1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c)."

Транскрипт

1 Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется началом, а точка B концом вектора. Закрепленный вектор обозначается AB и изображается в виде отрезка со стрелкой. Длина вектора называется его модулем, AB = AB. Закрепленный вектор характеризуется: 1) длиной, ) направлением, 3) точкой приложения (т.е. его началом). Вектор AA называется нуль-вектором. Он имеет нулевую длину и не имеет направления или, если угодно, можно считать, что он имеет произвольное направление. Свободным вектором (или в дальнейшем просто вектором) называется множество закрепленных векторов, которые имеют одинаковую длину и направление. Свободные векторы мы будем обозначать строчными латинскими буквами: a, b,.... Таким образом, в определении свободного вектора мы отвлекаемся от точки приложения закрепленного вектора и не разли- 46

2 чаем закрепленные векторы, получающиеся друг из друга параллельным переносом. Запись a = AB означает, что закрепленный вектор AB является представителем свободного вектора a. В этом случае мы будем говорить также, что вектор a отложен от точки A. Сложение векторов определяется по одному из правил: правилу параллелограмма или правилу треугольника: Таким образом, для любых трех точек A, B, C имеется равенство AB + BC = AC. Правило треугольника легко обобщается на случай любого числа векторов и называется правилом многоугольника. Чтобы сложить n векторов a 1, a,..., a n, отложим вектор a 1 от некоторой точки A 0, a 1 = A 0 A 1, отложим вектор a от конца вектора a 1, a = A 1 A, и т.д...., a n = A n 1 A n. Тогда вектор A 0 A n, соединяющий начало первого вектора и конец последнего, равен сумме a a n : 47

3 В частности, отсюда следует, что для трех векторов (в пространстве) правило параллелограмма превращается в правило параллелепипеда: чтобы сложить три вектора a, b, c, нужно отложить их от одной точки A и построить на этих векторах параллелепипед. Тогда диагональ параллелепипеда, выходящая из точки A, дает сумму a + b + c. Вычитание это операция, обратная к сложению. Разностью векторов a b называется такой вектор x, что b + x = a. Отсюда вытекает правило вычитания векторов. Отложим векторы a и b от одной и той же точки O. Тогда вектор, соединяющий конец вектора b с концом вектора a, равен a b: Умножение вектора на число. Произведением вектора a на число λ называется вектор λ a, у которого 1) длина λ a = λ a { ; λ a a, если λ > 0; ) направление: λ a a, если λ < 0. Множество векторов (на прямой, на плоскости или) в пространстве образуют векторное пространство. Это означает, что операции сложения векторов и умножения их на числа обладают следующими свойствами: 1. a + b = b + a.. (a + b) + c = a + (b + c). 3. Существует элемент 0 L такой, что a + 0 = a для любого a. Элемент 0 называется нулевым элементом. 4. Для каждого a существует элемент a такой, что a+( a) = 0. 48

4 5. 1 a = a. 6. λ(µa) = (λµ)a. 7. (λ + µ)a = λa + µa. 8. λ(a + b) = λa + λb. Задача 5.1. По данным векторам a и b построить векторы: a) 1 3 a b; b) 4 a + b; c) ( a + b); d) 3 4 ( a + b) 1 4 ( a b) a b. Задача 5.. a) Пусть M середина отрезка AB, O произвольная точка. Доказать, что OM = 1 ( OA+ OB. b) Пусть точка M точка пересечения медиан треугольника ABC, P произвольная точка пространства. Доказать, что OM = 1 3 ( OA+ OB + OC). b) Воспользуемся равенствами OM = OB + BM = OC + CM = OA + AM. Сложив их, получим 3OM = ( OB + OC + OA)+( BM + CM + AM). По свойству точки пересечения медиан треугольника BM = 3BB 1, CM = 3CC 1, AM = 3AA 1, где AA 1, BB 1 и CC 1 медианы треугольника ABC Поскольку AA 1 = AB+ AC, BB 1 = BA+ BC, CC 1 = CB+ CA, то 3 OM = OB+ OC+ OA+ 3 ( AB + AC + BA + BC + CB + CA ) = = OB + OC + OA + 3 0, откуда следует требуемое. Задача 5.3. Пусть AB = a + b, BC = 4 a b, CD = 5 a 3 b, где a и b некоторые векторы. Доказать, что ABCD трапеция. 5. Линейная зависимость векторов Линейной комбинацией векторов a 1,..., a k с коэффициентами λ 1,..., λ k называется вектор a = λ 1 a λ k a k. 49

5 Векторы a 1,..., a k называются линейно зависимыми (сокращенно л.з.), если существуют числа λ 1,..., λ k, не все равные нулю, такие, что λ 1 a λ k a k = 0. Если это не так, то векторы называются линейно независимыми (сокращенно л.н.з.), т.е. векторы a 1,..., a k линейно независимы, если равенство λ 1 a λ k a k = 0 возможно только в случае λ 1 =... = λ k = 0. Задача 5.4. Проверить, что: a) если среди векторов a 1,..., a k имеется нулевой вектор 0, то эти векторы линейно зависимы; b) если часть из векторов a 1,..., a k л.з., то и все эти векторы л.з. На практике удобно пользоваться следующим эквивалентным определением: Векторы a 1,..., a k называются линейно зависимыми, если один из этих векторов можно выразить в виде линейной комбинации остальных. Понятие линейной зависимости связано с геометрией расположения векторов. Векторы называются коллинеарными (от слова line прямая), если они параллельны одной и той же прямой, т.е. если их отложить от одной точки, то они будут лежать на одной прямой. Или проще: коллинеарные векторы это параллельные между собой векторы. Векторы называются компланарными (от слова plane плоскость), если они параллельны одной и той же плоскости, т.е. если их отложить от одной точки, то они будут лежать в одной плоскости. Нетрудно доказать, что: Два вектора a и b коллинеарны a и b л.з. Три вектора a, b и c компланарны a, b, c л.з. 5.3 Базис и система координат Базис векторного пространства это система линейно независимых векторов этого пространства, через которые любой вектор 50

6 пространства может быть представлен (и единственным образом) в виде их линейной комбинации. На прямой базис состоит из одного вектора e 0. Базисный вектор e играет роль масштабного вектора, с помощью которого мы "измеряем"все остальные векторы. На плоскости базис состоит из двух линейно независимых векторов. Любой вектор a на плоскости можно и единственным образом выразить через базис в виде линейной комбинации: a = X 1 e 1 + X e. Числа (коэффициенты) X 1 и X называются координатами вектора a относительно базиса (или в базисе) e 1, e. В пространстве базис состоит из трех линейно независимых векторов e 1, e, e 3. Любой вектор a в пространстве можно и единственным образом выразить через базис в виде линейной комбинации: a = X 1 e 1 + X e + X 3 e 3. Числа (коэффициенты) X 1, X, X 3 называются координатами вектора a относительно базиса (или в базисе) e 1, e, e 3. Координаты вектора a записывают так: a(x 1, X, X 3 ) или a = (X 1, X, X 3 ). Если в некотором базисе векторы a и b имеют координаты a = (X 1, X, X 3 ), b = (Y 1, Y, Y 3 ), то: 1) a + b = (X 1 + Y 1, X + Y, X 3 + Y 3 ), т.е. координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат. ) λ a = (λx 1, λx, λx 3 ), т.е. при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Из пункта ) следует условие параллельности векторов: два вектора параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорцианальны: 51

7 a b X 1 Y 1 = X Y = X 3 Y 3. Задача 5.5. Определить, при каких значениях α и β векторы a = i + 3 j + β k и b = α i 6 j + k будут коллинеарны. Ответ: α = 4, β = 1. Задача 5.6. Дан базис e 1, e. Построить векторы a = e 1, b = 3 e e и c = e e. Разложить геометрически вектор c по векторам a и b. Задача 5.7. Даны три вектора e 1, e и a (даны их координаты относительно некоторого базиса). 1. Проверить, что векторы e 1 и e образуют базис (не коллинеарны).. Найти координаты вектора a = (X 1 ; X ) в базисе e 1, e. a) e 1 = (3; 1), e = ( ; 5), a = (4; 3); b) e 1 = (1; ), e = (; 3), a = (9; 4). Ответ: a) a = e 1 + e = (; 1); b) a = 5 e 1 + e = (5; ). Задача 5.8. Даны четыре вектора e 1, e, e 3 и a (даны их координаты относительно некоторого базиса). 1. Проверить образуют ли три первых вектора базис.. Найти координаты вектора a = (X 1, X, X 3 ) в базисе e 1, e, e 3. a) e 1 = (1; ; 3), e = (1; 1; 0), e 3 = (1; 0; 1), a = (; 1; 1); b) e 1 = (; 3; 1), e = (5; 7; 0), e 3 = (3; ; 4), a = (4; 1; 3) a) 1. Векторы e 1, e, e 3 образуют базис тогда и только тогда, когда определитель A матрицы, составленной из координат этих векторов, не равен нулю (это следует из правила Крамера, см. решение второй части задачи; по другому мы обоснуем это с помощью смешанного произведения векторов в занятии 8). Так как A = 4 0, то векторы e 1, e, e 3 образуют базис.. Требуется выразить вектор a в виде линейной комбинации векторов e 1, e, e 3, т.е. найти такие числа X 1, X, X 3, что X 1 e 1 + X e + X 3 e 3 = a. Записывая векторы в виде столбцов их координат, получаем равенство: 5

8 X X X = 1 1 Приравнивая первые, вторые и третьи координаты в левой и правой частях этого равенства, получаем следующую систему трех линейных уравнений: X 1 + X + X 3 =, X 1 + X = 1, 3X 1 + X 3 = 1. Решая эту систему, найдем X 1 = 1, X =, X 3 = 1. Ответ: a) a = 1 e 1 + e + 1 e 3 = ( 1 ; ; 1 ); b) a = e 1 + e e 3 = (1; 1; 1). Система координат. Координаты точки. Система координат (в пространстве) состоит из базиса e 1, e, e 3 и точки O, которая называется началом координат. Координатами точки M в системе координат (O; e 1, e, e 3 ) называются координаты её радиус-вектора OM в базисе e 1, e, e 3. Таким образом, точка M имеет координаты x 1, x, x 3, M(x 1, x, x 3 ), если OM = x1 e 1 + x e + x 3 e 3. Выражение координат вектора через координаты его конца и начала: координаты вектора, соединяющего две точки равны разностям соответствующих координат его конца и начала, т.е. если a = M 1 M, M 1 (x 1, x, x 3 ), M (y 1, y, y 3 ), то координаты вектора a(x 1, X, X 3 ) равны X 1 = y 1 x 1, X = y x, X 3 = y 3 x 3. Задача 5.9. Показать, что точки A(3; 5), B( ; 7), C(18; 1) лежат на одной прямой. 53.

9 Задача Определить начало M 1 вектора a(; 3; 1), если его конец совпадает с точкой M (1; 1; ). Ответ: M 1 ( 1; ; 3). Задача Даны три последовательные вершины A(3; 4; 7), B( 5; 3; ), C(1; ; 3) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D. Ответ: D(9; 5; 6). Деление отрезка в данном отношении. Точка C на прямой AB делит отрезок AB в отношении λ, если AC = λ CB Если A = (x 1, x, x 3 ), B = (y 1, y, y 3 ) и точка C делит отрезок AB в отношении λ, то координаты точки C(z 1, z, z 3 ) равны z 1 = x 1 + λy λ, z = x + λy 1 + λ, z 3 = x 3 + λy λ. В частности, координаты середины отрезка равны средним арифметическим его концов: z 1 = x 1 + y 1, z = x + y, z 3 = x 3 + y 3. Контрольные вопросы 1. Что такое закрепленные и свободные векторы?. Дайте определение операций сложения векторов и умножения вектора на число. 3. Как сложить несколько векторов (правило многоугольника)? 4. Что такое линейно зависимые (линейно независимые) векторы? 54

10 5. Что такое базис и координаты вектора? 6. Что такое система координат и координаты точки? 7. Как найти координаты вектора, зная координаты его конца и начала? 8. Как (по координатам) узнать являются ли векторы параллельными? 9. Что значит, что точка C делит отрезок AB в отношении λ? Как найти координаты точки C, зная координаты точек A и B? Дополнительные вопросы и задачи D1. Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы a и b, чтобы имело место соотношение a + b = a b? Ответ: Параллелограмм построенный на векторах a и b должен быть прямоугольником. D. В пространстве заданы треугольники ABC и A B C ; точки M и M точки пересечения их медиан. Выразить вектор MM через векторы AA BB CC. Ответ: MM = 1 3 ( AA + BB + CC ). D.3. Доказать, что для любых заданных векторов a, b и c векторы a + b, b + c, c a компланарны. 55

11 Занятие 6 Прямоугольная система координат 6.1 Длина вектора и расстояние между точками Система координат (O; e 1, e, e 3 ) называется прямоугольной, если: 1) базисные векторы имеют единичную длину, e 1 = e = e 3 = 1; ) базисные векторы попарно ортогональны, e 1 e e 3 e 1. Базисные векторы при этом обычно обозначают i, j, k, и называют базисными ортами, а координаты обозначают x, y, z. Оси координат называют: Ox осью абсцисс, Oy осью ординат, Oz осью аппликат. 56

12 Длина вектора a = (X, Y, Z) равна корню из суммы квадратов его координат: a = X + Y + Z. Расстояние между точками A(x 1, y 1, z 1 ) и B(x, y, z ) равно AB = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ). 6. Величина проекции вектора на ось и направляющие косинусы Ось это прямая, на которой выбрано направление. Пусть направление на оси l задается единичным вектором e. Проекцией вектора a = AB на ось l называется вектор a = A B, где A и B ортогональные проекции точек A и B на прямую l. Величиной проекции вектора a на ось l называется координата вектора a на прямой l относительно базисного вектора e, т.е. такое число пр l a (или пр e a ), что a = пр l a e. Таким образом, мы различаем проекцию вектора на ось и величину проекции вектора на ось: первое это вектор, а второе число. Величина проекции вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью, т.е. пр l a = a cos ϕ, где ϕ = ( e, a). Пусть α, β, γ углы, которые вектор a = (X, Y, Z) составляет с осями координат. Косинусы этих углов, cos α, cos β, cos γ, называются направляющими косинусами вектора a. 57

13 Из определений следует, что координаты вектора a равны величинам проекций этого вектора на оси координат. Поэтому X = пр Ox a = a cos α, Y = пр Oy a = a cos β, Z = пр Oz a = a cos γ. Отсюда можно найти направляющие косинусы вектора a. Вектор a 0 = a a, имеющий единичную длину и такое же направление, как и вектор a, называется ортом вектора a. Вектор a 0 имеет координаты (cos α, cos β, cos γ). Так как a 0 = 1, то получаем соотношение между направляющими косинусами: cos α + cos β + cos γ = 1. Задача 6.1. Построить точки A(3; 1; ), B( ; 1; ), C( 3; ; 1), D(1; 0; ) в прямоугольной системе координат. Задача 6.. Доказать, что треугольник с вершинами A(3; 1; ), B(0; 4; ) и C( 3; ; 1) равнобедренный. Задача 6.3. Даны вершины треугольника A(; 1; 4), B(3; ; 6) и C( 5; 0; ). Вычислить длину медианы AD. Ответ: AD = 7. Задача 6.4. Найти орт вектора a: a) a = (6; ; 3); b) a = (3; 4; 1). Ответ: a) a 0 = ( 6 7 ; 7 ; 3 7 ); b) a 0 = ( 3 13 ; 4 13 ; 1 13 ). Задача 6.5. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 58

14 a) α = 45 0 ; β = 60 0 ; γ = 60 0 ; b) α = 45 0 ; β = ; γ = Ответ: a) да; b) нет. Контрольные вопросы 1. Какая система координат называется прямоугольной?. Как найти длину вектора (расстояние между точками)? 3. Что такое проекция вектора на ось и величина проекции вектора на ось? 4. Чему равна величина проекции вектора на ось? 5. Чему равна величина проекции вектора на оси координат? 5. Что такое направляющие косинусы вектора и как они связаны с его координатами? Дополнительные вопросы и задачи D1. Дана точка M(x, y, z). Найти координаты точки, симметричной точке M: 1) относительно начала координат: ) относительно плоскости Oxy; 3) относительно оси Oz. D. Даны вершины треугольника A(1; ; 1), B(; 1; 3) и C( 4; 7; 5). Вычислить длину биссектрисы BD. D3. Вектор составляет с осями Ox и Oz углы α = 10 0 и γ = Какой угол он составляет с осью Oy? 59

15 Занятие 7 Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов 7.1 Скалярное произведение Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число ( a, b) (или a b), равное произведению длин этих векторов и косинуса угла ϕ = ( a, b) между ними: ( a, b) = a b cos ϕ. Скалярное произведение векторов равно произведению длины одного вектора на величину проекции другого вектора на направление первого вектора: ( a, b) = a пр a b = b пр b a. Из определения следует, что ( a, b) = 0, если либо a = 0, либо b = 0, либо cos ϕ = 0, т.е. ϕ = π, т.е. a b. Поэтому для ненулевых векторов ( a, b) = 0 a b. 60

16 Скалярный квадрат вектора, т.е. скалярное произведение вектора на себя, равен квадрату его модуля: ( a, a) = a a cos 0 = a. Свойства скалярного произведения. 1. ( a, b) = ( b, a);. (λ a, b) = λ( a, b); 3. ( a 1 + a, b) = ( a 1, b) + ( a, b). Первое свойство называется симметричностью (или коммутативностью) скалярного произведения; второе и третье свойства линейность скалярного произведения по первому сомножителю. Из симметричности и линейности по первому сомножителю следует линейность по второму сомножителю. Вычисление скалярного произведения в координатах: если a = (X 1, Y 1, Z 1 ), b = (X, Y, Z ), то ( a, b) = X 1 X + Y 1 Y + Z 1 Z, т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Применение скалярного произведения. Основное применение скалярного произведения состоит в вычислении углов между векторами: cos ϕ = ( a, b) a b = X 1 X + Y 1 Y + Z 1 Z X 1 + Y X + Y 1 + Z 1 + Z Отсюда, в частности, получаем условие перпендикулярности двух векторов: a b ( a, b) = 0 X 1 X + Y 1 Y + Z 1 Z = 0. Кроме того, с помощью скалярного произведения можно найти величину проекции одного вектора на другой вектор (= на ось, определяемую другим вектором) : пр a b = ( a, b) a. Задача 7.1. Вычислить скалярное произведение векторов ( a, b), где a = (1; ; 3), b = ( 1; 1; 4). Вычислить косинус угла между этими векторами. 61.

17 ( a, b) = 1 ( 1) = 13. Для вычисления угла используем скалярное произведение. Найдем длины векторов: a = = 14; аналогично b = 18. Получаем: cos ϕ = ( a, b) a b = = Ответ: ( a, b) = 13; cos ϕ = Задача 7.. Даны вершины четырехугольника A(1; ; ), B(1; 4; 0), C( 4; 1; 1), D( 5; 5; 3). Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Чтобы доказать перпендикулярность AC и BD, достаточно показать, что ( AC, BD) = 0. Координаты этих векторов: AC = ( 5; 3; 1), BD = ( 6; 9; 3). Следовательно, ( AC, BD) = ( 5) ( 6) + 3 ( 9) + ( 1) 3 = 0. Задача 7.3. a) Даны вершины треугольника ABC: a) A(1; ), B(0; 5), C(6; 1); b) A(1; ; 3), B(0; 5; ), C(6; 1; 1). Найти косинус внутреннего угла A. Ответ: a) ; b) Задача 7.4. a) Даны длины векторов a и b и угол ϕ между ними: a) a = 3, b = 4, ϕ = 3 π; b) a =, b = 1, ϕ = π 3. Найти: a) ( a + 3 b, a + 3 b); b) ( a b, 3 a + b). a) ( a + 3 b, a + 3 b) = ( a, a) + 6( a, b) + 3( b, a) + 9( b, b) = a + 9( a; b)+9 b = a +9 a b cos ϕ+9 b = ( 1 ) = 108. Ответ: a) 108; b) 3. 6

18 7. Векторное произведение Определение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который обозначается [ a, b] (или a b ) и который определяется условиями: 1) его длина равна произведению длин этих векторов и синуса угла ϕ = ( a, b) между ними: c = a b sin ϕ; ) его направление характеризуется тем, что: 1 ) c a и c b, ) векторы a, b, c образуют правую тройку. Это значит, что если отложить эти векторы от одной точки и смотреть из конца третьего вектора c, то кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b будет осуществляться против часовой стрелки. В физике для определения направления вектора [ a, b] используют также правило буравчика и правило правой руки. Пример. [ i, j] = k. Действительно, [ i, j] = i j sin π = 1. По определению k = 1, k i, k j и векторы i, j, k образуют правую тройку. Мы видим, что векторы [ i, j] и k имеют одинаковую длину и направление, а поэтому совпадают. Если a b, то ( a, b) = 0 либо ( a, b) = π, и поэтому [ a, b] = 0. В частности, для любого вектора a имеем [ a, a] = 0. Из геометрии известно, что площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон на синус угла между ними. Отсюда следует геометрический смысл модуля векторного произведения: длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. [ a, b] = a b sin ϕ = S a b. Свойства векторного произведения. 1. [ a, b] = [ b, a];. [λ a, b] = λ[ a, b]; 3. [ a 1 + a, b] = [ a 1, b] + [ a, b]. 63

19 Свойство 1. называется кососимметричностью (или антикоммутативностью) векторного произведения; свойства. и 3. линейность векторного произведения по первому сомножителю. Из кососимметричности и линейности по первому сомножителю следует линейность по второму сомножителю. Вычисление векторного произведения в координатах: если a = (X 1, Y 1, Z 1 ), b = (X, Y, Z ), то [ a, b] = Y 1 Z 1 Y Z i X 1 Z 1 X Z j + X 1 Y 1 X Y k. Для запоминания этой формулы полезно использовать символический определитель и переписать ее в виде [ a, b] = ı j k X 1 Y 1 Z 1 X Y Z Разлагая определитель по первой строке, мы получим выражение вектора [ a, b] через базисные векторы ı, j, k. Коэффициенты перед базисными векторами и есть координаты вектора [ a, b]. Применение векторного произведения. Векторное произведение применяется для вычисления площадей параллелограммов и треугольников. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, равна S a b = [ a, b] = Y 1 Z 1 Y Z. + X 1 Z 1 X Z + X 1 Y 1 X Y. Если a = (X 1, Y 1 ), b = (X, Y ) векторы на плоскости, то их можно рассматривать как частный случай векторов в пространстве, у которых третьи координаты равны нулю, Z 1 = Z = 0. Тогда предыдущая формула превращается в формулу (напомним, что a = a ) 64

20 S a b = X 1 Y 1 X Y. Уточним эту формулу. Если a = (X 1, Y 1, 0), b = (X, Y, 0), то вектор [ a, b] имеет не нулевой только третью координату (направлен вдоль оси Oz): [ a, b] = X 1 Y 1 X Y k. Отсюда легко следует геометрический смысл определителей второго порядка: X 1 Y 1 X Y = ±S a b, т.е. определитель второго порядка равен площади параллелограмма, построенного на векторах a, b, координаты которых стоят в строках определителя, причем площадь берется со знаком плюс, если кратчайший поворот от вектора a к вектору b совершается против часовой стрелки (= векторы a, b, k образуют правую тройку), и площадь берется со знаком минус, если по часовой стрелке. Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах AB и AC: S ABC = 1 [ AB, AC]. Задача 7.5. a) Даны векторы a и b: a) a = (3; 1; ), b = (1; ; 1); b) a = ( 1; 1; ), b = ( ; 3; 1). Найти векторное произведение [ a, b]. a) [ a, ı j k b] = = ı 1 j k = = 5 ı + j + 7 k = (5; 1; 7). 65

21 Ответ: a [ a, b] = (5; 1; 7); b) [ a, b] = ( 7; 5; 1). Задача 7.6. Даны точки A, B, C: a)a(1; ; 0), B(3; 0; 3), C(5; ; 6); b)a(10; 4; 1), B(; 4; 0), C(6; 0; 6). Вычислить площадь треугольника ABC и найти длину высоты CH. a) Площадь треугольника найдем как половину модуля векторного произведение векторов AB = (; ; 3) и AC = (4; 0; 6), на которых построен треугольник ABC. Поскольку векторное произведение AB и AC равно [ AB, AC] = ı j k = 1 ı 4 j + 8 k = ( 1; 4; 8) = 4( 3; 6; ), то площадь треугольника равна S = 1 1 [ AB; AC] = 4 ( 3) + ( 6) + = S Далее, AB CH = S, отсюда CH = AB, AB = (3 1) + (0 ) + ( 3 0) = 17. Получаем CH = 8 Ответ: a) S = 14, CH = 8 17 ; b) S = 56, CH = Задача 7.7. Даны точки A, B, C: a) A(1; ), B(3; 0), C(5; ); b) A(; ), B(0; 6), C(; 10). 17. Вычислить площадь треугольника ABC. a) Площадь треугольника найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах AB = (; ) и AC = (4; 0). Вычисляем определитель, построенный из координат векторов: 4 0 = 8. Таким образом, S ABC = 1 8 = 4. Ответ: a) 4; b) 8. 66

22 Задача 7.8. Даны длины векторов a и b и угол ϕ = ( a, b) между ними: a) a = 1, b =, ϕ = π 3 ; b) a =, b = 3, ϕ = π 6. Вычислить a) : [ a + b; a b] ; b) [ a + b; a 3 b]. a) Имеем [ a + b; a b] = [ a; a] + [ b; a] [ a; b] [ b; b] = 0 [ a; b] [ a; b] 0 = 3[ a; b]. Отсюда [ a + b; a b] = 3[ a; b] = 3 [ a; b] = 3 a b sin ϕ = 3 3. Ответ: a) 3 3; b) 4. Контрольные вопросы 1. Что такое скалярное произведение? Как оно вычисляется в координатах? Где применяется скалярное произведение?. Что такое векторное произведение? Как оно вычисляется в координатах? Где применяется векторное произведение? 3. Какой геометрический смысл имеет модуль векторного произведения? 4. Какой геометрический смысл имеет определитель второго порядка? Дополнительные вопросы и задачи D1. Найти основание H высоты AH в треугольнике ABC, A(1; ), B(3; 0), C(5; 1). Ответ: H( 11 5 ; 5 ). Указание. Пусть BH = t BC. Тогда из условия перпендикулярности AH и BC, ( AH, BC) = 0, можно получить уравнение относительно неизвестного t. Вычислив t, находим вектор BH, а затем точку H. D. Вычислить работу силы F = ı + j + k при перемещении материальной точки из положения A( 1; ; 0) в положение B(; 1; 3). Ответ: 4. 67

23 Указание. Работа силы F вдоль пути l из точки A в точку B есть скалярное произведение ( F, AB). D3. a) Найти вектор, перпендикулярный вектору v = (3; 4). b) Найти вектор, перпендикулярный к каждому из двух данных векторов v 1 = (1; ; 3) и v = (1; 0; 0). Задачу b) решить двумя способами: с помощью скалярного произведения и с помощью векторного произведения. Ответ: a) (4t; 3t), t R - любое. b) (0; 3t; t), t R - любое. D4. Даны четыре произвольных вектора a, b, c, d. Доказать, что векторы [ a; d], [ b; d] и [ c; d] компланарны. D5. Доказать, что длины векторов a и b равны, если векторы a + b и a b перпендикулярны. D6. Найти величину проекции вектора a = ( ; 3; 5) на ось, составляющую с координатными осями Ox и Oz углы α = 45 и γ = 60, а с осью Oy острый угол β. Ответ: 3. D7. Найти угол между биссектрисами углов Oxy и Oyz. Ответ: 60. D8. Каков геометрический смысл равенства a+ b + a b = ( a + b )? D9. Показать, что [ a b, a + b] = [ a, b]; выяснить геометрический смысл этого равенства. D10. Векторы a, b, c удовлетворяют условию a + b + c = 0. Доказать, что [ a, b] = [ b, c] = [ c, a]. D11. Дано: [ a, c] = [ b, c], где c 0. Можно ли отсюда заключить, что a = b? D1. Существуют ли векторы a и b такие, что [ a, b] = [ b, a]? D13. Даны векторы a 0, b 0. Можно ли подобрать вектор x так, что a = [ b, x]? Ответ: Да, если a b; нет, если b = 0, a 0 или a b. 68

24 Занятие 8 Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов (продолжение) 8.1 Смешанное произведение Определение. Смешанным произведением трех векторов a, b и c называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор: a, b, c = ([ a, b], c). Геометрически смешанное произведение равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, со знаком a, b, c = ±V, где знак плюс берется в случае, если векторы a, b, c образуют правую тройку, а знак минус если левую. Отсюда получается условие компланарности векторов: векторы a, b, c компланарны a, b, c = 0. Вычисление смешанного произведения в координатах: 69

25 если a = (X 1, Y 1, Z 1 ), b = (X, Y, Z ), c = (X 3, Y 3, Z 3 ), то a, X 1 Y 1 Z 1 b, c = X Y Z X 3 Y 3 Z 3, т.е. смешанное произведение равно определителю, строки которого составлены из координат векторов a, b, c. Свойства смешанного произведения. 1. Кососимметричность. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак: a, b, c = b, a, c = b, c, a =... Полилинейность, т.е. линейность по каждому сомножителю:. λ a, b, c = a, λ b, c = a, b, λ c = λ a, b, c ; 3. a 1 + a, b, c = a 1, b, c + a, b, c, a, b 1 + b, c =..., a, b, c 1 + c =.... Эти свойства следуют из соответствующих свойств определителя, так как смешанное произведение в координатах выражается в виде определителя. Применение смешанного произведения. Смешанное произведение применяется для вычисления объемов. Объем V параллелепипеда, построенного на векторах a = (X 1, Y 1, Z 1 ), b = (X, Y, Z ), c = (X 3, Y 3, Z 3 ), равен модулю смешанного произведения: V = a, b, c. В частности, мы получаем необходимое и достаточное условие компланарности векторов: векторы a, b, c компланарны a, b, c = 0, то есть определитель в строках (или столбцах) которого стоят координаты этих векторов, равен нулю. Объем тетраэдра ABCD равен 1 6 объема параллелепипеда: 70

26 V ABCD = 1 3 S ABC h = S h = 1 6 V = 1 AB, AC, AD. 6 Задача 8.1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах u = (1; ; 3), v = (1; 0; 0) и w = (0; 1; 0). V = u, v, w ; u, v, w = = 3; V = 3 = 3. Ответ: 3. Задача 8.. Доказать, что векторы u = (1; ; 3), v = (1, 1, ) и w = (, 1, 3) компланарны. Указание. Нужно проверить, что u, v, w = 0. Задача 8.3. Даны точки A, B, C, D: a) A(; 1; 1), B(5; 5; 4), C(3; ; 1), D(4; 1; 3); b) A(; 4; ), B(8; 10; 10), C( ; 6; 4), D(6; ; 8). Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в этих точках, а также вычислить длину высоты тетраэдра, проведенной из вершины A. a) Объем тетраэдра ABCD равен 1 6 объема параллелепипеда: Vтетр = 1 6 AB, AC, AD. AB, AC, AD = = 18. Следовательно, Vтетр = = 3 (куб. ед.). Найдем теперь длину h высоты из вершины A. V ABCD = 1 3 S BCD h h = 3V ABCD S BCD. Имеем S BCD = 1 [ BC, BD], BC = ( ; 3; 5), BD = ( 1; 4; 1). Найдем векторное произведение: 71

27 [ BC, BD] = ı j k = 17 ı + 3 j + 5 k = ( 17; 3; 5). Длина [ BC, BD] = 1 ( 17) = Получаем h = 3V ABCD 33, h = S BCD = 9 1 Ответ: a) V = 3, h = ; b) V = 4, h = Контрольные вопросы 1. Что такое смешанное произведение векторов? Как оно вычисляется в координатах? Где применяется смешанное произведение?. Какой геометрический смысл имеет смешанное произведение? Дополнительные вопросы и задачи D1. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках A(; 1; 1), B(3; 0; 1), C(; 1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат. Ответ: D(0; 8; 0) или D(0; 7; 0). D. Доказать тождество: a + c; b; a + b = a; b; c. D3. Векторы a, b и c удовлетворяют условию [ a, b] + [ b, c] + [ c, a] = 0. Доказать, что эти векторы компланарны. D4. Показать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда. D5. Доказать (геометрически), что при любых векторах a, b и c векторы a b, b c, c a компланарны. Каков геометрический смысл этого факта? 7

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского" СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ Учебное пособие А.В. Букушева, А.В. Гохман, М.В. Лосик Саратов 2013 ВВЕДЕНИЕ Традиционно курс

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции Глава 6 Векторная алгебра 61 Линейные операции 1 Доказать, что векторы (1,2) и (2, 3) образуют базис на плоскости Найти в этом базисе координаты векторов (5,3) и ( 4,6) 2 Доказать, что векторы (1, 2, 3),

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Гольдман М.Л. Сивкова Е.О.

Гольдман М.Л. Сивкова Е.О. Аналитическая геометрия М. Л. Гольдман Е. О. Сивкова Москва 014 ББК М УДК Рецензенты: Научный редактор: Гольдман М. Л., Сивкова Е. О. Аналитическая геометрия. Учебное пособие/ Федеральное государственное

Подробнее

Сборник задач по аналитической геометрии

Сборник задач по аналитической геометрии Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии" ДВ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Векторы и линейные операции над ними 5 1.1 Предмет,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы векторной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и

Подробнее

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

Математика 9 класс ВЕКТОРЫ

Математика 9 класс ВЕКТОРЫ МИНИСТЕРСТО ОБРАЗОАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НООСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТЕННЫЙ УНИЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс ЕКТОРЫ Новосибирск ведение Многие явления в окружающей

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки кадров

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НОВОТРОИЦКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ» Кафедра

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ А.Н. БУРОВ, Э.Г. СОСНИНА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для студентов курса технических и экономических специальностей высших учебных заведений Новосибирск 26 УДК 52.2 ББК 22.

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» РМ Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие Научный редактор

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 МОДУЛЬ МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Практическое занятие 6-7 Тема: Преобразование координат Полярные координаты Расстояние между точками Деление отрезка в данном отношении Метод координат План Преобразование

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ В 3 ЧАСТЯХ.

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Л.Г. Киселева М.М. Шульц АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ Учебно-методическое

Подробнее

Данный раздел рассматривает универсальный метод решения задач типа С. Вектор это направленный отрезок. Его длиной считают длину отрезка.

Данный раздел рассматривает универсальный метод решения задач типа С. Вектор это направленный отрезок. Его длиной считают длину отрезка. Тема 57 «Векторы на плоскости и в пространстве» Данный раздел рассматривает универсальный метод решения задач типа С. Вектор это направленный отрезок. Его длиной считают длину отрезка. Если даны две точки

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г.

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г. МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова 2014 2015 г. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ПЕРВОЙ

Подробнее