ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия"

Транскрипт

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными. Примеры: ( ) u 2 x = u a2 y + 2 u, (1) 2 z 2 y + 2 y = sin x, x (2) y + 4 y + 13 y = 0, (3) x y + y = 1 + x. (4) Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной искомой (неизвестной) функции, входящей в это уравнение. Например, уравнение (2) - первого порядка, уравнения (1) и (3) - второго порядка, а уравнение (4) - третьего порядка. Дифференциальное уравнение относительно функции одной переменной называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение относительно функции нескольких переменных называется уравнением в частных производных. Особый класс таких уравнений составляют т. н. уравнения математической физики. Например, (2), (3), (4) - обыкновенные дифференциальные уравнения, а (1) - уравнение в частных производных. В нашем курсе рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка: или F ( x, y, y,..., y (n) ) = 0 (5) y (n) = f( x, y, y,..., y (n 1) ). (6) Во втором случае уравнение называется разрешённым относительно старшей производной. Решением дифференциального уравнения (5) или (6) называется всякая функция y = ϕ (x), (7) которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество, то есть такая, что F [ x, ϕ (x), ϕ (x),..., ϕ (n 1) (x) ] 0 или, соответственно, ϕ (n) (x) f [ x, ϕ (x), ϕ (x),..., ϕ (n 1) (x) ]. Например, функция y = x x2 2 является решением уравнения (4). Действительно, y = x x2 2, y = x2 4 + x, y = x 2 + 1, y = 1 2 ; 1

2 Подставляя в (4), получим x ( x ) 1 + x. Иногда решение (7) дифференциального уравнения находят в неявном виде: ψ ( x, y ) = 0. Тогда оно называется также интегралом дифференциального уравнения. Решить дифференциальное уравнение - значит найти все его решения в данной области. График решения (7) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого дифференциального уравнения. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения. Пример 1. Основная задача интегрального исчисления - нахождение функции y по её производной f(x) - сводится к решению (интегрированию) простейшего дифференциального уравнения y = f(x). Такое дифференциальное уравнение имеет, как мы знаем, бесчисленное множество решений, зависящих от одной произвольной постоянной C : y = f(x) dx + C. Пример 2. y = 0 ; (y ) = 0, y = C 1, y = C 1 x + C 2. Таким образом, мы видим, что множество решений дифференциального уравнения первого порядка зависит от одной произвольной постоянной, а множество решений дифференциального уравнения 2-го порядка - от 2 произвольных постоянных. Придавая этим постоянным всевозможные значения, мы получим, вообще говоря, все решения данных дифференциальных уравнений. Общим решением дифференциального уравнения (5) называется такое его решение y = ϕ ( x, C 1, C 2,... C n ), (8) которое содержит столько (независимых) произвольных постоянных C 1, C 2,..., C n, каков порядок этого уравнения. Если общее решение (8) получено в неявном виде: ψ ( x, y, C 1, C 2,... C n ) = 0, (9) то её называют также общим интегралом дифференциального уравнения (5) или (6). Всякое решение дифференциального уравнения (5) или (6), которое получается из его общего решения (8) при определённых значениях произвольных постоянных C 1, C 2,... C n, называется частным решением этого уравнения. Аналогично определяется частный интеграл дифференциального уравнения. Пример. y + y = 0 (10) Легко сообразить, что функции sin x и cos x - решения этого дифференциального уравнения: (sin x) + sin x 0, (cos x) + cos x 0. 2

3 Нетрудно проверить также, что функция y = C 1 sin x + C 2 cos x - тоже решение. Это - общее решение уравнения (10). Из него можно получить различные частные решения: при C 1 = 1, C 2 = 0 : y = sin x, при C 1 = 0, C 2 = 1 : y = cos x, при C 1 = 2, C 2 = 5 : y = 2 sin x 5 cos x и т. д. Решение, которое не может быть получено из общего решения ни при каких значениях произвольных постоянных, называется особым решением. Задача Коши для дифференциального уравнения (5) или (6) заключается в том, чтобы найти решение y = ϕ (x) этого уравнения, удовлетворяющее условиям вида: ϕ (x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y 1, ϕ (x 0 ) = y 2,..., ϕ (n 1) (x 0 ) = y n 1, (11) где x 0, y 0, y 1, y 2,..., y n 1 - заданные числа, называемые начальными данными. Условия (11) называются начальными условиями задачи Коши. Дифференциальное уравнение (5) называется линейным, если его левая часть представляет собой многочлен первой степени относительно неизвестной функции y и её производных y, y,..., y (n). Общий вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка: a 0 (x) y (n) + a 1 (x) y (n 1) a n 1 (x) y + a n (x) y = f (x). (12) Функции a 0 (x), a 1 (x),..., a n 1 (x), a n (x) называются коэффициентами линейного дифференциального уравнения (12), а функция f (x) - правой частью этого уравнения. Если f(x) 0, то уравнение (12) называется однородным или без правой части; в противном случае уравнение (12) называется неоднородным или с правой частью. Коэффициенты a 0 (x), a 1 (x),..., a n 1 (x), a n (x) в уравнении (12) могут оказаться постоянными. Тогда уравнение (12) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Например, дифференциальные уравнения (2). (3), (4) - линейные, из них (2) и (4) - неоднородные, а (3) -однородное, оно же с постоянными коэффициентами. 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка: F ( x, y, y ) = 0 (1) или, если уравнение разрешено относительно производной y, y = f ( x, y ). (2) Для дифференциальных уравнений 1-го порядка сохраняют смысл все понятия, введённые выше для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного 3

4 порядка: решение, интеграл, интегральная кривая, общее решение, общий интеграл, частное решение, частный интеграл, начальные условия, задача Коши и т. д. Например, решением дифференциального уравнения (1) или (2) является всякая функция y = ϕ (x), (3) удовлетворяющая этому дифференциальному уравнению, т. е. такая, что или F [ x, ϕ (x), ϕ (x) ] 0 ϕ (x) f [ x, ϕ (x) ], а график функции (3) - интегральная кривая дифференциального уравнения (1) или (2). Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид а общий интеграл такого уравнения записывается в виде y = ϕ ( x, C ), (4) ψ ( x, y, C ) = 0, (5) где C - произвольная постоянная. Геометрическим образом общего решения (4) или общего интеграла (5) дифференциального уравнения 1-го порядка является семейство линий (интегральных кривых), зависящее от 1 параметра. Пример. y = x = y = x2 2 + C. y 2 1 C = 0 C = 1 C = 2-2 O 1 2 x -1-2 Геометрическими образами частных решений или частных интегралов дифференциального уравнения 1-го порядка служат отдельные линии (интегральные кривые) указанного выше семейства, которые соответствуют отдельным значениям параметра C. 4

5 Если задана точка M 0 ( x 0, y 0 ), то из бесконечного семейства интегральных кривых дифференциального уравнения 1-го порядка в простейших случаях можно выделить одну, проходящую через эту точку. Она будет являться интегральной кривой некоторого частного решения данного дифференциального уравнения. Аналитически это требование сводится к начальному условию x = x 0 = y = y 0. Если известно общее решение (4), то это требование можно представить в виде ϕ ( x 0, C ) = y 0, откуда, вообще говоря, можно определить C и, следовательно, найти соответствующее частное решение. В этом и состоит задача Коши для дифференциального уравнения 1-го пордка. Геометрический смысл задачи Коши: найти интегральную кривую дифференциального уравнения (1) или (2), проходящую через данную точку M 0 ( x 0, y 0 ). Возникают вопросы: при каких условиях задача Коши имеет решение? если решение есть, то является ли оно единственным? Для уравнения (2), разрешённого относительно производной, на эти вопросы отвечает следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения 1-го поряка. Если в уравнении (2): y = f ( x, y ). (2) функция f ( x, y ) непрерывна вместе со своей частной производной f y ( x, y ) по y в некоторой области G на плоскости Oxy, содержащей данную точку M 0 ( x 0, y 0 ), то существует и притом единственное решение y = ϕ (x) уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию: ϕ (x 0 ) = y 0 (или y x=x0 = y 0 ). Геометрический смысл теоремы существования и единственности: если правая часть f (x, y) уравнения (2) непрерывна вместе со своей частной производной по y в некоторой окрестности G точки M 0 ( x 0, y 0 ), то существует и притом единственная интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку M 0. y G y = ϕ(x) y 0 M 0 O x 0 x 5

6 Заметрим, что уравнение (2) определяет в каждой точке M(x, y) значение производной y, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, уравнение (2) определяет на плоскости Oxy множество направлений или, как ещё говорят, поле направлений. Следовательно, с геометрической точки зрения, задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках. Для дифференциального уравнения (2) геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение y = C = const, называется изоклиной. При различных значениях C получаем различные изоклины уравнения (2). Уравнение изоклины, соответствующей значению C, имеет вид: f ( x, y ) = C. Построив семейство изоклин, можно приближённо построить семейство интегральных кривых данного дифференциального уравнения. 3. Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение 1-го порядка вида P (x) dx + Q(y) dy = 0 (1) называется уравнением с разделёнными переменными. Перепишем уравнение (1) в виде P (x) dx = Q(y) dy. (2) Равенство (2) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов. Интегралы от них должны отличаться лишь постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по x, а правую часть по y, получим: P (x) dx = Q(y) dy + C или P (x) dx + Q(y) dy = C. (3) Соотношение (3) представляет собой общий интеграл уравнения (1). Замечание 1. В теории дифференциальных уравнений символ f(x) dx обозначает одну из первообразных функции f(x), а не всё их множество, как в интегральном исчислении. Замечание 2. Дифференциальное уравнение теоретически считается проинтегрированным, если решение доведено до квадратур, т. е. до операций вычисления первообразных. Например, задача интегрирования уравнения (1) в форме (3) считается завершённой. Всякое дифференциальное уравнение 1-го порядка, приводящееся к виду (1), называется уравнением с разделяющимися переменными. Общий вид такого уравнения: y = f(x) g(y) (4) 6

7 или P 1 (x) Q 1 (y) dx + P 2 (x) Q 2 (y) dy = 0. (5) Действительно, уравнения (4) и (5) можно представить соответственно в виде и dy g(y) = f(x) dx P 1 (x) P 2 (x) dx + Q 2(y) Q 1 (y) dy = 0. Их общие интеграла имеют соответствнно вид: dy g(y) = f(x) dx + C и P1 (x) P 2 (x) dx + Q2 (y) Q 1 (y) dy = C. Пример. y = y x. (в силу произвольности C ). x dy = y dx ; dy y = dx x ; ln y = ln x + C 1, C 1 = ln C ; ln y = ln x + ln C ; y = Cx, y = ±Cx ; y = Cx 4. Однородные дифференциальные уравнения Функция f(x, y) называется однородной степени n относительно переменных x и y, если для любого числа λ имеет место тождество f(λx, λy) = λ n f(x, y). Пример 1. f(x, y) = xy y 2 - однородная функция степени 2, т. к. f(λx, λy) = (λx)(λy) (λy) 2 = λ 2 xy λ 2 y 2 = λ 2 (xy y 2 ) = λ 2 f(x, y). Пример 2. f(x, y) = x2 y 2 xy - однородная функция степени 0, т. к. f(λx, λy) = (λx)2 (λy) 2 (λx)(λy) = λ2 x 2 λ 2 y 2 λ 2 xy = x2 y 2 xy = λ 0 f(x, y). 7

8 Дифференциальное уравнение 1-го порядка y = f ( x, y ) (1) называется однородным, если f(x, y) - однородная функция нулевой степени. Очевидно, дифференциальное уравнение 1-го порядка P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (2) является однородным тогда и только тогда, когда коэффициенты P (x, y) и Q(x, y) являются однородными функциями одинаковой степени. Это следует из того, что отношеие двух однородных функций одинаковой степени есть однородная функция нулевой степени. С помощью подстановки u = y x или y = ux (3) однородное уравнение (1) или (2) сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Покажем это для уравнения (1). По условию f(λx, λy) = f(x, y). Полагая λ = 1, получим: x ( f(x, y) = f 1, y ). x Следовательно, уравнение (1) можно представить в виде Применняя подстановку (3), заметим, что dy (1, dx = f y ). (4) x dy dx = d du (ux) = u + x dx dx. Подставляя это выражение в (4), получим: u + x du dx = f ( 1, u ). Это - уравнение с разделяющимися переменными: du f(1, u) u = dx x. вместо u, получим общий инте- Интегрируя это уравнение, затем подставляя y x грал уравнения (1). Пример. y = x + y ( x 0 ) x y = ux, y = u + u x u + u x = ( 1 + u ) u x = (1 + 2u) = 2 (u + 1/2) 8

9 du u + 1/2 = 2 dx x ln u + 1/2 = 2 ln x + ln C u = C x 2 u = y x = C x y = C x x 2. В процессе решения было произведено деление на x 0 и на u + 1/2. u = 0 = y = x 2. Проверка показывает, что y = x 2 из общего решения при C = 0. - решение данного уравнения. Оно получается Замечание. Уравнение (x + y) dx + x dy = 0 имеет то же общее решение y = C x, но при этом x = 0 - также решение. Это - x 2 особое решение, т. к. не получается из общего решения ни при каком значении C. 5. Линейные уравнения 1-го порядка Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид: a (x) y + b (x) y = c (x), (1) где a (x), b (x), c (x) - заданные непрерывные функции, причём a (x) 0. Разделив обе части уравнения (1) на a (x), его можно привести к виду y + p (x) y = q (x). (2) Один из методов интегрирования уравнения (2) заключается в том, что его решение ищется в виде произведения двух функций одна из которых может быть выбрана произвольно. Дифференцируя обе части равенства (3), получим: Подставляя (3) и (4) в (2), будем иметь или y = u (x) v (x), (3) dy dx = u dv dx + v du dx. (4) u dv dx + v du dx + p uv = q ( ) dv u dx + pv + v du dx = q. (5) 9

10 Выберем функцию v так, чтобы Разделяя переменные в (6), получим dv dx + p v = 0. (6) откуда dv v ln v = = p dx, p dx + ln C 1 или v = C 1 e p (x) dx. Т. к. нас интересует произвольное решение уравнения (6), положим v = e p (x) dx. (7) Подставляя (7) в (5), будем иметь или откуда или u = u (x) = v (x) du dx = q (x) du dx = q (x) v (x), q (x) v (x) dx + C q (x) e p (x) dx dx + C. Таким образом, [ y = e p (x) dx ] q (x) e p (x) dx dx + C. (8) Уравнение (2) можно решить ещё методом вариации произвольной постоянной, который заключается в следующем. Интегрируется сначала соответствующее однородное уравнение y + p (x) y = 0. Его общее решение имеет вид y = C e p (x) dx. Теперь решение уравнения (2) ищется в виде Дифференцируя (9), получим: y = C (x) e p (x) dx. (9) y = C (x) e p (x) dx p (x) C (x) e p (x) dx. (10) 10

11 Подставляя (9) и (10) в (2), будем иметь: C (x) e p (x) dx = q (x) или откуда C (x) = q (x) e p (x) dx, C (x) = q (x) e p (x) dx + C и, следовательно, [ y = e p (x) dx ] q (x) e p (x) dx dx + C. Пример. y + y tg x = 2x cos x. 1-ый метод 2-ой метод y = u v, y = u v + uv y + y tg x = 0 u v + u v + uv tg x = 2x cos x dy y = tg x dx u (v + v tg x) + u v = 2x cos x ln y = ln cos x + ln C v + v tg x = 0 dv v y = C cos x = tg x dx y = C (x) cos x ln v = ln cos x + ln C 1 y = C (x) cos x C (x) sin x v = C 1 cos x C (x) cos x C (x) sin x+ v = cos x u cos x = 2x cos x u = 2x u = x 2 + C +C (x) cos x tg x = 2x cos x C (x) cos x = 2x cos x C (x) = 2x C (x) = x 2 + C y = u v = (x 2 + C) cos x. y = (x 2 + C) cos x. Так называется уравнение вида 6. Уравнение Бернулли y + p (x) y = q (x) y α. (1) где p (x) и q (x) - заданные непрерывные функции, а α - действительное число, отличное от 0 и 1. Уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению с помощью подстановки z = y 1 α. Действительно, тогда y = z 1 1 α, y = 1 1 α z α 1 α z. (2) 11

12 Подставляя (2) в (1), получим: 1 z α 1 α 1 α z + p (x) z 1 1 α = q (x) z α 1 α или (после умножения на z α 1 α ) 1 1 α z + p (x) z = q (x). Уравнение Бернулли можно решить как и линейное уравнение с помощью подстановки y = u (x) v (x) или методом вариации произвольной постоянной. Пример y x y = y 2 или y 1 x = 1 x y2. 1-ый метод 2-ой метод y = u v, y = u v + u v x 2 u = u 2 x 2 u v xy v x u v = u 2 v 2 u = u 2 u (v x v ) x u v = u 2 v 2 du u 2 = dx v x v 1 = 0 = x + C u dv = dx, v = x u = 1 v x x+c y = x x + C. 7. Уравнение в полных дифференциалах Дифференциальное уравнение вида P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции U (x, y). Такое уравнение очевидно можно представить в виде d U (x, y) = 0, откуда ясно, что его общий интеграл будет иметь вид U (x, y) = C. Теорема. Пусть функции P (x, y) и Q (x, y) непрерывны вместе со своими частными производными P и Q (2) y x в некоторой области G. Тогда для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество P y Q x. (3) 12

13 Необходимость. Пусть левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции U (x, y) : Тогда Следовательно, P (x, y) dx + Q (x, y) dy = d U (x, y) = U U dx + x y dy. P (x, y) = U x, P y = 2 U x y, U Q (x, y) = y. Q x = 2 U y x, откуда, в силу непрерывности частных производных (2), следует тождество (3). Достаточность. Пусть имеет место тождество (3). Тогда, как легко проверить, левая часть уравнения (1) является полным дифференциалом функции Действительно, U (x, y) = x x 0 P (x, y) dx + y y 0 Q (x 0, y) dy. U = P (x, y) ; (4) x U x y = P x x 0 y dx + Q (x 0, y) (3) Q = x 0 x dx + Q (x 0, y) = = Q (x, y) x x 0 + Q (x 0, y) = Q (x, y) Q (x 0, y) + Q (x 0, y) ; Из (4) и (5) следует, что U y = Q (x, y). (5) d U (x, y) = U U dx + dy = P (x, y) dx + Q (x, y) dy, x y ч. и т. д. На практике функцию U (x, y) такую, что находят следующим образом. Поскольку d U (x, y) = P (x, y) dx + Q (x, y) dy, то Отсюда U (x, y) = U x x = P (x, y), x 0 P (x, y) dx + ϕ (y). (6) U x y = P x 0 y dx + ϕ (y) = Q (x, y) 13

14 или, в силу (3), то есть откуда Следовательно, x x 0 Подставляя (7) в (6), получим: Q x dx + ϕ (y) = Q (x, y), Q (x, y) x x 0 + ϕ (y) = Q (x, y), ϕ (y) = Q (x, y) Q (x, y) + Q (x 0, y) = Q (x 0, y). U (x, y) = ϕ (y) = x y y 0 Q (x 0, y) dy + C 1. (7) x 0 P (x, y) dx + y y 0 Q (x 0, y) dy + C 1. Замечание. Функцию U (x, y) можно получить также в виде U (x, y) = y y 0 Q (x, y) dy + x x 0 P (x, y 0 ) dx + C 2. Пример. 2x y 3 dx + y2 3x 2 y 4 dy = 0. P (x, y) = 2x y 3, Q (x, y) = y2 3x 2 y 4 ; P y = 6x y 4, U x = 2x y, U = 3 P y Q x. 2x Q x = 6x y 4 ; x2 dx + ϕ (y) = y3 y + ϕ (y) ; 3 U y = 3x2 y + 4 ϕ (y) = Q (x, y) = 1 y 3x2 2 y ; 4 ϕ (y) = Общий интеграл данного уравнения: ϕ (y) = 1 y 2 ; dy y 2 + C 1 = 1 y + C 1 ; U (x, y) = x2 y 3 1 y + C 1. x 2 y 3 1 y = C. 14

15 Пусть левая часть уравнения 8. Интегрирующий множитель P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (1) не является полным дифференциалом. Иногда удаётся подобрать такую функцию µ (x, y) после умножения на которую обеих частей уравнения (1), его левая часть становится полным дифференциалом. Общее решение полученного таким образом уравнения очевидно совпадает с общим решением данного уравнения (1). Функция µ (x, y) называется интегрирующим множителем уравнения (1). Как найти интегрирующий множитель µ? Умножим обе части уравнения (1) на неизвестную пока функцию µ (x, y) : µ P dx + µ Q dy = 0. (2) Для того, чтобы функция µ была интегрирующим множителем уравнения (1), то есть чтобы уравнение (2) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы то есть чтобы или (µ P ) y (µ Q) x µ P y + P µ y = µ Q x + Q µ x ) P µ y Q µ x = µ, ( Q x P y Разделив обе части последнего равенства на µ, получим: P (ln µ) y Q (ln µ) x. = Q x P y. (3) Таким образом, для того, чтобы функция µ (x, y) была интегрирующим множителем уравнения (1), необходимо, чтобы она удовлетворяла уравнению (3). Можно доказать, что при опредлённых условиях уравнение в частных производных (3) относительно функции µ (x, y) имеет бесчисленное множество решений. Однако в общем случае задача интегрирования уравнения (3) труднее чем первоначальная задача интегрирования уравнения (1). Только в некоторых частных случаях удаётся без труда найти функцию µ (x, y). Пусть, например, уравнение (1) допускает интегрирующий множитель, зависящий только от y. Тогда (ln µ) = 0 x и уравнение (3) принимает вид: d (ln µ) dy = Q P x y P. (4) Из уравнения (4) легко найти ln µ, а следовательно, и µ, но только при условии, Q x что P y зависит только от y. P 15

16 Аналогично, если выражение Q P x y Q зависит только от x, то можно найти интегрирующий множитель µ, зависящий только от x, из уравнения Q d (ln µ) = P x y. dx Q Пример. (y + xy 2 ) dx x dy = 0. P = y + xy 2, Q = x ; P y = 1 + 2xy, Q P x y P = d (ln µ) dy 1 1 2xy y + xy 2 Q x = 1 ; = P y Q x. 2 (1 + xy) y (1 + xy) = 2 y ; = 2, ln µ = 2 ln µ ; y µ = 1 y 2. Умножив данное уравнение на найденный интегрирующий множитель, получим уравнение в полных дифференциалах 1 + xy y dx x y 2 dy = 0. Действительно, y ( ) 1 + xy y = ( xy ) = 1 x 2 y. 2 Общий интеграл: U x = 1 ( ) 1 y + x, U = y + x dx + ϕ (y) = x y + x2 2 + ϕ (y) ; U y = x y 2 = x y 2 + ϕ (y), ϕ (y) = 0, ϕ (y) = C 1 ; x y + x2 2 = C. Общее решение: y = 2x x 2 + 2C. U = x y + x2 2 + C 1. 16

17 9. Особые точки и особые решения Пусть дано дифференциальное уравнение y = f ( x, y ), (1) для которого в некоторой точке M 0 (x 0, y 0 ) нарушено хотя бы одно из условий теоремы существования и единственности. Тогда может оказаться, что не существует ни одной интегральной кривой уравнения (1), проходящей через точку M 0, или, наоборот, через точку M 0 проходит более одной интегральной кривой этого уравнения. Такая точка M 0 называется особой точкой дифференциального уравнения (1). Если условия теоремы существования и единственности нарушены вдоль целого геометрического места точек, то это г.м.т. может оказаться интегральной кривой уравнения (1). Такая интегральная кривая называется особой интегральной кривой, а соответствующее ей решение - особым решением этого дифференциального уравнения. К понятию особого решения можно подойти ущё с другой точки зрения, связанной с понятием огибающей. Линия L называется огибающей однопараметрического семейства кривых, если она в каждой своей точке касается некоторой кривой данного семейства, причём в различных точках она касается различных кривых данного семейства. Если однопараметрическое семейство кривых задано уравнением Φ ( x, y, C ) = 0, (2) то его огибающую находят следующим образом (без доказательства): сначала дифференцируют уравнение (2) по параметру C : Φ C ( x, y, C ) = 0, (3) а затем из уравнений (2) и (3) исключают параметр C. Получающаяся при этом уравнение определяет некоторую кривую, которая называется дискриминантной кривой. Пример. Продифференцируем по C : Исключаем C : (x C) 2 + y 2 R 2 = 0 (семейство окружностей). 2 ( x C ) = 0 y 2 R 2 = 0, y = ±R (огибающая). y y = R y = R x 17

18 Замечание. Уравнение, полученное исключением C из (2) и (3), не всегда определяет огибающую семейства (2) (семейство (2) может и не иметь огибающей). Поэтому, получив такое уравнение, нужно ещё проверить, определяет ли оно огибающую или нет. Пример. y 3 (x C) 2 = 0 (семейство кубических парабол). Дифференцируя по C, получим: 2 (x C) = 0. Исключая C, получим уравнение дискриминантной кривой y = 0. Она огибающей не является. y O y = 0 x Пусть теперь уравнение (2) представляет собой общий интеграл дифференциального уравнения (1). Пусть, кроме того, семейство интегральных кривых (2) уравнения (1) имеет огибающую. Тогда эта огибающая также является интегральной кривой дифференциального уравнения (1). Действительно, в каждой своей точке огибающая касается некоторой кривой семейства (2), т. е. имеет с ней общую касательную. Следовательно, в каждой точке огибающая и кривая семейства имеют одинаковые значения величин x, y, y. Но для кривой семейства числа x, y, y удовлетворяют уравнению (1). Значит, тому же уравнению удовлетворяют в каждой точке огибающей координаты этой точки и угловой коэффициент касательной к огибающей в той же точке. А это как раз и означает, что огибающая является интегральной кривой, а её уравнение - решением данного дифференциального уравнения. Так как через каждую точку огибающей проходят две интегральные кривые уравнения (1), то она является особой интегральной кривой, а её уравнение определяет особое решение дифференциального уравнения (1). А так как огибающая семейства (2) не является, вообще говоря, кривой этого семейства, то её уравнение (а значит и особое решение данного дифференциального уравнения) не может быть получено из общего интеграла (2) ни при каком значании C. Пример. y 2 (1 + y 2 ) = R 2. dy dx = ± R2 y 2 ; y y dy ± R 2 y 2 = dx ; R 2 y 2 = x C. Общий интеграл : (x C) 2 + y 2 = R 2. Особые решения : y = ±R. 18

19 10. Уравнения, не разрешённые относительно производной Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка F ( x, y, y ) = 0, (1) не разрешённое относительно производной искомой функции. Рассмотрим случай, когда уравнение (1) разрешимо относительно независимой переменной x или относительно искомой функции y. 1. x = ϕ ( x, y ). (2) Введём обозначение y = p и будем искать решение уравнения (2) в параметрической форме, приняв p за параметр. Уравнение (2) примет вид: x = ϕ ( x, p ). (3) Дифференцируя, получим: или Решим уравнение (4). Пусть dx = ϕ y dy + ϕ y dp 1 p = ϕ y + ϕ dp y dy. (4) g ( p, y, C ) = 0 (5) - его общий интеграл. Тогда решение исходного уравнения (2) определяется из (3) и (5) в параметрической форме: { x = ϕ ( x, p ), g ( p, y, C ) = 0. Пример. x = y ln y. y = p, x = p ln p, 1 p = ( ln p + 1 ) dp dy ; dy dp = p ln p + p, y = p2 2 ln p + p2 4 + C. Общее решение: { x = p ln p, y = p2 2 ln p + p2 4 + C. 2. y = ψ ( x, y ). (6) Введя обозначение y = p, перепишем уравнение (6) в виде: y = ψ ( x, p ). (7) 19

20 Дифференцируя, получим: или Если dy = ψ x dx + ψ p dp p = ψ x + ψ p dp dx. (8) h ( x, p, C ) = 0 (9) - общий интеграл уравнения (8), то уравнения (7) и (9) определяют решение дифференциального уравнения (6) в параметрической форме, где роль параметра играет p. Пример. y = 2y x + 1 y. y = p ; y = 2p x + 1 p ; Общее решение: p = 2p + 2x dp dx 1 dp p 2 dx ; ( p = 2x 1 ) dp p 2 dx ; dx dp = 2 p x + 1 (линейное уравнение) ; p x = 1 p ( ln p + C ). 2 x = 1 p ( ln p + C ), 2 y = 2p x + 1 p = 1 p + 2 p ( ln p + C ). 11. Уравнения Лагранжа и Клеро Уравнением Лагранжа называется уравнение вида Решается оно методом введения параметра. y = x ϕ ( y ) + ψ ( y ). (1) y = p, y = x ϕ (p ) + ψ (p ) ; p = ϕ (p ) + x ϕ (p ) dp dx + ψ (p ) dp dx ; p ϕ (p ) = [ x ϕ (p ) + ψ (p ) ] dp dx ; dx dp x ϕ (p ) p ϕ (p ) = 20 ψ (p) p ϕ (p ). (2)

21 Решая полученное линейное уравнение (2), найдём: x = g (p, C ). Общее решение уравнения Лагранжа (1) можно представить в параматрической форме: { x = g (p, C ), y = x ϕ (p ) + ψ (p ). Если отсюда исключить параметр p, можно получить общий интеграл уравнения (1) в виде: Φ ( x, y, C ) = 0. Заметим, что уравнение Лагранжа может иметь особые решения, получаемые при Они (если существуют) имеют вид: где p - корень уравнения (3). Пример. p ϕ (p ) = 0. (3) y = p x + ψ ( p ), y = x y 2 + y 2. y = p ; y = x p 2 + p 2 ; p = p 2 + 2p x dp dp + 2p dx dx ; p p 2 = ( 2p x + 2p ) dp dx ; dx dp = 2p ( x + 1 ) p (1 p)) ; dx dp + 2 p 1 x = 2 (линейное уравнение) ; 1 p x = C 1 (p 1) 2 1 ; Общее решение в параметрической форме: x = C 1 (p 1) 1, 2 y = ( x + 1 ) p 2. Исключаем параметр p : ( p 1 ) 2 = C 1 x + 1, p = p 2 = ( x C 1 ) 2 x + 1 y = ( x + 1 ) ( x C 1 ) 2 x C1 x ;, = ( x C 1 ) 2,

22 Уравнение вида C1 = C y = ( x C ) 2 общее решение. p p 2 = 0 1) p = 0 = y = 0 (особое решение) ; 2) p = 1 = y = x + 1 (частное решение). y = x y + ψ ( y ) называется уравнением Клеро. Решается так же, как и уравнение Лагранжа, частным случаем которого оно является. 1) y = p, y = x p + ψ (p ) ; p = p + x dp dx + ψ (p ) dp dx ; [ x + ψ (p )] dp dx = 0. dp dx = 0 = p = C ; y = C x + ψ ( C ) общее решение. 2) x + ψ (p ) = 0, { x = ψ (p ), y = p ψ (p ) + ψ (p ) особое решение. Пример. y = x y y 2. y = p, y = x p p 2 ; p = p + x dp dp 2p dx dx, dp ( x 2p ) dx = 0. 1) dp dx = 0 = p = C ; y = C x C 2 общее решение. 2) x 2p = 0, { x = 2p, y = x p p 2. Исключая p, получаем особое решение в явном виде: y = x2 4. Замечание. Общее решение можно найти, подставляя C вместо y решение - как огибающую семейства, а особое y = C x C 2. 22

23 12. Дифференциальные уравнения высших порядков Общие понятия, относящиеся к дифференциальным уравнениям n -го порядка, были приведены в начале темы. Напомним, что символически такие уравнения записываются в виде: F ( x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. (1) Мы будем рассматривать в этом параграфе только такие уравнения n -го порядка, которые можно разрешить относительно старшей производной, т. е. которые можно представить в виде: y (n) = f( x, y, y, y,..., y (n 1) ). (2) Для таких уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения, которую мы принимаем здесь без доказательства. Теорема. Если в уравнении (2) функция f и её частные производные по аргументам y, y, y,..., y (n 1) непрерывны в некоторой окрестности точки M 0 (x 0, y 0, y 0, y 0,..., y (n) 0 ) E n+1, то существует и притом единственное решение y = ϕ (x) уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям: y x=x0 = y 0, ϕ (x 0 ) = y 0, y x=x0 = y 0, ϕ (x 0 ) = y 0, y x=x0 = y 0, т. е. ϕ (x 0 ) = y 0, y (n 1) x=x0 = y (n 1) 0, ϕ (n 1) (x 0 ) = y (n 1) 0 Рекомендуется самостоятельно переформулировать эту теорему для дифференциального уравнения 2-го порядка. Одним из методов интегрирования уравнений высших порядков является т. н. метод понижения порядка, заключающийся в переходе к равносильному уравнению более низкого порядка. Рассмотрим три простейших типа уравнений, допускающих понижение порядка. I. Уравнение вида может быть проинтегрировано последовательно: y (n 1) = f (x) dx + C 1, [ y (n 2) = y (n) = f (x) (3) ] f (x) dx dx + C 1 x + C 2, y = dx dx... f (x) dx + C 1 x n C n 1 x + C n. } {{ } n Пример. y = cos x. y = sin x + C 1, y = cos x + C 1 x + C 2, y = sin x + C 1 x 2 + C 2 x + C 3. 23

24 II. Уравнение, не содержащее явно y и младших производных y (n) = f ( x, y (k),..., y (n 1) ), (4) где k n 1, допускает понижение порядка на k единиц. Для этого введём новую искомую функцию z = y (k). Тогда y (k+1) = z,..., y (n) = z (n k) и уравнение (4) превращается в уравнение порядка n k относительно функции z : Общее решение уравнения (5) приводит к уравнению z (n k) = f ( x, z, z,..., z (n k 1) ). (5) z = ϕ ( x, C 1, C 2,..., C n k ) y (k) = ϕ ( x, C 1, C 2,..., C n k ) (6) относительно функции y. Интегрируя уравнение (6), найдём общее решение исходного уравнения (4). Пример. y tg x = y. y = z, y = z ; z tg x = z, dz z = ctg x dx ; ln z = ln sin x + ln C 1, z = C 1 sin x ; y = C 1 sin x, y = C 1 cos x + C 2, y = C 1 sin x + C 2 x + C 3. Замечание. К уравнению 2-го порядка этот метод применим, если оно не содержит явно y : y = f ( x, y ). (7) Полагая y = z и y = z, приведём уравнение (7) к виду Проинтегрировав уравнение (8), найдём z = f ( x, z ). (8) y = z = ϕ ( x, C 1 ), откуда y = ϕ ( x, C 1 ) dx + C 2. Пример. x y = 2x y. y = z, y = z ; x z = 2x z ; z = 2 z (однородное уравнение) ; x

25 z = x + C 1 x ; y = x + C 1 x, y = x2 2 + C 1 ln x + C 2. III. Уравнение, не содержащее независимой переменной x : y (n) = f ( y, y,..., y (n 1) ) (9) допускает понижение порядка на одну единицу. Покажем это для уравнения 2-го порядка: y = f ( y, y ). (10) Примем y за независимую переменную, а y = p за искомую функцию. Тогда y = dp dx = dp dy dy dx = dp dy p и уравнение (10) приводится к уравнению 1-го порядка: p dp dy = f ( y, p ). Пусть найдено общее решение этого уравнения: p = ψ ( y, C 1 ). Тогда функцию y следует искать из дифференциального уравнения dy dx = ψ ( y, C 1) или dy ψ (y, C 1 ) = dx. Пример. y = y 2 y. y = p, y = p dp dy ; p dp dy = p2 y, dp p = dy y, dp dy = p y ; p = C 1 y ( p = 0 частное решение при C 1 = 0 ). dy dx = C 1 y, dy y = C 1 dx ; ln y = C 1 x + ln C 2 ; y = C 2 e C 1 x. 25

26 13. Линейные однородные уравнения Общий вид: a 0 (x) y (n) + a 1 (x) y (n 1) a n 1 (x) y + a n (x) y = 0. ( ) Установим некоторые свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь в доказательствах уравнениями 2-го порядка y + p (x) y + q (x) = 0. (1) Теорема 1. Если y 1 и y 2 - два частных решения линейного однородного уравнения (1), то их сумма y 1 + y 2 также является решением уравнения (1). Тогда Доказательство. Пусть y 1 + p y 1 + q y 1 = 0 и y 2 + p y 2 + q y 2 = 0. (y 1 + y 2 ) + p (y 1 + y 2 ) + q (y 1 + y 2 ) = y 1 + y 2 + p y 1 + p y 2 + q y 1 + q y 2 = = (y 1 + p y 1 + q y 1 ) + (y 2 + p y 2 + q y 2 ) = = 0. Теорема 2. Если y 1 - решение линейного однородного уравнения (1) и C - постоянная, то Cy 1 - также решение уравнения (1). Доказательство. Пусть y 1 + p y 1 + q y 1 = 0. Тогда (Cy 1 ) + p (Cy 1 ) + q (Cy 1 ) = Cy 1 + C p y 1 + C q y 1 = = C (y 1 + p y 1 + q y 1 ) = C 0 = 0. Определение 1. Две функции y 1 (x) и y 2 (x) называются линейно зависимыми на отрезке [ a, b ], если их отношение на этом отрезке постоянно, т. е. если существует такая постоянная λ, что x [ a, b ], y 2 (x) y 1 (x) = λ или y 2 (x) = λ y 1 (x). В противном случае функции y 1 (x) и y 2 (x) называются линейно независимыми. Пример 1. Функции y 1 = e x и y 2 = 1 3 ex линейно зависимы на всей числовой прямой, т. к. x, y 2 = 1 3 y 1. Пример 2. Функции y 1 = x + 1 и y 2 = x 2 1 линейно независимы, т. к. y 2 = x2 1 y 1 x + 1 = x 1 const. 26

27 Определение 2. Определителем Вронского или вронскианом двух функций y 1 (x) и y 2 (x) называется определитель W (x) = W (y 1, y 2 ) = y 1 (x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) = y 1 (x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x). Теорема 3. Если функции y 1 (x) и y 2 (x) линейно зависимы на отрезке [ a, b ], то их определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю. Доказательство. Пусть y 2 (x) = λ y 1 (x). Тогда W ( y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y 1 y 2 = y 1 λ y 1 y 1 λ y 1 = λ y 1 y 1 λ y 1 y 1 0. Теорема 4.Если y 1 (x) и y 2 (x) - решения уравнения (1) на отрезке [ a, b ], то для их вронскиана W (x) на этом отрезке имеет место формула Лиувилля- Остроградского: где x 0 [ a, b ]. x W (x) = W (x 0 ) e p (x) dx x 0, (2) Доказательство. W (x) = y 1 (x) y 2 (x) y 2 (x) y 1(x), W (x) = y 1 (x) y 2 (x) y 2 (x) y 1(x). y 1 + p y 1 + q y 1 = 0 = y 1 = p y 1 q y 1, y 2 + p y 2 + q y 2 = 0 = y 2 = p y 2 q y 2. W = y 1 ( p y 2 q y 2 ) y 2 ( p y 1 q y 1 ) = = p y 1 y 2 + p y 2 y 1 = p (y 1 y 2 y 2 y 1) = p W ; W (x) = p (x) W (x), x ln W = x dw W = p (x) dx ; x 0 p (x) dx + ln C ; W (x) = C e p (x) dx x 0, W (x0 ) = C e 0 = C ; W (x) = W (x 0 ) e x x 0 p (x) dx. Следствие. Если y 1 (x) и y 2 (x) - решения уравнения (1) на отрезке [ a, b ], то их вронскиан либо тождественно равен нулю на [ a, b ], либо не равен нулю ни в одной точке этого отрезка. Теорема 5. Для того, чтобы решения y 1 (x) и y 2 (x) уравнения (1) были линейно независимы на отрезке [ a, b ], необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не равнялся нулю ни при каких x [ a, b ]. 27

28 Необходимость. Пусть y 1 и y 2 - два линейно независимых решения уравнения (1) на отрезке [ a, b ]. Тогда их вронскиан W (x) 0 на [ a, b ]. Действительно, пусть в некоторой точке x 0 [ a, b ] будет W (x 0 ) = 0. Тогда, по предыдущему следствию, W (x) 0 на отрезке [ a, b ]. Следовательно, ( y2 ) = y 1 y 2 y 2 y 1 y 1 y1 2 = W (y 1, y 2 ) y = y 2 y 1 = λ, а это противоречит условию линейной независимости функций y 1 и y 2. Достаточность. Пусть W (y 1, y 2 ) 0 на отрезке [ a, b ]. Тогда функции y 1 и y 2 линейно независимы, т. к. в противном случае по теореме 3 имели бы W (y 1, y 2 ) = 0. Теорема 6. Если y 1 (x) и y 2 (x) - два линейно независимых решения уравнения (1), а C 1 и C 2 - произвольные постоянные, то функция есть общее решение уравнения (1). y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) (3) Доказательство. Из теорем 1 и 2 следует, что функция (3) есть решения уравнения (1) при любых значениях C 1 и C 2. Докажем, что функция (3) - общее решение уравнения (1). Для этого докажем, что для любых начальных условий y x=x0 = y 0, y x=x0 = y 0 (4) можно подобрать значения произвольных постоянных C 1 и C 2 так, чтобы функция (3) удовлетворяла заданным начальным условиям (4). Введём обозначения: y 1 x=x0 = y 10, y 2 x=x0 = y 20 ; y 1 x=x0 = y 10, y 2 x=x0 = y 20. Подставляя начальные условия (4) в равенство (3), получим: y 0 =C 1 y 10 + C 2 y 20, y 0 =C 1 y 10 + C 2 y 20. (5) Будем рассматривать равенства (5) как систему уравнений относительно C 1 и C 2. Определитель этой системы y 10 y 20 y 10 y 20 = y 10 y 20 y 20 y 10 отличен от нуля как определитель Вронского для линейно независимых функций y 1 (x) и y 2 (x) в точке x 0. Следовательно, равенства (5) однозначно определяют значения C 1 и C 2. Подставляя их в (3), получим частное решение уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям (4). 28

29 Все доказанные выше теоремы справедливы и для линейных однородных уравнений любого порядка. В частности, общее решение линейного однородного уравнения n -го порядка (*) будет иметь вид: y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) C n y n (x), (6) где C 1, C 2,..., C n - произвольные постоянные, а y 1, y 2,..., y n - линейно независимые решения уравнения (*). Функции ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x) называются линейно зависимыми на отрезке [ a, b ], если существуют числа λ 1, λ 2,..., λ n, не все равные нулю, такие, что λ 1 ϕ 1 (x) + λ 2 ϕ 2 (x) λ n ϕ n (x) 0 на [ a, b ]. (7) Функции ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x) называются линейно независимыми, если условие (7) выполняется только при λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0. Левая часть равенства (7) называется линейной комбинацией функций ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x) с коэффициентами λ 1, λ 2,..., λ n. Совокупность n линейно независимых решений уравнения (*) называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка есть линейная комбинация его решений из фундаментальной системы с произвольными постоянными коэффициентами. Теорема 7. Если известно одно частное решение линейного однородного уравнения 2-го порядка, то его общее решение находится в квадратурах. Доказательство. Пусть y 1 - известное частное решение уравнения (1). Найдём другое его частное решение y 2 так, чтобы функции y 1 и y 2 были линейно независимы. По теореме 4 имеем: W ( y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y 2 y 1 = C e p (x) dx. Мы имеем т. о. для определения y 2 части на y1 2, перепишем его в виде: линейное уравнение 1-го порядка. Разделив обе y 1 y 2 y 2 y 1 y 2 1 = 1 y 2 1 C e p (x) dx или d dx ( y2 y 1 ) = C p (x) dx e y 2 1. Отсюда y 2 C e p (x) dx = dx + C. y 1 y1 2 Так как мы ищем частное решение, то, положив C = 0 и C = 1, получим: e p (x) dx y 2 = y 1 Так как y 2 y 1 const, то функции y 1 и y 2 линейно независимы. Следовательно, общее решение исходного уравнения (1) будет иметь вид: y 2 1 dx. e p (x) dx y = C 1 y 1 + C 2 y 1 29 y 2 1 dx.

30 Следствие. Если y 1 - частное решение уравнения (1), то другое частное решение этого уравнения, линейно независимое с y 1, можно искать в виде: y 2 = u y 1. Пример. x y ( x + 1 ) y + y = 0. y 1 = e x частное решение. y 2 = u e x, y 2 = ( u + u ) e x, y 2 = ( u + 2u + u ) e x ; x ( u + 2u + u ) e x ( x + 1 ) ( u + u ) e x + u e x = 0 ; x u + 2x u + xu xu xu u u + u = 0 ; x u + x u u = 0 ; x u = ( 1 x ) u ; u = v, u = v ; x v = ( 1 x ) v, dv v = 1 x dx ; x ln v = ln x x, v = x e x ; u = x e x dx = x e x e x ; y 2 = e x ( x + 1 ) e x = ( x + 1 ). Общее решение : y = C 1 e x + C 2 ( x + 1 ). Общий вид: 14. Линейные неоднородные уравнения a 0 (x) y (n) + a 1 (x) y (n 1) a n 1 (x) y + a n (x) y = f (x). ( ) Ограничимся уравнениями 2-го порядка: y + p (x) y + q (x) = f (x). (1) Вместе с уравнением (1) будем рассматривать и соответствующее однородное уравнение y + p (x) y + q (x) = 0. (2) Теорема 1. Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) имеет вид: y = ȳ + Y, (3) где ȳ - общее решение соответствующего однородного уравнения (2), а Y - какоенибудь частное решение данного уравнения (1). Доказательство. ȳ + p ȳ + q ȳ = 0, Y + p Y + q Y = f (x). 30

31 ( ȳ + Y ) + p ( ȳ + Y ) + q ( ȳ + Y ) = = ( ȳ + p ȳ + q ȳ ) + (Y + p Y + q Y ) = 0 + f (x) = f (x). Таким образом, сумма ȳ + Y есть решение уравнения (1). Докажем теперь, что (3) - общее решение уравнения (1). Для этого нужно доказать, что участвующие в (3) произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия y x=x0 = y 0, y x=x0 = y 0, (4) каковы бы ни были числа x 0, y 0, y 0 (лишь бы x 0 принадлежало области непрерывности функций p (x), q (x), f (x) ). Представляя ȳ в виде ȳ = C 1 y 1 + C 2 y 2 (где y 1 и y 2 - линейно независимые решения уравнения (2), а C 1 и C 2 - произвольные постоянные), перепишем равенство (3) в виде Тогда на основании условий (4) будем иметь y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + Y. (5) C 1 y 10 + C 2 y 20 + Y 0 = y 0, C 1 y 10 + C 2 y 20 + Y 0 = y 0. Из этой системы уравнений нужно определить C 1 и C 2. Переписывая её в виде C 1 y 10 + C 2 y 20 = y 0 Y 0, C 1 y 10 + C 2 y 20 = y 0 Y 0, (6) заметим, что её определитель есть вронскиан функций y 1 и y 2 в точке x = x 0, Так как эти функции по условию линейно независимы, то их вронскиан отличен от нуля. Следовательно, система (6) имеет решение, т. е. существуют такие значения C 1 и C 2, при которых формула (5) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (4). Таким образом, если известно общее решение ȳ однородного уравнения (2), то задача интегрирования неоднородного уравнения (1) состоит в нахождении какоголибо его частного решения Y. Если известно общее решение однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти методом вариации произвольных постоянных (Лагранжа). Пусть y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (7) - общее решение однородного уравнения (2). Будем искать решение неонородного уравнения (1) в виде (7), рассматривая C 1 и C 2 как некоторые пока неизвестные функции от x : y = C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2 (x). (7 ) Продифференцируем равенство (7 ): y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + C 1 y 1 + C 2 y 2. 31

32 Выберем функции C 1 (x) и C 2 (x) так, чтобы Тогда Подставляя y, y и y в (1), получим: или C 1 y 1 + C 2 y 2 = 0. (8) y = C 1 y 1 + C 2 y 2, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + C 1 y 1 + C 2 y 2. C 1 y 1 + C 2 y 2 + C 1 y 1 + C 2 y 2 + p ( C 1 y 1 + C 2 y 2 ) + q ( C 1 y 1 + C 2 y 2 ) = f (x) C 1 ( y 1 + p y 1 + q y 1 ) + C 2 (y 2 + p y 2 + q y 2 ) + C 1 y 1 + C 2 y 2 = f (x), Так как y 1 и y 2 - решения однородного уравнения (2), то выражения в скобках обращаются в нуль. Следовательно, C 1 y 1 + C 2 y 2 = f (x). (9) Таким образом, функция (7 ) будет решением неоднородного уравнения (1) в том случае, если функции C 1 (x) и C 2 (x) удовлетворяют системе уравнений (8), (9): { C 1 y 1 + C 2 y 2 = 0, C 1 y 1 + C 2 y 2 = f (x). (10) Так как определителем этой системы является вронскиан линейно независимых решений y 1 и y 2 уравнения (2), то он не равен нулю. Следовательно, решая систему (10), получим: C 1 (x) = ϕ 1 (x), C 2 (x) = ϕ 2 (x). Интегрируя, найдём: C 1 (x) = ϕ 1 (x) dx + A, C 2 (x) = ϕ 2 (x) dx + B, (11) где A и B - произвольные постоянные. Подставляя (11) в (7 ), найдём интеграл, зависящий от двух произвольных постоянных A и B, т. е. общее решение неоднородного уравнения (1): y = y 1 ϕ 1 (x) dx + y 2 ϕ 2 (x) dx + A y 1 + B y 2. Пример. y 1 x y = x. 1) y 1 x y = 0, y y = 1 x, ln y = ln x + ln C, y = Cx ; y = C 1 x 2 + C 2. 32

33 2) y = C 1 (x) x 2 + C 2 (x). { C 1 (x) x 2 + C 2 (x) 1 = 0, Теорема 2. Решение Y уравнения можно представить в виде суммы C 1 (x) 2x + C 2 (x) 0 = x ; C 1 (x) = 1 2, C 2 (x) = 1 2 x2. C 1 (x) = x 2 + A, C 2 (x) = x3 6 + B ; ( x ) ) y = 2 + A x 2 + ( x3 6 + B ; y = A x 2 + B + x3 3. y + p y + q y = f 1 (x) + f 2 (x) (12) Y = Y 1 + Y 2, где Y 1 и Y 2 - соответчтвенно решения уравнений Доказательство. y + p y + q y = f 1 (x), (13) y + p y + q y = f 2 (x). (14) Y 1 + p Y 1 + q Y 1 = f 1 (x), Y 2 + p Y 2 + q Y 2 = f 2 (x). ( Y 1 + Y 2 ) + p ( Y 1 + Y 2 ) + q ( Y 1 + Y 2 ) = = ( Y 1 + p Y 1 + q Y 1 ) + ( Y 2 + p Y 2 + q Y 2 ) = f 1 (x) + f 2 (x). Пример. y + 4y = x + 3 e x. y + 4y = x, Y 1 = 1 4 x ; y + 4y = 3 e x, Y 2 = 3 5 ex ; Y = Y 1 + Y 2 = 1 4 x ex. Замечание. Теоремы 1 и 2, а также метод вариации произвольных, постоянных естественным образом обобщается на случай линейных неоднородных уравнений любого порядка (*). 33

34 15. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное однородное уравнение 2-го порядка где p и q - постоянные. Будем искать частные решения уравнения (1) в виде Тогда Подставляя y, y и y в (1), получим: y + p y + q y = 0, (1) y = e kx, где k = const. (2) y = k e kx, y = k 2 e kx. (3) e kx ( k 2 + p k + q ) = 0. (4) Таким образом, функция e kx будет решением уравнения (1), если k удовлетворяет уравнению (4) или (т. к. e kx 0 ) k 2 + p k + q = 0. (5) Уравнение (5) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (1). Обозначим через k 1 и k 2 корни квадратного уравнения (5). Возможны три случая: I. k 1, k 2 -действительные различные, II. k 1, k 2 - комплексные сопряжённые, III. k 1, k 2 - действительные равные (т. е. k 1 = k 2 ). Рассмотрим каждый случай отдельно. I. Корни характеристического уравнения действительны и различны: k 1 k 2. Частными решениями уравнения (1) будут функции Они линейно независимы, т. к. y 1 = e k 1 x, y 2 = e k 2 x. (6) y 2 y 1 = ek1 x e k 2 x = e( k 2 k 1 ) x const. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид: y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x. (7) Пример. y + y 2y = 0. k 2 + k 2 = 0, k 1 = 1, k 2 = 2. y = C 1 e x + C 2 e 2x. 34

35 где II. Корни характеристического уравнения - комплексные сопряжённые: k 1 = α + iβ, k 2 = α iβ, α = p 2, β = q p2 4. Частные решения уравнения (1) можно записать в виде: y 1 = e (α+iβ) x и y 2 = e (α iβ) x. Это - комплексные функции действительного аргумента. Однако проверкой можно установить, что частными решениями уравнения (1) будут также следующие действительные функции действительного аргумента: y 1 = e α x cos βx и y 2 = e α x sin βx. (8) Покажем это для y 1. Для y 2 проверить самостоятельно. y 1 = e α x cos βx, y 1 = α e α x cos βx β e α x sin βx, y = α 2 e α x cos βx 2αβ e α x sin βx β 2 e α x cos βx. Подставляя в (1), получим: e α x ( α 2 cos βx 2αβ sin βx β 2 cos βx )+ так как +p e α x ( α cos βx β sin βx ) + q e α x cos βx = = e α x [ ( α 2 β 2 + p α + q ) cos βx β ( 2α + p ) sin βx ] = 0, α 2 β 2 + p α + q = p2 4 q + p2 4 p2 2α + p = 2 ( p q = 0, ) + p = 0. Функции (8) линейно независимы, т. к. y 2 y 1 = eα x sin βx e α x cos βx = tg βx const. Следовательно, общее решение уравнения (1) в этом случае будет иметь вид: y = e α x ( C 1 cos βx + C 2 sin βx ). (9) Пример. y + 2 y + 5y = 0. k 2 + 2k + 5 = 0, k 1,2 = 1 ± 2 i. y = e x ( C 1 cos 2x + C 2 sin 2x ). 35

36 III. Корни характеристического уравнения действительны и равны: k 1 = k 2. Одно частное решение уравнения (1) известно: Будем искать второе частное решение в виде: Дифференцируя, найдём: y 1 = e k 1x. (10) y 2 = u (x) e k 1x. y 2 = u e k 1x + k 1 u e k 1x = e k 1x ( u + k 1 u ), y 2 = u e k 1x + 2k 1 u e k 1x + k 2 1 u e k 1x = e k 1x ( u + 2k 1 u + k 2 1 u ). Подставляя в уравнение (1), получим: e k 1x [ u + ( 2k 1 + p ) u + ( k p k 1 + q ) u ] = 0. Т. к. k 1 - корень характеристического уравнения, то Кроме того, k 1 = k 2 = p 2. Следвательно, k p k 1 + q = 0. 2k 1 + p = 0. Таким образом, для определения функции u (x) получаем уравнение откуда e k 1x u = 0 или u = 0, u = A x + B. Положив A = 1, B = 0 получим: u = x. Таким образом, Функции y 1 и y 2 линейно независимы, т. к. y 2 = x e k 1x. (11) y 2 y 1 = x ek1x e k 1x = x const. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид: y = e k 1x ( C 1 + C 2 x ). (12) Пример. y 4y + 4y = 0. k 2 4k + 4 = 0, k 1 = k 2 = 2 ; y = e 2x ( C 1 + C 2 x ). 36

37 Результаты, полученные для уравнения 2-го пордка (1), допускают обобщение на случай линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка: y (n) + p 1 y (n 1) p n 1 y + p n y = 0. ( ) Сформулируем обобщение этих результатов в виде правила: 1) Составим характеристическое уравнение и найдём его корни k 1, k 1,..., k n. k n + p 1 k n p n 1 k + p n = 0 2) Составим частные решения, соответствующие найденным корням: - каждому простому действительному корню k соответствует решение y = e kx ; - каждому r -кратному действительному корню k соответствует r решений: y 1 = e kx, y 2 = x e kx,..., y r = x r 1 e kx ; - каждой паре простых комплексных сопряжённых корней α ± β i соответствует два решения: y 1 = e α x cos βx, y 2 = e α x sin βx ; - каждой паре r -кратных комплексных сопряжённых корней α±β i соответствует 2r решений: y 1 = e α x cos βx, x y 1, x 2 y 1,..., x r 1 y 1 ; y 2 = e α x sin βx, x y 2, x 2 y 2,..., x r 1 y 2. 3) Линейная комбинация всех этих решений с произвольными постоянными коэффициентами есть общее решение уравнения (*). Пример 1. y (4) 4 y + 6 y 4 y + y = 0. ( k 1 ) 4 = 0, k = 1, r = 4 ; y = ( C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 x 3 ) e x. Пример 2. y (4) + 2 y + y = 0. k k = 0, ( k ) 2 = 0 ; k = ±i, r = 2 ; y = C 1 cos x + C 2 sin x + C 3 x cos x + C 4 x sin x. 16. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное неоднородное уравнение 2-го порядка y + p y + q y = f (x), (1) где p и q - постоянные, а f (x) - непрерывная функция. Рассмотрим также соответствующее однородное уравнение y + p y + q y = 0 (2) 37

38 и его характеристическое уравнение k 2 + p k + q = 0. (3) Пусть найдено общее решение однородного уравнения (2): ȳ = C 1 y 1 + C 2 y 2. (4) Тогда общее решение уравнения (1) можно найти методом вариации произвольных постоянных или в виде суммы y = ȳ+y, где Y - некоторое частное решение уравнения (1). Рассмотрим способы нахождения Y, ограничиваясь некоторыми частными случаями, когда правая часть f (x) уравнения (1) имеет специальный вид. I. f (x) = P n (x) e α x, (5) где P n (x) - многочлен n -ой степени. I-a. α не является корнем характеристического уравнения (3). Тогда можно доказать, что уравнение (1) имеет частное решение вида: Y = Q n (x) e α x, (6) где Q n (x) - многочлен степени n. Для нахождения Q n (x) применяется метод неопределённых коэффициентов. Пример 1. y + 9 y = ( x ) e 3x ( n = 2, α = 3 ). k = 0, k 1,2 = ±3 i, ȳ = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x. Y = Q 2 (x) e 3x = ( A x 2 + Bx + C ) e 3x, Y = 3 ( A x 2 + Bx + C ) e 3x + ( 2 Ax + B) e 3x, Y = 9 ( A x 2 + Bx + C ) e 3x + 6 ( 2 Ax + B) e 3x + 2A e 3x, [ 9 ( A x 2 + Bx + C ) + 6 ( 2 Ax + B) + 2A + 9 ( A x 2 + Bx + C ) ] e 3x = ( x ) e 3x. 18A x 2 + ( 12A + 18B ) x + ( 2A + 6B + 18C) = x A = 1, 12A = 18B = 0, A = 1 18, B = 1 27, C = A + 6B + 18C = 1 ; ( 1 Y = 18 x x + 5 ) e 3x. 81 ( 1 y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x + 18 x x + 5 ) e 3x. 81 Пример 2. y y + y = x = P 3 (x) e 0 x ( n = 3, α = 0 ). k 2 k + 1 = 0, k 1,2 = 1 2 ± i

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Университет Российской академии образования Новомосковский филиал В. А. Матвеев, В. М. Ульянов Обыкновенные дифференциальные

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава. 8 1.Понятие дифференциального уравнения.математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями.11 3.Решение

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

А. П. ГУРЕВИЧ, В. В. КОРНЕВ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

А. П. ГУРЕВИЧ, В. В. КОРНЕВ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ А. П. ГУРЕВИЧ, В. В. КОРНЕВ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ А. П. ГУРЕВИЧ, В. В. КОРНЕВ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ 2012 Эта книга написана

Подробнее

1.Понятие дифференциала.

1.Понятие дифференциала. ЛЕКЦИЯ N4. Дифференциал функции первого и высших порядков. Инвариантность формы дифференциала. Производные высших порядков. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 1.Понятие дифференциала....

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) А. Е. Умнов, Е. А. Умнов ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n.

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n. Занятие 4 Вычисление производных-1 4.1 Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная. Основные определения Определение. Производной функции y = f (x) в точке x 0 называется предел отношения приращения этой функции y в точке

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Киясов С. Н., Шурыгин В. В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Казань 2011 УДК 517.9 Печатается по решению Редакционно-издательского

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у fх.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Асташова И.В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Конспект лекций для студентов 2 курса механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (2-й поток) 1 семестр 2012-2013 уч.год Москва 2012 Содержание 1

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

Дифференциальные уравнения: конспект лекций

Дифференциальные уравнения: конспект лекций [DEshrt.te, 09.01.09] Дифференциальные уравнения: конспект лекций В 006 году студент -го курса Д.В. Кальянов набрал в LaTeX'е конспект моих лекций по курсу "Дифференциальные уравнения". Я переписал его

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Семинар 5. Частные производные

Семинар 5. Частные производные Семинар 5 Частные производные О. Пусть M 0 (x 1,, x m ) внутренняя точка D(f). Частной производной (ч.п.) функции f(x 1,, x m ) по переменной x k в точке M 0 называется предел f xk (M 0 ) = f (M x 0 )

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК,2,4- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Таблица первообразных.

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» ВИ Фомин ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Условные обозначения Основные понятия ОДУ n-ого порядка ОДУ 1-ого порядка Задача Коши 6

Условные обозначения Основные понятия ОДУ n-ого порядка ОДУ 1-ого порядка Задача Коши 6 Содержание Условные обозначения 3 Основные понятия 4 ОДУ n-ого порядка 4 2 ОДУ -ого порядка 5 2 Задача Коши 6 3 Способы решения ОДУ первого порядка 8 3 Уравнение с разделяющимися переменными (УРП) 8 32

Подробнее

Дисциплина: Высшая математика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ Первообразная функция к данной функции. Свойства первообразных. Неопределенный интеграл.

Дисциплина: Высшая математика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ Первообразная функция к данной функции. Свойства первообразных. Неопределенный интеграл. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Первообразная функция к данной функции. Свойства первообразных. Неопределенный интеграл. 2. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия с комплексными

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 2

КРАТКИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» НВ ПОНОМАРЕВА, ТА ТАРАСОВА КРАТКИЙ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2015-2016 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

«Интегралы и дифференциальные уравнения»

«Интегралы и дифференциальные уравнения» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА Билеты для подготовки к сдаче дисциплины : «Интегралы и дифференциальные уравнения» МГТУ имени Н.Э. Баумана МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Лекция 11. Основные понятия теории поля. Скалярное поле.

Лекция 11. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Лекция 11 Основные понятия теории поля Скалярное поле Теория поля раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля К рассмотрению скалярных и векторных полей

Подробнее