1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c)."

Транскрипт

1 Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется началом, а точка B концом вектора. Закрепленный вектор обозначается AB и изображается в виде отрезка со стрелкой. Длина вектора называется его модулем, AB = AB. Закрепленный вектор характеризуется: 1) длиной, ) направлением, 3) точкой приложения (т.е. его началом). Вектор AA называется нуль-вектором. Он имеет нулевую длину и не имеет направления или, если угодно, можно считать, что он имеет произвольное направление. Свободным вектором (или в дальнейшем просто вектором) называется множество закрепленных векторов, которые имеют одинаковую длину и направление. Свободные векторы мы будем обозначать строчными латинскими буквами: a, b,.... Таким образом, в определении свободного вектора мы отвлекаемся от точки приложения закрепленного вектора и не разли- 46

2 чаем закрепленные векторы, получающиеся друг из друга параллельным переносом. Запись a = AB означает, что закрепленный вектор AB является представителем свободного вектора a. В этом случае мы будем говорить также, что вектор a отложен от точки A. Сложение векторов определяется по одному из правил: правилу параллелограмма или правилу треугольника: Таким образом, для любых трех точек A, B, C имеется равенство AB + BC = AC. Правило треугольника легко обобщается на случай любого числа векторов и называется правилом многоугольника. Чтобы сложить n векторов a 1, a,..., a n, отложим вектор a 1 от некоторой точки A 0, a 1 = A 0 A 1, отложим вектор a от конца вектора a 1, a = A 1 A, и т.д...., a n = A n 1 A n. Тогда вектор A 0 A n, соединяющий начало первого вектора и конец последнего, равен сумме a a n : 47

3 В частности, отсюда следует, что для трех векторов (в пространстве) правило параллелограмма превращается в правило параллелепипеда: чтобы сложить три вектора a, b, c, нужно отложить их от одной точки A и построить на этих векторах параллелепипед. Тогда диагональ параллелепипеда, выходящая из точки A, дает сумму a + b + c. Вычитание это операция, обратная к сложению. Разностью векторов a b называется такой вектор x, что b + x = a. Отсюда вытекает правило вычитания векторов. Отложим векторы a и b от одной и той же точки O. Тогда вектор, соединяющий конец вектора b с концом вектора a, равен a b: Умножение вектора на число. Произведением вектора a на число λ называется вектор λ a, у которого 1) длина λ a = λ a { ; λ a a, если λ > 0; ) направление: λ a a, если λ < 0. Множество векторов (на прямой, на плоскости или) в пространстве образуют векторное пространство. Это означает, что операции сложения векторов и умножения их на числа обладают следующими свойствами: 1. a + b = b + a.. (a + b) + c = a + (b + c). 3. Существует элемент 0 L такой, что a + 0 = a для любого a. Элемент 0 называется нулевым элементом. 4. Для каждого a существует элемент a такой, что a+( a) = 0. 48

4 5. 1 a = a. 6. λ(µa) = (λµ)a. 7. (λ + µ)a = λa + µa. 8. λ(a + b) = λa + λb. Задача 5.1. По данным векторам a и b построить векторы: a) 1 3 a b; b) 4 a + b; c) ( a + b); d) 3 4 ( a + b) 1 4 ( a b) a b. Задача 5.. a) Пусть M середина отрезка AB, O произвольная точка. Доказать, что OM = 1 ( OA+ OB. b) Пусть точка M точка пересечения медиан треугольника ABC, P произвольная точка пространства. Доказать, что OM = 1 3 ( OA+ OB + OC). b) Воспользуемся равенствами OM = OB + BM = OC + CM = OA + AM. Сложив их, получим 3OM = ( OB + OC + OA)+( BM + CM + AM). По свойству точки пересечения медиан треугольника BM = 3BB 1, CM = 3CC 1, AM = 3AA 1, где AA 1, BB 1 и CC 1 медианы треугольника ABC Поскольку AA 1 = AB+ AC, BB 1 = BA+ BC, CC 1 = CB+ CA, то 3 OM = OB+ OC+ OA+ 3 ( AB + AC + BA + BC + CB + CA ) = = OB + OC + OA + 3 0, откуда следует требуемое. Задача 5.3. Пусть AB = a + b, BC = 4 a b, CD = 5 a 3 b, где a и b некоторые векторы. Доказать, что ABCD трапеция. 5. Линейная зависимость векторов Линейной комбинацией векторов a 1,..., a k с коэффициентами λ 1,..., λ k называется вектор a = λ 1 a λ k a k. 49

5 Векторы a 1,..., a k называются линейно зависимыми (сокращенно л.з.), если существуют числа λ 1,..., λ k, не все равные нулю, такие, что λ 1 a λ k a k = 0. Если это не так, то векторы называются линейно независимыми (сокращенно л.н.з.), т.е. векторы a 1,..., a k линейно независимы, если равенство λ 1 a λ k a k = 0 возможно только в случае λ 1 =... = λ k = 0. Задача 5.4. Проверить, что: a) если среди векторов a 1,..., a k имеется нулевой вектор 0, то эти векторы линейно зависимы; b) если часть из векторов a 1,..., a k л.з., то и все эти векторы л.з. На практике удобно пользоваться следующим эквивалентным определением: Векторы a 1,..., a k называются линейно зависимыми, если один из этих векторов можно выразить в виде линейной комбинации остальных. Понятие линейной зависимости связано с геометрией расположения векторов. Векторы называются коллинеарными (от слова line прямая), если они параллельны одной и той же прямой, т.е. если их отложить от одной точки, то они будут лежать на одной прямой. Или проще: коллинеарные векторы это параллельные между собой векторы. Векторы называются компланарными (от слова plane плоскость), если они параллельны одной и той же плоскости, т.е. если их отложить от одной точки, то они будут лежать в одной плоскости. Нетрудно доказать, что: Два вектора a и b коллинеарны a и b л.з. Три вектора a, b и c компланарны a, b, c л.з. 5.3 Базис и система координат Базис векторного пространства это система линейно независимых векторов этого пространства, через которые любой вектор 50

6 пространства может быть представлен (и единственным образом) в виде их линейной комбинации. На прямой базис состоит из одного вектора e 0. Базисный вектор e играет роль масштабного вектора, с помощью которого мы "измеряем"все остальные векторы. На плоскости базис состоит из двух линейно независимых векторов. Любой вектор a на плоскости можно и единственным образом выразить через базис в виде линейной комбинации: a = X 1 e 1 + X e. Числа (коэффициенты) X 1 и X называются координатами вектора a относительно базиса (или в базисе) e 1, e. В пространстве базис состоит из трех линейно независимых векторов e 1, e, e 3. Любой вектор a в пространстве можно и единственным образом выразить через базис в виде линейной комбинации: a = X 1 e 1 + X e + X 3 e 3. Числа (коэффициенты) X 1, X, X 3 называются координатами вектора a относительно базиса (или в базисе) e 1, e, e 3. Координаты вектора a записывают так: a(x 1, X, X 3 ) или a = (X 1, X, X 3 ). Если в некотором базисе векторы a и b имеют координаты a = (X 1, X, X 3 ), b = (Y 1, Y, Y 3 ), то: 1) a + b = (X 1 + Y 1, X + Y, X 3 + Y 3 ), т.е. координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат. ) λ a = (λx 1, λx, λx 3 ), т.е. при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Из пункта ) следует условие параллельности векторов: два вектора параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорцианальны: 51

7 a b X 1 Y 1 = X Y = X 3 Y 3. Задача 5.5. Определить, при каких значениях α и β векторы a = i + 3 j + β k и b = α i 6 j + k будут коллинеарны. Ответ: α = 4, β = 1. Задача 5.6. Дан базис e 1, e. Построить векторы a = e 1, b = 3 e e и c = e e. Разложить геометрически вектор c по векторам a и b. Задача 5.7. Даны три вектора e 1, e и a (даны их координаты относительно некоторого базиса). 1. Проверить, что векторы e 1 и e образуют базис (не коллинеарны).. Найти координаты вектора a = (X 1 ; X ) в базисе e 1, e. a) e 1 = (3; 1), e = ( ; 5), a = (4; 3); b) e 1 = (1; ), e = (; 3), a = (9; 4). Ответ: a) a = e 1 + e = (; 1); b) a = 5 e 1 + e = (5; ). Задача 5.8. Даны четыре вектора e 1, e, e 3 и a (даны их координаты относительно некоторого базиса). 1. Проверить образуют ли три первых вектора базис.. Найти координаты вектора a = (X 1, X, X 3 ) в базисе e 1, e, e 3. a) e 1 = (1; ; 3), e = (1; 1; 0), e 3 = (1; 0; 1), a = (; 1; 1); b) e 1 = (; 3; 1), e = (5; 7; 0), e 3 = (3; ; 4), a = (4; 1; 3) a) 1. Векторы e 1, e, e 3 образуют базис тогда и только тогда, когда определитель A матрицы, составленной из координат этих векторов, не равен нулю (это следует из правила Крамера, см. решение второй части задачи; по другому мы обоснуем это с помощью смешанного произведения векторов в занятии 8). Так как A = 4 0, то векторы e 1, e, e 3 образуют базис.. Требуется выразить вектор a в виде линейной комбинации векторов e 1, e, e 3, т.е. найти такие числа X 1, X, X 3, что X 1 e 1 + X e + X 3 e 3 = a. Записывая векторы в виде столбцов их координат, получаем равенство: 5

8 X X X = 1 1 Приравнивая первые, вторые и третьи координаты в левой и правой частях этого равенства, получаем следующую систему трех линейных уравнений: X 1 + X + X 3 =, X 1 + X = 1, 3X 1 + X 3 = 1. Решая эту систему, найдем X 1 = 1, X =, X 3 = 1. Ответ: a) a = 1 e 1 + e + 1 e 3 = ( 1 ; ; 1 ); b) a = e 1 + e e 3 = (1; 1; 1). Система координат. Координаты точки. Система координат (в пространстве) состоит из базиса e 1, e, e 3 и точки O, которая называется началом координат. Координатами точки M в системе координат (O; e 1, e, e 3 ) называются координаты её радиус-вектора OM в базисе e 1, e, e 3. Таким образом, точка M имеет координаты x 1, x, x 3, M(x 1, x, x 3 ), если OM = x1 e 1 + x e + x 3 e 3. Выражение координат вектора через координаты его конца и начала: координаты вектора, соединяющего две точки равны разностям соответствующих координат его конца и начала, т.е. если a = M 1 M, M 1 (x 1, x, x 3 ), M (y 1, y, y 3 ), то координаты вектора a(x 1, X, X 3 ) равны X 1 = y 1 x 1, X = y x, X 3 = y 3 x 3. Задача 5.9. Показать, что точки A(3; 5), B( ; 7), C(18; 1) лежат на одной прямой. 53.

9 Задача Определить начало M 1 вектора a(; 3; 1), если его конец совпадает с точкой M (1; 1; ). Ответ: M 1 ( 1; ; 3). Задача Даны три последовательные вершины A(3; 4; 7), B( 5; 3; ), C(1; ; 3) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D. Ответ: D(9; 5; 6). Деление отрезка в данном отношении. Точка C на прямой AB делит отрезок AB в отношении λ, если AC = λ CB Если A = (x 1, x, x 3 ), B = (y 1, y, y 3 ) и точка C делит отрезок AB в отношении λ, то координаты точки C(z 1, z, z 3 ) равны z 1 = x 1 + λy λ, z = x + λy 1 + λ, z 3 = x 3 + λy λ. В частности, координаты середины отрезка равны средним арифметическим его концов: z 1 = x 1 + y 1, z = x + y, z 3 = x 3 + y 3. Контрольные вопросы 1. Что такое закрепленные и свободные векторы?. Дайте определение операций сложения векторов и умножения вектора на число. 3. Как сложить несколько векторов (правило многоугольника)? 4. Что такое линейно зависимые (линейно независимые) векторы? 54

10 5. Что такое базис и координаты вектора? 6. Что такое система координат и координаты точки? 7. Как найти координаты вектора, зная координаты его конца и начала? 8. Как (по координатам) узнать являются ли векторы параллельными? 9. Что значит, что точка C делит отрезок AB в отношении λ? Как найти координаты точки C, зная координаты точек A и B? Дополнительные вопросы и задачи D1. Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы a и b, чтобы имело место соотношение a + b = a b? Ответ: Параллелограмм построенный на векторах a и b должен быть прямоугольником. D. В пространстве заданы треугольники ABC и A B C ; точки M и M точки пересечения их медиан. Выразить вектор MM через векторы AA BB CC. Ответ: MM = 1 3 ( AA + BB + CC ). D.3. Доказать, что для любых заданных векторов a, b и c векторы a + b, b + c, c a компланарны. 55

11 Занятие 6 Прямоугольная система координат 6.1 Длина вектора и расстояние между точками Система координат (O; e 1, e, e 3 ) называется прямоугольной, если: 1) базисные векторы имеют единичную длину, e 1 = e = e 3 = 1; ) базисные векторы попарно ортогональны, e 1 e e 3 e 1. Базисные векторы при этом обычно обозначают i, j, k, и называют базисными ортами, а координаты обозначают x, y, z. Оси координат называют: Ox осью абсцисс, Oy осью ординат, Oz осью аппликат. 56

12 Длина вектора a = (X, Y, Z) равна корню из суммы квадратов его координат: a = X + Y + Z. Расстояние между точками A(x 1, y 1, z 1 ) и B(x, y, z ) равно AB = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ). 6. Величина проекции вектора на ось и направляющие косинусы Ось это прямая, на которой выбрано направление. Пусть направление на оси l задается единичным вектором e. Проекцией вектора a = AB на ось l называется вектор a = A B, где A и B ортогональные проекции точек A и B на прямую l. Величиной проекции вектора a на ось l называется координата вектора a на прямой l относительно базисного вектора e, т.е. такое число пр l a (или пр e a ), что a = пр l a e. Таким образом, мы различаем проекцию вектора на ось и величину проекции вектора на ось: первое это вектор, а второе число. Величина проекции вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью, т.е. пр l a = a cos ϕ, где ϕ = ( e, a). Пусть α, β, γ углы, которые вектор a = (X, Y, Z) составляет с осями координат. Косинусы этих углов, cos α, cos β, cos γ, называются направляющими косинусами вектора a. 57

13 Из определений следует, что координаты вектора a равны величинам проекций этого вектора на оси координат. Поэтому X = пр Ox a = a cos α, Y = пр Oy a = a cos β, Z = пр Oz a = a cos γ. Отсюда можно найти направляющие косинусы вектора a. Вектор a 0 = a a, имеющий единичную длину и такое же направление, как и вектор a, называется ортом вектора a. Вектор a 0 имеет координаты (cos α, cos β, cos γ). Так как a 0 = 1, то получаем соотношение между направляющими косинусами: cos α + cos β + cos γ = 1. Задача 6.1. Построить точки A(3; 1; ), B( ; 1; ), C( 3; ; 1), D(1; 0; ) в прямоугольной системе координат. Задача 6.. Доказать, что треугольник с вершинами A(3; 1; ), B(0; 4; ) и C( 3; ; 1) равнобедренный. Задача 6.3. Даны вершины треугольника A(; 1; 4), B(3; ; 6) и C( 5; 0; ). Вычислить длину медианы AD. Ответ: AD = 7. Задача 6.4. Найти орт вектора a: a) a = (6; ; 3); b) a = (3; 4; 1). Ответ: a) a 0 = ( 6 7 ; 7 ; 3 7 ); b) a 0 = ( 3 13 ; 4 13 ; 1 13 ). Задача 6.5. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 58

14 a) α = 45 0 ; β = 60 0 ; γ = 60 0 ; b) α = 45 0 ; β = ; γ = Ответ: a) да; b) нет. Контрольные вопросы 1. Какая система координат называется прямоугольной?. Как найти длину вектора (расстояние между точками)? 3. Что такое проекция вектора на ось и величина проекции вектора на ось? 4. Чему равна величина проекции вектора на ось? 5. Чему равна величина проекции вектора на оси координат? 5. Что такое направляющие косинусы вектора и как они связаны с его координатами? Дополнительные вопросы и задачи D1. Дана точка M(x, y, z). Найти координаты точки, симметричной точке M: 1) относительно начала координат: ) относительно плоскости Oxy; 3) относительно оси Oz. D. Даны вершины треугольника A(1; ; 1), B(; 1; 3) и C( 4; 7; 5). Вычислить длину биссектрисы BD. D3. Вектор составляет с осями Ox и Oz углы α = 10 0 и γ = Какой угол он составляет с осью Oy? 59

15 Занятие 7 Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов 7.1 Скалярное произведение Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число ( a, b) (или a b), равное произведению длин этих векторов и косинуса угла ϕ = ( a, b) между ними: ( a, b) = a b cos ϕ. Скалярное произведение векторов равно произведению длины одного вектора на величину проекции другого вектора на направление первого вектора: ( a, b) = a пр a b = b пр b a. Из определения следует, что ( a, b) = 0, если либо a = 0, либо b = 0, либо cos ϕ = 0, т.е. ϕ = π, т.е. a b. Поэтому для ненулевых векторов ( a, b) = 0 a b. 60

16 Скалярный квадрат вектора, т.е. скалярное произведение вектора на себя, равен квадрату его модуля: ( a, a) = a a cos 0 = a. Свойства скалярного произведения. 1. ( a, b) = ( b, a);. (λ a, b) = λ( a, b); 3. ( a 1 + a, b) = ( a 1, b) + ( a, b). Первое свойство называется симметричностью (или коммутативностью) скалярного произведения; второе и третье свойства линейность скалярного произведения по первому сомножителю. Из симметричности и линейности по первому сомножителю следует линейность по второму сомножителю. Вычисление скалярного произведения в координатах: если a = (X 1, Y 1, Z 1 ), b = (X, Y, Z ), то ( a, b) = X 1 X + Y 1 Y + Z 1 Z, т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Применение скалярного произведения. Основное применение скалярного произведения состоит в вычислении углов между векторами: cos ϕ = ( a, b) a b = X 1 X + Y 1 Y + Z 1 Z X 1 + Y X + Y 1 + Z 1 + Z Отсюда, в частности, получаем условие перпендикулярности двух векторов: a b ( a, b) = 0 X 1 X + Y 1 Y + Z 1 Z = 0. Кроме того, с помощью скалярного произведения можно найти величину проекции одного вектора на другой вектор (= на ось, определяемую другим вектором) : пр a b = ( a, b) a. Задача 7.1. Вычислить скалярное произведение векторов ( a, b), где a = (1; ; 3), b = ( 1; 1; 4). Вычислить косинус угла между этими векторами. 61.

17 ( a, b) = 1 ( 1) = 13. Для вычисления угла используем скалярное произведение. Найдем длины векторов: a = = 14; аналогично b = 18. Получаем: cos ϕ = ( a, b) a b = = Ответ: ( a, b) = 13; cos ϕ = Задача 7.. Даны вершины четырехугольника A(1; ; ), B(1; 4; 0), C( 4; 1; 1), D( 5; 5; 3). Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Чтобы доказать перпендикулярность AC и BD, достаточно показать, что ( AC, BD) = 0. Координаты этих векторов: AC = ( 5; 3; 1), BD = ( 6; 9; 3). Следовательно, ( AC, BD) = ( 5) ( 6) + 3 ( 9) + ( 1) 3 = 0. Задача 7.3. a) Даны вершины треугольника ABC: a) A(1; ), B(0; 5), C(6; 1); b) A(1; ; 3), B(0; 5; ), C(6; 1; 1). Найти косинус внутреннего угла A. Ответ: a) ; b) Задача 7.4. a) Даны длины векторов a и b и угол ϕ между ними: a) a = 3, b = 4, ϕ = 3 π; b) a =, b = 1, ϕ = π 3. Найти: a) ( a + 3 b, a + 3 b); b) ( a b, 3 a + b). a) ( a + 3 b, a + 3 b) = ( a, a) + 6( a, b) + 3( b, a) + 9( b, b) = a + 9( a; b)+9 b = a +9 a b cos ϕ+9 b = ( 1 ) = 108. Ответ: a) 108; b) 3. 6

18 7. Векторное произведение Определение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который обозначается [ a, b] (или a b ) и который определяется условиями: 1) его длина равна произведению длин этих векторов и синуса угла ϕ = ( a, b) между ними: c = a b sin ϕ; ) его направление характеризуется тем, что: 1 ) c a и c b, ) векторы a, b, c образуют правую тройку. Это значит, что если отложить эти векторы от одной точки и смотреть из конца третьего вектора c, то кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b будет осуществляться против часовой стрелки. В физике для определения направления вектора [ a, b] используют также правило буравчика и правило правой руки. Пример. [ i, j] = k. Действительно, [ i, j] = i j sin π = 1. По определению k = 1, k i, k j и векторы i, j, k образуют правую тройку. Мы видим, что векторы [ i, j] и k имеют одинаковую длину и направление, а поэтому совпадают. Если a b, то ( a, b) = 0 либо ( a, b) = π, и поэтому [ a, b] = 0. В частности, для любого вектора a имеем [ a, a] = 0. Из геометрии известно, что площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон на синус угла между ними. Отсюда следует геометрический смысл модуля векторного произведения: длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. [ a, b] = a b sin ϕ = S a b. Свойства векторного произведения. 1. [ a, b] = [ b, a];. [λ a, b] = λ[ a, b]; 3. [ a 1 + a, b] = [ a 1, b] + [ a, b]. 63

19 Свойство 1. называется кососимметричностью (или антикоммутативностью) векторного произведения; свойства. и 3. линейность векторного произведения по первому сомножителю. Из кососимметричности и линейности по первому сомножителю следует линейность по второму сомножителю. Вычисление векторного произведения в координатах: если a = (X 1, Y 1, Z 1 ), b = (X, Y, Z ), то [ a, b] = Y 1 Z 1 Y Z i X 1 Z 1 X Z j + X 1 Y 1 X Y k. Для запоминания этой формулы полезно использовать символический определитель и переписать ее в виде [ a, b] = ı j k X 1 Y 1 Z 1 X Y Z Разлагая определитель по первой строке, мы получим выражение вектора [ a, b] через базисные векторы ı, j, k. Коэффициенты перед базисными векторами и есть координаты вектора [ a, b]. Применение векторного произведения. Векторное произведение применяется для вычисления площадей параллелограммов и треугольников. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, равна S a b = [ a, b] = Y 1 Z 1 Y Z. + X 1 Z 1 X Z + X 1 Y 1 X Y. Если a = (X 1, Y 1 ), b = (X, Y ) векторы на плоскости, то их можно рассматривать как частный случай векторов в пространстве, у которых третьи координаты равны нулю, Z 1 = Z = 0. Тогда предыдущая формула превращается в формулу (напомним, что a = a ) 64

20 S a b = X 1 Y 1 X Y. Уточним эту формулу. Если a = (X 1, Y 1, 0), b = (X, Y, 0), то вектор [ a, b] имеет не нулевой только третью координату (направлен вдоль оси Oz): [ a, b] = X 1 Y 1 X Y k. Отсюда легко следует геометрический смысл определителей второго порядка: X 1 Y 1 X Y = ±S a b, т.е. определитель второго порядка равен площади параллелограмма, построенного на векторах a, b, координаты которых стоят в строках определителя, причем площадь берется со знаком плюс, если кратчайший поворот от вектора a к вектору b совершается против часовой стрелки (= векторы a, b, k образуют правую тройку), и площадь берется со знаком минус, если по часовой стрелке. Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах AB и AC: S ABC = 1 [ AB, AC]. Задача 7.5. a) Даны векторы a и b: a) a = (3; 1; ), b = (1; ; 1); b) a = ( 1; 1; ), b = ( ; 3; 1). Найти векторное произведение [ a, b]. a) [ a, ı j k b] = = ı 1 j k = = 5 ı + j + 7 k = (5; 1; 7). 65

21 Ответ: a [ a, b] = (5; 1; 7); b) [ a, b] = ( 7; 5; 1). Задача 7.6. Даны точки A, B, C: a)a(1; ; 0), B(3; 0; 3), C(5; ; 6); b)a(10; 4; 1), B(; 4; 0), C(6; 0; 6). Вычислить площадь треугольника ABC и найти длину высоты CH. a) Площадь треугольника найдем как половину модуля векторного произведение векторов AB = (; ; 3) и AC = (4; 0; 6), на которых построен треугольник ABC. Поскольку векторное произведение AB и AC равно [ AB, AC] = ı j k = 1 ı 4 j + 8 k = ( 1; 4; 8) = 4( 3; 6; ), то площадь треугольника равна S = 1 1 [ AB; AC] = 4 ( 3) + ( 6) + = S Далее, AB CH = S, отсюда CH = AB, AB = (3 1) + (0 ) + ( 3 0) = 17. Получаем CH = 8 Ответ: a) S = 14, CH = 8 17 ; b) S = 56, CH = Задача 7.7. Даны точки A, B, C: a) A(1; ), B(3; 0), C(5; ); b) A(; ), B(0; 6), C(; 10). 17. Вычислить площадь треугольника ABC. a) Площадь треугольника найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах AB = (; ) и AC = (4; 0). Вычисляем определитель, построенный из координат векторов: 4 0 = 8. Таким образом, S ABC = 1 8 = 4. Ответ: a) 4; b) 8. 66

22 Задача 7.8. Даны длины векторов a и b и угол ϕ = ( a, b) между ними: a) a = 1, b =, ϕ = π 3 ; b) a =, b = 3, ϕ = π 6. Вычислить a) : [ a + b; a b] ; b) [ a + b; a 3 b]. a) Имеем [ a + b; a b] = [ a; a] + [ b; a] [ a; b] [ b; b] = 0 [ a; b] [ a; b] 0 = 3[ a; b]. Отсюда [ a + b; a b] = 3[ a; b] = 3 [ a; b] = 3 a b sin ϕ = 3 3. Ответ: a) 3 3; b) 4. Контрольные вопросы 1. Что такое скалярное произведение? Как оно вычисляется в координатах? Где применяется скалярное произведение?. Что такое векторное произведение? Как оно вычисляется в координатах? Где применяется векторное произведение? 3. Какой геометрический смысл имеет модуль векторного произведения? 4. Какой геометрический смысл имеет определитель второго порядка? Дополнительные вопросы и задачи D1. Найти основание H высоты AH в треугольнике ABC, A(1; ), B(3; 0), C(5; 1). Ответ: H( 11 5 ; 5 ). Указание. Пусть BH = t BC. Тогда из условия перпендикулярности AH и BC, ( AH, BC) = 0, можно получить уравнение относительно неизвестного t. Вычислив t, находим вектор BH, а затем точку H. D. Вычислить работу силы F = ı + j + k при перемещении материальной точки из положения A( 1; ; 0) в положение B(; 1; 3). Ответ: 4. 67

23 Указание. Работа силы F вдоль пути l из точки A в точку B есть скалярное произведение ( F, AB). D3. a) Найти вектор, перпендикулярный вектору v = (3; 4). b) Найти вектор, перпендикулярный к каждому из двух данных векторов v 1 = (1; ; 3) и v = (1; 0; 0). Задачу b) решить двумя способами: с помощью скалярного произведения и с помощью векторного произведения. Ответ: a) (4t; 3t), t R - любое. b) (0; 3t; t), t R - любое. D4. Даны четыре произвольных вектора a, b, c, d. Доказать, что векторы [ a; d], [ b; d] и [ c; d] компланарны. D5. Доказать, что длины векторов a и b равны, если векторы a + b и a b перпендикулярны. D6. Найти величину проекции вектора a = ( ; 3; 5) на ось, составляющую с координатными осями Ox и Oz углы α = 45 и γ = 60, а с осью Oy острый угол β. Ответ: 3. D7. Найти угол между биссектрисами углов Oxy и Oyz. Ответ: 60. D8. Каков геометрический смысл равенства a+ b + a b = ( a + b )? D9. Показать, что [ a b, a + b] = [ a, b]; выяснить геометрический смысл этого равенства. D10. Векторы a, b, c удовлетворяют условию a + b + c = 0. Доказать, что [ a, b] = [ b, c] = [ c, a]. D11. Дано: [ a, c] = [ b, c], где c 0. Можно ли отсюда заключить, что a = b? D1. Существуют ли векторы a и b такие, что [ a, b] = [ b, a]? D13. Даны векторы a 0, b 0. Можно ли подобрать вектор x так, что a = [ b, x]? Ответ: Да, если a b; нет, если b = 0, a 0 или a b. 68

24 Занятие 8 Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов (продолжение) 8.1 Смешанное произведение Определение. Смешанным произведением трех векторов a, b и c называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор: a, b, c = ([ a, b], c). Геометрически смешанное произведение равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, со знаком a, b, c = ±V, где знак плюс берется в случае, если векторы a, b, c образуют правую тройку, а знак минус если левую. Отсюда получается условие компланарности векторов: векторы a, b, c компланарны a, b, c = 0. Вычисление смешанного произведения в координатах: 69

25 если a = (X 1, Y 1, Z 1 ), b = (X, Y, Z ), c = (X 3, Y 3, Z 3 ), то a, X 1 Y 1 Z 1 b, c = X Y Z X 3 Y 3 Z 3, т.е. смешанное произведение равно определителю, строки которого составлены из координат векторов a, b, c. Свойства смешанного произведения. 1. Кососимметричность. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак: a, b, c = b, a, c = b, c, a =... Полилинейность, т.е. линейность по каждому сомножителю:. λ a, b, c = a, λ b, c = a, b, λ c = λ a, b, c ; 3. a 1 + a, b, c = a 1, b, c + a, b, c, a, b 1 + b, c =..., a, b, c 1 + c =.... Эти свойства следуют из соответствующих свойств определителя, так как смешанное произведение в координатах выражается в виде определителя. Применение смешанного произведения. Смешанное произведение применяется для вычисления объемов. Объем V параллелепипеда, построенного на векторах a = (X 1, Y 1, Z 1 ), b = (X, Y, Z ), c = (X 3, Y 3, Z 3 ), равен модулю смешанного произведения: V = a, b, c. В частности, мы получаем необходимое и достаточное условие компланарности векторов: векторы a, b, c компланарны a, b, c = 0, то есть определитель в строках (или столбцах) которого стоят координаты этих векторов, равен нулю. Объем тетраэдра ABCD равен 1 6 объема параллелепипеда: 70

26 V ABCD = 1 3 S ABC h = S h = 1 6 V = 1 AB, AC, AD. 6 Задача 8.1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах u = (1; ; 3), v = (1; 0; 0) и w = (0; 1; 0). V = u, v, w ; u, v, w = = 3; V = 3 = 3. Ответ: 3. Задача 8.. Доказать, что векторы u = (1; ; 3), v = (1, 1, ) и w = (, 1, 3) компланарны. Указание. Нужно проверить, что u, v, w = 0. Задача 8.3. Даны точки A, B, C, D: a) A(; 1; 1), B(5; 5; 4), C(3; ; 1), D(4; 1; 3); b) A(; 4; ), B(8; 10; 10), C( ; 6; 4), D(6; ; 8). Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в этих точках, а также вычислить длину высоты тетраэдра, проведенной из вершины A. a) Объем тетраэдра ABCD равен 1 6 объема параллелепипеда: Vтетр = 1 6 AB, AC, AD. AB, AC, AD = = 18. Следовательно, Vтетр = = 3 (куб. ед.). Найдем теперь длину h высоты из вершины A. V ABCD = 1 3 S BCD h h = 3V ABCD S BCD. Имеем S BCD = 1 [ BC, BD], BC = ( ; 3; 5), BD = ( 1; 4; 1). Найдем векторное произведение: 71

27 [ BC, BD] = ı j k = 17 ı + 3 j + 5 k = ( 17; 3; 5). Длина [ BC, BD] = 1 ( 17) = Получаем h = 3V ABCD 33, h = S BCD = 9 1 Ответ: a) V = 3, h = ; b) V = 4, h = Контрольные вопросы 1. Что такое смешанное произведение векторов? Как оно вычисляется в координатах? Где применяется смешанное произведение?. Какой геометрический смысл имеет смешанное произведение? Дополнительные вопросы и задачи D1. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках A(; 1; 1), B(3; 0; 1), C(; 1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат. Ответ: D(0; 8; 0) или D(0; 7; 0). D. Доказать тождество: a + c; b; a + b = a; b; c. D3. Векторы a, b и c удовлетворяют условию [ a, b] + [ b, c] + [ c, a] = 0. Доказать, что эти векторы компланарны. D4. Показать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда. D5. Доказать (геометрически), что при любых векторах a, b и c векторы a b, b c, c a компланарны. Каков геометрический смысл этого факта? 7


Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее