МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов, ОВ Крылов, ГХ Соловьёв КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Москва 0

2 Пособие посвящено важному разделу высшей математики «Комплексные числа», которые являются расширением множества действительных чисел, позволяющим установить взаимно - однозначное соответствие между ними и точками плоскости Излагаются геометрическое и тригонометрическое представление комплексных чисел, основные определения и действия c комплексными числами, представленными в алгебраической, тригонометрической и показательной форме Рассматривается вопрос о корнях многочлена с действительными коэффициентами, о его разложении на множители, о разложении дробно-рациональной функции на простейшие дроби и их интегрировании Пособие может быть использовано студентами всех факультетов для самостоятельной работы Приводятся решения типовых примеров и задач Предлагаются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и указаниями

3 ВВЕДЕНИЕ При решении многих практических задач с использованием математики приходится вводить новые, ранее не определенные понятия Так возникли целые положительные, отрицательные, дробные числа, объединенные понятием рационального числа Но уже с рождением теоремы Пифагора, выяснилось, что диагональ квадрата с единичной стороной не может быть выражена с помощью рациональных чисел Для преодоления этого барьера пришлось ввести понятие иррациональных чисел Далее, уже при решении квадратного уравнения мы cталкиваемся с тем, что отрицательном его дискриминанте мы не можем с помощью вышеупомянутых действительных чисел описать его решения В тоже время огромное число практических задач требует исследовать многочлены с действительными коэффициентами, корни которых не являются действительными числами Поэтому вводится понятие комплексного числа, которому и посвящено это методическое пособие

4 СОДЕРЖАНИЕ Основные определения Геометрическое изображение комплексного числа Действия над комплексными числами, выраженными в алгебраической форме Тригонометрическая форма комплексного числа Действия над комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме 6 Показательная форма комплексного числа 7 Действия над комплексными числами, выраженными в показательной форме 8 Применение комплексных чисел к интегрированию дробно- рациональных функций а Общие сведения о рациональных функциях б Свойства целых рациональных функций в Дробно-рациональные функции или рациональные дроби г Разложение правильных рациональных дробей на простейшие дроби д Вычисление интегралов

5 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Комплексным числом называется выражение вида, где и действительные числа, а так называемая мнимая единица Выражение х называется действительной частью, у - коэффициентом при мнимой части и соответственно обозначаются Re, Im Если 0, то комплексное число будет действительным числом Если 0, то комплексное число будет чисто мнимым числом Два комплексных числа и называются равными, если, Комплексные числа вида и - называются сопряженными Комплексное число равно нулю, если 0 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Комплексной плоскостью называется плоскость, в которой система координат выбрана следующим образом: по оси абсцисс откладывается действительная часть комплексного числа, а по оси ординат - коэффициент при мнимой части M ϕ O Рис Комплексное число изображается на комплексной плоскости точкой М(, или радиусом - вектором этой точки

6 ОМ Длина радиуса - вектора этой точки называется модулем комплексного числа и обозначается ρ Угол ϕ между осью абсцисс и радиусом - вектором точки М называется аргументом комплексного числа и обозначается ϕ arg Действительные числа изображаются точками по оси ОХ, мнимые по оси OY Ось OX называется действительной осью, ось OY называется мнимой осью Пример Следующие комплексные числа изобразить на комплексной плоскости векторами, определить их модули и аргументы: ; ; ; ; ;, 6 Модуль π arg ;, 7 arg 6 π 6 Рис, arg 0 ;, arg π ;, π arg ;, π arg ; 6, 6

7 Пример Найти геометрическое место точек, удовлетворяющее неравенству < < Рис Неравенству < < удовлетворяют все закрашенные точки внутри кольца, ограниченного концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами и Задачи для самостоятельного решения Найти геометрическое место точек, для которых π argπ < > < arg < π ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ЗАДАННЫМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 7

8 a Сложение Пусть даны два комплексных числа, Суммой этих двух комплексных чисел называется число вида ( ( Отсюда следует переместительный закон, те Сложение двух комплексных чисел, изображенных векторами, производится по правилу сложения векторов O Рис б Вычитание (разность двух комплексных чисел Пусть даны два комплексных числа, Разностью двух комплексных чисел называется такое комплексное число, которое при сложении с даст, те или Отсюда следует, что ( ( Вычитание также производится по правилу вычитания векторов Пример Найти разность двух векторов, в Умножение (произведение двух комплексных чисел Произведение двух комплексных чисел определяется по правилу умножения обычных двучленов с учётом того, что ( ( ( ( Следует заметить, что,, Пример Перемножить два комплексных числа, 7 г Деление Частным двух комплексных чисел и называется комплексное число, удовлетворяющее при 0 8

9 9 уравнению, и обозначается Пусть,,, причём 0 те 0 Найдём По определению частного имеем или ( ( Из равенства двух комплексных чисел получим Так как определитель этой системы не равен нулю, то, Таким образом, Следует заметить, что такой же результат можно получить, если числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряженное знаменателю Действительно ( ( ( ( ( ( Пример Найти частное чисел и ( ( ( ( Задачи для самостоятельного решения Произвести указанные действия: ( (, ( ( ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

10 Из рисунка видно, что Тогда комплексное число примет вид ρ cosϕ, ρ sϕ ρ( cosϕ sϕ ( Учитывая периодичность тригонометрических функций, комплексное число в тригонометрической форме в общем виде можно записать так ρ[ cos ( ϕ πk s( ϕ πk ], где k Z ( Выражение комплексного числа в виде равенства ( или ( называется тригонометрической формой комплексного числа Модуль ρ и аргумент ϕ комплексного числа определяется уравнениями ρ cosϕ sϕ или ρ ϕ tgϕ cos ( Аргумент комплексного числа можно определить с помощью формулы tg ϕ через ϕ arctg -ой или в -ой четвертях, или через лежит во -ой или -ей четвертях, если ϕ лежит в ϕ π arctg, если ϕ Пример Найти тригонометрическую форму комплексного числа - равен Так как π 6, π ϕ cos s 6 6 Пример форме, то ϕ принадлежит -ой четверти и π представить в тригонометрической 0

11 ρ tg ϕ Так как угол ϕ лежит в -ой четверти, то cos arctg s arctg ϕ arctg и Задачи для самостоятельного решения Представить в тригонометрической форме и определить модуль и аргумент комплексного числа : ; ; sα ( cosα ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ВЫРАЖЕННЫМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ a Умножение Пусть ρ( cosϕ sϕ ρ ( cosϕ sϕ Вычислим их произведение ρ ρ (( cosϕ cosϕ sϕ sϕ ( sϕ cosϕ sϕ cosϕ ρ ρ [ cos( ϕ ϕ s( ϕ ϕ ] ( Таким образом, при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются а аргументы складываются b Деление Пусть ρ(cosϕ sϕ ρ (cosϕ sϕ Тогда, используя правило деления двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, получим ρ(cosϕ sϕ ρ [ cos( ϕ ϕ s( ϕ ϕ ] ( ρ (cosϕ sϕ ρ При делении аргументы вычитаются, а модули делятся 0 0 Пример Даны ( cos60 s 60 0 ( cos o s 0 0 ( cos s, Вычислить их частное Пример Дано,, Вычислить

12 Представим эти комплексные числа в тригонометрической форме π π π π π π cos s cos s cos s 6 6 Тогда π π π π π π cos s 6 6 π cos s π в Возведение в степень Эту операцию выполняют с помощью формулы Муавра, которая имеет следующий вид : [ ρ( cos ϕ sϕ ] ρ ( cos ϕ s ϕ ( Она является обобщением операции перемножения сомножителей и может быть легко доказана методом математической индукции Пример Упростить выражение Сначала представим числитель и знаменатель в π тригонометрической форме cos s π π cos s 8 π π cos s π π cos s 8 π 6 6, 8 ( π s( π cos cos6π s 6π г Извлечение корня -ой степени из комплексного числа Определение Комплексное число вида w r(cosα sα называется корнем -ой степени из комплексного числа ρ(cosϕ sϕ, если w, где -натуральное число При операции извлечения корня комплексное число следует представлять в общем виде ρ[ cos ( ϕ πk s( ϕ πk ], где к,, ( Из равенства w имеем r ( cos α s α ρ[ cos( ϕ πk s( ϕ πk ]

13 Из равенства двух комплексных чисел следует ϕ πk r ρ α, где k Z Таким образом, α πk α πk ρ cos s, где k0,,, (- ( Обращаем внимание на то, что эта функция не является однозначной, а именно, каждому значению соответствуют значений корня Так как модуль комплексного числа равен постоянному числу ρ, то точки комплексной плоскости, соответствующие корням -ой степени из комплексного числа лежат на окружности радиуса ρ c центром в начале координат Пример Решить уравнение Представим комплексное число в тригонометрической π π форме cos πk s πk По формуле ( найдём корни уравнения При ko,,, π π cos s 8 8 9π 9π cos s 8 8 при к, при k π πk π πk cos s 8 8, где k0,,,, при к π π cos s, 8 8 π π cos s 8 8 Точки, соответствующие этим корням лежат на окружности с радиусом равным единице с центром в начале координат, делят её на четыре равные части и являются вершинами правильного четырехугольника Пример Найти суммы S cos cos cos K cos S s s s K s Составим комплексное число S S S ( cos s ( cos s K ( cos s Используя формулу Муавра, получим S ( cos s ( cos s ( cos s K ( cos s Это сумма членов геометрической прогрессии, следовательно

14 [ ] S ( cos s ( cos s ( cos s s ( ( cos s s s cos cos cos K cos cos s s s s s K s s s ( cos s ( cos s ( cos s Следовательно, ( ( Задачи для самостоятельного решения Вычислить по формуле Муавра ( 0 ; ( π π cos s cos0 0 0 ; ( 7 Решить уравнения 6 s0 ; ( ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА a Формула Эйлера В основе показательной формы комплексного числа лежит формула Эйлера, которая имеет следующий вид: e cos s (6 Эта формула верна при всех значениях b Свойства функции e Так как формула Эйлера верна при всех значениях, то e cos s (6 Складывая и вычитая (6 и (6, получим следующие формулы

15 e e cos e e s e e (6 ( e e (6 Доказательство: Используя формулу Эйлера, получим ( e ( cos s ( cos s cos( ( e s e ( e e (6 Доказательство аналогичное Функция е является периодической функцией с периодом Tπ ( Действительно, e π cos( π s( π e e e cos s, следовательно e cos s Пример (6 Вычислить π e cosπ sπ ; e π π e, e π π π cos( s( в Показательная форма комплексного числа Пусть Тогда это число в тригонометрической форме будет ρ( cosϕ sϕ Используя формулу Эйлера (6, получим ϕ ρ e (66 Так как ρ - положительное число, то его можно a представить в виде ρ e, где a l ρ и тогда равенство (66 примет следующий вид: a ϕ e (67 Пример 6 Записать в показательной форме комплексное число Найдём модуль и аргумент комплексного числа ρ ( (, tg ϕ Этому комплексному числу соответствует радиус-вектор, лежащий в третьей четверти Следовательно ϕ π, а e π

16 Задачи для самостоятельного решения Записать в показательной форме комплексные числа - 7 ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ВЫРАЖЕННЫМИ В ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФОРМЕ a Умножение ϕ ϕ ( ϕ ϕ ρe ρ e ρρ e (7 Модули перемножаются, а аргументы складываются Геометрический смысл операции умножения Умножим ϕ ϕ комплексное число ρ e на e Тогда произведение будет ( ϕ ϕ равно ρe Оно характеризуется радиусом- вектором, который ϕ получается при повороте вектора на угол ϕ Число e определяет поворот радиуса вектора на угол ϕ против часовой стрелки ρ ( ϕϕ б Деление e (7 ρ Модули делятся, аргументы вычитаются Пример 7 Даны, Найти их произведение и частное Найдём модули и аргументы этих чисел ( ρ, ϕ π ϕ ρ tg ϕ Так как -ой четверти, то ϕ π π π e e e π tg Так как ϕ принадлежит ϕ принадлежит -ой четверти, то π π e e π в Возведение комплексного числа в степень ϕ ϕ Пусть ρ e, тогда ρ e (7 г Извлечение корня из комплексного числа e 6

17 ϕ Пусть ρ e При извлечении корня аргумент комплексного числа нужно брать в общем виде с учётом периода, т е главное значение со слагаемым πk и определять по формуле: w ρ e k ϕ πk, где к0,,, (- (7 Пример (7 Найти корни 8 Представим комплексное число -8 в показательной форме -88 ( π π e k Тогда корни в показательной и тригонометрической форме соответственно будут: π πk wk 8e π πk π πk cos( s( При к0 w π e π π cos s π e cosπ sπ При к w ( π π π При к w e cos s -, где к0,, Точки, соответствующие этим корням лежат на окружности радиуса с центром в начале координат Задачи для самостоятельного решения 6 Решить уравнение ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ ДРОБНО- РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ a Общие сведения о рациональных функциях Определение Целой рациональной функцией от называется многочлен вида : P ( a0 a a a, (8 где a 0 0 В этом случае говорят, что многочлен имеет степень равную Определение Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется называется выражение вида R P ( a 0 ( m m Qm ( b0 b a a b m, (8 7

18 где P ( и Q m ( многочлены, не имеющие общих множителей, имеющие степени и m соответственно Коэффициенты a и b - действительные числа m б Свойства целых рациональных функций (без доказательства Теорема Целая рациональная функция или многочлен -ой степени имеет ровно комплексных корней (действительных или мнимых a есть корень многочлена P (, те P ( a 0, то без остатка и Если согласно теореме Безу, он делится на ( a P ( ( ( (8 Случай: корень действительное число Предположим для простоты, что корень a является действительным числом Тогда многочлен (, будет также являться многочленом с действительными коэффициентами И если a будет корнем многочлена (, то P ( ( a P ( и многочлен ( будет уже делиться без остатка на ( a и P ( ( a P ( Если многочлен P ( делится без остатка на k ( a те k P ( ( a P k ( (8 а P k ( уже не делится на ( a без остатка, то говорят, что многочлен P ( имеет k равных корней или a - корень многочлена кратности k Корень кратности единица называется простым корнем Таким образом, кратность корня многочлена это наибольший показатель степени многочлена, при котором многочлен P ( делится без остатка на k ( a Аналогично, если многочлен P ( имеет корень a кратности k, корень b кратности, корень c кратности l, то k l P ( ( a ( b ( c P ( (8 kl Случай: корень многочлена мнимое число α β Аналогичные рассуждения можно было бы привести и в этом случае Однако при этом при делении многочлена P ( на выражение, содержащее мнимое число ( α β получился бы многочлен (- степени с мнимыми коэффициентами В этом случае воспользуемся теоремой: 8

19 Теорема Если число α β корень многочлена с действительными коэффициентами, то комплексносопряжённое число α β также является корнем этого многочлена Следовательно, P ( [ ( ] [ ( ] P ( α β α β ( α α β P ( ( p q P (, где p α, q α β (86 Итак, если многочлен имеет мнимые комплексносопряжённые корни, то он делится без остатка на квадратный трёхчлен p q с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом, те P ( ( p q P ( (87 Если эти корни имеют кратность l, то l P ( ( p q P l ( (88 В общем случае, если многочлен имеет действительные корни a кратности k, b кратности k и тд, мнимые комплексно-сопряженные корни α β кратности l, α β кратности l, то многочлен можно разложить на множители по формуле k k l l P ( ( a ( b ( p q ( p q, (89 причём k k l l Итак, всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители двух видов: на линейные двучлены и на квадратные трёхчлены Пример 8 Разложить на множители многочлен P ( 6 6 Решаем уравнение Первый корень находим подбором Затем левую часть уравнения делим столбиком на ( Приравниваем частное нулю и, решая квадратное уравнение 6 0, найдём корни, По формуле (88 раскладываем многочлен на множители 6 6 ( ( ( Пример 8 Разложить на множители 9

20 Находим корни этого многочлена, α β, По формуле (86 находим α p, q Следовательно, ( ( в Дробно-рациональная функция или рациональная дробь P ( Определение Рациональная дробь R( называется Qm ( правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть <m Если m, то дробь называется неправильной Если дробь неправильная, то путём деления числителя на знаменатель столбиком нужно выделить целую часть и привести неправильную дробь к правильной P ( Q m ( P( N( Q (, (80 m где числитель P ( есть многочлен, степень которого меньше степени многочлена Q m ( Пример 8 Привести неправильную дробь к правильной 6 0 ( ( , так как деля столбиком многочлен, получим Среди всех правильных дробей простейшими будем считать следующие: A ( a A B k l ( p q, где k (8, где l, причём p q < 0 (8 г Разложение правильных рациональных дробей на простейшие Оно тесно связано с разложением знаменателя на множители Пусть правильная рациональная дробь имеет вид R P ( a 0 ( m m Qm ( b0 bm a a b Рассмотрим различные случаи: -ый случай: Все корни знаменателя действительные числа, различные, те уравнение Q m ( 0 имеет m корней кратности равной единице m 0

21 В этом случае многочлен можно представить в виде Qm ( b0 ( ( ( m, а рациональную дробь следует разложить на простейшие дроби вида (8 P ( a a a Q ( b ( ( ( m 0 0 m, (8 m, A A A A где коэффициенты A Am вычисляются методом неопределенных коэффициентов, который разберем на следующих примерах д Вычисление интегралов от рациональных дробей d Пример 8 Найти Решаем уравнение 0 Корни этого уравнения ; ; имеют кратность единица (действительные и различные В этом случае 7 6 ( ( ( и согласно (8 подинтегральное выражение можно представить в виде A A A ( ( ( m (8 Из равенства дробей запишем равенство числителей A ( ( A ( ( A ( ( или A ( 6 A ( A ( (8 Коэффициенты A ; A, A можно найти двумя способами -й способ: Равенство (8 является тождеством, поэтому приравнивая коэффициенты, при одинаковых степенях, стоящих в правой и левой частях равенства, получим систему линейных алгебраических уравнений: A A A 0 A A A 6A A A Решение этой системы : 0 A, A, A 0 -й способ Так как равенство (8 является тождеством, те верно при любых допустимых значениях, то подставляя в него последовательно,, получим A, A, 0A, или A, A, A, 0 Подставляя эти значения в (8, интеграл преобразуется

22 d 7 6 d l l l d d 0 -й случай: корни знаменателя действительные числа различной кратности Например, если - корень кратности к, а - корень кратности l, причём k l m, то согласно (8 знаменатель можно разложить на множители так: k l Q m ( ( ( В этом случае рациональную дробь следует разложить на простейшие дроби вида (8 следующим образом: P ( A A Ak Ak Ak ( k Q ( ( ( ( k l R k l m k k k ( k l d Пример8 Найти Найдём корни уравнения 0 Разложим левую часть уравнения на множители ( 0 0-корень кратности, - корень кратности Поэтому A A A A (86 ( A A ( A ( A ( Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему линейных уравнений A A A A 0 A A A 0 0 Решение этой системы уравнений будет A, A 7 d l l c A, 7 c A, 9 Подставляя (86 под знак интеграла, получим -й случай : корни знаменателя мнимые числа, комплексно - сопряженные Например, пусть знаменатель имеет комплексносопряжённые корни α β, α β кратности k и γ δ и γ δ кратности l, причём k l m Тогда согласно (86 знаменатель можно представить k l P m ( ( p q ( p q A

23 В этом случае рациональную дробь следует разложить на простейшие дроби вида (8 следующим образом : P A B A B Ak Bk R ( ( k Qm ( p q ( p q ( p q C D C D Cl Dl (87 l p q p q ( p q ( ( d Пример (8 Найти 6 Найдём корни знаменателя 6 0 (биквадратное уравнение,, ±,, ± Корни мнимые, комплексно-сопряжённые кратности один Знаменатель раскладывается на множители 6 ( (, а рациональная дробь раскладывается на простейшие дроби по формуле (87 A B A B (88 ( ( Коэффициенты A, B, A, B находим методом неопределённых коэффициентов A ( B ( A ( B ( Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными A A B B A A B B 0 0 Решение этой системы A, A, B, B Подставляя (88 с учётом этих коэффициентов под знак интеграла, получим ( d ( d ( d 6 d d l arctg l arctg d d с

24 Задачи для самостоятельного решения Перечислите корни многочлена P ( ( ( ( и укажите их кратность Можно ли считать законченным разложение многочлена на множители, если он записан в виде: P ( ( ( (? 8 Какая из дробей не является простейшей? ( (,, Запишите форму разложения рациональной дроби 7 ( ( 7 ( вычисляя коэффициенты (6 d d Найти ( ( 6 Найти на простейшие дроби, не ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Окружность с центром в начале координат и радиусом равным двум Отрицательная часть оси абсцисс Внутренность круга с центром в начале координат и радиусом равным единице Внешность круга с центром в начале координат и радиусом равным двум Верхняя полуплоскость π π - cos( s( ( cos 0 s 0 ( cos( π arcs s( π arcs

25 α α α sα ( cosα s (cos s 8 6 Комплексное число - представить в общем виде и использовать формулу Муавра,, 8 π π, cos( πk s( πk 7, где k 0,, -, π π 6 0 e e e π e πk,, e 7, ( k 0,, Указание: 8 представить в показательной форме в общем виде π ( k 6,,,,,6 e, ( k 0, 8 - корень кратности, - корень кратности, ± - корни кратности нет, ( 7 ( ( ( 7 A6 A7 A8 ( ( l l l c A A A A A 7 6 l l arctg c ( 7

26 ЛИТЕРАТУРА АГКурош, Курс высшей алгебры Гос издат физ-мат литературы М, 96 ВПМинорский, Сборник задач по высшей математике, издательство НАУКА, М,978 ВСШипачёв, Сборник задач по высшей математике М, Высшая школа 99 Задачи и упражнения по математическому анализу, под редакцией БП Демидовича, Наука, М,978 6

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: Лекция МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая форма комплексного числа Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и. 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа в алгебраической форме 1Основные понятия Определение 1 Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение вида, где и действительные числа, а так называемая

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Основные понятия 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексным числом называется выражение вида i, где и действительные числа, i мнимая единица, удовлетворяющая условию i 1 Число называется действительной частью комплексного

Подробнее

Лекция 5. Комплексные числа

Лекция 5. Комплексные числа Лекция 5 Комплексные числа Не все многочлены с вещественными коэффициентами имеют вещественные корни. Например, многочлен x + x + не имеет вещественных корней, т.к. уравнение x + x + = 0 имеет отрицательный

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими Определение 6.. Комплексным числом называется выражение = а + ib, где, b любые действительные числа, i мнимая единица.

Подробнее

2. Действия над комплексными числами

2. Действия над комплексными числами Действия над комплексными числами Словарь: произведение комплексных чисел комплексная плоскость радиус-вектор формула Муавра Обратите внимание: Действия (над чем? над числами Извлечение (чего? корня Действия

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел

Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел Комплексные числа были введены в связи с тем, чтобы расширить имеющуюся систему действительных чисел. Известно, что действительных чисел не достаточно,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского

Подробнее

Комплексные числа и действия над ними

Комплексные числа и действия над ними Комплексные числа и действия над ними Лекция 1 Л. И. Лазарева, И. А. Цехановский Курс: Ряды и комплексный анализ Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных

Подробнее

Комплексные числа. yξ + xη = 0 которая в силу невырожденности (определитель системы x 2 + y 2 0) имеет единственное. 2 x 2 + y. 2

Комплексные числа. yξ + xη = 0 которая в силу невырожденности (определитель системы x 2 + y 2 0) имеет единственное. 2 x 2 + y. 2 Комплексные числа Традиционно под комплексными числами понимают числа z вида x + iy, где x, y R и i мнимая единица число, обладающее свойством i = 1. Множество комплексных чисел принято обозначать C. Число

Подробнее

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O Комплексные числа I Комплексные числа в алгебраической форме Определение Комплексным числом называется выражение вида где и действительные числа число называется мнимой единицей: Числа и называются соответственно

Подробнее

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Комплексные числа, действия с ними СОДЕРЖАНИЕ: Определение Действия с комплексными числами Свойства операций с комплексными числами Геометрическая модель комплексных

Подробнее

Множество комплексных чисел. Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных чисел недостаточно. Например, уравнение

Множество комплексных чисел. Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных чисел недостаточно. Например, уравнение 8 Примеры : ) Пусть A [,5] mifa, MsupA5 ) Пусть A (,) 5 mifa, MsupA5 3) Пусть { } A < 5, R, m if A 5, M supa 5 Множество комплексных чисел Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (с приложениями к задачам электротехники)

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (с приложениями к задачам электротехники) Федеральное агентство железнодорожного транспорта Иркутский государственный университет путей сообщения ОД Толстых ВЕ Гозбенко КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (с приложениями к задачам электротехники) ТЕКСТ ЛЕКЦИЙ И

Подробнее

Практическое занятие 1. Комплексные числа

Практическое занятие 1. Комплексные числа С. А. Лавренченко.lareceko.ru Практическое занятие Комплексные числа (Используется типовые расчеты,.). Операции над комплексными числами Пример.. Вычислить ( )( 4). Решение: Надо раскрыть скобки, заменить

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов МАТЕМАТИКА. Понятие о комплексных числах

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов МАТЕМАТИКА. Понятие о комплексных числах Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского В.А. Иванов МАТЕМАТИКА Понятие о комплексных числах Учебное пособие для студентов биологического факультета ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Подробнее

Алгебраические преобразования, комплексные числа, векторная алгебра, элементы комбинаторики и бином Ньютона

Алгебраические преобразования, комплексные числа, векторная алгебра, элементы комбинаторики и бином Ньютона Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет Л.И. Лазарева Алгебраические преобразования, комплексные числа, векторная алгебра, элементы комбинаторики и бином Ньютона

Подробнее

Лекция 1. Комплексные числа

Лекция 1. Комплексные числа С А Лавренченко wwwlawecekou Лекция Комплексные числа Множество действительных чисел, как обычно, обозначается R, а множество комплексных чисел через C Мы увидим на этой лекции, как между множествами C

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

Комплексные числа. , то суммой этих точек мы будем называть точку с абсциссой a c и ординатой c d, т.е. . Если даны точки ( a, b)

Комплексные числа. , то суммой этих точек мы будем называть точку с абсциссой a c и ординатой c d, т.е. . Если даны точки ( a, b) Тема 1 Комплексные числа 1 11 Понятие комплексного числа Комплексные числа вводятся в связи со следующей задачей Известно что действительных чисел недостаточно для того чтобы решить любое квадратное уравнение

Подробнее

1 Системы линейных уравнений

1 Системы линейных уравнений 1 Системы линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений a x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2.............................. a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n

Подробнее

P x x Qx ( ) + r или

P x x Qx ( ) + r или Лекция Разложение рациональной дроби на простейшие Аннотация: Доказывается, что из неправильной дроби можно выделить целую часть, а правильную дробь разложить на простейшие Рациональной дробью (рациональной

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Глава I КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА СОДЕРЖАНИЕ

Глава I КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА СОДЕРЖАНИЕ Министерство транспорта и связи Украины Государственная администрация связи ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие для иностранных

Подробнее

1 День КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1 День КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа. Все знают, что не существует такого вещественного числа, что его квадрат равен минус единице. А что будет, если придумать такое НЕвещественное число i, которое в квадрате

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Балаково

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Балаково Балаковский институт техники, технологии и управления (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

2-е занятие. Комплексные числа: тригонометр. форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр

2-е занятие. Комплексные числа: тригонометр. форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр -е занятие Комплексные числа: тригонометр форма Линейная алгебра, прикл матем, -й семестр A1 Перевести комплексные числа из тригонометрической формы в алгебраическую и отметить на комплексной плоскости:

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Негосударственная образовательная организация среднего профессионального образования некоммерческое партнерство

Негосударственная образовательная организация среднего профессионального образования некоммерческое партнерство Негосударственная образовательная организация среднего профессионального образования некоммерческое партнерство «Тульский колледж технологий, экономики и права» ПРОГРАММА вступительных испытаний по математике

Подробнее

Лекция 3 1. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ Формула Эйлера. Рассмотрим функцию. f(ϕ) = cosϕ + i sin ϕ. Она обладает свойством

Лекция 3 1. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ Формула Эйлера. Рассмотрим функцию. f(ϕ) = cosϕ + i sin ϕ. Она обладает свойством Лекция. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ.. Формула Эйлера. Рассмотрим функцию Она обладает свойством Эта функция обозначается e iϕ : это формула Эйлера. fϕ) = cosϕ + i sin ϕ. fϕ ) fϕ ) = fϕ + ϕ ). e

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

ПРОГРАММА по математике для проведения вступительных экзаменов в ВлГУ в 2010 г. (на базе основного общего образования 9 кл.)

ПРОГРАММА по математике для проведения вступительных экзаменов в ВлГУ в 2010 г. (на базе основного общего образования 9 кл.) Утверждаю Ректор университета Председатель Приемной комиссии ВлГУ Морозов В. В. 2010 г. ПРОГРАММА по математике для проведения вступительных экзаменов в ВлГУ в 2010 г. (на базе основного общего образования

Подробнее

изображается на плоскости xoy точкой y. Длина радиус-вектора называется модулем комплексного числа: z x y. Угол,

изображается на плоскости xoy точкой y. Длина радиус-вектора называется модулем комплексного числа: z x y. Угол, Комплексным числом называется выражение вида x y (алгебраическая форма комплексного числа), где x, y R; x Re - действительная часть комплексного числа ; y Im - мнимая часть комплексного числа ; - мнимая

Подробнее

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5.

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Подробнее

Примеры и комментарии

Примеры и комментарии 72 Глава2 Многочлены Примеры и комментарии Алгоритмы А-01 Запись многочлена в стандартном виде А-02 Действия над многочленами А-03 Устные преобразования А-04 Формулы сокращенного умножения А-05 Бином Ньютона

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

Программа по математике. ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ РГБОУ СПО «КЧПК им. У. Хабекова» (база основного общего образования)

Программа по математике. ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ РГБОУ СПО «КЧПК им. У. Хабекова» (база основного общего образования) Республиканское государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Карачаево-Черкесский педагогический колледж им. У.Хабекова» Программа по математике ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ

Подробнее

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных

Подробнее

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость. Методическая разработка Решение задач по ТФКП Комплексные числа Операции над комплексными числами Комплексная плоскость Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической экспоненциальной

Подробнее

1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр

1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр 1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., -й семестр A1 Записать комплексные числа в алгебраической форме и отметить на комплексной плоскости: (3; 4), (7; 5),

Подробнее

Общие положения. I. Основные математические понятия. Числа и вычисления. Выражения и их преобразования

Общие положения. I. Основные математические понятия. Числа и вычисления. Выражения и их преобразования Общие положения Содержание программы сгруппировaнo вокруг стержневых линий школьного курса математики: «Числовые вычисления», «Выражения и их преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Геометрические

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Комплексные числа

Глава 1. Введение. 1. Комплексные числа Предисловие Предлагаемый читателю «Сборник задач по теории функций комплексного переменного» предназначен для студентов инженернофизическихи физико-техническихспециальностей вузов, а также студентов университетов.

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

Содержание. Неравенства... 20

Содержание. Неравенства... 20 Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2}

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2} Геометрия 9 класс Тема Метод координат Основные понятия Векторы i и j называются координатными векторами, если их длины равны единице, вектор i сонаправлен с осью абсцисс, а вектор j сонаправлен с осью

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ, ПРОВОДИМОГО ВУЗОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО по математике

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ, ПРОВОДИМОГО ВУЗОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО по математике МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования

Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования На экзамене поступающий должен показать: а) чѐткое знание основных математических определений и теорем, предусмотренных

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ, ПРОВОДИМЫХ УНИВЕРСИТЕТОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ, ПРОВОДИМЫХ УНИВЕРСИТЕТОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского»

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный технический университет» ТвГТУ МА Шестакова ЮА Егоров

Подробнее

I. ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЙ К УСВОЕНИЮ УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ

I. ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЙ К УСВОЕНИЮ УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от 23.12.2011 813 Программа вступительных испытаний по учебному предмету «Математика» для лиц, имеющих общее базовое образование, для получения

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Алгебраическая форма комплексного числа. Учебная презентация

Алгебраическая форма комплексного числа. Учебная презентация Алгебраическая форма комплексного числа. Учебная презентация А. В. Лихацкий Руководитель: Е. А. Максименко Южный федеральный университет 14 апреля 2008 г. А. В. Лихацкий (ЮФУ) Алгебр. форма компл. числа

Подробнее

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

Рекомендации для учащихся по подготовке к экзамену по математике за курс 5-6 класса

Рекомендации для учащихся по подготовке к экзамену по математике за курс 5-6 класса Рекомендации для учащихся по подготовке к экзамену по математике за курс 5-6 класса Дорогой шестиклассник! В этом учебном году тебя ожидает новый вид работы подготовка к устному экзамену. Данный материал

Подробнее

ПРОГРАММА. вступительных экзаменов в форме собеседования. по математике

ПРОГРАММА. вступительных экзаменов в форме собеседования. по математике Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики ГОУВПО «Донецкий национальный технический университет» ПРОГРАММА вступительных экзаменов в форме собеседования по математике для поступления

Подробнее

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от Программа вступительных испытаний по учебному предмету «Математика» для лиц, имеющих общее среднее образование, для получения среднего специального или высшего образования І ступени, 2015 год УТВЕРЖДЕНО

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль

Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль. Многочлен, определение. Деление многочлена с остатком. Теорема Безу.. Иррациональные числа. Доказательство существования иррационального числа.

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

Конспект лекции 2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Конспект лекции 2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Конспект лекции 2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 0. План лекции ПЕРВЫЙ ЧАС. Поле комплексных чисел. 1. Аксиомы поля "4+1+2". 1.1. Определение поля; 1.2.! нулевого и единичного элементов; 1.3. Расширение поля и подполе;

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

ПРОГРАММА. подготовки к вступительному испытанию по математике. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра и начала анализа

ПРОГРАММА. подготовки к вступительному испытанию по математике. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра и начала анализа ПРОГРАММА подготовки к вступительному испытанию по математике Настоящая программа составлена в соответствии с действующими государственными «Примерными программами вступительных экзаменов (испытаний)».

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНКУЛЬТУРЫ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ КУЛЬТУРЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ Тюмень

Подробнее

МАТЕМАТИКА, 5класс 6 часов в неделю, всего 204 часа. урока Содержание учебного материала Кол-во уроков п.1 «Натуральные числа и шкалы» (18 уроков)

МАТЕМАТИКА, 5класс 6 часов в неделю, всего 204 часа. урока Содержание учебного материала Кол-во уроков п.1 «Натуральные числа и шкалы» (18 уроков) МАТЕМАТИКА, класс часов в неделю, всего 0 часа урока Содержание учебного материала Кол-во уроков п. «Натуральные числа и шкалы» (8 уроков) Дата - -7 8-0 - -7 8 9- -9 0 - -7 8- -8 9- -8 9- -9 70-7 7 7-7

Подробнее

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики 009-010 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Элементы теории чисел. Натуральные и целые числа знакомы вам с младших классов, но полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Гельфман Э.Г.

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Гельфман Э.Г. Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Гельфман Э.Г. Портал обеспечивает каталогизацию электронных образовательных ресурсов и предоставление свободного доступа к ним учеников и учителей.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Башмакова М.И.

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Башмакова М.И. Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Башмакова М.И. Портал обеспечивает каталогизацию электронных образовательных ресурсов и предоставление свободного доступа к ним учеников и учителей.

Подробнее

4. Алгебраические уравнения 1.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения 2

4. Алгебраические уравнения 1.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения 2 6-7 уч год 6, кл Математика Комплексные числа 4 Алгебраические уравнения Квадратные уравнения В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения ax bx c =, a, () с действительными коэффициентами

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Стратегия составления уравнений Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

Календарно тематическое планирование по алгебре 8 класс. За год 136 часов, в неделю 4 часа. КПУ (коды проверяемых умений)

Календарно тематическое планирование по алгебре 8 класс. За год 136 часов, в неделю 4 часа. КПУ (коды проверяемых умений) п/п Тема урока 1 Числовые выражения. Проценты. Дата 8А 8Б КЭС (Код элемента содержания) 1.3.6 1.5.4 Элемент содержания Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Геометрические фигуры Геометрические величины Работа с информацией 6 класс Натуральный ряд чисел и его свойства Действия с натуральными числами

Геометрические фигуры Геометрические величины Работа с информацией 6 класс Натуральный ряд чисел и его свойства Действия с натуральными числами решения задачи. Представление текста задачи (схема, таблица, диаграмма и другие модели). Геометрические фигуры Распознавание и изображение геометрических фигур: прямоугольник, квадрат. Геометрические величины

Подробнее

теорему Виета для нахождения коэффициентов и свободного члена квадратного уравнения; решать текстовые задачи с помощью квадратных уравнений.

теорему Виета для нахождения коэффициентов и свободного члена квадратного уравнения; решать текстовые задачи с помощью квадратных уравнений. Алгебра 8 класс Учебник «Алгебра» Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. Издательство «Просвещение» Учитель Щербакова Виктория Борисовна 1.Рациональные дроби Знать основное свойство дроби,

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwthetspru Гущин Д Д СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды

Подробнее