В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина"

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов всех специальностей) Москва 0

2 Введение Настоящие методические указания посвящены изучению одного из основных разделов математического анализа теории обыкновенных дифференциальных уравнений Рассмотрены все типы обыкновенных дифференциальных уравнений, изучаемых в курсе высшей математики Для каждого типа приведены основные теоретические сведения, рассмотрены примеры решения дифференциальных уравнений, даны задачи для аудиторной и самостоятельной работ Общие замечания Определение Дифференциальным называется уравнение, связывающее независимую переменную (переменные), неизвестную функцию и ее производные Если неизвестная функция - это функция одной переменной, то уравнение называется обыкновенным, если нескольких переменных - то уравнением в частных производных ( n) F (,,,,, ) 0 Порядок уравнения определяется порядком его старшей производной В настоящих методических указаниях рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения, которые изучаются в курсе высшей математики для всех специальностей дневного и вечернего форм обучения Нужно отметить, что многие технологические и экономические процессы, механические задачи описываются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, тк в описании таких проблем чаще всего присутствует скорость процесса как один из основных параметров системы Определение Решением дифференциального уравнения называется функция ( ) которая, будучи подставленной в уравнение, превращает его в тождество

3 Дифференциальные уравнения первого порядка Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка F (,, ) 0 Выразим производную: f (, ) (*) Дифференциальное уравнение может быть записано через дифференциалы M (, ) d N (, ) d 0 Теорема о существовании и единственности решения уравнения (*) некоторой области D функция f (, ) и ее частная производная непрерывны, то для любой точки M o Если в (, ) D существует единственное решение (), проходящее через эту точку (те удовлетворяющее условию 0 ( 0 ) ) Определение Условие равенства 0 при 0 называется начальным условием Определение Общим решением уравнения (*) называется функция (, C), зависящая от произвольной постоянной C o o и удовлетворяющая условиям: при любом значении С * функция, C ) является решением (*); ( * для любой точки M (, ) D существует значение постоянной С=С 0, что 0 ( 0 C0, ) o o o Общее решение, когда переменная не выражается через переменную, называется общим интегралом (,, C) 0 Определение Частным называется решение, которое получается из общего при конкретном значении постоянной интеграл (,, C0 ) 0 C=C 0 Аналогично получается частный Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши Замечание Не любое частное решение может быть получено из общего решения Если есть такое решение уравнения, то его будем называть особым f

4 Типы уравнений первого порядка и способы их решений I Уравнения с разделяющимися переменными Уравнение с разделяющимися переменными может быть представлено в следующих видах: g( ) h( ) или () M ) M ( ) d N ( ) N ( ) d 0 ( ) ( Для решения уравнения с разделяющимися переменными необходимо представить производную как отношение дифференциалов и разделить переменные, те с одной стороны от знака равенства собрать выражение содержащее только, с другой - только : g( ) h( ); M ) M ( ) d N ( ) N ( ) d 0 ; ( d d g( ) h( ) ; M ) M ( ) d N ( ) N ( ) d ; ( d h( ) M ( ) N ( ) g( ) d ; d d ; N ( ) M ( ) d M ( ) N g d C h ( ) ( ) d C N ( ) M ( ) ( ) d Решения записаны с помощью интегралов, полученных при интегрировании уравнения Эти решения содержат произвольную константу интегрирования и являются общими А особые решения можно получить, решая алгебраические уравнения h( ) 0; N( ) 0; M ( ) 0 Пример Решить уравнение ln 5 4 ln Решение Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Действительно, после преобразования получим 4

5 5 4 ln ln Интегрируем полученное уравнение: d 5 4ln d ln Рассмотрим два случая: 0 Легко убедиться, что данная функция является решением уравнения d ln 5 4ln d ; ln 5 d ln d 4ln d ; ln 5 4ln d ; ln ln 5 ln ln 4 ln ln C ; C 5 ln 4 Здесь постоянная интегрирования представлена для удобства в виде логарифма, а модули отброшены, тк постоянная C может принимать и положительные и отрицательные значения Функция, полученная в случае, является общим решением и включает в себя также решение случая, получаемое при C 0 Решить уравнения: e 4 6, (0) log, () 0 5 sin cos , () ln 5 6 e e, (0) d ( 7)( 9) d 5 4 d 5 d 5 4 8, () sin cos e, (0) ln 4 7 tg( 5 ), () 4 sin cos d cos sin d 6 4 d d 5

6 II Однородные уравнения первого порядка Определение Функция z f (, ) называется однородной функцией порядка k, k если f (, ) f (, ) Определение Уравнение f (, ) называется однородным, если f (, ) является однородной функцией порядка 0 Тогда, принимая f (, ) f, f, q /, получаем Таким образом, уравнение первого порядка является однородным, если его правая часть представима в виде функции, зависящей только от отношения переменных и q () Однородное уравнение решается с помощью замены t( ) При этом t, t t В новых переменных уравнение разрешает разделение переменных: d t d t d d t t t q( t); q( t) t; ; ln C d q( t) t q( t) t Пример Найти частное решение уравнения e / 5 4 ; () 0 Решение Покажем, что это уравнение однородное Выразим производную / 5 e 4 / 6

7 Правая часть уравнения зависит только от отношения переменных и, следовательно, уравнение однородное Введя замену t( ), получим t t 5 e 4 d t d d t d t t 5 e 4 t; t ; ; t t 5 e 4 5 e 4 Вычислим интеграл слева: t t d t e d t d e t 4 e t e t t 5 e 4e t e t d e /5 t t e 7 / 5 e 7 /5 ln ln 0 t t 0 /5 e / 5 8 e /5 t e / 5 5 Общий интеграл уравнения может быть записан в следующем виде: / / e 7/5 e 7 /5 ln ln ln ; / / 8 e /5 8 e /5 C C 8 Подставим полученное решение в начальное условие Таким образом, получим частный интеграл уравнения 7/5 C; C /5 7 e e / / 7 /5 /5 7 8 Решить уравнения: 7 sin / / 9 5 7, () 4 ln ln 4 / 5 5 e /, () / 7 0 9, () 4 log / / /, (/ 6) 0 8 7

8 III Линейные уравнения Определение Линейным уравнением первого порядка называется уравнение следующего вида: p( ) q () Отметим, что в уравнение неизвестная функция () и ее производная входят только в первой степени, и нет их перекрестных произведений Линейное уравнение решается с помощью подстановки u( ) v( ) Тогда u v u v Подставляя замену в уравнение, получим u v u v p( ) uv q( ) Выберем функцию v( ) таким образом, чтобы выделенные фигурной скобкой слагаемые в сумме давали ноль ) u v p v ( ) 0 Но u не может равняться тождественно нулю, тк в этом случае и, и будут тождественно равны нулю, а этого не может быть при ненулевом q( ) Следовательно, d v d v v p( ) v 0; p( ) d ; p( ) d ; v v p( ) d ln v p( ) d ; v e Тк функцию v() можем выбирать произвольной, примем константу интегрирования равной нулю Оставшиеся части уравнения также представляют собой уравнение с разделяющимися переменными: p( ) d p( ) d p( ) d uv q( ); u e q( ); u q( ) e ; u q( ) e d C 8

9 Запишем общее решение: q e d C e p( ) d p( ) d ( ) Пример Решить уравнение Решение Перепишем уравнение в удобном для нас виде: 5 Применив подстановку u( ) v( ), получим 5uv 4 u v u v Решаем два уравнения с разделяющимися переменными: 5v ) u v 0; d v 5v 0; d d v 5d ; v d v 5d ; v ln v 5ln ; v 5 4 ) u v ; 5 4 u ; u / 4 ; 8 u d C 9 / 9/ 4 Запишем общее решение уравнения 8 u v C 9 5 IV Уравнения Бернулли Уравнение Бернулли отличается от линейного уравнения тем, что в правой части есть множитель в виде степени неизвестной функции n p( ) q (4) 9

10 Будем считать, что n 0; тк в этих случаях мы получаем линейное уравнение Уравнение Бернулли решается по той же схеме, что и линейное уравнение Пример 4 Решить уравнение / e 4 Решение Применив подстановку u( ) v( ), получим uv u v / 4 uv uv e Опять же выберем функцию v() так, чтобы выделенные слагаемые в левой части уравнения в сумме давали ноль ) v u v 0 Рассмотрим два подслучая: a) u 0 0 Легко проверить, что данная функция является решением уравнения б) v d v d d v d v 0; ; ; ln v ln ; v v v ) u v u d u e uv e ; u e ; d ; e C; u u u e C Общее решение уравнения может быть записано в следующем виде e / C Но, из данного решения ни при каком значении константы С нельзя получить решение из подпункта а), которое, следовательно, будет являться особым решением Ответ: e / C - общее решения уравнения; 0 - особое решение 0

11 Решить уравнения: 4 9 e 5, (0) / cos 5 / e 7 / 7/, () 5 9 / /, () 4 /( ) ( 5) 45 0 e 7e e, (0) 4 / /( 5) 6 / 5/ 8 tg / cos, (0) 4 40 ctg cos 4 /( ) / ( ), () 4 46 V Уравнения в полных дифференциалах Определение Уравнение вида M (, ) d N(, ) d 0 (5) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует функция U (, ), полный дифференциал которой равен левой части уравнения: du (, ) M (, ) d N(, ) d Теорема (условие Коши-Римана) Если в некоторой области D функции M (, ), N(, ) и их частные производные непрерывны, то уравнение (5) является уравнением в полных дифференциалах при выполнении условия M N Соотношение U (, ) C будет являться общим интегралом уравнения в полных дифференциалах, и он может быть найден из системы: U U M (, ); N (, )

12 Пример 5 Решить уравнение e 4 5 d sin 4 d 0 Решение В данном случае имеем следующие коэффициенты при дифференциалах: M (, ) e 4 5; N(, ) sin 4 Проверим выполнение условия Коши-Римана: M 8 ; N 8 ; M N Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах Ищем функцию U (, ) : U U e 4 5; sin 4 Решим первое уравнение (при интегрировании принимаем, что является величиной постоянной относительно переменной интегрирования х): ( ) const U e d e Здесь константа интегрирования зависит от переменной у, тк интегрирование ведется по переменной х Подставим полученную функцию во второе уравнение: 4 ( ) sin 4 ; ( ) sin ; ( ) cos Получим общий интеграл уравнения e 5 cos C Решить уравнения: 47 4 d d 0 48 sin sin d cos cos 4 d 0 49 e d cos e d 0, (0) d arctg e d d 5ln( 4 d 4) 6 ln d 8 5 d 0, ()

13 Дифференциальные уравнения второго порядка В дифференциальном уравнении второго порядка F(,,, ) 0 выразим вторую производную: f (,, ) (**) Теорема о существовании и единственности решения уравнения (**) Если в некоторой области D функция f (,, ) и ее частные производные f, f непрерывны, то для любой точки M (,, ) D существует o o o o единственное решение ( ), удовлетворяющее начальным условиям: ( ); ( ) 0 0 o o Определение Общим решением уравнения (**) называется функция (, C, C ), зависящая от произвольных постоянных C, С и удовлетворяющая условиям: при любых значениях постоянных C C, C C функция * * (, C, C ), является решением уравнения (**); * * для любой точки M (,, ) D существуют значения постоянных C C, C C, что * * o o o o (, C, C ), (, C, C ) * * * * o o o o Рассмотрим типы уравнений второго порядка I Уравнение, не содержащее явно переменную у F(,, ) 0 (6) Решение этого уравнения сводится к решению двух уравнений первого порядка Для этого сделаем замену g( ), g( ) Получим систему из двух (,, ) 0; уравнений F g g g( ) В первую очередь решаем первое уравнение, и, подставляя полученное решение во второе уравнение, определяем искомую функцию

14 Пример 6 Решить уравнение Решение В уравнение явно не входит переменная у, поэтому сделаем замену d g g( ); g( ); g g ; g ; d d g d d g d a) 0 не является решением; б) ; ; g g C g / ; C решение; ln g ln ln C ; g После обратной замены получим C C d C C ; Данное решение является общим решением, тк содержит две произвольные константы, полученные во время интегрирования Полученное в подпункте а) решение не является особым, потому что получается из общего при С 0 II Уравнение, не содержащее явно переменную х F(,, ) 0 (7) d p В этом случае вводим новую функцию, зависящую от у: p( ), p d Пример 7 Найти частное решение уравнения 5, (0), (0) 5/ d p Решение После замены p( ), p мы получим: d d p d p p p p p p d d p 0 0 C решение 5 ; 5 0; d p p 5 0 d Данное уравнение является и линейным, и однородным уравнением, мы будем решать как однородное уравнение d p p 5; p t( ); p t ; d p d t t; d d d 4

15 d t d t t t 5; t 5; d d а t t p Ce 5 / ) 5 0; 5/; 5/ ; 5/ ; ln 5/ ; ; d t d d t d б) ; ; t 5 t 5 C C C ln t 5 ln ln C ; t 5 ; p 5 / ; 5 / Подставляя в начальные условия, получим: C d d 5/ 5/ C 0, тогда 5 /; 5 /; d 5 d 5 5 d d C C e 5 / ; ; ln ln ; Еще раз воспользуемся начальными условиями и получим искомое частное решение 0 5 / C e C, следовательно, e Следует заметить, что в некоторых случаях частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, нельзя получить из общего решения В этих случаях необходимо проверить, не является ли особое решение искомым решением Решить уравнения: , , (0) 6, (0) (0) (0) 57 8, (), () , () 4, () 6 0, ( / ), ( / ) 0 6 5, 58, () 0, () 60 e, (0) (0) 0 6, (0) (0) 64, (), () (), () 5

16 III Линейное дифференциальное уравнение второго порядка Рассуждения данного раздела могут быть применены и для подобных уравнений более высокого порядка В общем случае линейное дифференциальное уравнение второго порядка может быть записано в следующем виде: a( ) b( ) f ( ) (***) В случае равенства правой части тождественно нулю уравнение называется однородным, в противном случае неоднородным Рассмотрим в начале однородные уравнения Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка Как уже было сказано, однородное уравнение может быть представлено в следующем виде: a( ) b( ) 0 (8) Рассмотрим некоторые свойства уравнения (8) Теорема Если функции ( ), ( ) два решения уравнения (8), то их линейная комбинация ( ) ( ) тоже является решением этого уравнения Определение Функции ( ), ( ),, n( ) называются линейно независимыми на отрезке a, b, если их линейная комбинация ( ) ( ) n n( ) ни при каких значениях i, кроме случая 0, i, не обращается тождественно в ноль (для всех значений a, b ) i В противном случае функции называются линейно зависимыми, и в этом случае одну из функций можно выразить через другие (для примера пусть это будет j( ) ): 6

17 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j n n В случае двух функций они будут линейно зависимыми, если их отношение есть ( ) постоянная величина ( ) k на отрезке a, b Определение Для функций ( ), ( ),, n( ) определитель, составленный из них и их производных определителем Вронского Теорема Если функции ( ), ( ) n W (,,, n), называется ( n) ( n) ( n) n линейно зависимы на отрезке, то определитель Вронского для этих функций тождественно равен 0 n a b, Теорема Если ( ), ( ) - два линейно независимых решения уравнения (8) на отрезке a, b, то определитель Вронского для этих функций не обращается в 0 ни в одной точке данного отрезка Теорема 4 Если ( ), ( ) - два линейно независимых решения уравнения (8), то общее решение представимо в виде линейной комбинации данных частных решений C ( ) C ( ) Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка Теорема о структуре общего решения неоднородного уравнения Общее решение неоднородного уравнения (***) может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения (8) и некоторого частного решения неоднородного уравнения он оо чн 7

18 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами p q 0 (9) Решение уравнения будем искать в следующем виде e k Подставив данную функцию в уравнение (9), будем иметь k k k k e p k e q e 0 или k p k q 0, тк экспонента никогда не может обратиться в ноль Уравнение k p k q 0 (0) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (9) При решении характеристического уравнения (0) возможны три случая: D 0; k k, k, k R В этом случае функции k k e, e - два линейно ) независимых решения уравнения (9), следовательно, общим решением будет следующая функция ) C e C e оо k k () k D 0; k k k, k R Одно решение уравнения (9) это функция e Вместо второго решения (это можно проверить, подставив данную функцию в k уравнение) надо взять функцию e Эти функции будут линейно независимыми В этом случае получим общее решение ), C e C e k k оо () D 0; k i В этом случае можно рассмотреть два линейно независимых решения e cos, e sin И общее решение примет вид C e cos C e sin () оо Пример 8 Решить уравнение 7 0 8

19 Решение Составим характеристическое уравнение k 7k 0 Корнями уравнения будут два действительных числа k ; k, следовательно, общее решение в этом случае запишется так оо C e C e Пример 9 Найти решение уравнения 8 0, удовлетворяющее начальным условиям (0) 4; (0) 0 Решение В начале найдем общее решение уравнения Составим характеристическое уравнение k k 8 0 Дискриминант равен нулю имеем два одинаковых корня k,, и общее решение дифференциального C C e оо уравнения Подставим полученное решение в начальные условия: 0 C C 0 e 4; C 4; C 4; 0 C C C 0 e 0 C C 0 C Частное решение, удовлетворяющее задаче Коши, будет иметь вид e чо 4 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Как было отмечено выше, для решения неоднородного уравнения достаточно знать общее решение однородного уравнения (что просто сделать) и любое частное решение неоднородного Рассмотрим два особых случая правой части неоднородного уравнения и способы нахождения частных решений 9

20 Первый случай особой правой части произведение многочлена и показательной функции: a p q P ( ) e (4) n Частное решение в этом случае будем искать в следующем виде: a r S ( ) e, ч где n S ( ) n - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами; a e - та же экспонента, что и в правой части уравнения (4); r - усиление, параметр r определяется следующим образом: 0, если a k, a k, те a не является корнем характеристического уравнения; r, если a k, a k, те число a равно одному из корней;, если a k k k, те корни одинаковые и равны a Пример 0 Решить уравнение e Решение Найдем общее решение однородного уравнения 4 0 Составим характеристическое уравнение k k 4 0, корнями которого будут k ; k 4 Следовательно, общее решение однородного уравнения будет иметь вид C e C e 4 oo Выпишем параметры, необходимые для составления частного решения неоднородного уравнения: P ( ) 0 8 n ; a r n Следовательно, частное решение будем искать в следующем виде: ч н A B e Общий вид частного решения содержит неизвестные коэффициенты А и В Их мы определим, подставляя данное частное решение в исходное уравнение Для удобства вычислений слева от искомой функции и ее производных выпишем соответствующие 0

21 коэффициенты из уравнения, а выражение в сумме разложим по степеням переменной х 4 A B e A B e A B e ч ч A B e A B e Ae ч B B A e e A A A B B A B A (0 8) Левая и правая части уравнения содержат множитель e 0 После сокращения на этот множитель и упрощения получим: 0A A 5B 0 8; 0 A 0; A ; A 5B 8 B Таким образом, частное решение неоднородного уравнения равно e ч Запишем общее решение неоднородного уравнения C e C e e он 4 Рассмотрим второй случай особой правой части: a p q e P ( ) cos b Q ( ) sin( b ) (5) n Частное решение в этом случае будем искать в следующем виде: a r e S ( ) cos b T ( ) sin( b ), где ч l l S ( ), T ( ) - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, а l l ma( n, m); l 0, если a bi k, i, те числа a bi не являются корнями характеристического уравнения; r, если a bi k, i, те числа a bi есть корни характеристического уравнения m

22 Пример Найти частное решение уравнения 5 6 e cos, удовлетворяющее начальному условию (0) 0; (0) 4 Решение Найдем общее решение однородного уравнения 5 0 Корнями характеристического уравнения k k 5 0 будут комплексные числа k, i, поэтому общее решение однородного уравнения примет вид: e C cos C sin oo Правую часть уравнения можно представить в таком же виде, что и в уравнении (5): 5 e 6 cos 0 sin Выпишем параметры, необходимые для составления произвольного частного решения неоднородного уравнения: P ( ) 6 ; Q ( ) 0 n ; m 0; l ; n m a bi i i r 0 Следовательно, частное решение будем искать в следующем виде: 0 чн e A B cos C D sin Подставим данное частное решение в исходное уравнение: 5 cos A B sin C D cos A sin C cos (6 0) cos (0 0)sin ч н e A B C D sin e A B cos C D sin Acos C sin ч н e A B sin C D cos Acos C sin ч н e cos (5A A C C) 5B B A D D A C sin (5C C A A) 5D D C B B C A e Коэффициентами при cos, sin в левой и правой частях равенства являются многочлены первой степени, приравняем коэффициенты при степенях х:

23 A 6; A ; B C 0; B 0; C 0; C 0; D A 0 D 4 / При этом частное решение примет вид e cos 4 / sin Общее решение неоднородного уравнения: ч н e C cos C sin e cos 4 / sin oн Определим коэффициенты C, C, для этого подставим полученное общее решение в начальные условия: e C cos C sin cos 4/ sin C sin oн C cos cos sin 4/ cos C 0; C 0; C C 4 / 4 C / Окончательное решение задачи Коши следующее: 4 e sin e cos sin Метод суперпозиции решений Метод суперпозиции ( сложения) решений заключается в следующем: если правая часть линейного неоднородного уравнения (***) представляется в виде суммы двух функций, то и частное решение этого уравнения можно представить в виде суммы двух частных решений так, что первое из них является частным решением уравнения, в правой части которого стоит первое слагаемое, а второе когда второе слагаемое Пример Решить уравнение 9 5 sin Решение Однородному уравнению 0 соответствует характеристическое уравнение k k 0, имеющее действительные корни: k 0; k Тогда общее решение будет следующее: C C e oo

24 Правую часть уравнения можно представить как сумму двух функций f ( ) 9 5; f ( ) sin, причем, каждое из слагаемых является функцией вида правой части особого типа Рассмотрим уравнение с первой правой частью 9 5; P n a r ( ) 9 5 ; 0 n 0 ч A B С A B С A B C ч 6A B ч 9A 6B 6A C B 9 5 9A 9; A ; 6A 6B 0; B ; B C 5 C Таким образом, получаем первое частное решение: ч sin P ( ) 0; Q ( ) n 0; m 0; l 0; n m a bi 0 i r 0 0 A cos B sin ч A sin B cos ч 9A cos 9B sin ч cos 9B 9A sin 9A 9B sin 9A 9B 0; A B; A / ; 9A 9B 8B B / 4

25 Второе частное решение: / cos / sin ч Общее частное решение исходного неоднородного уравнения равно сумме полученных частных решений ч н ч ч / cos / sin Тогда общее решение примет вид C C e o н o o ч н / cos / sin Метод вариации постоянных Рассмотрим общий метод решения неоднородного уравнения p q f ( ) Как было показано ранее, общее решение однородного уравнения p q 0 можно представить в виде линейной комбинации двух линейно независимых решений oo C C Будем искать общее решение неоднородного уравнения в следующем виде: C ( ) C ( ) (6) oн В данном случае принимается, что коэффициенты при частных решениях, есть некоторые неизвестные функции, те вместо постоянных величин будем рассматривать переменные или будем варьировать постоянные величины Определим их, подставляя данную функцию в исходное уравнение Для этого вычислим производную C C( ) C C ( ) oн Представление (6) достаточно общее, и поэтому можно принять, что сумма первых двух слагаемых в производной равна 0 C C( ) 0 (7) Вычислим вторую производную C C( ) C C ( ) oн Подставим вычисленные производные в исходное уравнение 5

26 C C C p q C ( p q ) f ( ) 0 Учтем, что, являются решениями однородного уравнения Тогда для определения искомых функций получим систему условий C C ( ) 0; C C ( ) f ( ) Полученная система является системой линейных алгебраических уравнений относительно производных искомых функций C, C Определитель матрицы коэффициентов является определителем Вронского для функций, : W (, ) Тк функции, линейно независимы, определитель Вронского не равен нулю, следовательно, система имеет единственное решение, которое можно получить, например, методом Крамера C C f ( ) f ( ) ; Отсюда 0 f ( ) C d D; f ( ) C d D При этом общее решение неоднородного уравнения примет вид f ( ) f ( ) d d D D он Отметим, что общее решение неоднородного уравнения представляется (как должно и быть) в виде суммы общего решения однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного Пример Решить уравнение 4 7 / cos Решение Решением соответствующего однородного уравнения 4 0 является функция oo C C C cos C sin Здесь cos ; sin Будем искать решение в виде выражения (6) Тогда система (8) представится так: (8) 6

27 C cos C sin 0; C sin C cos 7 / cos Умножим первое уравнение на cos, а второе на 7 sin C cos sin и сложим: Умножив первое уравнение на sin, а второе наcos, и сложив, получим 7 C cos Проинтегрируем полученные выражения: 7 sin 7 d cos 7 C ; d D cos cos 8cos 7 d 7 C tg D cos 4 Общее решение неоднородного уравнения примет вид: 7 7 он tg sin D cos D sin 8cos 4 Решить уравнения: , , (0) 6, (0) () 0, () e, (0), (0) cos sin 77 e 4sin e 9 4cos e 6sin 8 / e e / 74 8 e, (0), (0) cos cos 4 0 e e 8 6 e co 84 9 / e sin s 7

28 Список литературы НС Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов Т М Наука 985 БП Демидович Задачи и упражнения по математическому анализу Для втузов М ИГ Петровский Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений М Изд-во МГУ АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям М Наука 979 Содержание Введение Общие замечания Дифференциальные уравнения первого порядка 4 Типы уравнений первого порядка и способы их решений 4 I Уравнения с разделяющимися переменными 5 II Однородные уравнения первого порядка 7 III Линейные уравнения 8 IV Уравнения Бернулли 0 V Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения второго порядка 4 I Уравнение, не содержащее явно переменную у 4 II Уравнение, не содержащее явно переменную х 5 III Линейное дифференциальное уравнение второго порядка 7 Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка 7 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка 8 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 9 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 0 Метод суперпозиции решений 4 Метод вариации постоянных 6 Список литературы 8 8

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.В. Калинин ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее

Т е м а 4 Неопределенный интеграл

Т е м а 4 Неопределенный интеграл 17 Т е м а 4 Неопределенный интеграл Интегральное исчисление является составной частью математического анализа, и применяется при решении множества задач из области физики, химии, биологии, а именно в

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования.

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ Интегралы. Часть. Основные приёмы интегрирования. Учебное

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ» Кафедра математики и информатики

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО УНИВЕРСИТЕТА «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Кафедра математики А В Михеев СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

= 0. (1) E 2z. ϕ(x, y, z) = f 1 (x) f 2 (y) f 3 (z). (3) f 1 (x) + f ) f 3 (z) f. f 3 (z) = γ2. f 3 (z) = Ae γz + B e γz. f 1 (x) = γ2 1, z=0 E 1z

= 0. (1) E 2z. ϕ(x, y, z) = f 1 (x) f 2 (y) f 3 (z). (3) f 1 (x) + f ) f 3 (z) f. f 3 (z) = γ2. f 3 (z) = Ae γz + B e γz. f 1 (x) = γ2 1, z=0 E 1z 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 6 Разделение переменных в декартовых координатах 1.1. (Задача 1.49) Плоскость z = заряжена с плотностью σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), где σ, α, β постоянные.

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление 280700 «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 3 Литература...

Подробнее

В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Университет Российской академии образования Новомосковский филиал В. А. Матвеев, В. М. Ульянов Обыкновенные дифференциальные

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Задачи по курсу "Дифференциальные уравнения" Составитель доцент кафедры ТУиО, к. ф.-м. наук Алеева С.Р. Тема : Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Включены следующие типы уравнений

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики ГБОУ СПО Прокопьевский политехнический техникум Комплект контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН Элементы высшей математики основной образовательной программы (ОПОП) по направлению подготовки

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет . Пояснительная записка.. Требования к студентам Студент должен обладать следующими исходными компетенциями: базовыми положениями математических и естественных наук владеть навыками самостоятельной ы самостоятельно

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Контрольная работа 2. Решение: Находим необходимые частные производные. Подставим найденные частные производные в

Контрольная работа 2. Решение: Находим необходимые частные производные. Подставим найденные частные производные в Контакты: тел. 8-96-966-7-8, Icq: 447-64-7, Контрольная работа. Дана функция z =. Показать, что. Решение: Находим необходимые частные производные z e e z e e e z e e e e Подставим найденные частные производные

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Последовательности. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения. Общие решения линейных рекуррентных однородных и неоднородных уравнений. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) Операционное исчисление один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Решить дифференциальное уравнение Решение: составим и решим характеристическое уравнение:, Получены два различных действительных корня Всё, что осталось сделать записать ответ, руководствуясь формулой

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Статистическая радиофизика и теория информации

Статистическая радиофизика и теория информации Статистическая радиофизика и теория информации Лекция 8 12. Линейные системы. Спектральный и временной подходы. Линейными называются системы или устройства, процессы в которых можно описать при помощи

Подробнее

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

Подробнее

9 Дифференцирование неявных функций

9 Дифференцирование неявных функций 80 9 Дифференцирование неявных функций Пусть функция = f задана уравнением F (, )= 0 В этом случае говорят, что функция задана неявно Для нахождения производной считаем, что в уравнении зависит от,иначе

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее