Нормальное распределение.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Нормальное распределение."

Транскрипт

1 Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид xa f x e где параметры a и имеют смысл: a M X - математическое ожидание; X - среднее квадратическое отклонение ( DX - дисперсия). N a;. Нормальный закон распределения Нормальное распределение с параметрами a и кратко записывают как называют также законом Гаусса. График плотности распределения вероятности нормального закона называется нормальной кривой или кривой Гаусса: Нормальное распределение ; N с параметрами a и называется нормированным или стандартным. Плотность нормированного нормального распределения x x e называется функцией Гаусса, а её график - кривой вероятностей. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения с.в. от математического ожидания не превышает величину : P X a Ф, где X - непрерывная случайная величина, a - математическое ожидание, - граница отклонения абсолютной величины случайной величины, t x Ф t e dx - функция Лапласа, - среднее квадратическое отклонение. Вероятность того, что с.в. X примет значение, принадлежащее интервалу ; : t x a a P X Ф Ф, где Ф t e dx - функция Лапласа. Литература: ) Гмурман В.Е. "Теория вероятностей и математическая статистика", 5, стр. 7; ) Гмурман В.Е. "Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике", 5, стр. 9; 3) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике", 4, стр. 96; 4) Кремер Н.Ш. " Теория вероятностей и математическая статистика", 6, стр. 6; 5) Кремлёв А.Г. "Математика. Раздел "Статистика" ",, издание УрГЮА (г. Екатеринбург).

2 ) Распределение с.в. X подчинено нормальному закону с параметрами a 5 и. Записать f x, P 33 ;, P X 59. F x, вычислить Известны математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение данного нормального распределения: M Xa5 DX Плотность вероятности (плотность распределения вероятностей): xa x5 x5 f x e e e Функция распределения вероятностей для нормального распределения в общем случае z a t x x z a Fx f z dz e dz z at dz dt z : t xa xa t t t e dt e dt e dt Первый интеграл t t t t e dt e dt e d (в силу чётности подынтегральной функции и того, что интеграл Эйлера-Пуассона равен ). Второй интеграл - функция (интеграл вероятностей) Лапласа xa t x a e dt Ф Итак, x a x a Fx Ф Ф. В данном случае x Fx Ф, где функция Лапласа Ф x определена как Фx e dt 4 (необходимо уточнить, какое используем определение функции Лапласа, т.к. существуют три различных определения функции Лапласа) x t

3 Вероятность попадания случайной величины X на промежуток 33 ; : 3 3 x5 x5 3 P 33 ; f x dx e dx e dx, Этот же результат можно получить, используя табулированную (т.е. просчитанную и занесённую в таблицы) t x функцию Лапласа Ф t e dx : a a P X F F Ф Ф P X Ф Ф Ф, 5Ф, Ф, 5 Ф,, 433, 3849, 88 Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше числа 9 : P X a Ф, где X - непрерывная случайная величина, a - математическое ожидание случайной величины, - граница отклонения абсолютной величины случайной величины, Фx - функция Лапласа, - среднее квадратическое отклонение. 9 P X 5 9Ф Ф, 9, 359, 638 Значение функции Лапласа Ф 9 9, 9 Ф e dt, 3594 t найдём по таблице или вычислим: Примечание. В литературе встречаются три различных определения функции Лапласа а) x t Ф x e dt б) x t Ф x e dt в) x t Ф x e dt (в, 3, 5) (в, 4) отличающиеся по величине результата в два раза. Будем использовать первое (а) определение функции Лапласа. Литература: ) Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. "Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями", 5, стр. 5, 9; ) Белько И.В., Свирид Г.Л. "Теория вероятностей и математическая статистика: примеры и задачи", 4, стр ; 3) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике", 4; 4) Кремер Н.Ш. " Теория вероятностей и математическая статистика", 6, стр. 65; 5) Гмурман В.Е. "Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике", 5, стр. 9; 6) Кремлёв А.Г. "Математика. Раздел "Статистика" ",, издание УрГЮА (г. Екатеринбург). 3

4 ) Коробки с конфетами упаковываются автоматически со средней массой 54 г. Полагая, что средняя масса коробок распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 3 г, найти: а) в какой интервал, симметричный относительно математического ожидания, укладываются 88 % коробок; б) какой процент коробок имеет массу в пределах от 5 до 54 г. а) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа : где P X a Ф, X - непрерывная случайная величина, a - математическое ожидание, - граница отклонения абсолютной величины случайной величины, Ф t - функция Лапласа, - среднее квадратическое отклонение. По условию задачи: X 3 г, am X 54 г. Обозначим A событие "попадание массы коробки в интервал, в который попадают 88 % коробок"; т.е. PA 88., Тогда P A Ф, 88 3 Ф 44, 3, Так что интервал по массе, симметричный относительно математического ожидания, в который попадают 88 % коробок, равен a ; a ; ; 587 г. б) Вероятность того, что с.в. X примет значение, принадлежащее интервалу ; : t x a a P X Ф Ф, где Ф t e dx - функция Лапласа P X Ф Ф Ф Ф Ф Ф, 33, 48, 4 Т.е. 4% коробок имеет массу в пределах от 5 до 54 г. 4

5 3) Ошибка измерителя дальности подчинена нормальному закону с систематической ошибкой м и средним квадратическим отклонением 6м. Найти вероятность того, что измеренное значение дальности будет отклоняться от истинного не более, чем на 3м. Если бы систематической ошибки не было, то вычисляли бы вероятность отклонения измеренного значения дальности от истинного от a 3 м до a 3 м. Но с учётом систематической погрешности этот промежуток смещается на м (неважно, в какую сторону) и вычисляем вероятность отклонения измеренного значения дальности от истинного, например, от a м до a 5 м. По условию задачи 6 м, 3 м; следовательно P a X a5 Ф 5 Ф Ф, 83Ф, 7, 977, 66, Ответ: P, ) Диаметр валика - случайная величина, распределённая по нормальному закону с параметрами M X мм, X 6., Найти интервал, в который с вероятностью, диаметры изготовляемых валиков. -й способ решения. P 9973 будут заключены Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа : P X a Ф, где X - непрерывная случайная величина, a - математическое ожидание, - граница отклонения абсолютной величины случайной величины, Ф t - функция Лапласа, - среднее квадратическое отклонение. По условию задачи: X 6мм,, am X мм. Обозначим A событие "абсолютная величина отклонения не превзойдёт величины мм". Вероятность события A : P X Ф,, Ф,, , (по таблице) 6, 36, 83, (мм) Следовательно, интервал, в который с вероятностью,9973 будут заключены диаметры изготовляемых валиков:, 83 ;, 83 8, 7 ;, 83 мм. 5

6 -й способ решения. Для нормального закона распределения плотность вероятности: xa f x e a M X мм, X 6 мм. где (по условию задачи), Отклонение от математического ожидания M X, дающее искомый интервал, обозначим. Тогда xa P x e dx, 9973 e 6, x 6, dx, 9973 Решаем это уравнение в Mathcad (путём подбора) и находим значение, дающее требуемую вероятность,9973:, 83 мм. Следовательно, интервал, в который с вероятностью,9973 будут заключены диаметры изготовляемых валиков:, 83 ;, 83 8, 7 ;, 83 мм. 3-й способ решения. Величина вероятности,9973 соответствует правилу "трёх сигм": P X a Следовательно,, 3 3, 6, 83. Искомый интервал:, 83 ;, 83 8, 7 ;, 83 мм. 5) Случайная величина X имеет нормальное распределение, M X. Вероятность того, что X примет значение, заключённое в интервале 5;, равна вероятности того, что значение X будет менее 5. Определите вероятность того, что X примет значение, большее 5. Вероятность того, что с.в. X примет значение, принадлежащее интервалу ; : a a P X Ф Ф где X - непрерывная случайная величина, a - математическое ожидание, Ф t e dx t x - функция Лапласа, - среднее квадратическое отклонение. В данном случае: P 5 X P X Ф Ф Ф Ф 6

7 5 5 Ф Ф Ф Ф Ф 5 5 Ф Ф Ф Ф 5 Ф Ф Поскольку Ф Ф,, 5, то 5 Ф, 5 5 Ф 5, Искомая вероятность: P5 X Ф Ф 5 Ф Ф 5 5, 5, 5, Ответ: PX 5, 5. 6) Какова абсолютная величина отклонения частости события A от его вероятности, если при повторных испытаниях наиболее вероятная частота появления события равна 36, а вероятность абсолютной величины указанного отклонения равна Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, абсолютная величина отклонения относительной частоты (частости) появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа, приближённо равна удвоенной функции Лапласа при n x : pq m n P p Ф n pq. В данном случае 36 P, 9545 Ф,, Ф, 9545, 9545, 455 Ф 47, 985, , 985, 4 Ответ:, 4. 7) Игральную кость бросают 8 раз. Найти с вероятностью,99 границы, в которых будет заключено число m выпадений шестёрки. Вероятность появления шестёрки в одном бросании равна p 6. 7

8 Вычисляем: 8 Ф, Ф 576, 495 Ф4, 495 4, 58, 75 Таким образом, с вероятностью,99 отклонение относительной частоты числа m выпадений шестёрки от вероятности p, 67 удовлетворяет неравенству 6 m, m, 75, , m 33, 86, 47, m 9, или 5m Ответ: с вероятностью,99 число m выпадений шестёрки заключено в промежутке 5m. 8) Подлежат исследованию 4 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе для всех проб одинакова и равна,8. Найти вероятность того, что доля проб с промышленным содержанием металла отклонится от вероятности промышленного содержания металла в каждой пробе не более, чем на,5. Обозначим событие: A - доля проб с промышленным содержанием металла отклонится от вероятности промышленного содержания металла в каждой пробе не более, чем на,5. По условию задачи n 4 p 8, q p8,, 5, Вычисляем m 4 P A P 8, 5, Ф5, Ф5, 4 8,, По таблице [, стр. 39] находим Ф, 5, 4938 ; следовательно, искомая вероятность P A Ф, 5, 4938, Ответ: PA, 9876 Литература: ) Гмурман В.Е. "Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике", 5, стр. 43 (задача 3); ) Гмурман В.Е. "Теория вероятностей и математическая статистика", 5, стр. 6; 3) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике", 4, стр. 58; 4) Шириков В.Ф., Зарбалиев С.М. "Теория вероятностей", 8, стр. 8. 8

9 Выборочный метод. 9) Для определения средней урожайности пшеницы на поле произведена оценка урожая на участках небольшой площади. Полученные результаты сведены в таблицу: Урожай (ц) Количество участков Считая, что величина урожая на участках распределена нормально, найти вероятность того, что выборочное среднее значение урожая на участках отклоняется от среднего урожая на всём поле не более, чем на,5 ц. Задан интервальный вариационный ряд: Урожай (ц) Количество участков Перейдём к дискретному вариационному ряду, заменив интервалы их средним значением: Урожай (ц),5 4,5 7,5,5 3,5 6,5 9,5 3,5 Количество участков Объём выборки: n n ni i Выборочное среднее (среднее арифметическое выборки) n xв xi ni n i, 5 6 4, 5 7, 5 3, 5 33, 5 36, 5 39, 5 5 3, 5 4 4, 68 (ц) Исправленная выборочная дисперсия n s xi xв ni n i (, 5 4, 68 4, 5 4, 68 7, 5 4, 68, 5 4, , 5 4, 68 6, 5 4, 68 9, 5 4, 68 3, 5 4, 68 ) 4, 884 Исправленное среднее квадратическое отклонение s s 4, 884 4, 988 (ц) Для нормального распределения вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше числа : P X a Ф, где X - непрерывная случайная величина, a - математическое ожидание случайной величины, - граница отклонения абсолютной величины случайной величины, Фx - функция Лапласа, 9

10 s - ошибка выборки, n s - выборочное среднее квадратическое отклонение, n - объём выборки. 5, P X a, 5Ф Ф,,,, , Ф Ф,, 9 найдём по таблице или вычислим: Значение функции Лапласа 9, Ф, 9 e dt, 383 Ответ: p, 766. t Литература: ) Гмурман В.Е. "Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике", 5, стр. 74; ) Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика", 6, стр. 3; 3) Кремлёв А.Г. "Математика. Раздел Статистика, методичка УрГЮА,, стр. 47. ) Из генеральной совокупности, распределённой по нормальному закону, взята выборка. Найти: а) выборочную среднюю x в ; б) выборочное среднее квадратическое отклонение в ; в) с надёжностью 95, доверительный интервал для оценки математического ожидания a генеральной совокупности при известной дисперсии. x i n i а) Вычисляем выборочную среднюю x â по формуле средней взвешенной: k x в ni xi n i (выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам). x в , 5 б) Для вычисления выборочной дисперсии D в при разных частотах признака используем формулу k Dв ni xi xв n i (выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам).

11 Dв ( , , , , , , , 5 ), 75 Выборочное среднее квадратическое отклонение в Dв, 75 4, 586 (выборочное среднее квадратическое отклонение [стандартное отклонение] есть корень квадратный из выборочной дисперсии). в) Доверительный интервал для оценки математического ожидания a генеральной совокупности при известной дисперсии с надёжностью находим по формуле x a x, в в где a - оцениваемое неизвестное математическое ожидание генеральной совокупности, x в - выборочная средняя, - точность оценки (предельная ошибка выборки), в - выборочное среднее квадратическое отклонение. t n в, Величину t найдём из равенства Ф t, где Ф t - функция Лапласа, - заданная надёжность. Доверительный интервал x в a x в покроет неизвестный параметр a с надёжностью. в Вычисляем статистику t (коэффициент, связывающий среднюю ошибку выборки с предельной ошибкой ): Ф t, 95 Ф t, 475 t 96, Получаем точность оценки: t, 96 4, 586 9, n С надёжностью 95, доверительный интервал x ; x 58, 5, 9 ; 585, 9, 55, 6 ; 6, 4 в в покрывает неизвестный параметр a (математическое ожидание генеральной совокупности). n ) Для изучения общественного мнения о работе правоохранительных органов в порядке механического отбора было опрошено 35 человек (% общей численности городского населения). Из числа опрошенных 98 человек положительно оценили работу правоохранительных органов. С вероятностью.997 определить пределы, в которых находится доля лиц, положительно оценивающих работу правоохранительных органов. Механический способ заключается в отборе элементов из генеральной совокупности с заданной цикличностью (в данном случае опрашивался каждый -й человек). Обозначим p - доля оптимистов в генеральной совокупности (генеральная доля).

12 Доверительный интервал для генеральной доли определяется неравенством w pw где выборочная доля (доля оптимистов, вычисленная по данным выборки) w, Средняя ошибка механической выборки для доли: w w 75 75, 6 n 35 По заданной вероятности, 997 определим статистику t : Ф t, 997 Ф t, 4985 t 97, Предельная ошибка выборочной доли составит,,, t Вычислим границы для генеральной доли p : w pw, 8543, 786 p, 8543, 786, p, 8699 Итак, с вероятностью,997 можно утверждать, что доля лиц, положительно оценивающих работу правоохранительных органов, находится в пределах от,834 до,869 (или от 83,4% до 86,9%). Литература: ) Кремлёв А.Г. "Математика. Раздел "Статистика" ",, издание УрГЮА (г. Екатеринбург), стр. 53 (задача ); ) Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. "Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями", 5, стр. 93. ) Данные наблюдений сведены в группы и представлены в виде интервального статистического ряда. Первая строка - интервалы наблюдавшихся значений случайной величины X. Вторая - соответствующие им частоты. Требуется: а) построить гистограмму и полигон относительных частот; б) найти эмпирическую функцию распределения и построить её график; в) вычислить числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение; г) предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, записать плотность вероятности случайной величины X и построить её график на одном чертеже с гистограммой относительных частот (график выравнивающей кривой); д) найти теоретические частоты нормального закона распределения. При уровне значимости, проверить по критерию согласия хи-квадрат гипотезу о нормальном законе распределения; е) найти интервальные оценки параметра a нормального закона распределения. Доверительную вероятность принять равной,95. Интервалы (; 6) (6; 3) (3; 38) (38; 44) (44; 5) (5; 56) (56; 6) (6; 68) Частоты

13 а) таблица Интервалы a (; 6) (6; 3) (3; 38) (38; 44) (44; 5) (5; 56) (56; 6) (6; 68) Частоты n Относительные частоты w,5,,,5,3,,5,5 w x ); i Полигон относительных частот ( i i x - середины интервалов. w a ). Гистограмма относительных частот ( i i б) Построим эмпирическую (по опытным данным) функцию распределения случайной величины X : при x Fx ; при 6, 5, 5 ; при при x F x 6 x 3 Fx, 5,, 5 ; 3 x 38 Fx, 5,, 5 ; 3

14 при при при при 38 x 44 Fx, 5, 5, 34 ; 44 x 5 Fx 34, 3, 64;, 5 x 56 Fx 64,, 86;, 56 x 6 Fx, 86, 5, 975 ; при x 6 Fx, 975, 5. при x, 5 при x 6, 5 при 6 x 3, 5 при 3 x 38 F x 34, при 38 x 44 64, при 44 x 5 86, при 5 x 56, 975 при 56 x 6 при x 6 Изобразим график функции распределения: в) Вычислим числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение. Середины интервалов x Относительные частоты w Относит. частота на единицу варианты b w ,5,,,5,3,,5,5 таблица,83,333,667,3583,5,3667,97,47 4

15 Выборочная средняя xв 8 xiwi i Выборочная дисперсия 47, 8, Dв 8 xi x pi i Исправленная дисперсия n S Dв 64, , 3694 n 99 Выборочное среднее квадратическое отклонение в Dв 64, 476 8, 3 г) Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, записать плотность вероятности случайной величины X и построить её график на одном чертеже с гистограммой относительных частот (график выравнивающей кривой). Для нормального закона распределения плотность вероятности: xa f x e где (по условию задачи) a x 47, 8, X 8, 3, т.е. x47, 8 64, 476 f x e 8, 3 На графике для сопоставимости изобразим плотность вероятности случайной величины X и гистограмму относительных частот на единицу варианты (вторая строка таблицы ). Для построения выравнивающей (сглаживающей) кривой, а также для проведения дальнейшей статистической обработки составим следующую таблицу: x i m i xi x z i xi x s y z i i f xi zi s n p pi h yi i mi n pi mi npi np i 3 4,8 3,,4,5,3,64,376, ,8,7,33,379,74 4,548,548,66 35,8,5,57,57,946 8,85,48, ,8,77,966,376,36 44,47,47, ,8,,3989,4984,994 59,88,9, ,8,77,356,389,94 45,88,88, ,8,477,334,667,,4,996, ,8,7,33,45,489 4,978,,,935 (здесь s - с.к.о.) Здесь z i вычисляется по формуле плотности стандартного нормального распределения z e z (можно использовать таблицы значений этой функции). таблица 3 5

16 Кривая yi f xi изображена далее в Mathcad 4 для наглядности на одном чертеже с гистограммой распределения и хорошо согласуется с данными выборки (пока это только визуальная оценка). д) Найти теоретические частоты нормального закона распределения. При уровне значимости, проверить по критерию согласия хи-квадрат гипотезу о нормальном законе распределения. 5 Оценим согласованность выбранного теоретического распределения с опытными данными в соответствии с критерием Пирсона (критерий [хи квадрат]). Критерий согласия Пирсона - наиболее часто употребеляемый критерий для проверки простой гипотезы о законе распределения (гипотезу, однозначно фиксирующую распределение наблюдений, называют простой (в ней речь идёт об одном значении параметра), в противном случае - сложной). Суммируя величины колонки в таблице 3, получаем величину 9 mi np i р 94,, характеризующую меру расхождения теоретического и статистического i np i распределений. Чем больше величина, тем больше это расхождение. Задана величина критического значения уровня значимости P кр. р 5,, который должен быть превышен для принятия гипотезы о законе распределения. Отметим, что принятие гипотезы всегда происходит на некотором субъективно принятом уровне значимости и основывается на значениях конечной выборки (в данном случае n ). Обычно ориентируются на критическое значение уровня значимости,... 5, ( соответствует, более мягкому подходу в оценке гипотезы, 5, соответствует более строгому подходу в оценке гипотезы). По таблице критических точек - распределения исходя из числа степеней свободы r k3835 ( k - число разрядов) и реализовавшегося значения р 94, находим величину P P р 94, 97,, т.е. вероятность того, что величина, распределённая по закону, превысит значение р. Таблицы довольно грубы; проще и быстрее значение вычисляется, например в Mathcad 4: 6

17 Поскольку вероятность кр.,, 97 5, то можно считать, что эмпирически принятое теоретическое нормальное распределение не противоречит опытным данным и гипотеза о виде распределения и о его параметрах может быть принята. Другими словами, принятая гипотеза не противоречит имеющимся выборочным данным на уровне значимости 5,, или уровне надёжности (уровне доверия), 5, 95. е) Найти интервальные оценки параметра a нормального закона распределения. Доверительную вероятность принять равной,95. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа : где P X a Ф, X - непрерывная случайная величина, a - математическое ожидание, - граница отклонения абсолютной величины случайной величины, Ф t - функция Лапласа (берём из таблиц), - среднее квадратическое отклонение. По условию задачи: X 8, am X 47, 8 Величина вероятности задана: Ф, 95 8 Ф, , 8 5, 68 Так что с вероятностью,95 параметр a нормального распределения (мат. ожидание генеральной совокупности) находится в интервале a ; a 47, 8 5, 68 ; 47, 8 5, 68 3, 5 ; 6, 86. 3) Для имеющейся совокупности опытных данных (выборки) требуется: ) Построить статистический ряд и гистограмму распределения. ) Вычислить следующие статистики распределения: выборочную среднюю, выборочное среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, экцесс. Раскрыть смысловую сторону каждой статистики. 3) Обосновать выбор теоретического распределения и методом моментов найти его параметры. 4) Построить теоретическую кривую распределения. 5) Проверить согласованность теоретического и выборочного распределений, применяя критерий согласия Пирсона. 7

18 В результате эксперимента реализовались значений измеряемой величины, которые получены случайным выбором из генеральной совокупности. Итак, задана выборка (или простая статистическая совокупность), состоящая из значений ( n ): 9,9 4, 7, 5,3 4,3 8,8 3, 6,6, 4,5 6,7,7 5,4 5,,5 7,5 3,4 4,7,6 8,8 7,9 9,6 7,,7 7,5 9,4 6,5, 4,3 6, 5,4 5,7 8,,7 5, 4,8,5 4,8,8 7,4 3,,6 5,7,, 4,8, 9,7 7,4 7,6 9,7 5,9 8,7 3,3 3,,,7,,9 7,9,3 4,3 9,9, 3,7 9, 9,5 5,7 7,7 7, 3, 9, 8,,9 6,6,7 8,8,4 9,,7 5,6, 9,8 5,,3 4,3,6,8,8,8 9,9 6, 9,8 5,7,, 6,,, 8,5 Выбираем из этой совокупности наименьшее и наибольшее значения: x наим. 6, x наиб. 9, Округляем граничные значения до 6 и 3. Разбиваем этот интервал на частичные интервалы (разряды) и подсчитываем количество наблюдений, приходящееся на каждый разряд. Обычно число разрядов выбирают в промежутке Пусть количество разрядов k 8, и их длина h постоянна; тогда 3 6 h 3. 8 Составим интервальный статистический ряд (табл. ). таблица Номер i i й разряд Число наблюдений m 6 6 4,5 5,5 8 8 i Частота Частость * * bi pi h * p i,3,75,8,6,6,85,85,85,5,375,4,8,8,95,95,45 ( n 8 mi i, h 3 ) В последних разрядах оказалось слишком мало наблюдений ( mi 3 ), поэтому объединим их: таблица Номер i i й разряд Число наблюдений Частота Частость m i 6 6 4,5 5,5 8 8 * p i,6,6,45,55,8,8, * b i,,533,87,85,6,67,33 Здесь p m * i i, n b * * p i i. h 8

19 b x ). Используя данные таблицы, построим гистограмму распределения (зависимость i i Для вычисления статистик распределения интервальный ряд табл. заменим дискретным статистическим рядом, ставя в соответствие каждому разряду его середину: таблица 3 Номер i Середина 7,5,5 3,5 6,5 9,5,5 7 интервала x i Число наблюдений Частота m i 6 6 4,5 5,5 8 8 * p i,6,6,45,55,8,8, По данным табл. 3 вычислим выборочные начальные моменты распределения по следующим формулам: k k * * a xi pi, a xi k * pi, a xi 3 k * 3 pi, a4 xi 4 pi. i i i i Получаем: a 5, 5 a a a , , , 9

20 Вычисления в Mathcad 4: Определяем статистики выборочного распределения. Выборочная средняя x a 5, 5. Выборочная средняя - статистический аналог математического ожидания. Выборочная дисперсия s a a 58, 6 5, 5 8, 5. Выборочная дисперсия - аналог дисперсии; характеризует рассеяние случайной величины вокруг её среднего значения. Выборочное среднеквадратическое отклонение s s 8, 5 4, 33. s 4, 33 Коэффициент вариации V % % 8% x 5, 5. Коэффициент вариации 8% относительно невысок, что говорит о небольшом разбросе значений признака относительно некоторой средней величины. Асимметрия As 3, где третий центральный момент 3 s a3 3aa a 4598, 4 35, 5 58, 6 5, 5 7, 3 7, 3 As, , 4 Экцесс E x 3, где четвёртый момент 4 s a 4a a 6a a 3a , 44598, 45, , 65, 5 35, , , 38 E x, , Третий центральный момент и коэффициент асимметрии служат для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. В нашем случае асимметрия близка к нулю, что может быть характерно для нормального или равномерного распределения, когда распределение симметрично относительно математического ожидания. (например, для показательного распределения асимметрия может быть около ). Четвёртый центральный момент характеризует крутость (островершинность или плосковершинность) распределения. Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным экцессом, более плосковершинные - отрицательным экцессом. В нашем случае экцесс распределения отрицателен, что говорит о плосковершинности кривой распределения, что в совокупности с малой асимметрией может быть характерно и для равномерного распределения. Для нормального распределения и асимметрия и экцесс близки к нулю.

21 3 Исходя из вида гистограммы и значений вычисленных статистик (экцесс и асимметрия малы; хотя коэффициент вариации небольшой 8%, но отклонения вариант согласованные - по краям ряда значения малы, в середине - побольше), выбираем в качестве теоретического распределения нормальное (с параметрами m и ). Т.е. принимаем, что неизвестная плотность теоретического распределения имеет вид: xm f x e Теперь возникает задача о наилучшем выборе параметров распределения (в данном случае это параметры m и ). Для решения этой задачи будем руководствоваться методом моментов, который предполагает, что наилучшими значениями параметров распределения являются те, для которых теоретические значения первых двух моментов распределения совпадают с выборочными (статистиками распределения). В случае нормального распределения параметры m и равны соответственно выборочному математическому ожиданию и выборочной дисперсии: m x 5, 5 s 433, Итак, в качестве теоретической (сглаживающей) кривой распределения возьмём график функции x5, 5 x5, 5 43, 3 37, 3 f x e, 97 e 4, 33 4 Для построения этой кривой, а также для проведения дальнейшей статистической обработки составим следующую таблицу: таблица z i y f x m np x i m i xi x xi x s z i i i zi s pi h yi n pi mi n pi i i np i 7,5 6 8,859,79,648,4944 4,944,56,6,5 6 5,6,3,47,46 4,6,84,39 3,5 4,5,465,358,83,4966 4,966,466,9 6,5 5,5,3,3883,94,77 7,7,57,9 9,5 8 4,93,589,67,85 8,5,5,,5 8 7,67,6,468,744 7,44,596,48 7,5,673,,65,59,59,4,6,79

22 Здесь z i вычисляется по формуле плотности стандартного нормального распределения z z e (можно использовать таблицы значений этой функции). Кривая y i f xi изображена далее в Mathcad 4 для наглядности на одном чертеже с гистограммой распределения и хорошо согласуется с данными выборки (пока это только визуальная оценка). 5 Оценим согласованность выбранного теоретического распределения с опытными данными в соответствии с критерием Пирсона (критерий [хи квадрат]). Критерий согласия Пирсона - наиболее часто употребеляемый критерий для проверки простой гипотезы о законе распределения (гипотезу, однозначно фиксирующую распределение наблюдений, называют простой (в ней речь идёт об одном значении параметра), в противном случае - сложной). Суммируя величины колонки в таблице 3, получаем величину 9 mi np i р 7,, характеризующую меру расхождения теоретического и статистического i np i распределений. Чем больше величина, тем больше это расхождение. Зададимся некоторым критическим значением уровня значимости P р кр. P р,, например 5, который должен быть превышен для принятия гипотезы о законе распределения. Отметим, что принятие гипотезы всегда происходит на некотором субъективно принятом уровне значимости и основывается на значениях конечной выборки (в данном случае n ). Обычно ориентируются на критическое значение уровня значимости,... 5, ( соответствует, более мягкому подходу в оценке гипотезы, 5, соответствует более строгому подходу в оценке гипотезы). По таблице критических точек - распределения исходя из числа степеней свободы r k3734 ( k - число разрядов) и реализовавшегося значения р 7, находим величину P P р 7, 9,, т.е. вероятность того, что величина, распределённая по закону, превысит значение р.

23 Таблицы довольно грубы; проще и быстрее значение вычисляется, например в Mathcad 4: Поскольку вероятность кр.,, 9 5, то можно считать, что эмпирически принятое теоретическое нормальное распределение не противоречит опытным данным и гипотеза о виде распределения и о его параметрах может быть принята. Другими словами, принятая гипотеза не противоречит имеющимся выборочным данным на уровне значимости 5,, или уровне надёжности (уровне доверия),, Литература: ) Белугин В.И., Величко Т.В., Поповский Э.Е. "Высшая математика", часть 4, методичка УрГУПС,, стр. 9; ) Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. "Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями", 5, стр , стр. 585; 3) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике", 4, стр., 6; 4) Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика", 6, стр. 73 (формула плотности вероятности - распределения); 5) Белько И.В., Свирид Г.П. "Теория вероятностей и математическая статистика", 4, стр. 46, 55, 39; 6) Бирюкова Л.Г. и др. "Теория вероятностей и математическая статистика", 4, стр. 86 (числа степеней свободы). 3

24 - распределение. Распределение величины (хи-квадрат) при большом количестве наблюдений n практически не зависит от числа наблюдений и от теоретической функции распределения, а зависит лишь от числа степеней свободы. Число степеней свободы r определяется равенством r k 3, где k - число разрядов. Вычитание числа 3 объясняется для нормального и равномерного распределений наличием трёх соотношений, связывающих частоты: k k k * * * p i, xi pi m, xi x pi. i i i В случае показательного распределения r k, т.к. последнее соотношение при расчёте не используется (см. табл. 3). Плотность вероятности -распределения имеет вид r x x e при x, r x r Г при x (*) Г y e t dt где t y r - число степеней свободы. - гамма-функция Эйлера (для целых положительных значений Г y y! ), Кривые -распределения для различных значений числа степеней свободы r приведены на рисунке: Они показывают, что -распределение асимметрично, обладает положительной (правосторонней) асимметрией. При r 3 распределение случайной величины Z r близко к стандартному нормальному закону, т.е. N ;. Вычислив величину р 7, 669, уровень значимости можно вычислить по таблице критических точек - распределения (как сделано в разделе 4) или посредством формулы (*) в любом калькуляторе, например Mathcad: 4

25 В Matcad гамма-функция доступна через клики Insert Function Special Gamma или печатается двойным нажатием клавиш: сначала G, а затем [Ctrl]+G. Обратное вычисление можно сделать с помощью встроенной в Mathcad функции, например: (таким образом вычислена приведённая далее таблица критических точек распределения ) Критические точки распределения. число степеней свободы k уровень значимости α,,5,5,95,975,99 6,635 5,4 3,84,393,98,6 9, 7,378 5,99,3,5, 3,345 9,348 7,85,35,6,5 4 3,77,43 9,488,7,484,97 5 5,86,833,7,45,83, ,8 4,449,59,635,37,87 7 8,475 6,3 4,67,67,69,39 8,9 7,535 5,57,733,8,647 9,666 9,3 6,99 3,35,7,88 3,9,483 8,37 3,94 3,47,558 4,75,9 9,675 4,575 3,86 3,53 6,7 3,337,6 5,6 4,44 3,57 3 7,688 4,735,36 5,89 5,9 4,7 4 9,4 6,9 3,685 6,57 5,69 4,66 5 3,578 7,488 4,996 7,6 6,6 5,9 6 3, 8,845 6,96 7,96 6,98 5,8 7 33,49 3,9 7,587 8,67 7,564 6, ,85 3,56 8,869 9,39 8,3 7,5 9 36,9 3,85 3,44,7 8,97 7,633 37,566 34,7 3,4,85 9,59 8,6 38,93 35,479 3,67,59,83 8,897 4,89 36,78 33,94,338,98 9,54 3 4,638 38,76 35,7 3,9,689,96 4 4,98 39,364 36,45 3,848,4, ,34 4,646 37,65 4,6 3,, ,64 4,93 38,885 5,379 3,844, ,963 43,95 4,3 6,5 4,573, ,78 44,46 4,337 6,98 5,39 3, ,588 45,7 4,557 7,78 6,47 4,56 3 5,89 46,979 43,773 8,493 6,79 4, ,69 59,34 55,758 6,59 4,433, ,54 7,4 67,55 34,764 3,357 9, ,379 83,97 79,8 43,88 4,48 37,485 8,39 6,69,879 6,39 57,53 53,54 35,87 9,56 4,34 77,99 74, 7,64 58,95 5, 46,567 95,75 9,57 86,93 таблицы см. также Литература: ) Ивановский Р.И. "Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad", 8, стр. 33; ) - Гурский Д.А., Турбина Е.С. "Вычисления в Mathcad ", полная версия книги (существует только в электронном виде), 6, стр. 56 (распределение хи-квадрат). 4) Нарисовать диаграммы функции распределения:,,,,. нормального распределения, M X X. показательного распределения, M X 4, 6, 8, ; 3. распределения Пуассона, M X 4, 6, 8, ; 5

26 . Функция распределения с.в., распределённой по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа по формуле: x x x a Fx Ф, где Фx e dx Выполним иллюстрацию в Mathcad 5:. Функция распределения с.в., распределённой по показательному (экспоненциальному) закону, определяется формулой x e при x F x при x, D X. причём M X Выполним иллюстрацию в Mathcad 5: 6

27 3. Распределением Пуассона называется распределение вероятностей дискретной случайной величины, определяемое формулой Пуассона k e P k, причём параметр распределения Пуассона a равен k! математическому ожиданию идисперсии этого закона распределения. (вероятность появления k событий простейшего потока за некоторый промежуток времени t при заданной интенсивности t ) Функция распределения Пуассона имеет вид k e при x Fx kx k! при x причём M X. Выполним иллюстрацию в Mathcad 5: Литература: ) Спирина М.С., Спирин П.А. "Теория вероятностей и математическая статистика", 7, стр. 7 (распределение Пуассона); ) Шириков В.Ф., Зарбалиев С.М. "Теория вероятностей", 8, стр. 98 (распределение Пуассона). 5) Нарисовать диаграммы плотности распределения (каждую на одном графике, обязательно создать графическую иллюстрацию): M X, X 3, 5, 7, 9 ;. нормального распределения,. показательного распределения, M X 4, 6, 8, ; 3. распределения Пуассона, M X 4, 6, 8,. 7

28 . Непрерывная с.в. имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами a и, если её плотность вероятности имеет вид xa f x e Выполним иллюстрацию в Mathcad 5:. Непрерывная с.в. имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром, если её плотность вероятности имеет вид x e при x f x при x причём M X, DX. Выполним иллюстрацию в Mathcad 5: 8

29 3. Поскольку плотность вероятности есть функция дифференциальная, а вероятность для распределения Пуассона вычисляется по формуле x P x e, nn x! то для дискретной с.в. плотность вероятности x x x f x e e e x x x!!! x причём M X. Выполним иллюстрацию в Mathcad 5: 9

Нормальное распределение.

Нормальное распределение. Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид xa f x e где параметры a и имеют смысл: a M X - математическое ожидание;

Подробнее

Равномерное распределение.

Равномерное распределение. Равномерное распределение. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид, если xa ; b f x b a 0, если xa ; b Математическое ожидание M X

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

Тема 5. Непрерывные случайные величины.

Тема 5. Непрерывные случайные величины. Тема 5. Непрерывные случайные величины. Цель и задачи. Цель контента темы 5 дать определение непрерывной случайной величины, ее функции распределения и функции распределения; рассмотреть особенности задания

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Подбор подходящего теоретического распределения

Подбор подходящего теоретического распределения Лекция Подбор подходящего теоретического распределения При наличии числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений

Статистическая обработка результатов измерений Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский Государственный Технологический Университет им. К. Э. Циолковского. Кафедра «Высшая математика» Статистическая обработка результатов измерений

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

Вопросы к зачету по математике. IV семестр

Вопросы к зачету по математике. IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальностей: 900. ААХ, 00. МОЛК, 900. СТТМО IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика.. Элементы комбинаторики..

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ Погрешность В реальных условиях даже очень точные измерения будут содержать погрешность D, которая является отклонением результата измерения x от истинного

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Современная теория вероятностей предпочитает где только возможно оперировать не случайными событиями а случайными величинами

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Практическая работа Обработка и анализ результатов моделирования Задача. Проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с теоретическим распределением с помощью критериев Пирсона и Колмогорова-

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике Вопросы к зачету Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» 1. Комбинаторика. 2. Вычисление вероятности (классическая модель). 3. Геометрическая вероятность. 4.Основные теоремы теории вероятностей

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ Образец заполнения титульного листа Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина Кафедра высшей

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

ния которой изменяются в диапазоне от 0 до 1 (рисунок 33а).

ния которой изменяются в диапазоне от 0 до 1 (рисунок 33а). Лекция 8 8.1. Законы распределения показателей надежности Отказы в системах железнодорожной автоматики и телемеханики возникают под воздействием разнообразных факторов. Поскольку каждый фактор в свою очередь

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ВВЕДЕНИЕ Одним из основных разделов математической статистики является проверка статистических гипотез. В этом разделе разрабатываются методы проверки соответствия экспериментальных данных или наблюдений

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

Доверительные интервалы: примеры решения задач

Доверительные интервалы: примеры решения задач Доверительные интервалы: примеры решения задач Л. В. Калиновская Кафедра высшей математики, Университет "Дубна" date Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Закономерности в поведении случайных величин тем заметнее, чем больше число испытаний, опытов или наблюдений Закон больших

Подробнее

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Практические занятия (семинары) 3-й семестр п/п С1 С2 С3 С4 С5 С6 раздела дисциплины Наименование практических занятий (семинаров) Комбинаторика:

Подробнее

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события 3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Конспект лекций (сокращенный) по теории вероятностей и математической статистике ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Раздел 1. Случайные события Лекция 1 1. Основные понятия

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования Российской едерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Первичная обработка выборочных данных Методические указания и варианты заданий. Томск 00 Данная

Подробнее

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют:

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют: . На складе 00 деталей, из которых 00 изготовлено цехом, 60 цехом и 40 цехом. Вероятность брака для цеха %, для цеха % и для цеха %. Наудачу взятая со слада деталь оказалась бракованной. Найти вероятность

Подробнее

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения МДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 5 ыборочный метод в математической статистике Основные понятия и определения Математическая статистика позволяет получать обоснованные

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Закон распределения вероятностей случайной величины содержит полную информацию о случайной величине. Однако полная информация не всегда

Подробнее

n 1 Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее оценка Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии

n 1 Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее оценка Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии Элементы математической статистики. Пример. Для определения точности измерительного прибора, систематическая ошибка которого практически равно нулю, было произведено пять независимых измерений, результаты

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей Лекция 5 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей 6.. Метод наименьших квадратов 6... Теоретическое обоснование метода наименьших квадратов 7. Проверка статистических гипотез 7..Критерий согласия

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

1 при x 0. x - плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная. x , то. x 4

1 при x 0. x - плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная. x , то. x 4 ) Случайная величина X задана плотностью распределения вероятности при f при при Найти интегральную функцию F и математическое ожидание M X. f - плотность распределения (плотность распределения вероятностей,

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 1 Министерство образования и науки Республики Казахстан ВОСТОЧНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Д.Серикбаева В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания по выполнению

Подробнее

1 Первичная обработка статистических данных

1 Первичная обработка статистических данных Первичная обработка статистических данных Абстрактная и конкретная выборки Основные числовые характеристики выборки Вариационные ряды выборки Гистограмма частот 5 Эмпирическая функция распределения Пусть

Подробнее

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008.

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008. Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 008. ВАРИАНТ (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются

Подробнее

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики.

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1 Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1. Что изучают математическая статистика, теория случайных процессов. Изучение данного курса будет состоять из двух частей: «Математическая

Подробнее

Выборки и их характеристики

Выборки и их характеристики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Элементы теории оценок и проверки гипотез

Элементы теории оценок и проверки гипотез Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные:

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные: Билет Объем выборки равен 60. определить значение 5 и моду Мо. 5 6 8? Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка: a. (5; 0); б. (0; 5); в. (; 7); г. (; 0). Получены

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Лекция. Элементы математической статистики.

Лекция. Элементы математической статистики. Лекция. Элементы математической статистики. План. 1. Статистика как наука. Этапы статистической работы.. I-й этап статистической работы. Генеральная совокупность и выборка. 3. I I-ой этап статистической

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет. 1 курс 1 семестр

ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет. 1 курс 1 семестр ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет 1 курс 1 семестр «Элементы математической статистики» Составил: Дигурова И.И. 2004 г. 1. Математическая статистика. Ее виды, особенности, задачи. Математическая

Подробнее

Интервальные оценки.

Интервальные оценки. Лекция 1. Интервальные оценки. Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес информатика»

Подробнее

Рекомендуется выполнять в Excel или в MathCad.

Рекомендуется выполнять в Excel или в MathCad. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (СТАТИСТИКА) Задача 1. Путем опроса получены данные (n=80): Выполнить задания: а) получить дискретный вариационный ряд и статистическое распределение выборки; б) построить полигон

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЧАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Статистической совокупностью называется совокупность

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) В заданиях этой контрольной параметры n и m требуется заменить на последнюю и, соответственно, предпоследнюю ненулевую цифру Вашего индивидуального

Подробнее

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени

Подробнее

Контрольное задание

Контрольное задание http://wwwzachetru/ Контрольное задание Задача Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда ( 0): 3 6 7 0 m 8 0 3 3 Решение 3 6 7 0 m 8 0 3 3 m Полигон относительных частот: 0073

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ]

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ] Законы распределения случайных величин [Часть II, стр. 0-3] Центральная предельная теорема: сумма произвольно распределенных независимых случайных величин при условии одинакового их влияния подчиняется

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Хабаровск 004 3 УДК 56 Статистическая обработка и анализ экспериментальных данных массовых случайных явлений: Методические

Подробнее