29. Векторный анализ первого порядка (теория поля)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "29. Векторный анализ первого порядка (теория поля)"

Транскрипт

1 9 Векторный анализ первого порядка (теория поля) Пусть каждой точке какого-либо реального множества E трёхмерного пространства соответствует число U ( ) или вектор F ( ) В этом случае говорят о скалярном или векторном поле (например, поле температур; поле скоростей частиц жидкости) Для их исследования и применения теории в пространстве выбирается система координат, и вводятся новые понятия некоторые характеристики поля, причём в определениях используются координаты, но затем доказывается независимость понятия от выбора системы координат Скалярное поле Значения U ( ) функции в реальном поле не зависят от выбора системы координат, но после выбора этой системы речь пойдёт о функции U (,, ) Пусть на области E эта функция гладкая Производная по направлению В реальном поле фиксированы точка и единичный вектор s ( s ), не зависящие от выбора системы координат Векторы N коллинеарны орту s U U ( N) U ( ) Определение Производная по направлению lim s N N Это понятие, очевидно, не зависит от выбора системы координат Но для вычисления производной используются координаты: s ( Cos, Cos, Cos ), (,, ), где,, углы, которые образует вектор s с осями координат Введём композицию f ( t) U ( t Cos, t Cos, tcos ), где t N U U U U U / s lim[ f ( t) f (0)]/ t f ( t), Cos Cos Cos t0 t0 s Градиент и поверхность уровня U U U Определение Градиент gradu,, U Следовательно, gradu s gradu s Cos, где угол между s векторами Скалярное произведение максимально при коллинеарности векторов, поэтому градиент направлен в сторону наибольшего увеличения функции, а модуль градиента равен наибольшей производной по направлению Направление и производная по направлению не зависят от выбора системы координат, следовательно, градиент не зависит от этого выбора Поверхность U (,, ) const называется поверхностью уровня Пусть все точки E неособые, те ( U, U, U ) (0,0,0) Направляющие коэффициенты U, U, U нормали к этой поверхности U (,, ) 0, заданной неявно, координаты градиента, градиент ортогонален поверхности уровня

2 Вектор операций частного дифференцирования первого порядка называется оператором Гамильтона:,, (набла) U gradu Векторное поле Пусть каждой точке реального трёхмерного поля соответствует некоторый трёхмерный вектор F F () После выбора системы координат поле описываем вектор-функцией F ( P,R ) трёх переменных,, П Гравитационное поле материальной точки с массой m (см выше) П Скалярное поле порождает векторное поле градиента Векторные линии, поверхности, трубки Определение Векторной линией поля F называется гладкая кривая, в каждой точке которой вектор F ( ) направлен по касательной к кривой П В гравитационном поле материальной точки это лучи к точке Магнитные линии в магнитном поле Если F скорость частицы в потоке жидкости, то векторная линия траектория движения частицы Определение Поверхность, состоящая из всех векторных линий, проходящих через заданную кривую, называется векторной поверхностью Если это кривая пространственный контур, то поверхность называется векторной трубкой или соленоидом П В гравитационном поле точки векторная трубка коническая поверхность с выколотой вершиной в этой точке Потенциальное поле, восстановление потенциала Определение Векторное поле F называется потенциальным, если существует такое скалярное поле U, что F gradu Функция U называется потенциалом поля Критерий потенциальности Пусть область E поверхностно односвязная (для любого контура E есть поверхность E, ) Из определений потенциального поля F ( P, и градиента следует: выражение Pd Qd Rd является дифференциалом U d U d Ud Было доказано: для этого необходимо и достаточно выполнение в области E тождеств: R Q, P R, Q P, () а функция U может быть восстановлена любым из интегралов A Pd Qd Rd, Pd Qd Rd, () где A произвольная фиксированная точка области E, второй же интеграл возможен только в случае неограниченного поля Итак: Если векторное поле ( P, определено в поверхностно односвязной области, то для его потенциальности необходимо и достаточно выполнение тождеств () в этой области Потенциалы могут быть восстановлены интегралами ()

3 П Гравитационное поле F m / r, / r, / r, U m / r U Проверка: ( m( m / r / ) ) и т п Поток векторного поля В области E заданы: гладкая поверхность и её сторона, которой соответствует единичная нормаль n Определение Потоком векторного поля F через сторону поверхности называется интеграл F nd Поток не зависит от выбора системы координат, т к векторы F, n и поверхность в реальном поле не зависят от этого выбора Но при вычислении потока используются координаты: F ( P,, n ( Cos, Cos, Cos ), F nd ( PCos QCos RCos ) d Pdd Qdd Rdd Если сторона поверхности попутная (или встречная ) относительно вектора F, т е угол между векторами F и n острый (или тупой), то поток положителен (или отрицателен) Если замкнутая поверхность, те граница тела, то в определении потока имеется в виду внешняя сторона поверхности Источники и стоки поля, дивергенция вектора Поток через замкнутую поверхность может быть и ненулевым (например, в реку поступают ручьи и родники, поэтому выход воды увеличивается) Если поток положительный, то в теле V, ограниченном поверхностью, есть источник поля; если поток отрицателен, то имеется сток Определение Плотностью источника или стока в точке F nd V V называется lim V V Стягивание V означает V, diamv 0 ; V объём тела V Понятие плотности, очевидно, не зависит от выбора системы координат Пусть область E пространственно односвязная, те ( D E) ( D E) Тогда является полной границей тела V Вычисление плотности производится по формуле Гаусса-Остроградского после выбора системы координат: F nd ( P Q R ) dv Дифференцируя тройной интеграл от непрерывной функции по области, устанавливаем, что плотность источника или стока в точке является значением ( P Q R ) Определение Дивергенцией вектора F называется функция P Q R divf F Она не зависит от выбора системы координат Физический смысл дивергенции она является плотностью источника или стока Если div F 0 ( 0) в точке, то в этой точке источник ( сток)

4 Формула Гаусса-Остроградского в векторной форме F nd divf dv F dv, V где n единичная внешняя нормаль к границе V Поток векторного поля через внешнюю сторону границы области равен интегралу по этой области от плотности источника или стока Соленоидальное поле, интенсивность векторной трубки Гладкая вектор-функция F определена на пространственно односвязной области E Определение Векторное поле F называется соленоидальным, если div F 0 Это означает, что в соленоидальном поле нет источников и стоков Из формулы Гаусса-Остроградского следует: в соленоидальном поле для любой замкнутой поверхности (т е границы некоторого тела) E поток F n d 0 В произвольной векторной трубке произведём сечения, и обозначим боковую поверхность трубки между сечениями Интеграл по внешней стороне поверхности k k : 0 F nd k V k F nd На боковой поверхности F n, F n 0, поток через неё F n d 0 Поэтому сумма потоков через противоположные стороны сечений равна нулю, следовательно, потоки через одинаковые стороны сечений равны Итак: В соленоидальном поле поток вектора через любое сечение векторной трубки в заданную сторону величина постоянная Она называется интенсивностью векторной трубки Циркуляция векторного поля Определение Циркуляцией вектора F ( P, вдоль контура в указанном направлении называется интеграл F ds Pd Qd Rd Векторы и контур не зависят от выбора системы координат, поэтому понятие циркуляции тоже не зависит от этого выбора Пусть область E, где задано векторное поле, поверхностно односвязная Для того, чтобы циркуляция по любому контуру была нулевой, необходимо и достаточно (как было доказано раньше), чтобы выражение Pd Qd Rd было полным дифференциалом некоторой функции, а для этого необходимо и достаточно, чтобы в области E выполнялись равенства (), те чтобы все миноры второго порядка в матрице были нулевые Но это P Q R условие потенциальности поля Итак:

5 Для потенциальности векторного поля в поверхностно односвязной области E необходимо и достаточно, чтобы циркуляция вектора была нулевой по любому контуру E Ротор (вихрь) Сначала вспомним некоторые формулы векторной алгебры Орты i, векторы a a ), ( ), c ( c ) ( i, ) Векторное произведение: ( i i i Смешанное произведение: a a a a () Далее Оператор Гамильтона, c ( a ) c c ( a ) a a a (4) c c, Пусть область E поверхностно односвязная, а незамкнутая гладкая поверхность имеет гладкую границу контур Указаны сторона поверхности и соответствующие ей: единичная нормаль n ( Cos, Cos, Cos ) и направление обхода контура Для вектор-функции F ( P, была установлена формула Стокса: циркуляция Cos Cos Cos F ds Определение Ротором называется вектор P Q R d (5) rot F P Q R (См ()) Определитель понимается как вектор, который получается после формального разложения определителя по элементам первой строки, координатами ротора являются алгебраические дополнения этих элементов: R Q P R Q P rot ( P Q R ) (см (5) и (4)): Формула Стокса в векторной форме F ds rot F n d ( F) nd Циркуляция векторного поля вдоль контура равна потоку ротора через соответствующую сторону поверхности, натянутой на этот контур (Известно, что ротор является характеристикой вращательной составляющей поля) Докажем независимость понятия ротора от выбора системы координат F

6 Ротор является векторной суммой своих компонент по любым взаимно ортогональным направлениям Поэтому достаточно показать, что модуль rot F n проекции ротора на любое направление n ( n ) не зависит от этого выбора Фиксируем произвольные точку круг с центром в точке, E и направление n Построим плоский n, выделим сторону, соответствующую направлению данной нормали n В результате дифференцирования двойного интеграла от непрерывной функции по области, устанавливаем, что значение ( rot F n) lim rotf nd / lim F ds /, согласно формуле Стокса (здесь площадь круга) Но циркуляция и площадь не зависят от выбора системы координат Поэтому любые компоненты ротора не зависят от этого выбора, следовательно, не зависит ротор Безвихревое поле На поверхностно односвязной области определено векторное поле Определение Векторное поле F называется безвихревым, если rot F 0 Следовательно, здесь координаты ротора нули, поэтому миноры порядка матрицы нули Отсюда следует: понятия безвихревого и по- P Q R тенциального полей совпадают

С.Н.Куприянова. Теория поля Методические указания

С.Н.Куприянова. Теория поля Методические указания С.Н.Куприянова Теория поля Методические указания Содержание. Скалярные и векторные поля... 4. Поток векторного поля через поверхность... 7 3. Циркуляция векторного поля вдоль кривой... 4. Дивергенция.

Подробнее

Билет Определение векторной функции одной и многих переменных. 2. Инвариантное определение дивергенции векторного поля.

Билет Определение векторной функции одной и многих переменных. 2. Инвариантное определение дивергенции векторного поля. Билет 1 1. Определение векторной функции одной и многих переменных. 2. Инвариантное определение дивергенции векторного поля. Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода: I = (x 2 + y 2 ) ds, где S граница

Подробнее

u x y z называется векторная функция

u x y z называется векторная функция x z ) Скалярное поле определено функцией e Построить поверхности уровня для, e, 4. Определение. Градиентом скалярного поля,,. Найти градиент поля в точке ; ; u x z называется векторная функция u u u u

Подробнее

Методическое пособие для проведения практических занятий и курсового проекта по теме «Теория поля»

Методическое пособие для проведения практических занятий и курсового проекта по теме «Теория поля» МАТИ РГТУ им. К. Э. Циолковского Методическое пособие для проведения практических занятий и курсового проекта по теме «Теория поля» Авторы: Заварзина И.Ф. Кулакова Р.Д. Москва г ВВЕДЕНИЕ. Данные методические

Подробнее

Лекция 5. Вихрь и дивергенция

Лекция 5. Вихрь и дивергенция 1 С. А. Лавренченко www.lawrenceno.ru Лекция 5 Вихрь и дивергенция На этой лекции мы познакомимся с оператором набла через который выражаются все операции векторного анализа в том числе такие важные характеристики

Подробнее

Дифференциальные операции в скалярных и векторных полях

Дифференциальные операции в скалярных и векторных полях Дифференциальные операции в скалярных и векторных полях Основные понятия и формулы 1. Скалярное поле. Пусть G область в трехмерном пространстве (или на плоскости). Говорят, что в области G задано скалярное

Подробнее

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида: Лекция 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Факультатив. Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей. W. = мы получили E= ϕ. ϕ r E dl

Факультатив. Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей. W. = мы получили E= ϕ. ϕ r E dl Факультатив Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей W F ' ϕ и E ϕ r E d q' q' = мы получили E= ϕ и из ( ) r Тогда, повторив выкладки, мы из равенства W( r) ( F, d) = r получим

Подробнее

Лекция 4. Потенциальные векторные поля

Лекция 4. Потенциальные векторные поля С А Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Потенциальные векторные поля Понятие потенциальности Пусть f скалярная функция двух переменных Вспомним с лекции 5 (модуль «Функции нескольких переменных»), что

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ВИХРЕВЫЕ ТЕОРЕМЫ

ЛЕКЦИЯ 3 ВИХРЕВЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛЕКЦИЯ 3 ВИХРЕВЫЕ ТЕОРЕМЫ Вспомним основные свойства и термины, которые будут использованы в вихревых теоремах: 1. Циркуляция векторного поля криволинейный интеграл, взятый по замкнутому контуру. Γ = u

Подробнее

ГЛОССАРИЙ. Методические указания. Часть III

ГЛОССАРИЙ. Методические указания. Часть III МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) ГЛОССАРИЙ Методические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Задание 1. Рис. 1: К задаче 1. F = x 2 i + y 2 j + z 2 k. z = R2 x 2 y 2 z = 0 Решение: Преобразуем функцию, которая задает поверхность к виду:

Задание 1. Рис. 1: К задаче 1. F = x 2 i + y 2 j + z 2 k. z = R2 x 2 y 2 z = 0 Решение: Преобразуем функцию, которая задает поверхность к виду: Задание.. Вычислить поток Π векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали, образующей острый угол с осью OZ. Вычислить по теореме Гаусса-Остроградского поток Π векторного поля F через внешнюю

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ Chair of Math. Analysis, SPb. State University. http://www.math.spbu.ru/analysis/tutorial/ Nov. 4, 2004 А. А. ЛОДКИН Цель настоящего пособия описать инвариантную (бескоординатную)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. В.И. Филиппенко ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. В.И. Филиппенко ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса В.И. Филиппенко ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Электронное учебное пособие для студентов курсов всех

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N49. Векторное поле. Поток векторного поля. Теорема Остроградского- Гаусса.

ЛЕКЦИЯ N49. Векторное поле. Поток векторного поля. Теорема Остроградского- Гаусса. ЛЕКЦИЯ N9 Векторное поле оток векторного поля еорема Остроградского- Гаусса Скалярные и векторные поля роизводная по направлениюградиент оток векторного поля через поверхность Задача о потоке жидкости

Подробнее

3 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

3 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 3 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В данном разделе мы будем изучать свойство потенциальности на примере электростатического поля в вакууме, созданного неподвижными электрическими зарядами.

Подробнее

Часть I. Элементы теории поля

Часть I. Элементы теории поля Часть I Элементы теории поля Лекция Скалярное поле Определение скалярного и векторного полей Определение скалярного поля Предположим что в каждой точке части пространства D задана какая-либо скалярная

Подробнее

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G.

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G. Площадь поверхности Основные понятия и теоремы 1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции z = f(x, y), (x, y) G. (1) Задание поверхности уравнением

Подробнее

Билеты по математическому анализу 4 семестр 2010 год

Билеты по математическому анализу 4 семестр 2010 год Билеты по математическому анализу 4 семестр год Списоквопросов: Двойной интеграл его основные свойства Вычисление двойных интегралов 3 Двойные интегралы в полярных координатах Вычисление e 4 Тройной интеграл

Подробнее

«Векторный и Тензорный анализ» по направлению

«Векторный и Тензорный анализ» по направлению Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) «Векторный и Тензорный анализ» по направлению 14.03.02 Ядерные физика и технологии (профиль Радиационная безопасность человека и окружающей среды) 1. Цели

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Векторные линии Поток векторного поля 4 Дивергенция векторного поля Лекция ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Определение Стационарным векторным полем называется пространство

Подробнее

Контрольная работа 2

Контрольная работа 2 Глава 15 Контрольная работа 15.1 Предварительные замечания В отличие от предыдущей контрольной, посвященной главным образом вычислению поверхностных и криволинейных интегралов, здесь в основном тестируется

Подробнее

Теория электромагнитного поля. Лекция 1.

Теория электромагнитного поля. Лекция 1. Теория электромагнитного поля. Лекция 1. Кафедра ТОЭ, СПбГПУ, доц. А.Г. Калимов 15.10.2014 1 Разработка курса Автор курса Калимов Александр Гелиевич, доцент кафедры Теоретических Основ Электротехники Санкт-Петербургского

Подробнее

x) dl ACDB. = B A , (5.1) dl tdl. (5.2)

x) dl ACDB. = B A , (5.1) dl tdl. (5.2) 5 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ТЕНЗОРНОМ ПОЛЕ В некоторых приложениях тензорного анализа иногда возникает необходимость в вычислении интегралов тензорных полей по линии, поверхности или по объему В этой главе рассмотрим

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. Методические указания

Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. Методические указания Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Методические указания Ульяновск Министерство образования Российской Федерации Ульяновский

Подробнее

Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА. Понятие о циркуляции скорости

Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА. Понятие о циркуляции скорости Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА Понятие о циркуляции скорости В аэрогидромеханике важную роль играет понятие циркуляции скорости Г. Выделим в движущейся сплошной среде некоторый

Подробнее

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14 Содержание Используемые обозначения... 12 1. Числовые множества и операции с числами... 14 1.1. Числовые множества...............................14 1.2. Числовые промежутки...16 1.3. Признаки делимости...17

Подробнее

Лекция 11. Основные понятия теории поля. Скалярное поле.

Лекция 11. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Лекция 11 Основные понятия теории поля Скалярное поле Теория поля раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля К рассмотрению скалярных и векторных полей

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Понятие скалярного и векторного полей

Понятие скалярного и векторного полей Понятие скалярного и векторного полей Определение 1. Говорят, что в некоторой области Ω задано поле, если каждой точке Ω соответствует определенное значение некоторой величины скалярной или векторной.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики Методические указания по математическому анализу для студентов второго курса ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО

Подробнее

Основные понятия теории поля

Основные понятия теории поля Глава 9 Основные понятия теории поля 9.1 Необходимые сведения из теории Данное занятие посвящено знакомству с основными понятиями и дифференциальными операциями теории поля. Как известно, математическая

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Московский физико-технический институт. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр)

Московский физико-технический институт. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр) Московский физико-технический институт РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр) Москва 2002 Составитель Л.Д. Кудрявцев УДК 517 Рекомендуемые вопросы по курсу математического

Подробнее

3.6. Поток и циркуляция вектора магнитной индукции.

3.6. Поток и циркуляция вектора магнитной индукции. 1 3.6. Поток и циркуляция вектора магнитной индукции. 3.6.1.Поток вектора магнитной индукции. Как и любое векторное поле, магнитное поле может быть наглядно представлено с помощью линий вектора магнитной

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1)

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1) 4 ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид ot E, div E ρ (4 Безвихревой характер поля позволяет ввести скалярный потенциал электрического поля: E gad, для которого

Подробнее

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

Подробнее

Глава 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава 7 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Пусть { r = ( uv, ) ( uv, ) } непрерывно дифференцируемая поверхность, а квадрируемая область Рассмотрим разбиение плоскости переменных u и v на квадраты

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

òò, где поверхность S : 1

òò, где поверхность S : 1 ОБЩИЙ ЗАЧЕТ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) Площадь поверхности Поверхностные интегралы первого рода Приложения Найдите поверхностные интегралы I рода d, где поверхность : + y + z =, Î- [ ], y Î-

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия над матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

29. Условия на границе раздела двух сред.

29. Условия на границе раздела двух сред. 29 Условия на границе раздела двух сред div( D) = ρ Для электрического поля уравнения Максвелла 1 B для D2n D1n = σ границы раздела двух сред превращаются в граничные условия, E2τ E1τ где n= n1 2, σ поверхностная

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В.

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В. Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени СА Есенина» АП Мелехов КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

Министерство народного образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 2»

Министерство народного образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 2» Министерство народного образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» СБОРНИК ЗАДАЧ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ по темам «Кратные интегралы», «Криволинейные

Подробнее

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t)

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t) 1 Кинематика точки Задачи (,, положительные постоянные, e, e, ez - орты осей X, Y и Z) 1 Материальная точка движется вдоль оси по закону: ( ) cos ω Найдите проекцию скорости V () Материальная точка движется

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания»

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания» Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том 3, под ред. Рябушко А.П. для студентов дневной формы

Подробнее

Лекция 3. Криволинейные интегралы второго рода Формула Грина

Лекция 3. Криволинейные интегралы второго рода Формула Грина С А Лавренченко wwwlwrencenkoru Лекция Криволинейные интегралы второго рода Формула Грина На лекции мы изучали криволинейный интеграл -го рода интеграл f ds от скалярной функции f по данной кривой На этой

Подробнее

Глава 6. Основы теории поля. 6.1 Скалярное поле

Глава 6. Основы теории поля. 6.1 Скалярное поле Глава 6 Основы теории поля В предыдущих главах уже широко применялись понятия векторных и скалярных функций, а также, заимствованные из физики, понятия векторных и скалярных полей. Поясним их различие

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности План лекции. Понятие элементарной поверхности и способы ее

Подробнее

Приложения теории поля

Приложения теории поля Глава 13 Приложения теории поля 13.1 Необходимые сведения из теории Как известно, векторный анализ широко применяется в самых разнообразных разделах физики, от механики и электродинамики, до статистической

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

«Строительство» 1 семестр

«Строительство» 1 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление 270800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-1». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 4 Практические занятия

Подробнее

интегралы» Методические указания по теме «Криволинейные и поверхностные

интегралы» Методические указания по теме «Криволинейные и поверхностные Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Микроцели изучения модуля В результате изучения данного раздела студенты должны знать понятие линии, гладких и плоских линий, естественной параметризации понятие

Подробнее

Обновлено 4 сентября 2014 г. Лекция 1

Обновлено 4 сентября 2014 г. Лекция 1 Лекция 1 Глава V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение) 6. Теорема об обратной функции Замечание разрешимости системы линейных уравнений Ax = y, m = n, m > n, m < n. Теорема

Подробнее

ориентированной двусторон- ней, односто- ронней. Интеграл по ориентированной фигуре от векторной функции.

ориентированной двусторон- ней, односто- ронней. Интеграл по ориентированной фигуре от векторной функции. 327 Линия (L называется ориентированной, если на ней выбрано направление перемещения. Для гладкой линии (L в качестве ориентирующего вектора bp может быть выбран единичный вектор касательной τ ( P, направленный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции. 1. Циркуляция вектора B Циркуляция вектора B это интеграл вида:

ЛЕКЦИЯ 9. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции. 1. Циркуляция вектора B Циркуляция вектора B это интеграл вида: ЛЕКЦИЯ 9 Циркуляция и поток вектора магнитной индукции Вектор магнитной индукции физическая величина, характеризующая магнитное поле точно так же, как напряженность электрического поля характеризует электрическое

Подробнее

Однородным называется электростатическое поле, во всех напряженность одинакова по величине и направлению, т.е. E const.

Однородным называется электростатическое поле, во всех напряженность одинакова по величине и направлению, т.е. E const. Тема ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА Силовые линии напряженности электростатического поля Поток вектора напряженности 3 Теорема Остроградского-Гаусса 4 Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчету

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть III Москва 215 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть III. Учебное пособие. М.: Физический факультет МГУ, 215. 233 c. Учебное

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Тверской государственный технический университет. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Тверской государственный технический университет. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Тверской государственный технический университет Кафедра высшей математики РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ Тверь - - Руководство предназначено

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

12.1 Необходимые сведения из теории

12.1 Необходимые сведения из теории Глава 12 Формула Стокса 12.1 Необходимые сведения из теории На этом занятии мы будем практиковаться в использовании формулы Стокса, сводящей интеграл по некоторому замкнутому контуру к поверхностному интегралу

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Поверхностные интегралы первого рода Поверхностные интегралы -го рода представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интеграла

Подробнее

Лекция 6. Поверхностные интегралы второго рода

Лекция 6. Поверхностные интегралы второго рода С А Лавренченко wwwlawrencenor Лекция 6 Поверхностные интегралы второго рода Рис Conertible in the rain Фото schroepfe: http://wwwflicrcom/photos/schroepfer/553073389/ Перед прослушиванием этой лекции

Подробнее

Глава 13 Элементы теории поля и векторного анализа. 1 Понятие о задачах векторного анализа

Глава 13 Элементы теории поля и векторного анализа. 1 Понятие о задачах векторного анализа 346 Глава 3 Элементы теории поля и векторного анализа Понятие о задачах векторного анализа Раздел математики в котором изучают функции вида U UPt (, ), a apt (, ), P ( V), t [ t; t ] называется векторным

Подробнее

Магнитный векторный потенциал

Магнитный векторный потенциал Магнитный векторный потенциал div B = 0 - уравнение Максвелла для дивергенции В. Из векторного анализа: div(rot A) 0 -для любой дифференцируемой векторной функции A. Если предположить B = rot A, то уравнение

Подробнее

(1.1) имеет вид (1.2)

(1.1) имеет вид (1.2) УДК 54.75 Н.М. Онищук ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ В области G R изучается геометрия гладкого векторного поля без особых точек имеющего поверхности вдоль которых векторы поля параллельны. Исследуются

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

Содержание. Часть 1. Формулы Некоторые обозначения...13

Содержание. Часть 1. Формулы Некоторые обозначения...13 Содержание Некоторые обозначения...13 Часть 1. Формулы... 15 1. Формулы сокращенного умножения и другие тождества...17 2. Формулы разложения многочленов на множители...18 Разложения на множители некоторых

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им.м.утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА UT4305 Теория поля 050109 - Математика 2 кредита Уральск

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» СИ, Бородина, МЮ Старовская ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Лекц ия 4 Работа в электростатическом поле. Разность потенциалов

Лекц ия 4 Работа в электростатическом поле. Разность потенциалов Лекц ия 4 Работа в электростатическом поле. Разность потенциалов Вопросы. Работа сил поля при перемещении зарядов в электрическом поле. Потенциал электрического поля. Циркуляция вектора напряженности электрического

Подробнее

Глава 9. Частные производные

Глава 9. Частные производные Глава 9 Частные производные 9 Частные производные, градиент и дифференциал Пусть M, ) внутренняя точка области определения функции f, Частной производной функции f, по переменной называется предел f, )

Подробнее

10. Векторный и скалярный потенциалы

10. Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы Уравнения Максвелла это, в общем случае, сложные интегральнодифференциальные уравнения, поэтому непосредственно их решать относительно трудно Были введены две вспомогательные

Подробнее

Введение в теорию электромагнитного поля

Введение в теорию электромагнитного поля МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им НЕ Жуковского «Харьковский авиационный институт» СН Барсуков Введение в теорию электромагнитного поля Математические

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Ю.Г. Костына, Г.П. Мартынов ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных,

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее