Числовые функции и числовые последовательности

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Числовые функции и числовые последовательности"

Транскрипт

1 Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35

2 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции. График функции. Способы задания функций Основные свойства функций Обратная функция Основные элементарные функции Понятие сложной функции Элементарные функции 2 Числовая последовательность и её предел Числовая последовательность Свойства числовых последовательностей Предел числовой последовательности Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 2 / 35

3 Понятие функции Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 3 / 35

4 Понятие функции Определение Пусть X и Y множества, тогда функция f : X Y это соответствие, которое каждому элементу из X сопоставляет ровно один элемент из Y. Обозначение: y = f(x), где x X или y = y(x). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 3 / 35

5 Понятие функции Определение Пусть X и Y множества, тогда функция f : X Y это соответствие, которое каждому элементу из X сопоставляет ровно один элемент из Y. Обозначение: y = f(x), где x X или y = y(x). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 3 / 35

6 Понятие функции Определение X область определения функции f, обозначение: D(f). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 4 / 35

7 Понятие функции Определение X область определения функции f, обозначение: D(f). Множество значений f: E(f) = {y Y x X : f(x) = y}. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 4 / 35

8 Числовые функции Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 5 / 35

9 Числовые функции Определение Если для f : X Y множества X и Y являются числовыми (как правило, X R, Y R), Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 5 / 35

10 Числовые функции Определение Если для f : X Y множества X и Y являются числовыми (как правило, X R, Y R), то f называется числовой. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 5 / 35

11 Числовые функции Определение Если для f : X Y множества X и Y являются числовыми (как правило, X R, Y R), то f называется числовой. Замечание Все функции, которые мы изучаем, являются числовыми. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 5 / 35

12 Числовые функции Определение Переменная x называется аргументом функции или независимой переменной, Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 6 / 35

13 Числовые функции Определение Переменная x называется аргументом функции или независимой переменной, а y функцией или зависимой переменной. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 6 / 35

14 График функции Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 7 / 35

15 График функции Определение Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек xoy с координатами (x; y), таких, что y = f(x). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 7 / 35

16 График функции Определение Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек xoy с координатами (x; y), таких, что y = f(x). 1 y M(x;y) -1 O x y 1 x График функции y 2 = 1 x Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 7 / 35

17 Способы задания функции Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 8 / 35

18 Способы задания функции Аналитический способ: функция задаётся формулой (формулами) или уравнениями. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 8 / 35

19 Способы задания функции Аналитический способ: функция задаётся формулой (формулами) или уравнениями. 1 явный: y явно выражается через x: Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 8 / 35

20 Способы задания функции Аналитический способ: функция задаётся формулой (формулами) или уравнениями. 1 явный: y явно выражается через x: { 1 1) y = x 2 ; 2) y = sin x при x 0 1 при x = 0 Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 8 / 35

21 Способы задания функции Аналитический способ: функция задаётся формулой (формулами) или уравнениями. 1 явный: y явно выражается через x: { 1 1) y = x 2 ; 2) y = sin x при x 0 1 при x = 0 2 неявный: функция задаётся уравнением, содержащим x и y: x 2 + y 2 = 1. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 8 / 35

22 Способы задания функции Аналитический способ: функция задаётся формулой (формулами) или уравнениями. 1 явный: y явно выражается через x: { 1 1) y = x 2 ; 2) y = sin x при x 0 1 при x = 0 2 неявный: функция задаётся уравнением, содержащим x и y: x 2 + y 2 = 1. 3 параметрический: и аргумент, и функция выражены через дополнительный параметр: Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 8 / 35

23 Способы задания функции Аналитический способ: функция задаётся формулой (формулами) или уравнениями. 1 явный: y явно выражается через x: { 1 1) y = x 2 ; 2) y = sin x при x 0 1 при x = 0 2 неявный: функция задаётся уравнением, содержащим x и y: x 2 + y 2 = 1. 3 параметрический: и аргумент, и функция выражены через дополнительный параметр: { x = cos t y = sin t Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 8 / 35

24 Способы задания функции Графический способ: функция задаётся с помощью графика. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 9 / 35

25 Способы задания функции Графический способ: функция задаётся с помощью графика. Табличный способ: функция задаётся таблицей значений аргумента и функции (напр., таблицы Брадиса). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 9 / 35

26 Основные свойства функций Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 10 / 35

27 Основные свойства функций Чётность/нечётность. Если f( x) = f(x), то функция чётная (график симметричен относительно Oy). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 10 / 35

28 Основные свойства функций Чётность/нечётность. Если f( x) = f(x), то функция чётная (график симметричен относительно Oy). Если f( x) = f(x), то f нечётная (график симм. отн. (0, 0)). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 10 / 35

29 Основные свойства фукнций Монотонность. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 11 / 35

30 Основные свойства фукнций Монотонность. y x Пусть на некотором отрезке: если x 1 < x 2, то f(x 1 ) < f(x 2 ), тогда функция возрастающая на данном отрезке. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 11 / 35

31 Основные свойства фукнций Монотонность. y Пусть на некотором x отрезке: если x 1 < x 2, то f(x 1 ) < f(x 2 ), тогда функция возрастающая на данном отрезке. Если при этом же условии f(x 1 ) f(x 2 ), то функция неубывающая; Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 11 / 35

32 Основные свойства фукнций Монотонность. y Пусть на некотором x отрезке: если x 1 < x 2, то f(x 1 ) < f(x 2 ), тогда функция возрастающая на данном отрезке. Если при этом же условии f(x 1 ) f(x 2 ), то функция неубывающая; f(x 1 ) > f(x 2 ), функция убывающая; Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 11 / 35

33 Основные свойства фукнций Монотонность. y Пусть на некотором x отрезке: если x 1 < x 2, то f(x 1 ) < f(x 2 ), тогда функция возрастающая на данном отрезке. Если при этом же условии f(x 1 ) f(x 2 ), то функция неубывающая; f(x 1 ) > f(x 2 ), функция убывающая; f(x 1 ) f(x 2 ), функция невозрастающая на данном отрезке. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 11 / 35

34 Основные свойства функций Определение Если функция на отрезке возрастает, не возрастает, убывает, не убывает, то она называется монотонной на этом отрезке, Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 12 / 35

35 Основные свойства функций Определение Если функция на отрезке возрастает, не возрастает, убывает, не убывает, то она называется монотонной на этом отрезке, если возрастает или убывает строго монотонной. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 12 / 35

36 Основные свойства функций Определение Если функция на отрезке возрастает, не возрастает, убывает, не убывает, то она называется монотонной на этом отрезке, если возрастает или убывает строго монотонной. Интервалы, в которых функция монотонна, интервалы монотонности. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 12 / 35

37 Основные свойства функций Функция y = f(x) ограничена на (a; b), если M > 0, такое, что x (a; b) f(x) M. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 13 / 35

38 Основные свойства функций Функция y = f(x) периодическая, если T 0 : f(x + T ) = f(x). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 14 / 35

39 Основные свойства функций Функция y = f(x) периодическая, если T период f. T 0 : f(x + T ) = f(x). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 14 / 35

40 Основные свойства функций Функция y = f(x) периодическая, если T 0 : f(x + T ) = f(x). T период f. Если T период f, то m T, где m = ±1; ±2;... периоды f. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 14 / 35

41 Основные свойства функций Функция y = f(x) периодическая, если T 0 : f(x + T ) = f(x). T период f. Если T период f, то m T, где m = ±1; ±2;... периоды f. Пример y = sin x: T = ±2π; ±4π;.... Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 14 / 35

42 Основные свойства функций Функция y = f(x) периодическая, если T 0 : f(x + T ) = f(x). T период f. Если T период f, то m T, где m = ±1; ±2;... периоды f. Пример y = sin x: T = ±2π; ±4π;.... Основной период наименьшее T > 0 : f(x + T ) = f(x). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 14 / 35

43 Обратная функция Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 15 / 35

44 Обратная функция Определение Взаимно однозначная функция функция, у которой каждому y E(f) соответствует ровно одно x D(f). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 15 / 35

45 Обратная функция Рассмотрим взаимно однозначную функцию y = f(x). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 16 / 35

46 Обратная функция Рассмотрим взаимно однозначную функцию y = f(x). Выразим x через y: Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 16 / 35

47 Обратная функция Рассмотрим взаимно однозначную функцию y = f(x). Выразим x через y: x = ϕ(y) = f 1 (y). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 16 / 35

48 Обратная функция Рассмотрим взаимно однозначную функцию y = f(x). Выразим x через y: x = ϕ(y) = f 1 (y). Функция y = ϕ(x) обратная к y = f(x). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 16 / 35

49 Обратная функция Рассмотрим взаимно однозначную функцию y = f(x). Выразим x через y: x = ϕ(y) = f 1 (y). Функция y = ϕ(x) обратная к y = f(x). Определение Функции f и ϕ взаимно обратны: Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 16 / 35

50 Обратная функция Рассмотрим взаимно однозначную функцию y = f(x). Выразим x через y: x = ϕ(y) = f 1 (y). Функция y = ϕ(x) обратная к y = f(x). Определение Функции f и ϕ взаимно обратны: f 1 (f(x)) = ϕ(f(x)) = x. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 16 / 35

51 Обратная функция Примеры y = sin x, y = arcsin x, x [ 1; 1], y [ π 2 ; π 2 ]; Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 17 / 35

52 Обратная функция Примеры y = sin x, y = arcsin x, x [ 1; 1], y [ π 2 ; π 2 ]; y = e x, y = ln(x), x (0; ), y ( ; ). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 17 / 35

53 Обратная функция Графики y = f(x) и y = ϕ(x) симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 18 / 35

54 Обратная функция Графики y = f(x) и y = ϕ(x) симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. Замечание Любая строго монотонная функция имеет обратную. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 18 / 35

55 Обратная функция Графики y = f(x) и y = ϕ(x) симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. Замечание Любая строго монотонная функция имеет обратную. Если функция возрастающая (убывающая), то обратная функция тоже возрастающая (убывающая). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 18 / 35

56 Основные элементарные функции Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 19 / 35

57 Основные элементарные функции Показательная: y = a x, 0 < a < 1, a > 1. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 19 / 35

58 Основные элементарные функции Показательная: y = a x, 0 < a < 1, a > 1. Частный случай: экспонента y = e x, где e 2, Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 19 / 35

59 Основные элементарные функции Показательная: y = a x, 0 < a < 1, a > 1. Частный случай: экспонента y = e x, где e 2, Степенная: y = x a, a R. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 19 / 35

60 Основные элементарные функции Показательная: y = a x, 0 < a < 1, a > 1. Частный случай: экспонента y = e x, где e 2, Степенная: y = x a, a R. Частные случаи: Линейная: y = x, Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 19 / 35

61 Основные элементарные функции Показательная: y = a x, 0 < a < 1, a > 1. Частный случай: экспонента y = e x, где e 2, Степенная: y = x a, a R. Частные случаи: Линейная: y = x, Квадратичная: y = x 2, Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 19 / 35

62 Основные элементарные функции Показательная: y = a x, 0 < a < 1, a > 1. Частный случай: экспонента y = e x, где e 2, Степенная: y = x a, a R. Частные случаи: Линейная: y = x, Квадратичная: y = x 2, Кубическая: y = x 3, Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 19 / 35

63 Основные элементарные функции Показательная: y = a x, 0 < a < 1, a > 1. Частный случай: экспонента y = e x, где e 2, Степенная: y = x a, a R. Частные случаи: Линейная: y = x, Квадратичная: y = x 2, Кубическая: y = x 3, Обратная пропорциональность: y = x 1, Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 19 / 35

64 Основные элементарные функции Показательная: y = a x, 0 < a < 1, a > 1. Частный случай: экспонента y = e x, где e 2, Степенная: y = x a, a R. Частные случаи: Линейная: y = x, Квадратичная: y = x 2, Кубическая: y = x 3, Обратная пропорциональность: y = x 1, Иррациональная (квадратный корень): y = x. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 19 / 35

65 Основные элементарные функции Логарифмическая: y = log a x, 0 < a < 1, a > 1. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 20 / 35

66 Основные элементарные функции Логарифмическая: y = log a x, 0 < a < 1, a > 1. Тригонометрические: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 20 / 35

67 Основные элементарные функции Логарифмическая: y = log a x, 0 < a < 1, a > 1. Тригонометрические: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Обратные тригонометрические: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 20 / 35

68 Сложная функция Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 21 / 35

69 Сложная функция Определение Рассмотрим две функции y = f(u) и u = g(x). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 21 / 35

70 Сложная функция Определение Рассмотрим две функции y = f(u) и u = g(x). Пусть f : U Y, g : X U, т. е. D(g) = X, E(g) = D(f) = U, E(f) = Y. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 21 / 35

71 Сложная функция Определение Рассмотрим две функции y = f(u) и u = g(x). Пусть f : U Y, g : X U, т. е. D(g) = X, E(g) = D(f) = U, E(f) = Y. Сложная функция функция, аргумент которой также является функцией: y = f(g(x)). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 21 / 35

72 Сложная функция Определение Рассмотрим две функции y = f(u) и u = g(x). Пусть f : U Y, g : X U, т. е. D(g) = X, E(g) = D(f) = U, E(f) = Y. Сложная функция функция, аргумент которой также является функцией: y = f(g(x)). u = g(x) промежуточный аргумент сложной функции. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 21 / 35

73 Сложная функция Определение Рассмотрим две функции y = f(u) и u = g(x). Пусть f : U Y, g : X U, т. е. D(g) = X, E(g) = D(f) = U, E(f) = Y. Сложная функция функция, аргумент которой также является функцией: y = f(g(x)). u = g(x) промежуточный аргумент сложной функции. При этом D(f(g(x))) = X, E(f(g(x))) = Y. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 21 / 35

74 Сложная функция Сложная функция y = f (g(x)) ставит каждому элементу x X в соответствие элемент y Y : Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 22 / 35

75 Сложная функция Сложная функция y = f (g(x)) ставит каждому элементу x X в соответствие элемент y Y : Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 22 / 35

76 Сложная функция Замечание Сложную функцию f(g(x)) также называют суперпозицией функций f и g или функцией от функции. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 23 / 35

77 Сложная функция Замечание Сложную функцию f(g(x)) также называют суперпозицией функций f и g или функцией от функции. Сложная функция может состоять из любого конечного числа функций. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 23 / 35

78 Элементарные функции Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 24 / 35

79 Элементарные функции Определение Элементарная функция это функция, которая задаётся одной формулой, составленной из постоянных величин и основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 24 / 35

80 Элементарные функции Определение Элементарная функция это функция, которая задаётся одной формулой, составленной из постоянных величин и основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции. Пример y = sin 2 (4x + 5) e x x 2 + 7x 4. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 24 / 35

81 Числовая последовательность Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 25 / 35

82 Числовая последовательность Определение Числовая последовательность это множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел: x 1, x 2,..., x n,.... Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 25 / 35

83 Числовая последовательность Определение Числовая последовательность это множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел: x 1, x 2,..., x n,.... Краткое обозначение: {x n }, n N. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 25 / 35

84 Числовая последовательность Определение Числовая последовательность это множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел: x 1, x 2,..., x n,.... Краткое обозначение: {x n }, n N. x 1 первый, x n n-ый или общий член последовательности. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 25 / 35

85 Числовая последовательность Определение Числовая последовательность это множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел: x 1, x 2,..., x n,.... Краткое обозначение: {x n }, n N. x 1 первый, x n n-ый или общий член последовательности. Замечание По сути последовательность это функция D(f) = N. x n = f(n), Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 25 / 35

86 Числовая последовательность Чаще всего последовательность задаётся формулой общего члена. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 26 / 35

87 Числовая последовательность Чаще всего последовательность задаётся формулой общего члена. Примеры 1 Формула общего члена: x n = 1 n. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 26 / 35

88 Числовая последовательность Чаще всего последовательность задаётся формулой общего члена. Примеры 1 Формула общего члена: x n = 1 n. Последовательность: {x n } = { 1, 1 2, 1 3,... }. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 26 / 35

89 Числовая последовательность Чаще всего последовательность задаётся формулой общего члена. Примеры 1 Формула общего члена: x n = 1 n. Последовательность: {x n } = { 1, 1 2, 1 3,... }. 2 x n = n n+1 ; Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 26 / 35

90 Числовая последовательность Чаще всего последовательность задаётся формулой общего члена. Примеры 1 Формула общего члена: x n = 1 n. Последовательность: {x n } = { 1, 1 2, 1 3,... }. 2 x n = n n+1 ; {x n} = { 1 2, 2 3, 3 4,... }. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 26 / 35

91 Числовая последовательность Другой способ задания последовательностей: рекуррентный. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 27 / 35

92 Числовая последовательность Другой способ задания последовательностей: рекуррентный. Задаётся x 1 и формула x n = f(x n 1 ). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 27 / 35

93 Числовая последовательность Другой способ задания последовательностей: рекуррентный. Задаётся x 1 и формула x n = f(x n 1 ). Замечание Арифметическая: a 0, a n = a n 1 + d. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 27 / 35

94 Числовая последовательность Другой способ задания последовательностей: рекуррентный. Задаётся x 1 и формула x n = f(x n 1 ). Замечание Арифметическая: a 0, a n = a n 1 + d. Геометрическая: b 0, b n = b n 1 q. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 27 / 35

95 Свойства числовых последовательностей Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 28 / 35

96 Свойства числовых последовательностей Определение Последовательность {x n } ограничена, если M > 0 : n N x n M. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 28 / 35

97 Свойства числовых последовательностей Определение Последовательность {x n } ограничена, если M > 0 : n N x n M. В противном случае последовательность неограниченная. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 28 / 35

98 Свойства числовых последовательностей Определение Последовательность {x n } ограничена, если M > 0 : n N x n M. В противном случае последовательность неограниченная. Замечание Последовательность может быть ограничена только сверху или только снизу. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 28 / 35

99 Свойства числовых последовательностей Примеры 1 {x n } = { 1, 1 2, 1 3,..., 1 n,... } ограничена, Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 29 / 35

100 Свойства числовых последовательностей Примеры 1 {x n } = { 1, 1 2, 1 3,..., 1 n,... } ограничена, M = 1. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 29 / 35

101 Свойства числовых последовательностей Примеры 1 {x n } = { 1, 1 2, 1 3,..., 1 n,... } ограничена, M = 1. 2 {x n } = {1, 2, 3,..., n,... } не ограничена. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 29 / 35

102 Свойства числовых последовательностей Примеры 1 {x n } = { 1, 1 2, 1 3,..., 1 n,... } ограничена, M = 1. 2 {x n } = {1, 2, 3,..., n,... } не ограничена. Но ограничена снизу числом 1. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 29 / 35

103 Свойства числовых последовательностей Определение {x n } возрастающая (неубывающая), если n x n+1 > x n (x n+1 x n ). Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 30 / 35

104 Свойства числовых последовательностей Определение {x n } возрастающая (неубывающая), если n x n+1 > x n (x n+1 x n ). Аналогично убывающая (невозрастающая) последовательность. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 30 / 35

105 Свойства числовых последовательностей Определение {x n } возрастающая (неубывающая), если n x n+1 > x n (x n+1 x n ). Аналогично убывающая (невозрастающая) последовательность. Все эти последовательности называются монотонными. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 30 / 35

106 Свойства числовых последовательностей Определение {x n } возрастающая (неубывающая), если n x n+1 > x n (x n+1 x n ). Аналогично убывающая (невозрастающая) последовательность. Все эти последовательности называются монотонными. Примеры 1 {x n } = { 1 2, 2 3, 3 4,... } возрастающая. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 30 / 35

107 Свойства числовых последовательностей Определение {x n } возрастающая (неубывающая), если n x n+1 > x n (x n+1 x n ). Аналогично убывающая (невозрастающая) последовательность. Все эти последовательности называются монотонными. Примеры 1 {x n } = { 1 2, 2 3, 3 4,... } возрастающая. 2 {x n } = { 1, 1 2, 1 3,... } убывающая. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 30 / 35

108 Свойства числовых последовательностей Определение {x n } возрастающая (неубывающая), если n x n+1 > x n (x n+1 x n ). Аналогично убывающая (невозрастающая) последовательность. Все эти последовательности называются монотонными. Примеры 1 {x n } = { 1 2, 2 3, 3 4,... } возрастающая. 2 {x n } = { 1, 1 2, 1 3,... } убывающая. 3 {x n } = {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,... } неубывающая. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 30 / 35

109 Свойства числовых последовательностей Определение Если n x n = c, c = const, то {x n } постоянная. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 31 / 35

110 Свойства числовых последовательностей Определение Если n x n = c, c = const, то {x n } постоянная. Пример x n = {1, 1, 1,..., 1,... }. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 31 / 35

111 Предел числовой последовательности Определение Пределом последовательности {x n } называется число a, Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 32 / 35

112 Предел числовой последовательности Определение Пределом последовательности {x n } называется число a, такое, что ε > 0 N N, Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 32 / 35

113 Предел числовой последовательности Определение Пределом последовательности {x n } называется число a, такое, что ε > 0 N N, что n > N выполняется x n a < ε. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 32 / 35

114 Предел числовой последовательности Определение Пределом последовательности {x n } называется число a, такое, что ε > 0 N N, что n > N выполняется x n a < ε. Обозначение: lim x n = a или x n a. n Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 32 / 35

115 Предел числовой последовательности Определение Пределом последовательности {x n } называется число a, такое, что ε > 0 N N, что n > N выполняется x n a < ε. Обозначение: lim x n = a или x n a. n При этом говорят, что x n стремится к a при n, стремящемся к бесконечности. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 32 / 35

116 Предел числовой последовательности Определение Пределом последовательности {x n } называется число a, такое, что ε > 0 N N, что n > N выполняется x n a < ε. Обозначение: lim x n = a или x n a. n При этом говорят, что x n стремится к a при n, стремящемся к бесконечности. На математическом языке: Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 32 / 35

117 Предел числовой последовательности Определение Пределом последовательности {x n } называется число a, такое, что ε > 0 N N, что n > N выполняется x n a < ε. Обозначение: lim x n = a или x n a. n При этом говорят, что x n стремится к a при n, стремящемся к бесконечности. На математическом языке: lim x n = a ( ε > 0 N : n > N x n a < ε). n Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 32 / 35

118 Предел числовой последовательности Пример 1 Предел {x n } = { 1, 1 2, 1 3,... } равен 0. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 33 / 35

119 Предел числовой последовательности Пример 1 Предел {x n } = { 1, 1 2, 1 3,... } равен 0. 2 {x n } = { 1 2, 2 3, 3 4,... } стремится к 1. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 33 / 35

120 Предел числовой последовательности Геометрический смысл предела последовательности Начиная с некоторого номера, все члены последовательности попадают в полосу x n a < ε и далее из неё не выходят. Чем меньше ε, тем больше число N, но в любом случае внутри полосы находится бесконечное число членов {x n }, а вне её лишь конечное число. a + ε a a ε x n n N Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 34 / 35

121 Предел числовой последовательности Определение Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 35 / 35

122 Предел числовой последовательности Определение Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела расходящейся. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 35 / 35

123 Предел числовой последовательности Определение Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела расходящейся. Предел может быть только один. Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 35 / 35

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен

Подробнее

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x)

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x) 6 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Понятие функции. Способы задания Пусть D - произвольное подмножество действительных чисел ( D ). Если каждому числу D поставлено в соответствие

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ 02.03.2013 Элементарные функции. Преобразование графиков функций Математический анализ (лекция 3) 02.03.2013 2 / 50 Тригонометрические функции Математический анализ (лекция 3) 02.03.2013

Подробнее

Тема: Понятие функции

Тема: Понятие функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 4 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие функции Способы задания функции Основные свойства функций Сложная функция 4 Обратная функция Понятие функции Способы задания функции Пусть D

Подробнее

Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики.

Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики. Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики. Пусть даны два произвольных множества Х и Y. Функция это правило, по которому каждому элемента из множества X можно найти

Подробнее

Лекция 2 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Лекция 2 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 2 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. Определение 2.1 Если в силу некоторого правила f каждому элементу xd ставится в соответствие единственный элемент

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

МАТЕМАТИКА С. Г. ГРИГОРЬЕВ, С. В. ИВОЛГИНА СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ. Под редакцией проф. В. А. Гусева УЧЕБНИК

МАТЕМАТИКА С. Г. ГРИГОРЬЕВ, С. В. ИВОЛГИНА СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ. Под редакцией проф. В. А. Гусева УЧЕБНИК СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ С. Г. ГРИГОРЬЕВ, С. В. ИВОЛГИНА МАТЕМАТИКА Под редакцией проф. В. А. Гусева УЧЕБНИК Рекомендовано Федеральным государственным учреждением «Федеральный институт развития

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

Лекция 2. Основные элементарные функции

Лекция 2. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Основные элементарные функции, их свойства и графики Основные элементарные функции, их свойства и графики Степенная функция

Подробнее

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Функции и пределы.................... 5 1.1. Числовые множества................. 5 1.2. Функции........................ 8 1.3. Определения пределов в различных случаях.... 15 1.4. Бесконечно

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Функция одной переменной

Функция одной переменной Функция одной переменной Предел функции в точке и непрерывность функции. Точки разрыва. Определение функции. Функцией называется зависимость между двумя переменными (У и Х) в которой каждому значению независимой

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x):

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): 1. Область определения функции это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n.

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n. Занятие 4 Вычисление производных-1 4.1 Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Пусть X и Y Некоторые числовые множества Если каждому по некоторому правилу F ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что Задана

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 011/01 учебный год Тема. Пределы, непрерывность, производные 1 Тема: Предел функции 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр.

Подробнее

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ У ч е б н о е п о

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÎÁÐÀÒÍÛÅ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÎÁÐÀÒÍÛÅ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ Â. À. Äàëèíãåð ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÎÁÐÀÒÍÛÅ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО -е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

Неравенства с двумя переменными и их системы. Взаимно-обратные функции.

Неравенства с двумя переменными и их системы. Взаимно-обратные функции. 9 класс Модуль «Системы уравнений и системы неравенств с двумя переменными. Степени и корни.» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Проверяемые знания/ умения Уравнения второй степени

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

М.В. Ишханян МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1. Учебное пособие

М.В. Ишханян МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1. Учебное пособие федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» МВ Ишханян МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ТЕСТ Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке.

ТЕСТ Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке. wwwaleeiivanovcom ДЗ Функции ТЕСТ 0 Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке ) G(-), C(-), K(-), A(4), J(0), M() ) G(-5), C(-6), K(-), A(9), J(0), M(5) ) G(-9), C(-5), K(-4),

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

«Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений»

«Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений» Научно-исследовательская работа Математика «Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений» Выполнила: Гудкова Елена обучающаяся 11 класса «Г» МБОУ СОШ «Аннинский Лицей» п.г.т. Анна Руководитель:

Подробнее

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Российский государственный педагогический университет им АИ Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова

Подробнее

Тема 1 = (закрепление = и , сдача ДР = ) Функция. График.

Тема 1 = (закрепление = и , сдача ДР = ) Функция. График. Функция. График. Тема = 0.09.0 (закрепление = 07.09.0 и 08.09.0, сдача ДР = 4.09.0). Преобразования графиков (?) (Правила преобразований [?, стр. 4 6], примеры 4 [?, 6 0]) а) линейные функции 237 (237,

Подробнее

1. Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции

1. Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции . Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции Начнем освоение курса математического анализа с повторения построения графиков функций. Сначала напомним определения основных связанных

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Е. А. ТРОФИМОВА С. В. ПЛОТНИКОВ Д. В. ГИЛËВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента

Подробнее

СПбГУ Экономический факультет Математический анализ 1 курс 1 семестр 2013/2014 уч.г. Свиркина Лариса Анатольевна СЕМИНАР 6. ( и

СПбГУ Экономический факультет Математический анализ 1 курс 1 семестр 2013/2014 уч.г. Свиркина Лариса Анатольевна СЕМИНАР 6. ( и СПбГУ Экономический факультет Математический анализ курс семестр 03/04 уч.г. Свиркина Лариса Анатольевна СЕМИНАР 6. (09.0.03 и.0.03) Аудиторная работа Проверка домашнего задания (М.9,..3,..6,..0) (продолжение)

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

Н.Б.Шепелявая. Введение в математический анализ Учебное пособие.

Н.Б.Шепелявая. Введение в математический анализ Учебное пособие. НБШепелявая Введение в математический анализ Учебное пособие СЗТУ,3 Предисловие Данное учебное пособие является первым в серии пособий, подготовленных кафедрой высшей математики СЗТУ по различным разделам

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ С Шестаков, М Галицкий, Москва УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у школьников старших классов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА элективного курса «Алгебра и теория пределов» 11А класс на учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА элективного курса «Алгебра и теория пределов» 11А класс на учебный год РАБОЧАЯ ПРОГРАММА элективного курса «Алгебра и теория пределов» 11А класс на 01-014 учебный год Составитель: учитель математики Роговицкая Ирина Валентиновна г. Белгород 01 г. Пояснительная записка В 11

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Математика БкПл-100. М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр. Тема 1. Множества и функции

Математика БкПл-100. М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр. Тема 1. Множества и функции Математика БкПл-100 М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Тема 1. Множества и функции 1 Дисциплина «Математика» Основные разделы: математический анализ; логика, линейная алгебра; теория вероятностей.

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

1.2. Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции Координатная плоскость. График функции.

1.2. Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции Координатная плоскость. График функции. .. Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции.. Координатная плоскость. График функции. ТЕОРИЯ Многие свойства функций легче воспринимать, обращаясь к их графикам. Прежде чем

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Специализированный учебно-научный центр. ГОУ лицей 1580.

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Специализированный учебно-научный центр. ГОУ лицей 1580. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике (10-й класс 2016 2017 й учебный

Подробнее

МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики

МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики Федеральное агентство по образованию ----- САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АИ Сурыгин ЕФ Изотова ОА Новикова ТА Чайкина МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики Учебное

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Лабораторная работа 2 Отображения и числовые функции

Лабораторная работа 2 Отображения и числовые функции Лабораторная работа Отображения и числовые функции Необходимые понятия и теоремы: отображения, числовые функции, образ, прообраз, график, обратное отображение, композиция отображений Литература: [] с.

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru,

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru, MA ksm-0-эталонные пределы А.А.Быков boombook.arod.ru, boombook@yade.ru Оглавление. Лекция. Первый и второй замечательные пределы... 5.. Формула, выражающая первый замечательный предел... 5... Напоминание

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И.Э. Гриншпон, Я.С. Гриншпон ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ Учебное пособие

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ. Задачи, в которых участвуют обратные функции, встречаются в самых различных разделах математики и в ее приложениях.

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ. Задачи, в которых участвуют обратные функции, встречаются в самых различных разделах математики и в ее приложениях. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ Задачи, в которых участвуют обратные функции, встречаются в самых различных разделах математики и в ее приложениях Важную область математики составляют обратные задачи в теории интегральных

Подробнее

Асимптоты График функции Декартова система координат Дробно-линейная функция Квадратный трехчлен Линейная функция Локальный экстремум Множество

Асимптоты График функции Декартова система координат Дробно-линейная функция Квадратный трехчлен Линейная функция Локальный экстремум Множество Асимптоты График функции Декартова система координат Дробно-линейная функция Квадратный трехчлен Линейная функция Локальный экстремум Множество значений квадратного трехчлена Mножество значений функции

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей 22»

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей 22» Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей 22» Рабочая программа учебного предмета «Математика (алгебра)» (углубленный уровень) для 9 класса 2016-2017 учебной год Согласно федеральному базисному

Подробнее

Лекция подготовлена доц. Мусиной М.В. Производные основных элементарных функций.

Лекция подготовлена доц. Мусиной М.В. Производные основных элементарных функций. Производные основных элементарных функций Производная функции может быть найдена по следующей схеме: аргументу х даем приращение для функции y найдем соответсвующее приращение y y составим отношение находим

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее