МАТЕМАТИКА Введение в математический анализ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА Введение в математический анализ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Иркутский государственный технический университет Заочно-вечерний факультет Кафедра общеобразовательных дисциплин С.П. Потемкина МАТЕМАТИКА Введение в математический анализ Методическое пособие для самостоятельной работы студентов заочного обучения Иркутск 009

2 Рецензенты: Горбачев О.А., к.ф.-м.н., доцент, директор ИФ МГТУ, Д.В. Хазанов, к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой ЕНД ИФ МГТУ. С.П.Потемкина. Математика. Введение в математический анализ. Методическое пособие. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, с. Методическое пособие выполнено в соответствии с государственным образовательным стандартом и представляет собой краткий курс лекций по разделу математики «Введение в математический анализ». Содержит большое число примеров, задания для самостоятельной работы и вопросы для самоподготовки. Предназначены для самостоятельного изучения дисциплины студентами заочной формы обучения всех специальностей. Библ. 7 назв. Рис.. Потемкина С.П., 009 Иркутский государственный технический университет, 009

3 . ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА.. Действительные числа Определение. Прямая l, на которой выбрано начало 0, масштаб и направление, называется числовой осью. Любому действительному числу r соответствует единственная точка числовой оси и наоборот. То есть между действительными числами и точками числовой оси установлено взаимно однозначное соответствие. Действительные числа обладают свойствами упорядоченности: если а и b действительные числа, то а b, либо а < b, либо а > b. Действительные числа на числовой оси изображаются в возрастающем порядке. Множество действительных чисел обозначают R. Если дополнить множество действительных чисел R двумя элементами + и, то получим расширенную числовую прямую и расширенное множество действительных чисел R, причем по определению выполняются соотношения:. < х< +, х + +,, х R;. х (+ ) +, х ( ), х > 0;. х (+ ), х ( ) +, х < 0; 4. (+ ) + (+ ) + ; 5. ( ) + ( ) ( ); 6. ( + ( + +, ( ) ( ) + ; 7. ( + ) ( ), ( ) ( + ). + Операции ( + ) + ( ) и неопределенны... Модуль действительного числа Определение. Модулем действительного числа х называется неотрицательное число, определяемое условием, 0,, < 0. Если ε > 0 произвольное число, то из неравенства ε следует, что ε х ε или х [ ε; ε]. Свойства модуля действительного числа. Пусть а и b произвольные действительные числа. Тогда:. ab a b ; a b a ; b., ( b 0). a + b a + b ; неравенство Коши Буняковского;

4 4. a b a b... Ограниченные множества Определение. Множество D R называется ограниченным сверху, если существует такое действительное число b, что х b, х D. Аналогично - D ограничено снизу, если существует такое действительное число а, что х а, х D. Определение. Множество D называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, то есть множество D ограничено в том и только в том случае, если оно расположено на конечном отрезке [а; b] (рис..). а D Рис... b l Множество, состоящее из конечного числа точек - ограничено. Примеры.. Множество натуральных чисел ограничено снизу любым числом а.. Множество отрицательных чисел ограничено сверху любым числом b 0. Определение. Множество неограниченное сверху или снизу называется неограниченным. Теорема. Множество D R неограниченно, если М > 0 х D, такое что х > М. Например, множество целых чисел Z неограниченно. Неограниченными множествами являются бесконечные интервалы (- ; + ), (- ; b), (а; + )..4. Нижние и верхние грани множества I. Если действительное число b ограничивает множество D сверху, то b называется верхней гранью множества D. Любое число больше b, тоже является верхней гранью множества D. Наименьшая верхняя грань множества D называется точной верхней гранью и обозначается sup D M или sup{} M (латинское слово supremum - наибольший). Из определения точной верхней грани вытекают следующие свойства:. M есть верхняя грань множества D, то есть х D выполняется неравенство х M.. ε > 0 найдется число х D, такое, что M ε < х M. 4

5 Аналогично определяется точная нижняя грань множества D. Наибольшая нижняя грань множества D называется точной нижней гранью и обозначается if D m или if{} m (латинское слово ifimum - наименьший). Точная нижняя грань m множества D характеризуется свойствами:. m есть нижняя грань множества D, то есть х D выполнено неравенство х m.. ε > 0 найдется число х D, такое, что m < х m + ε. Принадлежность множеству D верхней и нижней грани необязательна. Существование if D и sup D у ограниченного множества очевидно. Точной верхней гранью неограниченного множества является (+ ). Точной нижней гранью неограниченного множества является (- ). Например, sup [a; + ) +, if ( ; b], sup Z +, if Z..5. Окрестность точки Определение. Расстоянием между числами х и х называется число ρ (х, х ) х х. Определение. ε окрестностью точки a R., называется множество действительных чисел U ε (a) ρ (х, a) х a < ε (рис..). U ε (a) а ε а Рис... а+ε Проколотой окрестностью называется окрестность, из которой удалена сама точка a ( a) U (a) \ a U & (рис..). ε ε а ε U& ε ( a) а Рис... а+ε Вопросы для самоподготовки. Что называется числовой осью?. Какая числовая прямая называется расширенной?. Что называется модулем действительного числа? 4. Какое множество называется ограниченным? 5. Что такое нижняя и верхняя грани множества? 6. Что называется расстоянием между точками? 7. Какое множество называется окрестностью точки? 8. Что такое проколотая окрестность точки? 5

6 . КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.. Алгебраическая форма комплексного числа Определение. Комплексными называются числа вида z + (алгебраическая форма комплексного числа), где х и у действительные числа, а i мнимая единица, которая наделена свойством i. Числа х и у являются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются Rez, y Imz. Комплексное число z iy называется сопряжённым комплексному числу z + iy. Комплексное число кроме алгебраической имеет, тригонометрическую и показательную форму записи. Геометрически в декартовой системе координат комплексному числу z + iy будет соответствовать точка М(х,у) либо вектор, соединяющий начало координат О(0; 0) и точку М(х; у), либо у М(х;у) радиус-вектором r с проекциями (х;у) (рис..). Плоскость, в на которой изображаются r комплексные числа, называется комплексной плоскостью (Z). у Если комплексное число z действительное число (z х), то соответствующая ему φ х 0 точка лежит на оси ОХ, поэтому ось абсцисс х называется действительной осью. Чисто мнимые числа (z iу) изображаются на оси ОУ, Рис.. поэтому ось ординат называется мнимой осью. Длина радиус-вектора r, соответствующего комплексного числа z, называется модулем, определяется однозначно и вычисляется по формуле iy ОМ r z + y. (.) Угол φ, образованный вектором ОМ и положительным направлением оси ОХ, называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z, то есть φ Arg z. При этом угол φ считается положительным, если он отсчитывается в положительном направлении (против хода часовой стрелки). Аргумент определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного π, Arg z аrg z + kπ, где k ±, ±,, аrg z есть главное значение, определяемое условиями: 6

7 y arctg, если > 0, y π + arctg, если < 0, y 0, y arg z π + arctg, если < 0, y < 0, (.) π, если 0, y > 0, π, если 0, y < Действия над комплексными числами в алгебраической форме Два комплексных числа z + iy и z + iy считаются равными тогда и только тогда, когда у них равны соответственно действительные и мнимые части: z z, если, y y. При сложении, вычитании, умножении, делении и возведении в степень комплексных чисел получаются комплексные числа, за исключением сложения и умножения сопряжённых комплексных чисел, для которых ( + iy) + ( iy) ; ( + iy)( iy) + y. Пусть даны два комплексных числа z + iy и z + iy.. z ± z ( + iy ) ± ( + iy ) ( ± ) + i (y ± y ).. z z ( + iy )( + iy ) ( - y y ) + i ( y + y ); z + iy ( + iy)( iy) ( + yy ) + i( y y). z + iy ( + iy )( iy ) + y + y + y y y + i + y y. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами: ) коммутативности z + z z + z ; z z z z ; ) ассоциативности (z + z ) + z z + (z + z ); (z z ) z z (z z ); ) дистрибутивности z (z + z ) z z + z z. При возведении в степень комплексного числа i надо заменить степени их значениями: i ; i i; i 4 ; i 5 i; i 6 ; i 7 i и т.д. 7

8 Пример.. Выполнить указанные действия: i. ( + i)( i);. ; + i i Решение. + i i 6 + 7i i 9 + 7i, i. ( )( ) ( ).. ( )( + i) +. i + i i ( i)( i ) 6i + i 6i i.. + i ( + i )( i i i. ( )( ) ( 0 i)( i) i + i + i + + i + i ( + i)( i) 89 9i i. 8.. Тригонометрическая форма комплексного числа. Из рис.. следует, что х cos φ; у si φ. Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z + iy имеет вид z r cosϕ + irsi ϕ или z r( cosϕ + i si ϕ), где r модуль комплексного числа, а φ главное значение его аргумента, y причем tg ϕ. Переход к тригонометрической форме производится по формулам y r z + y и cos ϕ, si ϕ. (.) r r Тригонометрическая форма комплексного числа позволяет производить и дополнительные действия над комплексными числами.... Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме Если z r ( cosϕ + i siϕ ) и z r ( cosϕ + i si ϕ ) z r r cos( ϕ + ϕ ) + i si( ϕ + ), то z [ ϕ ], z r [ cos( ϕ ϕ ) + i si( ϕ ϕ )]. z r При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении, соответственно, делятся и вычитаются. Возведение в степень выполняется по формуле z ( cosϕ + i si ϕ) r, (.4) 8

9 где целое положительное число. В частности (формула Муавра): ( cosϕ + i si ϕ) ( cosϕ + i si ϕ). Из формулы возведения в степень выводится формула извлечения корня: ϕ + πk ϕ + πk z r cos + i si. (.5) где k 0,,,,. Из формулы (.5) следует, что при извлечении корня ой степени получается различных значений корня. Если корни уравнения z a, где а комплексное число, построить на плоскости ХОУ, то они расположатся на окружности радиуса Пример.. r a. Вычислить ( i). 5, образуя вершины правильного угольника. Решение. Представим данное комплексное число в тригонометрической форме. π Так как i +, ϕ arctg, то 6 π π i cos i si. По формуле (.) получим π 5π π π ( i) cos isi cos isi i ( + i).. Найти все корни и построить их на плоскости i. Решение. Комплексное число i представим в тригонометрической форме. π π π i r, ϕ arctg, i cos i si. Для вычисления кубических корней из данного числа используем формулу (.5). Получим три различных значения корня: π π + πk + πk i cos + i si ( k 0,, ), или π π 5π 5π π π z cos isi, z cos + isi, z cos + isi

10 Полученные комплексные числа в комплексной плоскости представляют точки окружности радиусом r (рис..). у z z О х z.. Показательная форма комплексного числа Правила умножения, деления и возведения в степень для комплексных чисел совпадают с аналогичными правилами для степенной функции, поэтому возможна запись комплексных чисел z r( cosϕ + i si ϕ) и z r( cosϕ i si ϕ) в показательной форме: i ϕ i ϕ z rе и z re, соответственно. Формулы (.) являются также формулами перевода комплексных чисел из алгебраической в показательную форму. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в показательной форе выполняется по формулам z z r e iϕ r e iϕ r r e i( ϕ + ϕ ) ; z iϕ re r e i ϕ ϕ iϕ r e r z ( ). Рис... Показательная форма не только обладает свойствами тригонометрической формы, но и позволяет производить дополнительные действия с комплексными числами (например, вычислить i i ). 0

11 . Найти все значения корней. Задания для самостоятельной работы.. 4 i;.. + i ;.. 4 i;.4. i ;.5. 4 i ;.6. ; i ; i;.9. + i; i.. Вычислить: i.. ; i + ( + i ).5. i i.. ; i i.. ; + i Вопросы для самоподготовки i.4. ; i. Какое число называется комплексным?. Геометрическое представление комплексных чисел.. Что называется модулем и аргументом комплексного числа и как они определяются? 4. Формы представления комплексных чисел. 5. Как выполняется сложение и вычитание комплексных чисел, заданных в алгебраической форме? 6. Как выполняется умножение и деление комплексных чисел, заданных в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. 7. Как возвести комплексное число в целую положительную степень? 8. Запишите формулу Муавра. 9. Как извлекается корень целой положительной степени из комплексного числа? 4.

12 . ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЁ ПРЕДЕЛ Определение. Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие число х, то говорят, что этим определена последовательность чисел х, х,, х,, которую обозначают {х }. х называют общим членом последовательности. Например, ; ; ;... Из определения следует, что последовательность является функцией, отображающей множество N на R. Определение. Если дана последовательность {х } и из её членов образована новая последовательность, то она называется подпоследовательностью этой последовательности и обозначается { } k, k N. Определение. Последовательность {х } называется ограниченной, если существует число С > 0, такое, что х > C, для всех > N. si Например, последовательность { si } ограничена, так как, С... Предел последовательности Пусть {х } числовая последовательность. Определение. Число а называется пределом числовой последовательности {х } и обозначается a, если для любого положительного сколь угодно малого ε существует целое положительное N N( ε), такое, что для любого N выполняется неравенство a < ε. Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся. Последовательность {х } будем называть бесконечно большой, если для любого М > 0 существует целое положительное N, такое, что для любого N выполняется неравенство > M. Пример... 5 Пусть { }. Доказать, что число a является пределом 4 + этой последовательности. a 5 < ε ( )

13 Найдем N, начиная с которого a < ε выполняется для любого ε > 0. ε Для этого решим неравенство < ε. Если ε 0,, то >. + ε,99 За N примем N + 5 0,, где [ а ] целая часть числа а. Начиная с номера > 5, выполняется неравенство a < ε, то есть a является пределом данной последовательности.. Свойства сходящихся последовательностей. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.. Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.. Сходящаяся последовательность ограничена. 4. Если a 0, то, начиная с некоторого номера N, члены последовательности сохраняют знак а. Следствие. Если a, у b и a < b, то, начиная с некоторого номера N выполняется неравенство < y. 5. Пусть a, у b, если начиная с некоторого номера N выполняется неравенство y, то a b. 6. Пусть для последовательностей { }, { y }, { z } выполняются неравенства y z и z a, то у a. Теорема. Если последовательности { }, и { } a, y b, то ) ( + y ) + y a + b ) C C Ca ; ) ( y ) y a b 4) если y b 0, то y y ; ; a b. y сходятся и.. Монотонные последовательности Определение. Числовая последовательность { } называется неубывающей, если K K. Последовательность называется строго

14 возрастающей, если < <K < K. Аналогично, числовая последовательность { } называется невозрастающей, если K K. Последовательность называется строго убывающей, если > >K >K. Возрастающие и убывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей. Монотонно возрастающая последовательность всегда ограничена снизу своим первым членом, а монотонно убывающая последовательность ограничена сверху своим первым членом. Для монотонных последовательностей их ограниченность является достаточным условием сходимости. Теорема. Если a > 0, для любого N и { a } монотонная последовательность, а также существует a +, то: a a +. q < a a 0 ; (.) a +. q > a a +. Пример... a Найти предел последовательности { }, a > 0.! + a a a a +. ( + )!! + + Очевидно, начиная с некоторого номера, a величина <, то есть + + <. Следовательно, последовательность монотонно убывает. Так как х + a a 0, то согласно формуле (6.), следует, что 0. х +!.4. Число е Рассмотрим последовательность { } Бернулли, ( h) + h y +. Согласно неравенству +, + +. Обозначим +. Тогда для последовательности { y } имеем > 4

15 + y y +. + : +. Согласно y y неравенству Бернулли получим. То есть y y или y последовательность { y } монотонно убывает и ограничена снизу числом. Следовательно, она имеет конечный предел, y +. И так, последовательность { } + тоже имеет предел. Этот предел принято обозначать е. e + +, Вопросы для самоподготовки. Определение числовой последовательности.. Предел числовой последовательности.. Свойства сходящихся числовых последовательностей. 4. Монотонные последовательности. 5. Число е. + 5

16 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 4.. Функциональная зависимость 4... Понятие функции Две физические или геометрические величины будем называть однородными, если их можно складывать по законам арифметики. При сравнении однородных величин (отвечая на вопрос во сколько раз) возникают действительные (или вещественные) числа, которые делятся на рациональные и иррациональные числа. Каждое действительное число можно изобразить точкой на числовой оси. Действительные числа могут быть как независимые, так и зависимые. Пусть даны два непустых множества X и Y. Определение. Говорят, что задано отображение множества Х во множество Y, или задана функция на Х со значениями в Y, если каждому элементу X по определённому правилу f ставится в соответствие один и только один элемент у Y. Это можно записать так f : X Y, y. Элемент y f() называется образом элемента х при отображении f. Множество X называется областью определения функции f() и обозначается D(f). Множество Y множеством значений функции f() и обозначается Е(f). Элементу из множества X может ставиться в соответствие элемент у, выбираемый случайным образом из подмножества Y (Y Y). Говорят, что между х и у существует корреляционная зависимость, если для каждого х существует определённое правило выбора подмножества Y. Если такого правила нет, то величины х и у считаются независимыми. Функциональную зависимость можно задать несколькими способами: в виде таблицы чисел, в виде графического рисунка, в виде условной записи функции, в виде арифметической комбинации основных элементарных функций. Определение. Если f : X Y и g: Y Z, то функция F: X Z, определенная равенством F ( ) g( f ( ) ) называется сложной функцией. Определение. Если отображение f : X Y взаимно-однозначно, то для y f ( ) Y существует единственный прообраз f ( y) которое для Y обратной функцией или обратным отображением. f f. Правило y определяет единственный образ ( y) X f называется 6

17 4... Частные классы отображений В зависимости от строения множества Х и Y можно рассмотреть четыре класса отображений. X R, Y R : y f числовая функция одного числового. ( ) аргумента, например, y, y l, y tg и др. r. X R, Y R : если (,,..., ), то y f (,,..., ) числовая функция векторного аргумента, или числовая функция многих скалярных переменных, например, y + si( + ).. X R, Y R f : X R Y R вектор-функция одной переменной, ставящая в соответствие каждому вещественному числу X вектор y f( r ) из R, т.е. каждая координата вектора f( r ) есть скалярная функция скалярного аргумента х: f ( r ) [ f ( ) ( ) ( )] T,f,...,f. Функции этого класса широко используются в физике для описания движения материальной точки М, координаты которой являются функциями времени ( ( t), y( t),z( t) ), что можно записать в виде. r r r r ( t ) ( t ) i + y ( t ) j + z ( t )k 4. X R, Y R m вектор-функция векторного аргумента. Полагая r r ξ, ξ,..., ξ, y η, η,... η, получим ( ) ( ), f r m ( ) f ( ξ, ξ,..., ξ ) η η M f f f ( ξ, ξ,..., ξ ) ( ξ, ξ,..., ξ ) M. ( ξ, ξ,..., ξ ) ηm m Изучение функций класса и 4 сводится к изучению скалярных функций одного и многих переменных. Пример 4.. Укажите область определения функций:. f ( ) 4. Решение. Для данной функции областью определения D(f) является множество значений переменной х, удовлетворяющих неравенству 4 0 [ ; ]. r. f ( ) 9 y. Решение. Областью определения D(f) является круг + y 9. Определение. Множество точек (,f ( ) ) f ( ) функции ( ) скалярных аргументов графиком функции ( ) х называется графиком функции. В случае скалярной функции одного скалярного аргумента графиком f является некоторая кривая, а в случае скалярной функции двух f r является некоторая 7

18 r f 9 y верхняя часть сферы с центром в начале координат радиусом r. поверхность. Например, графиком функции ( ) является 4... Элементарные функции Основными элементарными функциями являются: α ) Степенная функция у х, где α R. В общем случае её область D α. При α N функция х определена на всей числовой оси. х ) Показательная функция у а, где а > 0, а. Её область определения вся числовая ось. ) Логарифмическая функция у logа, где а > 0, а. Область определения D ( 0;+ ). 4) Тригонометрические функции у si, y cos, y tg, y ctg. Функции у si, y cos определены на всей числовой оси. Функция y tg определена при π х + kπ, а y ctg при х kπ, где k любое число. 5) Обратные тригонометрические функции у arcsi, y arccos, y arctg, y arcctg. Областью определения функций у arcsi и y arccosявляется отрезок [ ; ]. Функции y arctg и y arcctg определены на всей числовой оси. определения ( 0;+ ) e e 6) Гиперболические функции sh гиперболический e + e синус, ch гиперболический косинус ( е, 7 натуральное число sh ch [.4]), th гиперболический тангенс, c th гиперболический ch sh котангенс. Предлагается самостоятельно построить графики основных элементарных функций. Среди функций выделяют: Функции монотонно возрастающие, если для любых >, D( f ) всегда y > y (монотонно убывающие, если для любых >, D( f ) всегда y < y). Функции чётные, если для любого D( f ) f ( ) f ( ) (для нечётных f f ). функций ( ) ( ) 8

19 Периодические если существует число Т 0, такое что для любых х, T и + T D( f ) выполняются равенства: f ( ) f ( T) f ( + T). Т называется периодом. Функции ограниченные сверху если для любого D( f ) f < K; K (для функций ограниченных снизу f ( ) > K ). ( ) R 4.. Предел функции в точке Определение. Число А называется пределом функции f() при х а, если для всякого сколь угодно малого ε > 0 найдётся такое δ(ε) > 0, что при a < δ выполняется неравенство f ( ) A < ε. Пишут ( ) A. f a Аналогично, число А называется пределом функции f() при х, если для любого ε > 0 существует число М(ε) > 0 такое, что при > M( ε) выполняется неравенство f ( ) A < ε. В этом случае пишут ( ) A f Можно говорить о левостороннем и правостороннем пределе функции в f зависимости от нахождения х относительно а. При х < а пишут ( ) (левосторонний предел). При х > а пишут ( ) f a+ 0 a 0 (правосторонний предел). Геометрическая иллюстрация определения предела функции f() в точке а изображена на рис. 4., из которого следует, что для значений х из некоторой δ-окрестности точки а соответствующие значения f(х) попадают в ε-окрестность точки А. Y. А+ε А А ε O а δ а а+δ X Рис. 4.. В данной точке функция может иметь только один конечный или определенного знака бесконечный предел. 9

20 Условие существования конечного предела функции в точке дает критерий Коши: для того чтобы функция f(х) имела в точке х а предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность U ε (a) \ a точки а, что для любых х Uε (a) \ a и х Uε (a) \ a выполнялось бы условие f f < ε ( ) ( ) Свойства функций, имеющих предел. Если функция f() имеет в точке х а предел, то он единственный. Прежде, чем сформулировать второе свойство, дадим определение ограниченной функции. Определение. Функция f : X Y называется ограниченной на множестве Х, если существует число С > 0, такое, что f ( х) С, для любых х X. π Например, si, arctg.. Функция, имеющая предел в точке, ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки. A > 0 A < 0, то существует такая проколотая. Если ( ) ( ) f a окрестность точки х а, в которой ( х) > 0 f ( х) 4. Если ϕ( ) ( ) A х а f х а f ( < 0). и в некоторой проколотой окрестности этой точки х а имеет место неравенство ϕ ( ) g( ) f ( ), то ( ) A 5.Если определена сложная функция ( f ( ) ) или бесконечные пределы то существует предел ( ) A, F( y) N, f х а y b ( f ( ) ) F( y) N. F х а 6. Если ϕ( ) A, f ( ) B, х а х а y b ) для любых λ и µ существует предел λϕ( ) + µ f ( ) λa + βb ) существует предел ) существует предел a то [ ] ; a [ ϕ( ) f ( ) ] A B; g a F и существуют конечные. 0

21 ϕ a f ( ) ( ) ϕ a f a ( ) A ( ) B при B Если С постоянная величина, то существует предел С С. х а 4... Бесконечно малые и бесконечно большие функции Если α( ) 0 a, то функция α(х) называется бесконечно малой функцией при х а. Обратную ей функцию f ( ) х а α бесконечно большой при х а и обозначают ( ). f a ( ) называют Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции при х Свойства бесконечно малых функций. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.. Произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную есть функция бесконечно малая. Свойства бесконечно больших функций предлагается сформулировать самостоятельно Сравнение бесконечно малых функций Пусть α(х) и β(х) бесконечно малые при х а. Их сравнение α( ) производится по величине m. a β( ). Если m 0, то α(х) бесконечно малая функция более высокого порядка, чем β(х). При сложении (вычитании) бесконечно малой функции более высокого порядка, ею можно пренебречь: β(х) ± α(х) β(х).. Если m, то β(х) бесконечно малая функция более высокого порядка, чем α(х). И тогда α(х) ± β(х) α(х).. Если m, то бесконечно малые функции α(х) и β(х) являются эквивалентными: α ( ) ~ β( ). Например, si (первый замечательный предел). (4.) 0

22 то Этот предел следует из неравенств si cos < <, (4.) π верных при 0 < <. Поскольку cos si и si 0, 0 cos 0 si 0, и справедливость равенства (4.) вытекает из возможности перехода к пределам в неравенствах (4.). 4. При других значениях m говорят, что α(х) и β(х) бесконечно малые одного порядка. 5. Если α(х) и β(х) бесконечно малые одного порядка, то (α(х)) k бесконечно малая k-того порядка по сравнению с β(х). 6. α [ α( х) ] бесконечно малая функция более высокого порядка, чем α(х). При вычислении пределов возникают ситуации сравнения бесконечно малых. В этом случае говорят "имеется неопределённость вида 0 0 ". Кроме этой неопределённости существуют и другие:,, 0,. Вычисление пределов в этих случаях именуется раскрытием неопределённостей. При раскрытии неопределённостей используется теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными. Теорема. Для того чтобы две бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с каждой из них. Основные эквивалентные функции при х 0. si ~ ; arctg ~ ; tg ~ ; l ( + ) ~ ; arcsi ~ ; e ~ ; р a ~ la; ( + х) ~р ; Для раскрытия неопределённостей вида 0 и используется значение предела + х х е, или

23 0 х ( + х) е (второй замечательный предел). (4.) Пример 4.. Найти следующие пределы: Непосредственная подстановка в данное выражение предельного значения аргумента приводит к неопределенному выражению вида 0 Следовательно, прежде чем перейти к пределу, необходимо данное выражение преобразовать. Числитель и знаменатель при х обращается в нуль, поэтому многочлены и + 0 делятся без остатка на бином х (теорема Безу): ( )( ) ( ) 0 ( )( 0) ( 0). + В результате непосредственной подстановки в полученное выражение предельного значения аргумента получим ( ). + 0 ( 0) Неопределенность вида. Умножим числитель и знаменатель на 0 произведение множителей ( + )( 4 + ): ( 9)( 4 + ) ( 8 + )( + ) В данном случае имеем неопределенность вида примерах числитель и знаменатель делят почленно на многочлена в знаменателе. Разделим числитель и знаменатель на , В подобного рода х, где степень х :

24 8 7 так как 0, 0, 0 и 0. х х х х Пример 4.. Найти следующие пределы:. ( + ). В этом примере неопределенность вида выражение, стоящее под знаком предела, на ( + + ).. Умножим и разделим ( ) ( + )( + + ) ( + ) cos Неопределенность вида 0 0. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела. 0 так как. 0 si х cos 0 si 0 si +.. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела. Сделав замену +, y, получим х y y e y 0 х ( )., 4.. Непрерывность функции Определение. Функция f() называется непрерывной в точке а, если: ) эта функция определена в некоторой окрестности точки а; ) существует предел 4

25 f ( ); a ) этот предел равен значению функции в точке а, то есть f a ( ) f ( a). Введём обозначения: х а х (приращение аргумента) и f() f(а) у (приращение функции). Тогда условие непрерывности запишется в виде y 0, a то есть функция f() непрерывна в точке х а тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х соответствует бесконечно малое приращение функции у. Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она непрерывна в этой области. Точка х а называется точкой разрыва, если в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции. Если в точке разрыва существуют лево и правосторонние пределы функции f ( ) А, f ( ) В и А В, a 0 a+ 0 то имеет место разрыв первого рода. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, то имеет место разрыв второго рода. Разрыв называется устранимым, если предел f a ( ) существует, но функция не определена в этой точке, или функция определена в данной точке, но лево и правосторонние пределы, равные между собой, не равны значению функции в этой точке f(а 0) f(а + 0) f(а). Разность f(а + 0) f(а 0) даёт величину скачка функции в точке х а Свойства непрерывных функций. Основные элементарные функции a,, l, si, cos, tg, ctg, arcsi, arccos, arctg, arcctg непрерывны во всех точках, где они определены.. Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.. Если функция u ϕ( ) непрерывна в точке 0, а функция y f ( u) непрерывна в точке u 0 ϕ( 0 ), то сложная функция y f [ ϕ( ) ] непрерывна в точке 0. Следствие: Функция f ( ), образованная конечным числом алгебраических действий и взятий функции от функции из основных 5

26 элементарных функций, является непрерывной во всех точках, в которых определены все составляющие её основные элементарные функции, за исключением точек, в которых какой-либо из знаменателей обращается в нуль Свойства функций, непрерывных на отрезке Теорема. Если функция f() непрерывна на отрезке [a;b] и в концах его имеет значения, противоположные по знаку, то f() обращается в нуль по крайней мере в одной точке интервала [a;b]. Геометрически результат теоремы очевиден. Если f(а)f(b) < 0, то точки А(а; f(а)) и лежат в разных полуплоскостях, на которые ось ОХ делит плоскость ХОY. График непрерывной функции у f(), соединяющий эти точки, обязательно пересечет ось ОХ по крайней мере в одной точке (рис.4.). Y В(b; f(b)) О а b X А(а; f(а)) Рис. 4.. Теорема. Пусть функция f() непрерывна на отрезке [a;b], причем f(а)а, f(b)в. Тогда каким бы ни было число С, заключенное между числами А и В, на отрезке [a;b] найдется по крайней мере одна точка ξ такая, что f(ξ) С. То есть, непрерывная на отрезке [a;b] функция принимает все промежуточные значения между её значениями на концах отрезка. Теорема. Если функция f() непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на нём, то есть существует такое число К > 0, что для всех [ a;b] верно неравенство f(х) К. Теорема 4. Если функция f() непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своих точной нижней и верхней граней, то есть на отрезке [a;b] найдутся такие точки ξ и η, что 6

27 (рис. 4.). f(ξ) m f ( ξ ) f [ a;b] if ( ), f ( η) M sup f [ a;b] ( ) Y M m О а ξ η b X Рис. 4.. Пример 4.4. Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и указать характер разрыва функции si f ( ). Решение. Функции si и х непрерывны в любой точке, непрерывным будет и их отношение si во всех точках, где х 0. В точке х 0 данная функция не определена, и поэтому разрывна. Но существует, 0 si следовательно, разрыв в этой точке устранимый. Положим f ( 0), тогда функция si при х 0, F ( ) при х 0 будет непрерывной в точке х 0 (рис. 4.4.). Y π 0 π Х Рис

28 f ( ) Пример 4.5. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции. х + Решение. Данная функция непрерывна для всех х (это следует из свойств непрерывных функций). Вычислим пределы слева и справа в точке х. Предел слева:, так как и х 0. 0 Предел справа: х 0, так как и х Таким образом, пределы слева и справа существуют, но не равны, следовательно, точка х является точкой разрыва второго рода (рис. 4.5). Пример 4.6. Y Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции y. Решение. Данная O X функция является дробнорациональной, и поэтому она непрерывна во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля. В точке х Рис функция не определена, и, следовательно, разрывна. Вычислим односторонние пределы. Предел слева:. 0 Предел справа: Следовательно, х точка разрыва второго рода (рис.4.6.). 8

29 Y O X Задания для самостоятельной работы. Вычислить пределы: + + х tgх е si si 0 х 7 Рис e ( ). l si + х е х. cosх l( ) arcsiх si 0. Исследовать следующие функции на непрерывность и найти точки разрыва: /.. y... y arctg... y. / +.4. y. х.5. y. Ответы В точках х 0, х разрыв второго рода... В точке х устранимый разрыв... В точке х 0 разрыв первого рода..4. Точек разрыва нет, в интервале ( ; +) функция неопределенна..5. В точке х 0 разрыв второго рода. 9

30 Вопросы для самоподготовки. Что называется отображением?. Частные классы отображений.. Область определения и график функции. 4. Элементарные функции. 5. Предел функции в точке. 6. Условие существования предела функции. 7. Свойства функций, имеющих предел. 8. Бесконечно малые функции. 9. Эквивалентные бесконечно малые функции. 0. Первый и второй классические пределы.. Непрерывность функции в точке.. Свойства непрерывных функций.. Свойства функций, непрерывных на отрезке. 4. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. 0

31 Рекомендуемая литература. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. т.,. М., Наука, Кудрявцев В.С. Курс высшей математики. М.: Высшая школа, Берман Г.В. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, Задачи и упражнения по математическому анализу. Под ред. Б.П.Демидовича М., Наука, Краснов М.Л, Киселев А.И. Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И, Соболев С.К. Вся высшая математика. Т.. М.: Эдиториал УРСС, Данко Л.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для втузов в т. М., Высшая школа, Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. Ч.. Минск, В.Ш., Щипачев В.С. Высшая математика: Учебник. М.: Высшая школа, 000.

32 Оглавление. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА.. Действительные числа.. Модуль действительного числа.... Ограниченные множества Нижние и верхние грани множества Окрестность точки.. 5 Вопросы для самоподготовки. 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Алгебраическая форма комплексного числа. 6 Действия над комплексными числами в алгебраической форме Тригонометрическая форма комплексного числа 8... Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме Показательная форма комплексного числа Задания для самостоятельной работы... Вопросы для самоподготовки.... ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЁ ПРЕДЕЛ..... Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.. Монотонные последовательности...4. Число е 4 Вопросы для самоподготовки ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Функциональная зависимость Понятие функции Частные классы отображений Элементарные функции Предел функции в точке Свойства функций, имеющих предел Бесконечно малые и бесконечно большие функции Свойства бесконечно малых функций Сравнение бесконечно малых функций Непрерывность функции Свойства непрерывных функций Свойства функций, непрерывных на отрезке 6 Задания для самостоятельной работы 9 Ответы... 9 Вопросы для самоподготовки... 9 Рекомендуемая литература. 0

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: Лекция МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая форма комплексного числа Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая

Подробнее

Лекция 5. Комплексные числа

Лекция 5. Комплексные числа Лекция 5 Комплексные числа Не все многочлены с вещественными коэффициентами имеют вещественные корни. Например, многочлен x + x + не имеет вещественных корней, т.к. уравнение x + x + = 0 имеет отрицательный

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Комплексные числа и действия над ними

Комплексные числа и действия над ними Комплексные числа и действия над ними Лекция 1 Л. И. Лазарева, И. А. Цехановский Курс: Ряды и комплексный анализ Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел

Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел Комплексные числа были введены в связи с тем, чтобы расширить имеющуюся систему действительных чисел. Известно, что действительных чисел не достаточно,

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и. 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа в алгебраической форме 1Основные понятия Определение 1 Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение вида, где и действительные числа, а так называемая

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Основные понятия 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексным числом называется выражение вида i, где и действительные числа, i мнимая единица, удовлетворяющая условию i 1 Число называется действительной частью комплексного

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими Определение 6.. Комплексным числом называется выражение = а + ib, где, b любые действительные числа, i мнимая единица.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

2. Действия над комплексными числами

2. Действия над комплексными числами Действия над комплексными числами Словарь: произведение комплексных чисел комплексная плоскость радиус-вектор формула Муавра Обратите внимание: Действия (над чем? над числами Извлечение (чего? корня Действия

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1)

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1) Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Специализированный учебно-научный центр Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы лицей 1580 (при МГТУ им.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

Замечание. Понятие множества, как и другие основополагающие понятия математики, вводится без определения.

Замечание. Понятие множества, как и другие основополагающие понятия математики, вводится без определения. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция 3 Множества Операции с множествами Отображения множеств Множество действительных чисел Числовые множества Функция Область ее определения Сложные и обратные функции График функции

Подробнее

Введение в математический анализ

Введение в математический анализ Бубнов ВФ, Веременюк ВВ курс лекций для студентов строительных специальностей Введение в математический анализ 3 г ОГЛАВЛЕНИЕ Множества и операции над ними 3 Множества и их элементы 3 Подмножества Операции

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Лекция 1. Комплексные числа

Лекция 1. Комплексные числа С А Лавренченко wwwlawecekou Лекция Комплексные числа Множество действительных чисел, как обычно, обозначается R, а множество комплексных чисел через C Мы увидим на этой лекции, как между множествами C

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O Комплексные числа I Комплексные числа в алгебраической форме Определение Комплексным числом называется выражение вида где и действительные числа число называется мнимой единицей: Числа и называются соответственно

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Комплексные числа, действия с ними СОДЕРЖАНИЕ: Определение Действия с комплексными числами Свойства операций с комплексными числами Геометрическая модель комплексных

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Российский государственный педагогический университет им АИ Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова

Подробнее

Комплексные числа. yξ + xη = 0 которая в силу невырожденности (определитель системы x 2 + y 2 0) имеет единственное. 2 x 2 + y. 2

Комплексные числа. yξ + xη = 0 которая в силу невырожденности (определитель системы x 2 + y 2 0) имеет единственное. 2 x 2 + y. 2 Комплексные числа Традиционно под комплексными числами понимают числа z вида x + iy, где x, y R и i мнимая единица число, обладающее свойством i = 1. Множество комплексных чисел принято обозначать C. Число

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ МОДУЛЬ 1 «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ»

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ МОДУЛЬ 1 «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ» А.В. Гласко ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ МОДУЛЬ «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ» Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана 3 Лекция. Логическая символика. При записи математических выражений будем использовать

Подробнее

Комплексные числа. , то суммой этих точек мы будем называть точку с абсциссой a c и ординатой c d, т.е. . Если даны точки ( a, b)

Комплексные числа. , то суммой этих точек мы будем называть точку с абсциссой a c и ординатой c d, т.е. . Если даны точки ( a, b) Тема 1 Комплексные числа 1 11 Понятие комплексного числа Комплексные числа вводятся в связи со следующей задачей Известно что действительных чисел недостаточно для того чтобы решить любое квадратное уравнение

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА НА Кулагина МВ Черепанова ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ -е издание, исправленное Новосибирск 04 УДК 5 ББК К90 Рецензенты БП Зеленцов д-р техн наук, профессор

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

изображается на плоскости xoy точкой y. Длина радиус-вектора называется модулем комплексного числа: z x y. Угол,

изображается на плоскости xoy точкой y. Длина радиус-вектора называется модулем комплексного числа: z x y. Угол, Комплексным числом называется выражение вида x y (алгебраическая форма комплексного числа), где x, y R; x Re - действительная часть комплексного числа ; y Im - мнимая часть комплексного числа ; - мнимая

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость. Методическая разработка Решение задач по ТФКП Комплексные числа Операции над комплексными числами Комплексная плоскость Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической экспоненциальной

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов МАТЕМАТИКА. Понятие о комплексных числах

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов МАТЕМАТИКА. Понятие о комплексных числах Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского В.А. Иванов МАТЕМАТИКА Понятие о комплексных числах Учебное пособие для студентов биологического факультета ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет-упи» РМ Минькова Дифференциальное исчисление функции одной переменной Учебно-методическое пособие Научный

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

Аннотация рабочих программ по алгебре (10-11 классы)

Аннотация рабочих программ по алгебре (10-11 классы) Аннотация рабочих программ по алгебре (10-11 классы) Составители: Григорьева Н.А., Семенова Н.Л. Рабочая программа учебного курса алгебры и начал анализа для 11 класса составлена в соответствии с федеральным

Подробнее

Множество комплексных чисел. Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных чисел недостаточно. Например, уравнение

Множество комплексных чисел. Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных чисел недостаточно. Например, уравнение 8 Примеры : ) Пусть A [,5] mifa, MsupA5 ) Пусть A (,) 5 mifa, MsupA5 3) Пусть { } A < 5, R, m if A 5, M supa 5 Множество комплексных чисел Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АНГАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Иванова СВ, Евсевлеева ЛГ, Быкова ЛМ, Добрынина НН ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный технический университет» ТвГТУ МА Шестакова ЮА Егоров

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Министерство путей сообщения Российской Федерации Дальневосточный государственный университет путей сообщения ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство путей сообщения Российской Федерации Дальневосточный государственный университет путей сообщения ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство путей сообщения Российской Федерации Дальневосточный государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» НС Константинов ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания по выполнению

Подробнее