Коды с минимальной избыточностью

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Коды с минимальной избыточностью"

Транскрипт

1 Коды с минимальной избыточностью При выборе схемы кодирования естественно учитывать экономичность, т.е. средние затраты времени на передачу и прием сообщений. Предположим, что задан алфавит A {a,, ar}, r 2, и набор вероятностей (p,, pr), p + + pr появлений букв a,, ar. Тогда избыточностью кодирования схемой Σ называется величина lср lср(σ) l p + + lrpr, т.е. математическое ожидание длины элементарного кода, li длина кодового слова для ai. Чем меньше lср, тем экономнее в среднем схема Σ. Пусть l l (a,, ar, p,, pr) inf lср, где инфимум взят по всем однозначно декодируемым схемам. Лекция. Кодирование

2 Пусть k logq r. Тогда все ai можно закодировать разными словами длины k в алфавите B. Очевидно, такое кодирование будет префиксным (а, следовательно, и взаимно однозначным). Отсюда l k. Таким образом, значение l достигается на некоторой схеме, так как для каждого i достаточно смотреть слова длины не более k/pi, pi >. k logq r r вершин q 4 2 Лекция. Кодирование

3 Коды, определяемые схемами Σ с lср l, называются кодами с минимальной избыточностью или кодами Хаффмана. Согласно теореме 4 (см. лекцию ) существуют префиксные коды с минимальной избыточностью. Каждому префиксному коду поставим в соответствие кодовое дерево ориентированное корневое дерево T T (Σ) по следующим правилам. Множество вершин V(T) дерева T состоит из элементарных кодов и всех их префиксов, включая пустое слово. Дуга в T ведет из C в D, если C является префиксом D и короче D ровно на одну букву. 3 Лекция. Кодирование

4 Пример. a b b 3 a 2 b 3 b b 4 b 3 a 3 b b a 4 b b 2 a 5 b 4 b 2 b 3 b b 2 b 3 b 4 a 2 b b 2 a 6 b b 4 a 7 b 4 b a 3 a 4 a a 6 a 7 b 3 b 4 a 8 b 4 b 2 b 4 a 5 a 8 Элементарные коды соответствуют висячим вершинам в T, q4. Соответствует ли Т оптимальному коду при pi /8? 4 Лекция. Кодирование

5 Итак, пусть T кодовое дерево префиксного кода с минимальной избыточностью (со схемой Σ). Можно считать, что p pr. Тогда можно преобразовать Σ таким образом, чтобы (а) i < j li lj ; (б) порядки ветвления всех его вершин, за исключением быть может одной, лежащей в предпоследнем ярусе, равны или, или q; (в) порядок ветвления q исключительной вершины ( если она есть) не равен. q q 5 Лекция. Кодирование

6 Если порядки ветвления всех вершин T равны или, или q, то положим q q. Ввиду (б), по индукции легко видеть, что для некоторого целого t имеем r t(q ) + q. Следовательно, если h остаток от деления r на q, то h, если h 2, q q, если h, (6) q, если h. Нетрудно видеть, что можно выбрать такой префиксный код с минимальной избыточностью, кодовое дерево которого кроме (а) (в) обладает свойством (г) для некоторой вершины v, лежащей в предпоследнем ярусе, порядок ветвления вершины v равен q, а потомками v являются a, a,..., a. r r r q + 6 Лекция. Кодирование

7 Пример 2. a b b 3,22 a 2 b 2,2 a 3 b b,4 a 4 b b 2, a 5 b 3, a 6 b b 4,9 a 7 b 4 b,8 a 8 b 4 b 2,6 b b 2 b b 4 b 3 a 3 a 4 a b 2 b 4 a 2 a 6 b 3 a 5 b b 2 a 7 a 8 lср 2,22 +,2 + 2,4 + 2, +, + 2,9 + 2,8 + 2,6,7 Верно ли, что это минимум по всем однозначно декодируемым кодам? 7 Лекция. Кодирование

8 Теорема 5. Пусть схема кодирования Σ задает код с минимальной избыточностью для алфавита A {a,, ar} и набора вероятностей (p,, pr), а ее кодовое дерево T удовлетворяет свойствам (а) (г). q Обозначим p r q + pr + pr pr, а через T' кодовое дерево, + полученное из T удалением вершин a r, a r,..., a r q + и сопоставлением образовавшейся висячей вершине v буквы a r. Тогда T' является кодовым деревом кода с минимальной избыточностью для алфавита A a, a,..., a r, a } и набора вероятностей p,,..., p p }. { 2 q r q + q + { p2 r q, r q + 8 Лекция. Кодирование

9 Доказательство. Обозначим схему, которой соответствует T ', через Σ ', номер уровня вершины v через m. Тогда l cp ( Σ ) lcp( Σ) ( m + )( pr + pr pr q + ) + mpr q + lcp( Σ) pr q +. { q r q Если бы для алфавита A a,..., a r, a } и набора вероятностей ( p r q + + p,..., ) нашлась схема Θ префиксного кодирования с меньшей избыточностью чем l ( Σ), то подвесив в кодовом дереве cp p r q + для Θ к вершине v вершины a, a,..., a }, получили бы { r r r q + схему Θ префиксного кодирования для алфавита A {a,,ar} с l cp (Θ) lcp + r q + cp ( Θ) p < l ( Σ). Противоречие с выбором Σ завершает доказательство теоремы. Данная теорема в сочетании с предыдущими леммами дает следующий алгоритм построения кодов с минимальной избыточностью. 9 Лекция. Кодирование

10 Пример 3. p{,36;,8;,8;,2;,9;,7}, q 2, r 6. Построим код Хаффмана,36,36,36,36,64,8,8,28,36,36,8,8,8,28,2,6,8,9,2,7,36,8,8,2,9,7 lср 2,44,36,64,28,36,2,6,8,8,7,9 Лекция. Кодирование

11 Прямой ход. Если r, то переходим к обратному ходу. 2. Упорядочим вероятности так, чтобы p pr. 3. Выберем q по правилу (6), удалим из списка вероятностей q pr, pr,, p r q + и добавим p r q + pr + pr pr. Положим r r q +, уберём штрих с Обратный ход + p r и перейдем к шагу. Кодовым деревом для одной буквы является одна вершина. В порядке, обратном к тому, в котором склеивались вероятности, расклеиваем вершины кодового дерева. Лекция. Кодирование

12 Кодирование сообщений Источник сообщений Кодер Канал связи Декодер Приемник u, u 2,, uk Сообщение, 2,, n Кодовое слово y, y 2,, yn Кодовое слово с ошибкой v, v 2,, vk Сообщение на выходе Источник помех 2 Лекция. Кодирование

13 Самокорректирующиеся коды Рассмотрим одну из простейших ситуаций, когда сообщение может искажаться в канале связи. Пусть A {, } алфавит, содержащий два символа. Предположим, что в канале связи действует источник помех, который в слове длины l искажает не более p символов. Возникает вопрос: для какого m можно все m-буквенные слова в алфавите A закодировать l-буквенными словами так, чтобы по коду на выходе закодированные слова однозначно восстанавливались? И как это сделать? Если l > 2p, то m l/(2p + ). Действительно, каждую букву можно писать 2p + раз подряд. Но такое кодирование не является самым экономным. Ниже будет построен код Хэмминга для p. 3 Лекция. Кодирование

14 Линейный код,, k u,, uk, i {,} символы самого сообщения и k+,, n проверочные символы. Они выбираются так, чтобы кодовое слово удовлетворяло уравнению T H, где H ((n k) n)-матрица, называемая проверочной матрицей кода. H [ A In k ], In k единичная матрица O Все операции по модулю 2: +,. 4 Лекция. Кодирование

15 Лекция. Кодирование 5 Пример 4. Проверочная матрица H проверочные позиции 3 информационные позиции 3 Код с k3; n6; Если сообщение u u 2 u 3, то код u ; 2 u 2 ; 3 u 3 ; Предположим, что u (,), тогда ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; то есть (,,,,,) Проверка на четность! Сумма должна быть четной. Т.к. k 3, то сообщений может быть и всего 8 кодовых слов Упражнение. Закодировать u ( ), ( ), ( ).

16 Пример 5. Проверочная матрица Код с повторением. Всего 2 кодовых слова 6 Лекция. Кодирование

17 Лекция. Кодирование 7 Порождающая матрица Пусть H [ A En k ] проверочная матрица для некоторого кода, тогда G [Ek A T ] порождающая матрица, то есть любое кодовое слово получается линейной комбинацией строк G по модулю 2. Пример 6. H Найти порождающую матрицу и выписать все кодовые слова G Код: LLLLL 6 вершин.

18 Лекция. Кодирование 8 Линейность кода, вес вектора, кодовое расстояние Пусть G порождающая матрица и, y кодовые слова, тогда y и y тоже кодовые слова, то есть код замкнут относительно операции. n i i w ) ( вес вектора n i i i y w y y ) ( ) ( ), ( ρ расстояние Хэмминга ), ( min, y D y C y ρ кодовое расстояние Кодовое расстояние линейного кода равно минимальному весу его ненулевых векторов: ) ( min ) ( min ), ( min z w y w y D z C z y y ρ. Упражнение. Посчитать кодовое расстояние для примера 6.

19 Код Хэмминга Для любого r > код Хэмминга задается (,, ) проверочной матрицей Hn H всего r n 2 O столбцов Столбцы матрицы все ненулевые вектора длины r. Упражнение. Проверить, что код из примера 6 является совершенным, то есть объединение шаров радиуса равно E n и шары не пересекаются. (,, ) 9 Лекция. Кодирование

20 Исправление ошибки Пусть канал связи допускает не более одной ошибки на 7 символов и для кодирования применяется код Хэмминга H 7 (см пример 6). На приемном конце получим y (). Это не кодовое слово! Произвести процедуру декодирования и узнать, что было передано. По определению H T, пусть y + e, e ( ), тогда 7 Hy T H( + e) T He T Hy T He T синдром вектора y, он равен тому столбцу проверочной матрицы, где была ошибка, то есть 4-й столбец y e () + () (). Упражнение. Получили y (), y (), y (). Раскодировать сообщения. i 2 Лекция. Кодирование

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

КОДИРОВАНИЕ. Код сообщений. Код сообщения на выходе. Источник сообщений. Канал связи. Сообщение на выходе. Источник помех. Лекция 10.

КОДИРОВАНИЕ. Код сообщений. Код сообщения на выходе. Источник сообщений. Канал связи. Сообщение на выходе. Источник помех. Лекция 10. КОДИРОВАНИЕ Источник сообщений Код сообщений Канал связи Код сообщения на выходе Сообщение на выходе Источник помех Лекция 0. Кодирование В этой схеме источник сообщений хочет передать по каналу связи

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

Лекция 8. Помехоустойчивое кодирование. Технологии обработки информации, 2015

Лекция 8. Помехоустойчивое кодирование. Технологии обработки информации, 2015 Лекция 8. Помехоустойчивое кодирование Технологии обработки информации, 2015 ASCII таблица Использоваться таблица ASCII, где ставящей в соответствие каждой букве алфавита определенный шестнадцатеричный

Подробнее

Глава V. Теория кодирования.

Глава V. Теория кодирования. 5 г. Павлов И.С. Глава V. Теория кодирования. При передаче данных часто возникает необходимость кодирования пересылаемой информации. Процесс пересылки информации происходит по следующей схеме: Возникают

Подробнее

Кодирование. В.Е. Алексеев

Кодирование. В.Е. Алексеев http://vmcozet/ Кодирование ВЕ Алексеев Задача оптимального кодирования Побуквенное кодирование Пусть A a a a } и B b b b } два алфавита Побуквенное кодирование состоит в том что в кодируемом тексте слове

Подробнее

Лекции 3, 4. 9 сентября 2016 г.

Лекции 3, 4. 9 сентября 2016 г. Лекции 3, 4 9 сентября 2016 г. Алфавитный Статистический Опр. 8: Количество информации по Хартли (Хартлиевская мера информации), содержащееся в в последовательности из n символов из алфавита A мощности

Подробнее

Домашнее задание по курсу «Введение в теорию кодирования»

Домашнее задание по курсу «Введение в теорию кодирования» Домашнее задание по курсу «Введение в теорию кодирования» http://eo-chaos.arod.ru/ Задача 1 (1.1). Определить: 1) число всех элементов -го слоя куба B ; B 2) B число всех вершин куба B. 1) B = C ; 2) Число

Подробнее

линейного (5,2)-кода. Найти для этого кода проверочную матрицу, все

линейного (5,2)-кода. Найти для этого кода проверочную матрицу, все ИДЗ 2008-2. Линейные коды Для всех вариантов задание состоит в а) отыскании порождающей и проверочной матриц; б) нахождении кодовых слов и составлении стандартной таблицы( если она не очень большая!) и/или

Подробнее

Надежность систем и устройств

Надежность систем и устройств Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Кафедра компьютерных систем и программных технологий Надежность систем и устройств Моисеев Михаил Юрьевич Коды Рида-Соломона Сверточные коды

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 Способы задания и основные характеристики. сверточных кодов.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 Способы задания и основные характеристики. сверточных кодов. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Способы задания и основные характеристики сверточных кодов Сверточные коды широко применяются в самых различных областях техники передачи и хранения информации. Наиболее наглядными

Подробнее

КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ. Информационная безопасность

КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ. Информационная безопасность КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ Информационная безопасность Кодирование vs Шифрование Кодирование и шифрование информации достаточно близкие по смыслу термины. Тем не менее, они имеют существенные отличия. КоДиРоВаНие

Подробнее

ГЛАВА 6. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ПО ДИСКРЕТНОМУ КАНАЛУ С ПОМЕХАМИ 6.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ШЕННОНА О КОДИРОВАНИИ ДЛЯ КАНАЛА С ПОМЕХАМИ

ГЛАВА 6. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ПО ДИСКРЕТНОМУ КАНАЛУ С ПОМЕХАМИ 6.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ШЕННОНА О КОДИРОВАНИИ ДЛЯ КАНАЛА С ПОМЕХАМИ ГЛАВА 6. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ПО ДИСКРЕТНОМУ КАНАЛУ С ПОМЕХАМИ 6.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ШЕННОНА О КОДИРОВАНИИ ДЛЯ КАНАЛА С ПОМЕХАМИ Теория помехоустойчивого кодирования базируется на результатах

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию. Ульяновский государственный технический университет

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию. Ульяновский государственный технический университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный технический университет Ульяновск 6 Министерство образования и науки Российской Федерации

Подробнее

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов Курс: Прикладная алгебра, 3-й поток Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов В тексте все вычисления проводятся в двоичной арифметике. Задача помехоустойчивого кодирования

Подробнее

Фракталы Рози, конспект лекций. φ(1) = 12, φ(2) = 12, φ(3) = 1. u 0 = a u 1 = h(a) = au u 2 = h(au) = auh(u).

Фракталы Рози, конспект лекций. φ(1) = 12, φ(2) = 12, φ(3) = 1. u 0 = a u 1 = h(a) = au u 2 = h(au) = auh(u). Фракталы Рози, конспект лекций. Лекция 1. Подстановочные слова. Слово Фиббоначи получается как предел слов u n, где u 0 = 0 и u k+1 = ϕ(u k ). Здесь ϕ это подстановка Фиббоначи, определяемая по правилу

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ (Ч4. Кодирование вероятности) 4.1.

СБОРНИК ЗАДАЧ (Ч4. Кодирование вероятности) 4.1. СБОРНИК ЗАДАЧ (Ч4. Кодирование вероятности) 4.1. Расшифровать криптограмму, зашифрованную кодами Цезаря: ЕИФИРРЛМ ФЕИХОЮМ ЗИРЯ НОСРЛОФВ Н ЕИЫИУЦ РСКСЕЮИ ХЦЫНЛ ФХСВОЛ ЕЮФСНС Е ВФОСП РИДИ НГКГССЯ РИ ТОЮОЛ

Подробнее

Ф. И. Соловьева ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОДИРОВАНИЯ

Ф. И. Соловьева ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Ф. И. Соловьева ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОДИРОВАНИЯ Учебное пособие Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

Технологии Программирования. Кодирование Хаффмана

Технологии Программирования. Кодирование Хаффмана Кодирование Хаффмана, журнал Монитор, номер 7-8, 1993 год Технологии Программирования Хаффман - 1954 год. Идея алгоритма: зная вероятность вхождения символов в сообщение, можно описать процедуру построения

Подробнее

План семинарских занятий по курсу «Алгебраическая теория кодирования» (8 семестр)

План семинарских занятий по курсу «Алгебраическая теория кодирования» (8 семестр) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н. Э. БАУМАНА Факультет «Информатика и системы управления» Кафедра ИУ8 «Информационная безопасность» Жуков Д. А. План семинарских занятий по курсу

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Государственное бюджетное образовательное учреждение Астраханской области среднего профессионального образования «Астраханский колледж вычислительной техники» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ТУРНИРЫ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ГРАФЫ ДЕ БРЁЙНА. ТЕОРЕМА ТУРАНА

ЛЕКЦИЯ 2 ТУРНИРЫ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ГРАФЫ ДЕ БРЁЙНА. ТЕОРЕМА ТУРАНА ЛЕКЦИЯ 2 ТУРНИРЫ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ГРАФЫ ДЕ БРЁЙНА. ТЕОРЕМА ТУРАНА В прошлый раз лекция закончилась на том, что мы захотели применить теорему 4 к конкретному примеру 1, продемонстрировав, что бывают

Подробнее

Занятие G связен и, если в G удалить любое ребро, получится граф ровно с двумя компонентами связности;

Занятие G связен и, если в G удалить любое ребро, получится граф ровно с двумя компонентами связности; Занятие 4 Деревом называется связный граф без простых циклов длины более двух. Теорема 1 (Эквивалентные определения дерева). Для любого графа G, имеющего ровно n вершин и m ребер, следующие условия эквивалентны:

Подробнее

Задание и методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория электрической связи» «Исследование системы передачи дискретных сообщений»

Задание и методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория электрической связи» «Исследование системы передачи дискретных сообщений» Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики кафедра ТОРС Задание и методические указания к курсовой

Подробнее

А.В. Давыдов, А.А. Мальцев

А.В. Давыдов, А.А. Мальцев МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

Современные проблемы теории кодирования

Современные проблемы теории кодирования Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Федеральное агентство по образованию Национальный проект «Образование» Инновационная образовательная программа ННГУ Образовательно-научный центр

Подробнее

I. Пояснительная записка

I. Пояснительная записка 1 Москва, 2014 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения подразделения разработчика программы 2 I. Пояснительная записка Автор

Подробнее

Федеральное агентство связи. Методическое пособие к лабораторной работе Исследование корректирующих свойств циклического кода

Федеральное агентство связи. Методическое пособие к лабораторной работе Исследование корректирующих свойств циклического кода Федеральное агентство связи Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики Кафедра МСИБ Методическое

Подробнее

} пространства R и множества E = { e i

} пространства R и множества E = { e i 3 Задание: Дан неориентированный граф G, где V(G) - множество вершин; Е(G) - множество ребер Изобразить его графически Определить степени его вершин Указать висячие/изолированные вершины Является ли граф

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Разбор контрольной работы

Разбор контрольной работы Разбор контрольной работы Общие комментарии по результатам проверки контрольной: 1 В вычислениях присутствует большое количество арифметических ошибок Само по себе возникновение арифметических ошибок неизбежно

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

Об аддитивном канале связи

Об аддитивном канале связи ИНФОРМАТИКА УДК 510 В.К.Леонтьев, Г.Л.Мовсисян Об аддитивном канале связи (Представлено академиком Ю.Г. Шукуряном 12/XII 2003) Рассматривается аддитивный канал связи в следующей стандартной формулировке.

Подробнее

Лекция 6: Деревья. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 6: Деревья. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение и примеры Определение Деревом называется связный граф без циклов. Примеры

Подробнее

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Кодирование информации

Кодирование информации Оглавление Краткие теоретические сведения... 2 Кодовый алфавит и кодовое слово... 2 Префиксные коды... 3 Равномерные коды... 5 Примеры решения заданий... 5 Пример 1 задания с кратким ответом... 5 Пример

Подробнее

Глава II. Теория графов.

Глава II. Теория графов. Глава II. Теория графов.. Из истории теории графов Родоначальником теории графов является Леонард Эйлер (707 782). В 736 году Эйлер решил задачу о Кенигсбергских мостах. Задача состояла в следующем: «Найти

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике -2, 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике -2, 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Схемы из функциональных элементов с задержками (СФЭЗ), автоматность осуществляемых ими отображений. Представление КАВ СФЭЗ. Упрощения КАВ. Отличимость и неотличимость состояний КАВ. Теорема Мура

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисные допустимые решения. Симплекс-метод (С.-м.)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисные допустимые решения. Симплекс-метод (С.-м.) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисные допустимые решения 2. Критерий разрешимости Симплекс-метод (С.-м.) 1. Идея метода -1- Линейное программирование (ЛП) Задача линейного программирования (ЛП)

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 1 / 111. Часть II. Коды, исправляющие ошибки

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 1 / 111. Часть II. Коды, исправляющие ошибки ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 1 / 111 Часть II Коды, исправляющие ошибки ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 2 / 111 Помехоустойчивое кодирование. Блоковое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисно допустимые решения (продолжение) 2. Критерий разрешимости 3. Идея симплекс-метода 4. Элементарное преобразование б.д.р. 5. Симплекс-таблицы -1- ЛП: понятие

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов Сибирский математический журнал Май июнь, 2009. Том 50, 3 УДК 517.944+519.46 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

Подробнее

Кодирование без потерь.

Кодирование без потерь. Кодирование без потерь. Займёмся кодированием без потерь. Каждую букву запишем с помощью нулей и единиц. Разные символы могут быть записаны последовательностями разной длины. Хотим, чтобы система кодирования

Подробнее

Математическая логика и теория алгоритмов

Математическая логика и теория алгоритмов Математическая логика и теория алгоритмов Лектор: А. Л. Семенов Лекция 2 Попытка расширить пределы вычислимого Наряду с теми операциями над вычислимыми функциями, которые мы рассматривали, возможны более

Подробнее

ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ, СЖАТИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ

ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ, СЖАТИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ, СЖАТИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ Для студентов 4 курса очной формы обучения Составители: к.ф.-м.н.,доцент Семыкина Н.А. Тверь, 215 Пояснительная записка 1. Цели и задачи дисциплины

Подробнее

Лабораторная работа 4 Исследование сверточного кода

Лабораторная работа 4 Исследование сверточного кода Лабораторная работа 4 Исследование сверточного кода Цель работы: получение навыков построения сверточного кодера. Содержание: Краткие теоретические сведения... 1 Сверточные кодеры... 1 Основные параметры

Подробнее

Потоки в сетях. G=(V,E) t

Потоки в сетях. G=(V,E) t Потоки в сетях Сетью будем называть орграф G, некоторые вершины которого отмечены. Отмеченные вершины назовем полюсами, а остальные вершины внутренними. Мы будем рассматривать классические сети с двумя

Подробнее

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана

Теорема Жордана. Глава Теорема Жордана Глава 3 Теорема Жордана План. Замкнутая кривая, незамкнутая кривая, незамкнутая кривая без самопересечений, замкнутая кривая без самопересечений, теорема Жордана о кривой без самопересечений, лежащей на

Подробнее

Особенности нейронных схем Мак-Каллока Питтса над полем рациональных чисел

Особенности нейронных схем Мак-Каллока Питтса над полем рациональных чисел Особенности нейронных схем Мак-Каллока Питтса над полем рациональных чисел В.С. Половников В диссертации автора «Об оптимизации структурной реализации нейронных сетей» нейронные схемы рассматривались над

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Лагранжева теория двойственности. 4. Теория двойственности линейного программирования

ЛЕКЦИЯ 2. Лагранжева теория двойственности. 4. Теория двойственности линейного программирования ЛЕКЦИЯ 2 Лагранжева теория двойственности 1. Определения 2. Теорема о седловой точке 3. Линейное программирование 4. Теория двойственности линейного программирования -1- Лагранжева теория двойственности

Подробнее

Надежностьсистеми устройств

Надежностьсистеми устройств Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Кафедра компьютерных систем и программных технологий Надежностьсистеми устройств Моисеев Михаил Юрьевич Лекция 7 Характеристики помехоустойчивых

Подробнее

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то Тема. Основы элементарной теории чисел и приложения- Теоретический материал. Множество вычетов по модулю, свойства сравнений. Пусть натуральное число, большее. Через Z обозначаем множество всех классов

Подробнее

Лекция 11: Раскраска графа

Лекция 11: Раскраска графа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Происхождение понятия раскраски графа В приложениях теории графов нередко возникают задачи,

Подробнее

АЛГОРИТМЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

АЛГОРИТМЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ю. Е. Кувайскова

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВСЕРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НАЛОГОВАЯ АКАДЕМИЯ

МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВСЕРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НАЛОГОВАЯ АКАДЕМИЯ МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВСЕРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НАЛОГОВАЯ АКАДЕМИЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ Учебная программа Специальность 090104 Комплексная защита объектов информатизации Москва 2010

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ (Алгебраическая теория блоковых кодов)»

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

Задание 8. Коды БЧХ. Формулировка задания 3. Оформление задания 4

Задание 8. Коды БЧХ. Формулировка задания 3. Оформление задания 4 ВМК МГУ Практикум 317 группы, весна 2015 Задание 8. Коды БЧХ Начало выполнения задания: 7 мая 2015 Срок сдачи: 20 мая 2015 (среда), 23:59. Среда для выполнения задания PYTHON. Содержание Необходимая теория

Подробнее

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ОСНОВЫ КОДИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ»

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ОСНОВЫ КОДИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ» Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский государственный профессионально-педагогический

Подробнее

Лекция 2: перечслительная комбинаторика

Лекция 2: перечслительная комбинаторика Лекция 2: перечслительная комбинаторика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Задачи перечислительной кмбинаторики имеют типовой вид: «сколько способов сделать

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

лекции 2 4 Лекция. Матроиды

лекции 2 4 Лекция. Матроиды Матроиды пересечение матроидов лекции 2 4 1 Системой подмножеств S = ( E, I) называется пара конечное множество E вместе с семейством I подмножеств множества E, замкнутым относительно включения, т.е. если

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций ( 0 )(mod ) ( 0 )(mod ) Натуральные числа N,,,,,, - множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления

Подробнее

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители)

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители) ) Является ли система векторов линейно зависимой? a ; ; 0 ; a 0 ; ; ; a 3 30 ; ; ; a 4 000 ; ; ; Смысл Векторы линейно независимы, если векторное равенство a a a 3 3 4a 4 0 имеет единственное (нулевое,

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

РАЗДЕЛ 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА РАЗДЕЛ 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.1.Требования к студентам (исходный уровень компетенций, знаний и умений, которыми должен обладать студент, приступая к изучению данной дисциплины) Для успешного изучения

Подробнее

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны.

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны. Лекция 3 Тема: Уравнение прямой на проективной плоскости Принцип двойственности Теорема Дезарга Проективные отображения и проективные преобразования План лекции 1 Уравнение прямой на проективной плоскости

Подробнее

Лекция 12. Декодирование навигационного сообщения

Лекция 12. Декодирование навигационного сообщения Лекция 12. Декодирование навигационного сообщения Московский Энергетический институт ноябрь 2014 Содержание 1 Приём навигационного сообщения Скорость передачи данных Как работает помехоустойчивое кодирование?

Подробнее

Алгоритм восстановления изображения по его коду

Алгоритм восстановления изображения по его коду Алгоритм восстановления изображения по его коду П.Г. Агниашвили В рамках дискретно-геометрического подхода к распознаванию образов представлен алгоритм, вычисляющий по коду все классы а -эквивалентных

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ Алгебраическая теория блоковых кодов» Глава

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

Федеральное агентство по образованию САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Федеральное агентство по образованию САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Федеральное агентство по образованию САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра радиофизики и нелинейной динамики РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Информационные основы техники

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2009 Теоретические основы прикладной дискретной математики 3(5) УДК 519.7 О СЛОЖНОСТИ МЕТОДА ФОРМАЛЬНОГО КОДИРОВАНИЯ ПРИ АНАЛИЗЕ ГЕНЕРАТОРА С ПОЛНОЦИКЛОВОЙ ФУНКЦИЕЙ ПЕРЕХОДОВ

Подробнее

Занятие 6. a = bq + r и 0 r < b.

Занятие 6. a = bq + r и 0 r < b. Занятие 6 Если не оговорено противное, в этой теме слово «число» означает целое число. Целое число a делится на целое число b, если существует целое число k, т. ч. a = bk. Также в этом случае говорят,

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Наборы прямых на плоскости

Наборы прямых на плоскости Наборы прямых на плоскости Решения задач до промежуточного финиша Задача 1. Ответ: n + 1 f n(n+1) + 1. Оба неравенства доказываются индукцией по n, база n = 1, f =. Если добавляемая прямая пересекает предыдущие

Подробнее

О конструктивной характеризации пороговых функций, инвариантных относительно групп перестановок

О конструктивной характеризации пороговых функций, инвариантных относительно групп перестановок О конструктивной характеризации пороговых функций, инвариантных относительно групп перестановок А.П. Соколов В работе рассматриваются классы пороговых функций, инвариантных относительно групп перестановок.

Подробнее

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ ЦИКЛЫ В РЯДУ ОСТАТКОВ ОТ ДЕЛЕНИЯ ЧИСЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФИБОНАЧЧИ Ученица: Безменова Саша Класс: 8 Руководитель: Сгибнев А. И. Последовательность Фибоначчи это последовательность,

Подробнее

Неформально. Граф -- это множество вершин (точек) и множество ребер (линии), соединяющих между собой все или часть этих точек.

Неформально. Граф -- это множество вершин (точек) и множество ребер (линии), соединяющих между собой все или часть этих точек. Основные понятия теории графов. Граф, или неориентированный граф G = (V, E) -- это упорядоченная пара G = (V, E), где V это непустое множество вершин, а E множество пар (в случае неориентированного графа

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................ 3 Часть 1. Лекции......................................... 4 1. Определение и простейшие свойства чисел Фибоначчи.... 4 2. Биномиальные

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера x x n m x В решении игр используется следующая теорема: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию

Подробнее

Дополнительный материал. Степенные вычеты. Пусть дан модуль n и некоторое число a, взаимно простое с модулем n. Рассмотрим последовательность степеней

Дополнительный материал. Степенные вычеты. Пусть дан модуль n и некоторое число a, взаимно простое с модулем n. Рассмотрим последовательность степеней Дополнительный материал Степенные вычеты Пусть дан модуль n и некоторое число, взаимно простое с модулем n Рассмотрим последовательность степеней, 2,, t, Найдем наименьшее число k, при котором k mod n

Подробнее

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В.

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В. 3. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости Смирнов Н.В. 1. Постановка задачи. [1] Рассмотрим линейную нестационарную систему ẋ = P(t)x + Q(t)u

Подробнее

u ik λ k v kj + c ij, (1) u 2 ik =

u ik λ k v kj + c ij, (1) u 2 ik = В. В. Стрижов. «Информационное моделирование». Конспект лекций. Сингулярное разложение Сингулярное разложение (Singular Values Decomposition, SVD) является удобным методом при работе с матрицами. Cингулярное

Подробнее

Приложение к статье Горбунов К.Ю., Любецкий В.А. «Линейный алгоритм минимальной перестройки структур»

Приложение к статье Горбунов К.Ю., Любецкий В.А. «Линейный алгоритм минимальной перестройки структур» Приложение к статье Горбунов К.Ю., Любецкий В.А. «Линейный алгоритм минимальной перестройки структур» Доказательство леммы 3. Жестким назовём блок, ограниченный с обеих сторон общими генами, полужёстким

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа

Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Алгоритм последовательной раскраски В

Подробнее

Вычислительная сложность логики ALC

Вычислительная сложность логики ALC Глава 5 Вычислительная сложность логики ALC 5.1 Верхняя оценка сложности логики ALC Обычно длиной какого-либо синтаксического объекта (концепта, TBox, ABox и т.п.) называют число символов, использованных

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧЕЧНОГО КАНАЛА СВЯЗИ С ЛОКОМОТИВОМ. Рожнев А.Ю. Уральский государственный университет путей сообщения, г. Екатеринбург

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧЕЧНОГО КАНАЛА СВЯЗИ С ЛОКОМОТИВОМ. Рожнев А.Ю. Уральский государственный университет путей сообщения, г. Екатеринбург ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧЕЧНОГО КАНАЛА СВЯЗИ С ЛОКОМОТИВОМ Рожнев А.Ю. Уральский государственный университет путей сообщения, г. Екатеринбург aexo@k66.ru Ключевые слова: БЧХ-коды, биты CRC, хэш-функция Точечный

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ (Алгебраическая теория блоковых кодов)»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8. Линейное программирование (ЛП)

ЛЕКЦИЯ 8. Линейное программирование (ЛП) ЛЕКЦИЯ 8 Линейное программирование (ЛП) 1. Симплекс-метод 2. Теория двойственности -1- Содержательное описание с.-м. x(t), t 0 : x σ(i) (t) = x σ(i) z is t, x s (t) = t, (4) x j (t) = 0, j S \s -2- Содержательное

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7. Лектор: Плясунов Александр Владимирович Линейное программирование (ЛП)

ЛЕКЦИЯ 7. Лектор: Плясунов Александр Владимирович  Линейное программирование (ЛП) ЛЕКЦИЯ 7 Лектор: Плясунов Александр Владимирович http://www.math.nsc.ru/lbrt/k5/mo.html Линейное программирование (ЛП) 1. Базисные допустимые решения 2. Симплекс-таблица 3. Симплекс-метод -1- Линейное

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Функции конечнозначных логик. Элементарные функции k-значной логики. Способы задания функций k-значной логики: таблицы, формулы, I-я и II-я формы, полиномы. Полнота. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее