Дифференциальные уравнения

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Дифференциальные уравнения"

Транскрипт

1 Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008

2 СК Соболев Дифференциальные уравнения Предисловие В обычной школьной математике школьники привыкли что в задачах и уравнениях к которым эти задачи сводятся неизвестными являются одно или несколько чисел те постоянных величин Однако с развитием математики и более глубоким осознанием возникающих проблем которые можно было решить применяя математику стали появляться задачи в которых неизвестными являются не постоянные величины а переменные те функции Уравнения содержащие неизвестную функцию которую надо найти называются функциональными Большой класс функциональных уравнений связывает между собой аргумент искомую функцию и её производную Как правило аргументом является время Например при прямолинейном движении точки уравнение F( t v a ) = 0 связывает координату ( t ) точки её скорость v( t) = d и ускорение dt a( t) = dv d dt = dt в любой момент времени t что может быть записано в виде d d F t 0 dt = Уравнение связывающие аргумент искомую функцию и её одну dt или несколько первых производных называется дифференциальным уравнением Оказывается дифференциальными уравнениями связаны между собой многие физические величины например величина заряда на конденсаторе электрический ток и скорость его изменения в замкнутом контуре Дифференциальными уравнениями описываются многие процессы в технике химии экономике биологии психологии и тд Дифференциальное уравнение в котором кроме аргумента и искомой функции входят производные искомой функции вплоть до п-го порядка называется дифференциальным уравнением п-го порядка Если дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию одного аргумента то оно называется обыкновенным А если неизвестная функция зависит от двух или большего числа аргументов и в уравнение входят частные производные этой функции то тогда оно называется дифференциальным уравнением с частными производными В настоящем пособии рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет бесконечное число решений зависящих от п произвольных констант Чтобы найти значения этих констант надо еще задать дополнительные начальные условия В настоящем пособии разбираются методы решения дифференциальных уравнений в основном первого и второго порядка Подробно разбираются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами метод Лагранжа и метод неопределенных коэффициентов Данное пособие будет полезно студентам экономических и технических специальностей

3 СК Соболев Дифференциальные уравнения 3 Дифференциальные уравнения первого порядка Введение в дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка имеет вид F( ) = 0 где х аргумент d = ( ) неизвестная функция (которую надо найти) = её d производная Его решение надо начать с того что привести его в виду: d = f ( ) = f ( ) где f ( ) известная функция d Дифференциальное уравнение имеет бесконечное число различных решений Каждое из таких решений называется частным решением Совокупность всех частных решений называется общим решением дифференциального уравнения Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную константу С те имеет вид = ϕ( C) ; это значит что при любом значении C = C0 функция ( C 0) является решением и любое частное решение можно найти из общего подобрав соответствующее значение константы С Если задано дополнительное начальное условие: ( 0 ) = 0 то как привило можно найти единственное частное решение удовлетворяющее ему Дифференциальное уравнение вида = f ( ) с начальным условием ( 0 ) = 0 называется задачей Коши Решение дифференциального уравнения может быть получено как в явном виде = ( ) (у выражено через х) так и в неявном те в виде G( ) = 0 (когда не удается явно выразить у через х) В последнем случае решение дифференциального уравнения называется интегралом этого ДУ Теорема Коши Если в некоторой (двумерной) окрестности точки M0( 0; 0) f ( ) функция f ( ) и её частная производная по у непрерывны то найдется такая (одномерная) окрестность точки 0 в которой решение задачи Коши = f ( ) ( ) = существует и единственно 0 0 Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка вида d = f ( ) = f ( ) d Мы будем классифицировать эти уравнения в зависимости от вида функции f ( ) ) f ( ) = g( ) h( ) дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид d g( ) h( ) d = Окрестность точки M 0 на плоскости это внутренность круга или квадрата с центром в данной точке M 0

4 СК Соболев Дифференциальные уравнения 4 Метод решения: разделить переменные (те отделить их друг от друга) а затем проинтегрировать: d d d = g( ) h( ) = g( ) d g( ) d d h( ) = h( ) H ( ) = G( ) + C ) f ( ) ϕ ( ) = дифференциальное уравнение с однородной правой частью те данное дифференциальное уравнение имеет вид: d = ϕ d ( ) d du Метод решения: ввести новую неизвестную u = u( ) = = u = u + d d получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u( ) : d du du ϕ( ) ( ) ( ) u u du d du d = ϕ u + = ϕ u = = = d d d ϕ( u) u ϕ( u) u Интегрируя находим функцию u( ) а затем и ( ) = u( ) 3) f ( ) = A( ) + B( ) (где A( ) и B( ) некоторые известные функции) линейное дифференциальное уравнение те вида = A( ) + B( ) Метод решения: существуют два метода решения этого уравнения которые различаются лишь обозначениями Первый метод (метод Бернулли): Решение линейного дифференциального уравнения = A( ) + B( ) ищут в виде произведения двух функций = u( ) v( ) которые находят по формулам: A( ) d u( ) = e (без произвольной константы) B( ) v( ) = d (с произвольной константой) u( ) Обоснование: пусть = u( ) v( ) тогда = u v + u v подставим в ДУ (*) получим u v + u v = A( ) u v + B( ) v ( u A( ) u ) + u v = B( ) Мы имеем одно дифференциальное уравнение с двумя неизвестными функциями u( ) и v( ) Однозначно эти функции найти нельзя Добавим еще одно условие а именно положим равной нулю выражение в скобках в последнем уравнении Получим систему однородная функция порядка k функция нескольких переменных f ( n ) для которой k выполняется равенство f ( λ λ λn ) = λ f ( n ) для любого λ R Однородная функция нулевого порядка называется просто однородной для неё выполняется условие: f ( λ λ λ ) = f ( ) Однородная функция двух переменных f ( ) зависит только от n отношения переменных те имеет вид f ( ) ϕ ( ) n =

5 СК Соболев Дифференциальные уравнения 5 дифференциальных уравнений: du du ( ) ( ) ( ) 0 A u = A d u A u = = d u { u v = B( ) dv B( ) u( ) dv = B( ) = d d u( ) Возьмем частное решение первого уравнения B( ) получим v = d u( ) A( ) d u( ) = e и подставим его во второе Второй способ решения линейного ДУ = A( ) + B( ) : (метод Лагранжа вариации постоянной) Сначала решим соответствующее линейное однородное ДУ d = A( ) = A( ) d Решив это уравнение получим его общее решение = C ( ) где ( ) ( ) A d = e Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения = A( ) + B( ) будем искать в виде = C( ) ( ) где функцию C( ) надо найти Найдем производную = C ( ) ( ) + C( ) ( ) и подставим её в неоднородное ДУ = A( ) + B( ) получим: C ( ) ( ) + C( ) ( ) = A( ) C( ) ( ) + B( ) Поскольку A( ) C( ) C( ) A( ) получим такое уравнение: B( ) C ( ) ( ) = B( ) из которого находим C ( ) = ( ) интегрируя которого находим C( ) (при этом возникает настоящая произвольная постоянная) Понятно что эти два метода различаются лишь обозначениями: u( ) = ( ) v( ) = C( ) 4) f ( ) = A( ) + B( ) α (где α 0 и α ) дифференциальное уравнение типа Бернулли те это ДУ вида = A( ) + B( ) α Для этого ДУ также существуют два метода решения: метод Бернулли и метод сведения к линейному ДУ Первый метод: метод Бернулли пусть = u( ) v( ) тогда = u v + u v подставим в ДУ (*) получим α u v + u v = A( ) u v + B( ) u v α β v ( u A( ) u ) + u v = B( ) u v Опять положим равной нулю выражение в скобках в последнем уравнении Получим систему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными: β

6 СК Соболев Дифференциальные уравнения 6 du du A( ) u = A( ) d = d u dv α α dv α u = B( ) u v = B( ) ( u( ) ) d d α v Из первого уравнения находим функцию u( ) (без произвольной константы) а из второго функцию v( ) (с произвольной константой С) Второй метод решения дифференциального уравнения Бернулли: сведение его к линейному ДУ Умножим обе части уравнения Бернулли = A( ) + B( ) α на ( α) α введем новую переменную z = α α тогда z = ( α) и получится линейное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции z( ) : z = ( α ) A( ) z + ( α ) B( ) z = A ( ) z + B( ) где A ( ) = ( α) A( ) B ( ) = ( α) B( ) Решая это линейное ДУ методом Бернулли или (что почти одно и тоже) методом Лагранжа находим функцию z( ) а затем и ( ) z α = d 5) если дифференциальное уравнение первого порядка = f ( ) не является ни одним d d из этих четырех видов надо его «перевернуть» те записать в виде d = f ( ) При этом часто получается линейное ДУ d A( ) B( ) d = + () или ДУ типа Бернулли d α = A( ) + B( ) () d относительно неизвестной функции ( ) которые решаем вышеописанными способами с тем исключением что во всех формулах х и у меняются местами А именно решение дифференциального уравнения () ищется в виде = u( ) v( ) где A( ) d u( ) = e B( ) v( ) = d u( ) а дифференциальное уравнение () сводится к линейному ДУ умножением обеих частей на ( α ) α и введением новой переменной z = α получится z = A ( ) z + B( ) 6) Если дифференциальное уравнение имеет вид P( ) d + Q( ) d = 0 то его надо d P( ) сначала привести к виду = f ( ) определить вид данного ДУ и применить d Q( ) один из вышеописанных методов Если оно не является дифференциальным уравнением ни одного из вышеуказанных четырех видов то надо проверить не является ли выражение P( ) d + Q( ) d полным дифференциалом некоторой функции U( )

7 СК Соболев Дифференциальные уравнения 7 те проверить существует ли такая функция U( ) что U P( ) U Q( ) во всех точках области Ω в которой ищется решение данного дифференциального уравнения Как известно из курса дифференциального исчисления функций нескольких переменных если область Ω односвязна такая функция U( ) существует тогда и только тогда когда и во всех точках этой области выполняется условие Q P Если это условие выполнено то данное ДУ P( ) d + Q( ) d = 0 называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах Чтобы его решить надо найти функцию U( ) : U( ) = P( ) d = const = F( ) + C( ) Для нахождения функции C( ) надо найти U = F + C и приравнять функции Q( ) Если требуемая функция U( ) найдена то общее решение данного ДУ имеет вид U( ) = C 3 Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка Пример Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка: (а) ( + 3) d + + 3d = d ; (б) ( d d) = ( d + d) ; (в) ( ) + = ln ; (г) = ; 4 (д) 3 cos + d + d = 0 d Решение (а) Запишем данное ДУ в виде f ( ) d = : d ( + 3) ( + 3) d d = d ( + 3) d = ( + 3) d = d + 3 Правая часть этого ДУ имеет вид произведения двух функций: одной зависящей только от х и другой зависящей только от у те это ДУ с разделяющимися переменными Разделяем их (те отделяем их друг от друга) и интегрируем: d ( + 3) d = = d d d d d = ln ln( 3) ln 3 C = Отсюда = C = ± e C = C ( + + 3) ( + + 3) + 3 ln где C = ± e C

8 СК Соболев Дифференциальные уравнения 8 d (б) Запишем данное ДУ в виде f ( ) d = : d ( d d) = ( d + d) ( ) d = ( + ) d = = d + + Это ДУ с однородной правой частью тк его правая часть зависит только от отношения Положим d du u = = u = u + тогда d d d du u du u u u u = u + = = u = d + d + u d + u + u Получили ДУ с разделяющимися переменными решим его: ( u + ) du d ( u + ) du d = = ln u + u = ln + lnc u u u + u ( ) ( ) u + u = C + = C + = C + = C (в) Запишем данное ДУ в виде = f ( ) : ( ) + = ln = + ln + Это линейное ДУ тк оно имеет вид = A( ) + B( ) где A( ) = B( ) = ln + Решение ищем в виде = u( ) v( ) где d A( ) d ln ln ( ) u = e = e = e = ( e ) = ; B( ) v( ) = d = (ln + ) d = { по частям} = ln + C u( ) Следовательно C = u v = ( ln + C ) = ln + d (г) Дифференциальное уравнение = не принадлежит ни к одному из известных d 4 d 3 нам типов поэтому попробуем «перевернуть» его получим: = Это линейное d ДУ относительно неизвестной функции ( ) ln виде = u( ) v( ) где u( ) = e = e = поэтому общее решение есть d ( ) ( ) 3 A = B = его решение ищем в = ( C ) = C d (д) Если записать данное ДУ в виде f ( ) d = то получим 3 + cos d d 3 + = = d d cos 3 B( ) 3 3 v( ) = d = d = + C u( ) Это дифференциальное уравнение не принадлежит ни к одному из первых четырех типов Поэтому проверим не является ли исходное ДУ

9 СК Соболев Дифференциальные уравнения 9 3 cos + d + d = 0 уравнением в полных дифференциалах Здесь P( ) = 3 + Q( ) = cos Q = = P 3 ( ) Следовательно левая часть данного дифференциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U ( ) и U U = P( ) = 3 + = Q( ) = cos Найдем функцию U ( ) : 3 ( ) U ( ) = P ( ) d = 3 + d = = const = + + C( ) Но U 3 = ( + + C( ) ) = + C ( ) = = Q( ) = cos Следовательно C ( ) = cos C( ) = sin 3 Окончательно U ( ) = + + sin и решение нашего ДУ имеет вид sin = C Ответы: (а) (г) 3 + = C ; (б) 3 = C ; (д) + + sin = C C + = C ; (в) = ln + ; Пример Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию: (а) = (4 + + ) (0) = ; (б) 3 d + ( ) d = 0 () = Решение (а) Сделаем замену z = тогда z = 4 + = z 4 подставим в исходное ДУ получим ДУ с разделяющимися переменными: dz dz = (4 + + ) z 4 = z = z + 4 = d d z + 4 dz z = d arctg = + C z = z = tg( + C ) = tg( + C ) 4

10 СК Соболев Дифференциальные уравнения 0 Подставим начальное условие ( = 0 = ) и определим значение константы С: = tg( C) C = π Следовательно = tg( + π ) (б) Запишем данное ДУ в виде = f ( ) : 3 d 3 d + ( ) d = 0 = = + d Это ДУ типа Бернулли с показателем α = 3 Умножим обе части этого ДУ на α 3 ( α) = α 3 и положим z = = Тогда z = и получим линейное ДУ относительно неизвестной функции z( ) : Решим его: = z = z 3 d ln ln z = u( ) v( ) u( ) = e = e = ( e ) = v( ) = d = + C z = u v = ( + C) = + C = = ± C + Подставляем начальное условие ( = = ) получаем знак «плюс» и C = 3 Окончательно = + 3 Ответы: (а) tg( π = + 4 ) 4 ; (б) = Задачи для самостоятельного решения Найти общее решение дифференциального уравнения: 3 sin (а) = ; (б) = + 3 ; (в) = e + ; (г) d ln d = 0 ; (д) ( + )( e d e d) = ( + ) d ; (е) = sin( ) [указание: ввести новую переменную z = = z + + = z + ] (ж) sin( = + ) ; (з) d + d = d ; (и) d cos( ln( ) ) d = 0 ; (sin + e ) d + cos3 e d = 0 (к) ( ) Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию: (а) tg ( π = ) = ; (б) ( + + ) d d = 0 () = 0 3 Найти общее решение дифференциального уравнения: 3 (а) = + ; (б) cos + sin = ; (в) ( + ) d + ( arctg ) d = 0 ; (г) + ln = ( + ln ) ; (д) = + ; (е) d + d = e d ; (ж) 3 sin + = 4 Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию: (а) + = + e (0) = 4 ; (б) 3 d + ( + 3 ) sin d = 0 ( π ) =

11 СК Соболев Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков Основные сведения Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид F( ) = 0 где = ( ) неизвестная функция которую надо найти Общее решение такого ДУ зависит от двух произвольных констант С и С значения которых можно найти если заданы начальные условия: значение искомой функции и её производной в некоторой точке: ( 0) = 0 ( 0) = получится частное решение Дифференциальное уравнение вида = f ( ) где f известная функция трех переменных вместе с начальными условиями называется задачей Коши Теорема Коши Если в некоторой (трехмерной) окрестности 3 точки M 0( 0; 0; ) f f функция f ( ) и её частные производные и непрерывны то найдется такая (одномерная) окрестность точки 0 в которой решение задачи Коши = f ( ) ( ) = ( ) = существует и единственно ( n) Дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид F( ) = 0 где = ( ) неизвестная функция Общее решение такого ДУ зависит от п произвольных констант C C C n значения которых можно найти если заданы начальные условия: значение искомой функции и её производных порядка от до ( n ) включительно в некоторой точке: ( n ) ( ) = ( ) = ( ) = n получится частное решение Методы понижения порядка ДУ второго и высших порядков ) Простейшее дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид = f ( ) где f ( ) известная функция Решение такого дифференциального уравнения находится п- кратным последовательным интегрированием функции f ( ) при каждом интегрировании возникает аддитивная постоянная Пример 3 Найти общее решение дифференциального уравнения = sin Решение Последовательно находим: ( ) sin cos = d = d = + C ( ) ( cos ) sin 4 ( ) ( sin 4 ) cos 8 = d = + C d = + C + C = d = + C + C = + C + C + C 3 Общее решение содержит три произвольные константы ( C = C ): C C C 3 = 8 cos Далее рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка которые с помощью подходящей замены сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка ( n) 3 Окрестность точки M 0 в пространстве это внутренность шара или куба с центром в данной точке M 0

12 СК Соболев Дифференциальные уравнения ) ДУ второго порядка F( ) = 0 не содержит явно у те имеет вид F( ) = 0 Метод решения: ввести новую переменную p = p( ) тогда d d( ) dp = = = = p Получится ДУ первого порядка F( p p ) = 0 решив d d d которое находим функцию p( ) = (зависящую от константы С ) затем с помощью интегрирования находим ( ) = p( ) d (при этом появится вторая константа С ) Пример 4: Найти общее решение дифференциального уравнения sin cos = cos cos 4 Решение: Поскольку данное ДУ второго порядка не содержит явно у положим p = p( ) тогда = p получится линейное ДУ первого порядка относительно неизвестной функции p( ) : p sin p cos = cos cos 4 p = p ctg + sin 3 (поскольку cos cos 4 sin sin 3 sin (3 4sin ) sin ( + cos ) Здесь A( ) = ctg B( ) = sin 3 A( ) d ctg d ln(sin ) Решая это ДУ находим: p = u( ) v( ) u( ) = e = e = e = sin B( ) v( ) = sin3 d = d ( cos ) d sin C u( ) = + = + + sin = p = sin ( + sin + C) = sin + sin sin + C sin Теперь находим и саму функцию ( ) ( ) = d = sin + cos cos 3 + C sin = = cos + sin + sin sin 3 C cos + C 3 Ответ: = cos + 3sin + sin 3 C cos + C 3 3) ДУ второго порядка F( ) = 0не содержит явно х те имеет вид F( ) = 0 Метод решения: ввести новую переменную p = p( ) тогда по формуле d( ) dp dp d производной сложной функции = = = = p p Получится ДУ первого d d d d d порядка F( p p p) = 0 решив которое находим функцию p( ) = = (она будет d содержать также произвольную константу С ) Последнее уравнение есть ДУ первого d d порядка с разделяющимися переменными интегрируя его d = d p( ) = p( ) получаем искомое решение (в неявной форме) содержащее вторую произвольную константу Замечание Если заданы начальные условия и не требуется получить общее решение (а только частное) то значения каждой константы следует находить сразу после её появления подстановкой начальных условий Пример 5: Найти частное решение для ДУ второго порядка = ( ) с начальными условиями: (0) = (0) =

13 СК Соболев Дифференциальные уравнения 3 Решение Поскольку данное ДУ второго порядка не содержит явно х положим = p( ) тогда = p p Получим дифференциальное уравнение первого порядка с однородной правой частью (которое одновременно является и ДУ типа Бернулли с параметром α = ) относительно неизвестной функции p( ) : p pp = p p = (3) p Первый способ Решим уравнение (3) как ДУ с однородной правой частью: Положим p u = p = u p = u + u Подставив это в уравнение (3) получим ДУ с разделяющимися переменными: d u + u du = u = u du u d u = Интегрируя получаем p u = C ln = u = ± C ln = p = ± C ln Подставив в последнее равенство начальные условия (0) = (0) = определим нужный знак и значение константы С : = ± C 0 C = перед корнем должен стоять знак «минус» и тогда d = = 4 ln d Последнее уравнение есть ДУ с разделяющимися переменными решим его: d d 4 ln = В левом интеграле сделаем замену t = 4 ln dt = d получим 4 ln = + C подставим сюда начальное условие = 0 = получим 4 0 = 0 + C C = следовательно частное решение (в неявной форме) имеет вид: ( ) 4 ln = + откуда 4 ln = ( + ) ln = ( + ) = ± e + Подставляя сюда еще раз начальное условие выбираем знак «плюс» Ответ: ( ) = e + Второй способ Решим ДУ p p = p как ДУ типа Бернулли с параметром α = α α α Умножим обе части этого ДУ на множитель ( ) p = p и положим z = p = p Тогда z = pp Получим pp = p z = z Решим это линейное ДУ: z = u( ) v( ) ln( ) ( ) d u = e = e = v( ) = d = ln + C поэтому p = z = u v = ( C ln ) = p = ± C ln ) Далее решение такое же что и первым способом 4) Порядок ДУ можно понизить используя формулы n n n = ( ) + = n ( ) + ( ) ( )

14 СК Соболев Дифференциальные уравнения 4 ( ) ( g( ) ) = = g ( ) + g( ) итд Тогда если в ДУ удалось представить левую и правую части в виде полных производных (по ) выражений F( ) и G( ) те в виде d F( ) = d G( ) d d то тогда F( ) = G( ) + C Пример 6: Найти общее решение ДУ второго порядка = ( ) + sin Решение Это ДУ второго порядка содержит явно и х и у и и Перепишем его в виде ( ) = sin и заметим что левая часть есть производная (по х) дроби те данное ДУ имеет вид = sin Следовательно d = = sin = C cos d откуда d C sin = ( C cos ) d ln = C sin + ln C = Ce C sin Ответ: = C e 3 Задачи для самостоятельного решения Найти общее решение дифференциальных уравнений: IV (а) 3 = ; (б) + ( ) = ( ) ; (в) ln = ; (г) + = + ; (д) + ( ) = Найти частное решение дифференциальных уравнений удовлетворяющее начальным условиям: (а) ( + ) + ( ) + = 0 (0) = (0) = ; (б) = e () = 0 () = ; (в) + = ( ) () = () = 3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 3 Основные сведения Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) второго порядка имеет вид a( ) + b( ) + c( ) = f ( ) где a( ) 0 Если f ( ) 0 это ЛДУ называется однородным а если f ( ) T 0 то оно называется неоднородным Общее решение однородного ЛДУ (ОЛДУ) второго порядка a( ) + b( ) + c( ) = 0 имеет вид

15 СК Соболев Дифференциальные уравнения 5 = C ϕ ( ) + C ϕ ( ) оо где ϕ ( ) ϕ ( ) два линейно независимых4 частных решения этого уравнения образующее его фундаментальную систему решений (ФСР) Общее решение неоднородного ЛДУ a( ) + b( ) + c( ) = f ( ) имеет вид он = oo + чн где он общее решение неоднородного ЛДУ чн какое-то частное решение неоднородного ЛДУ oo общее решение соответствующего однородного ЛДУ 3 Построение общего решения ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Пусть дано ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами a + b + c = 0 ( a 0) (4) aλ + bλ + c = 0 соответствующее характеристическое уравнение имеющее вещественные или комплексные корни λ λ Тогда общее решения ОЛДУ (4) имеет следующий вид (в зависимости от знака дискриминанта D = b 4ac ): (а) если D > 0 и λ λ различные вещественные корни то λ λ оо = C e + C e ; (б) если D = 0 и λ = λ = α R то α оо α = C e + C e ; (в) если D < 0 и корни λ = α ± iβ комплексные причем α R β R i мнимая единица ( i = ) то α оо cos β α = C e + C e sin β Пример 7 Найти общее решение ОЛДУ: (а) 3 = 0; (б) = 0 ; (в) = 0 Решение Составляем соответствующее характеристическое уравнение и находим корни 3 oo = Ce + Ce ; = 0 = = 3 oo = Ce + Ce ; oo (а) λ λ 3 = 0 λ = λ 3 = (б) λ λ λ λ (в) λ + λ + 5 = 0 λ = ± i = C e cos + C e sin + 4 функции ( ) n( ) называются линейно зависимыми на промежутке ( α; β ) если тождественное равенство λ ( ) + + λ ( ) 0 на ( α; β ) выполняется при некоторых λ λ n не равных одновременно нулю В противном случае те если тождественное равенство λ ( ) + + λ ( ) 0 на ( α; β ) возможно только при λ = = λ n = 0 функции ( ) n( ) называются линейно независимыми на промежутке ( α; β ) Две функции ( ) и ( ) линейно независимы тогда и только когда когда они не ( ) пропорциональны те const ( )

16 СК Соболев Дифференциальные уравнения 6 3 Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных Этот метод позволяет находить общее решение любого неоднородного линейного дифференциального уравнения (НЛДУ) если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ) Рассмотрим подробно ЛДУ второго порядка Теорема Пусть для однородного ЛДУ второго порядка a( ) + b( ) + c( ) = 0 нам известно его общее решение: оо = Сϕ ( ) + Сϕ ( ) Тогда для неоднородного ЛДУ a( ) + b( ) + c( ) = f ( ) общее решение можно найти в виде = С ( ) ϕ ( ) + С ( ) ϕ ( ) он где производные C ( ) и C ( ) являются решениями системы двух линейных уравнений с расширенной матрицей: ϕ( ) ϕ( ) 0 f ( ) и f ϕ ( ) ϕ ( ) f0( ) 0( ) = a( ) Эта система всегда имеет единственное решение на любом промежутке где непрерывны все коэффициенты ОЛДУ и a( ) 0 Пример 8 Найти общее решение дифференциального уравнения 4 + = 8 (5) + cos Решение Напишем соответствующее однородное ЛДУ: 4 + = 0 составим для него характеристическое уравнение 4λ + = 0 и найдем его корни: λ = ± Общее решение для ОЛДУ имеет вид i оо = C cos + C sin Общее решение данного уравнения (5) будем искать в виде он = C( )cos + C( )sin (6) В данном случае ϕ( ) = cos ϕ( ) = sin Производные функций C ( и C ( удовлетворяют системе линейных уравнений с расширенной матрицей: cos sin 0 sin cos + cos Решим эту систему по формулам Крамера: sin cos sin sin cos = cos = + = 0 sin sin sin = = = cos cos + cos + cos ( )

17 СК Соболев Дифференциальные уравнения 7 cos 0 cos = = = sin + cos cos + cos sin Следовательно C ( ) = = cos Теперь интегрируя находим: ( ) C ( ) = = cos sin d 4 sin d + ( ) = = + C C cos ( ) cos ( ) = = 4ln + C cos cos C (7) где C C = const Подставляя полученные функции C ( ) и C ( ) (7) в (6) получим искомое общее решение неоднородного ЛДУ (5): sin 4 он cos 4ln sin cos C + cos C = = ( C C ) = sin 4 4sin + ln cos sin cos оо чн частное реш неодн ЛДУ общее реш однор ЛДУ (черту над настоящими константами уже можно опустить) 33 Задачи для самостоятельного решения Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами: (а) = 0 ; (б) = 0; (в) 5 = 0 ; (г) 9 = 0 ; (д) + 9 = 0; (е) ; (ж) = 0 ; Найти частное решение удовлетворяющее начальным условиям: (а) + 6 = 0 (0) = (0) = 4 ; (б) = 0 (0) = (0) = ; (в) = 0 (0) = (0) = 0 (а) Найти общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка: = e + ; (б) + = e ; (в) = sin 4 Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами Неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ) имеет вид: ( n) ( n ) 0 n a ( ) + a ( ) + + a ( ) + an( ) = f ( ) (8) или символически L [ ] = f ( ) (8*) Соответствующее однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) имеет вид ( n) ( n ) 0 n a ( ) + a ( ) + + a ( ) + a ( ) = 0 (9) n

18 СК Соболев Дифференциальные уравнения 8 или символически L [ ] = 0 Структура общего решения однородного ЛДУ п-го порядка Общее решение ОЛДУ (9) с непрерывными коэффициентами имеет вид = С ϕ ( ) + + С ϕ ( ) оо где ϕ( ) ϕ ( ) линейно независимые частные решения этого ЛДУ образующие фундаментальную систему решений этого ОЛДУ C C n произвольные константы 4 Решение ОЛДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим ОЛДУ: ( n) ( n ) 0 n a + a + + a + a = 0 (0) где ai = const R a0 0 Многочлен n n 0 0 n P( λ) = a λ + a λ + + a λ + a () def называется характеристическим для ОЛДУ (3) Алгебраическое уравнение P( λ ) = 0 также называется характеристическим Построение фундаментальной системы решений для ОЛДУ с постоянными коэффициентами п-го порядка Пусть λ λ λ k все корни (вещественные и/или комплексные) характеристического уравнения (4) а натуральные числа r r r k соответствующие кратности этих корней Это значит что характеристический многочлен разлагается в произведение 0 r r k r P( λ) = a ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) k и общее количество корней с учетом их кратностей равно порядку п ОЛДУ те r + r + + rk = n Заметим также что все коэффициенты характеристического уравнения вещественны и поэтому его комплексные корни попарно комплексно сопряжены те если имеется корень λ = α + iβ кратности r то имеется и корень λ = α iβ той же кратности r ( ) Каждому вещественному корню λ j = γ R кратности r соответствуют ровно r различных функций составляющих ФСР уравнения (0): γ ( ) γ e ( ) e r ( ) r γ = = = e ϕ ϕ ϕ ( ) Каждой паре комплексно сопряженных корней λ j = α ± iβ где α R β R каждый из которых имеет кратность r соответствуют r пар функций составляющих ФСР уравнения (3) (а всего их r ): α α r r α α α r r α ϕ ( ) = e cos β ϕ ( ) = e cos β ϕ ( ) = e cos β; ψ ( ) = e sin β ψ ( ) = e sin β ψ ( ) = e sin β Полная фундаментальная система решений ОЛДУ (0) состоит из всех функций построенных таким образом для всех корней характеристического уравнения +

19 СК Соболев Дифференциальные уравнения 9 Пример 9 Найти общие решения следующих ОЛДУ: (а) 8 = 0 ; (б) 5 3 = 0 ; (в) (7) (3) 6 = 0 Решение Запишем для каждого ОЛДУ характеристический многочлен P( λ ) и разложим его на множители: (а) 3 P( λ) = λ 8 = ( λ )( λ + λ + 4) = 0 корни λ = λ3 = ± i 3 их кратности равны Поэтому ( ) ( ) (б) = C e + C e cos 3 + C e sin 3 ; оо 3 P( λ) = λ λ 5λ = ( λ + )( λ λ 3) = ( λ + ) ( λ 3) = 0 корни и их кратности: 3 λ = r = λ = 3 r = поэтому оо Ce Ce C3e = + + (в) P( λ) = λ 6 λ = λ ( λ 6) = λ ( λ )( λ + )( λ + 4) корни и их кратности: λ = 0 r = 3; λ = r = λ = r = λ 45 = 0 ± i r 45 = общее решение оо = С + С + С + C4e + C5e + C6 cos + C7 sin = С e + С e + С e + C e + C e + C e cos + C e sin = Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения Общее решение неоднородного ЛДУ ( n) ( n ) 0 n a ( ) + a ( ) + + a ( ) + an( ) = f ( ) (8) есть сумма частного решения этого НЛДУ и общего решения соответствующего однородного ЛДУ Символически: ( n) ( n ) 0 n a ( ) + a ( ) + + a ( ) + a ( ) = 0 (9) он = чн + оо Теорема о наложении частных решений НЛДУ) Пусть правая часть f ( ) неоднородного ЛДУ () те L [ ] = f ( ) является суммой других функций f ( ) = f ( ) + + f ( ) m а для каждого k = m функция k ( ) является частным решением неоднородного ЛДУ L [ ] = fk ( ) Тогда функция o( ) = ( ) + + m( ) является частным решением уравнения (8) 4 Метод неопределенных коэффициентов решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Мы умеем строить общее решение оо ( ) однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами: ( n) ( n ) 0 n n a + a + + a + an = 0 Для этого надо составить характеристического уравнения n n 0λ λ λ 0 a + a + + a + a = 0

20 СК Соболев Дифференциальные уравнения 0 найти его корни λ λ λ k и определить их кратности r r r k (натуральные числа те целые положительные) Условимся считать что если вещественное или комплексное число λ не является корнем данного характеристического уравнения то мы все равно будем считать его корнем кратности ноль Для нахождения общего решения он ( ) неоднородного ЛДУ ( n) ( n ) 0 n a + a + + a + a = f ( ) n надо знать его какое-нибудь частное решение чн ( ) поскольку он = чн + оо Такое частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов в том случае если функция f ( ) имеет специальный вид первого или второго типа α m Специальный вид правой части -го типа: f ( ) = e P ( ) где α R Pm ( ) многочлен степени т Пусть число α является корнем кратности r характеристического уравнения В этом случае частное решение можно найти в виде: r α m чн = e P ( ) где P ( ) многочлен степени т с неопределенными коэффициентами Напомним что многочлены степени 0 и с неопределенными коэффициентами имеют вид A A + B A + B + D соответственно ( A B D неопределенные коэффициенты которые надо найти) Чтобы найти эти коэффициенты следует: r α m ( n) ( n ) α 0 n n () найти первую вторую и тд производные функции чн = e P ( ) ; () подставить их в данное НЛДУ a + a + + a + a = e P( ) привести подобные и сократить левую и правую части на e α ; (3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной х слева и справа; получится система линейных уравнений (число этих уравнений будет равно ( m + ) числу искомых неопределенных коэффициентов); (4) Решить полученную систему уравнений α Специальный вид правой части -го типа: f ( ) e ( P ( ) cos β Q ( )sin β ) + = + где α R β R Pm ( ) и Qk ( ) многочлены степени т и k соответственно (один из этих многочленов может вовсе отсутствовать те быть нулевым) Нулевой многочлен будем считать имеющим степень минус один Пусть комплексные числа λ = α ± iβ являются корнями характеристического уравнения кратности r и N = ma{ m k} В этом случае частное решение можно найти в виде : r α чн = e ( P N ( ) cos β + QN ( )sin β ) Чтобы найти коэффициенты многочленов P ( ) и Q ( ) надо: () найти первую вторую и тд производные функции чн = e P ( ) ; () подставить их в данное НЛДУ N ( β β ) ( n) ( n ) α 0 n n m k N m r α m a + a + + a + a = e P ( )cos + Q ( )sin привести подобные и сократить левую и правую части на e α ; k

21 СК Соболев Дифференциальные уравнения (3) Представить левую часть в виде в виде A( )cos β + B( )sin β где A( ) и B( ) многочлены приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа в многочленах при cos β (те в A( ) и P ( ) ) а затем приравнять коэффициенты при m одинаковых степенях х слева и справа в многочленах при sin β те при B( ) и Qk ( ) ); получится система из ( N + ) линейных уравнений; (4) Решить полученную систему уравнений Замечание Часто правая часть f ( ) не имеет специального вида но является суммой нескольких функций f ( ) = f( ) + + fs( ) где каждая из функций fi ( ) имеет специальный вид -го ил -го типа В этом случае по теореме 8 частное решение имеет вид чн = ( ) + + ( ) где ( ) частное решение для НЛДУ s i 0 ( n) ( n ) n n i a + a + + a + a = f ( ) Пример 0 Найти общее решение НЛДУ 3 = (4 + 8) e + 3sin Решение Для соответствующего однородного ЛДУ 3 = 0 характеристическое уравнение λ λ 3 = 0 имеет корни λ = и λ = 3кратности r = каждый Общее решение ОЛДУ есть 3 оо = С e + C e Правая часть есть сумма двух функций f ( ) = ( + ) e + 3sin = f ( ) + f ( ) имеющих специальный вид -го и -го типа соответственно Частное решение есть сумма: чн = ( ) + ( ) где ( ) 3 = f( ) = (4 + 8) e () ( ) 3 = f( ) = 3sin (3) α m () f ( ) = e P ( ) = e ( + ) α = корень кратности m = следовательно ( ) = e P ( ) = e ( A + B) = e ( A + B) Находим первую и вторую производные: = e ( A + B) + e ( A + B) = e ( A + ( A B) + B) = e ( A + ( A B) + B) + e ( A + A B) = ( ( 4 ) ( )) = e A + B A + A B и подставим в уравнение () получим: ( ) ( ) e A + ( B 4 A) + (A B) e A + ( A B) + B 3 e ( A + B) = (4 + 8) e Сократим на e приведем слева подобные: 0 8 A + (A 4 B) = + и приравняем коэффициенты при 8A = 4 A = получим систему: A 4B 8 B 9 = = 4 ( ) = 9 e Итак ( ) 4 α () ( β β ) и 0 слева и справа f ( ) = e P ( ) cos + Q ( )sin = 3sin α = 0 β = λ = 0 ± i корень m k кратности r = 0 P ( ) = 0 Q ( ) = 3 m = k = 0 N = 0 поэтому m k ( ) ( ) = e P ( ) cos + Q ( )sin = Acos + B sin

22 СК Соболев Дифференциальные уравнения Находим первую и вторую производные: = Asin + B cos = 4A cos 4B sin и подставим в уравнение (3) получим: ( 4A cos 4B sin ) ( Asin + B cos ) 3( A cos + B sin ) = 3sin приравняем слева и справа коэффициенты при cos и sin получим систему уравнений: 4 7A 4B = 0 A = 5 4A 7B 3 поэтому 4 7 = B = 7 ( ) = cos sin Окончательно получаем: ( ) он оо чн оо = + = + + = С e + C e + ( ) + e + cos sin Пример Не находя неопределенных коэффициентов указать вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения IV = 3sin + e + e Решение Сначала найдем общее решение соответствующего однородного линейного ДУ IV 5 36 = 0 для чего найдем корни характеристического уравнения: 4 λ 5λ 36 = 0 ( λ 9)( λ + 4) = 0 λ = 3 λ = 3 λ34 = ± i 3 3 Следовательно общее решение есть оо = Ce + Ce + C3 cos + C4 sin Правая часть исходного неоднородного ЛДУ есть сумма трех функций: 3 f ( ) = f ( ) + f ( ) + f ( ) где f ( ) = 3sin f ( ) = e f ( ) = e Поэтому 3 3 общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид он = оо + чн где чн = и i ( ) частное решение неоднородного ЛДУ IV 5 36 = fi ( ) i = 3 IV ) для неоднородного ЛДУ 5 36 = f ( ) = 3sin частное решение есть: = ( A cos + B sin ) ; ) для неоднородного ЛДУ 3 = ( A + B ) e ; 3) для неоднородного ЛДУ IV ( ) = f = e частное решение есть: IV ( ) = f = e частное решение есть: 3 = ( A3 + B3 + D ) e Поэтому для всего исходного нелинейного ЛДУ общее решение имеет вид = = C e + C e + C cos + C sin + он оо ( A cos + B sin ) + ( A + B ) e + ( A + B + D ) e Здесь С С C3 C 4 произвольные постоянные (которые всегда присутствуют в общем решении дифференциального уравнения) Ai Bi ( i = 3) и D конкретные числовые постоянные которые в принципе можно найти (методом неопределенных коэффициентов) но в данной задаче это не требуется

23 СК Соболев Дифференциальные уравнения 3 43 Задачи для самостоятельного решения Найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений: (а) 3 = 0 ; (б) = 0 ; (в) = 0 ; IV IV (г) + = 0 ; (д) = 0 ; (е) 3 = 0 Найти общие решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений методом неопределенных коэффициентов: 3 (а) = e ; (б) + 4 = sin ; (в) = e sin ; (г) + 0 = cos 3 3 Найти вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (сами коэффициенты не находить!): 3 (а) = e cos ; IV (б) = sin + e cos + ( ) e ; (в) (г) V 8 = e e cos ; IV = e + e + 3cos IV Контрольные вопросы Что такое дифференциальное уравнение? Что такое порядок дифференциального уравнения? 3 Сколько произвольных констант имеет общее решение дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка? 4 Как выглядит начальное условие (начальные условия) для дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка? 5 Что такое задача Коши для дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка? 6 Что такое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и как его решать? 7 Что такое дифференциальное уравнение с однородной правой частью и как его решать? 8 Как выглядит линейное дифференциальное уравнение первого порядка и какие способы его решения вы знаете? 9 Как выглядит дифференциальное уравнение типа Бернулли и какие способы его решения вы знаете?

24 СК Соболев Дифференциальные уравнения 4 0 Что такое дифференциальное уравнение в полных дифференциалах и как его решать? В каких случаях можно понизить порядок дифференциального уравнения второго порядка? Как это сделать? Как выглядит линейное дифференциальное уравнение п-го порядка: (а) однородное; (б) неоднородное? 3 Какими свойствами обладают частные решения однородного линейного дифференциального уравнения? 4 Что такое фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения? 5 Какова структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения? 6 Как находить фундаментальную систему решений однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: (а) второго порядка (б) п-го порядка? 7 Какова структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения? 8 В чем состоит принцип наложения частных решений для неоднородного линейного дифференциального уравнения? 9 В чем суть метода Лагранжа решения неоднородного линейного дифференциального уравнения? Почему этот метод также называется методом вариации постоянных? 0 Какие неоднородные линейные дифференциальные уравнения можно решать методом неопределенных коэффициентов В каком виде следует искать частное решение? Как находить неопределенные коэффициенты? Литература Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов Т М: Интеграл-Пресс с Бугров ЯС Никольский СМ Высшая математика Т 3 Дифференциальные уравнения Кратные интегралы Ряды Функции комплексного переменного М: Дрофа с 3 Агафонов СА Герман АД Муратова ТВ Дифференциальные уравнения: Учеб для вузов / Под ред ВС Зарубина АП Крищенко М: Изд-во МГТУ им Н Э Баумана с (Сер Математика в техническом университете вып VIII) 4 Сборник задач по математике для втузов Ч Специальные разделы математического анализа: Учеб пособие для втузов / Под ред АВ Ефремова и БП Демидовича М: Наука с 5 Богомолов ВГ Кандаурова ИЕ Шишкина СИ Дифференциальные уравнения первого порядка М: Изд-во МГТУ с 6 Пелевина ИН Раров НН Филиновский АВ Дифференциальные уравнения высших порядков Методические указания для выполнения домашнего задания М: Изд-во МГТУ с

25 СК Соболев Дифференциальные уравнения 5 Содержание Предисловие Дифференциальные уравнения первого порядка 3 Введение в дифференциальные уравнения первого порядка 3 Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения 3 3 Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка 7 4 Задачи для самостоятельного решения 0 Дифференциальные уравнения высших порядков 0 Основные сведения 0 Методы понижения порядка ДУ второго и высших порядков 3 Задачи для самостоятельного решения 4 3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 4 3 Основные сведения 4 3 Построение общего решения ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 5 3 Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных 6 33 Задачи для самостоятельного решения 7 4 Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами 7 4 Решение ОЛДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами 7 4 Метод неопределенных коэффициентов решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида 9 43 Задачи для самостоятельного решения 3 Контрольные вопросы 3 Литература 4 Содержание 5


В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n ) ( n) F (, y,,, y, y ) = 0, () где

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y +, ) Найти решение ДУ ( ) удовлетворяющее начальным условиям,. Данное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x ; интегрируем его методом понижения порядка. Суть метода заключается в

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

2. ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дисциплина состоит из 2 х учебных модулей и экзамена.

2. ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дисциплина состоит из 2 х учебных модулей и экзамена. 2. ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дисциплина состоит из 2 х учебных модулей и экзамена. Модуль 1 Таблица 5.1 Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы Сроки проведения выполнения, недели

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 6 часов. Во втором семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее