Пределы и непрерывность

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Пределы и непрерывность"

Транскрипт

1 Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом функции f ) при стремлении к a, если для любого числа ε > 0 как бы мало оно ни было) существует такая δ - окрестность точки a, что для всех значений, ей принадлежащих, соответствующие значения функции принадлежат ε -окрестности точки b, короче, если Обозначение: ε > 0, δ > 0 : 0 < a < δ = f ) b < ε. f ) = b. Грубо говоря, число b является пределом функции f ) при стремящемся к a, если функция f ) принимает значения, сколь угодно близкие к b, если только аргумент принимает значения, достаточно близкие к a. В этом случае говорят также, что число b является пределом функции f ) в точке a. Замечания.. Число δ, вообще говоря, зависит от ε : δ = δ ε). 2. Точка a в данном определении исключается из её δ -окрестности. Геометрическая интерпретация. Рассмотрим часть графика функции = f ), заключённую между прямыми = b ε и = b + ε. Пусть A и B - точки пересечения этих прямых с графиком. Перпендикуляры, опущенные из этих точек на ось O, пересекают её в двух точках = a δ и 2 = a + δ 2. Пусть δ = mi{δ, δ 2 }. Тогда часть графика функции f ), соответствующая значениям a δ, a + δ ), лежит внутри полосы, ограниченной прямыми = b ε и = b + ε. b + ε b b ε O = f ) B A a δ a a + δ 3 + ε 3 3 ε O = ε ε 2 2 Пример. неравенств следует, что 2 5) = 3. Действительно, из эквивалентности следующих ) 3 < ε, ε < 2 8 < ε, 8 ε < 2 < 8 + ε, 4 ε 2 < < 4 + ε 2, 4 < ε 2 ε > 0, δ = ε 2 : 4 < δ = ε 2 = 2 5 ) 3 < ε,

2 т. е. для любого наперёд заданного положительного числа ε, как бы мало оно ни было, значение функции будет меньше чем на ε ближе к 3, если только значение аргумента будет меньше чем на δ = ε ближе к 4. 2 Заметим, что функция может иметь в данной точке только один предел. Действительно, допустим, что функция = f ) имеет при a два предела b и b 2. Рассмотрим две полосы, ограниченные соответственно парами прямых = b ε, = b + ε и = b 2 ε, = b 2 + ε. Для всех, достаточно близких к a, график функции должен лежать одновременно в каждой из двух полос. Но это невозможно, если ε настолько мало, что рассматриваемые полосы не имеют общих точек. Если неравенство f ) b выполняется при условии a < < a + δ, т. е. для всех из полуинтервала a, a + δ ), то число b называется пределом справа и обозначается так: f ) или f + 0). +0 Таким образом, f ) = b означает следующее: +0 ε > 0, δ > 0 : a < < a + δ = f ) b < ε. Аналогично определяется предел слева: означает, что f ) = b 0 ε > 0, δ > 0 : a δ < < a = f ) b < ε. Предел справа и предел слева называются односторонними пределами. Очевидно, f ) = b тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы f a 0) и f a+0), причём f a 0) = f a + 0) = b. Упражнение. Дать геометрическую иллюстрацию односторонних пределов. Пусть теперь функция = f ) определена при сколь угодно больших значениях аргумента. Тогда будем говорить, что она определена в окрестности +. Число b называется пределом функции f ) при стремящемся к +, если для любого числа ε > 0 существует число M > 0 зависящее от ε ) такое, что для всех > M соответствующие значения функции принадлежат ε -окрестности точки b, т. е. если ε > 0, M > 0 : > M = f ) b < ε. Обозначение: f ) = b. + Таким образом, число b есть предел функции f ) при +, если при неограниченном возрастании аргумента значения функции становятся сколь угодно близкими к b. 2

3 Геометрическая иллюстрация: как бы мало ни было число ε > 0, найдётся неко торое число M > 0 такое, что при > M график функции лежит b + ε между прямыми = b ε и = b + ε. b b ε O M Аналогично определяется предел при : означает, что f ) = b ε > 0, M > 0 : < M = f ) b < ε. Привести геометрическую иллюстрацию последнего определения. Пусть дано число M > 0. Условимся считать множество точек, для которых > M, окрестностью +, а множество точек, для которых < M, окрестностью. Тогда можно дать такое общее определение предела функции: число b называется пределом функции f ) в точке a которая может быть и бесконечно удалённой), если для любого числа ε > 0 существует такая окрестность U a точки a, что U a = f ) b < ε. Подчеркнём, что символ U a здесь и далее) обозначает множество точек вида: a, a + δ ) при a + 0, a δ, a ) при a 0, a δ, a ) a, a + δ ) при a, M, + ) при +,, M ) при. 2. Предел последовательности Приведённое выше определение предела функции при + годится, в частности, для случая, когда функция представляет собой числовую последовательность: a = f ), N. В этом случае оно может быть сформулировано следующим образом: Определение. Число b называется пределом последовательности {a } : a, a 2, a 3,..., a,..., если для любого ε > 0, как бы мало оно ни было, найдётся число M = M ε) такое, что для всех членов последовательности с номером > M будет выполняться неравенство a b < ε, т. е. все члены последовательности с номером > M будут принадлежать ε - окрестности числа b : b ε, b + ε ). При этом пишут: = b. 3

4 Пример. ) : 2, 2, 4 3, 3 4, 6 5, 5 6, 8 7, 7 8,.... a 2 a 4 a a 5 a 3 a a ) = =, так как для любого ε > 0 a = ) = ) = < ε, 4 6 если только > ε. Например, если ε = 0,, то для всех членов последовательности, номера которых > 0, будет выполняться неравенство a < ε, ) т. е. все члены последовательности, начиная с -го, будут принадлежать ε - окрестности точки = : ε, + ε ) 0, + ) 0, 9 ;, ). 0 При ε = 0, 0 условие *) будет выполняться для всех членов последовательности, начиная с 0-го, при ε = 0, 00 - для всех членов, начиная с 00-го и т. д. Пример 2. a = ) + :,,,,, Эта последовательность не имеет предела. Действительно, достаточно взять ε < например, ε = ), чтобы заметить, что члены последовательности не попадают в 2 такую ε -окрестность ни для какого номера. 3. Бесконечно малые функции Определение. Функция = f ) называется бесконечно малой при a, если f ) = 0. На основании общего определения предела функции это определение равносильно следующему. Определение. Функция = f ) называется бесконечно малой при a, если для любого ε > 0 существует окрестность U a точки a такая, что U a = f ) < ε. В качестве упражнения рекомендуется переформулировать последнее определение для каждого из случаев: a, a + 0, a 0, +,. 4

5 Пример. Функция = является бесконечно малой при +, так как 2 + = 0. 2 Действительно, для любого ε > 0, f ) = 2 = < ε при всех >. 2 ε Вообще, можно показать, что при любом α > 0 функция = бесконечно малой при +. α является Пример 2. Функция = f ) = α при любом α > 0 является бесконечно малой при 0, то есть 0 α = 0. Действительно, для любого ε > 0, для всех значений таких, что f ) = α = α < ε < ε α. Определение. Будем говорить, что области определения X и X 2 функций = f ) и = f 2 ) совпадают при a, если существует окрестность U a такая, что X U a = X 2 U a. Рассматривая арифметические действия над бесконечно малыми функциями при a, будем каждый раз предполагать, что области определения этих функций совпадают при a в указанном выше смысле. Теорема. Если функции ϕ ) и ψ ) являются бесконечно малыми при a, то их сумма ϕ ) + ψ ) также является бесконечно малой функцией при a. Доказательство. Пусть ε - произвольное положительное число. Так как по условию функции ϕ ) и ψ ) являются бесконечно малыми при a, то существуют окрестности U a и U a такие, что Отсюда следует, что если то неравенства ϕ ) < ε 2 и ψ ) < ε 2 U a = ϕ ) < ε 2, U a = ψ ) < ε 2. U a = U a U a, выполняются одновременно, поэтому ϕ ) + ψ ) ϕ ) + ψ ) < ε 2 + ε 2 = ε. 5

6 Таким образом, для любого ε > 0 существует окрестность U a такая, что U a = ϕ ) + ψ ) < ε, что и означает, что функция ϕ ) + ψ ) является бесконечно малой при a. Следствие. Если функции ϕ ) и ψ ) являются бесконечно малыми при a, то их разность ϕ ) ψ ) также является бесконечно малой функцией при a. Замечание. Теорема может быть легко обобщена на любое конечное число слагаемых. Кратко это обобщение может быть сформулировано так: Теорема. Алгебраическая сумма нескольких бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Определение. Функция = f ) называется ограниченной при a, если существует окрестность U a, в которой функция = f ) ограничена, т. е. существуют число C > 0 и окрестность U a такие, что U a = f ) C. Упражнение. Переформулировать это определение для каждого конкретного случая с указанием формы окрестности U a ): a, a + 0, a 0, +,. Теорема 2. Если функция = f ) имеет предел при a, то она ограничена при a. Доказательство. Пусть f ) = b. Тогда для любого ε > 0 найдётся окрестность U a такая, что U a = f ) b < ε. Но тогда для всех U a то есть будем иметь f ) = [ f ) b ] + b f ) b + b < ε + b, U a = f ) < ε + b. Замечание. Обратное утверждение неверно: ограниченная функция может не иметь предела. Например, функция = si ограничена всюду, однако не имеет предела при + или при ). Теорема 3. Если функция = f ) имеет при a предел, отличный от нуля, то функция = f ) ограничена при a. Доказательство. Пусть f ) = b 0. Выберем ε = b. Тогда существует 2 окрестность U a такая, что U a = f ) b < b 2. 6

7 Но тогда, так как то для всех U a f ) b = b f ) b f ), будем иметь откуда b f ) f ) b < b 2, f ) > b b 2 = b 2 и, следовательно, f ) = f ) < 2 b. Теорема 4. Если ϕ ) - бесконечно малая функция при a, а ψ ) - ограниченная функция при a, то произведение ϕ ) ψ ) является бесконечно малой функцией при a. Доказательство. Из условий теоремы следует, что существует окрестность U a такая, что U a = ψ ) C, где C - некоторое положительное число. Кроме того, для любого ε > 0 найдётся окрестность U a такая, что U a = ϕ ) < ε C. Тогда для U a = U a U a выполняются оба неравенства ϕ ) < ε C и ψ ) < C. Следовательно, U a = ϕ ) ψ ) = ϕ ) ψ ) < ε C C = ε, что и означает, что произведение ϕ ) ψ ) представляет собой бесконечно малую функцию при a. Следствие. Произведение бесконечно малой функции при a ) на число есть бесконечно малая функция при a ). Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых функций при a ) есть бесконечно малая функция при a ). Последнее следствие допускает обобщение на любое конечное число сомножителей. Следствие 2. Произведение нескольких бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Следствие 2. Степень целая положительная) бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция. 7

8 Замечание. Отношение двух бесконечно малых функций не обязательно есть бесконечно малая функция. Это может быть функция произвольного поведения. Теорема 5. Если функция ϕ ) является бесконечно малой при a, а функция ψ ) имеет ненулевой предел при a, то отношение ϕ ) есть бесконечно ψ ) малая функция при a. Доказательство. Действительно, ϕ ) ψ ) = ϕ ) ψ ). По теореме 3 функция ограничена при a, а функция ϕ ) по условию ψ ) есть бесконечно малая при a. Следовательно, по теореме 4 рассматриваемая функция является бесконечно малой при a. 4. Бесконечно большие функции Определение. Функция = f ), X называется бесконечно большой при a, если для любого положительного числа M как бы велико оно ни было) найдётся окрестность U a такая, что U a X = f ) > M. Упражнение. Переформулировать приведённое определение при a, a + 0, a 0, +,. с указанием вида окрестности U a в каждом конкретном случае. Пример. Функция = f ) = M является бесконечно большой при 0, так как для любого числа M > 0 имеем f ) = = > M для всех значений таких, что M O M то есть < M, M или M < < M U 0 = M, M ). Пример 2. Функция = lg является бесконечно большой при +, т. к. для любого M > 0 выполняется неравенство lg > M при всех > 0 M. Ясно, что всякая функция = f ), бесконечно большая при a, не является ограниченной при a, поэтому она не имеет предела при a. Тем 8

9 не менее, допуская вольность речи, о такой функции говорят, что она стремится к бесконечности или имеет бесконечный предел при a и пишут: f ) =. При этом, если при значениях, достаточно близких к a, бесконечно большая функция f ) принимает только положительные значения, то пишут: f ) = + ; если же значения f ) при всех, близких к a, отрицательны, то пишут: f ) =. Примеры: lg = +, + tg = +, π 0 2 lg = ; +0 tg =. π +0 2 Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует тесная связь, которая устанавливается в следующих теоремах. Теорема. Если функция f ) является бесконечно большой при a, то функция f ) является бесконечно малой при a. Доказательство. Выберем произвольное число ε > 0 сколь угодно малое) и положим M =. Так как функция f ) - бесконечно большая при a, то ε существует окрестность U a такая, что U a = f ) > M = ε. Но это равносильно тому, что U a = f ) = f ) < ε, а это значит, что функция f ) является бесконечно малой при a. Теорема 2. Если функция f ) является бесконечно малой, не обращающейся в нуль, при a, то функция f ) является бесконечно большой при a. Доказательство. Выберем произвольное число M > 0 сколь угодно большое) и положим ε =. Так как функция f ) - бесконечно малая при a, то M существует окрестность U a такая, что U a = f ) < ε, то есть ч. и т. д. U a = f ) > ε = M, 9

10 5. Основные теоремы о пределах Лемма. Для того, чтобы функция f ) имела предел b при a, необходимо и достаточно, чтобы f ) = b + α ), где α ) - бесконечно малая функция при a. Доказательство. Обозначим разность f ) b через α ) : Тогда утверждения и f ) b = α ) или f ) = b + α ). ε > 0, U a : U a = f ) b < ε ε > 0, U a : U a = α ) < ε означают одно и то же. С другой стороны, первое из них означает, что f ) = b, а второе означает, что функция α ) является бесконечно малой при a. Замечание. Будем считать, что области определения всех рассматриваемых в этом параграфе функций совпадают при a. Теорема. Если функции f ) и g ) имеют предел при a, то функции f ) + g ) и f ) g ) также имеют предел при a, причём [ f ) ± g ) ] = f ) ± g ). Короче: предел суммы разности) равен сумме разности) пределов. Доказательство. Пусть Тогда f ) = b, g ) = c. f ) = b + α ), g ) = c + β ), где α ) и β ) - бесконечно малые функции при a. Следовательно, f ) + g ) = b + c ) + [ α ) + β ) ]. Но сумма f ) + g ) является бесконечно малой функцией при a как сумма двух бесконечно малых функций). Поэтому Аналогично: [ f ) + g ) ] = b + c. [ f ) g ) ] = b c. Следствие. Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций имеет предел при a, то предел этой алгебраической суммы функций при a существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых: [ f ) + f 2 ) f ) ] = f ) + f 2 ) f ). 0

11 Теорема 2. Если функции f ) и g ) имеют предел при a, то функция f ) g ) также имеет предел при a, причём Доказательство. Пусть Тогда [ f ) g ) ] = f ) g ). f ) = b, g ) = c. f ) = b + α ), g ) = c + β ), где α ) и β ) - бесконечно малые функции при a. Следовательно, f ) g ) = [ b + α ) ] [ c + β ) ] = b c + [ c α ) + b β ) + α ) β ) ], где выражение в квадратных скобках представляет собой бесконечно малую функцию при a на основании теорем о бесконечно малых функциях. Это значит, что [ f ) g ) ] = b c. Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак предела, т. е. если k = cost, то [ k f ) ] = k f ). Следствие 2. Теорема 2 верна для любого конечного числа сомножителей: [ f ) f 2 )... f ) ] = f ) f 2 )... f ). Следствие 2. Если функция f ) имеет предел при a и - натуральное число, то функция [ f ) ] также имеет предел при a, причём [ f ) ] = [ f ) ]. Теорема 3. Если функции f ) и g ) имеют предел при a и при этом g ) 0, то функция f ) g ) также имеет предел при a, причём f ) f ) g ) = g ). Доказательство. Тогда Пусть f ) = b, g ) = c. f ) = b + α ), g ) = c + β ),

12 где α ) и β ) - бесконечно малые функции при a. Рассмотрим разность f ) g ) b c = b + α ) c + β ) b c = c α ) b β ) c 2 + c β ) На основании теорем о бесконечно малых функциях дробь, стоящая в правой части последнего равенства, представляет собой бесконечно малую функцию при a числитель - бесконечно малая, а знаменатель имеет ненулевой предел). Следовательно, f ) g ) = b c. Теорема 4. Если f) = b и для всех, достаточно близких к a, выполняется неравенство f ) 0 или f ) > 0, то b 0. Доказательство. Так как f) = b, то для любого ε > 0 найдётся окрестность U a такая, что U a = f ) b < ε или U a = b ε < f ) < b + ε. Допустим, что b < 0. Тогда, выбрав ε < b, будем иметь b + ε < 0, т. е. f ) < b + ε < 0 для всех U a, что противоречит условию теоремы. Следовательно, b 0. Теорема 4. Если f) = b и для всех, достаточно близких к a, выполняется неравенство f ) 0 или f ) < 0, то b 0. Доказательство аналогично. Следствие. Если функции f ) и g ) имеют предел при a и для всех, достаточно близких к a, выполняется неравенство. то Тогда Доказательство. Пусть f ) g ) или f ) < g ), f) g). f) = b, g) = c. [ g ) f ) ] = c b. С другой стороны, так как g ) f ) 0, то по теореме 4 или b c, ч. и т. д. c b 0, то есть c b 2

13 Теорема 5 о промежуточной функции). Если функции ϕ ), f ) и ψ ) удовлетворяют неравенствам ϕ ) f ) ψ ) для всех, достаточно близких к a, причём функции ϕ ) и ψ ) имеют при a один и тот же предел b, то и функция f ) имеет предел при a и при этом f) = b. Доказательство. Так как ϕ) = ψ) = b, то для любого ε > 0 найдутся окрестности U a и U a такие, что U a = b ε < ϕ ) < b + ε, U a = b ε < ψ ) < b + ε, Следовательно, для всех U a = U a U a будем иметь Другими словами, b ε < ϕ ) f ) ψ ) < b + ε. ε > 0, U a : U a = b ε < f ) < b + ε, то есть f) = b. В заключение этого параграфа сформулируем без доказательства одну важную теорему. Теорема 6. ) Монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет предел. 2) Монотонно убывающая последовательность, ограниченная снизу, имеет предел. 6. Первый замечательный предел O D C B 0 A si =. ) Учитывая, что функция = si чётная, достаточно доказать формулу ) только при > 0. Будем рассматривать как центральный угол единичного круга: = AÔB. видно из рисунка, Как пл. AOB <пл.сект. AOB <пл. AOC, 3

14 то есть Разделив 2) на 2 откуда 2 si < 2 < 2 si > 0, получим: < si < cos, tg. 2) cos < si <. 3) Пусть теперь 0. Из рисунка видно, что 0 = B A = D A = OD. Так как cos = OD, отсюда следует,что cos =. 4) 0 Следовательно, применяя к неравенствам 3) теорему о промежуточной функции, получим: si 0 =. 7. Число e второй замечательный предел) Лемма. Для любого q > и любого натурального имеет место неравенство Доказательство. + q + q q = q q ; q + q ). ) + q + q q = ; q q ; q q ). Следствие. q + + ) q ). ) Теорема. Последовательность с общим членом b = ) + + имеет предел. Доказательство. Покажем сначала, что последовтельность { b } убывает. = b b = + + ) ) + = ) 2 + = 2 [ ] + + ) 2 ) ) + ) + = ) ) [ ) = + 4 ) ] 2 ) ) = = = =.

15 Таким образом, b b то есть b b, что и означает, что последовательность { b } убывает. Кроме того, очевидно N, b = + ) + >, то есть последовательность { b } ограничена снизу. предел + +. ) Следствие. Последовательность с общим членом a = + ) имеет предел. Следовательно, существует Действительно, a = + ) ) + + = + По теореме о пределе частного существует предел + ). = b +. Этот предел называется неперовым числом и обозначается буквой e. Так как + ) ) + ) ) + = + = + = 2, то e 2. Кроме того, a = + ) + ) + = b. Но b b = Поэтому e 4. Таким образом, + ) + = 2 2 = 4. Следовательно, a b b = 4, 2 e 4. Число e иррационально. Его приближённое значение равно e 2, В математике важную роль играют логарифмы при основании e. Такие логарифмы называются натуральными или неперовыми и обозначаются так: log e = l. 5

16 Тогда Найдём связь между натуральными и десятичными логарифмами. Пусть Отсюда то есть где - модуль перехода. Обратно где = l. = e. lg = lg e = lg e = lg e l, lg = M l, M = lg e = l 0 M = lg e l = M lg, 0, 4343 = l 0 2, Докажем, что 8. Предел + Так как +, можно считать, что > 0. ) + + = e. ) + ) < +, причём +. Очевидно: Но > +, + + > + +, + ) + > + ) > ) + ) Пусть [ ] =. Тогда + ), + + ). + + = + ) ) + ) = e = e, + ) = ) = e = e.

17 Следовательно, по теореме о промежуточной функции + ) = e. Докажем теперь, что + + = e. 2) ) Для этого вместо введём новую переменную =. Тогда + ) = ) = = ) = ) = + ) = + ) + ). Так как при этом ) + ), то + = + ) ) + ) = e = e. + Из формул ) и 2) следует, что + + ) = e. 3) Замечание. Довольно часто вместо формулы 3) применяется другой её вариант + ) = e. 4) 0 Чтобы доказать формулу 4), введём новую переменную: = t t =. Тогда, так как 0 t, будем иметь: 0 + ) = + ) t = e. t t 9. Сравнение бесконечно малых функций Пусть функции α ) и β ) являются бесконечно малыми при a, то есть α ) = 0 и β ) = 0, а их области определения совпадают при a. Если при этом существует ненулевой предел их отношения α ) β ) = c 0, то функции α ) и β ) называются бесконечно малыми одного порядка. 7

18 В частности, если α ) β ) =, то бесконечно малые α ) и β ) называются эквивалентными или равносильными. Этот факт обозначается так: α ) β ). Если α ) β ) = 0, то функция α ) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β ). Этот факт обозначается так: α ) = o β )). Если α ) β ) =, то функция α ) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β ). Если предел α ) β ) не существует ни конечный, ни бесконечный), то бесконечно малые α ) и β ) называются несравнимыми. Пусть α ) = o β )). Если при этом α ) β ) ] k = c 0, то функция α ) называется бесконечно малой порядка k относительно β ). Примеры.. Функции = 2 4 и = являются бесконечно малыми одного порядка при 2, так как но ) = 0 и ) = 0, = 2 2) + 2) 2) 3) = = Функции = si и = являются эквивалентными бесконечно малыми при 0, так как si = 0, 0 = 0, но 0 0 si =. являются несравнимыми бесконечно ма- 3. Функции α ) = cos лыми при +, так как и β ) = + cos = 0, + = 0, но 2 α ) β ) = 2 cos не существует. 8

19 4. Пусть α ) = , β ) = Эти функции являются бесконечно малыми при, так как Так как ) = 0 и 3 + 3) = 0. α ) β ) = = + ) ) = + 3 = 0, то α ) является бесконечно малой более высокого порядка чем β ) : Но так как α ) [ β ) ] 2 = = o ) ) 2 = + ) ) 2 = то α ) является бесконечно малой порядка 2 по сравнению с β ). 9 = 9 0, Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций при a не изменяется, если каждую из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией : α ) α ), β ) β ) при a = α ) β ) = α ) β ). Доказательство. α ) β ) = α ) α ) α ) β ) β ) β ) = α ) α ) α ) β ) β ) β ) = = α ) β ) = α ) β ). Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка: γ ) = α ) + β ), α ) = o β )) = γ ) β ) при a. при a Доказательство. γ ) β ) = α ) + β ) β ) = + α ) β ) = + 0 =. Теорема 3. Бесконечно малые при a ) функции α ) и β ) эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечномалая функция более высокого порядка чем α ) и β ). 9

20 Доказательство. Введём обозначение: α ) β ) = γ ). Тогда α ) = β ) + γ ), β ) = α ) γ ). По теореме 2, если γ ) = o β )) или γ ) = o α )), то α ) β ). Обратно, пусть α ) β ), то есть Тогда γ ) β ) = α ) β ) β ) α ) β ) =. = α ) β ) = = 0, т. е. γ ) = o β )). Так как α ) β ), будем иметь также γ ) = o α )). 0. Непрерывность функции в точке Определение. Функция = f ) называется непрерывной в точке 0, если ) она определена в точке 0, 2) имеет предел при 0, 3) f ) = f 0 ). ) 0 Если функция = f ) непрерывна в точке 0, то точка 0 называется точкой непрерывности этой функции. Замечание. Формулу ) можно переписать в виде 0 f ) = f 0 ). 2) Формула 2) показывает, что при вычислении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции. Если пользоваться определением предела функции при 0, определение можно переформулировать следующим образом: Определение 2. Функция = f ) называется непрерывной в точке 0, если ε > 0, δε, 0 ) > 0 : 0 < 0 < δ = f ) f 0 ) < ε. 3) Пусть функция = f ), X, определена в точке 0 произвольную точку X. Разность X. Рассмотрим = 0, независимо от её знака может быть как больше, так и меньше 0 ), называется приращением аргумента при переходе от его значения 0 к новому значению. Разность = f ) f 0 = f 0 + ) f 0 ) называется приращением функции, соответствующим значению аргумента 0 приращению. Заметим теперь, что равенство ) можно переписать в виде [ f ) f 0 ) ] = и его

21 или или ещё [ f ) f 0) ] = = 0. 4) 0 Следовательно, можно привести ещё одно эквивалентное) определение непрерывности функции в точке. Определение 3. Функция = f ) называется непрерывной в точке 0, если ) она определена в точке 0, 2) приращение функции в точке 0 стремится к нулю, если соответствующее приращение аргумента стремится к нулю: 0 = 0. Короче: Функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Заметим, что в одних случаях удобно пользоваться одним определением, в других случаях - другим. В некоторых вопросах приходится иметь дело с односторонней непрерывностью функции в точке. Определение 4. Функция = f ) называется непрерывной в точке 0 если ) она определена в точке 0, 2) имеет предел при 0 0, 3) f 0 0 ) = f 0 ). слева, Определение 4. Функция = f ) называется непрерывной в точке 0 справа, если ) она определена в точке 0, 2) имеет предел при 0 + 0, 3) f ) = f 0 ). Пусть функция = f ) определена как угодно близко к точке 0 с любой её стороны. Тогда для непрерывности функции f ) в точке 0, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке одновременно слева и справа.. Точки разрыва функции Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва этой функции. Пусть функция = f ), X определена как угодно близко к точке 0, как слева, так и справа от неё. Непрерывность функции f ) в такой точке 0 равносильна выполнению следующих условий:. функция f ) определена в точке 0, 2. существует предел функции f ) при 0 слева f 0 0), 3. существует предел функции f ) при 0 справа f 0 + 0), 4. f 0 0) = f 0 + 0) = f 0 ). 2

22 Характер разрыва функции = f ) в точке 0 зависит от того, какие из этих условий нарушены, а также от характера их нарушения. Обычно все типы точек разрыва подразделяют на два класса. Точки разрыва функции, для которых существуют оба односторонних предела f 0 0) и f 0 +0), называются точками разрыва -го рода. Всякие другие точки разрыва назваются точками разрыва 2-го рода. В случае точек разрыва -го рода возможны следующие типы нарушений условий 4 : ) f 0 0) f 0 + 0). При этом функция f ) может быть определена или нет в точке 0. Разность f 0 + 0) f 0 0) в этом случае называется скачком функции f ) в точке 0. Примеры.. Функция = 2 в точке = Функция = { } в точке =. 3. Функция = sg в точке = 0. = 2 = { } = sg O 2 O 2 O 2) f 0 0) = f 0 + 0), но при этом либо функция f ) не определена в точке 0, либо её значение f 0 ) в этой точке не удовлетворяет условию 4, то есть f 0 0) = f 0 + 0) f 0 ). Примеры.. Функция = 2 в точке =. + + при < 0, 2. Функция = 0 при = 0, в точке = 0. 2 при > 0 O 2 O 22

23 Такие разрывы называются устранимыми. Это связано с тем, что разрыв такого типа можно устранить, т. е. добиться того, чтобы точка 0 стала точкой непрерывности функции f ), если её доопределить в точке 0 или изменить её определение в этой точке), полагая f 0 ) = f 0 0) = f 0 + 0). доопределить в точке = по указан- Например, если функцию = 2 + ному правилу, т. е. положить = { 2 + = при, 2 при =, то получим функцию =, непрерывную всюду, в том числе и в точке =. Точки разрыва 2-го рода характеризуются тем, что хотя бы один из односторонних пределов f 0 0) и f 0 + 0) не существует. Если хотя бы один из этих пределов бесконечен, то точка 0 называется точкой бесконечного разрыва. Примеры:. = tg ; f π 2 0) = +, f π 2 ) =. 2. = ; f 0) = +, f + 0) = = e ; f 0) = 0, f + 0) = = si ; f 0) и f + 0) не существуют. 2. Операции над непрерывными функциями Пусть даны две функции = f ) и = g ), области определения которых совпадают при 0. Теорема. Если функции = f ) и = g ) непрерывны в точке 0, то ) их сумма f ) + g ), 2) их разность f ) g ), 3) их произведение f ) g ), 4) при g 0 ) 0 их частное f ) g ) являются непрерыными функциями в точке 0. Доказательство. Так как функции = f ) и = g ) непрерывны в точке 0, то они определены в точке 0 и при этом Следовательно, функции f ) = f 0 ), 0 f ) ± g ), f ) g ), g ) = g 0 ). 0 f ) g ) также определены в точке 0 последняя при дополнительном условии, что g 0 ) 0 ), а в силу основных теорем о пределах будем иметь 23

24 [ f ) ± g ) ] = f ) ± g ) = f 0 ) ± g 0 ) ; f ) g ) = f ) g ) = f 0 ) g 0 ) ; f ) f ) g ) = 0 g ) = f 0) g 0 ). 0 Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция. Следствие 2. Произведение любого конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция. Следствие 3. Натуральная степень непрерывной функции есть непрерывная функция. Теорема 2. Если функция = ϕ ) непрерывна в точке 0, а функция z = ψ ) непрерывна в точке 0 = ϕ 0 ), то сложная функция z = f ) = ψ [ ϕ ) ] непрерывна в точке 0. Короче: суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция. Доказательство. Заметим сначала, что то есть Поэтому 0 = 0 ϕ ) = ϕ 0 ) = 0, 0 = 0. то есть 0 f ) = 0 ψ [ ϕ ) ] = 0 ψ ) = ψ 0 ) = ψ [ ϕ 0 ) ] = f 0 ), f ) = f 0 ). 0 Теорема 3. Если функция = f ) непрерывна в точке 0 и f 0 ) 0, то существует окрестность точки 0, в которой функция f ) отлична от нуля и сохраняет тот же знак, что и в точке 0. Доказательство. Так как функция f ) непрерывна в точке 0, то f ) = f 0 ). 0 Следовательно, для любого ε > 0 найдётся число δ = δ ε) > 0 такое, что 0 < δ = f ) f 0 ) < ε, то есть 0 δ < < 0 + δ = f 0 ) ε < f ) < f 0 ) + ε. 24

25 Если f 0 ) > 0, то выбрав ε так, чтобы f 0 ) ε > 0, будем иметь 0 δ < < 0 + δ = f ) > f 0 ) ε > 0. Если же f 0 ) < 0, то выбрав ε так, чтобы f 0 ) + ε < 0, будем иметь 0 δ < < 0 + δ = f ) < f 0 ) + ε < Непрерывность функции на множестве Определение. Функция = f ) называется непрерывной на множестве M, если ) она определена во всех точках множества M, 2) она непрерывна в каждой точке множества M, то есть M, = [ f + ) f ) ] = 0, 0 0 где + M. Из этого определения следует, в частности, что ) функция непрерывна в интервале a, b ), если она определена и непрерывна в каждой точке этого интервала; 2) функция непрерывна на отрезке [ a, b ], если она определена во всех точках этого отрезка, непрерывна во всех его внутренних точках и, кроме того, непрерывна в точке a справа и в точке b слева. Пример. Функция = si непрерывна на всей числовой прямой. Действительно, зафиксируем произвольно значение 0, + ). Будем иметь: = si 0 + ) si 0 = 2 cos 0 + ) si 2 2, откуда то есть и, следовательно, = 2 cos 0 + ) 2 si 2 = =, Рекомендуется самостоятельно доказать аналогично), что функция = cos непрерывна на всей числовой прямой. Следующие две теоремы принимаем без доказательства. Теорема о непрерывности обратной функции). Если функция = f ) непрерывна и строго монотонна в промежутке < a, b >, то существует обратная функция = f ), определённая в промежутке < f a), f b) >, также непрерывная и строго монотонная в том же смысле. Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны в их области определения. 25

26 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке без доказательства). -я теорема Вейерштрасса). Если функция = f ) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке. Функция = ) на, + ) неограничена, ) на [ 2, 2 ] неограничена, 3) на 0, 2 ] неограничена, 4) на [, 2 ] ограничена. Почему? 2. 2-я теорема Вейершрасса). Если функция = f ) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и своего наименьшего значений, т. е. существует хотя бы одна точка [ a, b ] такая, что [ a, b ], f ) f ), и хотя бы одна точка 2 [ a, b ] такая, что [ a, b ], f 2 ) f ). См. предыдущий пример, а также функции ) = 2 на, + ), на 2, 2 ), на [ 2, 2 ] ; 2) = { } на [ 0, 3 2 ], на 0, ), на [ 0, ], на [ 0, 2 ]. = 2 = { } 2 O я теорема Больцано-Коши). Если функция = f ) непрерывна на отрезке [ a, b ] и на концах этого отрезка принимает значения f a) и f b) разных знаков, то между a и b найдётся хотя бы одна точка c, в которой функция обращается в нуль: f c) = 0, a < c < b. fb) fa) O a c b O a c c 2 c 3 b fa) fb) 26

27 4 2 O =, [ 2, 2 ] = 2, [, 2 ] 4. 2-я теорема Больцано-Коши). Если функция = f ) непрерывна на отрезке [ a, b ] и принимает на его концах неравные значения A и B : f a) = A, f b) = B, A B, то она принимает в интервале a, b ) все промежуточные значения между A и B. B fb) C fa) C A O a b O a c c 2 c 3 b Следствие. Если функция = f ) непрерывна в некотором промежутке < a, b > конечном или бесконечном), то переходя от одного своего значения C к другому своему значению C 2, она принимает все промежуточные значения между C и C 2. 27


ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6.

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6. Второй замечательный предел Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Непрерывность функции в интервале и на отрезке Точки разрыва функции и их классификация Свойства непрерывных функций 6 Лекция

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b +

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b + Предел функции (продолжение) Лекция (..) Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Если, где б.м. при a. Доказательство. Пусть б.м. при +. f( = b, то f( = b + f ( = b. Рассмотрим функцию

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Одним из основных математических понятий является понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пусть даны два непустых множества

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1).

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1). Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. При вычислении пределов функций, которые содержат тригонометрические выражения часто используют предел: Это первый замечательный предел.

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Глава Множества Последовательности Функции Элементы теории множеств Понятие множества является в математике неопределяемым Интуитивно, множество это совокупность объектов любой природы,

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие

Предел и непрерывность функции. Методическое пособие Санкт-Петербургский государственный университет Т.А. Ефимова Предел и непрерывность функции Методическое пособие Санкт-Петербург 8 Предисловие Методическое пособие предназначено для студентов нематематических

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Математический анализ I семестр. Ю. Л. Калиновский

Математический анализ I семестр. Ю. Л. Калиновский Математический анализ I семестр Ю. Л. Калиновский Справочные материалы Графики основных элементарных функций Парабола y = ax 2 + bx + c Функция y = x α α > 0 4 α < 0 Функция y = a x Функция y = log a

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Пределы. 1. Предел переменной величины. 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную

Пределы. 1. Предел переменной величины. 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную Пределы 1. Предел переменной величины 1. Понятие о числовой последовательности. Рассмотрим функциональную зависимость y x : x 1 3 4 5 y 1 4 8 16 5 Здесь значениями аргумента x являются натуральные числа,

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами.

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами. МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы объекты данной совокупности можно отличить друг от

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и { предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и второй бесконечно малые величины и их свойства - сравнение

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Математический минимум. Часть 1. Теоретическая.

Математический минимум. Часть 1. Теоретическая. Сергей А Беляев стр 1 Математический минимум Часть 1 Теоретическая 1 Верно ли определение Наименьшим общим кратным двух целых чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из заданных чисел

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей:

Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей: Итак, в главе 1 Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей: ограниченность снизу; ограниченность сверху; сходимость; расходимость Выяснили, что такое: окрестность точки; предел числовой

Подробнее

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Содержание Предисловие 4 Тема Предел последовательности 5 Ответы к тестовым заданиям по теме «Предел последовательности» 7 Тема Предел функции 8 Ответы к тестовым заданиям по теме «Предел функции» Тема

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

2 Различные множества чисел

2 Различные множества чисел Лекция 1.1 1 Логические символы 1. - любой, для любого x > 0 - любое число x, большее нуля 2. - существует x > 1 - существует число x, большее одного 3. - следует, следовательно a b - из a следует b 4.

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта МИИТ» Кафедра Высшая и вычислительная

Подробнее

Математический анализ Модуль 2. Пределы и непрерывность функций одной переменной Лекция 2.4

Математический анализ Модуль 2. Пределы и непрерывность функций одной переменной Лекция 2.4 Математический анализ Модуль 2. Пределы и непрерывность функций одной переменной Лекция 2.4 Аннотация Непрерывность функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций,

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Лекция 5. Непрерывность

Лекция 5. Непрерывность Лекция 5 Непрерывность 1 СА Лавренченко 1 Понятие непрерывной функции Физические величины часто моделируются непрерывными функциями Например, скорость автомобиля, температура воздуха или рост человека

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã» Â. Ë. Ôàéíøìèäò Рекомендовано Научно-методическим cоветом по математике вузов Северо-Запада РФ в качестве учебника для студентов инженерных специальностей технических вузов Ñàíêò-Ïåòåðáóðã «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

5 Лекция Бесконечно малые функции Определения и основные теоремы. Функция y = f (x) называется бесконечно малой при x x 0, если

5 Лекция Бесконечно малые функции Определения и основные теоремы. Функция y = f (x) называется бесконечно малой при x x 0, если Бесконечно малые функции Определения и основные теоремы Основные теоремы о пределах Первый замечательный предел 5 Лекция 5 5. Бесконечно малые функции 5.. Определения и основные теоремы Определение 5.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел Лекция 5 Замечательные пределы и их следствия При определении предельных значений тригонометрических функций, и доказательстве первого замечательного предела важную роль играет неравенство si tg, () O

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

3. Бесконечно большие функции

3. Бесконечно большие функции 3 Бесконечно большие функции Пусть функция f ( определена в некоторой окрестности точки R, кроме, может быть, самой точки ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на языке ε δ Функцию f ( называют бесконечно большой при (в точке

Подробнее