 0 ; (е) 3 = 0 Найти общие решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений методом неопределенных коэффициентов: 3 (а) = e ; (б) + 4 = sin ; (в) = e sin ; (г) + 0 = cos 3 3 Найти вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (сами коэффициенты не находить!): 3 (а) = e cos ; IV (б) = sin + e cos + ( ) e ; (в) (г) V 8 = e e cos ; IV = e + e + 3cos IV Контрольные вопросы Что такое дифференциальное уравнение? Что такое порядок дифференциального уравнения? 3 Сколько произвольных констант имеет общее решение дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка? 4 Как выглядит начальное условие (начальные условия) для дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка? 5 Что такое задача Коши для дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка? 6 Что такое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и как его решать? 7 Что такое дифференциальное уравнение с однородной правой частью и как его решать? 8 Как выглядит линейное дифференциальное уравнение первого порядка и какие способы его решения вы знаете? 9 Как выглядит дифференциальное уравнение типа Бернулли и какие способы его решения вы знаете?

24 СК Соболев Дифференциальные уравнения 4 0 Что такое дифференциальное уравнение в полных дифференциалах и как его решать? В каких случаях можно понизить порядок дифференциального уравнения второго порядка? Как это сделать? Как выглядит линейное дифференциальное уравнение п-го порядка: (а) однородное; (б) неоднородное? 3 Какими свойствами обладают частные решения однородного линейного дифференциального уравнения? 4 Что такое фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения? 5 Какова структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения? 6 Как находить фундаментальную систему решений однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: (а) второго порядка (б) п-го порядка? 7 Какова структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения? 8 В чем состоит принцип наложения частных решений для неоднородного линейного дифференциального уравнения? 9 В чем суть метода Лагранжа решения неоднородного линейного дифференциального уравнения? Почему этот метод также называется методом вариации постоянных? 0 Какие неоднородные линейные дифференциальные уравнения можно решать методом неопределенных коэффициентов В каком виде следует искать частное решение? Как находить неопределенные коэффициенты? Литература Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов Т М: Интеграл-Пресс с Бугров ЯС Никольский СМ Высшая математика Т 3 Дифференциальные уравнения Кратные интегралы Ряды Функции комплексного переменного М: Дрофа с 3 Агафонов СА Герман АД Муратова ТВ Дифференциальные уравнения: Учеб для вузов / Под ред ВС Зарубина АП Крищенко М: Изд-во МГТУ им Н Э Баумана с (Сер Математика в техническом университете вып VIII) 4 Сборник задач по математике для втузов Ч Специальные разделы математического анализа: Учеб пособие для втузов / Под ред АВ Ефремова и БП Демидовича М: Наука с 5 Богомолов ВГ Кандаурова ИЕ Шишкина СИ Дифференциальные уравнения первого порядка М: Изд-во МГТУ с 6 Пелевина ИН Раров НН Филиновский АВ Дифференциальные уравнения высших порядков Методические указания для выполнения домашнего задания М: Изд-во МГТУ с

25 СК Соболев Дифференциальные уравнения 5 Содержание Предисловие Дифференциальные уравнения первого порядка 3 Введение в дифференциальные уравнения первого порядка 3 Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения 3 3 Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка 7 4 Задачи для самостоятельного решения 0 Дифференциальные уравнения высших порядков 0 Основные сведения 0 Методы понижения порядка ДУ второго и высших порядков 3 Задачи для самостоятельного решения 4 3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 4 3 Основные сведения 4 3 Построение общего решения ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 5 3 Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных 6 33 Задачи для самостоятельного решения 7 4 Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами 7 4 Решение ОЛДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами 7 4 Метод неопределенных коэффициентов решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида 9 43 Задачи для самостоятельного решения 3 Контрольные вопросы 3 Литература 4 Содержание 5

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Т е м а 4 Неопределенный интеграл

Т е м а 4 Неопределенный интеграл 17 Т е м а 4 Неопределенный интеграл Интегральное исчисление является составной частью математического анализа, и применяется при решении множества задач из области физики, химии, биологии, а именно в

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет» ТА ШАЛЫГИНА НН БЕЛОВ

Подробнее

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:, Получены два различных действительных корня Всё, что осталось сделать записать ответ, руководствуясь формулой

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО УНИВЕРСИТЕТА «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Кафедра математики А В Михеев СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Университет Российской академии образования Новомосковский филиал В. А. Матвеев, В. М. Ульянов Обыкновенные дифференциальные

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.В. Калинин ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление 280700 «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 3 Литература...

Подробнее

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , , МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ 7, 7, СПБ ГУТ Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика

Подробнее

СЕМИНАР 1 переменные параметры

СЕМИНАР 1 переменные параметры СЕМИНАР Основные понятия. Составление (вывод) дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Решение методом разделяющихся переменных. Решение линейного дифференциального уравнения

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Интегрирование функций одной переменной

Интегрирование функций одной переменной Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГГ Литова, ДЮ Ханукаева Интегрирование функций одной переменной Методическое пособие для самостоятельной работы

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования.

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ Интегралы. Часть. Основные приёмы интегрирования. Учебное

Подробнее

= 0. (1) E 2z. ϕ(x, y, z) = f 1 (x) f 2 (y) f 3 (z). (3) f 1 (x) + f ) f 3 (z) f. f 3 (z) = γ2. f 3 (z) = Ae γz + B e γz. f 1 (x) = γ2 1, z=0 E 1z

= 0. (1) E 2z. ϕ(x, y, z) = f 1 (x) f 2 (y) f 3 (z). (3) f 1 (x) + f ) f 3 (z) f. f 3 (z) = γ2. f 3 (z) = Ae γz + B e γz. f 1 (x) = γ2 1, z=0 E 1z 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 6 Разделение переменных в декартовых координатах 1.1. (Задача 1.49) Плоскость z = заряжена с плотностью σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), где σ, α, β постоянные.

Подробнее

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций # 04, апрель 2015 Ахметова Ф. Х. 1,*, Ласковая Т. А. 1, Пелевина И. Н. 1 УДК: 517 1 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение Классический

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Автоматическое генерирование заданий по дифференциальным уравнениям

Автоматическое генерирование заданий по дифференциальным уравнениям Автоматическое генерирование заданий по дифференциальным уравнениям # 05, май 015 Соболев С К 1,* УДК: 378016+51643 1 Россия, МГТУ им НЭ Баумана * sergesobolev@mailru Введение Наряду со стремительным развитием

Подробнее

Московский физико-технический институт (государственный университет) Ипатова В.М.

Московский физико-технический институт (государственный университет) Ипатова В.М. Московский физико-технический институт (государственный университет) Ипатова ВМ Методические указания по решению задач экзаменационной контрольной работы по курсу Дифференциальные уравнения 0-04 уч г Долгопрудный

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) Операционное исчисление один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» ВИ Фомин ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава. 8 1.Понятие дифференциального уравнения.математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями.11 3.Решение

Подробнее