Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию. Ульяновский государственный технический университет

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию. Ульяновский государственный технический университет"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный технический университет Ульяновск 6

2 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный технический университет Ульяновск 6

3 ББК я7 К 57 УДК 68.3 (76) Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета Рецензент канд. техн. наук, доцент кафедры ТОР УлГТУ Б. Н. Романов К 57 Кодирование информации: методические указания / сост.: В. Д. Горбоконенко, В. Е. Шикина. Ульяновск: УлГТУ, с. Изложены основные положения теории и методики построения эффективных кодов, оптимальных с точки зрения минимальной средней длины кодовых слов: код Шеннона-Фэно, Хаффмена, префиксные коды. Особое внимание уделено теории помехоустойчивого кодирования, построению корректирующих кодов. Рассмотрены способы обнаружения и исправления ошибок в групповых, циклических кодах, в коде Хемминга. В ходе изложения теоретического материала рассмотрен ряд задач, что в значительной степени упрощает процесс усвоения. После каждого раздела даны задания. Приведенный материал может быть использован при подготовке к практическим занятиям по курсу «Прикладная теория информации» студентами, обучающимися по специальностям 365 «Информационные системы и технологии» и 365 «Авиационные приборы и измерительновычислительные комплексы». Методические указания подготовлены на кафедре ИВК. УДК 68.3 (76) ББК я7 В. Д. Горбоконенко, В. Е. Шикина, составление, 6 Оформление. УлГТУ, 6

4 Учебное издание КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ Методические указания Составители: ГОРБОКОНЕНКО Вера Дмитриевна ШИКИНА Виктория Евгеньевна Редактор Н. А. Евдокимова Подписано в печать Формат 6 84/6. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 3,3. Уч.-изд. л. 3,. Тираж экз. Заказ. Ульяновский государственный технический университет 437, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 3. Типография УлГТУ, 437, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 3.

5 СОДЕРЖАНИЕ Раздел. Эффективное кодирование 3.. Общая характеристика эффективного кодирования 3.. Методика Шеннона Фэно 3.3. Кодирование блоками 5.4. Методика Хаффмена 6.5. Префиксные коды 8.6. Упражнения и задачи 9 Раздел. Помехоустойчивое кодирование.. Общая характеристика помехоустойчивых кодов.. Кодовое расстояние и корректирующая способность кода.3. Линейные групповые коды 3.4. Код Хемминга: идея построения 5.5. Групповой код. Принцип формирования образующей 9 матрицы.6. Циклические коды. Идея построения циклических кодов 7.7. Упражнения и задачи 39 Раздел 3. Аппаратурная реализация Контроль по четности Контроль по Хэммингу 43 Раздел 4. Цифровые коды, используемые в АЦП и 46 ЦАП 4.. Натуральный двоичный код Двоично-десятичные коды Код Грея 49 Приложение 5 Библиографический список 54 55

6 РАЗДЕЛ. ЭФФЕКТИВНОЕ КОДИРОВАНИЕ.. Общая характеристика эффективного кодирования Учитывая статистические свойства источника сообщения, можно минимизировать среднее число двоичных символов, требующихся для выражения одной буквы сообщения, что при отсутствии шума позволяет уменьшить время передачи или объем запоминающего устройства. Такое эффективное кодирование базируется на основной теореме Шеннона для каналов без шума. Шеннон доказал, что сообщения, составленные из букв некоторого алфавита, можно закодировать так, что среднее число двоичных символов на букву будет сколь угодно близко к энтропии источника этих сообщений, но не меньше этой величины... Методика Шеннона Фэно При отсутствии статистической взаимосвязи между буквами конструктивные методы построения эффективных кодов были даны впервые Шенноном и Фэно. Их методики существенно не различаются, поэтому соответствующий код получил название кода Шеннона Фэно. Код строится следующим образом: буквы алфавита сообщений выписываются в таблицу в порядке убывания вероятностей. Затем они разделяются на две группы так, чтобы суммы вероятностей в каждой из групп были по возможности одинаковы. Всем буквам верхней половины в качестве первого символа приписывается, а всем нижним. Каждая из полученных групп в свою очередь разбивается на две подгруппы с одинаковыми суммарными вероятностями и т. д. Процесс повторяется до тех пор, пока в каждой подгруппе останется по одной букве. Рассмотрим алфавит из восьми букв. Ясно, что при обычном (не учитывающем статистических характеристик) кодировании для представления каждой буквы требуется три символа. Наибольший эффект сжатия получается в случае, когда вероятности букв представляют собой целочисленные отрицательные степени двойки. Среднее число символов на букву в этом случае точно равно энтропии. Убедимся в этом, вычислив энтропию 8 63 H(z) p(zi ) logp(zi) (.) i 64 и среднее число символов на букву l 8 p(z i ср i 63 ) n(z i ), (.) 64 3

7 где n(z i ) число символов в кодовой комбинации, соответствующей букве z i. Характеристики такого ансамбля и коды букв представлены в табл... Буквы Вероятности Кодовые комбинации z / Табл.. Ступень разбиения z /4 I z 3 /8 II z 4 /6 III z 5 /3 IV z 6 /64 V z 7 /8 VI z 8 /8 VII В более общем случае для алфавита из восьми букв среднее число символов на букву будет меньше трех, но больше энтропии алфавита H(z). Для ансамбля букв, приведенного в табл.., энтропия равна,76, а среднее число символов на букву,84. Буквы Вероятности Кодовые комбинации Табл.. Ступень разбиения z, II z, III z 3,6 I z 4,6 IV z 5, V z 6, VI z 7,4 V I z 8, VII Следовательно, некоторая избыточность в последовательностях символов осталась. Из теоремы Шеннона следует, что эту избыточность также можно устранить, если перейти к кодированию достаточно большими блоками. Число разрядов в кодовой комбинации здесь и в дальнейшем обозначено через п для того, чтобы избежать расхождения с общепринятой терминологией в области эффективного и помехоустойчивого кодирования. 4

8 .3. Кодирование блоками Рассмотрим сообщения, образованные с помощью алфавита, состоящего всего из двух букв z и z с вероятностями появления соответственно p(z ),9 и p(z ),. Поскольку вероятности не равны, то последовательность из таких букв будет обладать избыточностью. Однако при побуквенном кодировании никакого эффекта не получается. Действительно, на передачу каждой буквы требуется символ либо, либо, в то время как энтропия равна,47. При кодировании блоков, содержащих по две буквы, получим коды, показанные в табл..3. Табл..3 Блоки Вероятности Кодовые комбинации Ступень разбиения z z,8 z z,9 I z z,9 II z z, III Так как буквы статистически не связаны, вероятности блоков определяются как произведение вероятностей составляющих букв. Среднее число символов на блок получается равным,9, а на букву,645. Кодирование блоков, содержащих по три буквы, дает еще больший эффект. Соответствующий ансамбль и коды приведены в табл..4. Табл..4 Блоки Вероятности Кодовые комбинации Ступень разбиения z z z,79 z z z,8 I z z z,8 III z z z,8 II z z z,9 IV z z z,9 VI z z z,9 V z z z, VII 5

9 Среднее число символов на блок равно,59, а на букву,53, что всего на % больше энтропии. Теоретический минимум Н(z),47 может быть достигнут при кодировании блоков, включающих бесконечное число букв: liml ср n H( z). (.3) Следует подчеркнуть, что увеличение эффективности кодирования при укрупнении блоков не связано с учетом все более далеких статистических связей, так как нами рассматривались алфавиты с некоррелированными буквами. Повышение эффективности определяется лишь тем, что набор вероятностей, получающийся при укрупнении блоков, можно делить на более близкие по суммарным вероятностям подгруппы..4. Методика Хаффмена Рассмотренная нами методика Шеннона Фэно не всегда приводит к однозначному построению кода. Ведь при разбиении на подгруппы можно сделать большей по вероятности как верхнюю, так и нижнюю подгруппу. Множество вероятностей, приведенных в табл.., можно было бы разбить иначе, например, так, как это показано в табл..5. Табл..5 Буквы Вероятности Кодовые комбинации Ступень разбиения z, z, II z 3,6 I z 4,6 IV z 5, III z 6, V z 7,4 VI z 8, VII При этом среднее число символов на букву оказывается равным,8. Таким образом, построенный код может оказаться не самым лучшим. При построении эффективных кодов с основанием m> неопределенность становится еще больше. От указанного недостатка свободна методика Хаффмена. Она гарантирует однозначное построение кода с наименьшим для данного распределения вероятностей средним числом символов на букву. Для двоичного кода методика сводится к следующему. Буквы алфавита сообщений выписываются в основной столбец в порядке убывания вероятностей. Две последние буквы объединяются в одну вспомогательную 6

10 букву, которой приписывается суммарная вероятность. Вероятности букв, не участвовавших в объединении, и полученная суммарная вероятность снова располагаются в порядке убывания вероятностей в дополнительном столбце, а две последние объединяются. Процесс продолжается до тех пор, пока не получим единственную вспомогательную букву с вероятностью, равной единице. Методика поясняется примером, представленным табл..6. Значения вероятностей приняты те же, что и в ансамбле табл... Табл..6 Буквы Вероятности Вспомогательные столбцы z z z 3,,,6,,,6,,,6 ->,6,, ->,3,6, z 4,6,6,6,6, ->,4 ->,58 ->,3,4,6 z 5 z 6 z 7,,,4,,,3,6,,6 z 8, Для составления кодовой комбинации, соответствующей данному сообщению, необходимо проследить путь перехода сообщения по строкам и столбцам таблицы. Для наглядности строится кодовое дерево. Из точки, соответствующей вероятности, направляются две ветви, причем ветви с большей вероятностью присваивается символ, а с меньшей. Такое последовательное ветвление продолжаем до тех пор, пока не дойдем до каждой буквы. Кодовое дерево для алфавита букв, рассматриваемого в табл..6, приведено на рис... Рис... Кодовое дерево, построенное по табл..6, в соответствии с методом Хаффмена 7

11 Теперь, двигаясь по кодовому дереву сверху вниз, можно записать для каждой буквы соответствующую ей кодовую комбинацию: z l z z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 8.5. Префиксные коды Рассмотрев методики построения эффективных кодов, нетрудно убедиться в том, что эффект достигается благодаря присвоению более коротких кодовых комбинаций более вероятным буквам и более длинных менее вероятным буквам. Таким образом, эффект связан с различием в числе символов кодовых комбинаций. А это приводит к трудностям при декодировании. Конечно, для различения кодовых комбинаций можно ставить специальный разделительный символ, но при этом значительно снижается желаемый эффект, так как средняя длина кодовой комбинации по существу увеличивается на символ. Более целесообразно обеспечить однозначное декодирование без введения дополнительных символов. Для этого эффективный код необходимо строить так, чтобы ни одна комбинация кода не совпадала с началом более длинной комбинации. Коды, удовлетворяющие этому условию, называются префиксными кодами. Последовательность комбинаций префиксного кода, например, кода z z z 3 z 4 декодируется однозначно: z 4 z z z 3 z 3 z 3 z Последовательность комбинаций непрефиксного кода, например кода z z z 3 z 4 (комбинация является началом комбинации ), может быть декодирована по-разному: z z z z z 4 z 3, z z 4 z 3 z 4 z 3 или z z z 4 z 3 z z. Нетрудно убедиться, что коды, получаемые в результате применения методики Шеннона Фэно или Хаффмена, являются префиксными. 8

12 .6. Упражнения и задачи Задача.. Построить оптимальный неравномерный код методом Хаффмана.. Построить оптимальный неравномерный код методом Шеннона Фено. Данные: Р а,, Р а,58, Р а3,, Р а4,3, Р а5,6. Задача. Построить оптимальный неравномерный код методом Шеннона Фено. Данные: Р а /8, Р а /8, Р а3 /8, Р а4 /8, Р а5 /4, Р а6 /4. Задача.3 Построить оптимальный код сообщения, состоящего из восьми равновероятных букв. Задача.4 Построить оптимальный код передачи сообщения, в котором вероятность n появления подчиняются закону, но p. p i Варианты заданий i Вариант Вероятности Р(z ),3 Р(z ),6 Р(z 3 ), Р(z 4 ), Р(z 5 ),6 Р(z 6 ), Р(z 7 ),5 Р(z 8 ),5 Р(z ),38 Р(z ),3 Р(z 3 ),5 Р(z 4 ), Р(z 5 ),3 Р(z 6 ), Р(z ),37 Р(z ),5 Р(z 3 ),8 Р(z 4 ), Р(z 5 ),6 Р(z 6 ),4 Р(z ),6 Р(z ), Р(z 3 ),8 Р(z 4 ), Р(z 5 ), Р(z 6 ),8 Р(z 7 ),6 Р(z ),4 Р(z ), Р(z 3 ),6 Р(z 4 ),6 Р(z 5 ), Р(z 6 ),8 Р(z 7 ), 9

13 РАЗДЕЛ. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ.. Общая характеристика помехоустойчивых кодов Теория помехоустойчивого кодирования базируется на результатах исследований, проведенных Шенноном и сформулированных им в виде основной теоремы для дискретного канала с шумом: при любой скорости передачи двоичных символов меньшей, чем пропускная способность канала, существует такой код, при котором вероятность ошибочного декодирования будет сколь угодно мала; вероятность ошибки не может быть сделана произвольно малой, если скорость передачи больше пропускной способности канала. Как видно, в теореме не затрагивается вопрос о путях построения кода, обеспечивающего указанную идеальную передачу. Тем не менее, значение ее огромно, поскольку, обосновав принципиальную возможность такого кодирования, она мобилизовала усилия ученых на разработку конкретных кодов. Кодирование должно осуществляться так, чтобы сигнал, соответствующий принятой последовательности символов, после воздействия на него предполагаемой в канале помехи оставался ближе к сигналу, соответствующему конкретной переданной последовательности символов, чем к сигналам, соответствующим другим возможным последовательностям (степень близости обычно определяется по числу разрядов, в которых последовательности отличаются друг от друга). Это достигается ценой введения при кодировании избыточности, которая позволяет так выбрать передаваемые последовательности символов, чтобы они удовлетворяли дополнительным условиям, проверка которых на приемной стороне дает возможность обнаружить и исправить ошибки. Коды, обладающие таким свойством, получили название помехоустойчивых. Они используются как для исправления ошибок (корректирующие коды), так и для их обнаружения. У подавляющего большинства существующих в настоящее время помехоустойчивых кодов указанные выше условия являются следствием их алгебраической структуры. В связи с этим их называют алгебраическими кодами. Алгебраические коды можно подразделить на два больших класса: блоковые и непрерывные. В случае блоковых кодов процедура кодирования заключается в сопоставлении каждой букве сообщения (или последовательности из k символов, соответствующей этой букве) блока из n символов, причем в операциях по преобразованию принимают участие только указанные k символов и выходная последовательность не зависит от других символов в передаваемом сообщении. Блоковый код называется равномерным, если n остается постоянным для всех букв сообщения.

14 Различают разделимые и неразделимые блоковые коды. При кодировании разделимыми кодами выходные последовательности состоят из символов, роль которых может быть отчетливо разграничена. Это информационные символы, совпадающие с символами последовательности, поступающей на вход кодера канала, и избыточные (проверочные) символы, вводимые в исходную последовательность кодером канала и служащие для обнаружения и исправления ошибок. При кодировании неразделимыми кодами разделить символы выходной последовательности на информационные и проверочные невозможно. Непрерывными называются такие коды, в которых введение избыточных символов в кодируемую последовательность информационных символов осуществляется непрерывно, без разделения ее на независимые блоки. Непрерывные коды также могут быть разделимыми и неразделимыми... Кодовое расстояние и корректирующая способность кода При взаимно независимых ошибках наиболее вероятен переход в кодовую комбинацию, отличающуюся от данной в наименьшем числе символов. Степень различия любых двух кодовых комбинаций характеризуется расстоянием между ними (по Хэммингу), или просто кодовым расстоянием. Оно выражается числом символов, в которых комбинации отличаются одна от другой, и обозначается через d. Чтобы рассчитать кодовое расстояние между двумя комбинациями двоичного кода, достаточно подсчитать число единиц в сумме этих комбинаций по модулю. Например заданы две кодовые комбинации А и В. Требуется определить кодовое расстояние. Складывая по модулю А и В, получаем некоторую комбинацию С. Непосредственный подсчет единиц определяет вес ϖ(с) кодовой комбинации С, который равен кодовому расстоянию d. А ϖ(а)7 В ϖ(в)4 С ϖ(с)7, d7. Минимальное расстояние, взятое по всем парам кодовых комбинаций данного кода, называется минимальным кодовым расстоянием. Декодирование после приема может производиться таким образом, что принятая кодовая комбинация отождествляется с той разрешенной, которая отличается от полученной в наименьшем числе символов. Такое декодирование называется декодированием по методу максимального правдоподобия. Очевидно, что при dl все кодовые комбинации являются разрешенными. Например, при n3 разрешенные комбинации образуют следующее множество:,,,,,,,.

15 Любая одиночная ошибка трансформирует данную комбинацию в другую разрешенную комбинацию. Это случай равнодоступного кода, не обладающего способностью обнаруживать и исправлять ошибки. Если d, то ни одна из разрешенных кодовых комбинаций при одиночной ошибке не переходит в другую разрешенную комбинацию. Например, подмножество разрешенных кодовых комбинаций может быть образовано по принципу четности в них числа единиц, как это приведено ниже для n3:,,, разрешенные комбинации,,, запрещенные комбинации Код обнаруживает все одиночные ошибки. В общем случае при необходимости обнаруживать ошибки кратности r минимальное хэммингово расстояние между разрешенными кодовыми комбинациями должно быть по крайней мере на единицу больше r, т. е, d r. (.) min Действительно, в этом случае никакая r-кратная ошибка не в состоянии перевести одну разрешенную кодовую комбинацию в другую. Для исправления одиночной ошибки каждой разрешенной кодовой комбинации необходимо сопоставить подмножество запрещенных кодовых комбинаций. Чтобы эти подмножества не пересекались, хэммингово расстояние между разрешенными кодовыми комбинациями должно быть не менее трех. При n3 за разрешенные комбинации можно, например, принять или. Тогда разрешенной комбинации необходимо поставить в соответствие подмножество запрещенных кодовых комбинаций,,, образующихся в результате возникновения единичной ошибки в комбинации. Подобным же образом разрешенной комбинации необходимо поставить в соответствие подмножество запрещенных кодовых комбинаций,,, образующихся в результате возникновения единичной ошибки в комбинации :

16 Для возможности исправления ошибок кратности s и менее кодовое расстояние должно удовлетворять соотношению d иmin s. (.) Нетрудно убедиться в том, что для исправления всех ошибок кратности s и менее и одновременного обнаружения всех ошибок кратности r (r s) и менее минимальное хеммингово расстояние нужно выбирать из условия d r s. (.3) и.о. min Каждый конкретный корректирующий код не гарантирует исправления любой комбинации ошибок. Коды предназначены для исправления комбинаций ошибок, наиболее вероятных для заданного канала. Если характер и уровень помехи будут отличаться от предполагаемых, эффективность применения кода резко снизится. Применение корректирующего кода не может гарантировать безошибочность приема, но дает возможность повысить вероятность получения на выходе правильного результата..3. Линейные групповые коды Линейные коды всегда можно представить в систематической форме. Систематическими называют такие коды, в которых информационные и корректирующие символы расположены по строго определенной системе и всегда занимают строго определенные места в кодовых комбинациях. Они являются равномерными кодами, т. е. все комбинации кода с заданными корректирующими способностями имеют одинаковую длину. Систематические коды отличаются от сверточных тем, что в них формирование проверочных элементов происходит по n и информационным элементам кодовой комбинации. В канал связи идет n-элементная комбинация, состоящая из n и информационных и n n и проверочных разрядов, тогда как в сверточных кодах проверочные элементы формируются путем сложения двух 3

17 или нескольких информационных элементов, сдвинутых друг от друга на расстояние, равное шагу сложения. Кроме того, в систематических кодах проверочные символы могут образовываться путем различных линейных комбинаций информационных символов. Декодирование систематических кодов также основано на проверке линейных соотношений между символами, стоящими на определенных проверочных позициях. В случае двоичных кодов этот процесс сводится к проверке на четность. Если число единиц четное, то линейная комбинация символов дает нуль, в противном случае единицу. Линейными называются коды, в которых проверочные символы представляют собой линейные комбинации информационных символов. Для двоичных кодов в качестве линейной операции используют сложение по модулю. Напомним его. Правила сложения по модулю : ; ; ;. Последовательность нулей и единиц, принадлежащих данному коду, будем называть кодовым вектором. Свойство линейных кодов: сумма (разность) кодовых векторов линейного кода дает вектор, принадлежащий данному коду. Линейные коды образуют алгебраическую группу по отношению к операции сложения по модулю. В этом смысле они являются групповыми кодами. Свойство групповых кодов: минимальное кодовое расстояние между кодовыми векторами группового кода равно минимальному весу ненулевых кодовых векторов. Вес кодового вектора (кодовой комбинации) равен числу его ненулевых компонентов. Расстояние между двумя кодовыми векторами равно весу вектора, полученного в результате сложения исходных векторов по модулю. Например, кодовое расстояние между двоичными векторами: и равно d 3. Таким образом, W мин d. Группа G это некоторое множество G, где каждой паре элементов a, b сопоставлен некоторый однозначно определенный элемент c (также принадлежащий данному множеству), называемый произведением элементов a и b. При этом (ab)c a(bc) 4

18 .4. Код Хэмминга: идея построения Код Хэмминга представляет собой один из важнейших классов линейных кодов, нашедших широкое применение на практике и имеющих простой и удобный для технической реализации алгоритм обнаружения и исправления одиночной ошибки. Предположим, необходимо исправить одиночную ошибку бинарного кода. Такой код состоит из n и символов, несущих информацию, и n к контрольных (избыточных) символов. Всего символов в коде n n и n к (.4) При передаче кода может быть искажен любой информационный символ. Однако может быть и такой вариант, что ни один из символов не будет искажен, т. е. если всего n символов, то с помощью контрольных символов, n входящих в это число, должно быть создано такое число комбинаций к, чтобы свободно различить n вариант. Поэтому n к должно удовлетворять неравенству n к n. (.5) Тогда, согласно (.4) n nк nи nк nи. (.6) Используя (.5), запишем n nи ( n ), (.7) где n полное число комбинаций кода. Отсюда число информационных символов кода, обнаруживающего и корректирующего одиночную ошибку, n n и. (.8) ( n ) Для вычисления основных параметров кода Хэмминга задается количество и либо информационных символов, либо информационных комбинаций N n. При помощи формул вычисляют n и n к. Соотношения между n, n и и n к для кода Хэмминга представлены в табл... Зная основные параметры корректирующего кода, определяют, какие позиции сигналов будут рабочими, а какие контрольными. Практика показала, что номера контрольных символов удобно выбирать по закону i, где i,,, 3,... натуральный ряд чисел. Номера контрольных символов в этом случае равны,, 4, 6, 3... Затем определяют значения контрольных коэффициентов ( или ), руководствуясь следующим правилом: сумма единиц на проверочных позициях должна быть четной. Если эта сумма четна значение контрольного коэффициента нуль, в противном случае единица. 5

19 Табл.. Соотношения между количеством информационных и контрольных символов в коде Хэмминга n n и n к n n и n к Проверочные позиции выбирают следующим образом. Составляют табличку для ряда натуральных чисел в двоичном коде. Число ее строк n n к n и Первой строке соответствует проверочный коэффициент a, второй а и т. д.: a а а 3 а 4 а 5 а 6 а 7 a 8 a 9 а a Затем выявляют проверочные позиции, выписывая коэффициенты по следующему принципу: в первую проверку входят коэффициенты, которые содержат единицу в младшем разряде (а, а 3, а 5, а 7, а 9, а и т. д.); во вторую во втором разряде (а, а 3, а 6, а 7, a, a и т. д.); в третью в третьем разряде и т. д. Номера проверочных коэффициентов соответствуют номерам проверочных позиций, что позволяет составить общую таблицу проверок (табл..). 6

20 Номера проверочных позиций кода Хэмминга Табл.. проверки Проверочные позиции (П) контрольного символа, 3, 5, 7, 9,, , 3, 6, 7,,, 4, 5, 8, 9,, 4,... 4, 5, 6, 7,, 3, 4, 5,,,, 3,... 8, 9,,,, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 3, 3, 4, 4, 4,... Построение кода Хэмминга Пример.. Построить макет кода Хэмминга и определить значения корректирующих разрядов для кодовой комбинации (n и 4). Табл..3 Позиция символов корректирующего кода без значений контрольных коэффициентов Кодовое слово со значениями контрольных коэффициентов К К 3 4 К Решение: Согласно табл.. минимальное число контрольных символов n к 3, при этом n 7. Контрольный коэффициенты будут расположены на позициях,, 4. Составим макет корректирующего кода и запишем его во вторую колонку табл..3. Пользуясь табл.., определим значения коэффициентов К, К и К 3. Первая проверка: сумма П П 3 П 5 П 7 должна быть четной, а сумма К будет четной при К. Вторая проверка: сумма П П 3 П 6 П 7 должна быть четной, а сумма К будет четной при К. Третья проверка: сумма П 4 П 5 П 6 П 7 должна быть четной, а сумма К 3 будет четной при К 3. Окончательное значение искомой комбинации корректирующего кода записываем в третью колонку табл

21 Обнаружение и исправление ошибок в коде Хэмминга Пример.. Предположим, в канале связи под действием помех произошло искажение и вместо было принято. Решение: Для обнаружения ошибки производят уже знакомые нам проверки на четность. Первая проверка: сумма П П 3 П 5 П 7 четна. В младший разряд номера ошибочной позиции запишем. Вторая проверка: сумма П П 3 П 6 П 7 нечетна. Во второй разряд номера ошибочной позиции запишем. Третья проверка: сумма П 4 П 5 П 6 П 7 нечетна. В третий разряд номера ошибочной позиции запишем. Номер ошибочной позиции 6. Следовательно, символ шестой позиции следует изменить на обратный, и получим правильную кодовую комбинацию. Табл..4 Код, исправляющий одиночную и обнаруживающий двойную ошибки Десятичное представление чисел на позициях 3, 5, 6 и 7 Позиция I Если по изложенным выше правилам строить корректирующий код с обнаружением и исправлением одиночной ошибки для равномерного двоичного кода, то первые 6 кодовых комбинаций будут иметь вид, показанный в табл..4. Такой код может быть использован для построения кода

22 с исправлением одиночной ошибки и обнаружением двойной. Для этого, кроме указанных выше проверок по контрольным позициям, следует провести еще одну проверку на четность для всей строки в целом. Чтобы осуществить такую проверку, следует к каждой строке кода добавить контрольные символы, записанные в дополнительной колонке (табл..4 колонка 8). Тогда в случае одной ошибки проверки по позициям укажут номер ошибочной позиции, а проверка на четность на наличие ошибки. Если проверки позиций укажут на наличие ошибки, а проверка на четность не фиксирует ее, значит в кодовой комбинации две ошибки..5. Групповой код. Принцип формирования образующей матрицы Групповые коды удобно задавать при помощи матриц, размерность которых определяется параметрами кода n и и n к. Число строк матрицы равно n и, число столбцов n n и n к : C n и n к (.7) a a a n и a a a n и a a a n и n и n и P P P P P P n и P P P n к n и n к Коды, порождаемые этими матрицами, известны как (n, k) коды, где k n и, а соответствующие им матрицы называют производящими, порождающими, образующими. Производящая матрица С может быть представлена при помощи двух матриц И и П (информационной и проверочной). Число столбцов матрицы П равно n к, число столбцов матрицы И n и. При соблюдении всех этих условий любую производящую матрицу группового кода можно привести к следующему виду: a a a 3 a n и P P P nи P P P С P P P 3 P P P 3 P P P (n n и (n n 3(n n и и (n n называемому левой канонической, или приведенной ступенчатой формой производящей матрицы. Для кодов с d производящая матрица С имеет вид и ) ) ) ), 9

23 С Во всех комбинациях кода, построенного при помощи такой матрицы, четное число единиц. Известны формулы, по которым определяется связь между n, n и и n к. В частности, если известно количество информационных разрядов n и, то n к вычисляется по формуле: n к [ log { ( n и ) [ log ( n и ) ]}]. (.8) Квадратные скобки означают округление полученного числа до целого. Если известно количество разрядов в коде, т. е. n, то количество корректирующих разрядов равно: [ log ( n ) ]. (.9) n к Пример.3. Построить матрицу для группового кода, способного исправлять одиночную ошибку при передаче 6 символов первичного алфавита. Решение:. Так как число информационных разрядов кода n и 4 (6 4 n и), то число строк производящей матрицы С должно быть равно 4.. Число столбцов матрицы С равно n; n длина кода, которая равна n и n к, а число корректирующих разрядов для кодов с d 3, n к log { 5 [ log 5] } log 8 3. Следовательно, число столбцов, содержащих контрольные разряды, должно быть равно 3, а общее число столбцов матрицы С равно n и n к Так как вес каждой строки проверочной матрицы П должен быть WП d WИ, то в качестве строк проверочной матрицы могут быть выбраны трехзначные двоичные комбинации с числом единиц, большим или равным двум (d 3, a W И, потому что матрицу информационных разрядов удобно выбирать единичную): ; ; ;. 4. Окончательный вид производящей матрицы: С или С И П

24 или 3 С Как видно из примера, основным требованиям могут удовлетворять несколько матриц. Выбор той или иной матрицы из числа матриц, возможных для данных n и, n к и d, определяется по дополнительным требованиям: минимум корректирующих разрядов или максимальная простота аппаратуры. Пример.4. Определить вид производящей матрицы группового кода, оптимального с точки зрения минимума корректирующих разрядов при максимуме информационных разрядов, для использования его в системе телемеханики, проектируемой для передачи не менее различных сообщений. Решение:., n, И n и согласно (.8), при n и и d 3, ( ) ( ) [ ] { } [ ]. 4 log log n к. Проверим условие оптимальности кода. Условие оптимальности принимает вид 5. 5 ; n; 5 n n и 3. Вес каждой комбинации проверочной матрицы П. W, d W п п > 4. Так как число строк производящей матрицы С равно n и, то в качестве проверочных используются все четырехзначные двоичные комбинации весом. W 5. Окончательный вид матрицы С: С

25 При четырех избыточных разрядах невозможно построить код, исправляющий одиночную ошибку, если у него будет число информационных разрядов больше, так как не существует больше четырехзначных двоичных комбинаций, удовлетворяющих условию Wn d Пример.5. Источник сообщений рассчитан на передачу различных -разрядных комбинаций. Одним из главных требований технического задания (ТЗ) на разработку приемного устройства является максимальная простота дешифратора и возможность коррекции одиночных ошибок в каждой передаваемой комбинации. Построить образующую матрицу группового кода, удовлетворяющую требованиям ТЗ. Решение:. Задана длина кода n и максимальное расстояние между кодами d 3. Согласно (.9), n к [ log( ) ] 4.. Минимальная простота дешифратора достигается при минимальном количестве сумматоров по модулю в декодере, что возможно при минимальном весе комбинаций избыточной матрицы П. Для этого в качестве векторов, составляющих строки матрицы П, выбираем четырехзначные двоичные комбинации весом W n, 3, 4 и используем те комбинации, в которых содержится меньшее число единиц, т. е.(,,,,, ). 3. Искомая матрица имеет вид С. Метод кодирования при помощи образующей матрицы Метод кодирования при помощи образующих матриц может быть представлен следующим образом. Строки образующей матрицы С представляют собой n комбинаций искомого кода. Остальные комбинации кода строятся при помощи образующей матрицы по следующему правилу: корректирующие символы, предназначенные для обнаружения или исправления ошибки в информационной части кода, находятся путем суммирования по модулю тех строк матрицы П, номера которых совпадают с номерами разрядов, содержащих единицы в кодовом

26 векторе, представляющем информационную часть кода. Полученную комбинацию приписывают справа к информационной части кода и получают вектор полного корректирующего кода. Аналогичную процедуру проделывают с каждой последующей информационной кодовой комбинацией, пока не будет построен корректирующий код для передачи всех символов первичного алфавита. Алгоритм образования проверочных символов по известной информационной части кода может быть записан следующим образом: P P P n P k P P α α n k P α P... P α α n k L P α n L P и n и L P n α и n n α k и n и ; α ; n и (.) или P P α P α L P ij j j nij α n и n и i P α ij i Пример.6. Построить групповой код по заданной производящей матрице: C И П Решение:. Число строк матрицы n и 4. Следовательно, число возможных информационных комбинаций N nи 4 6. ) 5) 9) 3) ) 6) ) 4) 3) 7) ) 5) 4) 8) ) 6). Находим последовательно корректирующие разряды всех информационных комбинаций путем суммирования по модулю тех строк матрицы П, номера которых совпадают с номерами разрядов, содержащих единицы в информационной части кода. 3

27 ) ) 3) 5) 9) 4 3. Окончательно комбинации корректирующего кода имеют вид: ) 5) 9) 3) ) 6) ) 4) 3) 7) ) 5) 4) 8) ) 6) Коррекция ошибок в групповых кодах Коррекции ошибок в линейных кодах связаны с выполнением проверок, идея которых в общем виде может быть представлена следующим образом: n i P P *a S, j,,...,n. (.) i ij i к i Для каждой конкретной матрицы существует своя, одна-единственная система проверок. Проверки производятся по следующему правилу: в первую проверку вместе с проверочным разрядом Р входят информационные разряды, соответствующие единицам первого столбца проверочной матрицы П, во вторую второй проверочный разряд Р и информационные разряды, соответствующие единицам второго столбца проверочной матрицы, и т. д. Число проверок равно числу проверочных разрядов корректирующего кода n к. В результате проверок образуется проверочный вектор S, S,..., S n синдром. Если число единиц проверяемых разрядов четно, то значение соответствующего разряда синдрома равно нулю. Если вес синдрома равен нулю, то принятая комбинация считается безошибочной. Если хотя бы один разряд проверочного вектора содержит

28 5 единицу, то принятая комбинация содержит ошибку. Исправление ошибки производится по виду синдрома, так как каждому ошибочному разряду соответствует один-единственный проверочный вектор. Вид синдрома для каждой конкретной матрицы может быть определен при помощи контрольной матрицы Н, которая представляет собой транспонированную матрицу П, дополненную единичной матрицей I, число столбцов которой равно числу проверочных разрядов кода. Первый столбец матрицы становится первой строкой транспонированной матрицы, второй столбец второй строкой и т. д. n к П Т I H (.) Столбцы такой матрицы представляют собой значение синдрома для разряда, соответствующего номеру столбца матрицы H. Пример.7. Групповой код построен по матрице С Показать процесс исправления ошибки в произвольном разряде корректирующего кода, информационная часть которого представляет собой четырехразрядные комбинации натурального двоичного кода. Решение:. Производящая матрица С в виде информационной матрицы И и проверочной матрицы П может быть представлена следующим образом: С И П Согласно принципу построения системы проверки, система проверок для кодов, построенных по матрице С, будет иметь вид S a a a P S a a a P S a a a P. Чтобы знать, какая комбинация значений разрядов синдрома S, S, S 3 будет соответствовать ошибке в определенном разряде принятой комбинации, строим контрольную матрицу Н, cтроками которой являются столбцы матрицы П, дополненные единичной транспонированной матрицей I n, размерность которой определяется числом избыточных разрядов кода, т. е. в нашем случае равна 3. Таким образом,

29 H a a a 3 a 4 P P P 3 П Т Если разряды синдрома соответствуют первому столбцу матрицы Н, т. е. S j, S, S 3, то ошибки в первом разряде принятой комбинации, если синдром имеет вид, что соответствует второму столбцу матрицы Н, то ошибка во втором разряде, синдром соответствует ошибке в третьем проверочном разряде кода и т. д. 3. Так как информационная часть кода обычно представляет собой натуральный двоичный код разрядности n и то в качестве примера проверки корректирующих свойств кода используем информационные комбинации, соответствующие цифрам 3, 4 и 5 в четырехзначном двоичном коде 3 :, и. Значение корректирующих разрядов находим путем суммирования строк матрицы П, соответствующих единицам в информационных комбинациях: P ; P ; P. Полные комбинации кода имеют вид соответственно: ; ;. 4. Пусть сбои произошли в первом разряде первой комбинации, в четвертом разряде второй и в последнем разряде третьей, т. е. приняты они в таком виде: ; ;. Находим проверочные векторы согласно системе проверок. Для первой комбинации Р', т. е. Р ; Р ; Р 3 : P a a a ; P a a 3 3 a 4 4 P3 a a a 4. Синдром показывает, что в первом разряде символ следует заменить на обратный. I n ; 3 Старшинство разрядов в данном случае считается слева направо, согласно порядку поступления двоичных сигналов на вход декодера. 6

30 Для второй комбинации ; ;. Синдром ошибка в четвертом разряде. Для третьей комбинации ; ;. Синдром ошибка в седьмом разряде..6. Циклические коды. Идея построения циклических кодов Циклические коды получили такое название потому, что в них часть или все комбинации могут быть получены путем циклического сдвига одной или нескольких комбинаций кода. Циклический сдвиг осуществляется справа налево, причем крайний левый символ каждый раз переносится в конец комбинации. Все циклические коды относятся к линейным кодам. Кроме того, циклические коды относятся к числу блочных кодов. Каждый блок кодируется самостоятельно. Идея построения циклических кодов базируется на использовании неприводимых в поле 4 двоичных чисел многочленов. Неприводимыми называются многочлены, которые могут быть представлены в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из того же поля. Они так же, как простые числа, не могут быть представлены произведением других чисел. Иными словами, неприводимые многочлены делятся без остатка только на себя или на единицу. Идея коррекции ошибок в циклических кодах базируется на том, что разрешенные комбинации кода делятся без остатка на некоторый образующий многочлен, который выбирается из числа неприводимых многочленов. Для обнаружения ошибки при делении на выбранный (или построенный по специальным правилам) многочлен надо, чтобы все комбинации кода не делились ни на какой другой многочлен, а для этого необходимо, чтобы выбранный многочлен не разлагался на другие многочлены (как, например, простые числа натурального ряда не разлагаются на сомножители), т. е. был простым неприводимым многочленом. С другой стороны, такие многочлены следует искать среди нечетных многочленов, т. е. среди многочленов, 4 Множество элементов принадлежит к одному полю, если над ними можно производить операции сложения и умножения по правилам данного поля, при этом сложение и умножение должны подчиняться дистрибутивному закону: (а b) с ас bc для всех а, b и с. 7

31 содержащих нечетное число единиц, так как из всех четных многочленов легко выделить двучлен (), т. е. четные многочлены состоят минимум из двух сомножителей и не могут служить однозначным критерием при определении ошибочной комбинации. Неприводимые многочлены в теории циклических кодов играют роль образующих (генераторных, производящих) многочленов, так как, если заданные кодовые комбинации умножить на выбранный неприводимый многочлен, то получим циклический код, корректирующие способности которого определяются неприводимым многочленом. Пусть требуется закодировать одну из комбинаций четырехзначного двоичного кода. Предположим также, что эта комбинация И( ) 3. Пока, не обосновывая свой выбор, берем из таблицы неприводимых многочленов в качестве образующего многочлена К( ) 3. Затем умножаем И() на одночлен той же степени, что и образующий многочлен. От умножения многочлена на одночлен степени n степень каждого члена многочлена повысится на n, что эквивалентно приписыванию n нулей со стороны младших разрядов многочлена. Так как степень выбранного неприводимого многочлена равна трем, то исходная информационная комбинация умножается на одночлен третьей степени n И( ) ( ). Осуществляется эта процедура для того, чтобы впоследствии вместо этих нулей можно было записать корректирующие разряды. Значение корректирующих разрядов находят в результате деления И() n на К(): 8

32 В результате деления 3 ( ) 3 в общем виде 3 ( ) И Х ( ) ( ) n И R Q( ), (.3) где Q() частное, а R() остаток от деления И() на (). Так как в двоичной арифметике, а значит и, то можно при сложении двоичных чисел переносить слагаемые из одной части равенства в другую без изменения знака (если это удобно), поэтому равенство вида а b можно записать и как аb, и как а b. Все три равенства в данном случае означают, что либо и а и b равны, либо и а и b равны, т. е. имеют одинаковую четность. На основании изложенного выражение (.3) можно записать как F ( ) ( ) n ( ) И( ) Q( ) ( ) R( ) после переноса R() в левую часть равенства (.4) что для нашего примера даст или F (.4) ( ) Q( ) ( ) И( ) n R( ), (.5) ( ) ( )( ) ( ), F ( ). F Многочлен и есть искомая комбинация, где информационная часть, а контрольные символы. Заметим, что искомую комбинацию мы получили бы как в результате умножения одной из комбинаций четырехзначного двоичного кода на все сочетания (в данном случае ) на образующий многочлен, так и умножением заданной комбинации на одночлен, имеющий ту же степень, что и выбранный образующий многочлен (в нашем случае таким образом была получена комбинация ) с последующим добавлением к полученному 9

33 3 произведению остатка от деления этого произведения на образующий многочлен (остаток имел вид ). Шифраторы циклических кодов, в том или ином виде, построены по принципу умножения двоичных многочленов, так как даже если кодовые комбинации получаются в результате сложения соседних комбинаций по модулю, то это, как мы увидим ниже, эквивалентно умножению первой комбинации на двучлен. Итак, комбинации циклических кодов можно представлять в виде многочленов, у которых показатели степени соответствуют номерам разрядов, коэффициенты при равны нулю или единице в зависимости от того, стоит ли нуль или единица в разряде кодовой комбинации, которую представляет данный многочлен. Например,. ; ; ; Циклический сдвиг кодовой комбинации аналогичен умножению соответствующего многочлена на : ( ) ( ) ( ). ; ; Если степень многочлена достигает разрядности кода, то происходит «перенос» в нулевую степень при, и цикл повторяется. В шифраторах циклических кодов эта операция осуществляется путем соединения выхода ячейки старшего разряда со входом ячейки нулевого разряда. Сложение по модулю любых двух соседних комбинаций циклического кода эквивалентно операции умножения многочлена, соответствующего комбинации первого слагаемого, на многочлен, если приведение подобных членов осуществляется по модулю : Таким образом, существует принципиальная возможность получения любой кодовой комбинации циклического кода путем умножения соответствующим образом подобранного образующего многочлена на некоторый другой многочлен.

34 Принцип формирования опознавателей ошибок в циклических кодах Однако мало построить циклический код. Надо уметь выделить из него возможные ошибочные разряды, т. е. ввести некоторые опознаватели ошибок, которые выделяли бы ошибочный блок из всех других. Так как циклические коды блочные, то каждый блок должен иметь свой опознаватель. И тут решающую роль играют свойства образующего многочлена К(). Методика построения циклического кода такова, что образующий многочлен принимает участие в образовании каждой кодовой комбинации, поэтому любой многочлен циклического кода делится на образующий без остатка. Но без остатка делятся только те многочлены, которые принадлежат данному коду, т. е. образующий многочлен позволяет выбрать разрешенные комбинации из всех возможных. Если же при делении циклического кода на образующий многочлен будет получен остаток, то это значит, что в коде произошла ошибка или эта комбинация какого-то другого кода (запрещенная комбинация), что для декодирующего устройства не имеет принципиальной разницы. По остатку и обнаруживается наличие запрещенной комбинации, т. е. обнаруживается ошибка. Остатки от деления многочленов являются опознавателями ошибок циклических кодов. Остатки от деления единицы с нулями на образующий многочлен используют для построения циклических кодов возможность этого видна из выражения (.5). При делении единицы с нулями на образующий многочлен следует помнить, что длина остатка должна быть не меньше числа контрольных разрядов, поэтому в случае нехватки разрядов в остатке к остатку приписывают справа необходимое число нулей, как это показано на следующем примере. Пример.8. Получить остатки от деления единицы на образующий многочлен. Решение: 3

35 Остатки от деления: ) 4) 7) ) 5) 8) 3) 6) 9) Начиная с восьмого, остатки будут повторяться. Построение циклических кодов с использованием образующих матриц Остатки от деления используют для построения образующих матриц, которые, благодаря наглядности и удобству получения производных комбинаций, получили широкое распространение для построения циклических кодов. Построение образующей матрицы сводится к составлению единичной транспонированной и дополнительной матрицы, элементы которой представляют собой остатки от деления единицы с нулями на образующий многочлен К(). Элементы дополнительной матрицы приписываются справа от единичной транспонированной матрицы. Однако не все остатки от деления единицы с нулями на образующий многочлен могут быть использованы в качестве элементов дополнительной матрицы, а лишь те из них, вес которых W d, где d минимальное кодовое расстояние. Длина остатков должна быть не менее количества контрольных разрядов, а число остатков должно равняться числу информационных разрядов. Строки образующей матрицы представляют собой первые комбинации искомого кода. Остальные комбинации кода получаются в результате суммирования по модулю всевозможных сочетаний строк образующей матрицы. Пример.9. Используя метод образующих матриц, построить циклический код, исправляющий одинарные ошибки при передаче комбинаций четырехзначного двоичного кода на все сочетания (кроме нулевой комбинации). Решение:. Код, обнаруживающий двойные или исправляющий одинарные ошибки, должен обеспечивать между комбинациями минимальное кодовое расстояние d 3, следовательно, число разрядов дополнительной матрицы должно быть n к 3, а каждый остаток должен содержать три разряда.. Из приложения выбираем многочлен, степень которого больше или равна 3, число ненулевых членов также должно быть больше или равно 3. Выбираем многочлен Х 3 Х. 3. Число строк, столбцов транспонированной матрицы равно n и 4, так как исходный код четырехразрядный. 4. Число единиц в каждом остатке (вес остатка) от деления единицы с нулями на образующий многочлен должно быть W d 3. 3

36 33 5. Соблюдая условия и 4, находим остатки от деления единицы с нулями на образующей многочлен: Остатки от деления: ) ) 3) 4) 6. Строим образующую матрицу:,4 7 С Четыре строки матрицы образуют кодовые комбинации циклического кода: Путем суммирования по модулю всевозможных сочетаний строк образующей матрицы находим остальные комбинации искомого кода (первые четыре комбинации строки образующей матрицы):

37 Описанный выше метод построения образующих матриц не являетcя единственным. Построение циклических кодов умножением элементов единичной матрицы на образующий многочлен Образующая матрица может быть построена в результате непосредственного умножения элементов единичной матрицы на образующий многочлен. Это часто бывает удобнее, чем нахождение остатков от деления. Полученные коды ничем не отличаются от кодов, построенных по образующим матрицам, в которых дополнительная матрица состоит из остатков от деления единицы с нулями на образующий многочлен. Пример.. При помощи образующей матрицы, полученной в результате умножения единичной матрицы на образующий многочлен 3, построить циклический код, исправляющий одиночную ошибку в любом из четырех информационных разрядов. Решение:. Так как в искомом коде n и 4, то единичная матрица содержит 4 строки.. Строим образующую матрицу: x x x x ( ) ( ) ( 3 ) ( ) 4 С 7,4 Строки образующей матрицы являются первыми четырьмя комбинациями искомого кода. 3. Находим остальные комбинации кода путем суммирования по модулю строк образующей матрицы, используя п. 7 (стр. 33): Х 5 Х 6 Х 7 Х 8 Х 9 Х Х Х Х 3 Х 4 Х 5 34

38 Сгруппируем полученные коды ) 6) ) ) 7) ) 3) 8) 3) 4) 9) 4) 5) ) 5). Построение циклических кодов непосредственным умножением информации на образующий многочлен Циклический код может быть также получен путем непосредственного умножения информационных комбинаций на образующий многочлен. Пример.. Методом умножения по модулю образующего многочлена на многочлены четырехзначного двоичного кода на все сочетания построить циклический код. Решение: ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) ) ) 3) 4) 5) Сгруппировав 4 из 5 полученных комбинаций в колонки I и II, легко заметить циклический сдвиг комбинации: ) 6) ) ) 7) ) 3) 8) 3) 4) 9) 4) 5) ) 5) Как видим, кодовые комбинации...5 ничем не отличаются от кодовых комбинаций, полученных в примере.. Обнаружение и исправление ошибок в циклических кодах Ошибки в циклических кодах обнаруживаются и исправляются при помощи остатков от деления полученной комбинации на образующий многочлен. Остатки от деления являются опознавателями ошибок, но не указывают непосредственно на место ошибки в циклическом коде. Идея исправления ошибок базируется на том, что ошибочная комбинация после определенного числа циклических сдвигов «подгоняется» под остаток таким образом, что в сумме с остатком она дает исправленную комбинацию. Остаток при этом представляет собой не что иное, как разницу между искаженными и правильными символами, единицы в остатке стоят на местах искаженных разрядов в «подогнанной» циклическими сдвигами комбинации. Подгоняют же искаженную комбинацию до тех пор, пока число единиц в 35

Лекция 8. Помехоустойчивое кодирование. Технологии обработки информации, 2015

Лекция 8. Помехоустойчивое кодирование. Технологии обработки информации, 2015 Лекция 8. Помехоустойчивое кодирование Технологии обработки информации, 2015 ASCII таблица Использоваться таблица ASCII, где ставящей в соответствие каждой букве алфавита определенный шестнадцатеричный

Подробнее

Федеральное агентство связи. Методическое пособие к лабораторной работе Исследование корректирующих свойств циклического кода

Федеральное агентство связи. Методическое пособие к лабораторной работе Исследование корректирующих свойств циклического кода Федеральное агентство связи Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики Кафедра МСИБ Методическое

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

ГЛАВА 6. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ПО ДИСКРЕТНОМУ КАНАЛУ С ПОМЕХАМИ 6.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ШЕННОНА О КОДИРОВАНИИ ДЛЯ КАНАЛА С ПОМЕХАМИ

ГЛАВА 6. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ПО ДИСКРЕТНОМУ КАНАЛУ С ПОМЕХАМИ 6.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ШЕННОНА О КОДИРОВАНИИ ДЛЯ КАНАЛА С ПОМЕХАМИ ГЛАВА 6. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ПО ДИСКРЕТНОМУ КАНАЛУ С ПОМЕХАМИ 6.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ШЕННОНА О КОДИРОВАНИИ ДЛЯ КАНАЛА С ПОМЕХАМИ Теория помехоустойчивого кодирования базируется на результатах

Подробнее

Домашнее задание по курсу «Введение в теорию кодирования»

Домашнее задание по курсу «Введение в теорию кодирования» Домашнее задание по курсу «Введение в теорию кодирования» http://eo-chaos.arod.ru/ Задача 1 (1.1). Определить: 1) число всех элементов -го слоя куба B ; B 2) B число всех вершин куба B. 1) B = C ; 2) Число

Подробнее

1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования

1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования 1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования 1.1. Показать, что множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) является группой по операциям: а) обычного сложения

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 5 В.Е. Алексеев 2014 Глава 9. Кодирование Кодирование преобразование информации, выполняемое с разнообразными целями: экономное представление (сжатие данных), защита от помех

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 Способы задания и основные характеристики. сверточных кодов.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 Способы задания и основные характеристики. сверточных кодов. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Способы задания и основные характеристики сверточных кодов Сверточные коды широко применяются в самых различных областях техники передачи и хранения информации. Наиболее наглядными

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

Надежностьсистеми устройств

Надежностьсистеми устройств Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Кафедра компьютерных систем и программных технологий Надежностьсистеми устройств Моисеев Михаил Юрьевич Информационное резервирование Линейные

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ (Ч4. Кодирование вероятности) 4.1.

СБОРНИК ЗАДАЧ (Ч4. Кодирование вероятности) 4.1. СБОРНИК ЗАДАЧ (Ч4. Кодирование вероятности) 4.1. Расшифровать криптограмму, зашифрованную кодами Цезаря: ЕИФИРРЛМ ФЕИХОЮМ ЗИРЯ НОСРЛОФВ Н ЕИЫИУЦ РСКСЕЮИ ХЦЫНЛ ФХСВОЛ ЕЮФСНС Е ВФОСП РИДИ НГКГССЯ РИ ТОЮОЛ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

Коды с минимальной избыточностью

Коды с минимальной избыточностью Коды с минимальной избыточностью При выборе схемы кодирования естественно учитывать экономичность, т.е. средние затраты времени на передачу и прием сообщений. Предположим, что задан алфавит A {a,, ar},

Подробнее

Рис. 1. Двухуровневый каскадный код

Рис. 1. Двухуровневый каскадный код Лекция 9. Каскадные коды. Каскадные коды были введены Форни в качестве линейных блочных помехоустойчивых кодов с возможной большой длиной блока n и весьма высокой корректирующей способностью. Эти цели

Подробнее

КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ. Информационная безопасность

КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ. Информационная безопасность КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ Информационная безопасность Кодирование vs Шифрование Кодирование и шифрование информации достаточно близкие по смыслу термины. Тем не менее, они имеют существенные отличия. КоДиРоВаНие

Подробнее

6.6. ПОСТРОЕНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ

6.6. ПОСТРОЕНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ 6.6. ПОСТРОЕНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ Общие понятия и определения. Любой групповой код (n,k)может быть записан в виде матрицы, включающей k линейно независимых строк по n символов и, наоборот, любая совокупность

Подробнее

Лабораторная работа 4 Исследование сверточного кода

Лабораторная работа 4 Исследование сверточного кода Лабораторная работа 4 Исследование сверточного кода Цель работы: получение навыков построения сверточного кодера. Содержание: Краткие теоретические сведения... 1 Сверточные кодеры... 1 Основные параметры

Подробнее

Декодирование кода Голея ДЗ от Иванова часть вторая

Декодирование кода Голея ДЗ от Иванова часть вторая Декодирование кода Голея ДЗ от Иванова часть вторая Полиномы, многочлены и биты В теории кодирования принято оперировать многочленами (полиномами). В домашнем задании используется двоичный код Голея, поэтому

Подробнее

Основы теории передачи информации

Основы теории передачи информации Министерство образования и науки Украины Запорожский национальный технический университет Радиоприборостроительный факультет Основы теории передачи информации Методические указания к лабораторным (практическим)

Подробнее

Теория информации. . Обозначим c x кодовое слова соответствующее x, l x длина этого слова, l i. } на множество {0,1}

Теория информации. . Обозначим c x кодовое слова соответствующее x, l x длина этого слова, l i. } на множество {0,1} Теория информации Лекция 5 Символьные коды В данной лекции мы рассмотрим символьные коды переменной длины. Эти коды кодируют за раз один символ, в отличие от блочных кодов рассмотренных до этого, которые

Подробнее

Лекции 3, 4. 9 сентября 2016 г.

Лекции 3, 4. 9 сентября 2016 г. Лекции 3, 4 9 сентября 2016 г. Алфавитный Статистический Опр. 8: Количество информации по Хартли (Хартлиевская мера информации), содержащееся в в последовательности из n символов из алфавита A мощности

Подробнее

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ОСНОВЫ КОДИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ»

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ОСНОВЫ КОДИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ» Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский государственный профессионально-педагогический

Подробнее

a x j a j Пример: 28=1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0

a x j a j Пример: 28=1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 Лекция 2 Цифровые методы представления информации. Цифровые коды. Двоичная и шестнадцатиричная системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Двоичная арифметика. Формы представления

Подробнее

Системы счисления Система счисления способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр).

Системы счисления Система счисления способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр). Системы счисления Система счисления способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр). В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления, в которых значение цифры

Подробнее

Надежность систем и устройств

Надежность систем и устройств Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Кафедра компьютерных систем и программных технологий Надежность систем и устройств Моисеев Михаил Юрьевич Коды Рида-Соломона Сверточные коды

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Кодирование. В.Е. Алексеев

Кодирование. В.Е. Алексеев http://vmcozet/ Кодирование ВЕ Алексеев Задача оптимального кодирования Побуквенное кодирование Пусть A a a a } и B b b b } два алфавита Побуквенное кодирование состоит в том что в кодируемом тексте слове

Подробнее

Теория кодирования. Практика. Небаев Игорь Алексеевич к.т.н.

Теория кодирования. Практика. Небаев Игорь Алексеевич к.т.н. Теория кодирования /43 Теория кодирования Практика Небаев Игорь Алексеевич к.т.н. inebaev@spbgut.ru Кафедра Сетей связи и передачи данных СПб ГУТ им. проф. М. А. Бонч-Бруевича 204 Теория кодирования 2/43

Подробнее

Глава V. Теория кодирования.

Глава V. Теория кодирования. 5 г. Павлов И.С. Глава V. Теория кодирования. При передаче данных часто возникает необходимость кодирования пересылаемой информации. Процесс пересылки информации происходит по следующей схеме: Возникают

Подробнее

0.37( .037). 0.38( .038).

0.37( .037). 0.38( .038). 3. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ КОДИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ Прежде, чем формулировать основные задачи кодирования информации, рассмотрим фазы процесса преобразования информации (сообщения) в сигнал (ППИС) на передающей

Подробнее

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования ''Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники'' Кафедра сетей и устройств телекоммуникаций ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ

Подробнее

Методические указания к выполнению. Методы и средства защиты компьютерной информации

Методические указания к выполнению. Методы и средства защиты компьютерной информации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра информационной безопасности Баранова Е.К. Методические указания к выполнению ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Методы и средства защиты компьютерной

Подробнее

Лабораторная работа 3

Лабораторная работа 3 Помехоустойчивый код Хэмминга Лабораторная работа 3 Помехоустойчивый код Хэмминга. Цель работы Изучить принципы помехоустойчивого кодирования, получить навыки моделирования помехоустойчивых кодов с помощью

Подробнее

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов Курс: Прикладная алгебра, 3-й поток Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов В тексте все вычисления проводятся в двоичной арифметике. Задача помехоустойчивого кодирования

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей:

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: G =. Найти его проверочную матрицу H. Определить основные метрические параметры

Подробнее

Оглавление Краткие теоретические сведения Двоичная система счисления Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления...

Оглавление Краткие теоретические сведения Двоичная система счисления Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления... Оглавление Краткие теоретические сведения... 3 Двоичная система счисления... 5 Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления... 5 Перевод числа из одной позиционной системы счисления в другую... 6

Подробнее

Н. И. Сорока, Г. А. Кривинченко ТЕЛЕМЕХАНИКА

Н. И. Сорока, Г. А. Кривинченко ТЕЛЕМЕХАНИКА Н. И. Сорока, Г. А. Кривинченко ТЕЛЕМЕХАНИКА Конспект лекций для студентов специальности - 7 «Информационные технологии и управление в технических системах» всех форм обучения Часть Коды и кодирование

Подробнее

Лекция 4. Характеристики дискретного источника и дискретного канала без шумов

Лекция 4. Характеристики дискретного источника и дискретного канала без шумов Лекция 4 Характеристики дискретного источника и дискретного канала без шумов Энтропия и производительность дискретного источника При построении каналов передачи сообщений основное значение имеет не количество

Подробнее

Об исследовании реальной корректирующей способности линейных кодов

Об исследовании реальной корректирующей способности линейных кодов Об исследовании реальной корректирующей способности линейных кодов С.В. Каменский, Д.Н. Катасонов Novosibirs State Technical University (NSTU) Аннотация: В статье осуществлены исслдования реальной корректирующей

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Подробнее

Пример решения: данному уравнению. Здесь

Пример решения: данному уравнению. Здесь Задание : Постройте таблицу истинности логической функции F A B C F Вычислите десятичный номер функции по формуле: Значения функции удовлетворяют системе линейных уравнений в поле, эквивалентной уравнению

Подробнее

( x) ( ) { ( )} c. (4.6) lmin . (4.7) . (4.8) i i. max

( x) ( ) { ( )} c. (4.6) lmin . (4.7) . (4.8) i i. max 4. ЭФФЕКТИВНОЕ КОДИРОВАНИЕ 4.. Объем сигнала и емкость канала связи, условия их согласования В разделе обсуждены вопросы согласования дифференциальных характеристик источника дискретной информации и предоставленного

Подробнее

Задание 8. Коды БЧХ. Формулировка задания 3. Оформление задания 4

Задание 8. Коды БЧХ. Формулировка задания 3. Оформление задания 4 ВМК МГУ Практикум 317 группы, весна 2015 Задание 8. Коды БЧХ Начало выполнения задания: 7 мая 2015 Срок сдачи: 20 мая 2015 (среда), 23:59. Среда для выполнения задания PYTHON. Содержание Необходимая теория

Подробнее

ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ И КОДИРОВАНИЯ Программа дисциплины

ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ И КОДИРОВАНИЯ Программа дисциплины МИНОБРНАУКИ РОССИИ Троицкий филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра математики

Подробнее

Вопросы для подготовки к защите лабораторных работ по дисциплине ПДС, учебные группы СК -91, 92, 94

Вопросы для подготовки к защите лабораторных работ по дисциплине ПДС, учебные группы СК -91, 92, 94 Вопросы для подготовки к защите лабораторных работ по дисциплине ПДС, учебные группы СК -91, 92, 94 Вопросы к лабораторной работе «Исследование схемы ФАПЧ» значащего момента, значащей позиции, значащего

Подробнее

РТС-1302_ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ПЕРСПЕКТИВНЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ.

РТС-1302_ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ПЕРСПЕКТИВНЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ. РТС-1302_ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ПЕРСПЕКТИВНЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ. Кужелев Юрий Иванович студент 5 курса, группа - 129-1 Колединцева Марина Алексеевна студентка 2 курса группа - 122-2 Цель работы:

Подробнее

Федеральное агентство по образованию ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум» Системы счисления

Федеральное агентство по образованию ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум» Системы счисления Федеральное агентство по образованию ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум» Системы счисления Учебное пособие по дисциплинам «Информатика» и «Информационные технологии в профессиональной деятельности»

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2016 СОДЕРЖАНИЕ 1. Делимость. 2. Чёт нечет 3. Множества. 4. Забавные задачи. 5. Комбинаторика

Подробнее

n q 1 a 1 a a q n A = n n q n m s 2

n q 1 a 1 a a q n A = n n q n m s 2 Лекция 5 Основы представления информации в цифровых автоматах Позиционные системы счисления Системой счисления называется совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Любая предназначенная

Подробнее

Тема 7. Представление информации в ЭВМ.

Тема 7. Представление информации в ЭВМ. Тема 7. Представление информации в ЭВМ.. Единицы информации. Бит - (bit-biry digit - двоичный разряд) наименьшая единица информации - количество её, необходимое для различения двух равновероятных событий.

Подробнее

КОДИРОВАНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

КОДИРОВАНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ КОДИРОВАНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ 1 Понятие об основных системах счисления Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов,

Подробнее

КОДИРОВАНИЕ. Код сообщений. Код сообщения на выходе. Источник сообщений. Канал связи. Сообщение на выходе. Источник помех. Лекция 10.

КОДИРОВАНИЕ. Код сообщений. Код сообщения на выходе. Источник сообщений. Канал связи. Сообщение на выходе. Источник помех. Лекция 10. КОДИРОВАНИЕ Источник сообщений Код сообщений Канал связи Код сообщения на выходе Сообщение на выходе Источник помех Лекция 0. Кодирование В этой схеме источник сообщений хочет передать по каналу связи

Подробнее

Задание и методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория электрической связи» «Исследование системы передачи дискретных сообщений»

Задание и методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория электрической связи» «Исследование системы передачи дискретных сообщений» Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики кафедра ТОРС Задание и методические указания к курсовой

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КАНАЛА ПЕРЕДАЧИ ИН- ФОРМАЦИИ

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КАНАЛА ПЕРЕДАЧИ ИН- ФОРМАЦИИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Связь» А. В. Волынская ПРОЕКТИРОВАНИЕ КАНАЛА ПЕРЕДАЧИ ИН- ФОРМАЦИИ Екатеринбург 2010 Федеральное

Подробнее

План семинарских занятий по курсу «Алгебраическая теория кодирования» (8 семестр)

План семинарских занятий по курсу «Алгебраическая теория кодирования» (8 семестр) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н. Э. БАУМАНА Факультет «Информатика и системы управления» Кафедра ИУ8 «Информационная безопасность» Жуков Д. А. План семинарских занятий по курсу

Подробнее

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ БАЛКА. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ БАЛКА. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ МНОГОПРОЛЕТНАЯ

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

2.5 Алгебраические структуры

2.5 Алгебраические структуры 5 Алгебраические структуры 6 Определение Бинарная операция на множестве S есть отображение S S в S То есть, является правилом, которое каждой упорядоченной паре элементов из S ставит в соответствие некоторый

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Практическая работа. Формы представления числовой информации на компьютере.

Практическая работа. Формы представления числовой информации на компьютере. Практическая работа. Формы представления числовой информации на компьютере. Часть I. Системы счисления. Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ТЕХНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ЦИФРОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ТЕХНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ЦИФРОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ УДК 63 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ТЕХНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ЦИФРОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ КН Бирюков, ВВ Гундарев, ОВ Ланкин, АА Малышев, ВВ Назаров, КЮ Рюмшин Рассматриваются особенности решения систем линейных

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ (Алгебраическая теория блоковых кодов)»

Подробнее

Л.Ю. Артамонов, А.Н. Гамова СГУ, г. Саратов

Л.Ю. Артамонов, А.Н. Гамова СГУ, г. Саратов 74 2 ) расчетный коэффициент эффективности капитальных затрат; 3) срок окупаемости информационно-аналитической системы; 4) показатель снижения стоимостных затрат за год; 5) показатель снижения трудовых

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

МОДЕЛЬ КОДЕКА СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМЫ СВЯЗИ НА БАЗЕ ПО MATLAB

МОДЕЛЬ КОДЕКА СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМЫ СВЯЗИ НА БАЗЕ ПО MATLAB МОДЕЛЬ КОДЕКА СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМЫ СВЯЗИ НА БАЗЕ ПО MATLAB Крупянко А.А. и Румянцева Д.Н., студенты 3 курса каф. РТС, науч. рук. доц. каф. РТС Голиков А.М. rts2_golikov@mail.ru В данной работе рассматривается

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

ОЛО-коды на основе двоичных МПП-кодов

ОЛО-коды на основе двоичных МПП-кодов ОЛО-коды на основе двоичных МПП-кодов Жилин И. В. Иванов Ф. И. Рыбин П. С Зяблов В. В. Институт Проблем Передачи Информации {zyablovzhilinfiiprybin}@iitp.ru Аннотация В работе предлагается конструкция

Подробнее

Двоичная арифметика. . Это первая форма, а третья форма записи будет выглядеть так: Тогда число можно записать в следующем виде: a n.

Двоичная арифметика. . Это первая форма, а третья форма записи будет выглядеть так: Тогда число можно записать в следующем виде: a n. Стр. 1 из 18 Двоичная арифметика Числа которыми мы привыкли пользоваться называются десятичными и арифметика которой мы пользуемся также называется десятичной. Это потому, что каждое число можно составить

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВСЕРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НАЛОГОВАЯ АКАДЕМИЯ

МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВСЕРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НАЛОГОВАЯ АКАДЕМИЯ МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВСЕРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НАЛОГОВАЯ АКАДЕМИЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ Учебная программа Специальность 090104 Комплексная защита объектов информатизации Москва 2010

Подробнее

Федеральное агентство по образованию САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Федеральное агентство по образованию САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Федеральное агентство по образованию САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра радиофизики и нелинейной динамики РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Информационные основы техники

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Приложение 1 Практикум к главе 2

Приложение 1 Практикум к главе 2 Приложение 1 Практикум к главе 2 «Представление информации в компьютере» Практическая работа к п. 2.1 Пример 2.1. Представьте в виде разложения по степеням основания числа 2466,675 10, 1011,11 2. Для десятичного

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,...

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,... Глава Целые числа Теория делимости Целыми называются числа, -3, -, -, 0,,, 3,, те натуральные числа,, 3, 4,, а также нуль и отрицательные числа -, -, -3, -4, Множество всех целых чисел обозначается через

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Тема: Системы счисления

Тема: Системы счисления Коротко о главном Тема: Системы счисления Системы счисления - это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, который существовали раньше

Подробнее

ОБЪЕКТОВ. М.А.Иорданский, О.В.Смышляева

ОБЪЕКТОВ. М.А.Иорданский, О.В.Смышляева Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина» (Мининский университет) М.А.Иорданский, О.В.Смышляева КОДИРОВАНИЕ

Подробнее

Информационные основы ЭВМ

Информационные основы ЭВМ Информационные основы ЭВМ 1. Системы счисления.. равила перевода чисел из одной системы счисления в другую. 3. Способы представления чисел в ЭВМ. 4. Машинные коды двоичного числа. Системы счисления Можно

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

КОРРЕКЦИЯ КЛАССИФИЦИРОВАННЫХ ОШИБОК ЦИКЛИЧЕСКИМИ КОДАМИ

КОРРЕКЦИЯ КЛАССИФИЦИРОВАННЫХ ОШИБОК ЦИКЛИЧЕСКИМИ КОДАМИ Д ОКЛАДЫ БГУИР 2007 АПРЕЛЬ ИЮНЬ 2 (18) УДК 621.391.(075.8) КОРРЕКЦИЯ КЛАССИФИЦИРОВАННЫХ ОШИБОК ЦИКЛИЧЕСКИМИ КОДАМИ А.В. ШКИЛЁНОК, В.К. КОНОПЕЛЬКО Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Подробнее

Потопахин Виталий Валерьевич

Потопахин Виталий Валерьевич Потопахин Виталий Валерьевич Двоичная арифметика Дорогие читатели. В данной статье излагается материал по информатике. Вам необходимо внимательно изучить этот материал, решить задачи, предложенные для

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

РЕСПУБЛИКА БЕЛАРУСЬ (19) BY (11) 4997 (13) C1 НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ

РЕСПУБЛИКА БЕЛАРУСЬ (19) BY (11) 4997 (13) C1 НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ К ПАТЕНТУ (12) РЕСПУБЛИКА БЕЛАРУСЬ (19) BY (11) 4997 (13) C1 (51) 7 H 04L 9/00, G 06F 11/08 НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ (54) УСТРОЙСТВО КРИПТО-КОРРЕКТИРУЮЩЕГО

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

ЗАДАНИЕ 5. КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ. Кодирование может быть

ЗАДАНИЕ 5. КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ. Кодирование может быть ЗАДАНИЕ 5. КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ Кодирование это перевод информации с одного языка на другой. Декодирование обратный переход. Один символ исходного сообщения может заменяться одним или

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Раздел 5 Кодирование для каналов с шумом

Раздел 5 Кодирование для каналов с шумом Раздел 5 Кодирование для каналов с шумом В предыдущих разделах мы решали задачу кодирования источников Цель кодирования состояла в уменьшении затрат на передачу либо хранение информации Решение задачи

Подробнее

Проблеми інформатизації та управління, 3(47) МЕТОДЫ СЖАТИЯ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ КОДИРОВАНИЯ ЗНАЧАЩИХ РАЗРЯДОВ

Проблеми інформатизації та управління, 3(47) МЕТОДЫ СЖАТИЯ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ КОДИРОВАНИЯ ЗНАЧАЩИХ РАЗРЯДОВ Проблеми інформатизації та управління, 3(47) 2014 13 УДК 004.043 Гамаюн В.П., д.т.н. МЕТОДЫ СЖАТИЯ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ КОДИРОВАНИЯ ЗНАЧАЩИХ РАЗРЯДОВ Национальный авиационный университет kafpi_itp@ukr.net

Подробнее

Теоретические сведения

Теоретические сведения ДЗ (КР ) «Расчёт Н информационного обеспечения (ИО) для комбинации двух кодов модифицированного кода с однократным контролем ошибок Хемминга (МКсОКОХ) и кода с однократным контролем ошибок Грея (КсОКОГ)».

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра автоматического управления Н.И.Сорока, Г.А.Кривинченко ТЕЛЕМЕХАНИКА Конспект

Подробнее