Пределы и непрерывность

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Пределы и непрерывность"

Транскрипт

1 Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом функции f ) при стремлении к a, если для любого числа ε > 0 как бы мало оно ни было) существует такая δ - окрестность точки a, что для всех значений, ей принадлежащих, соответствующие значения функции принадлежат ε -окрестности точки b, короче, если Обозначение: ε > 0, δ > 0 : 0 < a < δ = f ) b < ε. f ) = b. Грубо говоря, число b является пределом функции f ) при стремящемся к a, если функция f ) принимает значения, сколь угодно близкие к b, если только аргумент принимает значения, достаточно близкие к a. В этом случае говорят также, что число b является пределом функции f ) в точке a. Замечания.. Число δ, вообще говоря, зависит от ε : δ = δ ε). 2. Точка a в данном определении исключается из её δ -окрестности. Геометрическая интерпретация. Рассмотрим часть графика функции = f ), заключённую между прямыми = b ε и = b + ε. Пусть A и B - точки пересечения этих прямых с графиком. Перпендикуляры, опущенные из этих точек на ось O, пересекают её в двух точках = a δ и 2 = a + δ 2. Пусть δ = mi{δ, δ 2 }. Тогда часть графика функции f ), соответствующая значениям a δ, a + δ ), лежит внутри полосы, ограниченной прямыми = b ε и = b + ε. b + ε b b ε O = f ) B A a δ a a + δ 3 + ε 3 3 ε O = ε ε 2 2 Пример. неравенств следует, что 2 5) = 3. Действительно, из эквивалентности следующих ) 3 < ε, ε < 2 8 < ε, 8 ε < 2 < 8 + ε, 4 ε 2 < < 4 + ε 2, 4 < ε 2 ε > 0, δ = ε 2 : 4 < δ = ε 2 = 2 5 ) 3 < ε,

2 т. е. для любого наперёд заданного положительного числа ε, как бы мало оно ни было, значение функции будет меньше чем на ε ближе к 3, если только значение аргумента будет меньше чем на δ = ε ближе к 4. 2 Заметим, что функция может иметь в данной точке только один предел. Действительно, допустим, что функция = f ) имеет при a два предела b и b 2. Рассмотрим две полосы, ограниченные соответственно парами прямых = b ε, = b + ε и = b 2 ε, = b 2 + ε. Для всех, достаточно близких к a, график функции должен лежать одновременно в каждой из двух полос. Но это невозможно, если ε настолько мало, что рассматриваемые полосы не имеют общих точек. Если неравенство f ) b выполняется при условии a < < a + δ, т. е. для всех из полуинтервала a, a + δ ), то число b называется пределом справа и обозначается так: f ) или f + 0). +0 Таким образом, f ) = b означает следующее: +0 ε > 0, δ > 0 : a < < a + δ = f ) b < ε. Аналогично определяется предел слева: означает, что f ) = b 0 ε > 0, δ > 0 : a δ < < a = f ) b < ε. Предел справа и предел слева называются односторонними пределами. Очевидно, f ) = b тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы f a 0) и f a+0), причём f a 0) = f a + 0) = b. Упражнение. Дать геометрическую иллюстрацию односторонних пределов. Пусть теперь функция = f ) определена при сколь угодно больших значениях аргумента. Тогда будем говорить, что она определена в окрестности +. Число b называется пределом функции f ) при стремящемся к +, если для любого числа ε > 0 существует число M > 0 зависящее от ε ) такое, что для всех > M соответствующие значения функции принадлежат ε -окрестности точки b, т. е. если ε > 0, M > 0 : > M = f ) b < ε. Обозначение: f ) = b. + Таким образом, число b есть предел функции f ) при +, если при неограниченном возрастании аргумента значения функции становятся сколь угодно близкими к b. 2

3 Геометрическая иллюстрация: как бы мало ни было число ε > 0, найдётся неко торое число M > 0 такое, что при > M график функции лежит b + ε между прямыми = b ε и = b + ε. b b ε O M Аналогично определяется предел при : означает, что f ) = b ε > 0, M > 0 : < M = f ) b < ε. Привести геометрическую иллюстрацию последнего определения. Пусть дано число M > 0. Условимся считать множество точек, для которых > M, окрестностью +, а множество точек, для которых < M, окрестностью. Тогда можно дать такое общее определение предела функции: число b называется пределом функции f ) в точке a которая может быть и бесконечно удалённой), если для любого числа ε > 0 существует такая окрестность U a точки a, что U a = f ) b < ε. Подчеркнём, что символ U a здесь и далее) обозначает множество точек вида: a, a + δ ) при a + 0, a δ, a ) при a 0, a δ, a ) a, a + δ ) при a, M, + ) при +,, M ) при. 2. Предел последовательности Приведённое выше определение предела функции при + годится, в частности, для случая, когда функция представляет собой числовую последовательность: a = f ), N. В этом случае оно может быть сформулировано следующим образом: Определение. Число b называется пределом последовательности {a } : a, a 2, a 3,..., a,..., если для любого ε > 0, как бы мало оно ни было, найдётся число M = M ε) такое, что для всех членов последовательности с номером > M будет выполняться неравенство a b < ε, т. е. все члены последовательности с номером > M будут принадлежать ε - окрестности числа b : b ε, b + ε ). При этом пишут: = b. 3

4 Пример. ) : 2, 2, 4 3, 3 4, 6 5, 5 6, 8 7, 7 8,.... a 2 a 4 a a 5 a 3 a a ) = =, так как для любого ε > 0 a = ) = ) = < ε, 4 6 если только > ε. Например, если ε = 0,, то для всех членов последовательности, номера которых > 0, будет выполняться неравенство a < ε, ) т. е. все члены последовательности, начиная с -го, будут принадлежать ε - окрестности точки = : ε, + ε ) 0, + ) 0, 9 ;, ). 0 При ε = 0, 0 условие *) будет выполняться для всех членов последовательности, начиная с 0-го, при ε = 0, 00 - для всех членов, начиная с 00-го и т. д. Пример 2. a = ) + :,,,,, Эта последовательность не имеет предела. Действительно, достаточно взять ε < например, ε = ), чтобы заметить, что члены последовательности не попадают в 2 такую ε -окрестность ни для какого номера. 3. Бесконечно малые функции Определение. Функция = f ) называется бесконечно малой при a, если f ) = 0. На основании общего определения предела функции это определение равносильно следующему. Определение. Функция = f ) называется бесконечно малой при a, если для любого ε > 0 существует окрестность U a точки a такая, что U a = f ) < ε. В качестве упражнения рекомендуется переформулировать последнее определение для каждого из случаев: a, a + 0, a 0, +,. 4

5 Пример. Функция = является бесконечно малой при +, так как 2 + = 0. 2 Действительно, для любого ε > 0, f ) = 2 = < ε при всех >. 2 ε Вообще, можно показать, что при любом α > 0 функция = бесконечно малой при +. α является Пример 2. Функция = f ) = α при любом α > 0 является бесконечно малой при 0, то есть 0 α = 0. Действительно, для любого ε > 0, для всех значений таких, что f ) = α = α < ε < ε α. Определение. Будем говорить, что области определения X и X 2 функций = f ) и = f 2 ) совпадают при a, если существует окрестность U a такая, что X U a = X 2 U a. Рассматривая арифметические действия над бесконечно малыми функциями при a, будем каждый раз предполагать, что области определения этих функций совпадают при a в указанном выше смысле. Теорема. Если функции ϕ ) и ψ ) являются бесконечно малыми при a, то их сумма ϕ ) + ψ ) также является бесконечно малой функцией при a. Доказательство. Пусть ε - произвольное положительное число. Так как по условию функции ϕ ) и ψ ) являются бесконечно малыми при a, то существуют окрестности U a и U a такие, что Отсюда следует, что если то неравенства ϕ ) < ε 2 и ψ ) < ε 2 U a = ϕ ) < ε 2, U a = ψ ) < ε 2. U a = U a U a, выполняются одновременно, поэтому ϕ ) + ψ ) ϕ ) + ψ ) < ε 2 + ε 2 = ε. 5

6 Таким образом, для любого ε > 0 существует окрестность U a такая, что U a = ϕ ) + ψ ) < ε, что и означает, что функция ϕ ) + ψ ) является бесконечно малой при a. Следствие. Если функции ϕ ) и ψ ) являются бесконечно малыми при a, то их разность ϕ ) ψ ) также является бесконечно малой функцией при a. Замечание. Теорема может быть легко обобщена на любое конечное число слагаемых. Кратко это обобщение может быть сформулировано так: Теорема. Алгебраическая сумма нескольких бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Определение. Функция = f ) называется ограниченной при a, если существует окрестность U a, в которой функция = f ) ограничена, т. е. существуют число C > 0 и окрестность U a такие, что U a = f ) C. Упражнение. Переформулировать это определение для каждого конкретного случая с указанием формы окрестности U a ): a, a + 0, a 0, +,. Теорема 2. Если функция = f ) имеет предел при a, то она ограничена при a. Доказательство. Пусть f ) = b. Тогда для любого ε > 0 найдётся окрестность U a такая, что U a = f ) b < ε. Но тогда для всех U a то есть будем иметь f ) = [ f ) b ] + b f ) b + b < ε + b, U a = f ) < ε + b. Замечание. Обратное утверждение неверно: ограниченная функция может не иметь предела. Например, функция = si ограничена всюду, однако не имеет предела при + или при ). Теорема 3. Если функция = f ) имеет при a предел, отличный от нуля, то функция = f ) ограничена при a. Доказательство. Пусть f ) = b 0. Выберем ε = b. Тогда существует 2 окрестность U a такая, что U a = f ) b < b 2. 6

7 Но тогда, так как то для всех U a f ) b = b f ) b f ), будем иметь откуда b f ) f ) b < b 2, f ) > b b 2 = b 2 и, следовательно, f ) = f ) < 2 b. Теорема 4. Если ϕ ) - бесконечно малая функция при a, а ψ ) - ограниченная функция при a, то произведение ϕ ) ψ ) является бесконечно малой функцией при a. Доказательство. Из условий теоремы следует, что существует окрестность U a такая, что U a = ψ ) C, где C - некоторое положительное число. Кроме того, для любого ε > 0 найдётся окрестность U a такая, что U a = ϕ ) < ε C. Тогда для U a = U a U a выполняются оба неравенства ϕ ) < ε C и ψ ) < C. Следовательно, U a = ϕ ) ψ ) = ϕ ) ψ ) < ε C C = ε, что и означает, что произведение ϕ ) ψ ) представляет собой бесконечно малую функцию при a. Следствие. Произведение бесконечно малой функции при a ) на число есть бесконечно малая функция при a ). Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых функций при a ) есть бесконечно малая функция при a ). Последнее следствие допускает обобщение на любое конечное число сомножителей. Следствие 2. Произведение нескольких бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Следствие 2. Степень целая положительная) бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция. 7

8 Замечание. Отношение двух бесконечно малых функций не обязательно есть бесконечно малая функция. Это может быть функция произвольного поведения. Теорема 5. Если функция ϕ ) является бесконечно малой при a, а функция ψ ) имеет ненулевой предел при a, то отношение ϕ ) есть бесконечно ψ ) малая функция при a. Доказательство. Действительно, ϕ ) ψ ) = ϕ ) ψ ). По теореме 3 функция ограничена при a, а функция ϕ ) по условию ψ ) есть бесконечно малая при a. Следовательно, по теореме 4 рассматриваемая функция является бесконечно малой при a. 4. Бесконечно большие функции Определение. Функция = f ), X называется бесконечно большой при a, если для любого положительного числа M как бы велико оно ни было) найдётся окрестность U a такая, что U a X = f ) > M. Упражнение. Переформулировать приведённое определение при a, a + 0, a 0, +,. с указанием вида окрестности U a в каждом конкретном случае. Пример. Функция = f ) = M является бесконечно большой при 0, так как для любого числа M > 0 имеем f ) = = > M для всех значений таких, что M O M то есть < M, M или M < < M U 0 = M, M ). Пример 2. Функция = lg является бесконечно большой при +, т. к. для любого M > 0 выполняется неравенство lg > M при всех > 0 M. Ясно, что всякая функция = f ), бесконечно большая при a, не является ограниченной при a, поэтому она не имеет предела при a. Тем 8

9 не менее, допуская вольность речи, о такой функции говорят, что она стремится к бесконечности или имеет бесконечный предел при a и пишут: f ) =. При этом, если при значениях, достаточно близких к a, бесконечно большая функция f ) принимает только положительные значения, то пишут: f ) = + ; если же значения f ) при всех, близких к a, отрицательны, то пишут: f ) =. Примеры: lg = +, + tg = +, π 0 2 lg = ; +0 tg =. π +0 2 Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует тесная связь, которая устанавливается в следующих теоремах. Теорема. Если функция f ) является бесконечно большой при a, то функция f ) является бесконечно малой при a. Доказательство. Выберем произвольное число ε > 0 сколь угодно малое) и положим M =. Так как функция f ) - бесконечно большая при a, то ε существует окрестность U a такая, что U a = f ) > M = ε. Но это равносильно тому, что U a = f ) = f ) < ε, а это значит, что функция f ) является бесконечно малой при a. Теорема 2. Если функция f ) является бесконечно малой, не обращающейся в нуль, при a, то функция f ) является бесконечно большой при a. Доказательство. Выберем произвольное число M > 0 сколь угодно большое) и положим ε =. Так как функция f ) - бесконечно малая при a, то M существует окрестность U a такая, что U a = f ) < ε, то есть ч. и т. д. U a = f ) > ε = M, 9

10 5. Основные теоремы о пределах Лемма. Для того, чтобы функция f ) имела предел b при a, необходимо и достаточно, чтобы f ) = b + α ), где α ) - бесконечно малая функция при a. Доказательство. Обозначим разность f ) b через α ) : Тогда утверждения и f ) b = α ) или f ) = b + α ). ε > 0, U a : U a = f ) b < ε ε > 0, U a : U a = α ) < ε означают одно и то же. С другой стороны, первое из них означает, что f ) = b, а второе означает, что функция α ) является бесконечно малой при a. Замечание. Будем считать, что области определения всех рассматриваемых в этом параграфе функций совпадают при a. Теорема. Если функции f ) и g ) имеют предел при a, то функции f ) + g ) и f ) g ) также имеют предел при a, причём [ f ) ± g ) ] = f ) ± g ). Короче: предел суммы разности) равен сумме разности) пределов. Доказательство. Пусть Тогда f ) = b, g ) = c. f ) = b + α ), g ) = c + β ), где α ) и β ) - бесконечно малые функции при a. Следовательно, f ) + g ) = b + c ) + [ α ) + β ) ]. Но сумма f ) + g ) является бесконечно малой функцией при a как сумма двух бесконечно малых функций). Поэтому Аналогично: [ f ) + g ) ] = b + c. [ f ) g ) ] = b c. Следствие. Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций имеет предел при a, то предел этой алгебраической суммы функций при a существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых: [ f ) + f 2 ) f ) ] = f ) + f 2 ) f ). 0

11 Теорема 2. Если функции f ) и g ) имеют предел при a, то функция f ) g ) также имеет предел при a, причём Доказательство. Пусть Тогда [ f ) g ) ] = f ) g ). f ) = b, g ) = c. f ) = b + α ), g ) = c + β ), где α ) и β ) - бесконечно малые функции при a. Следовательно, f ) g ) = [ b + α ) ] [ c + β ) ] = b c + [ c α ) + b β ) + α ) β ) ], где выражение в квадратных скобках представляет собой бесконечно малую функцию при a на основании теорем о бесконечно малых функциях. Это значит, что [ f ) g ) ] = b c. Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак предела, т. е. если k = cost, то [ k f ) ] = k f ). Следствие 2. Теорема 2 верна для любого конечного числа сомножителей: [ f ) f 2 )... f ) ] = f ) f 2 )... f ). Следствие 2. Если функция f ) имеет предел при a и - натуральное число, то функция [ f ) ] также имеет предел при a, причём [ f ) ] = [ f ) ]. Теорема 3. Если функции f ) и g ) имеют предел при a и при этом g ) 0, то функция f ) g ) также имеет предел при a, причём f ) f ) g ) = g ). Доказательство. Тогда Пусть f ) = b, g ) = c. f ) = b + α ), g ) = c + β ),

12 где α ) и β ) - бесконечно малые функции при a. Рассмотрим разность f ) g ) b c = b + α ) c + β ) b c = c α ) b β ) c 2 + c β ) На основании теорем о бесконечно малых функциях дробь, стоящая в правой части последнего равенства, представляет собой бесконечно малую функцию при a числитель - бесконечно малая, а знаменатель имеет ненулевой предел). Следовательно, f ) g ) = b c. Теорема 4. Если f) = b и для всех, достаточно близких к a, выполняется неравенство f ) 0 или f ) > 0, то b 0. Доказательство. Так как f) = b, то для любого ε > 0 найдётся окрестность U a такая, что U a = f ) b < ε или U a = b ε < f ) < b + ε. Допустим, что b < 0. Тогда, выбрав ε < b, будем иметь b + ε < 0, т. е. f ) < b + ε < 0 для всех U a, что противоречит условию теоремы. Следовательно, b 0. Теорема 4. Если f) = b и для всех, достаточно близких к a, выполняется неравенство f ) 0 или f ) < 0, то b 0. Доказательство аналогично. Следствие. Если функции f ) и g ) имеют предел при a и для всех, достаточно близких к a, выполняется неравенство. то Тогда Доказательство. Пусть f ) g ) или f ) < g ), f) g). f) = b, g) = c. [ g ) f ) ] = c b. С другой стороны, так как g ) f ) 0, то по теореме 4 или b c, ч. и т. д. c b 0, то есть c b 2

13 Теорема 5 о промежуточной функции). Если функции ϕ ), f ) и ψ ) удовлетворяют неравенствам ϕ ) f ) ψ ) для всех, достаточно близких к a, причём функции ϕ ) и ψ ) имеют при a один и тот же предел b, то и функция f ) имеет предел при a и при этом f) = b. Доказательство. Так как ϕ) = ψ) = b, то для любого ε > 0 найдутся окрестности U a и U a такие, что U a = b ε < ϕ ) < b + ε, U a = b ε < ψ ) < b + ε, Следовательно, для всех U a = U a U a будем иметь Другими словами, b ε < ϕ ) f ) ψ ) < b + ε. ε > 0, U a : U a = b ε < f ) < b + ε, то есть f) = b. В заключение этого параграфа сформулируем без доказательства одну важную теорему. Теорема 6. ) Монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет предел. 2) Монотонно убывающая последовательность, ограниченная снизу, имеет предел. 6. Первый замечательный предел O D C B 0 A si =. ) Учитывая, что функция = si чётная, достаточно доказать формулу ) только при > 0. Будем рассматривать как центральный угол единичного круга: = AÔB. видно из рисунка, Как пл. AOB <пл.сект. AOB <пл. AOC, 3

14 то есть Разделив 2) на 2 откуда 2 si < 2 < 2 si > 0, получим: < si < cos, tg. 2) cos < si <. 3) Пусть теперь 0. Из рисунка видно, что 0 = B A = D A = OD. Так как cos = OD, отсюда следует,что cos =. 4) 0 Следовательно, применяя к неравенствам 3) теорему о промежуточной функции, получим: si 0 =. 7. Число e второй замечательный предел) Лемма. Для любого q > и любого натурального имеет место неравенство Доказательство. + q + q q = q q ; q + q ). ) + q + q q = ; q q ; q q ). Следствие. q + + ) q ). ) Теорема. Последовательность с общим членом b = ) + + имеет предел. Доказательство. Покажем сначала, что последовтельность { b } убывает. = b b = + + ) ) + = ) 2 + = 2 [ ] + + ) 2 ) ) + ) + = ) ) [ ) = + 4 ) ] 2 ) ) = = = =.

15 Таким образом, b b то есть b b, что и означает, что последовательность { b } убывает. Кроме того, очевидно N, b = + ) + >, то есть последовательность { b } ограничена снизу. предел + +. ) Следствие. Последовательность с общим членом a = + ) имеет предел. Следовательно, существует Действительно, a = + ) ) + + = + По теореме о пределе частного существует предел + ). = b +. Этот предел называется неперовым числом и обозначается буквой e. Так как + ) ) + ) ) + = + = + = 2, то e 2. Кроме того, a = + ) + ) + = b. Но b b = Поэтому e 4. Таким образом, + ) + = 2 2 = 4. Следовательно, a b b = 4, 2 e 4. Число e иррационально. Его приближённое значение равно e 2, В математике важную роль играют логарифмы при основании e. Такие логарифмы называются натуральными или неперовыми и обозначаются так: log e = l. 5

16 Тогда Найдём связь между натуральными и десятичными логарифмами. Пусть Отсюда то есть где - модуль перехода. Обратно где = l. = e. lg = lg e = lg e = lg e l, lg = M l, M = lg e = l 0 M = lg e l = M lg, 0, 4343 = l 0 2, Докажем, что 8. Предел + Так как +, можно считать, что > 0. ) + + = e. ) + ) < +, причём +. Очевидно: Но > +, + + > + +, + ) + > + ) > ) + ) Пусть [ ] =. Тогда + ), + + ). + + = + ) ) + ) = e = e, + ) = ) = e = e.

17 Следовательно, по теореме о промежуточной функции + ) = e. Докажем теперь, что + + = e. 2) ) Для этого вместо введём новую переменную =. Тогда + ) = ) = = ) = ) = + ) = + ) + ). Так как при этом ) + ), то + = + ) ) + ) = e = e. + Из формул ) и 2) следует, что + + ) = e. 3) Замечание. Довольно часто вместо формулы 3) применяется другой её вариант + ) = e. 4) 0 Чтобы доказать формулу 4), введём новую переменную: = t t =. Тогда, так как 0 t, будем иметь: 0 + ) = + ) t = e. t t 9. Сравнение бесконечно малых функций Пусть функции α ) и β ) являются бесконечно малыми при a, то есть α ) = 0 и β ) = 0, а их области определения совпадают при a. Если при этом существует ненулевой предел их отношения α ) β ) = c 0, то функции α ) и β ) называются бесконечно малыми одного порядка. 7

18 В частности, если α ) β ) =, то бесконечно малые α ) и β ) называются эквивалентными или равносильными. Этот факт обозначается так: α ) β ). Если α ) β ) = 0, то функция α ) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β ). Этот факт обозначается так: α ) = o β )). Если α ) β ) =, то функция α ) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β ). Если предел α ) β ) не существует ни конечный, ни бесконечный), то бесконечно малые α ) и β ) называются несравнимыми. Пусть α ) = o β )). Если при этом α ) β ) ] k = c 0, то функция α ) называется бесконечно малой порядка k относительно β ). Примеры.. Функции = 2 4 и = являются бесконечно малыми одного порядка при 2, так как но ) = 0 и ) = 0, = 2 2) + 2) 2) 3) = = Функции = si и = являются эквивалентными бесконечно малыми при 0, так как si = 0, 0 = 0, но 0 0 si =. являются несравнимыми бесконечно ма- 3. Функции α ) = cos лыми при +, так как и β ) = + cos = 0, + = 0, но 2 α ) β ) = 2 cos не существует. 8

19 4. Пусть α ) = , β ) = Эти функции являются бесконечно малыми при, так как Так как ) = 0 и 3 + 3) = 0. α ) β ) = = + ) ) = + 3 = 0, то α ) является бесконечно малой более высокого порядка чем β ) : Но так как α ) [ β ) ] 2 = = o ) ) 2 = + ) ) 2 = то α ) является бесконечно малой порядка 2 по сравнению с β ). 9 = 9 0, Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций при a не изменяется, если каждую из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией : α ) α ), β ) β ) при a = α ) β ) = α ) β ). Доказательство. α ) β ) = α ) α ) α ) β ) β ) β ) = α ) α ) α ) β ) β ) β ) = = α ) β ) = α ) β ). Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка: γ ) = α ) + β ), α ) = o β )) = γ ) β ) при a. при a Доказательство. γ ) β ) = α ) + β ) β ) = + α ) β ) = + 0 =. Теорема 3. Бесконечно малые при a ) функции α ) и β ) эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечномалая функция более высокого порядка чем α ) и β ). 9

20 Доказательство. Введём обозначение: α ) β ) = γ ). Тогда α ) = β ) + γ ), β ) = α ) γ ). По теореме 2, если γ ) = o β )) или γ ) = o α )), то α ) β ). Обратно, пусть α ) β ), то есть Тогда γ ) β ) = α ) β ) β ) α ) β ) =. = α ) β ) = = 0, т. е. γ ) = o β )). Так как α ) β ), будем иметь также γ ) = o α )). 0. Непрерывность функции в точке Определение. Функция = f ) называется непрерывной в точке 0, если ) она определена в точке 0, 2) имеет предел при 0, 3) f ) = f 0 ). ) 0 Если функция = f ) непрерывна в точке 0, то точка 0 называется точкой непрерывности этой функции. Замечание. Формулу ) можно переписать в виде 0 f ) = f 0 ). 2) Формула 2) показывает, что при вычислении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции. Если пользоваться определением предела функции при 0, определение можно переформулировать следующим образом: Определение 2. Функция = f ) называется непрерывной в точке 0, если ε > 0, δε, 0 ) > 0 : 0 < 0 < δ = f ) f 0 ) < ε. 3) Пусть функция = f ), X, определена в точке 0 произвольную точку X. Разность X. Рассмотрим = 0, независимо от её знака может быть как больше, так и меньше 0 ), называется приращением аргумента при переходе от его значения 0 к новому значению. Разность = f ) f 0 = f 0 + ) f 0 ) называется приращением функции, соответствующим значению аргумента 0 приращению. Заметим теперь, что равенство ) можно переписать в виде [ f ) f 0 ) ] = и его

21 или или ещё [ f ) f 0) ] = = 0. 4) 0 Следовательно, можно привести ещё одно эквивалентное) определение непрерывности функции в точке. Определение 3. Функция = f ) называется непрерывной в точке 0, если ) она определена в точке 0, 2) приращение функции в точке 0 стремится к нулю, если соответствующее приращение аргумента стремится к нулю: 0 = 0. Короче: Функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Заметим, что в одних случаях удобно пользоваться одним определением, в других случаях - другим. В некоторых вопросах приходится иметь дело с односторонней непрерывностью функции в точке. Определение 4. Функция = f ) называется непрерывной в точке 0 если ) она определена в точке 0, 2) имеет предел при 0 0, 3) f 0 0 ) = f 0 ). слева, Определение 4. Функция = f ) называется непрерывной в точке 0 справа, если ) она определена в точке 0, 2) имеет предел при 0 + 0, 3) f ) = f 0 ). Пусть функция = f ) определена как угодно близко к точке 0 с любой её стороны. Тогда для непрерывности функции f ) в точке 0, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке одновременно слева и справа.. Точки разрыва функции Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва этой функции. Пусть функция = f ), X определена как угодно близко к точке 0, как слева, так и справа от неё. Непрерывность функции f ) в такой точке 0 равносильна выполнению следующих условий:. функция f ) определена в точке 0, 2. существует предел функции f ) при 0 слева f 0 0), 3. существует предел функции f ) при 0 справа f 0 + 0), 4. f 0 0) = f 0 + 0) = f 0 ). 2

22 Характер разрыва функции = f ) в точке 0 зависит от того, какие из этих условий нарушены, а также от характера их нарушения. Обычно все типы точек разрыва подразделяют на два класса. Точки разрыва функции, для которых существуют оба односторонних предела f 0 0) и f 0 +0), называются точками разрыва -го рода. Всякие другие точки разрыва назваются точками разрыва 2-го рода. В случае точек разрыва -го рода возможны следующие типы нарушений условий 4 : ) f 0 0) f 0 + 0). При этом функция f ) может быть определена или нет в точке 0. Разность f 0 + 0) f 0 0) в этом случае называется скачком функции f ) в точке 0. Примеры.. Функция = 2 в точке = Функция = { } в точке =. 3. Функция = sg в точке = 0. = 2 = { } = sg O 2 O 2 O 2) f 0 0) = f 0 + 0), но при этом либо функция f ) не определена в точке 0, либо её значение f 0 ) в этой точке не удовлетворяет условию 4, то есть f 0 0) = f 0 + 0) f 0 ). Примеры.. Функция = 2 в точке =. + + при < 0, 2. Функция = 0 при = 0, в точке = 0. 2 при > 0 O 2 O 22

23 Такие разрывы называются устранимыми. Это связано с тем, что разрыв такого типа можно устранить, т. е. добиться того, чтобы точка 0 стала точкой непрерывности функции f ), если её доопределить в точке 0 или изменить её определение в этой точке), полагая f 0 ) = f 0 0) = f 0 + 0). доопределить в точке = по указан- Например, если функцию = 2 + ному правилу, т. е. положить = { 2 + = при, 2 при =, то получим функцию =, непрерывную всюду, в том числе и в точке =. Точки разрыва 2-го рода характеризуются тем, что хотя бы один из односторонних пределов f 0 0) и f 0 + 0) не существует. Если хотя бы один из этих пределов бесконечен, то точка 0 называется точкой бесконечного разрыва. Примеры:. = tg ; f π 2 0) = +, f π 2 ) =. 2. = ; f 0) = +, f + 0) = = e ; f 0) = 0, f + 0) = = si ; f 0) и f + 0) не существуют. 2. Операции над непрерывными функциями Пусть даны две функции = f ) и = g ), области определения которых совпадают при 0. Теорема. Если функции = f ) и = g ) непрерывны в точке 0, то ) их сумма f ) + g ), 2) их разность f ) g ), 3) их произведение f ) g ), 4) при g 0 ) 0 их частное f ) g ) являются непрерыными функциями в точке 0. Доказательство. Так как функции = f ) и = g ) непрерывны в точке 0, то они определены в точке 0 и при этом Следовательно, функции f ) = f 0 ), 0 f ) ± g ), f ) g ), g ) = g 0 ). 0 f ) g ) также определены в точке 0 последняя при дополнительном условии, что g 0 ) 0 ), а в силу основных теорем о пределах будем иметь 23

24 [ f ) ± g ) ] = f ) ± g ) = f 0 ) ± g 0 ) ; f ) g ) = f ) g ) = f 0 ) g 0 ) ; f ) f ) g ) = 0 g ) = f 0) g 0 ). 0 Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция. Следствие 2. Произведение любого конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция. Следствие 3. Натуральная степень непрерывной функции есть непрерывная функция. Теорема 2. Если функция = ϕ ) непрерывна в точке 0, а функция z = ψ ) непрерывна в точке 0 = ϕ 0 ), то сложная функция z = f ) = ψ [ ϕ ) ] непрерывна в точке 0. Короче: суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция. Доказательство. Заметим сначала, что то есть Поэтому 0 = 0 ϕ ) = ϕ 0 ) = 0, 0 = 0. то есть 0 f ) = 0 ψ [ ϕ ) ] = 0 ψ ) = ψ 0 ) = ψ [ ϕ 0 ) ] = f 0 ), f ) = f 0 ). 0 Теорема 3. Если функция = f ) непрерывна в точке 0 и f 0 ) 0, то существует окрестность точки 0, в которой функция f ) отлична от нуля и сохраняет тот же знак, что и в точке 0. Доказательство. Так как функция f ) непрерывна в точке 0, то f ) = f 0 ). 0 Следовательно, для любого ε > 0 найдётся число δ = δ ε) > 0 такое, что 0 < δ = f ) f 0 ) < ε, то есть 0 δ < < 0 + δ = f 0 ) ε < f ) < f 0 ) + ε. 24

25 Если f 0 ) > 0, то выбрав ε так, чтобы f 0 ) ε > 0, будем иметь 0 δ < < 0 + δ = f ) > f 0 ) ε > 0. Если же f 0 ) < 0, то выбрав ε так, чтобы f 0 ) + ε < 0, будем иметь 0 δ < < 0 + δ = f ) < f 0 ) + ε < Непрерывность функции на множестве Определение. Функция = f ) называется непрерывной на множестве M, если ) она определена во всех точках множества M, 2) она непрерывна в каждой точке множества M, то есть M, = [ f + ) f ) ] = 0, 0 0 где + M. Из этого определения следует, в частности, что ) функция непрерывна в интервале a, b ), если она определена и непрерывна в каждой точке этого интервала; 2) функция непрерывна на отрезке [ a, b ], если она определена во всех точках этого отрезка, непрерывна во всех его внутренних точках и, кроме того, непрерывна в точке a справа и в точке b слева. Пример. Функция = si непрерывна на всей числовой прямой. Действительно, зафиксируем произвольно значение 0, + ). Будем иметь: = si 0 + ) si 0 = 2 cos 0 + ) si 2 2, откуда то есть и, следовательно, = 2 cos 0 + ) 2 si 2 = =, Рекомендуется самостоятельно доказать аналогично), что функция = cos непрерывна на всей числовой прямой. Следующие две теоремы принимаем без доказательства. Теорема о непрерывности обратной функции). Если функция = f ) непрерывна и строго монотонна в промежутке < a, b >, то существует обратная функция = f ), определённая в промежутке < f a), f b) >, также непрерывная и строго монотонная в том же смысле. Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны в их области определения. 25

26 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке без доказательства). -я теорема Вейерштрасса). Если функция = f ) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке. Функция = ) на, + ) неограничена, ) на [ 2, 2 ] неограничена, 3) на 0, 2 ] неограничена, 4) на [, 2 ] ограничена. Почему? 2. 2-я теорема Вейершрасса). Если функция = f ) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и своего наименьшего значений, т. е. существует хотя бы одна точка [ a, b ] такая, что [ a, b ], f ) f ), и хотя бы одна точка 2 [ a, b ] такая, что [ a, b ], f 2 ) f ). См. предыдущий пример, а также функции ) = 2 на, + ), на 2, 2 ), на [ 2, 2 ] ; 2) = { } на [ 0, 3 2 ], на 0, ), на [ 0, ], на [ 0, 2 ]. = 2 = { } 2 O я теорема Больцано-Коши). Если функция = f ) непрерывна на отрезке [ a, b ] и на концах этого отрезка принимает значения f a) и f b) разных знаков, то между a и b найдётся хотя бы одна точка c, в которой функция обращается в нуль: f c) = 0, a < c < b. fb) fa) O a c b O a c c 2 c 3 b fa) fb) 26

27 4 2 O =, [ 2, 2 ] = 2, [, 2 ] 4. 2-я теорема Больцано-Коши). Если функция = f ) непрерывна на отрезке [ a, b ] и принимает на его концах неравные значения A и B : f a) = A, f b) = B, A B, то она принимает в интервале a, b ) все промежуточные значения между A и B. B fb) C fa) C A O a b O a c c 2 c 3 b Следствие. Если функция = f ) непрерывна в некотором промежутке < a, b > конечном или бесконечном), то переходя от одного своего значения C к другому своему значению C 2, она принимает все промежуточные значения между C и C 2. 27

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Лекция 5. Непрерывность

Лекция 5. Непрерывность Лекция 5 Непрерывность 1 СА Лавренченко 1 Понятие непрерывной функции Физические величины часто моделируются непрерывными функциями Например, скорость автомобиля, температура воздуха или рост человека

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Глава 1. Теория пределов

Глава 1. Теория пределов Глава. Теория пределов.. Числовые последовательности Пусть дано некоторое множество Х. Сопоставим каждому натуральному числу какой-либо определенный элемент X. Получится функция = f: X. () Такая функция

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Введение в математический анализ

Введение в математический анализ Бубнов ВФ, Веременюк ВВ курс лекций для студентов строительных специальностей Введение в математический анализ 3 г ОГЛАВЛЕНИЕ Множества и операции над ними 3 Множества и их элементы 3 Подмножества Операции

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

Глава 2. Пределы функций одной переменной.

Глава 2. Пределы функций одной переменной. Глава Пределы функций одной переменной Предел переменной величины Определение Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного числа ε > можно указать такое

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Математический анализ-1

Математический анализ-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-1 Баку - 2015 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-1.

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет-упи» РМ Минькова Дифференциальное исчисление функции одной переменной Учебно-методическое пособие Научный

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения 1 Прикладная математика Лекция 1 Числа. Корни. Степени. Логарифмы Различные виды чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные. Действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА НА Кулагина МВ Черепанова ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ -е издание, исправленное Новосибирск 04 УДК 5 ББК К90 Рецензенты БП Зеленцов д-р техн наук, профессор

Подробнее

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3 Глава 7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Функция f ( ) x называется равномерно непрерывной на множестве X если > δδ ( ) > ( ) ( ) x x X x x

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Замечание. Понятие множества, как и другие основополагающие понятия математики, вводится без определения.

Замечание. Понятие множества, как и другие основополагающие понятия математики, вводится без определения. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция 3 Множества Операции с множествами Отображения множеств Множество действительных чисел Числовые множества Функция Область ее определения Сложные и обратные функции График функции

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Последовательности. Пределы. Задание 3 для 10-х классов ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Последовательности. Пределы. Задание 3 для 10-х классов ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Последовательности. Пределы Задание

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Сазонов Д.О. Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»

Сазонов Д.О.   Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы» Кафедра информатики и методики преподавания математики ВГПУ Сазонов Д.О. E-mail: imul@vspu.ac.ru Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»..

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ КОЗАК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (семестровый курс лекций, семестр ) Ростов-на-Дону

Подробнее

Н.Д.Выск. Математический анализ Часть 1. Дифференциальное исчисление учебное пособие

Н.Д.Выск. Математический анализ Часть 1. Дифференциальное исчисление учебное пособие Н.Д.Выск Математический анализ Часть. Дифференциальное исчисление учебное пособие МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания Начинайте каждое

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x)

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа Я.А. Барлукова С.Ф. Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть I Улан- Удэ 00 Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет Я.А Барлукова С.Ф. Долбеева

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее