При изучении темы рекомендуется литература [1-3] и интернет ресурс

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "При изучении темы рекомендуется литература [1-3] и интернет ресурс"

Транскрипт

1 Введение Векторное исчисление это математическая дисциплина, изучающая свойства векторов, во всех их проявлениях и разделяется на векторную алгебру и векторный анализ. Условно это можно понимать так. Векторная алгебра изучает постоянные вектора, а анализ переменные вектора. Предметом изучения алгебры являются такие операции над векторами как сложение векторов и умножение их на число, скалярное произведение, векторное произведение и смешанное произведение, преобразования векторов базис пространства, проекции векторов и тому подобное. Понятие вектора как направленного отрезка возникло и сформировалось в 8-веке при решении физических задач и задач механики при изучении движения тела под действием сил. В настоящее время трудно представить себе сферу точного знания, в которой не использовалось бы понятие вектора и системы координат. При изучении темы рекомендуется литература [-3] и интернет ресурс [4] Лекция. Векторы на прямой, плоскости и в пространстве. Система координат на плоскости и в пространстве В геометрии имеются три важных пространства- прямая размерности dim =, плоскость размерности dim = и обычное воспринимаемое нашими ощущениями пространство размерности 3. Произведем оцифровку этих пространств, т.е. укажем способ декартовой системы координат, согласно которому положение точки на

2 x y, прямой определяем одним числом x, на плоскости парой чисел ( ; ) а в трехмерном пространстве тройкой чисел ( x; yz ; ) Числовая ось OX возникает из прямой, если на ней указана точка отсчета O, масштабная единица и положительное направление. Каждой точке M числовой прямой сопоставляется число x, называемое абсциссой этой точки. Причем x = OM, если M находится на положительном луче OX оси и x = OM для точек отрицательного луча O M(x) x X Декартова система координат на плоскости состоит из двух перпендикулярных числовых осей OX (ось абсцисс) и OY ( ось ординат) Y y M(x;y) X O x Каждой точке M плоскости сопоставляется пара чисел ( x; y ). Для этого из точки M следует опустить перпендикуляры на оси OX, OY. Основания перпендикуляров называются координатами точки M ( xy, ; ) где x - абсцисса точки, а y - ордината. Декартова система координат в пространстве состоит из трех взаимно перпендикулярных числовых осей OX (ось абсцисс), OY ( ось ординат) и OZ ( ось аппликат) z Z M Z + O y Y Y X x X

3 Аналогично каждой точке M пространства сопоставляем тройку координат ( ; ; ) x yz, которые возникают как основания перпендикуляров опущенных из точки M на координатные оси. Точки ; ; x yz называются проекциями точки M на координатные оси. Проекции ; ; x yz называются также декартовыми координатами точки Изображенная система координат называется правой, т.е. кратчайший поворот от OX к OY, а затем к OZ виден против часовой стрелки, т.е. в положительном направлении При построении точки, например, M ( 3; ; 4) производим три движения. Из точки O двигаемся оси абсцисс в точку ( 3;0;0). Затем перемещаемся вдоль оси ординат на единицы в положение ( 3; ;0) и из этой точки поднимаемся вверх на 4 единицы в положение M ( 3; ; 4) 3 Z M O 4 Y X 3 Вывод. Положение любой точки прямой, плоскости или пространства однозначно определяется ее координатами. Поэтому геометрические задачи можно привести к задачам, которые имеют дело с числами, т.е. аналитическим задачам. Основные понятия Вектором называется любой направленный отрезок с началом и концом. Вектор можно обозначать и так =. Введенные таким образом вектора называются геометрическими ( по природе происхождения)

4 Длина отрезка называется и модулем вектора и обозначается или просто. Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается 0 или 0 (не путать с числом). Вектор единичной длины называется ортом или единичным вектором. Единичные векторы координатных осей OX, OY, OZ обозначаются i, j, k Z k 4 i O j Y X Взаиморасположение векторов. Векторы, называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Этот факт записываем так:. Если направления этих векторов совпадают, то вектора называются сонаправленными, а в противном случае конаправленными, т.е. Перпендикулярность (ортогональность) векторов обозначается Два вектора, называются равными, что записывается =, если выполнены условия: ) -векторы коллинеарны; ) -векторы сонаправленны; 3) = -векторы имеют равные модули.

5 Выводы. 5.При параллельном переносе геометрический вектор не меняется..любую совокупность векторов можно при помощи параллельного переноса привести к общему началу. 3.Геометрические векторы применяются в физике и теоретической механике как изображение силы, скорости и тому подобное. Однако они немного отличаются от физических векторов, которые не всегда сохраняют свое действие при параллельном переносе. Линейные операции над геометрическими векторами Сумма векторов обозначается + и определяется по правилу параллелограмма, т.е. равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах + c + + c Разность векторов d = находим по правилу треугольника. Правило многоугольника. Сумма + + c равна замыкающему вектору ломаной, составленной из слагаемых векторов. При умножении скаляра (т.е. числа) λ на вектор этот вектор растягивается в λ раз. Проекции вектора на координатные оси Вектор как и точку на прямой, плоскости или в пространстве можно определить набором чисел. Проекцией x вектора на ось абсцисс называется разность x = x x, где x, x - проекции начала и конца вектора на ось. Определим проекцию x = x x вектора

6 6 X x x= x x x Любой вектор на плоскости имеет две проекции ( абсцисса и ордината) x = x x, y = y y. Каждый вектор однозначно определяется своими проекциями, и записывается так как ( x; y) =. Y y y y X O x x= x x x В пространстве возникает проекция z = z z на ось аппликат, вектор записывается = ( x; y; z) или по другому = ( x x ; y y ; z z ) Теорема. Тройка проекций вектора однозначно определяет вектор Правило. Проекции вектора равны разности одноименных координат его конца и начала, т.е. верно равенство = Доказательство вытекает из определения проекций, т.е. = ( ; ; ) = ( x ; y ; z ) ( x ; y ; z ) x x y y z z Векторы, заданные проекциями, называются арифметическими. Множество арифметических векторов прямой, плоскости и пространства обозначаются R, R, R 3 соответственно. Базис пространства Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости Любые три некомпланарные вектора,, c называются базисом пространства.

7 7 Базисом плоскости называются любые два неколлинеарные вектора этой плоскости. Вектор d = x + y + z c, где x, yz, - скаляры (т.е. числа) называется линейной комбинации векторов,, c, причем x, yz, называются координатами вектора в этом базисе. Теорема. Любой вектор d можно единственным образом разложить по базису. Например, в случае пространства это значит, что выполнено равенство d =α +β +γ c для некоторых скаляров α, βγ., В случае декартовой системы координат можно записать разложение вектора d по базису i, j, k в виде d = x i+ y j+ z k. Числа x, yz, называются декартовыми координатами вектора d Теорема. Разложение вектора по d = ( x, yz, ) по единичным векторам i, j, k координатных осей можно записать так d = x i+ y j+ z k, т.е. верно соотношение d =( x; yz ; ) d = x i+ y j+ z k. Другими словами, проекции и координаты вектора в декартовой системе координат совпадают. Доказательство приведем для двумерного вектора = ( x; y) Y j O i d y x X Запишем равенство d = O+ = x i+ y j. Геометрический способ разложения вектора по базису Теорема. Любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, причем единственным образом. Проверим это утверждение в случае пространства векторов на плоскости

8 Пусть, - базис на плоскости. Разложим вектор c, т.е. представим его в виде линейной комбинации базисных векторов c=α +β при некоторых αβ, R 8 C c M Применим правило параллелограмма и запишем равенство c= MC = M+ M Вектор M коллинеарен ненулевому вектору и поэтому получается из него растяжением в α раз, запишем для векторов равенства M=α, M =β. Поэтому верно c M M = + c= α +β Свойства линейных операций над векторами Вектора можно складывать и умножать на скаляр. Эти свойства аналогичны свойствам операций суммы и умножения чисел. Приведем некоторые из них, чтобы иметь представления об этих свойствах. Перестановочность + = + Ассоциативность ( + ) + c= + ( + c) + 0 = - свойство нулевого вектора Первое свойство означает, что результат сложения векторов не зависит от порядка слагаемых Второе свойство означает, что результат сложения векторов не зависит порядка расстановки скобок. Свойства умножения вектора на скаляр Эти свойства по смыслу не являются чем-то новым с точки зрения наших навыков преобразования алгебраических выражений. Приводим без доказательства основные из этих свойств

9 α ( + ) =α +α, 9 ( α+β) =α +β ( αβ) = α( β ) 0 = 0, α 0= 0 В практике скаляры можно записывать слева и справа от вектора, однако в строгих математических книгах это не допустимо. Пример. Доказать, что из медиан треугольника можно при помощи параллельного переноса составить новый треугольник Применим условие того, что из трех векторов,, c можно при помощи параллельного переноса составить треугольник c C Это условие выражается как истинность равенства + + c= 0 Проведем медиану в треугольнике C C c C Находим = +. Аналогично определяем остальные медианы = + c и CC = c +

10 Находим сумму трех медиан 0 CC c c = = CC ( c) + + = + + = 0 Линейные операции над векторами, заданными проекциями Операции сложения, вычитания, умножения на скаляр векторов, заданных в проекциях, выполняются покоординатно. Например: (;4 ) + (4; 3) = (+ 4;4 3) = ( 5;) ; 6 (; 3) = (; 8) Теорема. Пусть =( x ; y ; z ) и =( x ; y ; z ). Тогда верно + =( x + x ; y + y ; z + z ); =( x x ; y y ; z z ); α =( α x ; α y ; α z ); Пример. Вычислить вектор = + C, если ( ; ), ( ; 3), C ( 0;) Находим = ( ; 3) ( ; ) =( ; ) C = C ( 0;) ( ; ) =( ; ) C = + =( ;) + ( ; ) = ( 4; ) Построим чертеж C Модуль вектора. Расстояние между двумя точками в пространстве Теорема. Модуль вектора = ( x; y; z) равен = x + y + z

11 Это равенство является следствием теоремы Пифагора. Приведем чертеж для двумерного вектора = ( x; y) Y y X O x Расстояние между двумя точками ( x, y, z ), ( x, y, z ) в пространстве равно ( ) ( ) ( ) = x x + y y + z z Лекция. Приложения векторов Признак коллинеарности векторов x y z = =. x y z Необходимость. Пусть векторы = ( x, y, z ), = ( x, y, z ) коллинеарны. Можно принять, что 0. Поэтому верно равенство = γ для некоторого скаляра γ. Отсюда x x x y z = γ, y = γ y, z =γ z = = = γ x y z Пример. Лежат ли точки ( ; 0;), ( ;; ), C ( 4;3; 4) на одной прямой? Решение. Схематический чертеж C Три точки C,, лежат на одной прямой в том и только том случае, если векторы, C коллинеарны, т.е. параллельны одной прямой. Находим вектора = ( ;; ) ( ; 0;) =( ;; ) C = C ( 4;3; 4) ( ; 0;) =( 3;3;3 )

12 Признак коллинеарности двух векторов = ( x ; y ; z ), = ( x ; y ; z ) x y z = =. x y z =. В нашем случае пропорциональность выполняется, так как C 3 Поэтому три точки, C, лежат на одной прямой точки. Орт вектора Единичный вектор n называется ортом вектора, если они коллинеарны и сонаправлены. n n = Орт вектора получается из вектора сжатием в равенство n = λ= раз, т.е. верно Радиус-вектор точки Радиус-вектором точки M ( xyz,, ) называется вектор OM z Z M(x,y,z) O Y y X x Легко понять, что координаты вектора OM совпадают с координатами точки M ( xyz,,, ) т.е. OM =( x, yz., ) Для этого достаточно из координат конца вектора вычесть нулевые координаты начала вектора. Это простое определение прокладывает мостик между геометрией точек и алгеброй векторов. Другими словами, обычные геометрические задачи можно решать применяя векторы.

13 Пример. Найти четвертую вершину параллелограмма CD, если известны три последовательные вершины параллелограмма : ( 3; 5; 4), ( ;0; ), C ( 3;; 0 ). Решение. Построим схематически параллелограмм CD. 3 C O D Радиус-вектор OD точки D находим по правилу многоугольника: OD = O + D. Так как при параллельном переносе вектор не меняется, поэтому верно равенство D = C. Координаты радиус-вектора OD совпадают с координатами его конца D. Итак, имеем OD = O + C Вычислим координаты векторов: O =( ;0; ), D = C = C ( 3;; 0 ) ( ;0; ) =( ;; ) Суммируем и получаем координаты точки: O + C =( 3; 5; 4) +( ;; ) =( 4; 4; ). OD = Координаты точки найдены D ( 4; 4; ) Направляющие углы и направляющие косинусы вектора Углы α, β и γ, образуемые вектором = ( x, y, z) с координатными осями, называются направляющими углами вектора. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами. Z γ X α β Y

14 Направляющие косинусы находят по формулам 4 x y z cosα=, cosβ=, cos γ= Проверим первую из этих формул O α 90 0 x X Найдем проекцию вектора = ( x, y, z) на ось абсцисс и решим прямоугольный треугольник. Находим косинус угла как отношение прилежащего катета к гипотенузе, т.е. cos x α= Предложение. Вектор n = ( cos α;cos β;cos γ ) имеет единичную длину, т.е. n =, что равносильно равенству cos α + cos β+ cos γ =. Этот вектор вычисляется по формуле Доказательство. n = и называется ортом вектора. cos α+ cos β+ cos γ= x + + = y z x y z x + + = + y + z = = Нахождение координат середины отрезка Координаты середины M отрезка, где ( x; y; z ) и ( x; y; z ), находятся по формулам xm x x = ( + ), y = ( y + y ), z ( z z ) M M = +. Доказательство. Построим параллелограмм на векторах = и = D

15 C 5 M D Находим C = + и M ( ) = + - половина диагонали Радиус вектор точки M равен = + = O + ( + ) = O + ( O O + OD O) = ( O + O) OM O M Представление гармонических колебаний вектором Гармоническим колебанием называется колебание, выражаемое формулой I = cos( ω t+ϕ ). Для удобства понимания, принимаем, что I - это величина переменного тока в цепи, у которого амплитуда равна, круговая частота равна ω и ϕ - начальная фаза. Представим такой ток в виде вектора I на плоскости XOY Y I O ϕ X Оказывается при сложении двух токов I cos( t ) = ω +ϕ, I t = cos( ω +ϕ ) одной частоты получается ток I = cos( ω t+ϕ ) векторное изображение которого находим сложением по закону параллелограмма изображающих векторов I, I Y I ϕ I O ϕ X Отсюда, в частности, по теореме косинусов получаем закон сложения амплитуд = + + cos( ϕ ϕ )

16 Нахождение центра масс системы материальных точек Центр масс C системы двух точек ( x ; y ), ( x ; y ), имеющих массы m, m, находим по формуле r = C m r + m r m + m, где r, r, r - радиус- C векторы точек,, C. Эта формула в проекциях: 6 x C m x + m x = m + m m y + m y m z + m z, yc =, zc = m+ m m+ m C m m Эти формулы естественным образом обобщаются на случай n материальных точек. Деление отрезка точкой C в заданном отношении C Координаты точки C : C λ= C x C = x +λx +λ, y C = y +λy +λ, z C = z + λ z. + λ Например, середина делит отрезок в отношении λ=, а центр масс m m системы двух точек - λ=. Медианы в треугольнике в точке пересечения делятся в отношении λ = :, считая от вершины треугольника. Лекция 3. Скалярное произведение векторов свойства и приложения Проекция вектора на вектор или ось Проекцией вектора на вектор называется число, обозначаемое и равное Πp = cos ϕ

17 7 ϕ Πp Если 0 <ϕ<, то проекция Πp > 0 ; для тупого угла π <ϕ<π проекция π отрицательна, Πp < 0 В случае, если угол прямой π ϕ =, то проекция равна нулю. Проекцией вектора на ось l с единичным вектором n называется число, обозначаемое и равное Πp = Πp = cosϕ l n ϕ Πp n n l Свойства проекции ) проекция суммы векторов равна сумме их проекций. ( ) Πp + = Πp + Πp n n n ) константу можно выносить за знак проекции, Πp ( n ) α R α =α Πp, Проверим первое свойство. Выполним чертеж, из которого вытекает проверяемое равенство n

18 8 + n l Πp n Πp n Πp n ( + ) Итак, свойство проекции в нестрогом смысле означает, что длина большего отрезка равна сумме длин его частей. Скалярное произведение двух векторов Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозначаемое, и равное = cosϕ, где ϕ - угол между векторами. или ( ) O ϕ Укажем основные свойства скалярного произведения ) перестановочность (коммутативность), = ; Это свойство вытекает из определения скалярного произведения, = cosϕ= ) ( C ) = C - константу C можно выносить за знак скалярного произведения; 3) ( + ) c = c+ c распределительный закон 4) Признак перпендикулярности двух векторов = 0 5) свойство скалярного квадрата = = Выражения, содержащие скалярное произведение, преобразуются также, как выражения с обычным произведением.

19 6) Связь скалярного произведения с проекцией Πp = 9 Эта формула вытекает из определения скалярного произведения и проекции = cosϕ = cos ϕ= Πp Докажем свойство 3 с помощью свойства 5. ( + ) c = c Πp ( ) c ( Πp Πp ) c c c + = + = c Πp + c Πp = c+ c Скалярное произведение орт i, j, k Скалярные квадраты орт равны единице, равны квадратам их модулей. c c i =, j =, k =,так они Скалярные произведение различных орт равны нулю, так как они перпендикулярны, т.е. i j = 0, i k = 0, j k = 0 Вычисление скалярного произведения векторов, заданных в проекциях Теорема. Скалярное произведения векторов = ( x ; y ; z ) и = ( x ; y ; z ) равно сумме произведений одноименных проекций векторов, т.е. = x x + y y + z z Доказательство. Запишем вектора в виде линейной комбинации базисных векторов = ( ; ; ) x y z = x i y j z k Раскроем скобки + +, = ( ; ; ) = ( x i y j z k) ( x i y j z k) = x y z = x i+ y j+ z k ( x x i x y i j x z i k) ( y x j i y y j y z j k) + ( z x k i+ z y k j+ z z k )

20 0 Применим таблицу скалярного умножения орт и получим = x x + y y + z z Применение скалярного произведения Пример. Найти угол ϕ при вершине треугольника C Δ. Дано: ( ; ;3 ); ( ;;) ; C ( 0;0;5) Решение. Сделаем схематический чертеж. C ϕ ) Обозначим ребра треугольника как векторы : =, = C Пользуемся правилом: координаты вектора равны разности одноименных координат его конца и начала. = ( ;;) ( ; ;3 ) = ( ; ; ) ; = C ( 0;0;5) ( ; ;3 ) = ( ;; ) ; Модуль вектора = ( x, yz, ) определим по формуле x y z Вычислим длины ребер: = ( ) + + ( ) = 3 ; ( ) = + + =3 = + +. ) Вычислим угол ϕ между векторами, по формуле cos ϕ= Находим скалярное произведение векторов = + + = ( ) ( ) + + ( ) = 0 x x y y z z. Тогда cos ϕ= 0 = = 0 3 3, ϕ = rccos0 = 90 град

21 Пример. Доказать формулу проекции Πp x cos y cos z cos n = ( x, y, z), (cos ; cos ; cos ) n = α β γ - орт. = α+ β+ γ, где Решение. Подставим в формулу проекции вектора на вектор n, Πp n n = значения модуля n = и скалярного произведения n n = xcosα+ ycosβ+ zcos γ. Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всего его сторон. C D Доказательство. Изобразим параллелограмм. Обозначим вектора = и = D и скажем, что параллелограмм построен на этих векторах. Определим его диагонали C = + и D = Применим свойство скалярного квадрата и вычислим ( ) C = C = + = + + = + + ( ) D = D = = + = + Находим сумму квадратов длин диагоналей параллелограмма C + D = = + Получили сумму квадратов длин всех сторон параллелограмма. Теорема косинусов Дан треугольник Δ C. Тогда верна формула C C C = + cosϕ

22 C ϕ Эта формула обобщает теорему Пифагора на случай произвольного треугольника. Доказательство. Выразим вектор C = C. Находим скалярный квадраты обеих частей этого равенства C = ( C ) Преобразуем скалярный квадрат с помощью обычной формулы «квадрат разности» и применим свойство квадрата модуля вектора = ( ) (, ) + ( ), C ( ) = + C C, C C C Подставим формулу скалярного произведения C C C = + cosϕ Теорема доказана. Работа силы по перемещению Скалярное произведение очень полезно не только при решении математических вопросов, но оно существенно применяется в прикладных и теоретических вопросах физики. Пусть точка M движется по прямой из положения в положение C под действием постоянной силы F F M ϕ C Работа силы F при перемещении C равна скалярному произведению силы на вектор-перемещение = F C Это определение согласуется со школьным. Пусть ϕ - угол, который сила образует с вектором перемещения.

23 Тогда согласно школьному определению работа силы равна = F C cosϕ, но это есть определение скалярного произведения. Можно поставить вопрос, какое из определений лучше. Ответить на этот вопрос поможет следующее утверждение. Работа суммы сил F, F, приложенных к точке M, равна сумме работ этих сил. 3 M Работа суммы сил равна ( ) каждой силы в отдельности. F F = F + F C= F C F C C + - это сумма работ Выводы. Определение работы с помощью скалярного произведения полезно с теоретической точки зрения для выявления основных свойств физической величины. Школьное определение работы силы полезно для практики, но бесполезно с теоретической точки зрения. Поэтому в качестве определения следует приять определение работы при помощи скалярного произведения Лекция 4. Векторное произведение векторов свойства и приложения Определение векторного произведения Векторным произведением двух векторов и называется третий вектор c, обозначаемый c = или, и определяемый следующими условиями: ) вектор c перпендикулярен плоскости векторов и : ) модуль c численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и, т.е. c = = sinϕ;

24 4 3) вектор c направлен так, что с вершины этого вектора кратчайший поворот ϕ от вектора к вектору виден в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки). c = ϕ Направление векторного произведения c = можно определить по правилу правого буравчика. Если вектор поворачивать как ручку буравчика в сторону вектора, то поступательное движение буравчика покажет направление c =. Свойства векторного произведения..выражения, содержащие векторное произведение, преобразуются по обычным правилам. Например, ( c) c ( α ) =α ( ). Но есть исключения: + = +, а) при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, =. б) = 0.Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, = 0. Таблица умножения орт i, j, k. Векторное произведение одинаковых орт равно нулевому вектору. Например, j j = 0

25 5. Векторное произведение разны орт равно третьему орту, взятому с определенным знаком, который определяется при помощи мнемонического правила. Расположим орты в положительном направлении обхода окружности. i j k Знак плюс, если от первого сомножителя мы передвигаемся ко второму по окружности в положительном направлении, иначе берем знак "минус". Например, i j =+ k, j i k =. Пример. Выполнить действия: ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) i j k + j i k + k i j + i j i Решение. Применим правило перемножения орт. Подставим j k = i, i k = j, i j = k Отсюда i ( j k) + j ( i k) + k ( i j) + ( i j) = i ( ) =. 3 Ответ. 3. i i+ 3 j j + 4 k k + k = i Вычисление векторного произведения векторов, заданных в проекциях Векторное произведение вычисляется по формуле i j k =, где x y z x y z x y z = ( ; ; ), = ( x; y; z). Этот символический определитель, составленный из векторов и чисел, раскрываем по первой строке. Пример. Вычислить векторное произведение, если ( ;;0 ) = ( ; 3; ) Решение. Применяем формулу =,

26 i j k = 0 = i 0 j 0 + k = i j + k Ответ. = ( ; ;5) Приложения векторного произведения:. Площадь S параллелограмма, построенного на векторах и, равна S =, площадь треугольника - S = Δ S S Δ.Момент M M ( F) = силы F, приложенной к точке, относительно точки вычисляется по формуле M = r F, где r = вектор-рычаг силы F. Направление силы F можно определить по правилу правого буравчика. M F Пример. Найти момент M M O ( F) = силы F = ( ;0;4) относительно начала координат O, если известно, что сила F приложена к точке ( ; 3; 0). Решение. Сделаем чертеж. Построим вектор-рычаг O = ( ; 3; 0) и силу F = ( ;0;4), приложенную ( ; 3; 0). 4 Z F X O 3 Y

27 Находим момент силы согласно формуле 7 i j k M = O F = = i 3 0 j 0 + k = ( ; 4;3) = i 4 j 3 k 3.Линейная скорость V =ω OM вращения точки по окружности. Вектор угловой скорости ω точки перпендикулярен к плоскости окружности и его направление определяется по правилу правого буравчика при вращении его рукоятки в сторону скорости V. ω V O M Пример. Точка M движется по окружности с постоянной угловой скоростью ω= i+ 3 j вокруг оси, проходящей через начало координат. Найти скорость V этой точки в момент, когда x =, y =, z =. Решение. Применим формулу V - радиусвектор точки M. =ω OM, где OM = ( ; ;) ω V O M Запишем векторное произведение: V i j k =ω OM = 3 0 = i j + k = 3 i j 7 k = ( 3; ; 7 ) 4.Сила Лоренца F = Q ( v ) действует в магнитном поле на движущийся заряд Q со скоростью v.

28 Укажем направление силы Лоренца в случае положительного заряда. Векторы F, v имеют одинаковое направление, так отличаются на положительный множитель Q. Направление вектора v находим по правилу правого буравчика: поворачиваем первый вектор v в кратчайшем направлении к вектору. Поступательное движение буравчика покажет направление векторного произведения. v v Лекция 5. Смешанное произведение векторов свойства и приложения Определение смешанного произведения Смешанным произведением трех векторов,, c называется число, обозначаемое (,, ) c и равное (,, ) ( ) c = c. Эту запись понимается так. Сначала находим векторное произведение n =, а затем скалярно перемножаем вектора n, c. Поэтому смешанное произведение называется векторно-скалярным произведением. Смешанное произведение векторов, заданных проекциями, вычисляется по формуле: (,, ) x y z c = x y z x y z Строки определителя - это проекции перемножаемых векторов = (,, ), = ( x, y, z ), c = ( x, y, z ) x y z Выражения, содержащие смешанное произведение, преобразуются по обычным правилам. Однако есть исключение - при перестановке местами множителей следует менять знак смешанного произведения. Это означает, что при перестановке местами строк определителя у него меняется знак. 8

29 Применения смешанного произведения..геометрический смысл смешанного произведения. Объем V параллелепипеда, построенного на векторах,, с, с точностью до зна- V = ±,, c. Знак не учиты- ка равен смешанному произведению, т.е. ( ) вается, т.к. V 0 9 с.объем V треугольной пирамиды, построенной на векторах,, с, = ±. 6 равен V (,, c) c D C 3.Признак компланарности трех векторов: векторы,, c компланарны ( c,, ) = 0. 4.Тройка векторов c,, называется правой, если с вершины вектора c кратчайший поворот от к виден в положительном направлении. В противном случае тройка векторов называется левой. В случае правой тройки векторов смешанное произведение положительно, т.е. c,, > 0, а для левой отрицательно. ( ) c ϕ Типовые примеры Пример. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах = i, = 3 j, c = ( 0;; 4). Правой или левой будет связка векторов,, c?

30 30 Решение. Построим вектора и параллелепипед с ребрами,, c. Объем V параллелепипеда определим с помощью геометрического смысла смешанного произведения: V (,, c) =±. 4 Z c X O 3 Y Вычислим смешанное произведение с помощью определителя, составленного из проекций перемножаемых векторов: 0 0 ( c=,, ) Итак, = c,, > 0 V =. Связка векторов,, c правая, ибо ( ). Заметим, это означает, что с конца вектора c кратчайший поворот от вектора к вектору виден в положительном направлении (против часовой стрелке). Объем можно вычислить по обычной формуле V = S h= 34 = 4 Пример. Найти объем пирамиды CD, где ( ; ;), ( ;0; ) C ( 3;;), D ( 5; 4; 4). Решение. Сделаем схематический чертеж. D, C Введем вектора: = = ( ;0; ) ( ; ;) ( ; ;) = C= C( 3;;) ( ; ;) = ( ; ;0), =,

31 c= D= D( 5; 4; 4) ( ; ;) = ( 4; ;3). 3 Тогда объем пирамиды равен V (,, c) ( c=,, ) =± =( ) ( ) + = ( ) ( ) = 6 V ( c,, ) =± V = =. Ответ: 3 V =. 3 Пример 3. Доказать, что точки O ( 0;0;0), ( ; ;0), ( ; ;5), C ( 3;;5) компланарны. Решение. Четыре точки OC,,, лежат в одной плоскости ( т.е. компланарны) три вектора O, O, OC лежат в одной плоскости, т.е. их смешанное произведение равно нулю (признак компланарности). Векторы O=( ; ;0 ), O =( ; ;5), OC =( 3;;5 ) Вычислим смешанное произведение ( O, O, OC ) = = = ( ) ( ) = 0 Пример 4. Найти проекцию вектора n= на вектор c, если = ( ;; 0), = ( ; 0;), c = ( ;; ). Решение. Применим формулу проекции вектора на вектор Πp c n n c c c = = ( ) c. Применим определение смешанного произведения (,, ) ( ) c c Πp c n = ( ) = ( c,, ) c. c = c. ( c=,, ) 0 0 = = ( ) 3+ 0= 4

32 Модуль c = + + = 6, проекции 4 Πp n =. Ответ: 4 Πp c 6 n =. c 6 3 Примерные тесты по теме «Векторная алгебра» Вычислить +, если = 3 i+ j k, = 4 i+ 3 j k Ответ Ответ Ответ 3 Ответ 4 i+ 4 j 3 k i+ j+ k i+ 4 j+ 3 k 7 i j k Какой вектор n является ортом вектора = ( ; ;)? Ответ Ответ Ответ 3 Ответ 4 n = ; ; n = ; ; n = ( 0;0;) n = ; ; 3 Даны точки C,, (см.чертеж). Вычислить и построить вектор c = C. C Ответ Ответ Ответ 3 Ответ 4 ( 5; ) ( 5;4 ) ( 5;5 ) ( 5; ) 4 Найти значение k, при котором векторы = ( 6; 0; ), = ( 3; k; ) коллинеарны. Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Указать точку M ( xy, ; ) для которой векторы, M коллинеарны, если ( ; 3), ( 7;6)

33 Ответ Ответ Ответ 3 Ответ 4 ( 57;93 ) ( 57;95 ) ( 57;97 ) ( 57;96 ) 33 6 Даны три последовательные вершины C,, параллелограмма CD. Найти координаты вершины D, если ( ; ;5), ( ; ; 3), C ( 4;;) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ 4 D ( 5; ;0) D ( ; ; 4) D ( ; 4;4) D ( 6; ;4) Вектор n образует углы 60 и 45, 45 с осью абсцисс, ординат и осью аппликат соответственно. Вычислить сумму квадратов направляющих косинусов этого вектора. Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Такого вектора n не существует. Найти модуль вектора, если ( ; 3; ), ( 4;3; ) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Расстояние между точками ( ;6) и ( k ;) равно 5 при k равном Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Вычислить скалярное произведение (, ) 4, если = ( ; ; 6), ( 3; 4; ) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ 4 =. (, ) = 0 (, ) = 5 (, ) = (, ) = ( 3; 8;6) Вычислить скалярное произведение (, ) C ( 4;;) C, если ( ;;3), ( 5; ;3) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ 4 (, C ) = 0 (, C ) = ( 6;0;0) (, C ) = 6 ( ), C =,

34 Найти уголϕ между векторами,, если известно скалярное произведение (, ) = 8 и модули =, = 4 Ответ Ответ Ответ 3 Ответ 4 π ϕ= 6 π ϕ = 4 π ϕ = π ϕ= 3 3 Вычислить косинус угла α = C, если ( 4;3), ( 0;), C ( ;4) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ 4 cosα= cosα = 0 cosα = 0,8 cosα= 0,34 4 При каком значении λ векторы = ( λ ;7;), = ( ;;3) перпендикулярны: Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Вычислить проекцию вектора = ( ;5;7) на вектор = ( ;; ) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Вычислить работу силы F = i+ 4 j+ 3 k, приложенной к точке M ( xyz,,, ) при перемещении ее по прямой из положения ( ;0;) в положение ( 3;; 5) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Указать верное утверждение для векторов = ( x ; y ; z ), = ( x ; y ; z ) Ответ ( ) (, ) Ответ + = + + x + y + z x + y + z = Ответ 3 + = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) Ответ 4 Вектор находим по правилу параллелограмма 34

35 8 Вычислить векторное произведение, если = ( ; ; 4), = ( ;; 3) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ 4 ( ;; ) ( 0; ; 3) ( 0;; 3) Зная векторное произведение = 7 i 3 j+ 6 k, вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Найти площадь треугольника C,если : ( ; 4) ; ( ; 3) ; C ( ; 6) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Найти площадь параллелограмма CD, если : ( 3;; ) ; ( 5;4;3) C ( 8;7;7) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ ; Найти значение 7cos α для угла α, образованного вектором C с осью абсцисс, если : ( ;0;0) ; ( 3;3; 4) ; C ( 4;9;0) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Вычислить смешанное произведение векторов (,, ) C N, если: N = ( ; 0; 0), ( ; 0; 0) ; ( ;3;4 ); C ( ;;) Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах, C, N, если : N = ( ;0;0), ( 0;;) ; ( ;5; 9) ; C ( ; 4;5)

36 Ответ Ответ Ответ 3 Ответ Ответы для тестов Вопрос Ответ Вопрос Ответ

37 37 Библиографический список. Письменный Л. Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс / Л. Т. Письменный. Москва : Айрис Пресс, с.. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии-м: Наука, Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев. М. : Высш. шк., с. 4. В.П.Белкин. Персональный сайт. Список дополнительной литературы. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев. М. : Высш. шк., с.. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В ч. Ч. / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М. : Высш. шк., с. 3. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра.-м.наука, Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов.м.:наука,98.

38 Учебное издание 38 Составитель Белкин Валерий Павлович Векторная алгебра Методические указания для практических занятий Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом Подписано в печать хх.хх.04г. Формат бумаги 60х84 /6. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл.-печ. 0,64 л.. Уч.-изд. 0,7. л. Тираж 5 экз. Заказ. Сибирский государственный индустриальный университет , г. Новокузнецк, ул. Кирова, 4. Типография СибГИУ


Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

1 «Дорогу осилит идущий!» Д.Голсуорси

1 «Дорогу осилит идущий!» Д.Голсуорси «Дорогу осилит идущий!» Д.Голсуорси Введение... Лекция. Векторы на прямой, плоскости и в пространстве... Система координат на плоскости и в пространстве... Основные понятия...3 Взаиморасположение векторов...

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость... Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий... Геометрические образы уравнений и неравенств... Определение геометрического образа при помощи

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» МЕТОД КООРДИНАТ ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ НС Анофрикова ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов 05 ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов В механике различают величины скалярные и векторные. К скалярным величинам относятся: масса, энергия, механическая работа,

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее