ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И СВЯЗИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И СВЯЗИ"

Транскрипт

1 И.Г. КАРПОВ, А.Н. ГРИБКОВ ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И СВЯЗИ Ч а с т ь I ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО РАДИОПРИЁМА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ УДК 6.37 ББК 3.84 К65 Р е ц е н з е н т ы: Доктор технических наук, доцент, начальник научно-исследовательского отдела Тамбовского ВВАИУРЭ А.В. Иванов Доктор технических наук, профессор кафедры "Информационные процессы и управление" ГОУ ВПО ТГТУ В.А. Погонин К65 Карпов, И.Г. Основы радиоэлектроники и связи. Ч. I. Основы оптимального радиоприёма : учебное пособие / И.Г. Карпов, А.Н. Грибков. Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 9. 8 с. экз. ISB

2 Рассматриваются вопросы анализа помехоустойчивости и оптимального приёма сообщений, в том числе основы теории обнаружения, различения, оценки и фильтрации сигналов в радиотехнических системах. Предназначено для студентов очного и заочного отделений, обучающихся по направлениям "Проектирование и технология электронных средств" и 3 "Радиотехника". УДК 6.37 ББК 3.84 ISB ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический университет" (ТГТУ), 9 Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический университет" И.Г. КАРПОВ, А.Н. ГРИБКОВ ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И СВЯЗИ Ч а с т ь I ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО РАДИОПРИЁМА Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению "Проектирование и технология электронных средств" и 3 "Радиотехника" Тамбов Издательство ТГТУ 9

3 Учебное издание КАРПОВ Иван Георгиевич, ГРИБКОВ Алексей Николаевич ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И СВЯЗИ Часть I ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО РАДИОПРИЁМА Учебное пособие Редактор З.Г. Чернова Инженер по компьютерному макетированию М.Н. Рыжкова Подписано в печать.3.9 Формат 6 84/6. 4,65 усл. печ. л. Тираж экз. Заказ 67 Издательско-полиграфический центр ТГТУ 39, Тамбов, Советская, 6, к. 4

4 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.. 5. ОПТИМАЛЬНЫЙ РАДИОПРИЁМ КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА Помехоустойчивость и её основные задачи Основные понятия теории статистических решений Условные плотности вероятности суммы сигнала и шума Функция правдоподобия при дискретном и непрерывном наблюдениях. Корреляционный приём Апостериорная плотность вероятности.... ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ 4.. Оптимальный линейный фильтр по минимуму среднеквадратической ошибки Согласованный фильтр и его основные характеристики Импульсная характеристика и отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра Согласованный фильтр как коррелятор Комплексная частотная характеристика согласованного фильтра ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ 3.. Обнаружение сигналов как статистическая задача Ошибки при обнаружении сигнала 3.3. Критерии оптимального обнаружения и различения сигналов Обнаружение сигнала с полностью известными параметрами на фоне белого шума. Структурные схемы обнаружителей ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Показатели качества обнаружения Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой на фоне белого шума Обнаружение сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой ОПТИМАЛЬНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Различение двух детерминированных сигналов. Постановка задачи и правило решения Различение двух детерминированных сигналов на фоне белого шума. Структурные схемы оптимальных различителей Условные плотности вероятности достаточной статистики при различении детерминированных сигналов Потенциальная помехоустойчивость оптимальных различителей при различных видах манипуляции ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА Общие сведения об оптимальной оценке параметров сигнала Понятие точечной оценки параметров сигнала Основные методы оценки параметров сигнала. Оценка энергетических и неэнергетических параметров сигнала Оптимальные схемы измерения параметров сигнала.. 54

5 6.5. Сигнальная и шумовая функции. Дисперсия правдоподобной оценки параметра сигнала ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА Постановка задачи оптимальной фильтрации Критерии оптимальности фильтрации Получение сообщения из белого шума с помощью формирующего фильтра Алгоритм оптимальной аналоговой фильтрации ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СООБЩЕНИЙ Оптимальная линейная аналоговая фильтрация. Фильтр Калмана Линейная фильтрация в дискретном времени Особенности многомерной линейной фильтрации сообщений.. 7 ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ. 74 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 79 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 79

6 ВВЕДЕНИЕ Радиоэлектронные системы (РЭС) являются информационными системами, предназначенными для передачи, приёма и обработки информации в интересах потребителя с использованием радиосигнала в качестве переносчика информации. Отличительной особенностью условий функционирования РЭС является наличие радиоканала, под которым понимают совокупность источника радиосигнала, среды его распространения и приёмника. Основное требование к радиосистеме это достоверное и своевременное получение необходимой информации потребителем. Однако достоверному приёму и извлечению информации мешают реальные физические свойства приемопередающих устройств и среды распространения сигнала, суть которых заключается, во-первых, в случайных изменениях их параметров, а, во-вторых, в возникновении помех, также имеющих случайную природу. Действительно, при распространении радиосигнала через турбулентную атмосферу и ионосферу, которые обладают случайными коэффициентами поглощения и преломления, происходит случайная модуляция радиосигнала по амплитуде, частоте и фазе. Внешние естественные помехи создаются различными электромагнитными процессами, происходящими в атмосфере, ионосфере и космическом пространстве, которые тоже имеют случайный характер. В приёмных устройствах возникают случайные процессы (шумы), обусловленные тепловым хаотическим движением электронов и т.д. Таким образом, задача приёма и извлечения информации в РЭС решается в условиях искажений принимаемого сигнала, имеющих случайный характер. Очевидно, что такие искажения снижают достоверность извлекаемой информации, и поэтому надо принимать меры по ослаблению влияния данных факторов, т.е., по сути, решать задачу оптимизации РЭС. Математическим аппаратом, позволяющим оперировать случайными величинами и случайными процессами, является теория вероятностей и математическая статистика. На возможность и целесообразность применения статистических методов в радиотехнике одними из первых указали А.Н. Колмогоров (939) и Н. Винер (94) в своих работах по синтезу оптимальных линейных фильтров. Фундаментальной работой, посвящённой систематическому применению методов математической статистики в задачах радиосвязи, является теория потенциальной помехоустойчивости В.А. Котельникова (946). За прошедшие более чем 6 лет статистические методы настолько прочно вошли в теорию РЭС, что ни одна новая разработка не начинается без детального анализа функционирования проектируемой системы в условиях влияния случайных процессов и синтеза отдельных устройств и подсистем статистическими методами. Все наиболее совершенные радиосистемы, такие, например, как системы мобильной связи, спутниковой радионавигации, спутникового телевидения, дистанционного зондирования Земли и планет, базируются на рекомендациях и выводах, полученными в статистической радиотехнике и в теории связи.

7 . ОПТИМАЛЬНЫЙ РАДИОПРИЁМ КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА.. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ И ЕЁ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ Особенность радиоприёма состоит в том, что наряду с сигналами через антенную систему в приёмное устройство поступают разнообразные помехи. Помехи искажают сигнал и тем самым препятствуют получению достоверной информации. Способность радиотехнической системы сохранять свои функции неизменными или изменяющимися в допустимых пределах при действии помех называется помехоустойчивостью. Количественно помехоустойчивость оценивается с помощью различных показателей, использующих вероятностное описание помех и сигналов. Например, применяются такие показатели, как отношение сигнал/шум на входе и выходе приёмного устройства, вероятность правильного обнаружения сигнала, среднее квадратическое отклонение ошибки определяемого параметра сигнала. Конкретный показатель помехоустойчивости выбирается из удобства решения задачи. В теории помехоустойчивости различают две основные задачи: анализа и синтеза. Задача анализа посвящена расчёту показателей помехоустойчивости существующих (разработанных) радиотехнических систем. В этом случае, полагая известными вероятностное описание сигнала и помехи на входе, определяют вероятностные характеристики выходного процесса, а по нему показатели помехоустойчивости. Эта задача, по своей сути, сводится к анализу прохождения случайного процесса через линейные и нелинейные цепи, из которых состоит радиотехническая система. Задача синтеза посвящена определению структурной схемы радиотехнической системы или, в более простом варианте, структурной схемы радиоприёмного устройства, которое обладало бы наилучшими, или оптимальными (от латинского optimus "наилучший"), показателями помехоустойчивости при заданном предназначении устройства и при известном вероятностном описании сигнала и помехи на входе. В этом случае конкретный вид сигнала и помехи, который наблюдается в определённое время на входе приёмника и который, в принципе, может быть зафиксирован записывающей аппаратурой, рассматривается как выборка из того случайного процесса, условное вероятностное описание которого предполагается известным. Поэтому задачи синтеза, называемые также задачами оптимального радиоприёма, следует рассматривать как дальнейшее развитие таких задач математической статистики, как задача проверки гипотез и задача оценки параметров распределения. В научно-технической литературе задача оптимального радиоприёма делится на четыре частные задачи: обнаружения сигнала, различения сигналов, оценки параметров сигнала, фильтрации сигнала или сообщений. Количественно эти задачи можно сформулировать следующим образом. В задаче обнаружения сигнала требуется наилучшим образом по заданному критерию оптимальности на основании наблюдения процесса ответить на вопрос, содержит ли наблюдаемый процесс сигнал вместе с помехой или является только помехой. В задаче различения сигналов наблюдаемый процесс может вместе с помехой содержать один из двух взаимно исключающих сигналов, но какой именно, неизвестно. Требуется по заданному критерию оптимальности наилучшим образом ответить на вопрос, какой именно сигнал вместе с помехой присутствует в наблюдаемом процессе. В задаче оценки параметров сигнала считается, что в наблюдаемом процессе вместе с помехой существует сигнал с одним или несколькими неизвестными параметрами и требуется наилучшим образом по заданному критерию оценить эти неизвестные параметры. К этой задаче тесно примыкает задача разрешения сигнала, когда считается, что вместе с помехой в наблюдаемом процессе могут существовать один или два сигнала, неизвестные параметры которых незначительно отличаются между собой. Однако сколько этих сигналов один или два заранее неизвестно. Требуется, увеличивая различие между параметрами сигнала, определить то наименьшее различие, при котором наступает уверенное разрешение сигналов. В задаче оптимальной фильтрации считается, что в наблюдаемом процессе существует вместе с помехой сигнал, у которого какой-либо параметр в соответствии со случайным законом модуляции изменяется во времени. Требуется в каждый момент времени дать наилучшую оценку меняющемуся параметру по заданному критерию оптимальности. Отличие от задачи оценки параметра здесь состоит в том, что этот параметр является случайной функцией времени, в то время как в предыдущей задаче параметр есть случайная величина, но постоянная на интервале наблюдения.

8 .. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ... Условные плотности вероятности суммы сигнала и шума В задаче обнаружения подлежащий наблюдению случайный процесс удобно записывать в виде суммы: ( t ) λs( + n( ξ, (.) где λ случайная величина, равная "", если сигнал отсутствует, и равная "", если сигнал присутствует; S( детерминированный сигнал; n( стационарный гауссовский шум с n(, n ( σ. Заметим, что процесс ξ(, определяемый выражением (.), является случайным как из-за случайности шума n(, так и из-за случайности величины λ. Последнее обстоятельство приводит к тому, что процесс ξ( характеризуется условными плотностями вероятностей: одной при условии, что λ, а другой при условии, что λ. Если λ, то равенство (.) примет вид n ( t ) n( ξ. (.) В этом случае условная одномерная плотность вероятности определится в соответствии с формулой для гауссовского распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ n вы- ражением ( ) ( ) x p ξ x λ pn x exp, (.3) πσn σn где индекс n в p n (х) означает, что рассматривается плотность вероятности при условии, что λ, когда действует только шум. Если λ, то равенство (.) примет вид ( t ) S( + n( ξ. (.4) При детерминированном сигнале процесс (.4) будет иметь математическое ожидание, равное сигналу ( t ) S( + n( S( + n( S( ξ. (.5) В соответствии с этим условная плотность вероятности процесса (.4) будет определяться выражением, отличающимся от (.3) только математическим ожиданием [ x S() t ] p ( ) ( ) ξ x λ psn x exp. (.6) πσ n σn Найдем условные n-мерные плотности вероятности в предположении, что процесс ξ( может наблюдаться на интервале времени [,Т ], а интервал времени корреляции шума равен τ kn. Если проводить сечение процесса через интервал t τ, то все сечения kn ( [ ξ( t ) ξ( t ),..., ξ( )] ( ξ, ξ, ξ ), t n n (.7) ξ..., будут некоррелированными, а так как процесс ξ( гауссовский независимыми. При этом число независимых сечений ограничивается величиной

9 n. (.8) τ Тогда условные n-мерные плотности вероятности определяются как произведения одномерных (.3) или (.6). Соответственно, для λ и λ эти плотности будут равны p ξ kn n xi, exp ; (.9) ( x..., x λ ) p ( x,..., x ) n n n ( ) n πσ i σn n p ξ ( x..., x λ ) p ( x,..., x ) ( πσ ) [ x S( t )] n i i, n sn n exp n, i σn n (.) где S(t i ) значение сигнала S( в момент определения сечения t ti, i,,..., n. Перейдём к непрерывному времени наблюдения, положив t, t n Т. Если n( является гауссовским белым шумом, то n-мерная плотность вероятности (.9) превратится в условный функционал, в котором σ n f, суммирование заменяется интегрированием, а последовательный ряд возможных значений (х, х,..., х n ) вырождается в возможную реализацию x(: p n exp dt. (.) [ x () t ] k x () t Так как выражение (.) отличается от (.9) только математическим ожиданием, то при белом шуме плотность вероятности (.) переходит в условный функционал p sn exp dt. (.) [ x() t ] k [ x() t S() t ] Функционалы (.), (.) являются полными аналогами условных плотностей вероятности (.9), (.), с той только разницей, что при решении практических задач ответы необходимо получать в виде отношения функционалов, чтобы коэффициент k, который при белом шуме стремится к нулю, сократился.... Функция правдоподобия при дискретном и непрерывном наблюдениях. Корреляционный приём Выражения (.9), (.) и (.), (.) можно рассматривать как условные плотности вероятности либо дискретной выборки (x, x,..., x n ) объёма n, либо непрерывной выборки x(, у которой мерой объёма является время наблюдения Т. Задачу обнаружения можно свести к задаче оценки параметра λ. Если определить, что параметр λ, то в соответствии с (.) это то же самое, что принять решение о том, что в наблюдаемой реализации процесса ξ( сигнал отсутствует. И наоборот, если определить, что λ, то это значит принять решение о наличии сигнала S( в наблюдаемой реализации процесса ξ(. Поэтому если в условные плотности вероятности (.9), (.) поставить на место дискретных аргументов (x, x,..., x n ) конкретные результаты наблюдений ( x, x,..., xn ), то получим функцию прав- * * * доподобия L( при дискретном наблюдении. При этом, так как параметр λ может принимать только два значения, то и функция правдоподобия L( будет состоять из двух значений:

10 L ( λ ) L ( λ ) n * xi exp ; (.3) ( ) n πσ i σn n * [ x S( t )] n i i exp. (.4) n ( πσ ) σ n i n Если же в условных функционалах (.), (.) на место возможной непрерывной реализации x( поставить конкретную зафиксированную реализацию x * (, получим функцию правдоподобия L( для непрерывного времени наблюдения, состоящую из двух значений: L L [ ] dt ; (.5) ( λ ) * k exp x () t [ ] dt. (.6) * ( λ ) k exp x () t S() t * В дальнейшем звездочки у x i и x * ( в формулах для простоты написания будем опускать, но всегда будем иметь в виду, что в выражениях для функции правдоподобия L( величины х i и x( есть конкретные результаты наблюдений. В задаче обнаружения при гауссовском шуме обычно используются не сами значения функции правдоподобия L(λ ) и L(λ ), a логарифм их отношения Λ. Найдём этот логарифм при непрерывном времени наблюдения: L ln Λ ln L ( λ ) ( λ ) k exp ln k exp x () t S() t * [ x () t S() t ] x E dt () t s dt dt, (.7) где Es S () t dt удельная энергия сигнала. Полагаем, что отношение сигнал/шум по энергии при белом шуме определяется выражением q E /. Тогда формулу (.7) можно записать в виде s Интеграл вида ( λ ) ( λ ) L ln Λ ln x() t S() t dt q. (.8) L y x() t S()dt t (.9) называется взаимным корреляционным интегралом между наблюдаемым процессом x( и копией сигнала. Математическая операция (.9) является наиболее существенной для нахождения логарифма отношения правдоподобия, так как отношение сигнал/шум q для полностью известного сигнала и за-

11 данного уровня шума определено. В то же время (.9) является функцией результата наблюдения x( и поэтому представляет собой статистику у. Учитывая, что статистика у полностью определяет логарифм отношения правдоподобия, её называют достаточной статистикой. Радиоприёмник (рис..), реализующий вычисление взаимного корреляционного интеграла между наблюдаемым процессом x( и копией x( k у S( t Г y k x() t S()dt t Рис... Структурная схема корреляционного приёмника сигнала S(, называется корреляционным приёмником. Этот приёмник включает в себя гетеродин Г, воссоздающий копию сигнала S(, перемножитель сигнала S( с входным процессом x( и интегратор. Результат вычислений получается на выходе интегратора в момент окончания наблюдения. Корреляционный приёмник лежит в основе построения многих оптимальных устройств, синтезируемых на основе решения оптимальных задач радиоприёма...3. Апостериорная плотность вероятности В задаче оценки параметра самой простой моделью сигнала является представление сигнала в виде квазидетерминированного колебания S(t,, у которого известна функциональная зависимость от времени, но неизвестен какой-то параметр λ (например, амплитуда, частота или фаза). Этот параметр рассматривается как случайная величина с заданной априорной вероятностью р(, характеризуемой большой дисперсией. При решении задачи оценки параметра будем считать, что подлежащий наблюдению процесс ξ( представляет собой сумму сигнала S(t, и шума n(: ξ ( t ) S( t, + n(. Отличие от (.) состоит в том, что здесь уже установлено наличие сигнала. Требуется только за счёт наблюдения реализации x( процесса ξ( уточнить значение параметра λ. Условная плотность вероятности при непрерывном наблюдении реализации x(, когда n( является гауссовским белым шумом, будет равна p sn [ x( λ] k exp [ x( S( t, ] dt. (.) Отличие (.) и (.) состоит только в том, что в силу неизвестности параметра λ, плотность вероятности (.) рассматривается как условная относительно λ. При этом задача оценки параметра сигнала, по существу, сводится к задаче оценки параметра распределения. Если рассматривать x( в формуле (.) как результат наблюдения, то функция правдоподобия оцениваемого параметра полностью будет совпадать с выражением (.) L( k exp [ x( S( t, ] dt, (.) и можно записать апостериорную плотность вероятности параметра λ в виде

12 p [ λ x( ] k p( L(, (.) где k находится из условия нормировки апостериорной плотности. Основное свойство апостериорной плотности вероятности (.) состоит в том, что она содержит все сведения об оцениваемом параметре λ, как имеющиеся до наблюдения x( в априорной плотности вероятности р(, так и сведения, полученные в результате наблюдения x( и содержащиеся в функции правдоподобия L(.. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ.. ОПТИМАЛЬНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ФИЛЬТР ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ Рассмотрим задачу оптимальной фильтрации сигнала. Оптимальным фильтром назовём такое устройство, которое обеспечивает наилучшее по заданному критерию выделение сигнала из наблюдаемой смеси сигнала и шума. Смысл слова "выделение" сигнала совпадает с понятием оценки сигнала. Пусть имеется сумма сигнала и шума ξ ( t ) S( + n(, (.) где сигнал S( и шум n( являются стационарными случайными процессами с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями R s (τ) и R n (τ). Требуется, чтобы оценка сигнала S ˆ( t ), являющаяся откликом на воздействие ξ(, была бы как можно ближе к истинному значению сигнала S(. Тогда за ошибку фильтрации ε( можно принять разность ε ( Sˆ( S(. (.) Сделаем дополнительное предположение, что оценка сигнала Ŝ ( является стационарным случайным процессом. Тогда процесс ε( как разность двух стационарных процессов также будет стационарным. В этом случае удобно в качестве числовой характеристики ошибки ε( взять дисперсию D ε ( [ Sˆ( S( ]. (.3) Выберем за критерий оптимальности минимум дисперсии D ε min. По этому критерию фильтр будет оптимальным в том случае, если он по сравнению с любыми другими фильтрами обеспечивает получение оценки сигнала Ŝ () t с наименьшим средним квадратом ошибки. Если искать оптимальный фильтр среди линейных цепей с постоянными параметрами, то в качестве оценки Ŝ () t выступает выходной процесс Подставив (.4) в (.3), получим ε t S ˆ ( η( h( τ) ξ( t τ) dτ. (.4)

13 t ( ) ( ) ( ). D ε h τ ξ t τ dτ S t (.5) Математическая задача нахождения оптимального фильтра сводится к отысканию такого вида импульсной характеристики фильтра h(, при которой дисперсия (.5) становится минимальной. Методами вариационного исчисления установлено, что искомая характеристика h( должна являться решением следующего интегрального уравнения: где ( τ) < ξ( ξ( t τ > R корреляционная функция процесса, ( ξ ) h ( R ( τ dt R ( τ). (.6) ξ ξs ξ если S( и n( являются независимыми случайными процессами, то Rξ ( τ) RS ( τ) + Rn ( τ); RξS ( τ) < ξ( S( t τ) > взаимная корреляцион- ξ и S(, для независимых S( и n( имеет место равенство ная функция между процессами () t R ξs ( τ) R ( τ). S Уравнение (.6) в научно-технической литературе называется уравнением Винера-Хопфа, а найденная из решения этого уравнения оптимальная импульсная характеристика h opt ( определяет оптимальный винеровский фильтр. Его комплексная частотная характеристика k opt (jω) может быть найдена как преобразование Фурье от h opt (: k opt jωt ( j ) h ( jω) e dt. ω (.7) Величина минимального квадрата ошибки винеровского фильтра определяется выражением opt εmin RS () hopt ( τ) RξS ( τ) dτ. (.8) Однако следует заметить, что решение интегрального уравнения (.6) наталкивается на значи- ξ t и S(, когда для выработки оценки тельные трудности даже в случае стационарности процессов ( ) Ŝ () t теоретически имеется всё бесконечное прошлое процесса ξ ( воздействия () t, так как считается, что с момента ξ прошло значительное время и переходные процессы затухли. Сложность процедуры расчёта h opt ( определяется как тем, что приходится решать интегральное уравнение, так и тем, что из всего класса решений h( требуется выбрать ту импульсную характеристику, которая удовлетворяет условию физической реализуемости, под которым понимается соотношение h(, если t <. Его смысл состоит в утверждении, что отклик линейной системы не может быть раньше воздействия. По этой причине рассмотренная процедура нахождения h opt ( и k opt ( j ω ) винеровского фильтра на практике не нашла широкого распространения... СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР И ЕГО ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ... Импульсная характеристика и отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра Согласованным фильтром называется линейная цепь, которая для определённой аддитивной смеси сигнала и шума обеспечивает на выходе наибольшее отношение сигнал/шум. Согласованный

14 фильтр можно рассматривать как оптимальный, у которого критерием оптимальности является достижение максимума отношения сигнал/шум. Для согласованного фильтра не важно, как искажается выходной сигнал по отношению к входному. Важно, чтобы при этом достигалось максимально возможное по отношению к любым другим фильтрам отношение сигнал/шум на выходе. Найдём импульсную характеристику согласованного фильтра h сф ( и отношение сигнал/шум на его выходе q вых в случае, если на вход поступает аддитивная смесь сигнала и шума ξ ( t ) S( + n(, где S( импульсный детерминированный сигнал с энергией t E S ( dt; t момент окончания сигнала; n( белый шум с корреляционной функцией R n ( τ) δ( τ). Входное отношение сигнал/шум, характеризующее процесс ξ (, определим как отношение сигнал/шум по энергии: Es qe. S Выходное отношение сигнал/шум, характеризующее отношение сигнал/шум на выходе фильтра, определим как отношение сигнал/шум по мощности, равное квадрату пикового отношения сигнал/шум: q вых Sвых ( σ n вых, (.9) где S вых (t ) выходное значение сигнала в момент t, при котором выходной импульс достигает максимума; σ ) дисперсия выходного шума в момент t. n вых ( t В силу принципа суперпозиции величины S вых (t ) и σ ) могут быть найдены раздельно: n вых ( t ( t ) Подставив (.) и (.) в (.9), получим Существует неравенство Буняковского-Шварца t S вых ( h( t S( dt ; (.) t σn вых ( h ( t dt. (.) q вых t h( t S( dt. (.) t h ( t dt b b b f g ( dt, a a ( g( dt f ( dt a (.3)

15 причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда f ( k g(, (.4) где k коэффициент пропорциональности. Применяя неравенство (.3) к выражению (.), получим или t t h ( t dt q вых, t h ( t dt S ( dt q вых Es. (.5) Неравенство (.5) превращается в равенство, если импульсную характеристику, согласно условию (.4), выбрать в следующем виде: h сф( k S( t. (.6) Выражение (.6) определяет импульсную характеристику согласованного фильтра, так как при этом достигается максимум отношения сигнал/шум на выходе. Этот максимум равен отношению сигнал/шум на входе независимо от формы сигнала S(: q вых ES или S σ вых ( n вых ( t ) ES, что для пикового отношения сигнал/шум соответствует равенству q вых.сф Sвых ( ES, (.7) σ ( t ) где индекс "сф" указывает, что равенство (.7) достигается только в согласованном фильтре. n вых... Согласованный фильтр как коррелятор Пусть согласованный фильтр согласован с сигналом S(, т.е. импульсная характеристика фильтра определяется выражением (.6). Подадим на вход фильтра произвольный процесс x( и найдём отклик фильтра в момент времени t, равный длительности сигнала S(, с которым фильтр согласован. В произвольный момент времени t процесс на выходе равен t y( h( t) x( t t) dt. Для согласованного фильтра справедливо выражение (.6), поэтому t y( k S( t t) x( t t) dt, (.8)

16 t которое при t t имеет вид y( t ) k S( t t ) x( t t ) dt В свою очередь, заменяя под интегралом (t на t, получим, t y( t ) k S( x( dt. (.9) Выражение (.9) пропорционально взаимному корреляционному интегралу между наблюдаемым процессом x( и копией сигнала S(, с которым фильтр согласован. Если выбрать k /, то совпадение будет полным. Поэтому согласованный фильтр широко используется в оптимальном приёме для вычисления взаимного корреляционного интеграла...3. Комплексная частотная характеристика согласованного фильтра Комплексная частотная характеристика согласованного фильтра может быть найдена как преобразование Фурье от h opt (: K Сделав замену переменных jωt сф( j ) hopt ( e dt k S( t jωt ω e dt. τ t t, получим K jωt сф( j ) k e jωt ω S( e dt. (.) Интеграл в формуле (.) определяет комплексно-сопряжённый спектр сигнала S( e jωt dt S( jω) S * ( jω), так как в показателе экспоненты стоит знак плюс, а не минус, как это надо для определения спектра сигнала. Таким образом, комплексная частотная характеристика согласованного фильтра K сф ( j * jωt ω ) k S ( jω) e (.) пропорциональна произведению комплексно-сопряжённого спектра сигнала S * ( j ω ) на множитель j t задержки e ω. Представим комплексный спектр S( j ω ) сигнала S( в виде jϕ ( ω) S ( jω) S( ω) e S, (.) где S (ω) и ϕ s (ω) соответственно амплитудный и фазовый спектры сигнала. Комплексно-сопряжённый спектр будет отличаться от (.) только знаком показателя экспоненты: Подставив (.3) в (.), получим * jϕ ( ω) S ( jω) S( jω) S( ω) e S. (.3) сф сф jϕсф ( ω) K ( jω) K ( ω) e, (.4)

17 где K сф (ω) ks(ω) амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра; ϕ ω) [ ϕ ( ω) + ωt ] фазочастотная характеристика (ФЧХ) согласованного фильтра. сф( S Пропорциональность АЧХ согласованного фильтра амплитудному спектру сигнала приводит к тому, что коэффициенты передачи фильтра больше на тех частотах, на которых выше амплитуда спектральных составляющих сигнала, и меньше там, где составляющая ниже. ФЧХ согласованного фильтра определяется взятой с обратным знаком суммой фазового спектра сигнала ϕ S (ω) и пропорционального частоте ω. 3. ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ 3.. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА Пусть на вход обнаружителя поступает сумма сигнала s( и шума n(, представляющая собой случайный непрерывный процесс ( t ) λs( + n(, ξ (3.) где s( полностью известный сигнал; λ случайный параметр, равный "", когда сигнал присутствует, и равный "", когда сигнал отсутствует; n( шум с известным законом распределения. Обнаружитель анализирует реализацию x( процесса ξ( в течение заранее выбранного конечного интервала времени Т и затем на основании анализа принимает решение: существует ли сигнал в наблюдаемой реализации или нет. В настоящее время для решения подобных задач широко применяются методы математической статистики. Основной задачей математической статистики является установление законов распределения случайных величин на основе результатов наблюдения над этими величинами. В результате наблюдения над некоторой случайной величиной получается совокупность выборочных ( x,..., x n ) значений этой величины, называемая выборкой; число n выборочных значений, содержащихся в данной выборке, называется объёмом выборки. В случае обнаружения сигналов реализация x( является непрерывной функцией времени (при непрерывном или дискретном сигнале s( в смеси) с ограниченным спектром. Представим x( выборочными значениями ( x,..., x n ), взятыми в соответствии с теоремой Котельникова с интервалом t / F, где F эффективная ширина спектра колебания x(. При этом объём выборки определяется соотношением На основании анализа выборки ( x,..., ) n / t F. (3.) x n обнаружитель должен оценить параметр λ. Очевидно точность оценки зависит от объёма выборки при неограниченном времени наблюдения Т. Однако на практике Т ограничено, а с увеличением объёма выборки при const погрешность оценки не устремляется к нулю. Выборка, у которой n при const, называется непрерывной. Вид выборки (дискретная или непрерывная) определяется удобством математического анализа. Заметим, что если для дискретной выборки какая-либо формула получена в виде суммы, то соответствующий результат для непрерывной выборки может быть получен при замене суммы интегралом, если в этой формуле положить t или n при const. Поскольку в задачах обнаружения оценка параметра λ является дискретной (λ или λ ), при конечном объёме выборки можно лишь с некоторыми вероятностями высказать статистические гипотезы. Следовательно, решение задачи обнаружения сводится к проверке двух альтернативных (противоположных) статистических гипотез. Гипотеза Н сигнал во входной смеси есть (λ ) и гипотеза Н сигнала нет (λ ). При этом вероятности Р(Н ) и Р(Н ) являются соответственно априорными вероятностями наличия и отсутствия сигнала.

18 3.. ОШИБКИ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ СИГНАЛА При обнаружении сигнала могут быть четыре ситуации: ) правильное обнаружение (по), когда сигнал на входе обнаружителя существует и принимается решение о его наличии; ) правильное необнаружение (пн), когда сигнала на входе нет и принимается решение об его отсутствии; 3) пропуск сигнала (проп), когда сигнал на входе существует, однако принимается решение об его отсутствии; 4) ложная тревога (лт), когда сигнала на входе нет, но принимается решение о его присутствии. Первые две ситуации образуют событие А, соответствующее принятию безошибочного решения. Последние две ситуации образуют событие А, соответствующее принятию неверного или ошибочного решения. С помощью графа исходов (рис. 3.) можно рассчитать вероятность принятия ошибочного решения или вероятность ошибки Р ош. H P(A/H )P по A Исходное состояние P(H ) P(H ) P(A/H )P пн P(A/H )P проп P(A)+P(A) P(H )+P(H ) Р по +Р проп Р пн +Р лт H P(A/H )P лт А Рис. 3.. Граф исходов при обнаружении На рисунке обозначены: Р(Н ), Р(Н ) априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала; Р по Р(А/Н ) условная вероятность правильного обнаружения, соответствующая вероятности правильного решения А при условии, что в действительности сигнал существует; Р пн Р(А/Н ) условная вероятность правильного необнаружения, соответствующая вероятности правильного решения А при условии, что в действительности сигнала нет; Р проп Р( А /Н ) условная вероятность пропуска, соответствующая вероятности ошибочного решения А при условии, что в действительности сигнал есть; Р лт Р( А /Н ) условная вероятность ложной тревоги, соответствующая вероятности ошибочного решения А при условии, что сигнала в действительности нет. Из графа исходов непосредственно по формуле полной вероятности следует, что или Р ош Р( А ) Р(Н ) Р( А /Н ) + Р(Н ) Р( А /Н ); Р ош Р(Н ) Р проп + Р(Н ) Р лт. (3.3) Таким образом, вероятность ошибки Р ош зависит как от априорных вероятностей Р(Н ), Р(Н ), так и от условных вероятностей Р проп, Р лт. Рассмотренные условные вероятности Р по, Р пн, Р проп и Р лт позволяют характеризовать качество оптимального обнаружения. Обычно в этих целях используют вероятности Р по и Р лт, с учетом того, что Р проп Р по, Р пн Р лт.

19 3.3. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ Критерием оптимальности называется правило, по которому из всех возможных обнаружителей можно выбрать наилучший. Наиболее общим критерием оптимального обнаружения является критерий Байеса, или иначе критерий минимума среднего риска. С точки зрения критерия Байеса оптимальным считается такой обнаружитель, который имеет минимальную вероятность ошибочных решений с учетом их "веса" или степени нежелательности. Используя условные вероятности Р по, Р лт и выражение (3.3), можно записать следующее выражение для среднего риска процесса обнаружения: С Р( Н + Р C, (3.4) )( Рпо) Cпроп Р( Н) лт лт где С проп и С лт веса ошибочных решений. Вынесем в выражении (3.4) за скобки Р(Н ) С проп, тогда где Λ весовой множитель, равный С Р Н ) C [ ( Р Λ )], (3.5) Р( Н ) C лт Λ. Р( Н) Cпроп ( проп по Рлт Из анализа (3.5) следует, что условие минимизации C заключается в получении максимального значения разности (Р по Λ Р лт ), которую называют взвешенной разностью. Таким образом, С min при Р Λ Р max. (3.6) по лт Критерий Байеса является наиболее общим. На его основе, как частные случаи, могут быть получены и другие критерии. Если принять веса ошибок одинаковыми С проп С лт, то из (3.4) получим, что средний риск равен суммарной вероятности ошибки: С Р ( + Р. (3.7) ош Р Н)( Рпо) Р( Н) Условие минимума суммарной вероятности ошибки (3.7) называется критерием идеального наблюдателя. Он используется при решении задач передачи сообщений, где одинаково нежелательны как пропуски, так и искажения элементов сообщения. Для критерия идеального наблюдателя можно записать вместо (3.7) следующее условие оптимизации: Р Λ Р max, (3.8) по лт Р( Н ) где Λ. Р( Н) В радиолокации наибольшее применение находит критерий Неймана-Пирсона, являющийся частным случаем критериев Байеса и идеального наблюдателя. Сущность критерия заключается в том, что фиксируется условная вероятность ложной тревоги Р лт, после чего максимизируется условная вероятность правильного обнаружения Р по. Критерий записывается в виде лт

20 Р лт const; Р по max. (3.9) Широкое применение критерия Неймана-Пирсона в радиолокации объясняется тем, что: во-первых, как правило, неизвестны априорные вероятности Р(Н ) и Р(Н ), а также С проп и С лт ; во-вторых, в обзорных РЛС большую часть интервала наблюдения принятый сигнал обусловлен только шумом, поэтому ложная тревога является крайне нежелательной и её величина должна быть ограничена заранее, исходя из тактических соображений. Обычно задают Р лт 6, используя выражение Р лт τ ш / Т лт, где τ ш длительность шумового выброса; Т лт период появления ложной тревоги. Таким образом, в результате наблюдения выборки ( x,..., x n ) по выбранному критерию оптимальности должно быть получено одно из двух взаимоисключающих решений: А сигнал есть; А сигнала нет. Каждая возможная выборка представляется в многомерном пространстве одной точкой. Оптимальный обнаружитель должен разделить пространство выборок на два соприкасающихся пространства X и X. Если точка М, соответствующая k-й выборке ( x,..., x n ), попадает в пространство X принимается решение А, в противном случае решение А. В соответствии с критерием (3.6) можно записать Р по [ ( x..., x / λ ) Λ Р... p, лт X n Λ ( x..., x / λ )] dx,..., dx max, p, n n (3.) где р (x,..., x n / λ ) и p (x,..., x n / λ ) условные n-мерные плотности вероятности дискретной выборки (x,..., x n ) при наличии сигнала (λ ) и при его отсутствии (λ ), соответственно. Выполнение условия (3.) возможно при положительной подынтегральной разности т.е. ( x..., x / λ ) Λ p ( x,..., x / λ ) p,, n n > p p ( x,..., xn / λ ) > Λ ( x,..., x / λ ) n. (3.) Следовательно, оптимальный обнаружитель должен вычислять величину p Λ p ( x,..., x / λ ) ( x,..., x / λ ) ( λ ) ( λ ) n L, (3.) L определяемую отношением функций правдоподобия L(λ ) и L(λ ) и называемую отношением правдоподобия. Если Λ сравнить с некоторым порогом Λ, то получим правило принятия решения: n Н Λ > < Н Λ. (3.3) Таким образом, критерием оптимального обнаружения может служить критерий отношения правдоподобия, являющийся следствием общего критерия Байеса. В соответствии с этим критерием оптимальный обнаружитель (рис. 3.) должен сформировать отношение правдоподобия (блок ОП) и подать его на пороговое устройство ПУ, где осуществляется процедура сравнения Λ с порогом Λ, в результате которой выносится одно из двух возможных решений: А нет сигнала или А есть сигнал. Выбор какого-то частного критерия оптимальности (байесовского, идеального наблюдателя, Неймана-Пирсона) сказывается лишь на значении порога Λ, никак не влияя на основную часть обнаружителя блок ОП, где происходит оптимальная обработка реализации x(. В радиолокации значение порога Λ устанавливается исходя из критерия Неймана-Пирсона.

21 x( ОП ПУ Λ A A Рис. 3.. Структурная схема оптимального обнаружителя 3.4. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА С ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ОБНАРУЖИТЕЛЕЙ Рассмотрим задачу синтеза оптимального обнаружителя сигнала с полностью известными параметрами на фоне белого шума. Наблюдаемый процесс ξ( λs( + n(, λ,, t является либо аддитивной смесью сигнала и шума (при λ ), либо одним шумом (при λ ), время наблюдения Т фиксировано. Вначале рассмотрим случай, когда наблюдение ведётся в дискретные моменты времени t,..., t n ; при этом принимаются выборочные значения x(t k ) x k λs k + n k, λ,; k,,..., n. Оптимальный обнаружитель должен формировать отношение правдоподобия p Λ p ( x,..., xn / λ ) ( x,..., x / λ ) и сравнивать его с порогом Λ. Чтобы определить структуру устройства, формирующего отношение правдоподобия, необходимо конкретизировать плотности вероятности, входящие в (3.). Поскольку рассматриваемый белый шум описывается гауссовской плотностью вероятности, то n nk p( nk ) exp, k,,..., n. (3.4) πσn σn Учитывая, что выборки белого шума статистически независимы, а также то, что x k n k при λ, имеем n x k p( x,..., xn / λ ) exp. (3.5) k πσn σn Так как сигнал является детерминированным, то распределение вероятностей выборки (x,..., x n ) при λ остаётся гауссовским, однако средние значения отсчётов теперь не равны нулю, при этом ( x s ) n k k p( x,..., xn / λ ) exp. (3.6) k πσn σ n Подставив (3.5) и (3.6) в (3.), получим Λ n n exp xk sk sk. (3.7) σn k σn k Для упрощения обработки целесообразно вместо отношения правдоподобия Λ формировать его логарифм: n ln Λ x s sk. (3.8) σ k k n k σn k n

22 Перейдём к непрерывному времени наблюдения. Положим t, t n, кроме того, учтём, что плотность вероятности независимых гауссовских величин при непрерывном времени наблюдения переходит в функционал плотности вероятности белого шума. Если спектральная плотности последнего равна /, а σ n дисперсия гауссовских величин n k, то при переходе к непрерывному времени (от n k к n() можно воспользоваться зависимостью ( ) σn, t t k t k (при t, σ n ). (3.9) t Подставляя (3.9) в (3.8) и переходя к пределу при t, получим ln Λ x( s( dt s ( dt. где При этом правило принятия решения можно записать в следующем виде: y Н > y < h, (3.) Н x( s( dt ; (3.) h + ln Λ q. (3.) Выражение (3.) определяет достаточную статистику y, являющуюся взаимным корреляционным интегралом между наблюдаемым процессом x( и копией сигнала s(. Выражение (3.) определяет порог h, зависящий от Λ и отношения сигнал/шум, квадрат которого равен q E s s ( dt. (3.3) Формулы (3.), (3.), (3.) позволяют построить структурную схему оптимального обнаружителя в виде корреляционного приёмника с пороговым устройством (рис. 3.3). x( ГОС s( УС y ПУ Отсчет при t h y > h y < h Рис Структурная схема оптимального обнаружителя в виде корреляционного приёмника На умножитель подаётся принимаемый процесс x( и опорный сигнал s(, являющийся точной копией обнаруживаемого (ожидаемого) сигнала. Интегрирование произведения x( s( в течение Т даёт корреляционный интеграл y. В пороговом устройстве (ПУ) производится сравнение значения

23 корреляционного интеграла в момент ожидаемого окончания действия сигнала Т с порогом h и принимается решение о наличии или отсутствии сигнала. Начало интегрирования и его окончание совпадают по времени с началом и окончанием ожидаемого сигнала s(, что обеспечивается устройством синхронизации (УС). Это же устройство синхронизирует работу генератора опорного сигнала (ГОС) для коррелятора. Техническая реализация оптимального обнаружителя в виде корреляционного приёмника не является единственно возможной. Корреляционный интеграл может быть сформирован также при помощи согласованного фильтра. Его импульсная характеристика согласована с обнаруживаемым сигналом, являясь в соответствии с выражением "зеркальным отражением" формы сигнала (рис. 3.4). h сф ( ks ( (3.4) δ( s( s( h сф ( t Рис График импульсной характеристики согласованного фильтра x( СФ y ПУ h y > h y < h t УС Рис Структурная схема оптимального обнаружителя на основе согласованного фильтра Поскольку согласованный фильтр составная часть оптимального обнаружителя (рис. 3.5) и максимизирует отношение сигнал/шум на выходе, его называют также оптимальным. Максимальное отношение сигнал/шум по мощности на выходе СФ достигается в момент времени Т и составляет величину q сф Е s /. (3.5) Ни один из линейных фильтров не может дать отношение сигнал/шум больше, чем согласованный фильтр (либо коррелятор). Как следует из рис. 3.5, для согласованного фильтра отпадает необходимость в обеспечении синхронизации между опорным и принимаемым сигналами с точностью до фазы их высокочастотного заполнения. Это является достоинством СФ по сравнению с коррелятором.

24 4. ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ 4.. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ОБНАРУЖЕНИЯ Определим вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги. Для этого потребуется определить распределение вероятностей достаточной статистики у, поступающей на пороговое устройство, а именно, распределение вероятностей корреляционного интеграла y при отсутствии (λ ) и наличии (λ ) сигнала s( на входе обнаружителя. Рассмотрим случай λ, т.е. когда на входе обнаружителя присутствует только шум n(. Тогда x( n( и величина у, являясь линейным преобразованием белого гауссовского шума, также имеет гауссовское распределение и, следовательно, полностью определяется математическим ожиданием и дисперсией. Последние равны M [y λ ], D [y λ ] E S / q. Таким образом, плотность вероятностей р n (у) величины y при λ имеет вид p n ( y) exp. πq y q Перейдём к случаю λ. Поскольку сигнал является детерминированным, то распределение величины у по-прежнему остаётся гауссовским. Дисперсия величины y, очевидно также не меняется, D [y λ ] q. Изменяется лишь математическое ожидание: Следовательно, Μ [ y / λ ] M [ s() t + n() t ] s() t dt s () t dt q. p sn. (4.) πq q ( ) ( ) ( y q ) y / λ p y exp Таким образом, вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения: P лт y q q ; π ( y) dy exp dy pn h h по psn h h P ( ) ( ) y dy exp dy. πq y q q (4.) Используя интеграл вероятностей Ф () z π Z z exp dz, (4.3) формулы (4.) и (4.) можно переписать в виде h Pлт Φ ; (4.4) q

25 P по h q Φ. (4.5) q С помощью (4.4) и (4.5) рассчитываются характеристики оптимального обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме. Для обнаружителя, оптимального по критерию Неймана-Пирсона в качестве характеристики оптимального обнаружения используется зависимость правильного обнаружения от отношения сигнал/шум Р по f (q) при постоянной вероятности ложной тревоги Р лт const. Согласно (4.4) и (4.5) имеем [ Φ ( P ) q] h q P по Φ Φ лт, (4.6) где Ф (u) функция, обратная к интегралу вероятностей (4.3). P по P лт P лт q Рис. 4.. Графики зависимостей Р по f (q) Задаваясь значением Р лт, можно, пользуясь таблицей интеграла вероятностей, определить Ф ( Р лт ), а затем, задаваясь различными значениями q, рассчитать Р по в соответствии с выражением (4.6). В результате этого получим график Р по f (q) (рис. 4.), на котором сплошными линиями показаны характеристики оптимального обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме. Характеристики обнаружения позволяют определить минимальную энергию принимаемого сигнала Е пр. min (или его минимальную мощность Р пр. min ), необходимую для его обнаружения с заданными качественными показателями Р лт и Р по. 4.. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА Начальная фаза радиосигнала, как правило, неизвестна. В этом случае можно использовать модель сигнала s(t, ϕ) V( cos [ω t + ψ( ϕ], (4.7) где законы амплитудной V( и фазовой ψ( модуляции и частота ω известны, а начальная фаза ϕ неизвестна. Выражение (4.7) удобно представить в виде s(t, ϕ) s ( cosϕ + s ( sinϕ, (4.8) где s ( V( cos(ω t + ψ(), s ( V( sin(ω t + ψ() квадратурные составляющие сигнала.

26 Полагаем, что начальная фаза ϕ является случайной величиной, при этом при отсутствии информации об априорном распределении ϕ естественно считать это распределение равномерным: p(ϕ) /π; π ϕ π. (4.9) Такая модель радиосигнала используется в радиолокации при описании отраженных сигналов от неподвижной цели. Отношение правдоподобия в рассматриваемой задаче обнаружения сигнала со случайной начальной фазой получается путём усреднения условного отношения правдоподобия Λ(x/ϕ) по всем возможным значениям фазы Λ π π ( ϕ) p( ϕ) Λ x / dϕ. (4.) Что касается условного отношения правдоподобия Λ(x/ϕ), то оно, очевидно, совпадает с отношением правдоподобия для детерминированного сигнала s(t, ϕ), где ϕ фиксированная величина. Поэтому Λ ( x / ϕ) exp x() t s( t, ϕ) dt s ( t, ϕ) Подставив в это выражение (4.8), рассмотрим получающиеся интегралы. Корреляционный интеграл dt. где y( ϕ) x y y () t s( t, ϕ) dt y cosϕ + y sin ϕ cos( ϕ θ), x () t s () t dt, y x() t s ()dt t его квадратурные составляющие, при этом y y + y, cosθ y / y, sin θ y / y. Далее, при Т >> π/ω энергия сигнала от значения фазы ϕ практически не зависит и поэтому Таким образом, ( t, ϕ) dt E. s s ( x / ϕ) exp{ y cos( ϕ θ) E / } Λ. Подставляя это выражение и (4.9) в (4.), после интегрирования получаем отношение правдоподобия S exp Λ q I ( y), (4.) где I (y) модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Учитывая, что ln I (y) является монотонной функцией, приходим к оптимальному алгоритму обнаружения вида

27 где y H > y < h, (4.) H ( ) ( ) + x t s t dt x( s ( dt. (4.3) Структурная схема обнаружителя на рис. 4. построена в соответствии с формулами (4.) и (4.3). Такую схему называют квадратурным приёмником. Квадратурные каналы организуют путём включения фазовращателя в цепь опорного сигнала одного из перемножителей. Квадраторы (Кв), сумматор ( ), вычислитель квадратного корня ( ) обеспечивают формирование на входе ПУ в момент време- ни t значения y y + y. Наличие двух каналов исключает возможность потери полезного сигнала вследствие незнания его начальной фазы. x( π/ s ( s ( ГОС y y УС Квадратор Квадратор Σ y y y Отсчет при t y h ПУ y > h y < h Рис. 4.. Структурная схема квадратурного приёмника Схема обнаружителя, представленная на рис. 4., требует знания временного положения ожидаемого сигнала. Если время запаздывания сигнала неизвестно, схема оптимального обнаружителя усложняется. При разбиении интервала неопределённости времени запаздывания на элементарные участки, длительность каждого из которых определяется требуемой разрешающей способностью по дальности, можно построить многоканальный корреляционный обнаружитель. Каждый канал его настраивается на сигнал с соответствующим запаздыванием. Решение об обнаружении сигнала принимается одновременно с оценкой времени запаздывания. В радиолокации особо распространённым является приём сигналов с произвольным временем запаздывания. Поэтому в целях упрощения конструкции обнаружителя удобнее использовать фильтровой вариант его построения (рис. 4.3), позволяющего обеспечить оптимальное обнаружение сигналов с произвольным временем запаздывания при наличии всего лишь одного приёмного канала. x( СФ АД y h ПУ y > h y < h t УС Рис Структурная схема оптимального обнаружителя квазидетерминированных сигналов на основе согласованного фильтра Возможность использования согласованных фильтров в обнаружителях сигналов со случайной фазой основывается на следующих рассуждениях. Величина достаточной статистики y, которую должен формировать обнаружитель, есть огибающая колебания y cos (ϕ θ), иначе говоря, огибающая корреляционного интеграла у(ϕ). Это колебание, можно сформировать пропустив наблюдаемый

8. Различение сигналов 8.1. Постановка задачи различения сигналов

8. Различение сигналов 8.1. Постановка задачи различения сигналов ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-onlinenarodru 8 Различение сигналов 81 Постановка задачи различения сигналов Среда где распространяется сигнал РПдУ + РПУ Рис81

Подробнее

6. Оптимальные линейные цепи (фильтры)

6. Оптимальные линейные цепи (фильтры) ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-onlinenarodru 6 Оптимальные линейные цепи (фильтры) 61 Понятие оптимального фильтра его характеристики Пусть на вход линейной

Подробнее

Проблемы обнаружения и идентификации радиосигналов средств негласного контроля информации (Продолжение, начало в 3, 2000)

Проблемы обнаружения и идентификации радиосигналов средств негласного контроля информации (Продолжение, начало в 3, 2000) 1 Каргашин Виктор Леонидович, кандидат технических наук Проблемы обнаружения и идентификации радиосигналов средств негласного контроля информации (Продолжение, начало в 3, 2000) Эффективность приемников

Подробнее

Рис. 1. Временная структура входного сигнала представляется в виде:

Рис. 1. Временная структура входного сигнала представляется в виде: ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМА ОБНАРУЖЕНИЯ УЗКОПОЛОСНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ РАДИОСИГНАЛОВ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ФОНЕ ГАУССОВСКИХ ШУМОВ С НЕИЗВЕСТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ А.Н. Николаев Введение

Подробнее

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

Подробнее

Лекция 9. Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием

Лекция 9. Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием Лекция 9 Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием Для решения задачи об оптимальном алгоритме приема дискретных сообщений сделаем следующие допущения:. Все искажения

Подробнее

В табл представлена эпюра сигнала и его спектр. Таблица 1.1.

В табл представлена эпюра сигнала и его спектр. Таблица 1.1. 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АНАЛОГОВЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВАХ (АЭУ). ПАРАМЕТРЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ АЭУ 1. 1. Общие сведения об аналоговых электронных устройствах (АЭУ), принципы их построения Аналоговые сигналы

Подробнее

Навчальна програма з дисципліни Математичнi основи теорii зв язку

Навчальна програма з дисципліни Математичнi основи теорii зв язку Навчальна програма з дисципліни Математичнi основи теорii зв язку 1. Введение 1.1. Объект изучения. Объект изучения системы цифровой связи, принципы построения систем связи, теория обработки, передачи

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ. Рабочая программа учебной дисциплины

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ. Рабочая программа учебной дисциплины МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Рабочая программа учебной дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Подробнее

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин ГЛАВА 8 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для точечных гиперслучайных оценок гиперслучайных величин введены понятия несмещенной, состоятельной, эффективной и достаточной оценок

Подробнее

Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра теории электрической связи

Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра теории электрической связи Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова Кафедра теории электрической связи ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ по дисциплине «Сигналы и процессы в радиотехнике» для студентов заочного факультета Составитель

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Случайные величины Функции распределения вероятностей случайных величин Простейшая модель физического эксперимента последовательность независимых опытов (испытаний

Подробнее

Тема 5. ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 5. ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ Тема 5 ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ Свойства линейных стационарных систем: линейность, стационарность, физическая реализуемость Дифференциальное уравнение Передаточная функция Частотная передаточная функция

Подробнее

АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ ПО ОЦЕНКАМ ИХ ФАЗОЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК. А. И. Кочегуров

АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ ПО ОЦЕНКАМ ИХ ФАЗОЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК. А. И. Кочегуров 44 Средства и системы обработки и анализа данных АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ ПО ОЦЕНКАМ ИХ ФАЗОЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК А. И. Кочегуров Институт кибернетики Национального

Подробнее

5.1. Системы массового обслуживания

5.1. Системы массового обслуживания Теория массового обслуживания (ТМО) изучает процессы, в которых возникают требования на выполнение каких-либо видов услуг, и происходит обслуживание этих требований. Объектами (ТМО) могут быть производственные

Подробнее

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами которые будут рассмотрены в последующих разделах: с помощью

Подробнее

1. Основные характеристики детерминированных сигналов

1. Основные характеристики детерминированных сигналов 1. Основные характеристики детерминированных сигналов В технике под термином «сигнал» подразумевают величину, каким-либо образом отражающую состояние физической системы. В радиотехнике сигналом называют

Подробнее

Вісник ДУІКТ 7 (1) 2009

Вісник ДУІКТ 7 (1) 2009 Вісник ДУІКТ 7 (1) 2009 УДК 519.72:621.391 ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ СИГНАЛОВ, ПОСТРОЕННОМ НА ОБОБЩЕННОЙ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЕ С МЕРОЙ А.А. Попов Национальная академия

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА

ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА УДК 61.396:681.33 С. И. ЗИАТДИНОВ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЭКСТРАПОЛЯТОРОВ Рассматривается вопрос оптимизации параметров кстраполятора с учетом как ширины спектра, так

Подробнее

Исследование влияния фазовой нестабильности тактового сигнала на характеристики тракта аналого-цифрового преобразования

Исследование влияния фазовой нестабильности тактового сигнала на характеристики тракта аналого-цифрового преобразования 02_2004_ukor_peredelka.qxd 11/15/2004 15:30 Page 24 УДК 681.337 Исследование влияния фазовой нестабильности тактового сигнала на характеристики тракта аналого-цифрового преобразования М.Н. Быканов, В.С.

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лабораторная работа МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ Дискретные случайные величины Слова "случайная величина" в обыденном смысле употребляют

Подробнее

ЭЛЕКТРОНИКА И МИКРОПРОЦЕССОРНАЯ ТЕХНИКА

ЭЛЕКТРОНИКА И МИКРОПРОЦЕССОРНАЯ ТЕХНИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Бийский технологический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ

Подробнее

Лекция 4. Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 4. Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 4 Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й

Подробнее

Лекция 8. Критерии качества и правила приема дискретных сообщений

Лекция 8. Критерии качества и правила приема дискретных сообщений Лекция 8. Критерии качества и правила приема дискретных сообщений Обработкасигналовнаоснове статистической теории В этом случае удается отыскать наилучшую операцию обработки принятого сигнала t, обеспечивающую

Подробнее

РАСЧЕТ ДОПУСТИМЫХ ОТНОШЕНИЙ СИГНАЛ/ШУМ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ОПТИМАЛЬНОГО АЛГОРИТМА ПРИЕМА СИГНАЛОВ ПОБОЧНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ИЗЛУЧЕНИЙ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

РАСЧЕТ ДОПУСТИМЫХ ОТНОШЕНИЙ СИГНАЛ/ШУМ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ОПТИМАЛЬНОГО АЛГОРИТМА ПРИЕМА СИГНАЛОВ ПОБОЧНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ИЗЛУЧЕНИЙ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Серия РАДИОФИЗИКА Вып 7 УДК 639 РАСЧЕТ ДОПУСТИМЫХ ОТНОШЕНИЙ СИГНАЛ/ШУМ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ОПТИМАЛЬНОГО АЛГОРИТМА ПРИЕМА СИГНАЛОВ ПОБОЧНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ИЗЛУЧЕНИЙ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ ВА Канаков ВФ Клюев

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Задачи обнаружения и различения сигналов в условиях неопределенности

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Задачи обнаружения и различения сигналов в условиях неопределенности ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 5 Глава 1 Задачи обнаружения и различения сигналов в условиях неопределенности............................... 7 1.1. Алгоритмы обработки

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины Целью настоящей дисциплины является Задачи дисциплины: 2. Место дисциплины в структуре ООП

1. Цели и задачи дисциплины Целью настоящей дисциплины является Задачи дисциплины: 2. Место дисциплины в структуре ООП 2 1. Цели и задачи дисциплины Дисциплина «Статистическая теория радиотехнических систем» является дисциплиной вариативной части профессионального цикла в подготовке бакалавров. Целью настоящей дисциплины

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

НЕЙРОСЕТЕВЫЕ И НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ В ЗАДАЧЕ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ

НЕЙРОСЕТЕВЫЕ И НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ В ЗАДАЧЕ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НЕЙРОСЕТЕВЫЕ И НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ В ЗАДАЧЕ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ 2006 А. Е. Прасолова старший преподаватель кафедры программного обеспечения и администрирования информационных систем

Подробнее

Статистическая радиофизика и теория информации

Статистическая радиофизика и теория информации Статистическая радиофизика и теория информации Лекция 8 12. Линейные системы. Спектральный и временной подходы. Линейными называются системы или устройства, процессы в которых можно описать при помощи

Подробнее

Б а й е с о в с к а я к л а с с и ф и к а ц и я

Б а й е с о в с к а я к л а с с и ф и к а ц и я МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ 54 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ Методические указания к выполнению учебно-исследовательской лабораторной работы по курсу «Математические модели сигналов» Составили: Тимофеева Римма

Подробнее

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ Методические

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по учебной дисциплине. Научная отрасль. Научная специальность «Радиотехника, в т.ч. системы и устройства

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по учебной дисциплине. Научная отрасль. Научная специальность «Радиотехника, в т.ч. системы и устройства Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» (ГОУВПО «ПГУТИ») «УТВЕРЖДАЮ» Проректор по НИ Бурдин

Подробнее

1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ПРИЕМУ В МАГИСТРАТУРУ НА НАПРАВЛЕНИЕ «Радиотехника»

1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ПРИЕМУ В МАГИСТРАТУРУ НА НАПРАВЛЕНИЕ «Радиотехника» 3 1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ПРИЕМУ В МАГИСТРАТУРУ НА НАПРАВЛЕНИЕ 11.04.01 «Радиотехника» 1.1 Настоящая Программа, составленная в соответствии с федеральным государственным

Подробнее

Глава IV Идентификация динамических характеристик по экспериментальным данным

Глава IV Идентификация динамических характеристик по экспериментальным данным Глава IV Идентификация динамических характеристик по экспериментальным данным Построение модели системы управления и ее элементов не всегда удается осуществлять аналитически, т.е. на основе использования

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Работа. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Целью данной комплексной работы является практическое ознакомление с алгоритмами моделирования случайных чисел с заданным законом

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

ВЛИЯНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО ПРОСАЧИВАНИЯ НА ПОВЕДЕНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ УСЕЧЕННОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА. Г.С. Ханян

ВЛИЯНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО ПРОСАЧИВАНИЯ НА ПОВЕДЕНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ УСЕЧЕННОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА. Г.С. Ханян www.vntr.ru 6 (34), г. www.ntgcom.com УДК 57.443+57.8 ВЛИЯНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО ПРОСАЧИВАНИЯ НА ПОВЕДЕНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ УСЕЧЕННОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА Г.С. Ханян Центральный институт авиационного

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. Для линейных цепей законы коммутации чаще записывают так:

ВВЕДЕНИЕ. Для линейных цепей законы коммутации чаще записывают так: Оглавление ВВЕДЕНИЕ Раздел КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Раздел РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕГРАЛОВ НАЛОЖЕНИЯ9 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ7

Подробнее

УДК А.В. Кошелев, А.К. Синякин СГГА, Новосибирск ВЛИЯНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ АТМОСФЕРЫ НА РАБОТУ ЛАЗЕРНОГО ГЕТЕРОДИННОГО ИНТЕРФЕРОМЕТРА

УДК А.В. Кошелев, А.К. Синякин СГГА, Новосибирск ВЛИЯНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ АТМОСФЕРЫ НА РАБОТУ ЛАЗЕРНОГО ГЕТЕРОДИННОГО ИНТЕРФЕРОМЕТРА УДК 617844 АВ Кошелев, АК Синякин СА, Новосибирск ВЛИЯНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ АТМОСФЕРЫ НА РАБОТУ ЛАЗЕРНОО ЕТЕРОДИННОО ИНТЕРФЕРОМЕТРА Лазерные гетеродинные интерферометры нашли широкое применение для высокоточных

Подробнее

Методы обнаружения сверхширокополосных сигналов

Методы обнаружения сверхширокополосных сигналов Методы обнаружения сверхширокополосных сигналов Э. Г. Зиганшин Московский Авиационный Институт (технический университет). РадиоВУЗ. г. Москва, ул. Новая Басманная, д. 6А, комн. zig@uwbgroup.ru радиционно

Подробнее

4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕМБРАНЫ

4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕМБРАНЫ 4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕМБРАНЫ 4.1 Временные характеристики динамической системы Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия,

Подробнее

Кафедра РЭИС Доцент Никитин Н.П

Кафедра РЭИС Доцент Никитин Н.П Кафедра РЭИС Доцент Никитин Н.П. 2008 17.08.2009 1 17.08.2009 2 выходная мощность; верность воспроизведения сообщения; диапазон рабочих частот; чувствительность; избирательность; динамический диапазон;

Подробнее

СИНТЕЗ И АНАЛИЗ ФИЛЬТРА СЖАТИЯ ЛЧМ СИГНАЛОВ В РСА

СИНТЕЗ И АНАЛИЗ ФИЛЬТРА СЖАТИЯ ЛЧМ СИГНАЛОВ В РСА СИНТЕЗ И АНАЛИЗ ФИЛЬТРА СЖАТИЯ ЛЧМ СИГНАЛОВ В РСА В.И. Шапошников, ОАО «НИИ ТП», г. Москва, E-al: nfo@ntp.ru В работе рассматриваются вопросы синтеза и анализа фильтра сжатия ЛЧМ сигнала в РСА, для предложенной

Подробнее

СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ ПО РАДИОКАНАЛАМ С РАЙСОВСКИМИ ЗАМИРАНИЯМИ СИГНАЛОВ И СТРУКТУРНЫХ ПОМЕХ Е. В.

СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ ПО РАДИОКАНАЛАМ С РАЙСОВСКИМИ ЗАМИРАНИЯМИ СИГНАЛОВ И СТРУКТУРНЫХ ПОМЕХ Е. В. УДК 6.39.37.9 СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ ПО РАДИОКАНАЛАМ С РАЙСОВСКИМИ ЗАМИРАНИЯМИ СИГНАЛОВ И СТРУКТУРНЫХ ПОМЕХ 4 Е. В. Чучин канд. техн. наук доцент ст. науч. сотрудник каф. программного

Подробнее

ФТД.4 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СОВМЕСТИМОСТЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ СЕТЕЙ

ФТД.4 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СОВМЕСТИМОСТЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ СЕТЕЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА» (ФГБОУ ВПО «РГУТИС»)

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ Е.Г. Лебедько ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ W W y W а ист. Санкт-Петербург МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Лекция 12. Байесовские сети Методы анализа выживаемости. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 12. Байесовские сети Методы анализа выживаемости. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 12 Байесовские сети Методы анализа выживаемости Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 12

Подробнее

Лекция 8 Общая постановка однокритериальной задачи принятия решений.

Лекция 8 Общая постановка однокритериальной задачи принятия решений. Лекция 8 Общая постановка однокритериальной задачи принятия решений. Общая постановка однокритериальной задачи принятия решений. Пусть исход управляемого мероприятия зависит от выбранного решения (стратегии

Подробнее

Лекция 12.Байесовский подход

Лекция 12.Байесовский подход Лекция 12.Байесовский подход Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, 2013 1 / 36 Cодержание Содержание 1 Байесовский подход к статистическому

Подробнее

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ В КОМПЬЮТЕРНОЙ ЛАБОРАТОРИИ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ В КОМПЬЮТЕРНОЙ ЛАБОРАТОРИИ УДК 621.396.96:519 673: 681.32 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ В КОМПЬЮТЕРНОЙ ЛАБОРАТОРИИ С.С. Костина СВФ «Укроборонэкспорт», г. Киев, Украина kostina@i.com.ua Рассмотрены

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА 4 (20) 2010

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА 4 (20) 2010 4 (0) 00 Байесовский анализ когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом Рассмотрена задача байесовского оценивания последовательности неизвестных средних значений q q... q... по

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые

Подробнее

1. Принципы построения следящих радиолокационных измерителей. 1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СЛЕДЯЩИХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ

1. Принципы построения следящих радиолокационных измерителей. 1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СЛЕДЯЩИХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ ТЕМА 1. Теоретические основы построения систем вооружения зенитных ракетных войск ЗАНЯТИЕ 5. Принципы построения измерителей координат, используемых в системах вооружения ЗРВ 1. Принципы построения следящих

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов

Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов А. М. Карлов Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов Рекомендовано УМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся

Подробнее

ФАКУЛЬТЕТ РАДИОТЕХНИКИ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

ФАКУЛЬТЕТ РАДИОТЕХНИКИ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лабораторная работа 1 ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ СТАЦИОНАРНЫХ ЭРГОДИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. 1. Цель работы

Лабораторная работа 1 ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ СТАЦИОНАРНЫХ ЭРГОДИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. 1. Цель работы 1 ВВЕДЕНИЕ При экспериментальных исследованиях различных явлений, процессов и систем часто возникает необходимость привлечений статистических методов для анализа случайных данных. Применение персональных

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

Пусть принятый сигнал r(t), 0 t T описывается уравнением. r(t)=s(t)+n(t) (1)

Пусть принятый сигнал r(t), 0 t T описывается уравнением. r(t)=s(t)+n(t) (1) Алгоритм распознавания модуляции с использованием вейвлетпреобразования Предлагается алгоритм распознавания модуляции в условиях присутствия белого шума с использованием вейвлет-преобразования и пика нормализованной

Подробнее

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 7 Анализ остатков. Автокорреляция Оглавление Свойства остатков... 3 1-е условие Гаусса-Маркова: Е(ε i ) = 0 для всех наблюдений... 3 2-е условие Гаусса-Маркова:

Подробнее

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация)

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Аппроксимация по МНК Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Одна из главных задач математической статистики нахождение закона распределения случайной

Подробнее

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Байесовский подход к оценке вероятностей

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Байесовский подход к оценке вероятностей Байесовский подход к оценке вероятностей Когда нужно применять байесовский подход? В современных экспериментах часто возникает ситуации, когда классические методы анализа погрешностей и доверительных интервалов

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

Некоторые вопросы теории и практики при определении искомого сигнала в присутствии шума. Емельянов В.В.

Некоторые вопросы теории и практики при определении искомого сигнала в присутствии шума. Емельянов В.В. Некоторые вопросы теории и практики при определении искомого сигнала в присутствии шума. Емельянов В.В. 2 Среди большого числа задач, встречающихся в различных видах исследований, когда искомый сигнал

Подробнее

Лекция 9. Оценка параметров сигнала

Лекция 9. Оценка параметров сигнала Лекция 9. Оценка параметров сигнала Постановка адачи: на отреке времени [,] принимается реалиация λ μ y t S t,, n t, t,, (7.1),,..., const n t 1 1 k т - вектор информативных параметров с АПВ,,..., const

Подробнее

Исследование алгоритма завязки и подтверждения траекторий по критерию M из N

Исследование алгоритма завязки и подтверждения траекторий по критерию M из N УДК 621.396.96 Исследование алгоритма завязки и подтверждения траекторий по критерию M из N Чернова Т.С., студент кафедры «Радиоэлектронные системы и устройства», Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э.

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ АЧХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ГАУССОВСКИХ ИМПУЛЬСОВ

МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ АЧХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ГАУССОВСКИХ ИМПУЛЬСОВ Икрамов К. С. МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ АЧХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ГАУССОВСКИХ ИМПУЛЬСОВ Аннотация: С появлением цифрового телевидения оказалось, что методы измерения АЧХ, пригодные для аналогового

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Теоретические основы радиотехники. Захарченко Владимир Дмитриевич, д.т.н., профессор

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Теоретические основы радиотехники. Захарченко Владимир Дмитриевич, д.т.н., профессор УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой Радиофизики А.Л. Якимец МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФАКУЛЬТЕТ ФИЗИКИ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ КАФЕДРА «Радиофизики»

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

СПОСОБ ПРИЕМА ДИСКРЕТНЫХ ЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В КАНАЛЕ С МНОГОЛУЧЕВОСТЬЮ

СПОСОБ ПРИЕМА ДИСКРЕТНЫХ ЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В КАНАЛЕ С МНОГОЛУЧЕВОСТЬЮ ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ, N5, 25 СПОСОБ ПРИЕМА ДИСКРЕТНЫХ ЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В КАНАЛЕ С МНОГОЛУЧЕВОСТЬЮ Аннотация. И. В. Головкин ФГОБУ ВПО МТУСИ Статья получена 7 мая 25 г. В работе предложен

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. Лекция Методы отбора факторов.

ЭКОНОМЕТРИКА. Лекция Методы отбора факторов. Лекция 3. ЭКОНОМЕТРИКА 3. Методы отбора факторов. Оптимальный состав факторов, включаемых в эконометрическую модель, является одним из основных условий ее хорошего качества, понимаемого и как соответствие

Подробнее

Математическая статистика.

Математическая статистика. Лекция. Математическая статистика. Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА РАДИОФИЗИКИ РЯБЧЕНКО Е.Ю.

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА РАДИОФИЗИКИ РЯБЧЕНКО Е.Ю. КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА РАДИОФИЗИКИ РЯБЧЕНКО Е.Ю. ИЗУЧЕНИЕ АМ- И ЧМ-СИГНАЛОВ на основе лабораторного генератора GFG-3015 и анализатора спектра GSP-810 Методическая

Подробнее

Метод двухтактной спектральной обработки дополнительных сигналов

Метод двухтактной спектральной обработки дополнительных сигналов «Труды МАИ». Выпуск 80 www.mai.ru/science/trudy/ УДК 621.396.96 Метод двухтактной спектральной обработки дополнительных сигналов Вдовин Д.В. Раменское приборостроительное конструкторское бюро, ул. Гурьева,

Подробнее

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Обратная свертка (unfolding)

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Обратная свертка (unfolding) Обратная свертка (unfoldng) Что такое обратная свертка Обратная свертка (деконволюция, противосвертка, развертка, unfoldng) это задача восстановления истинного распределения (спектра) по измеренному, которое

Подробнее

1.2. Элементы теории вероятностей.

1.2. Элементы теории вероятностей. .. Элементы теории вероятностей.... Случайные события. Случайные события обычное явление в жизни. Примеры случайных событий: выпадение «орла» или «решки» при бросании монеты, выпадение числа при бросании

Подробнее

1. Теоретическое введение

1. Теоретическое введение Цель работы: изучение взаимосвязи основных системо-технических параметров и характеристик при проектировании РЛС. 1. Теоретическое введение Проектирование РЛС базируется на принципах системного подхода,

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Е. С. Вентцель

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Е. С. Вентцель Е. С. Вентцель ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений Одиннадцатое издание, стереотипное

Подробнее

В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических

В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических 7 РАВНОВЕСНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических систем. 7.1 Флуктуации энергии Рассматривается закрытая система, состояние которой представляется каноническим

Подробнее

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Постановка задачи. Основу математических моделей многих процессов и явлений в физике, химии, биологии, экономике и других областях составляют уравнения

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее