МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)"

Транскрипт

1 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов А Г, г Брянск, Прокофьев АА, г Москва, СОДЕРЖАНИЕ 6 wwwlelrinnrodru стр Введение Алгебраические методы решения Задачи вида b Задачи вида b c Сведение задачи к задаче вида b или b c 8 задачи, содержащие целые рациональные выражения высшей степени 8 задачи, содержащие дробно-рациональные выражения 9 задачи, содержащие выражения с модулями задачи, содержащие иррациональные выражения задачи, содержащие показательные выражения 5 задачи, содержащие логарифмические выражения 6 задачи, содержащие тригонометрические выражения 8 Метод замены 9 введение одной новой переменной 9 введение двух новых переменных тригонометрическая подстановка 5 Выявление необходимых условий выбор подходящего значения параметра или переменной инвариантность Функциональные методы решения Использование непрерывности функции метод интервалов метод рационализации Использование ограниченности функции метод оценки неотрицательность функции наибольшее и наименьшее значение функции Использование монотонности функции 6 монотонность функции на множестве R 6 монотонность функции на промежутке 7 функции разной монотонности 7 задачи вида f ( f ( )) 8 Использование производной функции 9 Функционально-графические методы решения Координатная плоскость хоу задачи вида f ( ) задачи вида f ( ) g( ) задачи вида f ( ) g( ) задачи вида f ( ) ( ) y 5 задачи вида f ( ) g( ) 6 задачи общего вида f (, ) 6 задачи общего вида f ( ; ) g( ; ) 7 Координатные плоскости аох или хоа 8 задачи вида () или () 8 задачи вида f (, ) 5 Геометрические методы решения 5 Упражнения 6 Ответы и указания 7 Список и источники литературы 78

2 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений 6 wwwlelrinnrodru Введение Среди множества задач с параметрами выделим один класс задач, связанный с количеством решений уравнения (неравенства), системы уравнений (неравенств) Задачи такого вида обычно формулируют в следующем виде: найти все значения параметра (параметров), при которых уравнение (неравенство, система) имеет конечное множество решений (ровно одно, ровно два и тд), бесконечное множество решений (интервал, отрезок, луч, прямая, часть плоскости область), не имеет решений В пособии рассмотрены основные подходы к решению задач с параметрами: алгебраический, функциональный, функционально-графический и геометрический Алгебраические методы В данном разделе задачи (уравнения, неравенства, системы) классифицированы по их виду Здесь рассмотрены такие методы: метод сведения задачи к равносильной, перебор различных значений параметра, замена переменной, выявление необходимых и достаточных условий или необходимых условий Задачи вида b Рассмотрим задачи вида b, где символ заменяет один из знаков =, >, <,, и системы линейных уравнений уравнения Уравнение вида b с переменной имеет единственное решение при ; имеет бесконечное множество решений при, b ; не имеет решений при, b Пример (МГУ, ) При каких значениях параметра b уравнение 9 b ( не имеет корней? ) b b b ( b Решение Данное уравнение является линейным относительно неизвестной х ) ( b 9) b ( ) b ( ) b Последнее уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда b b 9 ( ) b ( ) b Первое уравнение этой системы имеет два корня: b, b Подстановка показывает, что второму условию удовлетворяет только b неравенства Ответ: b Неравенства вида b с переменной имеет решением промежуток b ; при ; промежуток b ; при ; промежуток ( ; ) при, b ; не имеет решений при, b Пример При каких значениях параметра неравенство 6 имеет решением все действительные числа? Решение Приведем данное неравенство к виду ( ) ( ) и рассмотрим несколько случаев Пусть, тогда получаем При имеем Если, те, то числовое неравенство выполняется при всех значениях х Ответ: системы уравнений Пусть коэффициенты уравнений системы by c, b y c отличны от нуля Тогда:

3 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ) чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно выполнения условия b ; () b ) чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно выполнения условия b с ; () b с ) чтобы система не имела решений, необходимо и достаточно выполнения условия 6 wwwlelrinnrodru b с () b с Случай, когда коэффициенты равны нулю, нужно рассматривать отдельно Пример Исследовать систему линейных уравнений ( ) 7y,5, ( ) y Решение Определим значения параметра, при которых Это 7 возможно, если 56 ( ), те при 8 или 7 Если 8 или 7, то решений 7 нет, так как При 8 и 7, умножая первое уравнение системы на, а второе на, и складывая левые и правые части уравнений, из полученного линейного ( 5) уравнения найдем y ( 8)( 7) Аналогично действуя, найдем 9( 7) Следовательно, система при 8 и 7 имеет единст- ( 8)( 7) венное решение Ответ Если 7 или 8, то решений нет; если 7 и 8, то 9( 7) ( 5) ; ( 8)( 7) ( 8)( 7) В следующей задаче используем прием обратной задачи Пусть A A A множество допустимых значений параметра а, входящего в уравнение (неравенство, систему), причем A множество значений параметра, при которых задача имеет решение, A множество значений параметра, при которых задача не имеет решение Если найдены множества А и A, то легко определить множество A Пример Определить, при каких значениях параметра уравнения y и y имеют хотя бы одно общее решение Решение Допустимые значения параметра а составляют множество всех действительных чисел Решим обратную задачу Найдем значения параметра, при y, которых система уравнений y не имеет решений Это возможно (см условие ()), если (*) Из равенства находим или (удовлетворяют условию ) Для этих значений неравенство в (*) также выполняется Следовательно, исходная задача выполняется при всех значениях а, отличных от и Ответ Задачи вида b c Рассмотрим задачи вида b c, где символ заменяет один из знаков =, >, <,, и системы уравнений (неравенств) Функция y b c ( ) задает параболу с вершиной в точке С в; y ) ( в Функция y ( m) n ( ) задает параболу с вершиной в точке C ( m; n) Пусть f ( ) b c ( )

4 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Квадратное уравнение b c ( ) () не имеет решений тогда и только тогда, когда D Квадратное уравнение () имеет: а) два различных корня тогда и только тогда, когда D ; б) два (может быть кратных) корня тогда и только тогда, когда D ; в) два положительных корня тогда и только тогда, когда b c, D, c,, b или D, f (), в ; г) два отрицательных корня тогда и только тогда, когда b c, D, c,, b или D, f (), в ; д) корни разных знаков тогда и только тогда, когда c c f () ; е) корень, равный нулю тогда и только тогда, когда 6 wwwlelrinnrodru с ; ж) два разных корня, M тогда и только тогда, когда D, f ( M ), в M ; з) два разных корня, M тогда и только тогда, когда D, f ( M ), в M ; и) два корня M тогда и только тогда, когда f ( M ) ; к) корни m M тогда и только тогда, когда f ( m), f ( M ) ; л) корни m M тогда и только тогда, когда f ( m), f ( M ) ; м) корни m M тогда и только тогда, когда f ( m), f ( M ) ; н) один корень внутри интервала ( m, M ), а другой вне этого интервала тогда и только тогда, когда f ( m) f ( M ) уравнения Уравнение вида b c с переменной при приводится к уравнению степени не выше первой; при является квадратным уравнением Пример 5 (МГУ, 98) При каких значениях параметра уравнение ( ) имеет два действительных различных корня? Решение Если, те, то получаем уравнение, которое имеет один корень При получаем квадратное уравнение, которое имеет два действительных различных корня тогда и только

5 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений тогда, когда его дискриминант положителен: ( )( ) D Решая это неравенство при условии, получаем ответ Ответ: ; ; 6 6 Пример 6 (МГУ, ) При каких значениях параметра уравнение не имеет решений? 5 Решение Квадратное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицателен: 9 D 7 Решая это неравенство методом интервалов, получаем ответ 5 Замечание При 5 дробь не определена, поэтому и уравнение не определено, и в этом случае не имеет смысла говорить о решениях уравнения Ответ: 9 ( ; 5) ; 7 Пример 7 (МГУ, 7) Найти все значения параметра а, при каждом из которых среди корней уравнения ( ) имеется ровно один отрицательный Решение Пусть, тогда получаем линейное уравнение, которое имеет единственный отрицательный корень При получаем квадратное уравнение, дискриминант которого равен D ( ) ( ) 6 а) Уравнение имеет ровно один корень, те D Отсюда Так как корень, то остается б) Уравнение имеет корни разных знаков В этом случае свободный член приведенного уравнения отрицателен (дискриминант будет положительным): в) Один из корней равен нулю, те Квадратное уравне- ние принимает вид, и имеет корни, Значение не удовлетворяет условию задачи Ответ: ; Пример 8 (МИОО, ) Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение 5 5 ( )( ) имеет два различных отрицательных корня Решение Используя теорему Виета, запишем условия существования двух различных отрицательных корней для квадратного уравнения:,, D Рассмотрим первые два неравенства ( )( ), 5 5 ; ( )( ), ( 5) ( 5) ; ( )( ), ; Теперь рассмотрим дискриминант с учетом того, что 6 wwwlelrinnrodru 5

6 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений 5 5 ( )( ), ( )( ), 5, 69, Учитывая условие, получаем Ответ: ( ; ) 6 wwwlelrinnrodru неравенства Пример 9 (МГУ, 5) При каких целых неравенство log log верно для любого значения? Решение Квадратный трехчлен относительно отрицателен при всех тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицателен Обозначим log b, тогда D b b, те b Тогда log 8 log log Отсюда 8 Выбирая целые значения из промежутка ( ; 8), получаем ответ Ответ: ; ; ; ; 5; 6; 7 В следующем примере используем прием, при котором параметр рассматривают в качестве отдельной переменной Пример (МГУ, 99) Найти все значения, для каждого из которых неравенство ( ) ( ) 6 5 выполняется хотя бы при одном значении [; ] Решение Перепишем данное неравенство так: f ( ) ( ) ( 6 5) Левая часть его квадратный трехчлен относительно а Для того чтобы квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при принимал положитель- ные значения хотя бы в одной точке отрезка [ ;], необходимо и достаточно, чтобы он был положителен хотя бы в одном из концов этого отрезка Получаем совокупность неравенств для : f ( ), f () ( )( ), ( )( ) Решения неравенств совокупности объединяем для ответа Ответ: ( ; ) (;) (; ) системы уравнений (неравенств) Пример (МИОО, ) Найти все значения, при каждом из которых система y, y имеет ровно два решения Решение Исключая параметр из системы, получаем уравнение ( y )( y ) Отсюда y или y Пусть y, тогда из системы имеем квадратное уравнение, дискриминант которого равен D Если y, то из системы имеем квадратное уравнение, которое имеет дискриминант D Рассмотрим разные случаи для дискриминантов D, D, D,, Система неравенств не имеет D решений D,, Система не D имеет решений D,, D При первое уравнение имеет вид 6

7 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Числа и его корни Второе уравнение имеет вид и число его единственный корень D,, 5 Система не D имеет решений D, 6 В этом случае выше приведенные квадратные уравнения не имеют D общих корней (докажите, приравнивая корни) Тогда исходная система имеет четыре различных решения Случай, те, приводит к значениям y и Тогда получаем одно уравнение, которое имеет корни и Ответ: Пример (МГУ, 988) Найти все значения параметра, при каждом из которых система уравнений 6 wwwlelrinnrodru y y, y y имеет единственное решение Решение Второе уравнение исходной системы можно переписать в виде y ( ) ( ), откуда следует, что эта система ни при каком значении параметра а не имеет решений с условием Поэтому исходная система уравнений равносильна системе ( ) y y ;, ( ) ( 9) 8, y Найдем все значения параметра а, при которых первое уравнение последней системы имеет решение Для таких значений а должно выполняться равенство ( )( ) ( 9)( ) 8, откуда находим, что,5 При, 5 первое уравнение системы перепишется в виде 8 Это уравнение имеет два корня и Второму из них соответствует значение y,5 Для соответствующего значения у не существует Итак, при, 5 исходная система имеет единственное решение ;, и это значение а отвечает условию задачи При первое уравнение системы перепишется в виде 7 8 Оно 8 имеет единственное решение, соответствующее значение у равно 7 6 Итак, при исходная система уравнений имеет единственное решение 8 ;, и это значение а отвечает условию задачи 7 6 При первое уравнение системы есть квадратное уравнение с дискриминантом D ( 9) 8( ) 8 7 Если D, то первое уравнение системы, а значит, и исходная система, не имеют решений Если D и, 5, то первое уравнение системы имеет два решения, отличных от ( ) Следовательно, система имеет два решения Эти значения а не удовлетворяют условию задачи 7

8 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Равенство D 8 7 вы- 7 полняется для Оба эти значения отличны от (,5) Следова- 7 тельно, при первое уравнение системы, а вместе с ним и система, имеют по одному решению 7 Ответ: ; ; Пример (МГУ, 967) Найти все значения а, при каждом из которых система ( )( ), не имеет решений Решение Если, то второе неравенство системы не выполняется, и система не имеет решений Пусть В этом случае данная система равносильна следующей системе: ( ), Согласно условию задачи для любого должно выполняться неравенство: f ( ) ( ) Решением этого неравенства является промежуток ; или ; при Но найдутся числа, которые больше всех чисел, а,, и для них выполняется неравенство f ( ) Пусть В этом случае данная система равносильна следующей системе: 6 wwwlelrinnrodru ( ), Согласно условию задачи для любого должно выполняться неравенство: f ( ) ( ) Решением этого неравенства является объединение промежутков ( ; ) ; или ; ; Неравенство f ( ) будет выполняться при всех значениях при условиях,, Получаем окончательный ответ Ответ: ( ;] Сведение задачи к задаче вида b или b c Линейный двучлен и в особенности квадратный трехчлен занимают центральное место в задачах с параметрами Это связано с тем, что разные задачи тем или иным способом (замена переменной, разложение на множители и тд) можно привести к исследованию линейного двучлена или квадратного трехчлена задачи, содержащие целые рациональные выражениями высшей степени Пример (МГУ, ) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) ( 5) ( ) 8 8

9 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений имеет: а) единственное решение; б) ровно два различных решения Решение Обозначим y f ( ) ( ) тогда уравнение принимает вид g ( y) y ( 5) y, 8 Квадратный трехчлен f () ( )( ) принимает в одной точке значение f ( ), а остальные свои значения (большие ) по два раза Поэтому уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда: g( ), ) y в 6 ( 5) 8, 5, а ровно два корня в следующих случаях: D, ) y y y в ( 5) ( 8 ), 5 ; ) y y g ( ), Ответ: а) ; б) ( ; ) {} ( ; ) Пример 5 (МГУ, 8) Найти все значения параметра, при которых уравнение ( ) ( ) ( ) на промежутке ( ; ) имеет не менее двух корней Решение Приведем уравнение к виду ( ) ( ) y ( ) y, где функция y f ( ) возрастает на промежутке ( ; ) от до f ( ) Поэтому исходное уравнении имеет не менее двух корней на промежутке ( ; ) тогда и только тогда, когда полученное уравнение имеет два корня, принадлежащие интервалу (;), те когда ( ) ( ), ( )( ),, Ответ: задачи, содержащие дробнорациональные выражения Пример 6 Определить количество различных решений уравнения 5 с параметром b b Решение Данное уравнение равносильно системе 5, b Из условия 5 b получаем, что число 5 является корнем исходного уравнения, если b 5 При b 5 нет корней Ответ: при b 5 единственный корень, при b 5 нет корней Пример 7 При каких значениях параметра уравнение ( ) 6 5 имеет единственное решение? 6 wwwlelrinnrodru 9

10 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Решение При условии и 5 имеем и (обратная теорема Виета) Для выполнения условия задачи необходимо рассмотреть пять случаев, ) 5,, ) 5, Нет решений 5, ) 5,, ) 5, Нет решений 5, 5) 5, Нет решений Ответ: или Пример 8 (МГУ, ) Найти все значения параметра b, при каждом из которых отрезок [ ; ] целиком содержится среди решений неравенства b b Решение Неравенство перепишем так: b b или f ( ) ( b) b Воспользуемся условиями расположения корней квадратного трехчлена: оба корня меньше числа ( ) или оба корня больше числа ( ), те выполняются условия f ( ), f ( ), или в в, где абсцисса вершины параболы b b 7b в Рассмотрим первую систему неравенств 6 wwwlelrinnrodru b ( b), 7b ( b)(6 b), b 6 b 7 Для второй системы неравенств имеем b ( b), 7b ( b)( b), b b 7 Объединяем полученные решения и записываем ответ Ответ: ( ; 6) ; задачи, содержащие выражения с модулями Пример 9 Определить количество различных решений уравнения в зависимости от параметра а Решение По свойству модуля имеем Поэтому при исходное уравнение корней не имеет Пусть, тогда уравнение имеет один корень Если, то из уравнения получаем два различных корня или Ответ: если, то нет решений; если одно решение; при два Пример Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение? Решение Рассмотрим два случая Пусть, те Тогда данное уравнение принимает вид:, ( ) Последнее

11 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений уравнение при решений не имеет, а при имеет единственный корень Найдем те значения параметра а, при которых для корня выполняется условие :,5, Следовательно, в первом случае исходное уравнение имеет одно решение при всех значениях ( ;,5] (; ) и не имеет решений при (,5;] Если, то будем иметь уравнение или ( ) При последнее уравнение не имеет корней, а при единственное решение, которое должно удовлетворять условию :,5 Таким образом, во втором случае заданное уравнение при всех значениях (;,5) имеет одно решение, а при ( ; ] [,5; ) решений не имеет Сравнивая результаты (см рис ), найденные в двух случаях, получаем ответ Ответ: если (,5;], то нет решений; если ( ; ] {,5} (; ) одно решение; при (;,5) два Пример При каких значениях b уравнение Одно решение Одно решение Рис (b ) b имеет два различных решения? Одно решение b Решение Пусть t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях b квадратное уравнение t (b ) t b b имеет один положительный корень? По теореме, обратной теореме Виета найдем корни квадратного уравнения t b, t b Возможны три случая t b ) b t b Нет реше- t ) t ний ) t t t b b b b b b Ответ: b ; b Замечание Другое решение данного примера смотрите в разделе «Функционально-графические методы решения» Пример (МИОО, ) Найти все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется при всех Решение Приведем неравенство к виду Так как квадратный трехчлен принимает положительные значения при всех значениях, то приходим к двойному неравенству ( ) затем к системе ( ( ), ( ) ), 6 wwwlelrinnrodru

12 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Для выполнения неравенств при всех значениях необходимо и достаточно поставить условия для дискриминанта D D ( ) ( ) 6, 6 8 8, 6 wwwlelrinnrodru 5 8, 5, 7 Ответ: 5 Пример (МГУ, 99) Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство справедливо для всех действительных Решение При неравенство равносильно неравенству ( )( ), справедливому при всех тогда и только тогда, когда, те при Аналогично, при приходим к неравенству ( )( ), справедливому при всех при, те при Ответ: ; Пример (МГУ, 995) Найти все значения параметра а, при которых неравенство 6 9 имеет не более одного решения Решение Преобразуем данное неравенство 6 9, ( ) Неравенство имеет не больше одного решения лишь при (сделайте графическую иллюстрацию для функций y и y ), то есть при Ответ: Пример 5 В зависимости от значений параметра определить количество различных решений системы уравнений ( y 8 )( y ), y 8 Решение Рассмотрим первое уравнение системы y 8, ( y 8 )( y ) y Следовательно, исходная система равносильна совокупности двух систем y 8, (I) y 8 и (II) y, y 8 Решим систему (I) Подставляя y 8 во второе уравнение этой сис- темы, получим 8 8 или ( ), те система (I) при всех значениях параметра имеет решение, y 8 Решим систему (II) Она в свою очередь также равносильна совокупности двух систем (IIа) y,, y 8 и (IIб) Для системы (IIа) подставляя уравнение y 8 ( ) 8 y,, y 8, получим y в При это уравнение имеет вид 9, те решений нет При уравнение имеет одно решение Проверяя выполне- 8 ние условия имеем 8 Следовательно, система (IIа) при 8 имеет одно решение, 8 y

13 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Аналогично решая систему (IIб), получим, что при она имеет одно 8 8 решение, y Заметим, что решения систем (IIа) и (IIб) различны при, так как уравнение 8 8 не имеет корней Рассмотрим случаи совпадения решений систем (I) и (II) Из уравнения 8 при, получаем 8 Отсюда С учетом условия остается Из уравнения 8 при получаем 8 Отсюда С учетом условия, остается В итоге получаем, что исходная система уравнений имеет: при одно решение ( ; 8) при или два решения ( ; 8) или 8 8 ; ; при два решения ( ; 8) или 8 8 ; ; при, и три решения ( ; 8), 8 8 ;, 8 8 ; Ответ: при одно решение; при, и два решения; при, и три решения Замечание Другое решение данного примера смотрите в разделе «Функционально-графические методы решения» задачи, содержащие иррациональные выражения Пример 6 Определить количество различных решений уравнения ( ) q с параметром q Решение Из данного уравнения получаем два корня или q Второй корень удовлетворяет условию q Для первого корня имеем q или q Значит, при q исходное уравнение имеет два различных решения q или, при q один корень, при q один корень q Ответ: если q, то два различных корня; если q, то один корень Пример 7 При каких значениях b уравнение b имеет единственное решение? Решение Имеем b 6 9, b 5 9 b, Квадратное уравнение 5 9 b имеет дискриминант D b D при b,75 В этом случае квадратное уравнение 5 6,5 имеет один корень, 5, который удовлетворяет условию Пусть D, те b,75 Тогда квадратное уравнение имеет два действительных различных корня Чтобы заданное уравнение имело один корень, необходимо рассмотреть два случая а) Один из корней, а другой Подставим значение в квадратное уравнение, получим b Соответствующее уравнение 5 6 имеет корни, 6 wwwlelrinnrodru

14 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Для первого корня не выполняется условие б) В случае, когда, значение квадратного трехчлена f ( ) 5 9 b при отрицательно, так как f ( ) на промежутке (, ) Получаем f ( ) b, b Ответ: b,75; b Пример 8 При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Решение Пусть t, где t Отсюда t Уравнение t имеет один корень, если t Получаем квадратное уравнение t t, дискриминант которого равен D 5 Если D, те, 5, то квад- ратное уравнение t t,5 или ( t,5) имеет единственный корень t,5 Следовательно, исходное уравнение имеет один корень при,5 Если D, те, 5, то квадратное уравнение имеет два корня а) Корни будут разных знаков при условии t t, те из них только один положительный корень Решая систему неравенств получим ус-,5, ловие, при котором исходное уравнение имеет один корень б) Хотя бы один из корней равен нулю, в этом случае, Квадратное уравнение имеет два неотрицательных корня t и t Значит, исходное уравнение также имеет два корня Ответ:,5; Пример 9 При каких уравнение 6 wwwlelrinnrodru имеет единственное решение? Решение Пусть t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное уравнение t t имеет один неотрицательный корень? Возможны три случая Если квадратное уравнение имеет один корень, то он будет равен t Этот корень не удовлетворяет условию задачи Корни разных знаков Необходимое и достаточное условие: t t 5,5 ) Один из корней равен нулю, другой отрицательный В этом случае необходимо выполнение условия Отсюда или 5,5 Для этих значений один корень равен нулю, другой равен (,5) Замечание В данной задаче не потребовалось рассматривать дискриминант Ответ: ;5,5 Пример (МГУ, ) При каких значениях неравенство ( ) имеет единственное решение? Решение Так как данное неравенство определено при, то оно имеет единственное решение ( ) тогда и только тогда, когда наименьший корень квадратного трехчлена ( ) не меньше Квадратный трехчлен имеет дискриминант D ( ) и корни, Взаимное расположение корней приводит к совокупности систем: и,,,,

15 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Объединяем решения систем и получаем ответ Ответ: ; задачи, содержащие показательные выражения Пример Определить количество различных решений уравнения t с параметром t Решение Если t, то есть t,5, то данное уравнение не имеет корней При t, 5 получаем единственный корень log (t ) Ответ: при t, 5 нет корней; при t, 5 один корень Пример При каких значениях параметра а уравнение 6 wwwlelrinnrodru 5 имеет единственное решение? Решение Пусть t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное уравнение t (5 ) t имеет один положительный корень? По теореме, обратной теореме Виета найдем корни квадратного уравнения t, t Возможны следующие случаи ) t t Нет реше- t ) t ний ) t t t ) Один из корней равен нулю, другой положительный В этом случае tt t t 5 Ответ: ; Пример (МАДИ, ) Найти все значения параметра а, при которых неравенство верно при всех значениях х Решение Пусть t, где t Получим неравенство t 5( ) t ( ) степени не выше второй Если а, то имеем неравенство 6 t, которое выполняется не при всех 5 положительных значениях t При а имеем квадратное неравенство, которое должно выполняться при всех положительных значениях t Найдем дискриминант D 5( ) 8 ( ) ( )(7 75) и абсциссу 5( ) вершины tв параболы f ( t) t 5( ) t ( ) Рассмотрим несколько случаев расположения параболы относительно оси t Парабола, ветви которой направлены вверх, расположена выше оси t,, D ( )(7 75) 75 7 В этом случае f ( t) при всех значениях t, в частности, при t Парабола, ветви которой направлены вверх, касается оси t в точках промежутка (;], D, t в, 75 ;, 7 5( ) Парабола, ветви которой направлены вверх, пересекает ось t в двух различных точках t и t, причем t t 5

16 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений, 75 D, 7 tв,, f () 6 wwwlelrinnrodru Нет решений Случай для а рассмотрите самостоятельно 75 Ответ: ; 7 задачи, содержащие логарифмические выражения Пример Определить количество различных решений уравнения log ( m ), где m параметр Решение Данное уравнение равносильно уравнению m 9 При m получаем ложное равенство 9 ; при 9 m единственный корень m Ответ: при m нет корней; при m один корень Пример 5 При каких значениях а уравнение log log имеет четыре различных корня? Решение Пусть log t, где t Тогда задачу можно переформулировать следующим образом: при каких значениях а квадратное уравнение t t имеет два различных положительных корня? Возможен один случай D tt t t 8 8,5 Ответ: ; 8 Пример 6 (МФТИ, ) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение log 5 5 log 5 имеет единственное решение Решение Обозначим log 5 q, 5 t Тогда получаем уравнение t t q Переформулируем задачу: найдите все значения параметра, при которых среди корней уравнения t t q имеет- ся ровно один положительный корень Это возможно в двух случаях Если D q, те q,, t 5 Если D q и квадратное уравнение имеет один положительный корень При q это уравнение имеет два различных корня, причем при q оба корня положительны, так как их сумма равна, а произведение равно q Если же q, то только один корень положителен Следовательно, log 5, те Ответ: ; ; 5 Пример 7 (МГУ, ) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( )( 6) lg(5 ) lg( ) имеет единственное решение Решение Имеем ( )( 6) lg(5 ) lg( ), 6, 5,, 5 5, 8 Из неравенства 5 следует, что и, значит, Рассмотрим два случая 6

17 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений корень уравнения при выполнении условий: 5,, корень уравнения при выполнении условий: 5,, 5 8 Поэтому данное уравнение имеет единственный корень, 5 5 либо при, 8 либо при, либо при Ответ: ; ; ; Пример 8 Найти все значения параметра а, при которых неравенство log 6 wwwlelrinnrodru 5 выполняется для всех значений? Решение Рассмотрим два случая,, 5 5, 5 5,, Последнее неравенство системы не выполняется 5 5 при всех значениях Ответ: ( ;5) Пример 9 Найти все значения параметра, при которых система уравнений log ( y) log (7 8 y), ( ) y 6 имеет ровно два решения Решение Рассмотрим первое уравнение системы log ( y) log (7 8 y) log (8 9 9y) log (7 8 y) 8 9 9y 7 8 y, y, y y Подставляя y во второе уравнение исходной системы, получим ( ) 5 (*) Уравнение (*) имеет решение, если 5, те при 5 При 5, те при 5, получаем 5 Тогда y 6 В этом случае y, те исходная система имеет решение и при том единственное При 5, получаем два решения уравнения (*): 5 и 5 Им соответствуют значения y 5 и y 5 Исходная система будет иметь ровно два решения, если обе найденные пары (, y ) и (, y ) будут удовлетворять y Для пары, ) получаем: ( y 5 5, 5,, ( ) ( 5),5, 5,,5, 6 5,5,,5,

18 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Для пары, ) получаем: ( y wwwlelrinnrodru, 5, Следовательно, обе пары будут являться решениями исходной системы при 7 таких, что 5 7 Ответ: 5 задачи, содержащие тригонометрические выражения Пример Найти все значения параметра b, при каждом из которых уравнение cos имеет решение sin b Решение Преобразуем данное уравнение к виду где ( ) (cos cos sin sin ) b, rccos cos( ) b, b Уравнение cos( ) имеет решения тогда и только тогда, когда b, то есть при b Ответ: b Пример (МГУ, 989) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 6 9 sin cos 8 ( sin ) не имеет решений Решение Введя обозначение sin t, исходное уравнение перепишем в виде ( ) t 7 6 (*) Теперь задача может быть переформулирована так: найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (*) не имеет корней, принадлежащих промежутку t При уравнение (*) принимает вид 6, и, следовательно, при исходное уравнение не имеет решений При уравнение (*) может быть переписано в виде t 7 6, ( ) откуда искомые значения параметра а есть решения совокупности неравенств и (**) ( ) ( ) Первое из этих неравенств равносильно неравенству ( ) Множество его решений есть Так как 7 6 ( )( 6) и на множестве имеем ( ), то множество решений второго неравенства совокупности (**) при условии есть и 6 Объединяя найденные значения а, получаем ответ Ответ: ; 6 Пример (МИОО, ) Найти все значения, при каждом из которых уравнение cos имеет ровно восемь различных решений Решение Преобразуем уравнение n, n Z, ( n), n, n Z, (n), n,,, Каждому положительному значению подкоренного выражения соответствуют ровно два значения неизвестной, нулево- 8

19 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений му одно, а отрицательному ни одного Поэтому для того чтобы решений было ровно 8, необходимо и достаточно, чтобы подкоренное выражение было положительным при n,,, и отрицательным при n,5,6, Таким образом, получим систему неравенств ( ) ( ) 6 wwwlelrinnrodru, ; 6, 8 Отсюда получаем значения 8; 6 6;8 Замечание Для решения задачи мож- но к уравнению n, n Z, применить графическую иллюстрацию (см рис ) Функция y задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и переменным радиусом Функция y n, n Z, задает семейство горизонтальных прямых Необходимо указать границы для радиуса полуокружности, обеспечивая нужное количество точек их пересечения y=8 y=6 y= y= y O Рис Ответ: ; 6 6; 8 Метод замены y= 8 Выше были рассмотрены задачи, в которых использовали метод введения новой переменной В таких случаях требуется исследовать область изменения новой переменной, и задача с новой переменной может быть переформулирована В данном разделе еще раз подробно остановимся на методе замены переменной (переменных) введение одной новой переменной Пример (ЕГЭ, С5) Найти все значения, при каждом из которых уравнение 6 (8 5) 6 6 имеет единственное решение Решение (-й способ) Пусть 6 t, где t Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях а квадратное уравнение t (8 5) t 6 имеет один положительный корень? Значит, другой корень должен быть неположительным Используя теорему Виета, имеем два случая ( t и t корни квадратного уравнения): ) t t 6 7 tt 6, ) t t Отсюда Замечание В рассмотренных случаях нет необходимости в исследовании дискриминанта на наличие действительных корней уравнения В первом случае свободный член c t t отрицательный, а значит, дискриминант положительный Во втором случае свободный член равен нулю, поэтому уравнение имеет корни Решение (-й способ) Пусть 6 t, где t Тогда исходное уравнение примет вид t (8 5) t 6 Так как дискриминант D полученного уравнения положительный D (8 5) (6 ) 8, то уравнение имеет два различных корня t или t 7, причем при всех значениях верно неравенство 7 9

20 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Исходное уравнение будет иметь единственное решение, если одно из чисел и 7 будет положительным, а другое неположительным Отсюда следует 7, 6 wwwlelrinnrodru 7 Приведем функционально-графическое решение уравнения Решение (-й способ) Пусть 6 t, тогда исходное уравнение примет вид t (8 5) t 6 Вычислим дискриминант квадратного уравнения D (8 5) (6 ) 8 и найдем его корни t или t 7 Возвратимся к переменной х: 6 или 6 7 Отсюда получаем и или и Построим графики полученных функций (см рис ) Рассмотрим прямые, параллельные оси Рис и пересекающие построенные графики Единственная точка пересечения получается при условии 7 7 Ответ введение двух новых переменных Пример Найти все значения параметра, при каждом из которых система уравнений y y, 9 9y 6 8y 7 7 имеет ровно два различных решения Решение Группируя в первом уравнении системы члены, получим (y y) ( ) ( y )( ) Группируя члены и выделяя полные квадраты во втором уравнении, имеем ( ) 9( y ) 7 Тогда система примет вид ( y )( ), ( ) 9( y ) 7 Введем новые переменные u и v y Тогда получаем систему uv, u 9v 7 Умножая первое уравнение этой системы на ( 6 ) и складывая со вторым уравнением, получим уравнение ( u v) () Если, то уравнение (), а значит и исходная система не имеют решения Если, что выполняется при и, то уравнение (), а значит и исходная система имеют решения Из уравнения () при этих значениях параметра получаем u v Учитывая первое уравнение системы, имеем v, те v и v Отсюда u и u Следовательно, исходная система будет иметь два различных решения (проверьте самостоятельно) Если, то уравнение () равносильно совокупности

21 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений u v, u v Учитывая первое уравнение системы, имеем: если u v, то v v (*); если u v, то v v (**) Каждое из уравнений (*) и (**) будет иметь два решения Следовательно, исходная система будет иметь более двух решений 6 wwwlelrinnrodru Ответ и тригонометрическая подстановка Пример 5 Исследовать количество различных решений уравнения в зависимости от значений параметра а Решение Так как основания для показательных выражений положительны, то решим систему неравенств Пусть b, тогда име- ем,, tgb, где tg b ; tgb sin b tg b cos b tgb sin b Исходное уравнение примет следующий вид cosb или sin b sin b cos b sin b (*) Исследуем полученное уравнение, учитывая ограничения cos b, sin b при b Если, то уравнение (*) выполняется Пусть, тогда в силу монотонности показательной функции получаем (sin b) (sin b) и (cosb) (cosb) Следовательно, sin b cos b Аналогично при получаем неравенство sin b cos b Отсюда по- лучаем ответ Ответ: если (;), то один корень; если ( ;] [; ), то нет корней 5 Выявление необходимых условий Задачи, в которых поиск значений параметра или переменной затруднителен, выделяют необходимые условия для получения множества этих значенийпретендентов, затем из них отбирают значения в ответ, используя достаточные условия Выбор подходящего значения параметра или переменной В некоторых задачах условие выполняется при всех значениях переменной а или из некоторого множества Подставляя в условие удобное значение одной переменной, находят множество необходимых значений другой переменной Пример 6 Найти все значения, удовлетворяющие уравнению log ( ) log 6 (5 7 ) при любом действительном значении а Решение Если данное уравнение имеет решение при любом значении параметра а, то оно имеет решение и при Подставим значение в исходное уравнение, получим log ( ) log 6 (5 7 ) (*) Найдем решения полученного уравнения, переходя к уравнениям-следствиям (5 7 ) 6 ;

22 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений 6 wwwlelrinnrodru 5 7 ; 6 Отсюда корни или При уравнение (*) не определено Значение является корнем этого уравнения: log 5 5 log (верно) Таким образом, необходимо, чтобы значение являлось корнем исходного уравнения для всех значений а Проверим достаточность Подставим в данное уравнение, получим равенство log ( ), которое выполняется при всех R, так как при всех значениях а Ответ: Пример 7 При каких значениях параметра а неравенство log ( ) выполняется для любого значения? Решение Так как данное неравенство должно выполняться при любых значениях, то оно должно иметь место и при Подставляя в исходное неравенство, приходим к неравенству log, которое равносильно системе,, Найдем достаточные условия Для условия имеем Тогда исходное неравенство равносильно системе ( ), ( ), ( ), ( ), Чтобы неравенство последней системы выполнялось при всех значениях, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена был отрицательным D ( )( ) Для удобства обозначим получаем неравенство t, тогда ( t )( t) или t 5t 5, имеющее решения t Отсюда находим достаточные условия , Ответ: Инвариантность * Инварианты (от лат invrins, родительный падеж invrintis неизменяющийся), числа, алгебраические выражения и т п, связанные с каким-либо математическим объектом и остающиеся неизменными при определенных преобразованиях этого объекта или системы отсчёта, в которой описывается объект Ниже будут рассмотрены задачи, имеющие характерную особенность: их условия не изменяются либо при замене знака одной или нескольких переменных на противоположный («симметрия относительно знака»), либо при перестановке нескольких переменных («симметрия относительно перестановки переменных»), либо при замене переменной на некоторое выражение с переменной При решении задач указанного вида используется следующий алгоритм: во-первых, выполняется проверка на инвариантность; во-вторых, из проверки выполнения необходимых условий находятся допустимые значения параметра (при «симметрии относительно знака» переменной подставляется ее нулевое значение; при «симметрии относительно перестановки» переменных все переменные обозначают одной буквой);

23 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений в-третьих, проверяется достаточность условий, те для найденных допустимых значений параметра выполняется проверка того, что при полученных значениях параметра уравнение (система и тд) действительно имеет требуемое число решений Замечание Последний этап заключается либо в доказательстве существования требуемого числа решений, либо в его опровержении Приведенный алгоритм является общим и для решения уравнений и неравенств, а также систем уравнений и неравенств с одним или несколькими параметрами преобразование ( х) или у ( у) Выражения, инвариантные относительно преобразования ( х) или у ( у), называют симметричными относительно знака переменной, или переменной у В этом случае графики выражений симметричны относительно оси у или оси соответственно При решении уравнений (неравенств, систем уравнений или неравенств) используют следующие утверждения Утверждение Если выражение f () инвариантно относительно преобразования ( х) и уравнение f ( ) имеет корень, то число также корень этого уравнения Утверждение Если выражение F ( ; y) инвариантно относительно преобразования ( х) и уравнение F ( ; y) имеет решение х ; ), то и 6 wwwlelrinnrodru ( y пара чисел ( х ; ) также решение этого уравнения Утверждение Если выражение F ( ; y) инвариантно относительно преобразования у ( у) и уравнение F ( ; y) имеет решение х ; ) ( y пара чисел ( х; y) также решение этого уравнения Для четных функций y f () выражение f () симметрично относительно знака переменной Как известно, график четной функции симметричен относительно прямой Если для выражения f () выполняется равенство f ( ) f ( ), те график функции y f () симметричен относительно прямой, то удобнее сделать замену t, чтобы рассматривать четную функцию f (t) При исследовании на «симметрию относительно знака» в выражении F (, y) для пары (, y) проверяются подстановкой в него пары (, y), (, y), (, y) Если при подстановке пар (, y) и (, y) выражение не меняется, то говорят, что наблюдается «симметрия относительно знака» переменной ; для пар (, y) и (, y) «симметрия относительно знака» переменной y ; для пар (, y) и (, y) «симметрия относительно знаков» обеих переменных Пример 8 (ЕГЭ, С5) Найти все значения, при каждом из которых уравнение ( ) имеет единственный корень Решение При каждом конкретном значении параметра функции f ( ) ( ) и g ( ), входящие в левую и правую части уравнения, являются четными, поскольку выполняются условия: они определены на всей числовой прямой (области определения симметричны относительно начала координат); f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ), g ( ) g( ) Следовательно, если число корень уравнения f ( ) g( ), то число также будет являться корнем этого уравнения Условие единственности будет выполняться, если корень уравнения f ( ) g( ) и других корней нет

24 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Подставив в исходное уравнение значение, получим уравнение относительно параметра : ( ), ( ) Отсюда получаем три значения параметра 6, и Пусть 6 Подставив 6 в исходное уравнение, получим Правая часть этого уравнения после раскрытия на промежутках модулей имеет вид, если,, если,, если Уравнения 6 wwwlelrinnrodru и не имеют корней, а уравнение имеет единственный корень, удовлетворяющий условию Пусть Подставив это значение параметра в исходное уравнение, опять получим уравнение, имеющее единственный корень Пусть Подставив это значение параметра в исходное уравнение, получим,,, Значение не соответствует условию задачи Ответ: 6, Замечание Другое решение данного примера см в разделе «Функциональнографические методы» Пример 9 (МГУ, 999) Найти все значения параметра а, при которых уравнение ( ) имеет нечетное число решений Решение Данное уравнение инвариантно (неизменно) при замене на (докажите) Поэтому, если число является корнем исходного уравнения, то число также будет корнем Вследствие этого, количество корней может быть нечетным только в случае, когда среди корней находится число Подставляя в исходное уравнение, получаем уравнение относительно а:,, Если, то исходное уравнение примет вид ( ) Оно распадается на два уравнения: ( ) ( ) или Первое уравнение имеет один корень Второе уравнение разрешим относительно ( не является корнем этого уравнения): 8 или Рис Показательная функция y монотонно возрастает от до и ее график проходит через точку ( ;) (см рис ) Дробно-линейная функция возрастает на промежутках ( ; ) и ( ; ) Ее

25 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений график гипербола, проходящая через точку ( ; ), с вертикальной асимптотой и горизонтальной асимптотой y Второе уравнение не имеет корней В этом случае исходное уравнение имеет ровно корень Случай рассмотрите самостоятельно Ответ: или Пример 5 (МГУ, 995) Найти все значения параметра, при которых неравенство 6 cos 6 cos имеет единственное решение? Решение Приведем данное неравенство к следующему виду ( cos 6) cos Так как функция 6 wwwlelrinnrodru ( cos 6) f ( ) cos является четной, то необходимым условием единственности решения неравенства f ( ) является наличие решения При имеем ( ) f () Последнее неравенство выполняется при или Проверим достаточность При знаменатель cos, поэтому получаем или ( cos 6) cos 6 Так как cos и 6, то cos, cos 6 ; При имеем неравенство ( cos 6) cos ( cos 6), которое выполняется при всех R Ответ: Пример 5 (ЕГЭ-, демонстрационный вариант, С5) Найти все значения параметра, при каждом из которых система уравнений ( ) y, y имеет единственное решение Решение Заметим, что если пара чисел, ) является решением данной ( y системы уравнений, то пара (, y ) также ее решение Следовательно, для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось равенство, те Подставив это значение неизвестной в систему, получим:, y, y ; y, y Допустимыми значениями параметра являются лишь значения и Пусть Тогда исходная система y, уравнений примет вид: y Подставив y из первого уравнения системы во второе, получим ( ) или Это уравнение имеет три корня, и Следовательно, при данная в условии система уравнений имеет три пары решений ( ; ), ( ; ) и ( ; ) Пусть Тогда исходная система уравнений примет вид: или ( ) y, y y, y 5

26 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Из первого уравнения полученной системы следует y, а из второго y Следовательно, если система имеет решение, то это пары вида (, ) Подставляя y в систему, получаем, 6 wwwlelrinnrodru Следовательно, при решение ( ; ) исходной системы уравнений единственное Ответ Пример 5 Найдите все значения параметра, при которых система уравнений ( ) y 9 y 8, имеет ровно три различных решения Решение Система имеет смысл при значениях параметра Поскольку переменная входит в каждое уравнение системы в четной степени, то заметим, что если пара чисел (, y ) является решением данной системы уравнений, то пара (, y ) также решение Следовательно, для того, чтобы система имела нечётное число решений необходимо, чтобы, те Подставив в систему, получим: ( ) y 9 8, y ; 9 8 Решив полученное уравнение относительно, найдем допустимые значениями параметра Рассмотрев целые делители свободного члена многочлена 9 8, заметим, что и есть его корни Используя схему Горнера, получим Отсюда следует, что 9 8 ( )( )( 5 ) ( ) ( )( ), те допустимыми являются значения, Значение не удовлетворяет условию Проверим, какие из полученных значений параметра являются достаточными Пусть Тогда исходная система уравнений примет вид:, y Полученная система будет иметь единственное решение ( ; ) Пусть Тогда исходная система уравнений примет вид: y 5 y, 5 5 y 5 ( 5), y 5, Полученная система имеет три решения ( ; ), ( 5; 5 5) и ( 5; 5 5) Ответ: Пример 5 (Пробный вариант 5 от ФЦТ, ЕГЭ, декабрь) Найти все значения параметра, при каждом из которых система 8 y, ( y )( y ) 8( ) имеет ровно 8 решений Решение -й способ Данная система равносильна следующей системе ( ) ( ) y, y Заметим, что данная система уравнений обладает «симметрией относительно знака» переменной y Из равенства левых частей уравнений системы, при условии, что их правые части неотрицательны, следует 6

27 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений y y, y 5 y y, y 5 y, y Уравнение 5 y, 5 y 5 будет иметь четыре различных решения относительно y при выполнении условий 5 5,, wwwlelrinnrodru Отметим, что значения y, получаемые в процессе решения при найденных значениях, будут удовлетворять условиям y, поскольку при этих из y 5 неравенства следует 5 y Для каждого полученного решения y такого, что y, уравнение ( ) y будет иметь два различных решения относительно, а, следовательно, исходная система будет иметь 8 решений Решение -й способ Покажем, что восемь различных решений это максимальное количество решений данной системы Действительно после исключения переменной из системы ( ) ( ) получим уравнение y, y f ( t) t t, (*) где y t Квадратное уравнение (*) имеет максимум два различных корня при условии D ( ) Если корни положительны (при условии t t и t t ), то из уравнения y t получим четыре различных числа для переменной у Каждому из четырех значений y будет соответствовать максимум два различных значения из уравнения ( ) y при условии y или t, те f () t в Запишем все условия вместе ( ), D, t, t, f (), 6, t в 5, 5 Отсюда получаем ответ Ответ 5 5 ; ; преобразование ( ; y) ( y; х) При исследовании выражения F ( ; y) на «симметрию относительно перестановки переменных» для пары (, y) проверяется пара ( y, ) подстановкой в исходное выражение В некоторых выражениях наблюдается «симметрия» относительно и перестановки переменных и изменения у них 7

28 Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений знака В этих случаях для пары (, y) проверяются подстановкой в исходное выражение пары ( y, ), ( y, ), ( y, ) При решении уравнений (неравенств, систем уравнений или неравенств) используют следующее утверждение Утверждение Если выражение F ( ; y) инвариантно относительно преобразования у и у х и уравнение F ( ; y) имеет решение ; ), 6 wwwlelrinnrodru ( y то пара чисел ( y ; ) также решение этого уравнения Пример 5 Найти все значения параметра, при которых система неравенств y y y, имеет единственное решение ( y Решение Заметим, что если при некотором значении параметра пара чисел, ) является решением данной системы неравенств, то пара ( y, ) также решения, поскольку при подстановке второй пары уравнения системы остаются теми же, но меняются местами Следовательно, необходимым условием единственности решения является совпадение этих пар Если, y ) ( y, ), то ( y Подставляя y в систему, получим, что каждое неравенство примет вид ( ), которое будет иметь единственное решение в случае, если дискриминант D соответствующего квадратного трехчлена равен, те D ( ) Решая уравнение ( ), получаем два значения параметра и Подставляя в систему неравенств, получаем y ( ( y ( ( ) ) y y, ) y, ) y Сложив левые части и правые части неравенств системы, получим y y 6 ( ) ( y y ) ( ) ( y ) Отсюда следует, что система имеет единственное решение и y Аналогично действуя, получим, что при система имеет единственное решение и y Ответ Пример 55 (МФТИ, 9) Найти при каких значениях параметра имеет единственное решение система уравнений y, y Решение Заметим, что если при некотором значении параметра пара чисел (, y ) является решением данной системы уравнений, то пара ( y, ) также решения Следовательно, необходимым условием единственности решения является совпадение этих пар Если (, y) ( y, ), то y или y Подставляя y в систему, получим, что каждое уравнение системы примет вид (,5), 5 При, 5 уравнение имеет два действительных корня; при, 5 не имеет действительных решений, а при, 5 единственное решение, 5 и тогда y, 5 8

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов АГ, г Брянск,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Корянов АГ, Прокофьев АА Методы решения неравенств с одной переменной МАТЕМАТИКА ЕГЭ типовые задания С Методы решения неравенств с одной переменной Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru Прокофьев АА, г

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ;

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ; C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Подробнее

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров Неравенства с параметром на едином государственном экзамене ВВ Сильвестров Задания единого государственного экзамена (ЕГЭ) непременно содержат задачи с параметрами Планом экзаменационной работы 008 года

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ СК Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ Учебно-методическое пособие для учителей математики, студентов математических специальностей педагогических вузов, абитуриентов ОРЕЛ 0 Кожухов СК Уравнения

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (типовые задания С3)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (типовые задания С3) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ типовые задания С Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2 Вебинар 5 Тема: Повторение Подготовка к ЕГЭ (задание 8) Задание 8 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a a 0 имеет или семь или восемь решений Пусть, тогда t t Исходное уравнение

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 Общие сведения Задачи с параметрами Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 1 Подготовка к ЕГЭ Дихтярь М.Б. 1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если х 0; число x,

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 00 Корянов А.Г. Задания С г. Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: akoryanov@mail.ru УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) Линейные

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических. Отбор корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических. Отбор корней в тригонометрических Корянов АГ, Прокофьев АА Отбор корней в тригонометрических уравнениях МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов АГ, г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов А Г г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА г Москва aaprokof@yanderu СОДЕРЖАНИЕ Способы отбора корней в тригонометрических

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

2015 года (профильный уровень).

2015 года (профильный уровень). Разбор заданий демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2015 года (профильный уровень). Обсуждаются некоторые задания из той части варианта, которая предполагает развернутое решение задач, проверяемое

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях Корянов АГ, Прокофьев АА Отбор корней в тригонометрических уравнениях 00 ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов Анатолий Георгиевич, методист по математике,

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

Издание соответствует Федеральному государственному образовательному

Издание соответствует Федеральному государственному образовательному УДК 7:51 ББК 22.1я72 Ш51 Шестаков С. А. ЕГЭ 2015. Математика. Задача 20. Задачи с параметром Под ред. И. В. Ященко Электронное издание М.: МЦНМО, 2015 240 с. ISBN 978-5-449-2122-8 Рабочая тетрадь по математике

Подробнее

ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012

ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012 Корянов АГ, Прокофьев АА Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С) Прокофьев АА, СОДЕРЖАНИЕ

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Неравенства Модуль для 0 класса Учебно-методическая

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Тематическое планирование по алгебре в 7 классе

Тематическое планирование по алгебре в 7 классе Тематическое планирование по алгебре в 7 классе Тема Количество часов Количество контрольных работ 1 Математический язык. Математическая модель 16 1 2 Линейная функция 15 1 3 Степень с натуральным показателем

Подробнее

Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников

Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников А.Г. КОРЯНОВ, А.А. ПРОКОФЬЕВ Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников Лекции Москва Педагогический университет «Первое сентября» 0 Анатолий Георгиевич Корянов, Александр Александрович Прокофьев Материалы

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Домашнее задание по задачам С5 к лекции 2 по подготовке к ЕГЭ

Домашнее задание по задачам С5 к лекции 2 по подготовке к ЕГЭ Домашнее задание по задачам С5 к лекции по подготовке к ЕГЭ Задача 1 При каких р данная система имеет решения? Задача При каждом а решите систему уравнений: Задача 3 При каких значениях параметра а прямая

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Старков В.Н. 165 задач с параметрами. Содержание

Старков В.Н. 165 задач с параметрами. Содержание Старков ВН 65 задач с параметрами Содержание Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами Квадратичные и сводимые к ним уравнения с параметрами Уравнения с параметрами, содержащие модуль

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки...

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки... Содержание От автора... Раздел. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел. Метод тригонометрической подстановки... Раздел. Методы, основанные на использовании численных неравенств... 6 Раздел. Методы,

Подробнее

ID_6684 1/8 neznaika.pro

ID_6684 1/8 neznaika.pro Уравнения, неравенства, системы с параметром Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Глава ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Т-0 Исследование функции по графику Т-0 Соответствие между графиком рациональной функции и формулой Т-0 Построение графика по свойствам Т-04 Параллельный перенос графика Т-05 Симметричное

Подробнее

Задачи с параметром в ЕГЭ

Задачи с параметром в ЕГЭ Л.А. Штраус, И.В. Баринова Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновск 05 Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В.

Подробнее

Математика. Собрание заданий (14 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (14 апреля 2013). Математика. Собрание заданий (14 апреля 01). Задачи с параметром-. Задача 1. При каких значениях параметра aсуществует единственное решение уравнения 4 + 1 = + a ax x x x a Задача. Найти все действительные

Подробнее

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x):

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): 1. Область определения функции это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль

Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль. Многочлен, определение. Деление многочлена с остатком. Теорема Безу.. Иррациональные числа. Доказательство существования иррационального числа.

Подробнее

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013). Математика Собрание заданий (09 апреля 013) Задачи с параметром-1 Задача 1 (006 г, Тихов МС, Авдонин АА) Найти все значения параметра a, при каждом из которых система 3 x + ( a 4) x + (5 3 a) x + a 0 (1)

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр.

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр. Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр Математика Алгебра Задания 1 4 для заочного класса (2005 2006 учебный

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1) Корянов АГ, Прокофьев АА Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С) Прокофьев АА, Корянов

Подробнее

Уравнения и неравенства с модулем

Уравнения и неравенства с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Уравнения и неравенства с модулем В данной статье мы рассмотрим алгебраические уравнения и неравенства с модулем и изучим основные приёмы избавления от модуля

Подробнее

квадрат обеих частей уравнения и последующей проверкой. Задача 1 (ИМБО, 2004) Решить уравнение

квадрат обеих частей уравнения и последующей проверкой. Задача 1 (ИМБО, 2004) Решить уравнение Основные методы решения смешанных уравнений Преподаватели математики: Белов А.И. Фадеичева Т.П.. Стандартные методы В вариантах ЕГЭ довольно часто встречаются стандартные иррациональные уравнения f g,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Прокофьев А.А. Задачи с параметрами

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Прокофьев А.А. Задачи с параметрами МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Прокофьев АА Задачи с параметрами Москва 004 ББК 4 П78 УДК 5(0754) Рецензенты: Кожухов ИБ доктор физико-математических

Подробнее

Обобщённый метод интервалов при решении неравенств

Обобщённый метод интервалов при решении неравенств Обобщённый метод интервалов при решении неравенств. Метод интервалов для целых неравенств Преподаватели ГОУ СОШ 5 Белов А.И. Фадеичева Т.П. При решении многих задач, в том числе и задач Единого Государственного

Подробнее

Задачи с параметрами Неравенства. задачи типа заданий С 5

Задачи с параметрами Неравенства. задачи типа заданий С 5 Задачи с параметрами Неравенства. задачи типа заданий С 5 Общие сведения 1. При решении неравенств с модулем пользуемся тем, что a, a, a a x a. xa. a, a, a a x a. xa. Дитярь М.Б.. Изобразить на координатной

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1)

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1) Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Специализированный учебно-научный центр Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы лицей 1580 (при МГТУ им.

Подробнее

Способы решения задач по математике

Способы решения задач по математике Федеральное агентство по образованию Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» А. Н. Рурукин, Е. В. Бровкова, Т. Н. Виссонова Способы решения задач по математике Часть

Подробнее

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы 1 Количество решений системы уравнений Графический динамический метод Для нахождения количества решений системы уравнений, содержащих параметр, полезен следующий приём Строим графики каждого из уравнений

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

g( x) = ax будет пересекать ту часть графика

g( x) = ax будет пересекать ту часть графика ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ И МОДУЛЕМ П Ф Севрюков, г Ставрополь Ранее (см «Математика Всё для учителя!», ) мы рассмотрели решение некоторы задач с параметром На ЕГЭ и вступительны экзамена в вузы школьникам (абитуриентам)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Рабочая программа элективного курса по математике

Рабочая программа элективного курса по математике Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия 9 Рабочая программа элективного курса по математике СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ (Элективный курс по математике для учащихся

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ. Перечень и содержание тем олимпиады по математике для учащихся 7-11 классов

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ. Перечень и содержание тем олимпиады по математике для учащихся 7-11 классов НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ Перечень и содержание тем олимпиады по математике для учащихся 7-11 классов Москва 2013 7 КЛАСС Тема 1. Алгебраические выражения, уравнения,

Подробнее

Использование свойств функций и их графиков при решении уравнений или неравенств

Использование свойств функций и их графиков при решении уравнений или неравенств Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Использование

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Содержание курса Алгебраические дроби

Содержание курса Алгебраические дроби ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данная рабочая программа по алгебре для 8 класса составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта основного общего образования и на

Подробнее

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых Тема Квадратное уравнение Формулы Виета Два алгебраических выражения, соединенных знаком «=», образуют равенство Равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ «Математика» Москва 2009 2 Составители: Фисенко С.И., Клевцов В.В.

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 Мы приступаем к изучению уравнений вида ax + bx + c = 0. (1) Если a 0, то уравнение (1) является квадратным.

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 9 класс

Домашняя работа по алгебре за 9 класс Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра 9 класс» ЮН Макарычев и др, М: «Просвещение», 999 г учебно-практическое пособие wwwllsru а f 07; б f00 0 00; в f 0 9 0 9 0 0, 0, а f0 ; 0 0, 0,,

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее