Введение в математический анализ. Теория пределов

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Введение в математический анализ. Теория пределов"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ) Институт радиоэлектроники и информационных технологий Кафедра «Прикладная математика» Методические указания по дисциплине «Математика» Введение в математический анализ Теория пределов Нижний Новгород 05

2 Переменная величина Функция Величины в математике делятся на два класса: постоянные и переменные Постоянные - те, которые при данном исследовании сохраняют одно и то же значение; переменные могут принимать различные значения при данном исследовании В дальнейшем будем рассматривать переменную величину, которая может принимать возможные числовые значения без ограничений, либо значения ограничиваются, например, неравенствами Укажем наиболее распространённые способы изменения величин: a b [ a, b] a b ( a, b) a b ( a, b] a b [ a, b) a [ a, ) a ( ; a] a ( a, ) a ( ; a) ( ; ) - принимает любые значения Множества значений переменной величины будет обозначать буквами X,Y и так далее Определение Пусть даны две переменные и y с областями изменения X и Y, и пусть по некоторому правилу любому из множества X ставится в соответствие элемент y из множества Y, причём ни один элемент из множества Y не будет пропущен Тогда говорят, что переменная y является функцией переменной Множество X называется областью определения функции, независимая переменная называется аргументом, множество Y называется областью изменения функции Для указания того факта, что y-функция, пишут y f (), y (), y F() и так далее, где буквы f,, F и так далее указывают то правило, по которому вычисляется значение y Для обозначения функциональной зависимости иногда повторяют букву: y y() Правило может быть разной природы Наиболее простым правилом является аналитическое выражение или формула, содержащая указание на те операции или действия, которые надо произвести с аргументом, чтобы получить соответствующее значение функции Пример f ( ), [ ; ) Если при записи формулы не указывается область определения функции, автоматически определяется естественная область определения, те множество всех значений аргумента, позволяющих выполнить с ними все действия по ука-

3 занному правилу В примере указана естественная область определения, так как извлечение квадратного корня возможно только при 0 Функция может быть определена без формулы (описательно), графически, таблично Объем методического пособия не позволяет остановиться на этом подробно Определение Пусть на некотором множестве X задана функция y f () Графиком функции на плоскости Oy называется множество точек плоскости (, f ( ) ), X Например, графиком функции y является кривая, изображён-ная на рис Рис Определение 3 Пусть y f () задана на множестве X и пусть для любых и, принадлежащих X, f ( ) f ( ) Тогда любому y, принадлежащему Y, можно поставить в соответствие, принадлежащее X, те определить на множестве Y однозначную функцию g(y) Такая функция называется обратной по отношению к функции y f () Пример Для функции y, заданной на множестве [ ; ), обратной является y, заданная на множестве [ 0; ) Графики функций y f () и g(y) на плоскости Oy совпадают, но если в равенстве g(y) и y поменять местами, то графики функции y f () и y g() симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис ) 3

4 Рис Часто функция характеризуется словами: ограниченная, монотонная, убывающая, возрастающая, периодическая, чётная, нечётная Дадим определения этим понятиям Будем пользоваться для краткости следующими символами: -принадлежит; -для всякого, всякий, любой; - следует; -существует; :-такое, что Определение Функция y f () называется ограниченной на множестве X, если существует M 0 такое, что f ( ) M для всех, принадлежащих X В краткой записи это определение выглядит так: y f () называется ограниченной на X, если M 0 : f ( ) M X Определение 5 Функция y f () ограничена сверху на X, если M : f ( ) M X, и ограничена снизу, если M : f ( ) M X Пример Функция si y si ограничена на множестве ( ; ), так как Определение 6 Функция y f () называется возрастающей на множестве X, если и X f ) f ( ), и неубывающей, если f ) f ( ) : ( (

5 Определение 7 Функция y f () называется убывающей на X, если, X : f ( ) f ( ), и невозрастающей, если f ( ) f ( ) Пример Функция y возрастает на множестве [ ; ) Пусть и [ ; ) и, тогда Определение 8 Функция y f (), заданная на множестве X, называется чётной, если X f ( ) f ( ), и нечётной, если X f ( ) f ( ) Например, y si нечётная функция, y cos чётная Определение 9 Функция y f () называется периодической на множестве X, если T 0 : X ( T) X и f ( T) f ( ) Число T называется периодом Например, функция y si является периодической с периодом T Очевидно, что если T - период, то и числа T (,, ) также являются периодами Определение 0 Пусть функция z (y) определена на множестве Y, а y f () определена на множестве X, причём все её значения содержатся в Y Тогда переменная z через посредничество y является функцией Функция z ( f ( )) называется сложной функцией или суперпозицией функций (y) и f () Пример z ( y) y, y f ( ) Составим z ( f ( )) Естественная область определения X функции y f () - все действиительные числа Область определения Y функции (y) множество [ 0; ), поэтому из множества X можем взять только те, при которых 0, то есть множество [ ; ] Следовательно, определённая на множестве [; ] z ( f ( )) - сложная функция, Основные элементарные функции и их графики К основным элементарным функциям относятся: показательная функция, степенная функция, логарифмическая функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции Показательная функция y a, a 0, a На рис 3 показаны гра-фики показательных функций, соответствующие различным основаниям 5

6 Рис 3 Степенная функция y, R На рис представлены функции с различными показателями : Рис 3 Логарифмическая функция y log a, a 0, a ; (рис 5) 6

7 Рис 5 Тригонометрические функции y si, y cos, y tg, y ctg ; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рис 6 Рис 6 5Обратные тригонометрические функции y arcsi, y arccos, y arctg, y arcctg На рис 7 показаны графики обратных тригонометрических функций Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией Рис 7 3 Предел переменной величины До сих пор нам было важно лишь множество значений, которое может принимать переменная величина, а не тот порядок, в котором она принимает эти значения Сейчас мы будем рассматривать переменную величину, прини- 7

8 ' мающую последовательно бесчисленное множество значений, то есть, если и " -два значения переменной, то мы можем отличить среди них предыдущее и последующее Кроме того, никакое значение переменной не является последним, то есть какое бы значение не взяли, существует бесчисленное множество значений, следующих за ним Такую переменную величину называют упорядоченной Определение Окрестностью точки a называется произвольный интервал ( c, d), содержащий точку a, -окрестностью точки a называется симметричный относительно a интервал ( a ε, a ε), а число называется радиусом окрестности Определение Число a называется пределом переменной величины, если для любой -окрестности точки a существует такое значение, что все последующие значения переменной принадлежат -окрестности точки a, то есть a ε или a ε a ε Этот факт записывается так: a или lim a Можно сказать для ясности, что рано или поздно переменная окаже-тся в заштрихованном промежутке (рис 8), а так как промежуток может быть сколь угодно малым, то обязан бежать к a Рис 8 Постоянную величину c можно рассматривать как величину перемен-ную, все значения которой c Так как c c c 0 ε при любом 0, то lim c c Определение 3 Если lim 0, то переменная величина называется бесконечно малой, то есть для любого 0 существует такое значение, что все последующие удовлетворяют условию Теорема Переменная величина не может иметь двух пределов Доказательство Пусть lim a и lim b ( b a ), тогда для любого существует значение ' такое, что для последующих выполняется для последующих за ним выполняется b Пусть a ε, и " такое, что ' - предыдущее, а, " последующее, тогда для всех, следующих за должно выполняться a b a и b, что невозможно при (рис 9), и, следовательно, предположение неверно " - 8

9 Рис 9 Предел последовательности Важным случаем упорядоченной переменной величины является тот, когда имеется возможность перенумеровать всю её последовательность значений (первое, второе и так далее):,, 3,,, так, что из двух значений i и j последующим является тот, который имеет больший индекс Пример (=,, 3, ) Эта переменная величина последовательно принимает значения,,,, 8, Пример ( ) Последовательность значений такова: 0,, 0,, 0, Видно, что среди значений этой переменной встречаются одинаковые, а именно 8 3 i 0, если i - нечётное число Последовательность считается заданной, если есть правило, по которому может быть вычислен любой её член, лишь только известен его номер Определение Число a называется пределом последовательности, если для всякого 0 существует номер N () такой, что для всех N выполняется a (те найдётся номер, начиная с которого все члены окажутся в - окрестности точки a (рис 0)) Этот факт записывается так: lim a В краткой записи определение выглядит так: 0 N () : N a В дальнейшем будем использовать краткую запись Важно, что номер N не может быть указан раз и навсегда, он зависит от выбора числа При уменьшении N, вообще говоря, увеличивается N N N 3 a a a Рис 0 9

10 Определение 5 - бесконечно малая последовательность (бм), если lim 0, то есть 0 N () : N Теорема Для того чтобы lim a, необходимо и достаточно, чтобы a, где - бесконечно малая Доказательство Докажем необходимость, то есть тот факт, что из условия lim a следует, что a Пусть lim a, что означает 0 N () : N a, то есть по определению 65 lim 0 Следовательно, a, где - бесконечно малая Докажем достаточность Дано, что a, где -бесконечно малая, но тогда 0 N () : N Так как a, то имеем утверждение: 0 N () : N a Это в соответствии с определением означает lim a, что и требовалось доказать Доказанное утверждение можно сформулировать иначе: Число a называется пределом последовательности, если разность a есть бесконеч-но малая величина Термин бесконечно малая величина означает тот факт, что в процессе своего изменения переменная способна стать (по модулю) меньше любого наперёд заданного числа Пример Докажем, что - бм, то есть lim 0 В соответствии с определением надо доказать, что 0 N () : N Проделаем с последним неравенством равносильные преобразования: log В определении N() - номер (целое число) Если в качестве взять (а 3 нас, естественно, интересуют малые ), то log log 3 5, то есть при N 5 Если 0,0, то log 00 3 не является целым числом, и его номер нельзя взять за N В этом случае можно взять N 6, так как из усло- 0

11 , и, следо- вия 6 следует, что 7,8,, то есть больше, чем log 00 вательно, 0,0 В случае произвольного за N () принимают целую часть log, обо- значаемую [log ] при При N ( ) Таким образом, мы показали, что 0 N () : N что и требовалось доказать Определение 6 Последовательность называется бесконечно большой (бб), если M 0 N(M) : N M, то есть с определённого номера её члены по модулю становятся больше любого наперёд заданного числа Пример Докажем, что lim (( ) ), то есть M 0 N(M) : N ( ) M Преобразуем последнее неравенство: ( ) M M log M При M N( M ) [log M ], при 0 M N Если последовательность является бб, и её члены положительны с некоторого номера, то говорят, что lim, если отрицательны, то lim Дадим определение для этих случаев Определение 7 lim, если M 0 N(M) : N M Определение 8 lim, если M 0 N(M) : N M Сформулируем без доказательства следующие теоремы Теорема 3 Если бб и 0, то бм Теорема Если Пример бм и 0, то бб бб, так как lim ( ), тогда y бм,то есть lim 0

12 5 Теоремы о последовательностях, имеющих предел Сформулируем основные теоремы о последовательностях, но небольшой объем пособия не дает возможности привести доказательства всех теорем Теорема 5 Если последовательность имеет предел, то она ограничена Заметим, что обратное утверждение неверно, то есть не всякая ограниченная последовательность имеет предел Пример Последовательность ( ) является ограниченной, но не имеет предела Теорема 6 Если lim a, lim y b и y, то a b Теорема 7 Если Теорема 8 Если y y и lim a,lim y b ( a и b конечны), то a b z и lim lim z a, то lim y a Очевидно, что можно не требовать, чтобы двойное неравенство выполнялось для всех Достаточно, чтобы оно выполнялось с некоторого фиксированного номера 5 5 Пример Докажем, что lim 0 Так как 0, начиная с 6-го номера, и lim 0, то lim Теорема 9 Сумма любого фиксированного числа бесконечно малых есть бесконечно малая Доказательство (для двух слагаемых) Пусть последовательности и бм,тогда 0 N N Следовательно, N ma{ N, N } Так как, то справедливо следующее утверждение: 0 N ( ) : N, а это и означает, что lim 0, что и требовалось доказать Теорема 0 Произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая Пример ( ) : N / / и 0 N ( ) : бм, cos( ) ограниченная cos( )

13 cos( cos( ) бм, те lim ) 0 Чтобы сформулировать следующие теоремы, дадим определения возрастающей, убывающей, ограниченной последовательностей Определение 9 Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если из условия следует ( ) Определение 0 Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если из условия следует ( ) Определение Последовательность называется ограниченной, если существует число M>0 такое, что так: M 0 : M M для всех В краткой записи это выглядит Определение (в краткой записи) Последовательность ограничена сверху, если M : M, и ограничена снизу, если M : M Теорема Всякая монотонно возрастающая (убывающая) и ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет предел Используем теорему для нахождения предела последовательности Воспользуемся известной формулой a b a C a b C a b C где C k b C b k k k ( )( )( k ) k! a ( k! k ( k ) ( k )) ( ) ( )( ) Тогда 3! 3! ( )( k ) ( )( ) k k!!! 3! k! k! Ясно, что отличается от одним положительным слагаемым, то есть, и, следовательно, -возрастающая последовательность, () 3

14 Докажем, что она ограничена сверху: 3! 3!! 3 3 Так как - возрастающая и ограниченная сверху последовательность, то по теореме 6 последовательность имеет предел Этот предел обозначается буквой e и равен, Логарифмы по основанию e называются натуральными и обозначаются l Итак, lim e () Этот предел часто называют вторым замечательным пределом О первом- в следующих параграфах Теорема Если lim a, lim y b ( a и b конечны),то lim y a b Доказательство Из теоремы п следует, что a, y b,где и бесконечно малые последовательности Тогда z y a b ( ) По теореме 9 п 5 - бесконечно малая, и так как z a b, то lim a b, что и требовалось доказать z Теорема 3 Если a, y b( a и bконечны),то y ab Теорема Если lim lim lim a, lim y b, y 6 Предел функции 0 и b 0, lim то lim В предыдущем параграфе рассмотрен один из способов упорядочивания переменной последовательность Рассмотрим другие способы упорядочивания переменной Пусть y f() определена на промежутке [ c k, c k], где k достаточно мало Рассмотрим три способа упорядочивания значений : c 0, c 0, c, что означает стремление к точке c слева, справа, произвольным образом Под стремлением понимаем тот факт, что сколь близко не подошли к точке c, всегда можно подойти ещё ближе Рассмотрим соответ- y a b

15 ствующую этим случаям упорядоченную переменную f() Дадим определения понятию предел функции в этих случаях Определение 3 Предел функции y f() равен числу A при стремящемся к c слева, если для любого числа 0 существует число 0, зависящее от, такое, что для всех значений, удовлетворяющих неравенству c c, будет выполняться неравенство f ( ) A (рис 6) Этот факт обозначается lim f ( ) A 0 c Кратко это определение записывается так: lim f ( ) A 0, если 0 c ( ) 0 : c c f ( ) A Другими словами, значения функции f () будут всё меньше и меньше отличаться от A при приближении к c слева Последующие определения сформулируем в краткой записи Определение lim f ( ) A 0, если 0 ( ) 0 c : c c f ( ) A (рис ) Определение 5 lim f ( ) A, если 0 ( ) 0 c : 0 c f ( ) A (рис 3) Неравенство 0 c равносильно системе c c c, c c то есть находится в - окрестности точки c, но не принимает значение равное c 5

16 Рис Рис Рис 3 6

17 Пример 0, ( ;0], f ( ), ( 0;), 0, [ ; ) Из рисунка видно, что lim f ( ) 0 0, lim f ( ) 0, 0 0 lim f ( ) 0 Рис Сформулируем без доказательства теорему о связи предела функции с односторонними пределами Теорема 5 lim f ( ) A тогда и только тогда, когда lim c0 f ( ) lim c0 c f ( ) A В примере lim 0 f ( ) не существует, так как односторонние пределы не равны Как и для последовательности, можно доказать следующую теорему Теорема 6 lim f ( ) A тогда и только тогда, когда f ( ) A ( ), где c () - бесконечно малая (бм) при c, то есть lim ( ) 0 Сформулированные определения предела функции были даны для случая, когда аргумент стремится к конечному числу c Дадим определения при, то есть при таком последовательном изменении, когда становится и остаётся больше любого заданного положительного числа c 7

18 Определение 6 (рис 5) Определение 7 (рис 6) Определение 8 (рис 7) lim f ( ) A, если 0 N () : N f ( ) A lim f ( ) A, если 0 N () : N f ( ) A lim f ( ) A, если 0 N () : N f ( ) A Рис 5 Рис 6 8

19 Рис 7 Дадим определение бесконечно большой (бб) функции при,, Определение 9 lim f ( ), если M 0 ( M ) 0 c : 0 c f ( ) M (рис 8) Определение 30 lim f ( ) c M ( M ) 0, если 0 : 0 c f ( ) M (рис 9) c, Определение 3 lim f ( ) c : 0 c f ( ) M (рис0) Определение 63 lim f ( ) : N f ( ) M (рис ) lim M ( M ) 0, если 0 Можно дать определения тому, что f ( ), lim f ( ), M N(M), если 0 lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ) c 0 и так далее, предлагаем сделать это самостоятельно 9

20 Рис 8 Рис 9 0

21 Рис 0 Рис 7 Теоремы о функциях, имеющих предел Сформулируем основные теоремы Теорема 7 Пусть ( ) и ( ) - бм при c, тогда ( ) + ( ) -бм при c Теорема справедлива для любого фиксированного числа слагаемых Теорема 8 Пусть () -бм при c, а () ограничена в некоторой окрестности точки c, тогда () () - бм при c Пример ( ) - бм при 0, ( ) si ограничена ( si ), тогда si - бм при 0, то есть lim si 0 0 Теорема 9 Пусть () - бм при c и ( ) 0 в некоторой окрест-ности точки c, тогда - бб при c (величина обратная бм есть бб) ( )

22 Пример lim( ) 0, то есть - бм при, тогда lim, есть -бб при Теорема 0 Пусть () -бб при c, тогда -бм при c ( ) (величина обратная бб есть бм) то Теорема Пусть () и () - бм при c, тогда ( ) ( ) -бм при c Теорема Пусть ( ) f ( ) g( ) в некоторой окрестности точки c и lim ( ) lim g( ) A, тогда lim f ( ) A c c c Эту теорему иногда называют теоремой о двух милиционерах Теоремы справедливы и при,, так же, как и следующие теоремы, в которые для упрощения будем использовать записью lim f ( ) A, предполагая, что может стремиться как к c, так и к,, Теорема 3 Предел суммы фиксированного числа слагаемых равен сумме пределов слагаемых, если эти пределы конечны Доказательство (для двух) Пусть lim f ( ) A, lim g( ) B ( A и B конечны) По теореме 6 f ( ) A ( ), g( ) B ( ), где () и () бм Тогда f ( ) g( ) A B ( ), где ( ) ( ) ( ) бм по теореме 7, следовательно, lim( f ( ) g( )) A B по той же теореме 6 п 6 Теорема Предел частного двух функций равен частному пределов числителя и знаменателя, если эти пределы конечные и предел знаменателя не равен нулю 8 Первый и второй замечательные пределы si Докажем, что lim 0 (3) Воспользуемся тригонометрическим кругом (рис )

23 Рис При 0 имеем S OBA S сект OBA S OCA, то есть si tg Разделим неравенство на si, получим При 0 si cos si cos, тогда по теореме п7 lim 0 0 или lim si 0 0 Так как si si si функция чётная, то lim 0 0, и, следовательно, lim 0 В п 5 было доказано, что последовательность ( ) имеет предел, обозначаемый e Заметим, что Можно показать, что если, то e : бм при, а -обратная к ней бб f ( ) ) ( также имеет предел равный X lim ( ) e Обозначим u, тогда u 0 и lim ( u) u e () u0 Покажем на примерах использование замечательных пределов si 9 t Пример Найдём lim 0 Обозначим 9 t, тогда и при 5 9 si 9 si t 9 9 si t t 0 имеем lim lim lim 0 5 t0 5t 5 t0 t 5 5 3

24 Пример si 3 lim 0 si 5 si 3 5 lim( 0 3 si 5 3 ) 5 si 3 5 lim lim si Пример lim( ) lim ( ) u Обозначим u, тогда и при u 0 u lim( ) lim( u) u 0 u lim( u) u0 u u e,lim( u) u0 lim[( u) u0 u ] u e, так как l( u) u Пример lim lim l( u) l e (5) u0 u u0 Следует заметить, что при вычислении пределов не совсем корректно пользовались понятием непрерывности функции, которое будем рассматривать в дальнейшем 9 Неопределённые выражения f ( ) В п 7 рассматривались выражения вида f ( ) ( ), f ( ) ( ), в ( ) предположении, что f () и () стремятся к конечным пределам (в случае частного lim ( ) 0) Рассмотрим на примерах некоторые случаи, когда пределы бесконечны, либо пределы знаменателя и числителя равны нулю I Неопределённость вида 0 0 Пример Рассмотрим f ( ) и ( ) - бм при f ( ) ( ) lim lim lim 0, lim lim ( ) f ( ) si Пример f ( ) si, ( ) -бм при 0 lim 0

25 Пример Рассмотрим две бм последовательности ( ) и y, тогда последовательность ( ) имеет вид,-,,-, Очевидно, что предел y последовательности не существует Видно, что в зависимости от конкретного закона стремления к нулю числителя и знаменателя предел частного может быть конечным, бесконечным или не существовать вовсе Ситуация, при которой пределы числителя и знаменателя 0 равны нулю, обозначается и называется неопределённостью Её можно 0 представить как борьбу двух тенденций: числитель пытается устремить дробь к нулю, а знаменатель, стремясь к нулю, увеличить дробь сколь угодно велико Термин раскрыть неопределённость подразумевает выяснение того, какая из тенденций сильнее, или они уравновешивают друг друга II Неопределённость вида Её можно охарактеризовать как борьбу числителя, который стремится увеличить дробь сколь угодно велико, со знаменателем, пытающимся её уменьшить до нуля Пример f ( ), ( ) бб при 0 f ( ) lim lim ( победил числитель) 0 ( ) 0 ( ) Пример lim lim 0 ( победил знаменатель) 0 f ( ) 0 Пример lim lim 8 8 так как lim 0 и lim 0 IIIНеопределённость вида 0 lim 8 Пример f ( ) si( ) - бм, а ( ) - бб при ( ) si( ) 0 lim si( ) {0 } lim ( ) ( ) 0 si( ) si( -) lim, ткlim,а lim -, 5

26 Пример f ( ) si - бм, ( ) - бб при Обозначим t, тогда при t 0 0 si t si t si t lim si lim lim t lim lim t 0 0 t00 t t00 t t00 t t00 cos5 5 Пример lim ctg5 lim lim cos5, 0 0 si 5 0 si так как lim cos5,lim 0 0 si 5 К неопределённостям относятся и следующие ситуации " 0 0 ", " "," ( )", " ( )", " ( )", рассмотреть которые не позволяет малый объём методического пособия Приведём ещё несколько примеров раскрытия неопределённостей 5 0 ( )( 5) 5 6 Пример lim lim lim 3 0 ( )( ) Пример si t t 0 si( t) si t lim lim = lim t t 0 t( t) 0 t t t arcsi t t 0 arcsi t t Пример lim lim lim 0 si 0 si 0 t t si t t t Пример lim ( 8) ( ) ( lim ( 8)( 8) 8) lim lim 0 ( 0 8 lim 8 9 ( ) 8 ) 3 lim ( ) 8 6

27 0 Классификация бесконечно малых функций Определение 33 Пусть () и () -бм при c ( ), тогда если ( ) ) lim A, ( ) где A конечное, не равное нулю число, то ( ) и () ( c ) называются бм одного порядка при c ( ); ( ) ) lim 0, то () называется бм более высокого порядка, чем ( ) ( c ) () при c ( ) Этот факт обозначается () =o ( () ) ( () есть о - малое относительно () ) ( ) 3) lim, то () -бм более высокого порядка, чем (), при ( ) c( ( c ) ) Определение 3 Пусть () и () -бм при c ( ( ) ( ) ) и lim, ( c ) тогда () и () называются эквивалентными бм при c ( ) Этот факт обозначается ( ) ~ ( ) при c ( ) Пример Покажем, что 0 ( ) cos и si si ( ) cos lim lim lim lim 0 ( ) 0 0 0, что и требовалось доказать Пример Покажем, что e ~ при 0 ( ) эквивалентные бм при si si lim 0 e e t t 0 t lim lim 0 l( ) 0 t е l(t ) При вычислении предела воспользовались формулой (5) Пример Покажем, что ( ) есть бм более высокого порядка, чем ( ) 3 при 7

28 ( ) lim lim lim lim 0 0 ( ) 3 5 Иногда необходима более точная характеристика поведения бм, выражаемая числом В этом случае в качестве эталона выбирают простейшую бм, её называют основной Например, при 0 это, при это, при это Определение35 () -бм к- го порядка относительно () при c ( ) ( ), если lim A, k ( ( )) где A конечно и не равно нулю ( c ) Пример Определим порядок малости ( ) при 0 В этом случае ( ) ( ) lim ( ( )) 0 lim 0 k k ( lim 0 k ) 0,,, Следовательно, () -бм второго порядка при 0 lim lim 0 k 0 ( Заметим, что lim 0 k при k=, то есть ( ) -бм -го порядка малости при 0 Пример Определим порядок малости ( ) si 3 при, то есть сравним с ( ) si 3 si si lim t t 0 lim lim t t 3 0 3k 0 3k k ( ) t t t t si t lim при k t0 3k t t 3 ( k ( ) )( ) ) k k k 8

29 Следовательно, () имеет порядок малости при 3 0 : Приведём таблицу основных эквивалентных бесконечно малых при si ~, cos ~, tg ~, log a( ) ~, l a arcsi ~, a ~ l a, arctg ~, ( ) ~ e ~, l( ) ~, Теоремы о бесконечно малых функциях Сформулируем теоремы, облегчающие нахождение пределов функций Теорема 5 f () и () эквивалентные бм при c ( ) тогда и только тогда, когда f ( ) ( ) o( ( )) (разность эквивалентных бм есть бм более высокого порядка) Теорема 6 Сумма бесконечно малых разных порядков эквивалентна бм наименьшего порядка Доказательство ~ ~ ~ Пусть ( ) и k k ( ) - бм и ( ) ~ c ( ( )), ~ c ( ( )), где () -бм Пусть k, тогда ( ) -бм более высокого порядка малости, чем ( ) ~ k ~ ~ ~ ~ k ( ) ( ) c c kk lim lim( ) lim( ) lim( ), ~ ~ ~ k так как a c c k k 0 и lim k k 0, что и требовалось доказать Теорема 7 Произведение бесконечно малых эквивалентно произведению эквивалентных бесконечно малых (без доказательства) Теорема 68 Предел отношения бм равен пределу отношения эквивалент-ных бм, если этот предел существует Доказательство Пусть ~ ~ ~, ~ ~ ~ ~, тогда по теореме 5 o ( ), o ( ) ~ 9

30 ~ o( ) ( ) o( ) lim ~ lim lim lim, o( ) () ( ) o( ) o ( ) так как lim 0 и lim o =0 по определению бм более высокого порядка малости Можно доказать справедливость этого утверждения, если предел отношения бесконечен Пример cos lim lim 0 si( ) 0 si e si Пример lim lim lim 0 arcsi 0 arcsi 0 При вычислении использовали теорему 6: si e ~ si, так как si ~ бм первого порядка, а e ~ бм второго порядка Пример l cos t lcos( t ) l cos t l( (cos t )) lim lim lim lim tg 0 tg ( ) 0 tg 0 t t t t t t tg t t cos t lim lim t 0 0 t t t В этом примере использовали тот факт, что ( u cost ), и tg t ~ t при t 0 l( u ) ~ u при u 0 Классификация бесконечно больших функций ( c ) Напомним, что к бб- функциям относятся функции, пределы которых при c или равны Определение 36 Пусть f () и () -бб при a ( ), тогда если f ( ) ) lim A 0 ( A конечное), то f () и () называется бб одно- ( ) го порядка роста при c ( ); f ( ) ) lim 0, то () -бб высшего порядка роста, чем f () при ( ) c( ( c ) ); 30

31 f ( ) 3) lim, то f () - б б высшего порядка роста, чем () при ( ) ( c ) c ( ) Определение 37 f () и () - эквивалентные бб при c ( f ( ) lim c ( ) ( ) ), если Определение 38 Бб f () имеет к - й порядок роста относительно бб () f ( ) при a ( ), если lim A 0 k ( A конечное) ( ( )) ( c ) Пример f ( ), ( ) 3 3 бб при f ( ) lim lim lim ( ) (3 ) то есть f () и () одного порядка роста lim 3 3, 3 3 Определение непрерывной функции Классификация точек разрыва Определение 39 Пусть функция f () определена при c и в некоторой окрестности точки c Если существует lim f ( ) и lim f ( ) f ( c), то функция называется непрерывной в точке c Согласно теореме 5 это означает, что lim f ( ) lim f ( ) f ( c) c c0 c c0 Определение 0 Пусть функция f () определена в окрестности точки c, но не определена в самой точке c, или её значение в точке c не равно lim f ( ), или lim f ( ) не существует Тогда c - точка разрыва функции c Определение Пусть c -точка разрыва функции f () и lim f ( ) c 0, lim f ( ) c 0 конечные Тогда точка c называется точкой разрыва -го рода Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, точка c назы- c 3

32 вается точкой разрыва -го рода На рис 3 точки c и c - точки разрывов -го рода, точки c 3 и c - -го рода Рис 3 Заметим, что если бы f ( c ) a, то f () была бы непрерывна в точке c Это возможно в силу того, что односторонние пределы равны Такой разрыв называется устранимым разрывом -го рода Непрерывность функции даёт возможность заменить нахождение предела функции простой подстановкой вместо независимой переменной её предела, чем и пользовались в предыдущих параграфах при нахождении пределов Все рассмотренные элементарные функции непрерывны при всех, в которых они существуют Примем это без доказательства, а в качестве при-мера докажем непрерывность функции f ( ) si, то есть докажем, что lim si si c для всех c ( ; ) c c c c si si c si cos si c, если достаточно близко к c Следовательно, если c, то si si c, где - произвольно положительное число ( ( ) в данном случае) Определение Функция f () непрерывна на множестве X, если она непрерывна во всех точках этого множества 3

33 Например, f ( ) si непрерывна на ( ; ) Теоремы о непрерывных функциях Теорема 9 Пусть (y) определена на [ c, d], f ( ) на [ a, b], причём значения f ( ) [ c, d] Если f () непрерывна в точке 0 ( a, b), а (y) в точке y 0 f ( 0 ), то сложная функция ( f ( )) непрерывна в точке 0 Пример Функцию f ( ) arctg можно представить как сложную фун-кцию g( y) arctg y, где y( ) Функция g (y) непрерывна на ( ; ), y() непрерывна во всех точках кроме 0, следовательно, f () непрерывна во всех точках кроме 0 Так как lim arctg lim arctgt 00, а t lim arctg lim arctgt, 00 то 0 -точка неустранимого разрыва -го рода t Теорема 30 Сумма фиксированного числа непрерывных функций есть непрерывная функция c Доказательство (для двух) Пусть функции f ( ) и f ( ) непрерывны в точке c, тогда по теореме о пределе суммы lim( f( ) f( )) lim f( ) lim f( ) f( c) f( c), что и требовалось доказать c c Теорема 3 Произведение фиксированного числа непрерывных функций есть непрерывная функция Теорема 3 Частное непрерывных в точке c функций непрерывно в точке c, если знаменатель при c не равен нулю Теорема 33 (Первая теорема Больцано-Коши) Пусть f () определена и непрерывна на [ a, b] и f ( a) f ( b) 0 (на концах принимает значения разных знаков) Тогда существует точка c ( a, b), в которой f ( c) 0 (рис ) Теорема 3 (вторая теорема Больцано-Коши) 33

34 Пусть f () определена и непрерывна на промежутке [ a, b], f ( a) A, f ( b) B и A B, тогда для любого числа C [ A, B] существует по крайней мере одна точка c [ a, b], такая, что f ( c) C (рис 5) Можно сказать и так: значения, принимаемые непрерывной функцией f (), когда непрерывно изменяется в некотором промежутке на оси O сплошь заполняют некоторый промежуток на оси Oy y B C A O a c b Рис Рис 5 Теорема 35 (Теорема Вейерштрасса) Если f () определена и непрерывна на [ a, b], то она достигает на этом промежутке своего наибольшего и наименьшего значений по крайней мере один раз (рис 6) Из теоремы 35 следует, что непрерывная на замкнутом промежутке функция является ограниченной Рис 6 3

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

1 Степень с целым показателем

1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

Функция одной переменной

Функция одной переменной Функция одной переменной Предел функции в точке и непрерывность функции. Точки разрыва. Определение функции. Функцией называется зависимость между двумя переменными (У и Х) в которой каждому значению независимой

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

Введение в математический анализ

Введение в математический анализ Бубнов ВФ, Веременюк ВВ курс лекций для студентов строительных специальностей Введение в математический анализ 3 г ОГЛАВЛЕНИЕ Множества и операции над ними 3 Множества и их элементы 3 Подмножества Операции

Подробнее

Глава 1. Теория пределов

Глава 1. Теория пределов Глава. Теория пределов.. Числовые последовательности Пусть дано некоторое множество Х. Сопоставим каждому натуральному числу какой-либо определенный элемент X. Получится функция = f: X. () Такая функция

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения 1 Прикладная математика Лекция 1 Числа. Корни. Степени. Логарифмы Различные виды чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные. Действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

МАТЕМАТИКА Введение в математический анализ

МАТЕМАТИКА Введение в математический анализ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Иркутский государственный технический университет Заочно-вечерний факультет Кафедра общеобразовательных дисциплин

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ МОДУЛЬ 1 «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ»

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ МОДУЛЬ 1 «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ» А.В. Гласко ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ МОДУЛЬ «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ» Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана 3 Лекция. Логическая символика. При записи математических выражений будем использовать

Подробнее

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Пусть X и Y Некоторые числовые множества Если каждому по некоторому правилу F ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что Задана

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА НА Кулагина МВ Черепанова ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ -е издание, исправленное Новосибирск 04 УДК 5 ББК К90 Рецензенты БП Зеленцов д-р техн наук, профессор

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Математический анализ-1

Математический анализ-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-1 Баку - 2015 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-1.

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Российский государственный педагогический университет им АИ Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет-упи» РМ Минькова Дифференциальное исчисление функции одной переменной Учебно-методическое пособие Научный

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Летняя школа МФТИ Лекции по математике. Курс Николаева Ю.П. 1. Гиперболический логарифм.

Летняя школа МФТИ Лекции по математике. Курс Николаева Ю.П. 1. Гиперболический логарифм. Летняя школа МФТИ 04. Лекции по математике. Курс Николаева Ю.П.. Гиперболический логарифм. Умножение чисел существенно более трудоемкая операция, чем сложение. Логарифмы позволяют свести умножение к сложению.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Решение уравнений. Полезные сведения

Решение уравнений. Полезные сведения Решение уравнений Полезные сведения Решение уравнений сводится к тождественным преобразованиям выражений, стоящих слева и справа от знака равенства. Преобразования считаются тождественными и между последовательно

Подробнее

Глава 4 Элементарные функции и их графики.

Глава 4 Элементарные функции и их графики. Глава Элементарные функции и их графики Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований Построить график функции y f () по известному графику y f () При одном и том же значении ординаты

Подробнее

Математический анализ в вопросах и задачах

Математический анализ в вопросах и задачах ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Математический

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

Глава 2. Пределы функций одной переменной.

Глава 2. Пределы функций одной переменной. Глава Пределы функций одной переменной Предел переменной величины Определение Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного числа ε > можно указать такое

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwthetspru Гущин Д Д СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее