ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия"

Транскрипт

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными. Примеры: ( ) u 2 x = u a2 y + 2 u, (1) 2 z 2 y + 2 y = sin x, x (2) y + 4 y + 13 y = 0, (3) x y + y = 1 + x. (4) Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной искомой (неизвестной) функции, входящей в это уравнение. Например, уравнение (2) - первого порядка, уравнения (1) и (3) - второго порядка, а уравнение (4) - третьего порядка. Дифференциальное уравнение относительно функции одной переменной называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение относительно функции нескольких переменных называется уравнением в частных производных. Особый класс таких уравнений составляют т. н. уравнения математической физики. Например, (2), (3), (4) - обыкновенные дифференциальные уравнения, а (1) - уравнение в частных производных. В нашем курсе рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка: или F ( x, y, y,..., y (n) ) = 0 (5) y (n) = f( x, y, y,..., y (n 1) ). (6) Во втором случае уравнение называется разрешённым относительно старшей производной. Решением дифференциального уравнения (5) или (6) называется всякая функция y = ϕ (x), (7) которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество, то есть такая, что F [ x, ϕ (x), ϕ (x),..., ϕ (n 1) (x) ] 0 или, соответственно, ϕ (n) (x) f [ x, ϕ (x), ϕ (x),..., ϕ (n 1) (x) ]. Например, функция y = x x2 2 является решением уравнения (4). Действительно, y = x x2 2, y = x2 4 + x, y = x 2 + 1, y = 1 2 ; 1

2 Подставляя в (4), получим x ( x ) 1 + x. Иногда решение (7) дифференциального уравнения находят в неявном виде: ψ ( x, y ) = 0. Тогда оно называется также интегралом дифференциального уравнения. Решить дифференциальное уравнение - значит найти все его решения в данной области. График решения (7) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого дифференциального уравнения. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения. Пример 1. Основная задача интегрального исчисления - нахождение функции y по её производной f(x) - сводится к решению (интегрированию) простейшего дифференциального уравнения y = f(x). Такое дифференциальное уравнение имеет, как мы знаем, бесчисленное множество решений, зависящих от одной произвольной постоянной C : y = f(x) dx + C. Пример 2. y = 0 ; (y ) = 0, y = C 1, y = C 1 x + C 2. Таким образом, мы видим, что множество решений дифференциального уравнения первого порядка зависит от одной произвольной постоянной, а множество решений дифференциального уравнения 2-го порядка - от 2 произвольных постоянных. Придавая этим постоянным всевозможные значения, мы получим, вообще говоря, все решения данных дифференциальных уравнений. Общим решением дифференциального уравнения (5) называется такое его решение y = ϕ ( x, C 1, C 2,... C n ), (8) которое содержит столько (независимых) произвольных постоянных C 1, C 2,..., C n, каков порядок этого уравнения. Если общее решение (8) получено в неявном виде: ψ ( x, y, C 1, C 2,... C n ) = 0, (9) то её называют также общим интегралом дифференциального уравнения (5) или (6). Всякое решение дифференциального уравнения (5) или (6), которое получается из его общего решения (8) при определённых значениях произвольных постоянных C 1, C 2,... C n, называется частным решением этого уравнения. Аналогично определяется частный интеграл дифференциального уравнения. Пример. y + y = 0 (10) Легко сообразить, что функции sin x и cos x - решения этого дифференциального уравнения: (sin x) + sin x 0, (cos x) + cos x 0. 2

3 Нетрудно проверить также, что функция y = C 1 sin x + C 2 cos x - тоже решение. Это - общее решение уравнения (10). Из него можно получить различные частные решения: при C 1 = 1, C 2 = 0 : y = sin x, при C 1 = 0, C 2 = 1 : y = cos x, при C 1 = 2, C 2 = 5 : y = 2 sin x 5 cos x и т. д. Решение, которое не может быть получено из общего решения ни при каких значениях произвольных постоянных, называется особым решением. Задача Коши для дифференциального уравнения (5) или (6) заключается в том, чтобы найти решение y = ϕ (x) этого уравнения, удовлетворяющее условиям вида: ϕ (x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y 1, ϕ (x 0 ) = y 2,..., ϕ (n 1) (x 0 ) = y n 1, (11) где x 0, y 0, y 1, y 2,..., y n 1 - заданные числа, называемые начальными данными. Условия (11) называются начальными условиями задачи Коши. Дифференциальное уравнение (5) называется линейным, если его левая часть представляет собой многочлен первой степени относительно неизвестной функции y и её производных y, y,..., y (n). Общий вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка: a 0 (x) y (n) + a 1 (x) y (n 1) a n 1 (x) y + a n (x) y = f (x). (12) Функции a 0 (x), a 1 (x),..., a n 1 (x), a n (x) называются коэффициентами линейного дифференциального уравнения (12), а функция f (x) - правой частью этого уравнения. Если f(x) 0, то уравнение (12) называется однородным или без правой части; в противном случае уравнение (12) называется неоднородным или с правой частью. Коэффициенты a 0 (x), a 1 (x),..., a n 1 (x), a n (x) в уравнении (12) могут оказаться постоянными. Тогда уравнение (12) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Например, дифференциальные уравнения (2). (3), (4) - линейные, из них (2) и (4) - неоднородные, а (3) -однородное, оно же с постоянными коэффициентами. 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка: F ( x, y, y ) = 0 (1) или, если уравнение разрешено относительно производной y, y = f ( x, y ). (2) Для дифференциальных уравнений 1-го порядка сохраняют смысл все понятия, введённые выше для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного 3

4 порядка: решение, интеграл, интегральная кривая, общее решение, общий интеграл, частное решение, частный интеграл, начальные условия, задача Коши и т. д. Например, решением дифференциального уравнения (1) или (2) является всякая функция y = ϕ (x), (3) удовлетворяющая этому дифференциальному уравнению, т. е. такая, что или F [ x, ϕ (x), ϕ (x) ] 0 ϕ (x) f [ x, ϕ (x) ], а график функции (3) - интегральная кривая дифференциального уравнения (1) или (2). Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид а общий интеграл такого уравнения записывается в виде y = ϕ ( x, C ), (4) ψ ( x, y, C ) = 0, (5) где C - произвольная постоянная. Геометрическим образом общего решения (4) или общего интеграла (5) дифференциального уравнения 1-го порядка является семейство линий (интегральных кривых), зависящее от 1 параметра. Пример. y = x = y = x2 2 + C. y 2 1 C = 0 C = 1 C = 2-2 O 1 2 x -1-2 Геометрическими образами частных решений или частных интегралов дифференциального уравнения 1-го порядка служат отдельные линии (интегральные кривые) указанного выше семейства, которые соответствуют отдельным значениям параметра C. 4

5 Если задана точка M 0 ( x 0, y 0 ), то из бесконечного семейства интегральных кривых дифференциального уравнения 1-го порядка в простейших случаях можно выделить одну, проходящую через эту точку. Она будет являться интегральной кривой некоторого частного решения данного дифференциального уравнения. Аналитически это требование сводится к начальному условию x = x 0 = y = y 0. Если известно общее решение (4), то это требование можно представить в виде ϕ ( x 0, C ) = y 0, откуда, вообще говоря, можно определить C и, следовательно, найти соответствующее частное решение. В этом и состоит задача Коши для дифференциального уравнения 1-го пордка. Геометрический смысл задачи Коши: найти интегральную кривую дифференциального уравнения (1) или (2), проходящую через данную точку M 0 ( x 0, y 0 ). Возникают вопросы: при каких условиях задача Коши имеет решение? если решение есть, то является ли оно единственным? Для уравнения (2), разрешённого относительно производной, на эти вопросы отвечает следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения 1-го поряка. Если в уравнении (2): y = f ( x, y ). (2) функция f ( x, y ) непрерывна вместе со своей частной производной f y ( x, y ) по y в некоторой области G на плоскости Oxy, содержащей данную точку M 0 ( x 0, y 0 ), то существует и притом единственное решение y = ϕ (x) уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию: ϕ (x 0 ) = y 0 (или y x=x0 = y 0 ). Геометрический смысл теоремы существования и единственности: если правая часть f (x, y) уравнения (2) непрерывна вместе со своей частной производной по y в некоторой окрестности G точки M 0 ( x 0, y 0 ), то существует и притом единственная интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку M 0. y G y = ϕ(x) y 0 M 0 O x 0 x 5

6 Заметрим, что уравнение (2) определяет в каждой точке M(x, y) значение производной y, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, уравнение (2) определяет на плоскости Oxy множество направлений или, как ещё говорят, поле направлений. Следовательно, с геометрической точки зрения, задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках. Для дифференциального уравнения (2) геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение y = C = const, называется изоклиной. При различных значениях C получаем различные изоклины уравнения (2). Уравнение изоклины, соответствующей значению C, имеет вид: f ( x, y ) = C. Построив семейство изоклин, можно приближённо построить семейство интегральных кривых данного дифференциального уравнения. 3. Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение 1-го порядка вида P (x) dx + Q(y) dy = 0 (1) называется уравнением с разделёнными переменными. Перепишем уравнение (1) в виде P (x) dx = Q(y) dy. (2) Равенство (2) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов. Интегралы от них должны отличаться лишь постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по x, а правую часть по y, получим: P (x) dx = Q(y) dy + C или P (x) dx + Q(y) dy = C. (3) Соотношение (3) представляет собой общий интеграл уравнения (1). Замечание 1. В теории дифференциальных уравнений символ f(x) dx обозначает одну из первообразных функции f(x), а не всё их множество, как в интегральном исчислении. Замечание 2. Дифференциальное уравнение теоретически считается проинтегрированным, если решение доведено до квадратур, т. е. до операций вычисления первообразных. Например, задача интегрирования уравнения (1) в форме (3) считается завершённой. Всякое дифференциальное уравнение 1-го порядка, приводящееся к виду (1), называется уравнением с разделяющимися переменными. Общий вид такого уравнения: y = f(x) g(y) (4) 6

7 или P 1 (x) Q 1 (y) dx + P 2 (x) Q 2 (y) dy = 0. (5) Действительно, уравнения (4) и (5) можно представить соответственно в виде и dy g(y) = f(x) dx P 1 (x) P 2 (x) dx + Q 2(y) Q 1 (y) dy = 0. Их общие интеграла имеют соответствнно вид: dy g(y) = f(x) dx + C и P1 (x) P 2 (x) dx + Q2 (y) Q 1 (y) dy = C. Пример. y = y x. (в силу произвольности C ). x dy = y dx ; dy y = dx x ; ln y = ln x + C 1, C 1 = ln C ; ln y = ln x + ln C ; y = Cx, y = ±Cx ; y = Cx 4. Однородные дифференциальные уравнения Функция f(x, y) называется однородной степени n относительно переменных x и y, если для любого числа λ имеет место тождество f(λx, λy) = λ n f(x, y). Пример 1. f(x, y) = xy y 2 - однородная функция степени 2, т. к. f(λx, λy) = (λx)(λy) (λy) 2 = λ 2 xy λ 2 y 2 = λ 2 (xy y 2 ) = λ 2 f(x, y). Пример 2. f(x, y) = x2 y 2 xy - однородная функция степени 0, т. к. f(λx, λy) = (λx)2 (λy) 2 (λx)(λy) = λ2 x 2 λ 2 y 2 λ 2 xy = x2 y 2 xy = λ 0 f(x, y). 7

8 Дифференциальное уравнение 1-го порядка y = f ( x, y ) (1) называется однородным, если f(x, y) - однородная функция нулевой степени. Очевидно, дифференциальное уравнение 1-го порядка P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (2) является однородным тогда и только тогда, когда коэффициенты P (x, y) и Q(x, y) являются однородными функциями одинаковой степени. Это следует из того, что отношеие двух однородных функций одинаковой степени есть однородная функция нулевой степени. С помощью подстановки u = y x или y = ux (3) однородное уравнение (1) или (2) сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Покажем это для уравнения (1). По условию f(λx, λy) = f(x, y). Полагая λ = 1, получим: x ( f(x, y) = f 1, y ). x Следовательно, уравнение (1) можно представить в виде Применняя подстановку (3), заметим, что dy (1, dx = f y ). (4) x dy dx = d du (ux) = u + x dx dx. Подставляя это выражение в (4), получим: u + x du dx = f ( 1, u ). Это - уравнение с разделяющимися переменными: du f(1, u) u = dx x. вместо u, получим общий инте- Интегрируя это уравнение, затем подставляя y x грал уравнения (1). Пример. y = x + y ( x 0 ) x y = ux, y = u + u x u + u x = ( 1 + u ) u x = (1 + 2u) = 2 (u + 1/2) 8

9 du u + 1/2 = 2 dx x ln u + 1/2 = 2 ln x + ln C u = C x 2 u = y x = C x y = C x x 2. В процессе решения было произведено деление на x 0 и на u + 1/2. u = 0 = y = x 2. Проверка показывает, что y = x 2 из общего решения при C = 0. - решение данного уравнения. Оно получается Замечание. Уравнение (x + y) dx + x dy = 0 имеет то же общее решение y = C x, но при этом x = 0 - также решение. Это - x 2 особое решение, т. к. не получается из общего решения ни при каком значении C. 5. Линейные уравнения 1-го порядка Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид: a (x) y + b (x) y = c (x), (1) где a (x), b (x), c (x) - заданные непрерывные функции, причём a (x) 0. Разделив обе части уравнения (1) на a (x), его можно привести к виду y + p (x) y = q (x). (2) Один из методов интегрирования уравнения (2) заключается в том, что его решение ищется в виде произведения двух функций одна из которых может быть выбрана произвольно. Дифференцируя обе части равенства (3), получим: Подставляя (3) и (4) в (2), будем иметь или y = u (x) v (x), (3) dy dx = u dv dx + v du dx. (4) u dv dx + v du dx + p uv = q ( ) dv u dx + pv + v du dx = q. (5) 9

10 Выберем функцию v так, чтобы Разделяя переменные в (6), получим dv dx + p v = 0. (6) откуда dv v ln v = = p dx, p dx + ln C 1 или v = C 1 e p (x) dx. Т. к. нас интересует произвольное решение уравнения (6), положим v = e p (x) dx. (7) Подставляя (7) в (5), будем иметь или откуда или u = u (x) = v (x) du dx = q (x) du dx = q (x) v (x), q (x) v (x) dx + C q (x) e p (x) dx dx + C. Таким образом, [ y = e p (x) dx ] q (x) e p (x) dx dx + C. (8) Уравнение (2) можно решить ещё методом вариации произвольной постоянной, который заключается в следующем. Интегрируется сначала соответствующее однородное уравнение y + p (x) y = 0. Его общее решение имеет вид y = C e p (x) dx. Теперь решение уравнения (2) ищется в виде Дифференцируя (9), получим: y = C (x) e p (x) dx. (9) y = C (x) e p (x) dx p (x) C (x) e p (x) dx. (10) 10

11 Подставляя (9) и (10) в (2), будем иметь: C (x) e p (x) dx = q (x) или откуда C (x) = q (x) e p (x) dx, C (x) = q (x) e p (x) dx + C и, следовательно, [ y = e p (x) dx ] q (x) e p (x) dx dx + C. Пример. y + y tg x = 2x cos x. 1-ый метод 2-ой метод y = u v, y = u v + uv y + y tg x = 0 u v + u v + uv tg x = 2x cos x dy y = tg x dx u (v + v tg x) + u v = 2x cos x ln y = ln cos x + ln C v + v tg x = 0 dv v y = C cos x = tg x dx y = C (x) cos x ln v = ln cos x + ln C 1 y = C (x) cos x C (x) sin x v = C 1 cos x C (x) cos x C (x) sin x+ v = cos x u cos x = 2x cos x u = 2x u = x 2 + C +C (x) cos x tg x = 2x cos x C (x) cos x = 2x cos x C (x) = 2x C (x) = x 2 + C y = u v = (x 2 + C) cos x. y = (x 2 + C) cos x. Так называется уравнение вида 6. Уравнение Бернулли y + p (x) y = q (x) y α. (1) где p (x) и q (x) - заданные непрерывные функции, а α - действительное число, отличное от 0 и 1. Уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению с помощью подстановки z = y 1 α. Действительно, тогда y = z 1 1 α, y = 1 1 α z α 1 α z. (2) 11

12 Подставляя (2) в (1), получим: 1 z α 1 α 1 α z + p (x) z 1 1 α = q (x) z α 1 α или (после умножения на z α 1 α ) 1 1 α z + p (x) z = q (x). Уравнение Бернулли можно решить как и линейное уравнение с помощью подстановки y = u (x) v (x) или методом вариации произвольной постоянной. Пример y x y = y 2 или y 1 x = 1 x y2. 1-ый метод 2-ой метод y = u v, y = u v + u v x 2 u = u 2 x 2 u v xy v x u v = u 2 v 2 u = u 2 u (v x v ) x u v = u 2 v 2 du u 2 = dx v x v 1 = 0 = x + C u dv = dx, v = x u = 1 v x x+c y = x x + C. 7. Уравнение в полных дифференциалах Дифференциальное уравнение вида P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции U (x, y). Такое уравнение очевидно можно представить в виде d U (x, y) = 0, откуда ясно, что его общий интеграл будет иметь вид U (x, y) = C. Теорема. Пусть функции P (x, y) и Q (x, y) непрерывны вместе со своими частными производными P и Q (2) y x в некоторой области G. Тогда для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество P y Q x. (3) 12

13 Необходимость. Пусть левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции U (x, y) : Тогда Следовательно, P (x, y) dx + Q (x, y) dy = d U (x, y) = U U dx + x y dy. P (x, y) = U x, P y = 2 U x y, U Q (x, y) = y. Q x = 2 U y x, откуда, в силу непрерывности частных производных (2), следует тождество (3). Достаточность. Пусть имеет место тождество (3). Тогда, как легко проверить, левая часть уравнения (1) является полным дифференциалом функции Действительно, U (x, y) = x x 0 P (x, y) dx + y y 0 Q (x 0, y) dy. U = P (x, y) ; (4) x U x y = P x x 0 y dx + Q (x 0, y) (3) Q = x 0 x dx + Q (x 0, y) = = Q (x, y) x x 0 + Q (x 0, y) = Q (x, y) Q (x 0, y) + Q (x 0, y) ; Из (4) и (5) следует, что U y = Q (x, y). (5) d U (x, y) = U U dx + dy = P (x, y) dx + Q (x, y) dy, x y ч. и т. д. На практике функцию U (x, y) такую, что находят следующим образом. Поскольку d U (x, y) = P (x, y) dx + Q (x, y) dy, то Отсюда U (x, y) = U x x = P (x, y), x 0 P (x, y) dx + ϕ (y). (6) U x y = P x 0 y dx + ϕ (y) = Q (x, y) 13

14 или, в силу (3), то есть откуда Следовательно, x x 0 Подставляя (7) в (6), получим: Q x dx + ϕ (y) = Q (x, y), Q (x, y) x x 0 + ϕ (y) = Q (x, y), ϕ (y) = Q (x, y) Q (x, y) + Q (x 0, y) = Q (x 0, y). U (x, y) = ϕ (y) = x y y 0 Q (x 0, y) dy + C 1. (7) x 0 P (x, y) dx + y y 0 Q (x 0, y) dy + C 1. Замечание. Функцию U (x, y) можно получить также в виде U (x, y) = y y 0 Q (x, y) dy + x x 0 P (x, y 0 ) dx + C 2. Пример. 2x y 3 dx + y2 3x 2 y 4 dy = 0. P (x, y) = 2x y 3, Q (x, y) = y2 3x 2 y 4 ; P y = 6x y 4, U x = 2x y, U = 3 P y Q x. 2x Q x = 6x y 4 ; x2 dx + ϕ (y) = y3 y + ϕ (y) ; 3 U y = 3x2 y + 4 ϕ (y) = Q (x, y) = 1 y 3x2 2 y ; 4 ϕ (y) = Общий интеграл данного уравнения: ϕ (y) = 1 y 2 ; dy y 2 + C 1 = 1 y + C 1 ; U (x, y) = x2 y 3 1 y + C 1. x 2 y 3 1 y = C. 14

15 Пусть левая часть уравнения 8. Интегрирующий множитель P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (1) не является полным дифференциалом. Иногда удаётся подобрать такую функцию µ (x, y) после умножения на которую обеих частей уравнения (1), его левая часть становится полным дифференциалом. Общее решение полученного таким образом уравнения очевидно совпадает с общим решением данного уравнения (1). Функция µ (x, y) называется интегрирующим множителем уравнения (1). Как найти интегрирующий множитель µ? Умножим обе части уравнения (1) на неизвестную пока функцию µ (x, y) : µ P dx + µ Q dy = 0. (2) Для того, чтобы функция µ была интегрирующим множителем уравнения (1), то есть чтобы уравнение (2) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы то есть чтобы или (µ P ) y (µ Q) x µ P y + P µ y = µ Q x + Q µ x ) P µ y Q µ x = µ, ( Q x P y Разделив обе части последнего равенства на µ, получим: P (ln µ) y Q (ln µ) x. = Q x P y. (3) Таким образом, для того, чтобы функция µ (x, y) была интегрирующим множителем уравнения (1), необходимо, чтобы она удовлетворяла уравнению (3). Можно доказать, что при опредлённых условиях уравнение в частных производных (3) относительно функции µ (x, y) имеет бесчисленное множество решений. Однако в общем случае задача интегрирования уравнения (3) труднее чем первоначальная задача интегрирования уравнения (1). Только в некоторых частных случаях удаётся без труда найти функцию µ (x, y). Пусть, например, уравнение (1) допускает интегрирующий множитель, зависящий только от y. Тогда (ln µ) = 0 x и уравнение (3) принимает вид: d (ln µ) dy = Q P x y P. (4) Из уравнения (4) легко найти ln µ, а следовательно, и µ, но только при условии, Q x что P y зависит только от y. P 15

16 Аналогично, если выражение Q P x y Q зависит только от x, то можно найти интегрирующий множитель µ, зависящий только от x, из уравнения Q d (ln µ) = P x y. dx Q Пример. (y + xy 2 ) dx x dy = 0. P = y + xy 2, Q = x ; P y = 1 + 2xy, Q P x y P = d (ln µ) dy 1 1 2xy y + xy 2 Q x = 1 ; = P y Q x. 2 (1 + xy) y (1 + xy) = 2 y ; = 2, ln µ = 2 ln µ ; y µ = 1 y 2. Умножив данное уравнение на найденный интегрирующий множитель, получим уравнение в полных дифференциалах 1 + xy y dx x y 2 dy = 0. Действительно, y ( ) 1 + xy y = ( xy ) = 1 x 2 y. 2 Общий интеграл: U x = 1 ( ) 1 y + x, U = y + x dx + ϕ (y) = x y + x2 2 + ϕ (y) ; U y = x y 2 = x y 2 + ϕ (y), ϕ (y) = 0, ϕ (y) = C 1 ; x y + x2 2 = C. Общее решение: y = 2x x 2 + 2C. U = x y + x2 2 + C 1. 16

17 9. Особые точки и особые решения Пусть дано дифференциальное уравнение y = f ( x, y ), (1) для которого в некоторой точке M 0 (x 0, y 0 ) нарушено хотя бы одно из условий теоремы существования и единственности. Тогда может оказаться, что не существует ни одной интегральной кривой уравнения (1), проходящей через точку M 0, или, наоборот, через точку M 0 проходит более одной интегральной кривой этого уравнения. Такая точка M 0 называется особой точкой дифференциального уравнения (1). Если условия теоремы существования и единственности нарушены вдоль целого геометрического места точек, то это г.м.т. может оказаться интегральной кривой уравнения (1). Такая интегральная кривая называется особой интегральной кривой, а соответствующее ей решение - особым решением этого дифференциального уравнения. К понятию особого решения можно подойти ущё с другой точки зрения, связанной с понятием огибающей. Линия L называется огибающей однопараметрического семейства кривых, если она в каждой своей точке касается некоторой кривой данного семейства, причём в различных точках она касается различных кривых данного семейства. Если однопараметрическое семейство кривых задано уравнением Φ ( x, y, C ) = 0, (2) то его огибающую находят следующим образом (без доказательства): сначала дифференцируют уравнение (2) по параметру C : Φ C ( x, y, C ) = 0, (3) а затем из уравнений (2) и (3) исключают параметр C. Получающаяся при этом уравнение определяет некоторую кривую, которая называется дискриминантной кривой. Пример. Продифференцируем по C : Исключаем C : (x C) 2 + y 2 R 2 = 0 (семейство окружностей). 2 ( x C ) = 0 y 2 R 2 = 0, y = ±R (огибающая). y y = R y = R x 17

18 Замечание. Уравнение, полученное исключением C из (2) и (3), не всегда определяет огибающую семейства (2) (семейство (2) может и не иметь огибающей). Поэтому, получив такое уравнение, нужно ещё проверить, определяет ли оно огибающую или нет. Пример. y 3 (x C) 2 = 0 (семейство кубических парабол). Дифференцируя по C, получим: 2 (x C) = 0. Исключая C, получим уравнение дискриминантной кривой y = 0. Она огибающей не является. y O y = 0 x Пусть теперь уравнение (2) представляет собой общий интеграл дифференциального уравнения (1). Пусть, кроме того, семейство интегральных кривых (2) уравнения (1) имеет огибающую. Тогда эта огибающая также является интегральной кривой дифференциального уравнения (1). Действительно, в каждой своей точке огибающая касается некоторой кривой семейства (2), т. е. имеет с ней общую касательную. Следовательно, в каждой точке огибающая и кривая семейства имеют одинаковые значения величин x, y, y. Но для кривой семейства числа x, y, y удовлетворяют уравнению (1). Значит, тому же уравнению удовлетворяют в каждой точке огибающей координаты этой точки и угловой коэффициент касательной к огибающей в той же точке. А это как раз и означает, что огибающая является интегральной кривой, а её уравнение - решением данного дифференциального уравнения. Так как через каждую точку огибающей проходят две интегральные кривые уравнения (1), то она является особой интегральной кривой, а её уравнение определяет особое решение дифференциального уравнения (1). А так как огибающая семейства (2) не является, вообще говоря, кривой этого семейства, то её уравнение (а значит и особое решение данного дифференциального уравнения) не может быть получено из общего интеграла (2) ни при каком значании C. Пример. y 2 (1 + y 2 ) = R 2. dy dx = ± R2 y 2 ; y y dy ± R 2 y 2 = dx ; R 2 y 2 = x C. Общий интеграл : (x C) 2 + y 2 = R 2. Особые решения : y = ±R. 18

19 10. Уравнения, не разрешённые относительно производной Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка F ( x, y, y ) = 0, (1) не разрешённое относительно производной искомой функции. Рассмотрим случай, когда уравнение (1) разрешимо относительно независимой переменной x или относительно искомой функции y. 1. x = ϕ ( x, y ). (2) Введём обозначение y = p и будем искать решение уравнения (2) в параметрической форме, приняв p за параметр. Уравнение (2) примет вид: x = ϕ ( x, p ). (3) Дифференцируя, получим: или Решим уравнение (4). Пусть dx = ϕ y dy + ϕ y dp 1 p = ϕ y + ϕ dp y dy. (4) g ( p, y, C ) = 0 (5) - его общий интеграл. Тогда решение исходного уравнения (2) определяется из (3) и (5) в параметрической форме: { x = ϕ ( x, p ), g ( p, y, C ) = 0. Пример. x = y ln y. y = p, x = p ln p, 1 p = ( ln p + 1 ) dp dy ; dy dp = p ln p + p, y = p2 2 ln p + p2 4 + C. Общее решение: { x = p ln p, y = p2 2 ln p + p2 4 + C. 2. y = ψ ( x, y ). (6) Введя обозначение y = p, перепишем уравнение (6) в виде: y = ψ ( x, p ). (7) 19

20 Дифференцируя, получим: или Если dy = ψ x dx + ψ p dp p = ψ x + ψ p dp dx. (8) h ( x, p, C ) = 0 (9) - общий интеграл уравнения (8), то уравнения (7) и (9) определяют решение дифференциального уравнения (6) в параметрической форме, где роль параметра играет p. Пример. y = 2y x + 1 y. y = p ; y = 2p x + 1 p ; Общее решение: p = 2p + 2x dp dx 1 dp p 2 dx ; ( p = 2x 1 ) dp p 2 dx ; dx dp = 2 p x + 1 (линейное уравнение) ; p x = 1 p ( ln p + C ). 2 x = 1 p ( ln p + C ), 2 y = 2p x + 1 p = 1 p + 2 p ( ln p + C ). 11. Уравнения Лагранжа и Клеро Уравнением Лагранжа называется уравнение вида Решается оно методом введения параметра. y = x ϕ ( y ) + ψ ( y ). (1) y = p, y = x ϕ (p ) + ψ (p ) ; p = ϕ (p ) + x ϕ (p ) dp dx + ψ (p ) dp dx ; p ϕ (p ) = [ x ϕ (p ) + ψ (p ) ] dp dx ; dx dp x ϕ (p ) p ϕ (p ) = 20 ψ (p) p ϕ (p ). (2)

21 Решая полученное линейное уравнение (2), найдём: x = g (p, C ). Общее решение уравнения Лагранжа (1) можно представить в параматрической форме: { x = g (p, C ), y = x ϕ (p ) + ψ (p ). Если отсюда исключить параметр p, можно получить общий интеграл уравнения (1) в виде: Φ ( x, y, C ) = 0. Заметим, что уравнение Лагранжа может иметь особые решения, получаемые при Они (если существуют) имеют вид: где p - корень уравнения (3). Пример. p ϕ (p ) = 0. (3) y = p x + ψ ( p ), y = x y 2 + y 2. y = p ; y = x p 2 + p 2 ; p = p 2 + 2p x dp dp + 2p dx dx ; p p 2 = ( 2p x + 2p ) dp dx ; dx dp = 2p ( x + 1 ) p (1 p)) ; dx dp + 2 p 1 x = 2 (линейное уравнение) ; 1 p x = C 1 (p 1) 2 1 ; Общее решение в параметрической форме: x = C 1 (p 1) 1, 2 y = ( x + 1 ) p 2. Исключаем параметр p : ( p 1 ) 2 = C 1 x + 1, p = p 2 = ( x C 1 ) 2 x + 1 y = ( x + 1 ) ( x C 1 ) 2 x C1 x ;, = ( x C 1 ) 2,

22 Уравнение вида C1 = C y = ( x C ) 2 общее решение. p p 2 = 0 1) p = 0 = y = 0 (особое решение) ; 2) p = 1 = y = x + 1 (частное решение). y = x y + ψ ( y ) называется уравнением Клеро. Решается так же, как и уравнение Лагранжа, частным случаем которого оно является. 1) y = p, y = x p + ψ (p ) ; p = p + x dp dx + ψ (p ) dp dx ; [ x + ψ (p )] dp dx = 0. dp dx = 0 = p = C ; y = C x + ψ ( C ) общее решение. 2) x + ψ (p ) = 0, { x = ψ (p ), y = p ψ (p ) + ψ (p ) особое решение. Пример. y = x y y 2. y = p, y = x p p 2 ; p = p + x dp dp 2p dx dx, dp ( x 2p ) dx = 0. 1) dp dx = 0 = p = C ; y = C x C 2 общее решение. 2) x 2p = 0, { x = 2p, y = x p p 2. Исключая p, получаем особое решение в явном виде: y = x2 4. Замечание. Общее решение можно найти, подставляя C вместо y решение - как огибающую семейства, а особое y = C x C 2. 22

23 12. Дифференциальные уравнения высших порядков Общие понятия, относящиеся к дифференциальным уравнениям n -го порядка, были приведены в начале темы. Напомним, что символически такие уравнения записываются в виде: F ( x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. (1) Мы будем рассматривать в этом параграфе только такие уравнения n -го порядка, которые можно разрешить относительно старшей производной, т. е. которые можно представить в виде: y (n) = f( x, y, y, y,..., y (n 1) ). (2) Для таких уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения, которую мы принимаем здесь без доказательства. Теорема. Если в уравнении (2) функция f и её частные производные по аргументам y, y, y,..., y (n 1) непрерывны в некоторой окрестности точки M 0 (x 0, y 0, y 0, y 0,..., y (n) 0 ) E n+1, то существует и притом единственное решение y = ϕ (x) уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям: y x=x0 = y 0, ϕ (x 0 ) = y 0, y x=x0 = y 0, ϕ (x 0 ) = y 0, y x=x0 = y 0, т. е. ϕ (x 0 ) = y 0, y (n 1) x=x0 = y (n 1) 0, ϕ (n 1) (x 0 ) = y (n 1) 0 Рекомендуется самостоятельно переформулировать эту теорему для дифференциального уравнения 2-го порядка. Одним из методов интегрирования уравнений высших порядков является т. н. метод понижения порядка, заключающийся в переходе к равносильному уравнению более низкого порядка. Рассмотрим три простейших типа уравнений, допускающих понижение порядка. I. Уравнение вида может быть проинтегрировано последовательно: y (n 1) = f (x) dx + C 1, [ y (n 2) = y (n) = f (x) (3) ] f (x) dx dx + C 1 x + C 2, y = dx dx... f (x) dx + C 1 x n C n 1 x + C n. } {{ } n Пример. y = cos x. y = sin x + C 1, y = cos x + C 1 x + C 2, y = sin x + C 1 x 2 + C 2 x + C 3. 23

24 II. Уравнение, не содержащее явно y и младших производных y (n) = f ( x, y (k),..., y (n 1) ), (4) где k n 1, допускает понижение порядка на k единиц. Для этого введём новую искомую функцию z = y (k). Тогда y (k+1) = z,..., y (n) = z (n k) и уравнение (4) превращается в уравнение порядка n k относительно функции z : Общее решение уравнения (5) приводит к уравнению z (n k) = f ( x, z, z,..., z (n k 1) ). (5) z = ϕ ( x, C 1, C 2,..., C n k ) y (k) = ϕ ( x, C 1, C 2,..., C n k ) (6) относительно функции y. Интегрируя уравнение (6), найдём общее решение исходного уравнения (4). Пример. y tg x = y. y = z, y = z ; z tg x = z, dz z = ctg x dx ; ln z = ln sin x + ln C 1, z = C 1 sin x ; y = C 1 sin x, y = C 1 cos x + C 2, y = C 1 sin x + C 2 x + C 3. Замечание. К уравнению 2-го порядка этот метод применим, если оно не содержит явно y : y = f ( x, y ). (7) Полагая y = z и y = z, приведём уравнение (7) к виду Проинтегрировав уравнение (8), найдём z = f ( x, z ). (8) y = z = ϕ ( x, C 1 ), откуда y = ϕ ( x, C 1 ) dx + C 2. Пример. x y = 2x y. y = z, y = z ; x z = 2x z ; z = 2 z (однородное уравнение) ; x

25 z = x + C 1 x ; y = x + C 1 x, y = x2 2 + C 1 ln x + C 2. III. Уравнение, не содержащее независимой переменной x : y (n) = f ( y, y,..., y (n 1) ) (9) допускает понижение порядка на одну единицу. Покажем это для уравнения 2-го порядка: y = f ( y, y ). (10) Примем y за независимую переменную, а y = p за искомую функцию. Тогда y = dp dx = dp dy dy dx = dp dy p и уравнение (10) приводится к уравнению 1-го порядка: p dp dy = f ( y, p ). Пусть найдено общее решение этого уравнения: p = ψ ( y, C 1 ). Тогда функцию y следует искать из дифференциального уравнения dy dx = ψ ( y, C 1) или dy ψ (y, C 1 ) = dx. Пример. y = y 2 y. y = p, y = p dp dy ; p dp dy = p2 y, dp p = dy y, dp dy = p y ; p = C 1 y ( p = 0 частное решение при C 1 = 0 ). dy dx = C 1 y, dy y = C 1 dx ; ln y = C 1 x + ln C 2 ; y = C 2 e C 1 x. 25

26 13. Линейные однородные уравнения Общий вид: a 0 (x) y (n) + a 1 (x) y (n 1) a n 1 (x) y + a n (x) y = 0. ( ) Установим некоторые свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь в доказательствах уравнениями 2-го порядка y + p (x) y + q (x) = 0. (1) Теорема 1. Если y 1 и y 2 - два частных решения линейного однородного уравнения (1), то их сумма y 1 + y 2 также является решением уравнения (1). Тогда Доказательство. Пусть y 1 + p y 1 + q y 1 = 0 и y 2 + p y 2 + q y 2 = 0. (y 1 + y 2 ) + p (y 1 + y 2 ) + q (y 1 + y 2 ) = y 1 + y 2 + p y 1 + p y 2 + q y 1 + q y 2 = = (y 1 + p y 1 + q y 1 ) + (y 2 + p y 2 + q y 2 ) = = 0. Теорема 2. Если y 1 - решение линейного однородного уравнения (1) и C - постоянная, то Cy 1 - также решение уравнения (1). Доказательство. Пусть y 1 + p y 1 + q y 1 = 0. Тогда (Cy 1 ) + p (Cy 1 ) + q (Cy 1 ) = Cy 1 + C p y 1 + C q y 1 = = C (y 1 + p y 1 + q y 1 ) = C 0 = 0. Определение 1. Две функции y 1 (x) и y 2 (x) называются линейно зависимыми на отрезке [ a, b ], если их отношение на этом отрезке постоянно, т. е. если существует такая постоянная λ, что x [ a, b ], y 2 (x) y 1 (x) = λ или y 2 (x) = λ y 1 (x). В противном случае функции y 1 (x) и y 2 (x) называются линейно независимыми. Пример 1. Функции y 1 = e x и y 2 = 1 3 ex линейно зависимы на всей числовой прямой, т. к. x, y 2 = 1 3 y 1. Пример 2. Функции y 1 = x + 1 и y 2 = x 2 1 линейно независимы, т. к. y 2 = x2 1 y 1 x + 1 = x 1 const. 26

27 Определение 2. Определителем Вронского или вронскианом двух функций y 1 (x) и y 2 (x) называется определитель W (x) = W (y 1, y 2 ) = y 1 (x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = y 1 (x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x). Теорема 3. Если функции y 1 (x) и y 2 (x) линейно зависимы на отрезке [ a, b ], то их определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю. Доказательство. Пусть y 2 (x) = λ y 1 (x). Тогда W ( y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y 1 y 2 = y 1 λ y 1 y 1 λ y 1 = λ y 1 y 1 λ y 1 y 1 0. Теорема 4.Если y 1 (x) и y 2 (x) - решения уравнения (1) на отрезке [ a, b ], то для их вронскиана W (x) на этом отрезке имеет место формула Лиувилля- Остроградского: где x 0 [ a, b ]. x W (x) = W (x 0 ) e p (x) dx x 0, (2) Доказательство. W (x) = y 1 (x) y 2 (x) y 2 (x) y 1(x), W (x) = y 1 (x) y 2 (x) y 2 (x) y 1(x). y 1 + p y 1 + q y 1 = 0 = y 1 = p y 1 q y 1, y 2 + p y 2 + q y 2 = 0 = y 2 = p y 2 q y 2. W = y 1 ( p y 2 q y 2 ) y 2 ( p y 1 q y 1 ) = = p y 1 y 2 + p y 2 y 1 = p (y 1 y 2 y 2 y 1) = p W ; W (x) = p (x) W (x), x ln W = x dw W = p (x) dx ; x 0 p (x) dx + ln C ; W (x) = C e p (x) dx x 0, W (x0 ) = C e 0 = C ; W (x) = W (x 0 ) e x x 0 p (x) dx. Следствие. Если y 1 (x) и y 2 (x) - решения уравнения (1) на отрезке [ a, b ], то их вронскиан либо тождественно равен нулю на [ a, b ], либо не равен нулю ни в одной точке этого отрезка. Теорема 5. Для того, чтобы решения y 1 (x) и y 2 (x) уравнения (1) были линейно независимы на отрезке [ a, b ], необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не равнялся нулю ни при каких x [ a, b ]. 27

28 Необходимость. Пусть y 1 и y 2 - два линейно независимых решения уравнения (1) на отрезке [ a, b ]. Тогда их вронскиан W (x) 0 на [ a, b ]. Действительно, пусть в некоторой точке x 0 [ a, b ] будет W (x 0 ) = 0. Тогда, по предыдущему следствию, W (x) 0 на отрезке [ a, b ]. Следовательно, ( y2 ) = y 1 y 2 y 2 y 1 y 1 y1 2 = W (y 1, y 2 ) y = y 2 y 1 = λ, а это противоречит условию линейной независимости функций y 1 и y 2. Достаточность. Пусть W (y 1, y 2 ) 0 на отрезке [ a, b ]. Тогда функции y 1 и y 2 линейно независимы, т. к. в противном случае по теореме 3 имели бы W (y 1, y 2 ) = 0. Теорема 6. Если y 1 (x) и y 2 (x) - два линейно независимых решения уравнения (1), а C 1 и C 2 - произвольные постоянные, то функция есть общее решение уравнения (1). y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) (3) Доказательство. Из теорем 1 и 2 следует, что функция (3) есть решения уравнения (1) при любых значениях C 1 и C 2. Докажем, что функция (3) - общее решение уравнения (1). Для этого докажем, что для любых начальных условий y x=x0 = y 0, y x=x0 = y 0 (4) можно подобрать значения произвольных постоянных C 1 и C 2 так, чтобы функция (3) удовлетворяла заданным начальным условиям (4). Введём обозначения: y 1 x=x0 = y 10, y 2 x=x0 = y 20 ; y 1 x=x0 = y 10, y 2 x=x0 = y 20. Подставляя начальные условия (4) в равенство (3), получим: y 0 =C 1 y 10 + C 2 y 20, y 0 =C 1 y 10 + C 2 y 20. (5) Будем рассматривать равенства (5) как систему уравнений относительно C 1 и C 2. Определитель этой системы y 10 y 20 y 10 y 20 = y 10 y 20 y 20 y 10 отличен от нуля как определитель Вронского для линейно независимых функций y 1 (x) и y 2 (x) в точке x 0. Следовательно, равенства (5) однозначно определяют значения C 1 и C 2. Подставляя их в (3), получим частное решение уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям (4). 28

29 Все доказанные выше теоремы справедливы и для линейных однородных уравнений любого порядка. В частности, общее решение линейного однородного уравнения n -го порядка (*) будет иметь вид: y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) C n y n (x), (6) где C 1, C 2,..., C n - произвольные постоянные, а y 1, y 2,..., y n - линейно независимые решения уравнения (*). Функции ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x) называются линейно зависимыми на отрезке [ a, b ], если существуют числа λ 1, λ 2,..., λ n, не все равные нулю, такие, что λ 1 ϕ 1 (x) + λ 2 ϕ 2 (x) λ n ϕ n (x) 0 на [ a, b ]. (7) Функции ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x) называются линейно независимыми, если условие (7) выполняется только при λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0. Левая часть равенства (7) называется линейной комбинацией функций ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x) с коэффициентами λ 1, λ 2,..., λ n. Совокупность n линейно независимых решений уравнения (*) называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка есть линейная комбинация его решений из фундаментальной системы с произвольными постоянными коэффициентами. Теорема 7. Если известно одно частное решение линейного однородного уравнения 2-го порядка, то его общее решение находится в квадратурах. Доказательство. Пусть y 1 - известное частное решение уравнения (1). Найдём другое его частное решение y 2 так, чтобы функции y 1 и y 2 были линейно независимы. По теореме 4 имеем: W ( y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y 2 y 1 = C e p (x) dx. Мы имеем т. о. для определения y 2 части на y1 2, перепишем его в виде: линейное уравнение 1-го порядка. Разделив обе y 1 y 2 y 2 y 1 y 2 1 = 1 y 2 1 C e p (x) dx или d dx ( y2 y 1 ) = C p (x) dx e y 2 1. Отсюда y 2 C e p (x) dx = dx + C. y 1 y1 2 Так как мы ищем частное решение, то, положив C = 0 и C = 1, получим: e p (x) dx y 2 = y 1 Так как y 2 y 1 const, то функции y 1 и y 2 линейно независимы. Следовательно, общее решение исходного уравнения (1) будет иметь вид: y 2 1 dx. e p (x) dx y = C 1 y 1 + C 2 y 1 29 y 2 1 dx.

30 Следствие. Если y 1 - частное решение уравнения (1), то другое частное решение этого уравнения, линейно независимое с y 1, можно искать в виде: y 2 = u y 1. Пример. x y ( x + 1 ) y + y = 0. y 1 = e x частное решение. y 2 = u e x, y 2 = ( u + u ) e x, y 2 = ( u + 2u + u ) e x ; x ( u + 2u + u ) e x ( x + 1 ) ( u + u ) e x + u e x = 0 ; x u + 2x u + xu xu xu u u + u = 0 ; x u + x u u = 0 ; x u = ( 1 x ) u ; u = v, u = v ; x v = ( 1 x ) v, dv v = 1 x dx ; x ln v = ln x x, v = x e x ; u = x e x dx = x e x e x ; y 2 = e x ( x + 1 ) e x = ( x + 1 ). Общее решение : y = C 1 e x + C 2 ( x + 1 ). Общий вид: 14. Линейные неоднородные уравнения a 0 (x) y (n) + a 1 (x) y (n 1) a n 1 (x) y + a n (x) y = f (x). ( ) Ограничимся уравнениями 2-го порядка: y + p (x) y + q (x) = f (x). (1) Вместе с уравнением (1) будем рассматривать и соответствующее однородное уравнение y + p (x) y + q (x) = 0. (2) Теорема 1. Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) имеет вид: y = ȳ + Y, (3) где ȳ - общее решение соответствующего однородного уравнения (2), а Y - какоенибудь частное решение данного уравнения (1). Доказательство. ȳ + p ȳ + q ȳ = 0, Y + p Y + q Y = f (x). 30

31 ( ȳ + Y ) + p ( ȳ + Y ) + q ( ȳ + Y ) = = ( ȳ + p ȳ + q ȳ ) + (Y + p Y + q Y ) = 0 + f (x) = f (x). Таким образом, сумма ȳ + Y есть решение уравнения (1). Докажем теперь, что (3) - общее решение уравнения (1). Для этого нужно доказать, что участвующие в (3) произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия y x=x0 = y 0, y x=x0 = y 0, (4) каковы бы ни были числа x 0, y 0, y 0 (лишь бы x 0 принадлежало области непрерывности функций p (x), q (x), f (x) ). Представляя ȳ в виде ȳ = C 1 y 1 + C 2 y 2 (где y 1 и y 2 - линейно независимые решения уравнения (2), а C 1 и C 2 - произвольные постоянные), перепишем равенство (3) в виде Тогда на основании условий (4) будем иметь y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + Y. (5) C 1 y 10 + C 2 y 20 + Y 0 = y 0, C 1 y 10 + C 2 y 20 + Y 0 = y 0. Из этой системы уравнений нужно определить C 1 и C 2. Переписывая её в виде C 1 y 10 + C 2 y 20 = y 0 Y 0, C 1 y 10 + C 2 y 20 = y 0 Y 0, (6) заметим, что её определитель есть вронскиан функций y 1 и y 2 в точке x = x 0, Так как эти функции по условию линейно независимы, то их вронскиан отличен от нуля. Следовательно, система (6) имеет решение, т. е. существуют такие значения C 1 и C 2, при которых формула (5) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (4). Таким образом, если известно общее решение ȳ однородного уравнения (2), то задача интегрирования неоднородного уравнения (1) состоит в нахождении какоголибо его частного решения Y. Если известно общее решение однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти методом вариации произвольных постоянных (Лагранжа). Пусть y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (7) - общее решение однородного уравнения (2). Будем искать решение неонородного уравнения (1) в виде (7), рассматривая C 1 и C 2 как некоторые пока неизвестные функции от x : y = C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x). (7 ) Продифференцируем равенство (7 ): y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + C 1 y 1 + C 2 y 2. 31

32 Выберем функции C 1 (x) и C 2 (x) так, чтобы Тогда Подставляя y, y и y в (1), получим: или C 1 y 1 + C 2 y 2 = 0. (8) y = C 1 y 1 + C 2 y 2, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + C 1 y 1 + C 2 y 2. C 1 y 1 + C 2 y 2 + C 1 y 1 + C 2 y 2 + p ( C 1 y 1 + C 2 y 2 ) + q ( C 1 y 1 + C 2 y 2 ) = f (x) C 1 ( y 1 + p y 1 + q y 1 ) + C 2 (y 2 + p y 2 + q y 2 ) + C 1 y 1 + C 2 y 2 = f (x), Так как y 1 и y 2 - решения однородного уравнения (2), то выражения в скобках обращаются в нуль. Следовательно, C 1 y 1 + C 2 y 2 = f (x). (9) Таким образом, функция (7 ) будет решением неоднородного уравнения (1) в том случае, если функции C 1 (x) и C 2 (x) удовлетворяют системе уравнений (8), (9): { C 1 y 1 + C 2 y 2 = 0, C 1 y 1 + C 2 y 2 = f (x). (10) Так как определителем этой системы является вронскиан линейно независимых решений y 1 и y 2 уравнения (2), то он не равен нулю. Следовательно, решая систему (10), получим: C 1 (x) = ϕ 1 (x), C 2 (x) = ϕ 2 (x). Интегрируя, найдём: C 1 (x) = ϕ 1 (x) dx + A, C 2 (x) = ϕ 2 (x) dx + B, (11) где A и B - произвольные постоянные. Подставляя (11) в (7 ), найдём интеграл, зависящий от двух произвольных постоянных A и B, т. е. общее решение неоднородного уравнения (1): y = y 1 ϕ 1 (x) dx + y 2 ϕ 2 (x) dx + A y 1 + B y 2. Пример. y 1 x y = x. 1) y 1 x y = 0, y y = 1 x, ln y = ln x + ln C, y = Cx ; y = C 1 x 2 + C 2. 32

33 2) y = C 1 (x) x 2 + C 2 (x). { C 1 (x) x 2 + C 2 (x) 1 = 0, Теорема 2. Решение Y уравнения можно представить в виде суммы C 1 (x) 2x + C 2 (x) 0 = x ; C 1 (x) = 1 2, C 2 (x) = 1 2 x2. C 1 (x) = x 2 + A, C 2 (x) = x3 6 + B ; ( x ) ) y = 2 + A x 2 + ( x3 6 + B ; y = A x 2 + B + x3 3. y + p y + q y = f 1 (x) + f 2 (x) (12) Y = Y 1 + Y 2, где Y 1 и Y 2 - соответчтвенно решения уравнений Доказательство. y + p y + q y = f 1 (x), (13) y + p y + q y = f 2 (x). (14) Y 1 + p Y 1 + q Y 1 = f 1 (x), Y 2 + p Y 2 + q Y 2 = f 2 (x). ( Y 1 + Y 2 ) + p ( Y 1 + Y 2 ) + q ( Y 1 + Y 2 ) = = ( Y 1 + p Y 1 + q Y 1 ) + ( Y 2 + p Y 2 + q Y 2 ) = f 1 (x) + f 2 (x). Пример. y + 4y = x + 3 e x. y + 4y = x, Y 1 = 1 4 x ; y + 4y = 3 e x, Y 2 = 3 5 ex ; Y = Y 1 + Y 2 = 1 4 x ex. Замечание. Теоремы 1 и 2, а также метод вариации произвольных, постоянных естественным образом обобщается на случай линейных неоднородных уравнений любого порядка (*). 33

34 15. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное однородное уравнение 2-го порядка где p и q - постоянные. Будем искать частные решения уравнения (1) в виде Тогда Подставляя y, y и y в (1), получим: y + p y + q y = 0, (1) y = e kx, где k = const. (2) y = k e kx, y = k 2 e kx. (3) e kx ( k 2 + p k + q ) = 0. (4) Таким образом, функция e kx будет решением уравнения (1), если k удовлетворяет уравнению (4) или (т. к. e kx 0 ) k 2 + p k + q = 0. (5) Уравнение (5) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (1). Обозначим через k 1 и k 2 корни квадратного уравнения (5). Возможны три случая: I. k 1, k 2 -действительные различные, II. k 1, k 2 - комплексные сопряжённые, III. k 1, k 2 - действительные равные (т. е. k 1 = k 2 ). Рассмотрим каждый случай отдельно. I. Корни характеристического уравнения действительны и различны: k 1 k 2. Частными решениями уравнения (1) будут функции Они линейно независимы, т. к. y 1 = e k 1 x, y 2 = e k 2 x. (6) y 2 y 1 = ek1 x e k 2 x = e( k 2 k 1 ) x const. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид: y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x. (7) Пример. y + y 2y = 0. k 2 + k 2 = 0, k 1 = 1, k 2 = 2. y = C 1 e x + C 2 e 2x. 34

35 где II. Корни характеристического уравнения - комплексные сопряжённые: k 1 = α + iβ, k 2 = α iβ, α = p 2, β = q p2 4. Частные решения уравнения (1) можно записать в виде: y 1 = e (α+iβ) x и y 2 = e (α iβ) x. Это - комплексные функции действительного аргумента. Однако проверкой можно установить, что частными решениями уравнения (1) будут также следующие действительные функции действительного аргумента: y 1 = e α x cos βx и y 2 = e α x sin βx. (8) Покажем это для y 1. Для y 2 проверить самостоятельно. y 1 = e α x cos βx, y 1 = α e α x cos βx β e α x sin βx, y = α 2 e α x cos βx 2αβ e α x sin βx β 2 e α x cos βx. Подставляя в (1), получим: e α x ( α 2 cos βx 2αβ sin βx β 2 cos βx )+ так как +p e α x ( α cos βx β sin βx ) + q e α x cos βx = = e α x [ ( α 2 β 2 + p α + q ) cos βx β ( 2α + p ) sin βx ] = 0, α 2 β 2 + p α + q = p2 4 q + p2 4 p2 2α + p = 2 ( p q = 0, ) + p = 0. Функции (8) линейно независимы, т. к. y 2 y 1 = eα x sin βx e α x cos βx = tg βx const. Следовательно, общее решение уравнения (1) в этом случае будет иметь вид: y = e α x ( C 1 cos βx + C 2 sin βx ). (9) Пример. y + 2 y + 5y = 0. k 2 + 2k + 5 = 0, k 1,2 = 1 ± 2 i. y = e x ( C 1 cos 2x + C 2 sin 2x ). 35

36 III. Корни характеристического уравнения действительны и равны: k 1 = k 2. Одно частное решение уравнения (1) известно: Будем искать второе частное решение в виде: Дифференцируя, найдём: y 1 = e k 1x. (10) y 2 = u (x) e k 1x. y 2 = u e k 1x + k 1 u e k 1x = e k 1x ( u + k 1 u ), y 2 = u e k 1x + 2k 1 u e k 1x + k 2 1 u e k 1x = e k 1x ( u + 2k 1 u + k 2 1 u ). Подставляя в уравнение (1), получим: e k 1x [ u + ( 2k 1 + p ) u + ( k p k 1 + q ) u ] = 0. Т. к. k 1 - корень характеристического уравнения, то Кроме того, k 1 = k 2 = p 2. Следвательно, k p k 1 + q = 0. 2k 1 + p = 0. Таким образом, для определения функции u (x) получаем уравнение откуда e k 1x u = 0 или u = 0, u = A x + B. Положив A = 1, B = 0 получим: u = x. Таким образом, Функции y 1 и y 2 линейно независимы, т. к. y 2 = x e k 1x. (11) y 2 y 1 = x ek1x e k 1x = x const. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид: y = e k 1x ( C 1 + C 2 x ). (12) Пример. y 4y + 4y = 0. k 2 4k + 4 = 0, k 1 = k 2 = 2 ; y = e 2x ( C 1 + C 2 x ). 36

37 Результаты, полученные для уравнения 2-го пордка (1), допускают обобщение на случай линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка: y (n) + p 1 y (n 1) p n 1 y + p n y = 0. ( ) Сформулируем обобщение этих результатов в виде правила: 1) Составим характеристическое уравнение и найдём его корни k 1, k 1,..., k n. k n + p 1 k n p n 1 k + p n = 0 2) Составим частные решения, соответствующие найденным корням: - каждому простому действительному корню k соответствует решение y = e kx ; - каждому r -кратному действительному корню k соответствует r решений: y 1 = e kx, y 2 = x e kx,..., y r = x r 1 e kx ; - каждой паре простых комплексных сопряжённых корней α ± β i соответствует два решения: y 1 = e α x cos βx, y 2 = e α x sin βx ; - каждой паре r -кратных комплексных сопряжённых корней α±β i соответствует 2r решений: y 1 = e α x cos βx, x y 1, x 2 y 1,..., x r 1 y 1 ; y 2 = e α x sin βx, x y 2, x 2 y 2,..., x r 1 y 2. 3) Линейная комбинация всех этих решений с произвольными постоянными коэффициентами есть общее решение уравнения (*). Пример 1. y (4) 4 y + 6 y 4 y + y = 0. ( k 1 ) 4 = 0, k = 1, r = 4 ; y = ( C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 x 3 ) e x. Пример 2. y (4) + 2 y + y = 0. k k = 0, ( k ) 2 = 0 ; k = ±i, r = 2 ; y = C 1 cos x + C 2 sin x + C 3 x cos x + C 4 x sin x. 16. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное неоднородное уравнение 2-го порядка y + p y + q y = f (x), (1) где p и q - постоянные, а f (x) - непрерывная функция. Рассмотрим также соответствующее однородное уравнение y + p y + q y = 0 (2) 37

38 и его характеристическое уравнение k 2 + p k + q = 0. (3) Пусть найдено общее решение однородного уравнения (2): ȳ = C 1 y 1 + C 2 y 2. (4) Тогда общее решение уравнения (1) можно найти методом вариации произвольных постоянных или в виде суммы y = ȳ+y, где Y - некоторое частное решение уравнения (1). Рассмотрим способы нахождения Y, ограничиваясь некоторыми частными случаями, когда правая часть f (x) уравнения (1) имеет специальный вид. I. f (x) = P n (x) e α x, (5) где P n (x) - многочлен n -ой степени. I-a. α не является корнем характеристического уравнения (3). Тогда можно доказать, что уравнение (1) имеет частное решение вида: Y = Q n (x) e α x, (6) где Q n (x) - многочлен степени n. Для нахождения Q n (x) применяется метод неопределённых коэффициентов. Пример 1. y + 9 y = ( x ) e 3x ( n = 2, α = 3 ). k = 0, k 1,2 = ±3 i, ȳ = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x. Y = Q 2 (x) e 3x = ( A x 2 + Bx + C ) e 3x, Y = 3 ( A x 2 + Bx + C ) e 3x + ( 2 Ax + B) e 3x, Y = 9 ( A x 2 + Bx + C ) e 3x + 6 ( 2 Ax + B) e 3x + 2A e 3x, [ 9 ( A x 2 + Bx + C ) + 6 ( 2 Ax + B) + 2A + 9 ( A x 2 + Bx + C ) ] e 3x = ( x ) e 3x. 18A x 2 + ( 12A + 18B ) x + ( 2A + 6B + 18C) = x A = 1, 12A = 18B = 0, A = 1 18, B = 1 27, C = A + 6B + 18C = 1 ; ( 1 Y = 18 x x + 5 ) e 3x. 81 ( 1 y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x + 18 x x + 5 ) e 3x. 81 Пример 2. y y + y = x = P 3 (x) e 0 x ( n = 3, α = 0 ). k 2 k + 1 = 0, k 1,2 = 1 2 ± i


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли.

dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли Уравнение вида: n + P( x) y Q( x) y, (3126) называется уравнением Бернулли Решение этого уравнения при n 0 и n 1 (в противном случае получается линейное уравнение) находится следующим

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

Методы интегрирования уравнений первого порядка

Методы интегрирования уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений первого порядка 1. Уравнения в полных дифференциалах Рассмотрим уравнение P (x, y) dx + Q(x, y) = 0. (1) Пусть P, Q непрерывно дифференцируемые функции в области D изменения

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

0, 2. Уравнения 1-порядка (повторение) Заметим, что x y. Преобразуем заданное уравнение следующим

0, 2. Уравнения 1-порядка (повторение) Заметим, что x y. Преобразуем заданное уравнение следующим [Ф] Филиппов А.В. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». URL: htt://elibrar.bsu.az/kitablar/846.df [М] Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

Конспект лекций по математике-3

Конспект лекций по математике-3 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского А.С.Шкуро Конспект лекций по математике-3 для студентов Химического института Учебное пособие Казань

Подробнее

Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Лектор Рожкова С.В. 2013 г. Теория дифференциальных уравнений

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее