Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число"

Транскрипт

1 Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение [ ] векторное произведение Для тройки векторов,, c число вектор [[ ] c] двойное векторное произведение ([ ] c) смешанное произведение c не представляет интереса c не представляет интереса Произведения векторов 1

2 Вспомним: 1. Сложение пары векторов c = + а).правило треугольника 2. Сложение нескольких векторов (правило многоугольника) ( + ) + c = + + c Векторы-слагаемые откладываются последовательно, когда начало следующего вектора совмещается с концом предыдущего. Суммарный вектор вектор, соединяющий начало первого слагаемого с концом последнего c б). Правило параллелограмма 3. Сложение тройки некомпланарных векторов (правило параллелепипеда) c О d D c Только для некомпланарной тройки векторов,, c Векторы-слагаемые откладываются от одной точки О и на них как на ребрах строится параллелепипед. Его диагональ OD из точки O будет суммой векторов + + c = d = OD Произведения векторов 2

3 4. Умножение вектора на число. Единичный вектор Опр. Произведением λ вектора на число λ называется такой вектор, что: 1) = λ ; 2) и направлен в ту же сторону при λ > 0 ( ) и в противоположную - при λ < 0. Таким образом, Умножение на скаляр λ растягивает ( λ > 1) или сжимает ( λ < 1) вектор, не меняя направления при λ > 0, и меняет его на противоположное при λ < 0 Опр. Вектор 1 называется противоположным вектору λ = ; 0 = 2 0, 5 1, 5 /3 + ( ) = 0 1 единичный вектор направления ;, = 0 5. Вычитание векторов Опр. Разностью векторов и называется сумма векторов и ( ), т.е., = + ( 1) правила построения разности: DB = m n; AC = m + n B n m направлен к уменьшаемому A n D m C Произведения векторов 3

4 Под осью l понимают направленную прямую l A Опр. Ортогональной проекцией точки A на ось l называется основание перпендикуляра AA, опущенного из точки A на l. Обозначение: Пр l A = A или Pr la = A A l Векторной проекцией вектора AB на ось l называют вектор B A B, где A = Pr l A, B = Pr А l B Скалярной (прилагательное «скалярной» обычно опускается) проекцией вектора AB на ось l называется число, A B l обозначаемое Pr lab и вычисляемое по формуле 2π φ B Pr l AB = ± A B, если A B l, A B = А φ A B, если A B l. cos φ = cos 2π φ A B l Свойства проекций B B 1. Pr l = cos φ, φ =, l ; 2. Pr l λ = λpr l φ А А 3. Pr l + = Pr l + Pr l C 4. Проекция линейной B A l A комбинации векторов B l C Произведения векторов 4

5 1. Базисные векторы взаимно ортогональны и единичные Атрибут Z «декартовости» наличие базиса Полярные коор. 2. k O X j Y i 3. = x i + y j + z k = x i + y j + zk линейная комбинация x i; y j; z k i j, k; k j j = i = k = 1 компоненты векторы 4. = x, y, z = ( x, y, z ) координаты числа 5. x = Pr OX ; y = Pr OY ; z = Pr OZ геометрический смысл ДК Pr l = cos, l x = cos, i ; y = cos, j ; z = cos, k = cos, i = cos, j = cos, k = x 2 + y 2 + z 2 x, y, z, ( x, y, z ) Это соответствие сохраняет линейные операции: сумме векторов соответствует сумма их одноименных координат, произведению вектора на число соответствует произведение его координат на это число. Такое называется изоморфизмом. z z x y O правая y O левая x y x O левая y O x правая Если N x N, y N, z N, M = (x M, y M, z M ) MN = (x N x M, y N y M, z N z M ) MN = d(m, N) = (x N x M ) 2 + (y N y M ) 2 + (z N z M ) 2 Произведения векторов 5

6 = x i + y j + z k линейная комбинация (x, 0, z) Z M 3 (0, 0, z) (0, y, z) M(x, y, z) x i; y j; z k компоненты векторы = ( x, y, z ) координаты числа X M 3 k j Y i O M 2 (0, y, 0) M 1 (x, 0, 0) P(x, y, 0) Z M(x, y, z) X M 1 i k O P j M 2 Y Произведения векторов 6

7 Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, определяемое формулой: = cos φ, φ =, произведение длин векторов на косинус угла между ними Если хотя бы один из векторов или нулевой, скалярное произведение полагается равным нулю. Другие обозначения:, ; ; Свойства скалярного произведения векторов (оговорки с 0) 1. = 0 i j = j k = k j = 0; 2. = ; 3. λ = λ, λ R; 4. 2 = 2 i i = j j = k k = 1; 5. = Pr = Pr ; 6. ( ) = ( 1 ) + ( 2 ) 2π φ, число вектор φ Pr cos 2π φ = cos φ не важно, как (по или против часовой стрелки) измеряется угол! Всё сразу из определения Произведения векторов 7

8 Вычисление скалярного произведения векторов через координаты сомножителей Пусть в некоторой декартовой системе координат заданы векторы = ( x, y, z ), = ( x, y, z ) = x i + y j + z k ; = x i + y j + z k = ( x i + y j + z k) ( x i + y j + z k) = x x + y y + z z (сумма произведений всех одноименных координат) Для доказательства достаточно раскрыть скобки согласно (6), учитывая, что i j = j k = k j = 0, i i = j j = k k = 1 Произведения векторов 8

9 Вычисление работы постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения Из школьного курса физики известно понятие работы A силы F, когда точка ее приложения перемещается вдоль вектора S под углом φ к этому вектору: Произведение A = S Пр S F; = S F cos φ F S, φ = F, S. = cos φ, φ =, отражает широко распространённый в природе способ взаимодействия пары векторов, характеризуемый умножением длины одного вектора на проекцию другого на направление первого (как и в случае, выше). Другой пример, поток жидкости через площадку площади ΔS равен скалярному произведению v ΔS, где v - скорость течения (в районе ΔS ), а вектор ΔS считается направленным по нормали к площадке. И так, если материальная точка перемещается прямолинейно из положения A в положение B под действием постоянной силы F, образующей угол φ с перемещением AB = S, то совершаемая работа A равна: A = F S A F φ S B Произведения векторов 9

10 Упражнение. Вычислить работу, произведенную силой F = 3; 2; 4, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения A(2; 4; 6) в положение B(4; 2; 7). Под каким углом к перемещению направлена сила? Решение. Находим вектор перемещения AB = S = 4 2; 2 4; 7 6 = 2; 2; 1 и применяем формулу A = F S = = 6 (ед. работы). Угол φ = F, S находим из равенства F S cos φ = F S = = 2 29 φ = cos = rccos , 8 Упражнение. Даны три силы F 1 = (2, 1, 1), F 2 = (3, 0, 1) и F 3 = (4, 1, 1), приложенные к точке M 1 (2, 3, 1). Найти работу их равнодействующей, если точка приложения силы, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки M 1 в точку M 2 (4, 1, 2). Решение. A = F S, где F = F 1 + F 2 + F 3 = (9, 0, 1), S = M 1 M 2 = (2, 4. 1). Используя вычислительную формулу для скалярного произведения в координатной форме, получаем: A = = 19 (ед. работы) Произведения векторов 10

11 Основные приложения скалярного произведения Векторная форма записи Координатная (скалярная) форма записи 1. Вычисление длины вектора и расстояния между двумя точками = = x 2 + y 2 + z 2 d M, N = MN MN d(m,n) = (x N x M ) 2 + (y N y M ) 2 + (z N z M ) 2 2. Вычисление проекции вектора на вектор (ось) Pr = Pr = x x + y y + z z 3. Нахождение угла между векторами x 2 + y 2 + z 2 x x + y y + z z cos φ = cos φ = 2 x + 2 y + 2 z 2 x + 2 y + 2 z 4. Условие ортогональности векторов = 0 x x + y y + z z = 0 5. Работа силы по перемещению A = F S, φ = F, S A = F S cos φ, φ = F, S 11

12 Пример 1. Найти ( + 3) ( + c), если = 4, 2 ; = 1, 2 ; c = 2,1 Пример 2. Найти (4 ) (2 + 3), если = 1; = 3;, = 60. Пример 3. Дано: = 1, 2, 3 ; = 0, 1, 2 ; c = 2, 1, 3. Найти угол между и d = 2 c. Пример 4. Даны вершины треугольника A = 1, 2,4 ;B = 4, 2,0 ;C = 3, 2,1. Найти внутренний угол при вершине B и внешний угол при вершине A. Пример 5. Найти длину вектора d = + + c, если = 4, c = 6, = 5 и угол между каждой парой векторов равен 120. Пример 6. Найти Pr d c если = 2, 3,4, = 4,0,5, c = 3,1,1,d = 2. Пример 7. Даны точки M 5, 7, 6, N 7, 9, 9. Найти проекцию вектора = (1, 3, 1) на ось вектора MN. Пример 8. Найти проекцию вектора = ( 3, 1, 8) на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. Пример 9. Найти Pr если = 2m n, = 3m + n, m = n = 2, m, n = 60 Пример 10. Найти угол между биссектрисами координатных углов XOY и YOZ. Пример 11. Найти вектор x, коллинеарный вектору = (2, 1, 1) и удовлетворяющий условию x = 3. Пример 12. При каком значении λ векторы c = 2 + и d перпендикулярны, если = λ i + 2 j k, = 3 i + j + k, d = 2 i 3k. Произведения векторов 12

13 C A c B Y O α β X 4. Неравенство Коши Буняковского Шварца (x y) x y Доказательство: (x λy) 2 0 λ 2 y 2 2λ x y + x 2 0 λ R, что возможно лишь при неположительности дискриминанта квадратного трехчлена относительно λ: D = 2 4 c = 4 x y 2 4 y 2 x 2 0 (x y) x y Произведения векторов 13

14 , число вектор Векторное произведение двух векторов Определение. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов и называется вектор c = [ ], удовлетворяющий трем условиям: c c = sin,, c = [ ] c, c,,, c правая тройка. c Обозначения: ; ; ; ; [, ]. «Чувствует» правую и левую СК Свойства векторного произведения 1. = антипереместительный закон; 2. ( ) = распределительный закон; 3. λ = λ, λ R сочетательный закон; 4. = 0 условие коллинеарности векторов ; 5. S, =, S, = 6. [ ] c c 2; векторное произведение не ассоциативно Произведения векторов 14

15 Произведения векторов 15

16 Приложения векторного произведения К таковым относятся рассмотренные выше формулы для вычисления площадей треугольника и параллелограмма (5); полезно свойство (4) в качестве критерия коллинеарности пары ненулевых векторов: 4. = 0 условие коллинеарности векторов ( и 0); F = AB 5. S, =, S, = 2. Основная сфера применение векторного произведения инструмент при описании многочисленных физических явлений. 6. Момент силы относительно точки N В точке A приложена сила F и пусть O неподвижная точка некоторого твердого тела. «Школьная» физика: моментом силы F относительно точки O называется вектор M 0, проходящий через O и удовлетворяющий свойствам: А) M 0 плоскости, проходящей через О и F; В) численно равен произведению силы на плечо: M 0 = F ON = F r(a) sin φ; C) Направлен по «правилу буравчика». M 0 = OA F = r A F моментом силы F, приложенной в точке A, относительно точки O O M 0 r(a) A φ B Произведения векторов 16

17 7. Линейная скорость вращения Линейная скорость v точки M твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, проходящей через начало координат, определяется формулой Эйлера, которая в современных обозначениях имеет вид: v = w r(m) v w r(m) M O Пример. Даны три силы F 1 = (2, 1, 3), F 2 = (3, 2, 1) и F 3 = ( 4, 1, 3), приложенные к точке M 1 ( 1, 4, 2). Найти величину и направляющие косинусы момента равнодействующей данных сил относительно точки A(2, 3, 1). Решение. Равнодействующая R = F 1 + F 2 + F 3 = (1, 2, 1), AM 1 = ( 3, 1, 1). M А R = AM 1 R = i j k = i j k = = 1 i 4 j + 7 k. M А R = = 66, cos α = 1 66, cos β = 4 66, cos γ = Произведения векторов 17

18 Пример 1. Известно, что, = 3, = 4. Найти (3 ) ( 2). Пример 2. Даны векторы = i 2 j + k, = 3 i + 4 j. Вычислить (2 ) ( + 3). Пример 3. Найти площадь треугольника ABC, заданного координатами своих вершин A(1, 2, 0); B(3, 0, 3); C(5, 2, 6). Пример 4. Даны: = 2; = 3;, = 120. Найти (3 + 2) ( 3) 2 Пример 5. Даны: = 10; = 2; = 12. Вычислить [ ]. Пример 6. При каком значении μ векторы p = μ + 3 и q = 2 будут коллинеарны, если и неколлинеарны? Пример 7. Найти вектор x, перпендикулярный векторам = 2, 1, 2 и = (0, 2, 2), если известно, что x = 12 и он образует с осью OY тупой угол. (Решение в «упор» и через векторное произведение). Произведения векторов 18

19 Задачи элементарной геометрии 1. Пусть и неколлинеарны. Легко проверить, что + = 2[ ] площадь параллелограмма, построенного на диагоналях заданного параллелограмма, в два раза больше площади исходного параллелограмма. 2. Перемножим векторно единичные неколлинеарные плоские векторы и. Для правой ориентации базисных векторов = sin(α β) k, т.е. не нулевой является только аппликата. С другой стороны, Y = i j k cos α sin α 0 cos β sin β 0 = k cos α sin α cos β sin β = = k cos α sin β sin α cos β O α β X sin α β = sin α cos β cos α sin β Формула для синуса разности двух углов «малыми» затратами Произведения векторов 19

20 Y G A H C «Теория без практики мертва или бесполезна, практика без теории невозможна или пагубна». А. Н. Крылов E D B O F K X 3. Определитель 2- го порядка по определению равен x y x y = x y y x ( ) Если ось z перпендикулярна плоскости векторов,, то z = z = 0 и из формул для векторного произведения следует, что детерминант равен, по модулю, площади параллелограмма, построенного на векторах,. С учетом ( ) отсюда следует, что площадь параллелограмма OACB равна разности площадей прямоугольников OGHK и ODEF. Вне векторной идеологии это не столь простая геометрическая задача. Произведения векторов 20

21 Смешанное произведение трех векторов Для тройки векторов,, c число вектор [[ ] c] двойное векторное ([ ] c) смешанное c не представляет интереса c не представляет интереса скалярное произведение векторного произведения двух первых векторов на третий вектор Выражение ([ ] c) называется смешанным произведением трех векторов,, c и обозначается одним из символов:,, c = c = c = ( ) c Произведения векторов 21

22 Свойства смешанного произведения 1. Абсолютная величина ([ ] c) смешанного [ ] произведения некомпланарных векторов численно равна объему параллелепипеда, построенного на векторах,, c: c ([ ] c) = Pr c = S, H α H ([ ] c) = ±V,, c ; знак плюс, если тройка векторов, α, c правая и минус в противном случае; 2. V = 1 пир(,,c) ([ ] c) из геометрических соображений; 6 3. ([ ] c) = ( [ c]) тот же объем, но в других обозначениях; 4. ([ ] c) = 0 {,, c компланарны} условие компланарности 3-х век.; 5. Смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух векторов:,, c =,, c =, c, = c,, и не изменяется при циклической перестановке векторов:,, c =, c, = c,, Свойства (5, 6) для ДСК через свойства определителя Произведения векторов 22

23 6. Выражение смешанного произведения векторов через декартовы координаты сомножителей. Пусть = ( x, y, z ), = ( x, y, z ), c = (c x, c y, c z ) = ( x i + y j + z k) ( x i + y j + z k) = = i y z y z j x z x z + k x y x y i j k x y z = x y z ([ ] c) = i y z y z j x z x z + k x y x y ic x + jc y + kc z = = c x y z y z c y x z x z + c z x y x y x y z x y z. c y c y c y Таким образом, для векторов, заданных в ДСК ([ ] c) = = 0 и условие компланарности принимает вид: x y z {,, c компланарны} x y z c y c y c y x y z x y z c y c y c y Произведения векторов 23

24 Пример 1. Убедиться, что точки A 0, 0, 5, B 2, 1, 6, C 3, 2, 5, D (3, 1, 14) лежат в одной плоскости и получить разложение вектора BD по BA и BC. Решение. Точки будут лежать в одной плоскости, если векторы BA, BC, BD компланарны. Проверяем условие компланарности: (BA, BC, BD)= = 0 BA, BC, BD - компланарны. Во второй части задачи требуется найти коэффициенты линейной комбинации: BD = λba + μbc 2λ + μ = 1, λ + μ = 2, λ μ = 8, 2λ + μ = 1, 2λ = 6 λ = 3, μ = 5, BD = 3BA 5BC Пример 2. Какой (право- или левоориентированной) является тройка векторов = 4 i + j, = i 3 j, c = 2 j + 4k? Решение. Достаточно определить знак,, c = = 52 < заданная тройка векторов левоориентированная, что легко устанавливается и геометрическим путем Произведения векторов 24

25 Пример 3. Даны вершины пирамиды A( 4,2,6),B(2, 3,0),C( 10,5,8),D( 5,2, 4). Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины D. Решение. V пир(,,c) С другой стороны, V пир = 1 3 S осн H H = 3V пир S ABC, S ABC = 1 2 AB AC = S ABC = 1 2 = ([ ] c) 6 i j k = 1 6 (AB, AC, AD) = = 14 H = Замечание о выборе вершин, ребер, основания. AB AC. = 8 i + 24 j 12k = A = Задача 1. Длины базисных векторов e 1, e 2, e 3 равны соответственно 1, 2, 2, а углы между ними e 1, e 2 = 120, e 1, e 3 = 45, e 2, e 3 = 135. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты 1, 2, 0, 1, 1, 3, c(2, 1, 1). H O D C B Произведения векторов 25

26 Задача 2. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах + c, c 3, + в два раза больше объема параллелепипеда, построенного на векторах,, c. Решение. Пусть V 1 =,, c ; V 2 = + c, c 3, +. Воспользуемся определением и свойствами смешанного произведения: + c, c 3, + = + c c 3 + = = c 3 + c c 3 c + = =, c, +, c, 3,, 3,, 3 c,, 3 c,, = =, c, 3 c,, =,, c + 3,, c = 2,, c V 2 = 2V 1 Задача 3. Доказать, что при любых,, c векторы, c, c компланарны Произведения векторов 26

27 Средствами векторной алгебры доказать что: 1) если диагонали четырехугольника ABCD делят друг друга пополам, то ABCD параллелограмм; 2) диагонали ромба взаимно перпендикулярны; 3) сумма квадратов медиан треугольника относится к сумме квадратов его сторон, как 3:4. Вопросы для самопроверки 1. Разные подходы к определению произведения векторов. 2. Скалярное произведение двух векторов. Его свойства, смысл, условие ортогональности двух векторов. Вычисление длины вектора, угла между двумя векторами, проекции вектора на ось, направляющих косинусов через скалярное произведение и через координаты. Вычисление работы постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения. Неравенство Коши Буняковского Шварца 3. Определение векторного произведения; его свойства, механический смысл, вычисление. Геометрический смысл модуля векторного произведения. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника. Момент силы относительно точки. 4. Смешанное произведение трёх векторов и его свойства, вычисление, геометрический смысл. Вычисление объёмов параллелепипедов и пирамид через смешанное произведение векторов. 5. Условия компланарности, коллинеарности, ортогональности векторов (в векторной и координатной формах). Произведения векторов 27


[[a b] c] двойное векторное произведение ([a b] c) смешанное произведение a b c не представляет интереса

[[a b] c] двойное векторное произведение ([a b] c) смешанное произведение a b c не представляет интереса Для тройки векторов a, b, c число вектор [[a b] c] двойное векторное произведение ([a b] c) смешанное произведение a b c не представляет интереса Для пары векторов a, b число вектор a b скалярное произведение

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos 2. Векторная алгебра В 2 представлены три типа задач на векторы, охватывающие скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Каждый тип задач составлен в 12 вариантах. 2.1.Основные формулы для

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» МЕТОД КООРДИНАТ ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ НС Анофрикова ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8.

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8. 0 класс (технологический профиль) 208 209 уч год Геометрия УМК Атанасян ЛС Модуль 8 Тема модуля: «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» В процессе изучения данного модуля ученик научится/получит

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

В.В. Трофимов, С.П. Данко

В.В. Трофимов, С.П. Данко МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВВ Трофимов, СП Данко ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» К. А. Решко, Л. И. Рыдевская ВЕКТОРЫ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Учебно-методические

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ 1 1. Направленные отрезки и их равенство. 2. Линии и поверхности. Параметрическое задание линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. 3. К вершине куба приложены три

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Свободные векторы можно переносить в любую точку пространства с сохранением длины и направления.

Свободные векторы можно переносить в любую точку пространства с сохранением длины и направления. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема Понятие вектора Линейные операции над векторами Линейная комбинация векторов Линейная зависимость и линейная независимость векторов Известно что ряд физических величин являются векторами

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее