Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу"

Транскрипт

1 Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Ярославль

2 ББК В16я73 М 54 Составители: В.А. Бондаренко, Г.В. Шабаршина Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу / Сост. В.А. Бондаренко, Г.В. Шабаршина. Яросл. гос. ун-т. Ярославль, с. Методические указания составлены на основе экзаменационных материалов по курсу математического анализа. Усвоение достаточно сложных понятий математического анализа предполагает серьезную самостоятельную работу студентов. Эти методические указания рассчитаны на то, чтобы студенты первого курса факультета ИВТ научились проводить логические рассуждения и самостоятельно контролировать усвоение теоретического материала. В тех случаях, когда при решении задач возникают трудности, можно обратиться к указаниям, приведенным в конце данной работы. Рецензент: кафедра дискретного анализа Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова Ярославский государственный университет, 2001 В.А. Бондаренко, Г.В. Шабаршина, 2001 Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Составители: Бондаренко Владимир Александрович Шабаршина Галина Владимировна Редактор, корректор В.Н. Чулкова Компьютерная верстка И.Н. Ивановой Лицензия ЛР от Подписано в печать Формат 60х84/16. Бумага тип. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,8. Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ. Отпечатано на ризографе. Ярославский государственный университет Ярославль, ул. Советская, 14. 2

3 ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА Числовая последовательность {x } - это функция, заданная на множестве натуральных чисел N и принимающая действительные значения. Определение. Число A называется пределом последовательности (A = lim x ), если ε > 0 ε N ε x A< ε. Если вместо N взять любое бесконечное подмножество { k }, k = 1,2,3... k < k+1,, то получим подпоследовательность {x }. Предел подпоследовательности, если он существует, называется частичным пределом последовательности. Если последовательность ограничена сверху, то существует наибольший из частичных пределов. Он называется верхним пределом и обозначается предела. lim x. Аналогично определяется понятие нижнего 1. Сформулируйте в положительной форме: а) последовательность не является ограниченной; б) последовательность не является бесконечно большой; в) число А не является пределом последовательности; г) последовательность не имеет предела. 2. Доказать, что из сходимости последовательности {x } следует сходимость последовательности { x }. Верно ли обратное утверждение? 3. Пусть предел последовательности равен 0. Могут ли в этой последовательности: а) быть члены больше 10 5 ; б) все члены быть отрицательными: в) все члены больше 10-5? 4. Доказать, что, добавив, отбросив или заменив конечное число членов сходящейся последовательности, получим последовательность, имеющую тот же самый предел. 5. Доказать, что если последовательность имеет предел, равный A, то последовательность, полученная любой перестановкой ее членов, также имеет предел, равный A. 6. Известно, что в некоторой окрестности точки A находится бесконечно много членов последовательности {x }. Следует ли отсюда, что: а) A = lim x ; б) число b, отличное от A, не является пределом последовательности? 7. Известно, что в любой окрестности точки A находится бесконечно много членов последовательности {x }. Следует ли отсюда, что: а) A = lim x ; б) число b, отличное от A, не является пределом последовательности; в) последовательность является ограниченной? 3

4 8. Доказать, что если последовательность {x } сходится к числу A, то последовательность {si x } сходится к числу {si A}. 9. Доказать, что последовательность {si } расходится. 10. Показать, что последовательность = не ограничена, однако не является бесконечно большой. 11. Доказать, что сходящаяся последовательность ограничена. 12. Доказать, что сходящаяся последовательность достигает своей точной верхней границы, либо нижней, либо и той и другой. Для каждого случая постройте примеры. 13. Доказать, что если x +, то последовательность достигает своей точной нижней границы. 14. Построить пример последовательности, которая а) не имеет частичных пределов; б) имеет единственный частичный предел, но не является сходящейся. 15. Построить пример последовательности, которая имеет в качестве своих частичных пределов заданные числа a 1, a 2,... a l. 16. Построить пример последовательности, для которой члены данной последовательности a 1, a 2,... a l... являются частичными пределами. Какие еще частичные пределы имеет построенная последовательность? 17. Доказать, что если последовательность {x } не ограничена, то существует бесконечно большая подпоследовательность { x k }. 18. Пусть последовательность {x } сходится, а последовательность {y } расходится. Что можно сказать о сходимости последовательностей {x + y }, {x y }? 19. Пусть lim x = 0, а {y } - некоторая последовательность. Можно ли утверждать, что lim x y = 0? 20. lim x y = 0. Следует ли отсюда, что или lim x = 0, или lim y = 0? 21. Доказать, что если некоторая подпоследовательность монотонной последовательности ограничена, то и сама последовательность ограничена. 22. Доказать, что если некоторая подпоследовательность монотонной последовательности сходится, то и сама последовательность сходится. 23. Привести пример неограниченной последовательности, у которой есть ограниченная подпоследовательность. 24. Доказать, что у любой последовательности есть монотонная подпоследовательность. 25. Доказать, что если у последовательности {x } нет конечных частичных пределов, то x. 26. Пусть {x } - сходящаяся последовательность. Является ли сходящейся последовательность {x +1 x }? 27. Доказать, что если lim x y = А, то последовательность средних арифметических s = (x 1 +x x )/ является сходящейся и lim = A. 4 ( 1) x s

5 ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Пусть функция f определена на множестве Х, а точка х 0 является предельной точкой Х. Определение. Число y = lim f ( ) ε > 0 δ > 0 x 0 x x x0 X, 0 < x x0 < δ ) f ( 0 < ε ( x y. Определение. Число y = lim f ( ) x } { x X, x x x }. 0 x x x0 { 0, x0 f ( x ) y0 Определение. y = lim f ( ) ε > 0 A> 0 x 0 x x + ( x X, x> A) f ( y < ε Сформулировать: а) функция f( не является ограниченной на множестве X; б) функция f( не является монотонной на множестве X; в) функция f( не является непрерывной в точке x Является ли произведение двух монотонных на (, + ) функций функцией, монотонной на этом множестве? 30. Записать определения для всевозможных комбинаций: f( y 0 x x 0 f( x x 0 0 f( + при x x 0 +0 f( x x + x. 31. Пусть lim f ( существует и отличен от нуля, а lim g( не x x0 5 x x0 существует. Докажите, что не существует lim ϕ(, где ϕ ( x ) = f ( g(. 32. Пусть lim f ( x x 0 x x0 существует и отличен от нуля, а функция ϕ( - бесконечно большая при x x 0. Докажите, что g( = ϕ(f( бесконечно большая при x x Что можно сказать о непрерывности в точке x 0 функций f( ± g(, f(g(, если а) f( непрерывна в в точке x 0, а g( разрывна в этой точке; б) обе функции разрывны в точке x Докажите, что функция Дирихле 0, x рациональное, Dx ( ) = 1, x иррациональное разрывна в каждой точке. 35. Докажите, что функция Римана

6 1, x= 0, 1 m R( =, x =, 0, x иррациональное определенная на [0,1], разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. 36. Приведите пример функции, непрерывной только а) в одной точке, б) в двух точках. 37. Приведите пример функции, разрывной в каждой точке отрезка, квадрат которой является непрерывной функцией. 38. Докажите, что если функции f( и g( непрерывны на отрезке [a,b], то функция ϕ( = max {f(, g(} непрерывна на отрезке [a,b]. 39. Пусть функция f( непрерывна на отрезке [a,b] и не принимает на нем нулевого значения. Докажите, что существует m > 0 такое, что для всех x из отрезка [a,b] f ( m. Верно ли это утверждение для интервала? 40. Функция f( определена на [0,1], принимает на любом отрезке [a,b] [0,1] все промежуточные значения между f(a) и f(b). Является ли она непрерывной на [0,1]? 41. Пусть функция f( определена и непрерывна на [0,1] и E(f) = [0,1]. Докажите, что существует точка x 0 [0,1], такая, что f( = x Существует ли функция f(, непрерывная на отрезке [a,b] и отображающая его на (, + ). 43. Можно ли построить непрерывное взаимно однозначное отображение открытого множества на ограниченное замкнутое множество? 44. Существует ли функция f(, непрерывная на отрезке [a,b] и отображающая его на (с,d)? 45. Существует ли функция f(, непрерывная на отрезке [a,b] и отображающая его на [0,1] [2,3]? 46. Сформулировать в положительной форме: функция не является равномерно непрерывной на множестве X. 47. Если f равномерно непрерывна на U и на V, то она равномерно непрерывна на U V. 48. Докажите, что f ( = x равномерно непрерывная функция на множестве x Укажите функцию, осуществляющую взаимно однозначное отображение а) [0,1] на [1,3]; б) [0,3) на (2,5]; в) [0,1] на [0,1); г) R на (0,1); д) (0,1) на (0,+ ). ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ Пусть функция f( определена на множестве X и x 0 внутренняя точка множества. 6

7 Определение. Функция f( дифференцируема в точке x 0 существует конечный предел lim f ( x0 + f ( x0 ). Он называется производной функции в x 0 x точке x 0. Определение. Функция f( дифференцируема в точке x 0, если приращение функции в точке может быть представлено в виде f(x f( = k x + o(, x 0. Главная линейная часть приращения функции k x в этом случае называется дифференциалом df функции в точке. Если функция дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке. Определение. Пусть функция f( определена на множестве X и x 0 - внутренняя точка множества. Точка x 0 называется точкой возрастания функции, если δ > 0 x: 0 < x x < δ (f( f(x 0 ))(x x 0 ) >0. Аналогично определяется точка убывания. Определение. Пусть функция f( определена на интервале (a,b). Если произведение (f(x 2 ) f(x 1 ))(x 2 x 1 ) не меняет знак на (a,b), то функция монотонна на (a,b). Если (f(x 2 ) f(x 1 ))(x 2 x 1 )>0 ((f(x 2 ) f(x 1 ))(x 2 x 1 )<0) для любых x 1, x 2, x 1 x 2 из (a,b), то функция строго возрастает (строго убывает) на (a,b). Определение. Пусть функция f( непрерывна на промежутке X и дифференцируема во всех его внутренних точках. Для того чтобы функция f( монотонно возрастала (убывала) на X, необходимо и достаточно, чтобы для любых значений x X f'( 0 (f'( 0). Определение. Функция f(, определенная на интервале (a,b), имеет во внутренней точке x 0 локальный минимум (максимум), если δ > 0 x: x x 0 < δ f( f(x 0 ) (f( f(x 0 )). Теорема (Ферма). Если существует производная f'(x 0 ) и точка x 0 - точка экстремума, то f'(x 0 )=0. Теорема. Пусть функция f( дифференцируема во всех точках, принадлежащих окрестности точки x 0, за исключением, быть может, самой точки, и f'( 0, (x < x 0 ), f'( 0 (x > x 0 ). Тогда x 0 - точка максимума. Если f'( 0, (x < x 0 ), f'( 0 (x > x 0 ), то x 0 - точка минимума. 50. Докажите, что если каждая точка интервала является точкой возрастания, то функция возрастает на этом интервале. 51. Пусть функция f( строго возрастает при x > a. Следует ли из этого, что f( + при x +? 52. Функция f( стремится к 0 при x +. Верно ли, что f'( стремится к 0 при x +? 53. Докажите, что производная периодической функции является периодической. 7

8 54. Пусть функция f( дифференцируема в нуле и четна. Докажите, что f'(0) = Докажите, что если функция на интервале Х имеет ограниченную производную, то она равномерно непрерывна. 56. Верно ли, что производная монотонной функции является монотонной? Рассмотреть пример f( = x Пусть функция f( дифференцируема во всех точках отрезка [0,1], и f'(0) f'(1)<0. Тогда на интервале (0,1) найдется точка c такая, что f'(c)= Докажите, что если все корни многочлена P ( степени ( ) действительны и различны, то все уравнения P k ( = 0, где k = 1,2,...,-1 имеют только действительные корни. 59. Пусть функция f( дифференцируема в точке x = 0, а 2 ϕ( x ) = x si 1, x 0; ϕ(0) = 0. Докажите, что f ( ϕ ( ) имеет в точке x = 0 x производную, равную Пусть функция f ( непрерывна на [0,1], дифференцируема на (0,1), f(0) = 4, f(1) = 2, f'( 2. Докажите, что f( линейная функция. 61. Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке интервала (a,b) и lim f ( = lim f (. Докажите, что существует точка c x a + 0 x b 0 (a,b), в которой f'(c) = Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на всей числовой прямой и ограничена. Докажите, что существует такое x 0, для которого f "(x 0 )= Докажите, что если функция дифференцируема, но не ограничена на конечном интервале (а,b), то ее производная также не ограничена на (а,b). ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1. а) Сформулируйте определение ограниченной последовательности, постройте отрицание. Последовательность называется ограниченной, если M >0 x < M. Последовательность не является ограниченной, если M x > M. б) Последовательность не является бесконечно большой, если M >0 m xm M. в) Число А не является пределом последовательности, если существует такое ε > 0, что для любого найдется m > такое, что a m A ε. г) Последовательность не имеет предела, если для любого числа A существует такое ε > 0, что для любого N найдется 0 > N такое, что a 0 A ε. 2. Для доказательства используйте неравенство x A x A. Обратное утверждение, как показывает пример x = (-1), неверно. 8

9 3. а) да; б) да; в) нет. 4. Пусть число A = lim x. В последовательности {x } члены x i, где i = 1,2,...k, заменили другими значениями. Для ε > 0 N ε > Nε x A< ε. Тогда > N1 = max{ N ε, 1,..., k} x A< ε. 5. Пусть y k = xk, ( k =1,2,...). Для решения используйте результат задачи а) нет, в силу определения последовательности такая окрестность должна быть произвольной. б) нет. 7. а) нет, например, x = (-1) ; б) да, для числа b можно указать окрестность, не содержащую бесконечно много членов последовательности {x }. x ( 1) в) нет, например, = Для доказательства используйте неравенство si α α, где α < π Пусть числа k выбраны так, что π π kπ + < k < ( k + 1) π. Тогда si k >, а знаки si k чередуются, т.е. подпоследовательность x 2 k = sik расходится. 10. Сравните определения неограниченной последовательности и бесконечно большой. 12. Будем считать, что последовательность не является постоянной, иначе утверждение очевидно. Множество значений последовательности является ограниченным, поэтому существуют точная верхняя и нижняя границы. Так как последовательность сходится, то существует число A = lim x. Выберем ε > 0. Тогда N > N A ε < x < A+ ε. Рассмотрим множество {x 1,x 2,...x N, A - ε,a + ε}. При достаточно малом ε наибольший или наименьший элемент этого множества принадлежат {x }. 13. Рассмотрим m, для которого x m > 0 и положим E = x m. По определению, N, > N x > E. Из значений x k, k = 1,2,...N выберем минимальный элемент. 15. Например, x = a i(), x = a i( ), где i() (mod l). 16. Для построения последовательности используйте идею предыдущей задачи. В качестве такой последовательности можно рассмотреть a 1,a 1,a 2,a 1,a 2,a 3,a 1,a 2,a 3,a 4,... Частичными пределами построенной последовательности являются а) члены данной последовательности a 1,a 2,...a l... б) частичные пределы последовательности a 1,a 2,...a l... 9

10 17. Пусть последовательность не ограничена сверху. Тогда для любого натурального числа k найдется элемент последовательности x k > k. Номера k следует выбирать так, чтобы они возрастали с ростом k. 18. Последовательность {x +y } расходится. Если бы предел ее существовал, то последовательность {y } тоже оказалась бы сходящейся. Действительно, y = (x +y ) x. Последовательность {x y } может оказаться сходящейся. Например, x 0, а {y } - ограничена. 19. Нет, рассмотрите примеры: x = 1, y = ; x = 1, y = si. 1 + ( 1) 1 ( 1) 20. Нет, рассмотрите последовательности x = и y = Предположим противное. Пусть {x } - монотонная (для определенности возрастающая) последовательность и неограниченная. Тогда M > 0 0 x > M. В силу монотонности { x } 0 > 0 x > x 0. Следовательно, x > M. Тогда найдется и элемент подпоследовательности, такой, что x k > M, т.е. подпоследовательность не ограничена. ( 1) 23. Например,. 24. Пусть {x } - неограниченная (для определенности, сверху) последовательность. Положим 1 = 1, тогда можно указать такое 2 > 1, что x > x 2 1 и т.д., т.е. подпоследовательность { x k } монотонно возрастает. Пусть последовательность {x } ограничена. Без ограничения общности можно считать, что она сходится. В противном случае, по теореме Больцано- Вейерштрасса у нее существует подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу. Пусть x A. Рассмотрим три множества: N0 = { N : x = A}, N = { N : x < A} N+ = { N : x > A}. Хотя бы одно из них бесконечно, так как N 0 U N U N+ = N. Если N 0 бесконечно, то, очевидно, найдется постоянная подпоследовательность, которая одновременно является убывающей и возрастающей. Если N бесконечно, то N m N : m > и x < xm < A. Теперь понятно, как в этом случае построить возрастающую подпоследовательность. Случай, когда N + бесконечно, аналогичен. 25. Предполагая противное, можно указать такое число M > 0, что для любого номера N найдется > N, для которого x M. Отсюда следует, что у последовательности есть ограниченная подпоследовательность. Из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. У последовательности {x } найдется конечный частичный предел. 10

11 26. Да, для сходящейся последовательности выполнен критерий Коши. Положив p = 1, получим, что x + 1 x Пусть А = 0. Тогда для любого положительного ε можно указать такое ε значение N 1 = N 1( ε), что для всех > N1 < x < ε 2. 2 Число N 2 выберем так, чтобы ( x1 + x xn )/ N 1 2 < ε. 2 Тогда x + x + + x x + x xn xn + + x < 1 + x xn x N x + x + <ε. N2 N1 Если А отлично от нуля, то рассмотреть последовательность y = x - A. 29. В общем случае нет. Можно рассмотреть произведение f( = x и g( = x. 30. Например, lim f ( = + E > 0 δ > 0 x x x0 + 0 ( x X, 0 < x x0 < δ ) f ( > E. 31. Из того, что lim f ( существует и отличен от нуля, следует, что x x 0 функция f( не равна нулю в некоторой окрестности точки x 0. Если бы предел функции ϕ( существовал, то существовал бы и lim g(, где 11 x x0 g( = ϕ(. f ( 32. Для доказательства покажем, что 1/g( бесконечно мала при x x 0. Так как lim f ( существует и отличен от нуля, функция f( ограничена и x x 0 отлична от нуля в некоторой окрестности точки x 0. Функция 1 будет f ( ограниченной в этой окрестности. Функция 1 бесконечно мала при x x ϕ( а) f( ± g( разрывна, f(g( может быть и непрерывной, например, f( = x, g( = sg x, x 0 = 0. б) может быть как разрывной, так и непрерывной. 34. Так как в любой окрестности иррациональной точки найдутся рациональные и наоборот, то не существует lim D(. x x0 35. Для произвольного числа ε > 0 существует лишь конечное число значений таких, что 1 ε, а следовательно, и конечное число точек x [0, 1], в которых R (x ) ε. Пусть x 0 любая точка промежутка. Выберем

12 окрестность ( x 0 δ, x0 + δ ) таким образом, чтобы в нее не попала ни одна из точек x' (за исключением, быть может, самой этой точки). Для всех точек этой окрестности, отличных от точки x 0, R( < ε. 36. а) f( = xd( непрерывна при x = 0; б) f( = x(x 1)D(. 37. Например, f ( = D( Пусть точка x 0 [a,b] и g ( x0 ) < f ( x0 ). Выберем окрестность точки x 0, в которой g( < f(x 0 ) ε. В этой окрестности значение ϕ( = f(. Если g(x 0 ) = f(x 0 ), то удобно воспользоваться определением непрерывности на языке последовательностей. 39. Функция сохраняет знак на отрезке. В противном случае существовало бы значение x 0 такое, что f(x 0 ) = 0. Пусть функция положительна на отрезке. Тогда по теореме Вейерштрасса функция принимает наименьшее значение на [a,b]. Для интервала это утверждение, вообще говоря, неверно. Рассмотрите пример f( = x на интервале (0,1). 40. В общем случае утверждение неверно. Можно построить пример 1 функции, заданной на [ 1,1], f ( = si, x 0 и f ( 0) = 0. x 41. Если f(0) 0 и f(1) 1, то рассмотреть функцию g( = f( x. 42. Нет, так как по теореме Вейерштрасса функция ограничена на отрезке. 43. Нет. Существует обратное непрерывное отображение. Непрерывная функция на замкнутом множестве достигает наибольшего и наименьшего значения, поэтому множество ее значений не может быть открытым множеством. 44. Нет, множество значений функции, непрерывной на отрезке, является отрезком. 45. Нет, значения непрерывной функции заполняют промежуток. 46. Функция не является равномерно непрерывной на множестве X ε > 0 δ > 0 u, v X : u v < δ и f ( u) f ( v) > ε. 48. Функция f ( = x равномерно непрерывна на множестве x [0,1] (по теореме Кантора). На множестве [1,+ ) рассмотрим разность u v u v u v f ( u) f ( v) = u v =. Так как u + v 2, то. u + v u + v 2 Это неравенство доказывает равномерную непрерывность функции на [1,+ ). Остается воспользоваться результатом задачи а) f(=2x+1; б) f( = x+5; 12

13 1 1 при x=, N, f ( = + 1 в) xв остальныхточках г) f ( = arcctg( π 1 д) f ( = + 1. x Пусть функция возрастает в каждой точке интервала (a,b), но не является возрастающей на этом множестве. Это означает существование двух таких точек u,v (a,b), для которых u < v и f(u) f(v). Зафиксируем u и рассмотрим точную нижнюю границу множества V = { v : u < v < b, f ( u) f ( v)}, которую обозначим через w. Так как u - точка возрастания, то u < w. Но каждое из неравенств: f(u) f(w) и f(u) < f(w) противоречит выбору точки w; первое тому, что w - точная нижняя граница множества V, второе максимальности w в множестве нижних границ. 51. Вообще говоря, нет. В качестве примера можно рассмотреть f( = arctg x. 52. Рассмотрите функцию f( = si(x 2 )/x. Она дифференцируема на (a,+ ), существует lim f (, но не существует lim f (. x + 13 x Запишите определение периодической функции и продифференцируйте равенство f(x+t) = f(. 54. Рассмотрите односторонние пределы при x +0 и при x 0 разностного отношения, фигурирующего в определении производной, и воспользуйтесь четностью f(. 55. Функция называется равномерно непрерывной на интервале X, если ε > 0 δ > 0 u, v X : u v < δ f ( u) f ( v) < ε. Функция дифференцируема на X, значит, для любых u,v (X) справедлива теорема Лагранжа: f ( u) f ( v) = f ( c) u v, c [u,v]. Так как производная функции по условию ограничена f ( K, то f ( u) f ( v) K u v. В ε качестве δ можно выбрать δ =. K 56. Рассмотреть пример f( = x Пусть f ( 0) > 0, f (1) < 0. Тогда на (0,1) существует точка, в которой f( имеет максимум. Производная функции в точке экстремума равна Для каждого многочлена ( ) P k (, ( k = 0,1,2,..., 1) выполнены ( k) ( k) условия теоремы Ролля в каждом промежутке [u,v], где P ( u) = P ( v) = Найдите по определению производную функции ϕ ( :

14 lim x 0 ϕ( x+ ϕ( = x 2 1 ( si lim x =0. x 0 x По теореме о производной сложной функции ( ( ( ) ) f ϕ = 0 при x= Линейная функция g(= 2x+4 удовлетворяет условию задачи. Рассмотрите функцию ϕ( = f( g(. Для этой функции ϕ(0) =0, ϕ(1) =0, ϕ'( 0. Так как функция не убывает на рассматриваемом отрезке, то ϕ( Если lim f ( = lim f ( =cost, то можно доопределить x a + 0 x b 0 функцию на концах интервала и воспользоваться теоремой Ролля. 63. Воспользуйтесь теоремой Лагранжа. 14

15 15

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Шамин Роман Вячеславович. Курс лекций по высшей математике

Шамин Роман Вячеславович. Курс лекций по высшей математике Шамин Роман Вячеславович Курс лекций по высшей математике Москва 2016 УДК 517.98 ББК 22.16 Ш19 Шамин Р.В. Курс лекции по высшей математике. М.: 2016. Книга представляет собой конспект лекций по математическому

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3 Глава 7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Функция f ( ) x называется равномерно непрерывной на множестве X если > δδ ( ) > ( ) ( ) x x X x x

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Кафедра Высшей математики ММФ Автор программы: доцент М.П.Вишневский Лектор: 1-й семестр 1. Введение. Множества и операции над ними. Отображения множеств. Счетные множества. Действительные

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек пространства R. Является ли

8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек пространства R. Является ли Множества и последовательности точек Сформулируйте определение изолированной точки множества D R Приведите пример Сформулируйте определение внутренней точки множества D точек пространства Приведите пример

Подробнее

ПРОГРАММА. зачет 1-4 семестр. Содержание лекционного материала

ПРОГРАММА. зачет 1-4 семестр. Содержание лекционного материала ПРОГРАММА курсу «Математический анализ» 4 Факультет математический Специальность 010101 Математика Семестр 1 4 Лекции 280 час. Практические занятия 280 час. Самостоятельная работа 250 час. Форма проверки

Подробнее

ТЕОРЕМА I. Если функция f измерима на E, а функция g борелевская, то композиция g f является измеримой на Е функцией.

ТЕОРЕМА I. Если функция f измерима на E, а функция g борелевская, то композиция g f является измеримой на Е функцией. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть -аддитивная мера, определенная на -алгебре подмножеств множества X. Мы будем предполагать, что мера является

Подробнее

Математический анализ-1

Математический анализ-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-1 Баку - 2015 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-1.

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: по направлению подготовки: факультеты: кафедра: курс: Трудоёмкость: семестры: лекции: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Математический анализ в вопросах и задачах

Математический анализ в вопросах и задачах ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Математический

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА НА Кулагина МВ Черепанова ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ -е издание, исправленное Новосибирск 04 УДК 5 ББК К90 Рецензенты БП Зеленцов д-р техн наук, профессор

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы 1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр, часть I Аксиоматический подход к описанию множества действительных чисел.. Сформулировать группу аксиом сложения.

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 10 класс ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Новосибирск Для проверки

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет-упи» РМ Минькова Дифференциальное исчисление функции одной переменной Учебно-методическое пособие Научный

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа Я.А. Барлукова С.Ф. Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть I Улан- Удэ 00 Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет Я.А Барлукова С.Ф. Долбеева

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

1 Корни и их количество

1 Корни и их количество 1 Функции, их графики и связанные с ними доказательства Оглавление 1 Корни и их количество...1 1.1 Корни уравнения...1 1.1.a Корни уравнения...1 1. Число корней... 1. Число корней... 1.4 Функциональное

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция. Определение ряда, свойства, критерий Коши сходимости ряда. Сравнение положительных рядов. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши, Коши-Адамара, Раабе,

Подробнее

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика-»

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный университет'' Кафедра математического анализа

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Понятие производных и дифференциалов высших порядков Производная f ( называется производной первого порядка (или

Подробнее

Приложение к программе курса "Теория вероятностей", прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Приложение к программе курса Теория вероятностей, прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Приложение к программе курса "Теория вероятностей", прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В данном приложении рассматриваются некоторые виды сходимости. В теории вероятностей

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

Приложение производных к исследованию функций

Приложение производных к исследованию функций Приложение производных к исследованию функций Лекции 1 6 Л.И. Терехина, И.И. Фикс Курс: Высшая математика Семестр 1, 2009 год portal.tpu.ru Теорема 1 (Ферма) Если функция y = f (x): 1) непрерывна в замкнутом

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

БИЛЕТ 2 «О» Определение наибольшего элемента «Т» Теорема 8 (об ограниченности сходящейся последовательности)

БИЛЕТ 2 «О» Определение наибольшего элемента «Т» Теорема 8 (об ограниченности сходящейся последовательности) БИЛЕТ 1 «О» Определение верхней границы «Т» Теорема 5 (критерий точной верхней границы) «Т» Теорема 7 (о зажатой последовательности) «О» Определение бесконечного предела в точке сгущения «Т» Теорема 20

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УЧЕБНИК В 2 частях Часть 1 3-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией

Подробнее

II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с

II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с теоретическими и практическими основами математического

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная. Основные определения Определение. Производной функции y = f (x) в точке x 0 называется предел отношения приращения этой функции y в точке

Подробнее

ИЗБРАННЫЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. 1. ВВЕДЕНИЕ.

ИЗБРАННЫЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. 1. ВВЕДЕНИЕ. ИЗБРАННЫЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ВВЕДЕНИЕ Настоящее пособие предназначено для учащихся - классов, углубленно изучающих математику, и носит скорее теоретический, чем практический характер В стандартных

Подробнее

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx;

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx; Список задач для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2 I. Неопределённый интеграл. Вычислить интеграл: 1. 1 sin 2x (0 x π); 2. 3. x 2 + 1 x 4 + 1 ; 3 sin 2 x 8 sin

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее