Линейная алгебра и аналитическая геометрия:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Линейная алгебра и аналитическая геометрия:"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖД ЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВМ Смоленцев Линейная алгебра и аналитическая геометрия: типовые расчеты и методические указания Краснодар 00

2 МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕР АЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВМ СМОЛЕНЦЕВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: типовые расчеты и Краснодар 00

3 УДК (0758) ББК С5 Рецензенты: ВГ Григулецкий, доктор технических наук, заведующий кафедрой высшей математики КубГАУ С5 Смоленцев ВМ Линейная алгебра и : типовые расчеты и / ВМ Смоленцев Краснодар: КубГАУ, 00 6 с Настоящее пособие содержит контрольные задания по основным темам курса «Линейная алгебра и», составленные по тридцативариантной системе, а также указания и решения примеров, представленных в типовых расчетах Пособие предназначено для студентов специальности 300 «Информационные системы и технологии» высших учебных заведений Смоленцев ВМ, 00 ФГОУ ВПО «Кубанский государственный аграрный университет»,

4 Содержание Общие Элементы линейной алгебры 5 Задание 5 Задание 0 Задание 3 5 Задание 9 Задание 5 5 Задание 6 30 Элементы векторного анализа и аналитической геометрии 33 Задание 7 33 Задание 8 36 Задание 9 3 Задание 0 50 Список рекомендуемой литературы 6-3 -

5 ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Данный типовой расчет предназначен для студентов специальности 300 «Информационные системы и технологии», изучающих курс алгебры и геометрии дисциплины «Высшая математика» К выполнению каждого расчета следует приступать только после прослушивания соответствующей лекции или самостоятельного изучения необходимого материала по рекомендуемым источникам (стр 6) Следует внимательно разобрать решения тех задач, которые приводятся в данном пособии к каждой теме При этом следует руководствоваться следующими указаниями: каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, выполнившего типовой расчет, шифр группы и наименование дисциплины; решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными Все вычисления, включая вспомогательные, необходимо делать полностью; типовой расчет должен выполняться самостоятельно Если будет установлено, что та или иная часть расчета выполнена несамостоятельно, то она не будет зачтена, даже если все задачи работы решены верно; студент выполняет тот вариант типового расчета, который определен преподавателем - -

6 Тема Элементы линейной алгебры Задание Найти значение матричного многочлена: ( E единичная матрица) 3 T D A 5A 7E, если T D 3A 5A E, если D E A A T 8 6, если D A E A T 6 8 3, если 0 5 A A 0 3, A 3 3 A D 7E 3A A, если 5 T 6 D 9A 6E A T, если D A 3E A, если 7 T A A A 0-5 -

7 T 8 D E 3A 7A, если T 9 D 3A 7E A, если 3 A 0 A D E A A T 3 7, если T D 3A 5A E, если 0 A 3 3 A T D A E A T, если T T D 5A 7E 3A, если A 0 3 A 3 0 D A A E, если T 7 A 0 3 D A E A T, если 5 T A

8 T 6 D 3A E 3A, если 3 0 A T D A A E, если A 3 0 T T 8 D 8A A 7E, если 9 T D 3A E 5A, если 0 T T D 3E A A, если T D A 3A 6E, если T D 3A E A, если D 6E 3A 3A, если 3 T 5 0 A 3 3 A A A 5 0 A A

9 T D 3A A 5E, если D A 6E 3A, если 5 T T 6 D A A 3E, если T A A A D 3E A 3A, если 7 T T 8 D 5A 6E 7A T, если 0 5 A A T T D 9E 3A 8A, если 9 D 8A 7A 6E, если 30 T A A 5 6 Решение типового примера Пусть требуется найти значение матричного многочлена - 8 -

10 T D 3A A E, если A 0, E единичная матрица 3 3 Единичная матрица в данном случае имеет вид E Подставим данные матрицы в многочлен и последовательно произведем необходимые действия: T 0 0 D Ответ D

11 Задание Вычислить определитель четвертого порядка: а) разложением по элементам ряда; б) сведением к треугольному виду

12 Решение типового примера Пусть требуется вычислить определитель вышеупомянутыми способами: разложением по элементам ряда и сведением к треугольному виду Первый способ Разложим определитель согласно следствию теоремы Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме - -

13 произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения где a i Ai a i Ai a i n Ai n a i s Ai s, n s a is элемент определителя, стоящий в i-ой строке в столбце s; Ais алгебраическое дополнение элемента a is Для этого выберем строку (столбец) по которой будет проводиться разложение Чтобы облегчить процесс вычисления, выбираем строку (столбец) содержащую наибольшее количество нулей (если нулей нет, то выбирается произвольная строка/столбец) Так, например, разложение по первому столбцу примет вид: A 0 A A A Ответ 9 Второй способ Данный способ вычисления определителей основан на следующем свойстве: определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов - -

14 Таким образом, необходимо привести определитель к треугольному виду Для этого воспользуемся еще одним свойством, а именно: определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число В первом столбце во второй позиции имеется один нуль Получим, не изменяя величины определителя, еще два нуля на третьей и четвертой позиции (обведены кружком) помощью элемента, стоящего на первой позиции a (обведен квадратом) Для этого умножим все элементы первой строки на и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки Так получаем нуль на третьей позиции в первом столбце Далее, умножая все элементы первой строки на и прибавляя к соответствующим элементам четвертой строки, получим нуль на четвертой позиции первого столбца - 3 -

15 Далее, поступая аналогичным образом, получим нули во втором столбце в третьей и четвертой позициях, с помощью элемента a : Осталось получить последний нуль на месте элемента a 3, для этого умножим элементы третьей строки на 6 и прибавим к соответствующим элементам четвертой строки: Полученный определитель имеет треугольный вид, значит, он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, те Ответ 9 - -

16 Задание 3 Решить матричное уравнение X X X X X X X X X X X

17 X X X X X X X X X X X

18 X X X X X X X X Решение типового примера Пусть требуется решить следующее матричное уравнение 3 X 3 Перепишем данное уравнение в виде: A X B C 3 где 3 A ; B ; C 3-7 -

19 Умножим обе части равенства (3) слева на матрицу A, обратную матрице A: A A X B A C; E X B A C; X B A C E Аналогично, умножим обе части последнего равенства справа на матрицу B, обратную матрице B : X B B A C B X A C B ; E Таким образом, чтобы решить исходное матричное уравнение, необходимо умножить его, сначала на обратную матрицу с левой и на матрицу B Найдем нужные матрицы с правой стороны A и B Для матриц второго порядка можно использовать формулу: Значит: A B a b d b A A c d a d b c c a 3 3 A ; B A Перемножив полученные матрицы с матрицей C определенным выше образом, получим матрицу X, являющуюся решением данного уравнения: 3 X A C B

20 Ответ X Задание Исследовать систему на совместность и решить еѐ: а) по формулам Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса x x x3 3 0, 3x x x3, x x 5x3 6 x x x3 0, x 3x x3, x 5x 3x3 x x x3 5, x 3x x3, x x 3x3 3 7 x x x3 3 5, x x x3 0, x x 3x3 3 x x x3 3 7, 3x x x3, 5x 3x x3 8 8 x x x3 5, 3x 3x x3, x x 3x3 x x x3 3, x 3x x3, x x 5x3 9 9 x x x3 3, x x x3 7, x x 3x3 5 x x x3 6, 3x x x3, 5x x x3 3 0 x x x , x x x3 8, 3x x 5x

21 6 x x x3 3, 3x x x3 9, x x x3 0 x x x3, x 3x 3x3 8, 3x 5x 3x3 7 x x x3 5 8, x x x3 6, 3x x x3 x x x3 3 6, x 3x x3, 3x x x3 0 8 x x x3 9, x x x3, x x x3 8 3 x x x , x 3x x3, x x 3x3 9 x x x3 3 9, x 5x x3 0, 3x x x3 5 x x x3 3, 3x 5x 6x 3 36, x x x3 9 0 x x x3 3, x 3x x3, 3x x x3 5 x x x3 3 5, 5x x x3 7, x 3x x3 5 3xx, 5x x x3 0, x x x3 3 6 x x x3 3 7, x x 3x3, x x x3 0 x x x3 0, 3x x x3 8, x x 3x3 7 x x x3 3 7, x 3x x3, 3x x x

22 3 x x x3 3 6, 3x x 3x3 5, x x x3 8 x x x3, x 3x x3, x x 3x3 x x x3 3 9, x x x3, 8x 3x 6x3 9 x x x3 0, x x x3 6, x x x3 5 x x x3, x x x3, x x x3 30 x x x , 3x x x3, x x x3 9 Решение типового примера Пусть требуется исследовать на совместность и решить следующую систему уравнений вышеуказанными способами: x x x3, x x x3, x x x3 Решение Исследование системы на совместность проведем в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы Составим расширенную матрицу системы и проведем над ней элементарные преобразования - -

23 Полученная расширенная матрица имеет ранг равный трем, ra 3 (матрица имеет ступенчатый вид, а количество строк в матрице такого вида определяет ее ранг) Проводя аналогичные преобразования над матрицей системы можно также привести ее к ступенчатому виду, и убедиться что ранг матрицы системы также равен трем, r A 3 Значит, условие теоремы Кронекера-Капелли выполняется, таким образом, исходная система имеет единственное решение Теперь решим ее указанными способами I способ: по формулам Крамера Эти формулы имеют следующий вид: 3 x ; y ; z Составим и вычислим определители,,, 3 A 6 6 ; ; 3 (определитель составлен из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений, а определители i из определителя, заменой соответствующего i -го столбца на столбец свободных членов) Таким образом, решение: 6 3 x ; y ; z Ответ ; ; - -

24 II способ: матричный способ Перепишем систему в матричном виде: где A AX B,, X x x x 3, B Полученное матричное уравнение решим, умножив обе части равенства на обратную матрицу A X A B с левой стороны: Найдем эту обратную матрицу, используя следующий алгоритм нахождения обратной матрицы: Вычислить A определитель матрицы A если A 0, матрица вырожденная, то обратной не существует; если A 0, то переходим к следующему пункту Транспонировать матрицу A 3 Найти присоединенную матрицу A Составить обратную матрицу, согласно формуле Проводим последовательно нужные вычисления A A 6 0 существует обратная матрица A A A T T - 3 -

25 (транспонированная матрица, получается из исходной заменой строк матрицы на столбцы) 3 A? Присоединенной матрицей A, называется матрица, составленная из алгебраических дополнений - - A ij к элементам a ij транспонированной матрицы A Значит, необходимо вычислить алгебраические дополнения каждого элемента транспонированной матрицы A 6; A ; A3 A 0 ; A3 6 Отсюда, Тогда Значит: ; 3 6 A A 6 ; A ; A 3 ; A 3; A X Следовательно, x ; x ; x3 III способ: метод Гаусса Ответ ; ; Перепишем исходную систему в соответствии с расширенной матрицей, приведенной к ступенчатому виду:

26 A ~ 0 3 ~ (элементарные преобразования аналогичны проведенным ранее, см стр 3) Исходная система примет вид: x x x3, 3x x 3, x3 Последнее уравнение дает неизвестное x 3, подставляя его во второе уравнение, определим неизвестное x, а затем из первого уравнения найдем неизвестное x : x x, x 3, x, 3x, x, x, x3 x3 x3 Ответ ; ; Задание 5 Исследовать на совместность и решить систему: x x 3x3 x, x 5x x3 x 3, 3x x x3 3x x x x3 x 3, x 3x x3 x 3, x 3x x3 6x 5 3 x x x3 x 5, 3x x 3x3 x 0, x 3x 7x3 3x 5 3x x x3 x 3, 3x 5x 3x3 5x 6, 6x 8x x3 5x 8-5 -

27 5 x 3x x3 5x 3, 5x x 5x3 3x, 7x 5x 3x3 x 6 x 3x x3 x 5, x x 3x3 x 7, x x x3 3x 9 7 x x 3x3 x, x x x3 3x 5, x 3x x3 x 8 x x 3x3 x, x 3x x3 3x 5, x x x3 x 9 x x x3 x 0, x 3x x3 5x 3, 3x x x3 x 3 0 x x x3 3x 5, 3x x 3x3 x, x x x3 x x x x3 x, x x 3x3, 3x x x3 x 5 x x 5x3 3x 0, x x x3 x 5, 5x 8x 7x3 9x 5 3 3x x x3 x, x 3x x3 5x 3, x x 3x3 x 5 x x 7x3 x, x 3x 8x3 x, x x 9x3 x 8 5 x x x3 x 7, x x x3 x, x x x3 x 6 x x x3 x 3, x 3x x3 x 3, x 3x x3 6x 5 7 x x x3 9x, x 3x x3 9x 3, 3x 8x 3x3 x 7 8 x x x3 x, x 3x x3 x 0, x 5x3 x 3-6 -

28 9 x x x3 x, x 3x x3 6x 3, x 5x 5x3 8x 6 0 x 3x 3x3 9x 3, 3x 8x 9x3 x 7, 3x 0x 0x3 7x x 6x x3 36x 6, x x 5x3 7x, x 7x x3 x 7 x x 3x3 5, x x x3 6x, x 3x x3 3x 3 3x x x3 5x 0, x x 5x3 5x 0, x x 3x3 6x 3x x x3 x 0, 5x x x3 7x 8, x x 5x3 7x x x x3 5x 6, 5x 3x x3 x 3, x x 3x3 5x x 5x x3 3x 5, 5x x 5x3 9x 9, x x x3 x 3x 5x 6x3 0x 3, x 3x 5x3 8x, x x x3 x x x x3 x, x 3x x3 6x 7, x 5x 5x3 8x x x x3 x, x x x3 x, x 3x x3 6x x 3x x3 6x, x x x3 x, x x x3 x 3 Решение типового примера Пусть требуется исследовать на совместность и решить следующую систему уравнений: - 7 -

29 x 3x x3 x 0, x x x3 x, 3x x x3 3x Исследование системы на совместность проведем в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли (см стр ) Составим расширенную матрицу системы и проведем над ней элементарные преобразования полученная расширенная матрица имеет ранг равный трем, ra 3 Проводя аналогичные преобразования над матрицей системы можно также привести ее к ступенчатому виду, и убедиться что ранг матрицы системы также равен трем, r A 3 Значит, условие теоремы Кронекера-Капелли выполняется, следовательно, исходная система имеет решение совместная Выясним теперь определенная исходная система или неопределенная Для этого сравним ранг полученных матриц с числом неизвестных переменных Поскольку ранг рассмотренных матриц равен 3, а число неизвестных переменных, т е r 3 n, то делаем вывод о неопределенности данной системы линейных уравнений - 8 -

30 Так как r 3, значит, три неизвестные исходной системы являются основными, и одна вспомогательная Выберем основные неизвестные Переменные могут быть основными, если определитель, составленный из коэффициентов при них, отличен от нуля Проверим, являются ли основными неизвестные x, x, x 3? Составим по матрице ступенчатого вида, определитель из коэффициентов при выбранных переменных: 3 x x x ,, основные неизвестные, а x вспомогательная переменная Далее, по матрице ступенчатого вида составим систему уравнений и разрешим ее относительно основных переменных x 3x x3 x 3 0, 0, x x x x x x3 x 3, x x x 3, x3 x x3 x x 3 x 8x, x x, x x, x x, x3 x x3 x Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид: x ; x ; x ; x Ответ x ; x ; x ; x

31 Задание 6 Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: x x x3 0, x 3x 7x3 0, 5x x 6x3 0 7x 5x 3x3 0, 5x x x3 0, x x x x x 5x3 0, 5x x 6x3 0, x x x3 0 x x 3x3 0, x 3x x3 0, 3x x x x 5x x3 0, 3x x 6x3 0, x 3x 7x x x 5x3 0, x 3x 3x3 0, x x 3x x x 3x3 0, x x x3 0, 3x 6x x x x x3 0, x 3x 5x3 0, 5x x x x 5x 3x3 0, 5x x x3 0, x x x x 6x x3 0, 3x 3x x3 0, x 3x 5x3 0 x x x3 0, x x x 3 0, 7x x x3 0 9x x 8x 3 0, x 8x x3 0, x x 3x x 3x x3 0, x x 3x3 0, 3x 7x 5x3 0 x 3x x3 0, x x 3x3 0, 3x x x x 5x x3 0, x x x3 0, 3x x x3 0 6 x x x3 0, 5x x 6x3 0, 3x x 5x x x x 3 0, x 3x 5x3 0, x x x3 0 8 x x x3 0, x 9x x3 0, x 5x 3x3 0 9 x 8x 7x3 0, 3x 5x x3 0, x 3x 3x3 0 0 x 3x 7x3 0, x x 3 0, 3x 6x 0x3 0 x x x 3 0, x 3x x3 0, x x x

32 3x x x3 0, x x x3 0, x 5x x x x x 3 0, x 3x x3 0, 5x 7x 3x3 0 3x x x3 0, x 5x 3x 3 0, x 3x x x x x3 0, x 3x x3 0, 5x x 3x3 0 x x x3 0, 3x 3x 5x3 0, x x 6x x x x3 0, x 7x 6x3 0, 3x x x3 0 x 3x x3 0, x x 5x3 0, x x 3x x x 7x 3 0, x x 3x 3 0, x 3x 5x 3 0 3x x x3 0, x x x3 0, x x 3x3 0 Решение типового примера Пусть требуется исследовать на совместность и решить следующую систему уравнений: x x x3 0, 3x x x3 0, x 3x 3x3 0 Данная система уравнений однородная, следовательно, заведомо совместная, поскольку имеет нулевое решение x x x3 0, значит, осталось выяснить определенная она или неопределенная Для этого вычислим ранг матрицы системы, и сравним с числом неизвестных переменных - 3 -

33 Полученная ступенчатая матрица имеет две линейно независимые строки, значит r A Так как ранг меньше числа неизвестных переменных r n 3, то делаем вывод о неопределенности данной однородной системы линейных уравнений Поскольку r, две неизвестные переменные основные, одна вспомогательная Проверим, являются ли основными неизвестные x, x? 3 0 x, x основные неизвестные, а 3 0 x вспомогательная переменная По матрице ступенчатого вида составим систему уравнений и разрешим ее относительно основных переменных x 3x 3x3 0, x 3 x3 3x3 0, x 3 x3, x x3 0 x x3 x x3 Таким образом, общее решение исходной однородной системы имеет вид: или x ; x ; x, 3 t; t; t, где t произвольное действительное число Ответ 3 t; t; t - 3 -

34 Тема Элементы векторного анализа и аналитической геометрии Задание 7 Даны координаты точек AB, и C в системе x Oy Найти: а) координаты векторов AB, AC, их разложение по ортам i, модули; б) угол между векторами AB и AC ; в) направляющие косинусы векторов AB и AC ; г) проекцию вектора AB на вектор AC j и их A8;0, B8; 3, C; A; 0, B 5; 7, C7; 3 A;, B0; 5, C8; 9 A; 5, B;, C8;8 5 A;, B;, C9; 3 6 A 5; 0, B7; 9, C5; 5 7 A7;, B5;, C3; 3 8 A 6;, B6; 7, C; 7 9 A8;, B; 5, C; 9 0 A0;, B; 8, C0; 6 A6;, B6;0, C; A; 3, B; 5, C 6; 7 3 A3; 0, B9; 9, C7; 5 A 3; 3, B9; 6, C7; 8 5 A7;, B5; 0, C3; 6 A ;, B8; 8, C6; 6 7 A;, B3; 7, C; 7 8 A ;, B0; 7, C8; 7 9 A8;, B; 5, C; 9 0 A0; 3, B; 6, C0; 8 A7;, B5; 8, C3; 6 A 7; 5, B5;, C3;0 3 A5;, B7; 7, C5; 7 A 9;, B3; 7, C; 7 5 A0; 3, B; 6, C0; 8 6 A ;, B0;0, C8; 7 A;, B8; 8, C6; 6 8 A ; 0, B; 9, C9; 5 9 A3; 3, B9; 6, C7; 8 30 A3; 0, B 9; 9, C 7; 5

35 Решение типового примера Пусть даны координаты точек A; 3 ; B6; 6 ; C0;6 а) Найти координаты векторов AB, i, j и их модули AC, их разложение по ортам Известно, что произвольный вектор a, отнесенный к прямоугольной системе координат xoy, может быть представлен в виде: a a i a j x Данное представление вектора a называется его разложением по ортам координатных осей i, j Если вектор задан начальной ; ; y M x y и конечной точкой M x y, то данное разложение может быть представлено в виде: В нашем случае имеем: M M x x i y y j ; ;3 AB i j i j AB, AC i j i j AC Зная координаты вектора x; y a a a можно найти модуль вектора по формуле: В нашем случае имеем: a a a x y AB ( лин ед), AC ( лин ед) - 3 -

36 б) Найти угол между векторами AB и AC Воспользуемся формулой cosa b a a b b, где a b скалярное произведение векторов, которое вычисляется по формуле: В нашем случае имеем: cos a b a x b x a y b y AB AC AB AC AB AC cos 0, arccos 7 AB AC AB AC то есть o в) Найти направляющие косинусы векторов AB и AC Направление произвольного вектора a определяется углами, образованными им с координатными осями Косинусы этих углов называются направляющими косинусами и определяются по формулам: В нашем случае имеем: a x a y cos, cos a a ; 9 AB : 6;3 AC : a x cos ; a 5 5 a x 6 cos ; a 5 7 a y 9 3 cos a 5 5 a y 3 cos a

37 г) Найти проекцию вектора AB на вектор AC Воспользуемся формулой Пр b a В нашем случае имеем: Пр AC AB a b b AB AC AC Задание 8 Даны координаты вершин треугольника ABC Найти: а) длины сторон треугольника; б) уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно; в) угол C треугольника ABC ; г) уравнение высоты AL и ее длину; д) уравнение медианы BK ; е) уравнение прямой, проходящей через точку L, параллельно стороне AB ; ж) координаты точки T, расположенной симметрично точке C относительно высоты AL ; з) сделать рисунок A;, B;, C0; 0 A; 0, B 5; 7, C7; A3;0, B3; 5, C5; 7; 5, 7; 0, 9; 9 A B C 5 A3;5, B 7;0, C5; 6 5; 8, 5; 3, 7; 6 A B C 7 A7;5, B 3;0, C9; 8 A5;9, B ; 6, C; 3 9 A8;, B;, C; 8 0 A5;, B ;, C; 8 A;3, B; 0, C; 9 A9; 8, B 7; 5, C5;

38 3 A5;, B 5; 9, C7; 0 0; 8, 0; 3, ; 6 A B C 5 A3; 9, B7;, C5; 5 6 ; 6, ;, 6; 8 A B C 7 A7;5, B 3; 0, C9; 8 A6;7, B ;, C8; 3 9 A0;0, B0; 5, C; 0 3;, 3; 6, 5; 3 A B C A;3, B6; 8, C6; A8;, B ; 7, C0; 3 A5;7, B;, C; 5 8;8, ; 5, ; A B C 5 A; 3, B ;0, C8; 6 7;3, ; 0, 3; 9 A B C 7 A7;9, B9; 6, C3; 3 8 6;5, 0;, ; 7 A B C 9 A6;, B 0; 9, C; 0 30 A8;0, B 8; 3, C; Решение типового примера Пусть даны координаты вершин треугольника: ; 3 ; 6; 6 ; 0;6 A B C а) Найти длины сторон треугольника ABC Используем формулу, определяющую расстояние d между точками M x; y и ; M x y : d x x y y 8 Тогда, по формуле (8) получим: AB лин ед ; BС лин ед ; AС лин ед

39 б) Найти уравнения сторон треугольника, указать их угловые коэффициенты и координаты направляющих и нормальных векторов соответственно Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки M x; y и ; M x y : x x y y x x y y 8 Подставляя в формулу (8) координаты соответствующих вершин треугольника ABC, определим искомые уравнения сторон AB : x y ; x y ; x y ; или x y x y x y AB 3 3 ; 3 ; 3 0 Получили общее уравнение прямой АВ Разрешим это уравнение относительно переменной y, тогда коэффициент перед переменной x является угловым коэффициентом прямой АВ: 3 3 3x y 0 y 3x ; y x 6 k AB Если прямая задана своим общим уравнением Ax By C 0, то нормальный n и направляющий p вектора этой прямой, имеют следующие координаты: Значит, для прямой АВ: n A; B и p B; A 83 n 3;, ; 3 AB p AB

40 Аналогично, используя формулы (8) и (83) определим уравнения сторон ВС и АС и координаты их нормальных и направляющих векторов соответственно BC : x 6 y 6 x 6 y 6 x 6 y 6 ; ; ; x y x y x y BC 6 6 ; 76 ; 88 0 x y 88 0 y x 9 k BC Координаты нормальных и направляющих векторов: n ; и n BC BC ; x y 3 x y 3 ; ; ; AC : x y 3x 5 6y 8; 3x 6y 0 AC 3 3 3x 6y 0 y x k AC 6 6 Координаты нормальных и направляющих векторов: n 3; 6 и n AC AC 6;3 в) Определить величину угла B треугольника ABC Если две прямые l и l заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: l : y k x b и l : y k x b, то угол между ними можно найти по формуле: tg k k k k 3 В нашем случае: k k AB, k k BC, значит:

41 3 5 5 tg Таким образом, tg arctg 6 o г) Найти уравнение высоты CD и ее длину Поскольку CD является высотой треугольника АВС, значит CD AB Используем условие перпендикулярности двух прямых: прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и взяты с противоположными знаками, те l l k l k l В нашем случае: CD AB k CD k 3 AB 3 Далее, используем уравнение прямой, проходящей через данную точку 0 0; 0 M x y в заданном направлении (оно определяется угловым коэффициентом): 0 0 y y k x x 85 В нашем случае известна точка C 0;6 точка, через которую проходит высота CD, и угловой коэффициент этой прямой k CD Тогда получим: 3 y 6 x 0 ; 3y 8 x 80; x 3y 3 0 CD 3 Для определения длины высоты CD, используем формулу (6), но сначала найдем координаты точки D Поскольку точка D является - 0 -

42 пересечением прямых CD и AB, то для определения еѐ координат необходимо решить совместно уравнения этих прямых, те AB x y x y x CD x y y y 3 0, ( ) 3 0, 8, Значит, точка D имеет следующие координаты: D 8; 0 Теперь по формуле (8) получим: CD лин ед д) Найти уравнение медианы BK Так как BK является медианой, то точка K середина отрезка AC Определим координаты середины отрезка AC по формуле: xa xc 0 xk,, xk x K, K y A y C 6 3 9,5 y K y y K K ; 9,5 Далее, использую формулу (8), найдем уравнение медианы BK: x 6 y 6 x 6 y 6 ; ; 3 x6 8 y 6 ; 6 9, x 96 8y 8; 3x 8y 8 0 BK е) Найти уравнение прямой, проходящей через точку D, параллельно стороне AС Пусть l искомая прямая Тогда, по условию она параллельна прямой AС Используем условие параллельности двух прямых: две прямые параллельны, если они имеют равные угловые коэффициенты, т е l l k k l l - -

43 3 В нашем случае: kl k AB 6 Также, по условию, известно, что прямая l, проходит через точку D Тогда используя формулу (85), определим уравнение искомой прямой: D k l 8; y 0 x 8 ; 6y 3x 0; 3x 6y 0 0 l 6 ж) Найти координаты точки T, расположенной симметрично точке B относительно высоты CD По условию, точка T симметрична точке B, относительно высоты CD, значит, точка T лежит на прямой AB и длины отрезков BD и DT равны между собой То есть, точка D является серединой отрезка BT: x y D D x y B B x T y T, Отсюда, найдем искомые координаты точки T xt x D x B, xt 8 6, xt 0, T yt y D y B yt 0 6 yt 6 з) Чертеж (рис) 0; 6 Замечание Для построения прямой l (пункт е) необходимо выбрать допол- x 6 y 6,5 F 6; 6,5 нительную точку Например, - -

44 Рисунок Задание 9 Даны точки Ax; y и ; B x y Требуется: 5 а) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки A и B, найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнение директрис Сделать чертеж б) составить уравнение гиперболы, фокусы и вершины которой находятся соответственно в вершинах и фокусах найденного в п а) эллипса Найти еѐ асимптоты, директрисы, эксцентриситет Сделать чертеж в) составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ox и проходящей через точку A x ; y Найти еѐ фокус, уравнение директрисы Сделать чертеж A 3 ; 6 ; B 6 ; 7 A8; ; B 7 ; 3 A ; 6 ; B 5 ; 3 A B 6; 6 ; 3 ; 6

45 5 A 6 ; ; B 6 ; 6 A ; 6 ; B ; 7 A; 7 ; B 6 ; 8 A 3 ; 6 ; B 3; 9 A3; ; B 3 6 ; 3 0 A; ; B ; 7 A; 7 ; B ; 6 A 6 ; ; B 3; 3 A 6 ; ; B 3 ; 6 A B 5 A ; ; B 7 ; 6 ; ; 6; 6 30 а) составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки A и B, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс Найти еѐ полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис Сделать чертеж б) составить уравнение эллипса фокусы и вершины большей оси которого находятся соответственно в вершинах и фокусах найденной в п а) гиперболы Найти его оси и уравнения директрис Сделать чертеж в) составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Oy и проходящей через точку ; A x y, найти ее фокус, уравнение директрисы Сделать чертеж A 6 ; ; B ; 3 A; 6 ; B 6; 6 3 A 7 ; 6 ; B 5 ; 3 A8; ; B 6; 5 5 A8; ; B 3 ; 6 6 A3; ; B 5; 5 7 A6; 6 ; B 3 ; 6 8 A3; ; B 6 ; 9 A ; 3 ; B 3 ; 6 0 A B - - 8; 6 ; 8 ; 5

46 A 3 ; 3 ; B 8; 9 A; 3 ; B 8; 9 3 A8; 9 ; B 3 ; 3 A B 5 A B 0; 3 0 ; 0 ; 6 5 Решение типового примера Пусть даны точки - 5-8; 6 ; 0; 3 0 A 6; ; B 3 ; 6 Требуется: а) Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки A и B, найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнение директрис Сделать чертеж Каноническое уравнение эллипса имеет вид: x a y b где а и b большая и малая полуоси эллипса, 9 По условию, эллипс проходит точки A и B, значит, их координаты удовлетворяют уравнению эллипса С одной стороны координаты точки A, удовлетворяют уравнению эллипса, т е ; a b a b С другой стороны координаты точки B, удовлетворяют уравнению эллипса, те 3 6 ; a b a b Решим совместно полученные два уравнения, откуда определим значения a и b

47 a b b a b a b,, b 3, ( 3) a 3 b 3, b 3, a a 3, a 8 b Тогда уравнение эллипса примет вид: x y, или x y 8 3 Фокусы эллипса имеют координаты: F c и c a b В нашем случае: c ;0 F c ;0, где Значит, фокусы имеют координаты: F и Эксцентриситет эллипса равен: c a В нашем случае: ; 0 Уравнения директрис эллипса имеют вид: d d 3 В нашем случае: d : x, и d : x Вершины эллипса имеют координаты: 3 F ; 0 a : x, a : x

48 A 3 ; 0 ; A 3 ; 0 ; B 0; ; B 0; Чертеж (рис ) Рисунок б) Составить уравнение гиперболы, фокусы и вершины которой находятся соответственно в вершинах и фокусах найденного в п а) эллипса Найти еѐ асимптоты, директрисы, эксцентриситет Сделать чертеж По условию, вершины гиперболы совпадают с фокусами, найденного в пункте а) эллипса, т е точки F и ; 0 F ; 0, являются вершинами гиперболы Значит, большая полуось гиперболы равна, a Далее по условию, фокусы гиперболы совпадают с вершинами эллипса, лежащими на оси Ox, те с точками A 3 ; 0 ; A 3 ; 0 Соответственно координаты фокусов гиперболы будут: - 7 -

49 F 3 ; 0 ; F 3 ; 0, Отсюда получаем, что c 3 Тк c a b имеем, что b a c 3 Соответственно уравнение гиперболы примет вид: x y или, x y 6 3 Эксцентриситет гиперболы также равен: c a 3 В нашем случае: Уравнения директрис гиперболы также имеют вид: В нашем случае: 3 d d d 3 : x, 3 3 и 3 d : x 3 Уравнения асимптот гиперболы имеют вид: В нашем случае: : b l y x a и : b l y x a l : y x x и l : y Чертеж (рис 3) a : x, a : x - 8 -

50 Рисунок 3 в) Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ox и проходящей через точку A 6; Найти еѐ фокус, уравнение директрисы Сделать чертеж Поскольку ветви параболы симметричны оси Ox, и она проходит через точку A 6;, т е ветви направлены влево от начала координат, то еѐ уравнение имеет вид: y px Так как координаты точки A, удовлетворяют уравнению параболы, то получим: 6; 8 ; p p p 3 Таким образом, искомое уравнение данной параболы имеет вид: y 3 x или 3 x y - 9 -

51 p Фокус данной параболы имеет координаты: F ; 0 В нашем случае: F ; 0 Уравнение директрисы d: x p Соответст- 3 венно, в нашем случае: Чертеж (рис ) x 3 Рисунок Задание 0 Даны координаты вершин пирамиды ABCD с вершиной в точке D Найти: а) площадь грани ABC ; б) объем пирамиды ABCD; в) уравнения ребер AD и BD, указав координаты направляющих векторов; г) уравнения граней ABC и ABD, указав координаты их нормалей; д) длину высоты DK ; е) угол между плоскостью основания ABC и боковым ребром AD;

52 ж) угол между плоскостью основания ABC и боковой гранью ABD; з) уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно основанию ABC ; и) уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно ребру AD; к) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости основания ABC ; л) угол между боковыми ребрами AD и BD A ; ; ; B 5; ; ; C 3; 0; 3 ; D 6; 0; A ;; 3 ; B 0;; ; C ; 3; ; D ; 3; 0 3 A ; ; 0 ; B ; ; 5 ; C 3; 3; ; D ; ; 3 A ; ; ; B 0; ; 5 ; C ; 0; ; D ;; 3 5 A 5; ; ; B ; ; ; C ; 0; 5 ; D ;; 6 A ;; ; B 3; 3; 3 ; C ;; ; D ; ; 3 7 A 5;; ; B ; ; ; C 3; 3; ; D ; ; 8 A 3;; 0 ; B 0; 7; ; C ; 0; 5 ; D ;; 5 9 A0; 0; ; B3; 0; 5 ; C;; 0 ; D ;; 0 A 7; 3; ; B 0; ; ; C ; ; 0 ; D ; 0; 3 A 3;; 0 ; B 0;; ; C ; 0; 5 ; D ; 5; A 0; 0; ; B ; 3; ; C 5; 0; 3 ; D ; ; 3 A ; ; 5 ; B 0; ; 5 ; C 3; ; ; D ; ; A ; ; 5 ; B ; 3; ; C 5; 5; ; D ; ; 5 A ; 3; ; B 6;; ; C ; 8; 9 ; D ; ; - 5 -

53 6 A 5; ; ; B 9; 3; 6 ; C 7;0; ; D 5;; 3 7 A ; ; 0 ; B 5; 0; ; C 3; 7; 0 ; D ; ; 8 A 3; 6; ; B ; ; 0 ; C ; 5; 8 ; D 3; ; 3 9 A ;; 5 ; B 3; 5; 7 ; C ;; 5 ; D ; 3; 0 A ; ; ; B 0; 6; 3 ; C ;3; ; D ; ; 0 A 0; ; 3 ; B ; 8; ; C ;5; 7 ; D 0; 6; A ; 0; ; B ; ; ; C 0;; ; D ; ; 3 A 3; 3; 3 ; B 7; 7; 5 ; C 5;; 3 ; D 3; 5; A ; ; 5 ; B 8; ; 3 ; C 6; 9; 5 ; D ; 0; 6 5 A 5; 0; ; B ; ; 3 ; C 6; ; ; D 3; ; 9 6 A 3; ; 3 ; B ; ; ; C 8; 6; 7 ; D 5; 8; 5 7 A ; 3; ; B ; 5; ; C 9; ; ; D 6;;0 8 A ; 5; 5 ; B 3; 3; 3 ; C 7; 7; 5 ; D ; 9; 3 9 A ; ; ; B 3; 3; ; C 3;; 6 ; D 0; 3; 30 A 8; 3; ; B 7;; ; C 3; 5; 9 ; D 0; 7; 7 Решение типового примера Пусть даны координаты вершин пирамиды ABCD: 5; 3; 9 ; 5; 3; 3 ; ; ; 5 ; ; ; 9 A B C D а) Вычислить площадь грани ABC Для вычисления площади грани ABC, используем формулу определяющую площадь треугольника, построенного на векторах a и b : S a b, 0

54 где a b векторное произведение векторов a a x; a y; a x и b bx; b y; b z, которое может быть найдено следующим образом: i j k a b a x a y a x b b b x y z В нашем случае, грань ABC, можно определить как треугольник, построенный на векторах AB и AC Значит формула (0) примет вид: S ABC AB AC Найдем координаты необходимых векторов AB, AC и их векторное произведение 5 5; 3 3; 3 9 0; 6; 6 5; 3; 5 9 ; ; AB ; AC Тогда: i j k AB AC i j k i j 0 k 0 i j k Далее, найдем длину вектора, равного векторному произведению AB AC : AB AC 9 36 Таким образом, площадь грани ABC, равна: S 36 8 ABC AB AC кв ед

55 б) Вычислить объѐм пирамиды ABCD Объѐм пирамиды, построенной на векторах a; b; c можно вычислить по формуле: где пир 6 V a b c, 0 a b c смешанное произведение векторов a a x; a y; a x, b bx; b y; b z и x; y; z c c c c, которое можно вычислить следующим образом: a a a x y x a b c b b b x y z c c c x y z В нашем случае, пирамида ABCD, можно рассматривать как пирамиду, построенную на векторах AB, AC и AD Вычислим смешанное произведение этих векторов Для этого найдем координаты вектора AD : 5; 3; 9 9 ; ; 0 AD AB AC AD Таким образом, объем пирамиды ABCD: V 96 6 ABCD куб ед 6 в) Найти уравнения ребер AD и BD, указав координаты направляющих векторов - 5 -

56 Уравнение ребра можно найти как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M x; y; z и ; ; формуле: где ; ; x x y y z z M x y z по x x y y z z, 03 s x x y y z z направляющий вектор прямой В нашем случае: AD : x y z ; x y z ; z Направляющий вектор соответственно: s BD AD ; ; : x y z ; x y z ; x 5 y 3 3 z 3 Направляющий вектор: s BD ; ; 3 г) Найти уравнения граней ABC и ABD, указав координаты их нормалей Уравнение грани можно определить как уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M x; y; z, M x; y ; z и M 3 x3; y3; z 3 по следующей формуле: x x y y z z x x y y z z 0 x x y y z z В нашем случае, по формуле (0) получим:

57 ABC : x 5 y 3 z ; x 5 y 3 z ; x y z ; x y z ; x y z ; x y z x y z 7 0 ABC ; Аналогично, найдем уравнение грани ABD ABD : x 5 y 3 z ; x 5 y 3 z ; 0 x y z ; x y z ; x y z ; x 5 y 6 z 8 0; x y z 7 0 ABD д) Найти длину высоты DK Длину высоты пирамиды определим из формулы для нахождения объѐма пирамиды, а именно: Vпир S основ h, 3 где h длина высоты, опущенной на основание пирамиды В нашем случае: V ABCD S ABC DK 3 Выразим отсюда искомую длину высоты:

58 DK 3V ABCD S ABC В пункте а) и б) были вычислены соответствующие значения ABC S и объѐм пирамиды V 6 площади грани ABC 8 ABCD Тогда, длина высоты DK, составит: DK лин ед Замечание Длину высоты DK, можно также определить как расстояние от точки D до плоскости ABC по формуле: где Ax By Cz D d A x B y C z D A B C уравнение плоскости, 0; 0; 0 В нашем случае:, x y z координаты точки DK лин ед 3 е) Вычислить значение угла между плоскостью основания ABC и боковым ребром AD За угол между прямой и плоскостью принимают угол между этой прямой и еѐ проекцией на данной плоскость Он может быть вычислен по формуле: n s sin, n s где n A; B; C нормальный вектор плоскости, s ; ; направляющий вектор прямой Эту формулу можно записать в координатном виде: A m B n C p sin A B C m n p m n p

59 В нашем случае, плоскость ABC имеет следующее уравнение: x y z 7 0, значит, еѐ нормальный вектор имеет координаты n ; ; А ребро AD имеет направляющий вектор s ; ; 0 (см пункты в) и г)) Тогда получим: AD 0 8 sin, или 8 o sin 0,6 arcsin 0, ж) Вычислить значение угла между плоскостью основания ABC и боковой гранью ABD За угол между двумя плоскостями можно принять угол между их нормальными векторами, который может быть вычислен по формуле: n n n n cos ; n n В нашем случае нормальные вектора плоскостей ABC и ABD имеют координаты: n ABC ; ; и n ABD ; ; n ABC n ADD, тогда: 7 cos ;, 9 9 или n ABC n ADD n ABC n ADD 7 7 cos ; ; arccos,6 9 9 з) Найти уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно основанию ABC

60 Пусть Ax By Cz D 0 уравнение искомой плоскости P По условию плоскость P параллельна плоскости ABC Используем условие параллельности плоскостей: две плоскости параллельны, если координаты их нормальных векторов пропорциональны, т е A B C P P n n A B C В нашем случае, нормальный вектор плоскости ABC имеет координаты n ; ; ABC Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости ABC, то, а значит, координаты нормального вектора искомой плоскости также: n ; ; есть уравнение плоскости P имеет вид: x y z D 0 P То Также по условию известно, что плоскость P, проходит через точку D, а значит, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости, т е 9 D 0; D 5 Окончательно, уравнение плоскости P, параллельной грани ABC, имеет вид: x y z 5 0 и) Найти уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно ребру AD Используем формулу, определяющую канонические уравнения прямой в пространстве: x x y y z z m n p, 05 где x; y; z координаты произвольной точки прямой, m; n; p координаты любого еѐ направляющего вектора

61 Поскольку искомая прямая l, по условию, параллельна прямой AD, то в качестве еѐ направляющего вектора, может быть взят направляющий вектор ребра AD: s s l ; ; 0 Также, по условию, прямая l, проходит через вершину C, то по формуле (05) имеем: x y z 5 ; z 5 0 l 0 к) Найти уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости основания ABC Как и в предыдущем пункте, используем канонические уравнения прямой в пространстве (05) Точка A точка прямой, а в качестве направляющего вектора искомой прямой g возьмем нормальный вектор плоскости : AD ABC n ; ; ABC Получим: x 5 y 3 z 9 ; 0 x y 3 z 9 g л) Вычислить значение угла между боковыми ребрами AD и BD Угол между двумя прямыми l и l определим как угол между их направляющими векторами s m; n; p и s m; n; p по формуле: cos s s m m n n p p s s m n p m n p В нашем случае, s s, AD ; ; s s BD ; ; 3, тогда: 03 cos 0, 0 7 Откуда, arccos 0,,39

62 Литература Беклемишев ДВ Курс аналитической геометрии и линейной алгебры М: Наука, с Высшая математика в примерах и задачах: Учеб пособие / Под ред проф ФД Берковича; Юж-Рос гос техн ун-т Новочеркасск: ЮРГТУ, 00 9 с 3 Гельфанд ИМ Лекции по линейной алгебре М: Наука, 97 7 с Григулецкий ВГ, Кондратенко ЛН, Гетман ВН, Стеганцова КГ Задачник практикум по математике Краснодар: КубГАУ, с 5 Гунько ВД, Суховеева ЛЮ, Смоленцев ВМ Сборник индивидуальных типовых расчетов по курсу высшей математики для студентов инженерно-технических специальностей Краснодар: КубГАУ, с 6 Курош АГ Курс высшей алгебры M: Наука, с 7 Письменный ДТ Конспект лекций по высшей математике: Полный курс М: Айрис-пресс, с - 6 -

63 Учебно-методическое пособие Смоленцев Виталий Михайлович ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: типовые расчеты и Подписано в печать 009 г Формат Гарнитура «Таймс» Усл печ л 3,8 Тираж 300 экз Заказ 090 Типография Кубанского государственного аграрного университета 3500, г Краснодар, ул им Калинина, 3-6 -

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ!УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Министерство сельского хозяйства РФ. А. Н. Манилов. Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания

Министерство сельского хозяйства РФ. А. Н. Манилов. Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания Министерство сельского озяйства РФ А Н Манилов Линейная алгебра Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников направления «Экономика» Санкт Петербург Введение Настоящие указания предназначены

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Математика: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л. В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 7 с. (Заочная форма обучения/ РГАТУ

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ. Кафедра высшей математики ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ. Кафедра высшей математики ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ Кафедра высшей математики ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для самостоятельной работы обучающихся по направлению подготовки «Экономика» квалификация степень «бакалавр»

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Примеры к выполнению контрольной работы 1 Линейная алгебра. Задача 1. Найти значения неизвестных x, y, z из системы уравнений:

Примеры к выполнению контрольной работы 1 Линейная алгебра. Задача 1. Найти значения неизвестных x, y, z из системы уравнений: Примеры к выполнению контрольной работы Линейная алгебра Задача Найти значения неизвестных,, z из системы уравнений: (a b ) (b a) bz ( a b)(a c ) (c ) (c ) c z a b c ( a c) c z a c а) по формулам Крамера

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ТРЕБОВНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РБОТ При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» семестр. Разложить вектор X по векторам P, Q, R. Систему решить ) методом Крамера, ) матричным методом,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Министерство сельского хозяйства РФ. А. Н. Манилов. Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания

Министерство сельского хозяйства РФ. А. Н. Манилов. Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания Министерство сельского озяйства РФ А Н Манилов Линейная алгебра Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников направления «Экономика» Санкт Петербург Введение Настоящие указания предназначены

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Элементы линейной и векторной алгебры.

Элементы линейной и векторной алгебры. Теоретические вопросы по курсу математики для студентов заочной формы обучения специальности «Промышленное и гражданское строительство» семестр Матрицы и определители Решение систем линейных уравнений:

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Прикладная математика» С.В.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ. Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия. МАТЕМАТИКА

МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ. Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия. МАТЕМАТИКА МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов первого курса заочного обучения Москва

Подробнее

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т.А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2] Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Практикум Владивосток Издательство

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА

Подробнее

Самоучитель решения задач. Линейная и векторная алгебра и аналитическая геометрия

Самоучитель решения задач. Линейная и векторная алгебра и аналитическая геометрия ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов Самоучитель решения

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B Задание КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант Доказать, что матрицы B и B взаимно обратные Даны точки А(;

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Кафедра высшей математики и статистики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Кафедра высшей математики и статистики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановская государственная текстильная академия»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Алгебра и геометрия семестр Учебно-методическое пособие Для студентов очно-заочной и заочной форм обучения институтов

Подробнее

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее