Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ"

Транскрипт

1 Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть D середина ребра рис Тогда OD O O D OD O O O O а F D O O O Далее EF F E O O O O O O O Ответ: EF O O O Задача Дан правильный шестиугольник DEF Принимая за базисные векторы и найти в этом базисе координаты векторов D DE EF F рис Решение Очевидно что координаты в данном базисе вектора есть { } а координаты вектора DE { } Так как то { } и EF { } Далее D и D D Поэтому D { } а F { } Ответ: { } { } D { } DE { } EF { } F { }

2 Задача Даны четыре вектора { } { } { } и d {8} Найти вектор являющийся проекцией вектора d на плоскость определяемую векторами и при направлении проектирования параллельном вектору Решение Разложим вектор d по базису те найдем такие числа что d Запишем последнее равенство покоординатно: 8 Таким образам вектор d имеет в базисе координаты { } а искомый вектор d координаты { } Поэтому d { } Последние координаты получены уже в исходном базисе Ответ: { } Задача Пусть на плоскости или в пространстве даны отрезок и точка O Пусть на прямой дана такая точка отличная от точки что R Пусть также O O O рис Выразить вектор через векторы и и число Решение: Имеем O O O Ответ: Задача Доказать что сумма векторов идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам равна

3 Решение Пусть сумма векторов идущих из центра правильного -угольника к его вершинам При повороте данного многоугольника вокруг его центра на угол π вектор с одной стороны должен повернуться на этот же угол С другой стороны при этом повороте многоугольник переходит в себя поэтому вектор должен остаться неизменным Следовательно что и требовалось доказать Задача Пусть на плоскости или в пространстве дан набор точек точки M M помещены массы является центром масс системы точек OM m OM m M M и точка O Пусть в m m причем m Скажем что точка M M M если Доказать что положение центра масс не зависит от выбора точки O Решение Возьмем произвольную точку O отличную от точки O Пусть M центр масс системы точек M M соответствующий точке O Докажем что M M Имеем: O M следовательно m O M m m O O OM O O m M M что и требовалось доказать m OM m O O OM O M Задача 7 Доказать что при любом расположении точек D на плоскости или в пространстве имеет место равенство D D D Решение Пусть D D D рис7 Имеем D D D что и требовалось доказать Задача 8 Доказать что если D четыре произвольные точки на плоскости или в пространстве а P и Q середины отрезков и D то D D D PQ Решение Пусть D D D рис 8

4 Тогда Имеем далее PQ P D DQ D PQ С другой стороны D D Следовательно D D D PQ что и требовалось доказать Задача 9 Вычислить длину d диагонали OD параллелепипеда зная длины O O O трех его ребер выходящих из одной точки O и углы O O O между ними Найти также косинусы углов образуемых диагональю OD с ребрами O O O Решение Пусть O O O OD d рис 9 Имеем d OD Далее d d d DO d d d d d Аналогично получаем что DO d и DO d Ответ: d DO d DO DO d d Задача Пусть r радиус окружности описанной около правильного -угольника Найти сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого многоугольника выходящих

5 из одной вершины; сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого многоугольника Решение Пусть данный правильный -угольник O центр описанной около него окружности O Имеем r r r r Предпоследнее равенство верно так как согласно задаче сумма векторов идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам равна Сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей данного многоугольника можно найти если умножить сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого многоугольника выходящих из одной вершины на количество вершин и разделить на так как каждая сторона или диагональ многоугольника соответствует ровно двум его вершинам Таким образом искомая сумма равна r Ответ: r ; r Задача В треугольнике проведена биссектриса D Известно что Найти длину биссектрисы D Решение Пусть рис Так как согласно теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника D D имеем: D Тогда длина этого вектора равна D D D Ответ: D Задача В треугольнике проведена биссектриса D Известно что D D Найти длину биссектрисы D

6 Решение Пусть D d D D рис Имеем: d d d d d d d d d Здесь в предпоследнем равенстве мы воспользовались формулой для вычисления длины биссектрисы полученной в предыдущей задаче: d Следовательно d d Ответ: D Задача Пусть на плоскости или в пространстве дан набор точек точки M M помещены массы масс системы точек системы точек M M M M и точка O Пусть в m m причем m а точка M центр Назовем моментом инерции точки O относительно { M } величину JO M M m OM Доказать что момент инерции точки O относительно системы точек M M равен сумме момента инерции точки O относительно центра масс M и момента инерции точки M относительно системы точек M M то есть { M } M { M } J O JO J M При этом центр масс мы принимаем за систему состоящую из одной точки в которую m помещена масса Решение Имеем: OM J M O { M } J M OM m mmm OM m m MO OM MO OM m mom MO m OM OM m mom MO OM m { M } OM m mom OM m mom JO что и требовалось доказать Задача Доказать что сумма векторов перпендикулярных к граням тетраэдра равных по абсолютной величине площадям этих граней и направленных в сторону вершин противолежащих граням равна нулю Решение Обозначим данный тетраэдр через O и положим O O O Кроме того выберем в пространстве ориентацию таким образом что векторы [ ] [ ] [ ] перпендикулярные к граням тетраэдра и равные по абсолютной величине площадям этих граней будут направлены в сторону вершин противолежащих граням рис

7 Тогда вектор [ ] также будет направлен в сторону вершины противолежащей грани Имеем [ O O] [ O O] [ O O] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] что и требовалось доказать Задача Доказать тождества: [[ ] ] ; [ [ ]] ; d [ ][ d] ; d ][ d]] < d > d < > < d > < d > [[ ; < > < > ; < > Решение Выберем прямоугольную систему координат такую что направление вектора совпадает с направлением оси O а вектор лежит в плоскости O Тогда в этой системе координат векторы будут иметь координаты {} { } { d e f } где d e f какие-то действительные числа Имеем [ ] { } тогда [[ ] ] { e d} e f f d d e С другой стороны d e { d e} d { d d} следовательно { e d} Значит равенство пункта доказано Имеем [ [ ]] [[ ] ] согласно п Равенство пункта доказано Имеем [ ][ d] < [ d] >< [ d] > [[ d] ]

8 d d d d d d Здесь первое и третье равенство выполнены в силу определения смешанного произведения векторов а четвертое согласно пункту Равенство пункта доказано Имеем > < > < d d d d согласно п d ] [ ] [ ]] ][ [[ Вторая часть равенства доказывается аналогично с применением равенства пункта Равенство пункта доказано Пусть в некоторой прямоугольной системе координат векторы имеют соответственно координаты: } { } { } { } { } { } { Так как определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной и определитель произведения матриц равен произведению их определителей получаем: > > < < Равенство пункта доказано Равенство пункта является следствием равенства пункта Задача Доказать что объем параллелепипеда построенного на векторах равен V Решение Данное равенство является следствием равенства пункта задачи Задача 7 Вычислить объем параллелепипеда зная длины O O O трех его ребер выходящих из одной точки O и углы O O O между ними Решение Согласно равенству задачи имеем: V

9 Ответ: V Задача 8 Даны плоские углы O O O трехгранного угла O Вычислить косинусы его внутренних двугранных углов противолежащих граням O O O Даны внутренние двугранные углы трехгранного угла O противолежащие граням O O O Вычислить косинусы его плоских углов Доказать что s s s s s s Решение Пусть e e e единичные векторы лучей O O O рис тогда [ e e][ e e ] согласно п [ e e ] [ e e ] задачи e e e e e e e e s s s s аналогично ss s s Рассмотрим трехгранный угол ребра которого имеют направления [ e e ] [ e e ] e ] рис [ e его плоские углы будут π π π а двугранные π π π Применив к этому углу результат пункта данной задачи получим: π π π π s π s π s s откуда s s Аналогично s s s s Введем обозначения: [ e e ] [ e e] [ e e ] Имеем: s [ e e ] согласно п задачи s [ ] [[ e e ][ e e ]]

10 > < > < > < e e e e e e e e e e e Аналогично s s > < e e e и s s > < e e e Равенство пункта доказано Ответ: s s s s s s s s s s s s Задача 9 В тетраэдре O известны длины O O O ребер выходящих из вершины O и углы O O O между ними Найти расстояние между скрещивающимися прямыми O и Решение Пусть O O O рис Имеем > < 7 ] [ задаче согласно O O O O ρ O ] [ ] [ ] [ ] [ ] ][ [ ] [ ] [ ] ][ [ ] [ задачи согласно п s s s s s s Ответ: ρ s s O

11 Задача Дано уравнение 7 стороны треугольника и уравнения и медиан выходящих из вершин треугольника лежащих на данной прямой Составить уравнение двух других сторон треугольника Система координат аффинная Решение Обозначим данную сторону треугольника через вершину треугольника противолежащую стороне через медиану через M медиану через L Пусть O точка пересечения медиан M и L рис Найдем координаты точек O : : 7 ; : 7 ; O : Итак O тогда O { } Так как M O то M { 7 7} и M { 8 } Аналогично O O { } L { 9} L 7 Значит уравнение прямой L будет иметь вид 7 8 а уравнение прямой M будет иметь вид

12 7 8 При этом ясно что прямая L совпадает с прямой а прямая M с прямой Ответ: 8 7 Задача Вершина треугольника находится в точке 9 а биссектрисами двух его углов служат прямые 8 и Написать уравнение стороны треугольника противолежащей данной вершине Система координат прямоугольная Решение Обозначим данную вершину треугольника через биссектрису 8 через L биссектрису через M и вершины треугольника Найдем координаты точки D симметричной точке относительно прямой L рис Для этого напишем в параметрическом виде уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярной прямой L : t 9 t Найдем значение параметра t соответствующее точке пересечения этой прямой с прямой L для чего подставим в уравнение прямой L правые части данных параметрических уравнений: t 9 t 8 t Значит значение параметра t соответствующее симметричной точке D это t а координаты точки D есть D Аналогично координаты точки E симметричной точке относительно прямой M есть E Значит уравнение прямой DE будет иметь вид Ясно также что точки D и E лежат на прямой поэтому прямые DE и совпадают Ответ: Задача Стороны треугольника отношениях и треугольника разделены точками P Q R в

13 P Q R µ ν P Q R Пусть точки пересечения пар прямых Q и R R и P P и Q Найти отношение площади ориентированного треугольника к площади ориентированного треугольника Решение Введем систему координат с началом в точке и базисными векторами e и e рис 7 Найдем координаты точек P Q R в этой системе координат: ν R Q P ν µ Составим теперь уравнения прямых P Q R в этой системе координат: P : ; Q : µ µ ; R : ν ν ν ν ν Найдем теперь координаты точек : : : µ ν ν ν ν ν ν µ ν µ µ ν ; µ µ ν ν ν ν ν ν ν ;

14 : µ µ Координаты векторов и тогда равны ν µν ν µν { X Y} ; µ µν ν ν µ µν ν ν µ µν µν { X Y} µ µν µ µ µν µ Имеем далее: < < < > < > > > < X e Y e X e < e e > Y e > µ X Y µ ν µ µ ν ν ν X Y µ µ µ ν µ ν ν ν Задача Найти внутренние углы треугольника стороны которого заданы уравнениями Система координат прямоугольная µ Ответ: Решение Обозначим сторону через сторону через сторону через Вычислим тангенсы трех углов: угла от прямой до прямой угла от прямой до прямой и угла от прямой до прямой рис 8 При этом если два или три из этих тангенсов будут иметь знак «плюс» то треугольник положительно ориентирован в противном случае отрицательно ориентирован В первом случае все вычисленные углы треугольника будут его внутренними углами во втором внешними Имеем:

15 ; tg ; tg tg 7 Значит внутренние углы треугольника равны rtg rtg rtg7 Ответ: rtg rtg 7 rtg Задача Найти косинус того угла между прямыми точка Система координат прямоугольная и в котором лежит Решение Обозначим прямую через l а прямую через l Через { } обозначим вектор нормали к прямой l а через { } вектор нормали к прямой l Пусть точка имеет координаты Так как F l > и F l > то векторы и будучи отложенными от точки пересечения прямых l и l своими концами будут указывать в ту полуплоскость по отношению к каждой из этих прямых в которой лежит точка рис 9 Значит Ответ: π ϕ где ϕ искомый угол Имеем: ϕ ϕ Задача Найти центр O и радиус r круга вписанного в треугольник со сторонами Система координат прямоугольная Решение Обозначим сторону через сторону 7 через сторону 7 8 через Найдем координаты вершин треугольника :

16 : 7 8 7; : 7 ; : Так как F > F 7 8 > F 7 7 < то центр O вписанной в треугольник окружности лежит по отношению к прямым и в положительной полуплоскости а по отношению к прямой в отрицательной полуплоскости рис 7 Кроме того точка O одинаково удалена от прямых при этом модули в формуле для вычисления расстояния от точки до прямой раскрываются в соответствие со знаком для данной полуплоскости Имеем: ρ O ρ O ρ O Таким образом координаты центра вписанной в треугольник окружности есть O а радиус этой окружности равен любому из вычисленных расстояний и равен r Ответ: O r

17 Задача Даны четыре вершины тетраэдра 7 9 D Написать уравнения плоскостей равноудаленных от всех вершин тетраэдра Система координат аффинная Решение Существуют плоскости двух типов 7 плоскостей равноудаленные от всех вершин тетраэдра Плоскости первого типа плоскости параллельны граням тетраэдра и проходят через середины ребер выходящих из вершины противолежащей данной грани Плоскости второго типа плоскости параллельны паре скрещивающихся ребер тетраэдра и проходят через середины остальных его ребер Выберем по одной плоскости каждого типа и напишем их уравнения Рассмотрим плоскость π проходящую через середины K L M ребер D D D соответственно рис 7 Имеем: K L M 7 {} Значит уравнение плоскости π будет иметь вид KL KM { } Аналогично находим уравнения остальных плоскостей π π π первого типа: π : π : 8 π : Перейдем к плоскостям второго типа Рассмотрим плоскость π проходящую через середины K L N ребер D D соответственно рис 7 Имеем: K L N {} Значит уравнение плоскости π будет иметь вид KL KN { } Аналогично находим уравнения остальных плоскостей π π7 второго типа: π : π 7 : 8 Ответ: 8 8 Задача 7 Написать уравнение прямой проходящей через точку и пересекающей прямые

18 и Система координат аффинная Решение Обозначим данную точку через а прямые через l и m соответственно Уравнение искомой прямой будем искать в общем виде те в виде системы двух линейных уравнений определяющих плоскости π и π пересечение которых есть эта прямая Плоскость π при этом будет проходить через точку и прямую l а плоскость π через точку и прямую m рис 7 Рассмотрим плоскость π В качестве направляющих векторов этой плоскости можно взять направляющий вектор прямой l те вектор { } и вектор соединяющий точку с точкой лежащей на прямой l те вектор { } Тогда уравнение плоскости π будет иметь вид 8 7 Аналогично находим уравнение плоскости π : π : 9 8 Значит уравнение искомой прямой можно записать в виде Ответ: Задача 8 Написать уравнение общего перпендикуляра к двум прямым: и 8 и найти расстояние между этими прямыми Найти также точки пересечения общего перпендикуляра к данным прямым с этими прямыми Система координат прямоугольная Решение Обозначим данные прямые через l и m соответственно Уравнение искомой прямой будем искать в общем виде те в виде системы двух линейных уравнений определяющих плоскости π и π пересечение которых есть искомый общий перпендикуляр Плоскость π при этом будет проходить через прямую l перпендикулярно плоскости π которая параллельна направляющим векторам {8 }

19 и { } прямых l и m соответственно а плоскость π через прямую m перпендикулярно плоскости π рис 7 Рассмотрим плоскость π В качестве направляющих векторов этой плоскости можно взять направляющий вектор прямой l те вектор {8 } и вектор перпендикулярный прямым l и m те вектор [ ] { } Тогда уравнение плоскости π будет иметь вид 8 Аналогично находим уравнение плоскости π : π : Значит уравнение искомой прямой можно записать в виде Расстояние между скрещивающимися прямыми l и m найдем по известной формуле 8 < > ρ l m mod [ ] Здесь точка лежащая на прямой m Обозначим через L и M точки пересечения общего перпендикуляра к прямым l и m соответственно с этими прямыми Координаты точки L будем искать как координаты точки пересечения прямой l с плоскостью π для этого запишем уравнение прямой l в параметрическом виде 8t t t и подставим правые части этих параметрических уравнений в уравнение плоскости π : 8t t t 7 Значит L Аналогично координаты точки M находим как координаты точки пересечения прямой m с плоскостью π 7 : M

20 Ответ: ; ; 7 7 Задача 9 Составить уравнение плоскости проходящей через точку и через прямую Система координат аффинная Решение Мы знаем что любая плоскость проходящая через линию пересечения двух данных плоскостей имеет уравнение µ Так как эта плоскость проходит через точку то µ 9 µ Поэтому можно положить и µ Окончательно уравнение искомой плоскости принимает вид 9 Ответ: 9 Задача Написать уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла образованного плоскостью с плоскостью O Система координат прямоугольная Решение Обозначим данные плоскости через π и π и рассмотрим векторы нормали { } и { } к данным плоскостям Скалярное произведение векторов и положительно следовательно эти векторы образуют острый угол Но каждый из этих векторов будучи отложенным от любой точки пересечения двух данных плоскостей своим концом будет указывать в положительное полупространство относительно той плоскости которой он перпендикулярен рис 7 Следовательно острый угол между плоскостями есть пересечение двух полупространств имеющих по отношению к соответствующим плоскостям разные знаки Так как биссекторная плоскость двугранного угла между плоскостями есть геометрическое место точек равноудаленных от этих плоскостей то в соответствие с вышесказанным модули в формуле для вычисления расстояния должны быть раскрыты с разными знаками Имеем: 7 Ответ: Задача

21 Две вершины треугольника закреплены в точках и а третья вершина перемещается так что угол при вершине остается все время вдвое больше угла при вершине Найти линию описываемую вершиной Решение Введем на плоскости в которой лежит треугольник полярную систему координат следующим образом Положим точку началом полярной системы координат луч противоположный лучу положим полярной осью а направление вращения положим против часовой стрелки рис 7 Пусть π ϕ π ϕ тогда а ϕ π Пусть также p r Применим к треугольнику теорему синусов: p r p r ϕ π π ϕ s s s s ϕ ϕ p ϕ p p r ϕ ϕ ϕ ϕ Таким образом мы получили уравнение ветви гиперболы с параметром p и эксцентриситетом e фокальной осью которой является прямая а фокусом лежащим внутри этой ветви точка Ответ: Ветвь гиперболы с параметром p и эксцентриситетом e фокальной осью которой является прямая а фокусом лежащим внутри этой ветви точка Задача Определить тип линии 8 8 ; написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат Решение Вычислим ортогональные инварианты данной линии: S 8 δ Так как δ > а S < то эта линия есть действительный эллипс найдем корни ее характеристического уравнения: S δ 9 Значит в некоторой прямоугольной системе координат уравнение этого эллипса запишется в виде

22 9 δ 9 Система для определения центра данного эллипса будет выглядеть следующим образом: 8 8 Следовательно центр эллипса находится в точке O Тангенс угла наклона положительного направления оси O к положительному направлению оси O находим по формуле tg ϕ ϕ sϕ Таким образом базисные векторы новой канонической системы координат O в системе координат O есть e { } e { } а начало этой системы координат есть точка O рис 77 9 Ответ: Эллипс O e { } e { } Задача Определить тип линии 7 ; написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат

23 Решение Вычислим ортогональные инварианты данной линии: S δ 7 Так как δ а то эта линия есть парабола Каноническое уравнение этой параболы находим следующим образом: S S Для определения канонической системы координат для данной параболы найдем сначала ее асимптотическое направление { } : следовательно вектор { } есть вектор асимптотического направления Тогда вектор { } имеет направление перпендикулярное асимптотическому Напишем уравнение диаметра сопряженного относительно данной параболы направлению { : } вектора этот диаметр является осью параболы: Найдем теперь вершину параболы как точку пересечения оси параболы с самой параболой для чего решим систему уравнений 7 Таким образом начало новой канонической системы координат O в системе координат O будет иметь координаты O Базисный вектор e системы координат O имеет по отношению к данной параболе асимптотическое направление поэтому либо e { } либо { e } Условию S ϕ sϕ < характеризующему направление внутрь параболы удовлетворяет вектор { } Вектор e будет очевидно иметь координаты e { } рис 78 e

24 Ответ: Парабола e O { e } { } Задача Даны две линии второго порядка: Найти общий диаметр этих двух линий и направления тех хорд каждой из данных линий которым сопряжен этот диаметр Решение По ортогональным инвариантам легко убеждаемся что первая линия второго порядка есть гипербола а вторая парабола Любой диаметр гиперболы проходит через ее центр а любой диаметр параболы имеет относительно этой кривой асимптотическое направление Следовательно искомый общий диаметр этих двух линий проходит через центр гиперболы и имеет по отношению к параболе асимптотическое направление Центр гиперболы O находим из системы уравнений 9 Значит O Асимптотическое направление параболы { : } находим из уравнения 9 те можно положить Уравнение прямой проходящей через точку O и имеющей направление { } есть 7 Это и есть искомый общий диаметр двух линий Направляющий вектор этого диаметра есть { } поэтому в случае гиперболы мы можем говорить о паре взаимно сопряженных направлений: направление { : } сопряжено направлению { : } тогда и только тогда когда Следовательно направление { :} есть направление той хорды гиперболы которой сопряжен диаметр 7 Пусть теперь { : } направление той хорды параболы которой сопряжен этот диаметр Запишем уравнение этого диаметра в виде Но два уравнения определяют одну и ту же прямую когда их коэффициенты пропорциональны Имеем: Можно положить это и есть направление той хорды параболы которой сопряжен общий диаметр двух данных в условии задачи кривых второго порядка Ответ: 7 { :} { : }

25 Задача Найти условия необходимые и достаточные для того чтобы прямая касалась: эллипса ; гиперболы ; параболы p ; гиперболы k Решение Пусть M некоторая точка лежащая на эллипсе Напишем уравнение касательной к данному эллипсу проведенной в точке M : так как точка M принадлежит эллипсу Итак два уравнения и определяют од ну и ту же прямую следовательно соответствующие коэффициенты должны быть пропорциональны: Так как выполняется условие то Решение пункта аналогично решению пункта Пусть M некоторая точка лежащая на параболе p Напишем уравнение касательной к данной параболе проведенной в точке M : p p p p так как точка M принадлежит параболе Итак два уравнения p p и определяют од ну и ту же прямую следовательно соответствующие коэффициенты должны быть пропорциональны: p p p Так как выполняется условие p то p p p Пусть M некоторая точка лежащая на гиперболе k Напишем уравнение касательной к данной гиперболе проведенной в точке M : k так как точка M принадлежит гиперболе Итак два уравнения k и определяют од ну и ту же прямую следовательно соответствующие коэффициенты должны быть пропорциональны:

26 k k k Так как выполняется условие k то k k k Ответ: ; ; p ; k Задача Три вершины параллелограмма находятся в точках O ; и противоположные вершины Написать уравнение эллипса вписанного в этот параллелограмм и касающегося стороны O в ее середине Решение Рассмотрим аффинное преобразование переводящее данный эллипс в окружность Описанный параллелограмм при этом преобразовании перейдет в параллелограмм описанный около окружности те в ромб А так как окружность касается одной из сторон этого ромба в ее середине то этот ромб есть квадрат и данная окружность будет касаться и остальных сторон этого квадрата в их серединах Следовательно эллипс также будет касаться всех сторон параллелограмма в их серединах Введем новую систему координат следующим образом: начало системы координат положим в точке O являющейся центром параллелограмма а также центром эллипса что следует из рассмотренного выше аффинного преобразования; в качестве векторов e и e положим векторы O M и O N где точки M и N соответственно середины сторон и параллелограмма а точка его четвертая вершина рис 79 Рассмотрим уравнение эллипса в новой системе координат Так как начало системы координат совпадает с центром эллипса то коэффициенты и в общем уравнении этого эллипса равны нулю Будет равен нулю также коэффициент так как оси координат имеют по отношению к данному эллипсу взаимно сопряженные направления поскольку направление диаметра проведенного в точку касания сопряжено направлению касательной Итак уравнение эллипса в новой системе координат имеет вид Точки M и N имеют в новой системе координат координаты M N и принадлежат данному эллипсу откуда следует что и Поэтому можно положить и после чего уравнение принимает вид Формулы перехода от исходной системы координат к новой имеют вид

27 следовательно уравнение эллипса в исходной системе координат есть Ответ: Задача 7 Доказать что плоскость пересекает эллипсоид по действительному эллипсу и найти центр этого эллипса Решение Первый способ Рассмотрим систему уравнений Выразим из первого уравнения переменную и подставим во второе уравнение: Последнее уравнение определяет цилиндр проектирующий искомую линию пересечения на плоскость Так как при аффинном преобразовании действительный эллипс переходит в действительный эллипс можно считать что уравнение нам дано в некоторой прямоугольной системе координат Найдем ортогональные инварианты: δ S

28 Так как δ > а S < то данное уравнение и в самом деле определяет действительный эллипс Центр этого эллипса находим из системы уравнений Координату получаем из уравнения плоскости Итак точка O есть искомый центр линии пересечения плоскости и эллипсоида Второй способ Введем на плоскости аффинную систему координат O e { } e { } и напишем параметрические уравнения этой плоскости: u v u v Подставив полученные выражения для переменных в уравнение эллипсоида получим уравнение линии пересечения этого эллипсоида с плоскостью в координатах u v : v u v u u uv v v Найдем ортогональные инварианты: S δ Так как δ > а S < то данное уравнение и в самом деле определяет действительный эллипс Центр этого эллипса находим из системы уравнений u v u u v v

29 Подставив найденные значения u v в параметрические уравнения плоскости найдем координаты центра эллипса: Ответ: Задача 8 Написать уравнение плоскости проходящей через прямую и касающейся эллипсоида Решение Пусть M точка касания искомой плоскости с эллипсоидом Уравнение касательной плоскости проведенной к данному эллипсоиду в точке M имеет вид так как точка M принадлежит эллипсоиду Кроме того эта плоскость проходит через прямую что означает что точка принадлежит плоскости а вектор { } параллелен плоскости Имеем систему уравнений или В первом случае получаем плоскость во втором плоскость 8

30 Ответ: 8 Задача 9 Дан гиперболический параболоид 8 и плоскость Написать уравнение плоскости параллельной данной и пересекающей параболоид по паре прямых; найти эти прямые Решение Первый способ Запишем уравнение искомой плоскости в виде D Рассмотрим следующую систему уравнений 8 D Эта система определяет множество точек пересечения параболоида и плоскости Выразив из второго уравнения переменную и подставив в первое уравнение получим D D 8 Согласно условию задачи последнее уравнение должно определять на плоскости пару прямых преобразуем это уравнение: 8 D D Ясно что выражение стоящее в правой части должно быть равно нулю те D Уравнение искомой плоскости при этом будет иметь вид Найдем прямые пересечения параболоида и плоскости:

31 и Второй способ Плоскость пересекающая параболоид по паре прямых является касательной плоскостью к параболоиду Пусть M точка касания искомой плоскости с параболоидом Уравнение касательной плоскости проведенной к данному параболоиду в точке M имеет вид так как точка M принадлежит параболоиду Так как эта плоскость параллельна плоскости получаем систему уравнений 8 8 Уравнение касательной плоскости при этом будет иметь вид Ответ: и Задача Найти инвариантные точки и инвариантные прямые аффинного преобразования

32 7 Система координат аффинная Решение Инвариантные точки находим из системы уравнений 7 Для нахождения инвариантных прямых найдем собственные значения и собственные векторы преобразования Собственные значения находятся из уравнения Координаты } { собственного вектора соответствующего значению находим из уравнения {} } { Инвариантная прямая будет проходить через неподвижную точку в направлении собственного вектора те ее уравнение будет иметь вид Координаты собственного вектора соответствующего значению находим из уравнения {} } { Уравнение инвариантной прямой при этом будет иметь вид Ответ: Инвариантная точка инвариантные прямые и Задача Найти инвариантные точки и инвариантные прямые аффинного преобразования

33 7 8 Система координат прямоугольная Решение Инвариантные точки находим из системы уравнений 7 8 те инвариантными являются все точки прямой Собственные значения находятся из уравнения 7 Координаты собственного вектора соответствующего значению находим из уравнения } { } { 8 Мы получили направляющий вектор прямой состоящей из инвариантных точек Ясно что эта прямая является инвариантной по отношению к данному аффинному преобразованию Координаты собственного вектора соответствующего значению находим из уравнения {} } { 8 Это вектор нормали к уже полученной нами прямой Таким образом все прямые перпендикулярные прямой также являются инвариантными по отношению к данному аффинному преобразованию Ответ: Инвариантными точками являются все точки прямой и только эти точки Инвариантные прямые: прямая и все прямые перпендикулярные к ней Задача Найти инвариантные точки прямые и плоскости аффинного преобразования

34 Система координат аффинная Решение Инвариантные точки находим из системы уравнений Собственные значения находим из уравнения Собственный вектор соответствующий полученному собственному значению находим из уравнения {} } { Значит уравнение инвариантной прямой будет иметь вид Пусть теперь D инвариантная плоскость данного аффинного преобразования Прообраз этой плоскости будет иметь вид D D и должен совпадать с самой плоскостью Следовательно должны выполняться следующие равенства: D D D Можно положить например D и уравнение искомой инвариантной плоскости будет иметь вид

35 Ответ: Инвариантная точка инвариантная прямая инвариантная плоскость Задача Найти инвариантные точки инвариантные прямые и инвариантные плоскости аффинного преобразования Решение Инвариантные точки находим из системы уравнений Собственные значения находим из уравнения Собственный вектор соответствующий значению 7 находим из уравнения {} } { Уравнение инвариантной прямой при этом будет иметь вид Собственный вектор соответствующий значению 7 находим из уравнения

36 9 Таким образом собственными векторами являются все векторы параллельные плоскости а инвариантными прямыми все прямые проходящие через единственную инвариантную точку и параллельные этой плоскости те все прямые проходящие через точку и лежащие в плоскости Пусть теперь D инвариантная плоскость данного аффинного преобразования Прообраз этой плоскости будет иметь вид D D и должен совпадать с самой плоскостью Следовательно должны выполняться следующие равенства: D D Первые три строки полученной системы представляют собой систему трех однородных уравнений с тремя неизвестными которая имеет ненулевое решение тогда и только тогда когда определитель этой системы равен нулю Имеем: В случае 7 имеем D и уравнение плоскости имеет вид В случае 7 имеем: D Из первого уравнения полученной системы следует что все такие плоскости параллельны вектору } { Выразив теперь из второго уравнения системы переменную D и подставив в уравнение плоскости получим: те все инвариантные плоскости соответствующие собственному значению 7 проходят через точку Таким образом инвариантными являются все плоскости проходящие через прямую Ответ: Инвариантная точка ; инвариантные прямые: прямая

37 и все прямые проходящие через точку и лежащие в плоскости ; инвариантные плоскости: плоскость и все плоскости проходящие через прямую Задача Дано изометрическое преобразование Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии Найти канонический вид данного преобразования Решение Данное преобразование является изометрическим преобразованием с определителем те несобственным преобразованием Любое несобственное изометрическое преобразование плоскости есть скользящая симметрия те композиция симметрии относительно оси и параллельного переноса на вектор параллельный этой оси Направляющий вектор оси симметрии будем искать как собственный вектор соответствующий собственному значению : { } { } Вектор сдвига вдоль оси симметрии будем искать следующим образом Возьмем произвольную точку например точку O с координатами O Образ O точки O при данном преобразовании будет иметь координаты O Ортогональная проекция вектора O O { } на ось с направляющим вектором { } и будет искомым вектором сдвига Найдем эту проекцию: OO {9 } рис 8

38 Найдем какую-либо точку на оси симметрии Пусть M эта точка Образ M точки M будет иметь координаты С другой стороны M M следовательно M 9 Имеем 9 Значит любая точка лежащая на прямой лежит на оси симметрии и уравнение оси симметрии есть Выбрав прямоугольную систему координат таким образом что начало этой системы координат лежит на оси симметрии первый базисный вектор параллелен этой оси а второй ей перпендикулярен получим канонический вид данного преобразования: * * * * Здесь число есть длина вектора Ответ: Вектор переноса вдоль оси симметрии { 9 } Уравнение оси симметрии Каноническая запись преобразования * * * *

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с Тест 299. Преобразование плоской фигуры. Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если: 1. каждая точка фигуры N является образом хотя бы одной точки фигуры M. 2. каждой точке фигуры

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ КЛАССЫ»

А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ КЛАССЫ» А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ. 0 КЛАССЫ» Базовый уровень (,5 ч в неделю) Номера пункта Содержание материала Кол-во часов Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий). Аксиомы

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8 Четверть 1 1. Сумма углов выпуклого п угольника равна ( п 2 ) 180. 2. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 3. Свойства параллелограмма: 1)

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Тест 250. Отрезок. Длина

Тест 250. Отрезок. Длина Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г.

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г. МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова 2014 2015 г. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ПЕРВОЙ

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и Название темы Колво часов Приложение к рабочей программе по геометрии Учебно-тематический план Геометрия 7 класс ( часа в неделю, всего 70 часов) Характеристика деятельности обучающихся Глава. Простейшие

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6.

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах

Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах Наглядная геометрия Выпускник научиться: 1) Распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространственные геометрические

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Теоретический минимум по вычислительной геометрии

Теоретический минимум по вычислительной геометрии Теоретический минимум по вычислительной геометрии для групп параллели B Летняя компьютерная школа, 2010 г. Содержание 1 Вектора 1 1.1 Скалярное произведение векторов.................................. 2

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекция 13. Эллиптический тип

Лекция 13. Эллиптический тип Лекция 13 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от,y,z.

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Л. С. АТАНАСЯН, В. Ф. БУТУЗОВ, С. Б. КАДОМЦЕВ, Л. С. КИСЕЛЁВА, Э. Г. ПОЗНЯК «ГЕОМЕТРИЯ, КЛАССЫ» Базовый уровень (1,5 ч в неделю)

Л. С. АТАНАСЯН, В. Ф. БУТУЗОВ, С. Б. КАДОМЦЕВ, Л. С. КИСЕЛЁВА, Э. Г. ПОЗНЯК «ГЕОМЕТРИЯ, КЛАССЫ» Базовый уровень (1,5 ч в неделю) Л. С. АТАНАСЯН, В. Ф. БУТУЗОВ, С. Б. КАДОМЦЕВ, Л. С. КИСЕЛЁВА, Э. Г. ПОЗНЯК «ГЕОМЕТРИЯ, 10 11 КЛАССЫ» Базовый уровень (1,5 ч в неделю) Номер параграфа и пункта Содержание материала Кол-во часов Характеристика

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Тест 201. Круг. Свойство

Тест 201. Круг. Свойство Тест 194. Окружность. Понятие Окружность это: 1. множество точек, удаленных от данной точки на данное ненулевое расстояние; 2. множество точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом; 3. некоторая

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Докажите, для любых неотрицательных чисел, и выполняется неравенство 6+ + 5 5 + 7 +. Решение. Сложив почленно три известных

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

по геометрии 11 класс.

по геометрии 11 класс. Тематическое планирование учебного материала по геометрии класс. урока пункта Тема. Количество часов. 3-4 5-6 7 8-9 0 39 40 4-43 44 45 46 5Многогранники Двугранный угол Трёхгранный и многогранный углы

Подробнее

Рабочая программа «Геометрия» классы. Углубленный уровень

Рабочая программа «Геометрия» классы. Углубленный уровень МАОУ СОШ 146 с углубленным изучением математики, физики и информатики» г.пермь Рабочая программа «Геометрия» 10-11 классы. Углубленный уровень Учителя: Рассмотрено на заседании школьного методического

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о. 1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

π называется центральным, а если центр проектирования несобственный, то проектирование

π называется центральным, а если центр проектирования несобственный, то проектирование Практическое занятие 5 МОДУЛЬ 3. МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ Тема: Параллельное проецирование План 1. Построение плоских фигур в параллельной проекции. 2. Построение пространственных фигур в параллельной проекции.

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее