МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное пособие Одесса 008

2 УДК План НМИ учг Составители: Паскаленко ВН, Стрелковская ИВ УТВЕРЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики и рекомендовано к печати

3 СОДЕРЖАНИЕ 1 Векторы Основные понятия 4 Линейные операции над векторами 5 1 Сложение векторов 5 Вычитание векторов 5 Умножение вектора на число 6 4 Свойства линейных операций над векторами Проекция вектора на ось и ее свойства 10 4 Линейная зависимость и независимость векторов 14 5 Базис на плоскости и в пространстве 19 6 Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме 7 Декартова прямоугольная система координат Формулы деления отрезка в заданном отношении 8 71 Декартова прямоугольная система координат 8 7 Формулы деления отрезка в заданном отношении 9 8 Скалярное произведение двух векторов 81 Скалярное произведение двух векторов 8 Геометрические свойства скалярного произведения векторов 8 Алгебраические свойства скалярного произведения векторов 4 84 Скалярное произведение векторов в координатной форме 5 85 Некоторые свойства скалярного произведения векторов в координатной форме 5 86 Направляющие косинусы вектора и их основное свойство Механический смысл скалярного произведения векторов 41 9 Векторное произведение двух векторов 4 91 Ориентация векторов в пространстве Правоориентированные и левоориентированные тройки векторов 4 9 Векторное произведение двух векторов 4 9 Геометрические свойства векторного произведения векторов 4 94 Алгебраические свойства векторного произведения векторов Векторное произведение векторов в координатной форме Некоторые свойства векторного произведения векторов в координатной форме Применение векторного произведения векторов в физике Смешанное произведение трех векторов Смешанное произведение трех векторов Геометрические свойства смешанного произведения векторов Алгебраические свойства смешанного произведения векторов Смешанное произведение векторов в координатной форме Некоторые свойства смешанного произведения векторов в координатной форме Контрольные вопросы 64 1 Проверочные тесты 66 1 Задачи для самостоятельного решения Ответы к задачам для самостоятельного решения 7 Литература 75

4 4 1 ВЕКТОРЫ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В Определение Вектором называется направленный отрезок А Векторы изображаются в виде отрезков со стрелками, указывающи- a ми направление вектора Обозначаются векторы или AB, CD, EF, Рисунок 11 или a, b, c, Определение Длина направленного отрезка называется модулем вектора Определение Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором и обозначается 0 r Определение Вектор, модуль которого равен единице длины, называется единичным вектором или ортом и обозначается e r, где e = 1 Определение Два вектора a r и b r называются равными, если они имеют равные модули и при этом сонаправлены ( a = b a = b, a b ) Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получаем вектор, равный данному Определение Два вектора называются противоположными, если они имеют равные модули и противоположные направления Определение Два вектора называются коллинеарными, если они находятся на параллельных прямых Определение Три вектора называются компланарными, если они находятся на прямых, параллельных одной плоскости Будем считать, что: 1) нулевой вектор коллинеарен любому вектору; ) нулевой вектор и любые два вектора компланарны; ) нулевой вектор одновременно сонаправлен и противоположно направлен любому другому вектору AB ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ a 4 a n 1 Сложение векторов a a a a 1 Рисунок 1 Определение Суммой векторов a, 1, a, an называется

5 такой вектор a, начало которого совпадает с началом вектора a 1, а конец с концом вектора a n, при условии, что векторы a 1, a,, a n образуют ломаную, в которой конец предыдущего вектора совпадает с началом следующего вектора (рис 1) Для сложения двух векторов используют так называемые правило треугольника и правило параллелограмма Правило треугольника Суммой a + b r r двух векторов a и b r является такой r r вектор a + b, начало которого совпадает с концом вектора a r, а конец совпадает с концом вектора b r, если начало вектора b r r r совпадает с концом вектора a r a + b (рис,а) Правило параллелограмма Суммой a r + b r двух векторов a r и b r, приведенных к общему началу, является вектор, лежащий на той из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a r та b r, как на сторонах, которая имеет с ними общее начало (рис,б) Рисунок,а r r a + b 5 Вычитание векторов Рисунок,б r r r Определение Разностью a b двух векторов a и b r называется такой вектор c r, который в сумме с вектором b r равен вектору a r Вычитание векторов можно выполнять по так называемым правилу треугольника или правилу параллелограмма b r Рисунок b r Рисунок 4 Правило r треугольника r r Разностью a b двух векторов a и b r является вектор, который соединяет конец вычитаемого с концом уменьшаемого и направлен в сторону уменьшаемого, если векторы a r и b r имеют общее начало (рис ) Правило параллелограмма r r r Разностью a b двух векторов a и b r, приведенных к общему началу, является вектор, лежащий на той из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a r и b r,

6 6 как на сторонах, которая соединяет их концы и направлена в сторону уменьшаемого (рис 4)

7 Умножение вектора на число 7 Определение Произведением вектора a на действительное число λ называется такой вектор b = λ a, который сонаправлен с вектором a r, если λ > 0 и противоположно направлен по отношению к вектору a r, если λ < 0, при этом b = λ a Такие операции над векторами, как сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами 4 Свойства линейных операций над векторами 1 Сложение векторов коммутативно, то есть для любых векторов a и b справедливо следующее равенство a + b = b + a Сложение векторов ассоциативно, то есть для любых векторов a, b, c справедливо следующее равенство ( a + b) + c = a + ( b + c) Для любого вектора a справедливо следующее равенство a + 0 = a Это так называемое свойство поглощения нулевого вектора 4 Для любого числа λ справедливо следующее равенство λ0 = 0 5 Для любого вектора a справедливо следующее равенство 0a = 0 6 Для любого вектора a справедливо следующее равенство ( 1) a = a, то есть для любого вектора существует противоположный вектор 7 Для любого вектора a справедливо следующее равенство a + ( a ) = 0 8 Сложение векторов дистрибутивно относительно умножения на число, то есть для любого числа λ и любых векторов a и b справедливо следующее равенство λ(a + b ) = λa + λb 9 Сложение векторов дистрибутивно относительно умножения на вектор, то есть для любых чисел λ и µ и любого вектора a справедливо следующее равенство (λ + µ)a = λa + µa 10 Умножение вектора на число ассоциативно относительно числового множителя, то есть для любых чисел λ и µ и любого вектора a справедливо следующее равенство λ(µa ) = (λµ)a

8 8 1 Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов Для того, чтобы два вектора a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало действительное число λ, удовлетворяющее условию b = λ a Замечание Если векторы a и b коллинеарны и a 0, то число λ, удовлетворяющее условию b = λ a, называется отношением векторов b и a При этом λ является числом положительным, если векторы a и b сонаправлены и отрицательныем, если векторы a и b противоположно направлены Для не коллинеарных векторов понятие отношения не существует Задание для самостоятельной работы Доказать справедливость свойств 1-11 Пример 1 Задан параллелограмм А 1 А А А 4 Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О Точки М 1 и М являются соответственно серединами сторон А А и А 1 А 4 Построить следующие векторы: 1) OA + A A4 + OA ; ) А 1А + А М1 ОМ1 + А А4 Решение A A 1) По правилу треугольника суммой векторов OA и A A 4 является вектор O ОА 4 Векторы ОА 4 и ОА имеют одинаковые модули, то есть ОА 4 = ОА и противоположно направлены; значит, OA 4 = OA Тогда OA 4 + OA = A 1 A 4 = OA + OA = 0 Таким образом, Рисунок 5 OA + A A4 + OA = = ( OA A A4 ) + OA = OA4 + OA A 1 А 1 M 1 + = 0 (рис 5) ) По правилу треугольника суммой A M 1 A векторов A 1 A и A M 1 является вектор A 1 M 1 Дальше найдем сумму век- O торов A 1 M 1 и A A 4 A 1 M + 1 A A = 4 A 1 M + 1 M 1 M = A 1 M M A 4 Теперь отстроим вектор OM 1 от Рисунок 6 точки А 1 Значит, OM 1 = А 1 M, где М M середина отрезка А 1 А Тогда ОM = А 1 M А 1 M = M M = ОA 4 (рис 6) a b r b r b r b r

9 Пример На векторах a, b и c, как на сторонах, построен параллелепипед Выразить через векторы a, b, c диагонали параллелепипеда, боковых гра- r r r ней и основания, имеющие общее начало с векторами a, b, c Решение Рассмотрим параллелограмм uuuur uuur uuur ОВМА, r r лежащий в основании параллелепипеда (рис 7) Тогда OM = OA + OB = a + b Боковые грани представлены параллелограммами OADC и ОВЕС Значит, C E uuur uuur uuur r r uuur uuur uuur r r OD = OA + OC = a + c ; OE = OB + OC = b + c Д c F Рассмотрим параллелограмм OMFC: uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r r r OF = OM + OC = OA + OB + OC = a + b + c 0 b Пример На векторах a и b, как на сторонах, построен параллелограмм Проверить B А М Рисунок 7 справедливость следующего равенства ( a + ) (a ) = b b b Решение На векторах a и b, как на сторонах, построим параллелограмм ОАСВ B C 9 O a A E a = OA ; b Рисунок 8 = OB По правилу параллелограмма имеем a + b = OC ; a b = BA От точки О отстроим вектор OE = a b Вследствие такого построения получили треугольник ОЕС По правилу треугольника имеем OC OE = EC, то есть (a +b ) (a b ) = EC Так как четырехугольник ОЕАВ параллелограмм по построению, то АЕ = ВО = СА, значит, вектор EC = b Таким образом, ( a +b ) (a b ) = = b

10 10 Пример 4 На прямой L расположены точки М 1, М, М,, М 10 таким образом, что M 1 M = M M = = M 9 M 10 Найти отношение векторов: 1) M 8 M 4 : M10M ; ) M 1 M 5 : M 5M Решение Примем в качестве масштабной единицы отрезок M 1 M Тогда M 8 M 4 = 4 M 1 M ; M 10 M = 7 M 1 M ; M 1 M 5 = 4 M 1 M ; M 5 M = M 1 M Векторы M 8 M 4 и M 10 M сонаправлены, значит, их отношение будет таким M 8 M 4 4 M1M 4 = = M M 7 M M 7 10 Векторы M 1 M 5 и M 5 M противоположно направлены Значит, их отношение будет таким M 1 M 5 4 M1M = = M M M M m Пример 5 Выяснить, коллинеарны ли векторы p 4q r = + m = p q 6r и 1 + Решение Проверим, существует ли отношение векторов m 1 и m m1 p q + 6r p q + 6r 1 = = = m p 4q + r ( p q + 6r Таким образом, векторы m 1 и m коллинеарны и, к тому же, сонаправлены ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ И ЕЕ СВОЙСТВА Определение Осью называется прямая, на которой задан единичный вектор и точка, определяющая начало отсчета Единичный вектор e и точка О однозначно определяют ось l B Определение Алгебраической прямоугольной A 0 e A 1 B 1 Рисунок 1 uuur проекцией вектора AB на ось l на-

11 зывается uuuur число, которое равно модулю вектора A1 B1 на оси l, расположенного между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось l; это число берется со знаком плюс, если uuuur направлением вектора A1 B1 совпадает с направление оси l и со знаком минус в противном случае (рис 1) Обозначение проекции: пр AB = ± A 1 B 1 Определение Углом между осью и вектором называется угол между двумя лучами, исходящими из одной точки, если направление одного луча совпадает с направлением оси, а направление другого луча совпадает с направлением вектора Теорема 1 Проекция вектора a r на ось l равна произведению вектора a r на косинус угла наклона вектора a r к оси l 11 По условию, à ïð = ïð AB = ± A 1 B 1 Рассмотрим вектор uuur r AB = a (рис ) Построим прямую АE l Из прямоугольного треугольника АВE имеем: AE = a cos ϕ Фигура А 1 АЕВ 1 представляет собой прямоугольник, поэтому uuur uuuur AE = A B Виходит, что 1 1 При этом, Рисунок пр a = a cos ϕ (1)

12 Рисунок 4 1 π пр a = AB = a cos ϕ, если 0 ϕ ; π пр a = AB = a cos ϕ, если ϕ π Теорема Если векторы равны, то их проекции на одну и ту же ось равны между собой uuur r uuur r Рассмотрим векторы AB = a и CD = b, равные между собой (рис ) Из uuur равенства векторов AB и CD uuur выходит, что uuur AB CD uuur uuur uuur, AB = CD b D A a B E C F 0 e A 1 B 1 C 1 D 1 Рисунок Построим вспомогательные прямые АЕ и СF, параллельные оси l Прямоугольные треугольники ΔАВЕ и ΔCDF равны между собой по гипотенузе и острому углу Тогда AE = CF Фигуры А 1 АЕВ 1 и С 1 CFD 1 являются прямоугольниками, значит, uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur AE = A1 B1, CF = C1D1, откуда A1 B1 = C1D1 или пр a = пр b r r Примечание a = b, значит a и b сонаправлены и их проекции на ось имеют 1) B одинаковые знаки A C Теорема Проекция суммы векторов на ось l равна сумме проекций 0 e A 1 B 1 C 1 векторов на ось l B uuur r Рассмотрим векторы AB = a, BC = b ) A a+b b По условию, пр a = пр AB = ± A 1 B 1, C пр b = пр BC = ± B 1 C 0 e A 1 C 1 B 1 (рис 4) Построим вектор AC = AB + BC Тогда 1 uuur uuur uuur C ) B пр ( AB + BC ) = ± A 1 C a 1 и A пр AB + пр BC = ± A1 B1 + ( ± B1C 1 ) 0 e B 1 C 1 A 1 В зависимости от взаимного расположения точек А 1, В 1, С 1 возможны случаи, B 4) C изображенные на рис 4 A 0 e B 1 C 1 A 1

13 В случае 1) (рис 4,1) имеем ïð a + ïð b = ïð AB + ïð BC = A1 B1 + B1C 1 = В случае ) (рис 4,) имеем = A1 C1 = ïð AC = ïð ( a + b) ïð a + ïð b = A1 B1 B1C 1 = A1 C1 = ïð AC = = ïð ( a + b) В случаем ) (рис 4,) имеем ïð a + ïð b = A1 B1 + B1C 1 = A1 C1 = ïð AC = ïð ( a + b) В случаем 4) (рис 4,4) имеем пр a + прb = A1 B1 B1C 1 = A1 C1 = пр AC = пр ( a + b) Таким образом, доказано, что пр ( a + b) = пр a + пр b () Теорема 4 При умножении вектора a на число λ его проекция на ось l тоже умножается на число λ r uuur r uuur Построим векторы а = AB и λ a = AC (рис 5) С Тогда пр a = ± A 1 B 1, пр ( λ a ) = ± A 1 C 1 В По условию ± AC А = λ ± AB Тогда по теореме Фалеса ± A1 C 0 е А В 1 = λ 1 1 С 1 l ± A1 B1 Отсюда, Рисунок 5 ± A1 C1 = ± λ A1 B1 или пр ( λ a) = λ пр a Пример 6 Заданы векторы a r, b r и ось l Известно, что a = 5; b = 5 ; r r o o ( l; a) = 0 ; ( l; b) = 60 и векторы a r и b r расположены по разные стороны от оси r r l Найти величину угла между вектором ( a + b) и осью l a a 1

14 14 O a 0 А E Решение 60 a+b b С В Рисунок 6 Используя r r правило параллелограмма для сложения векторов, построим вектор ( a + b) (рис 6) пр ( a + b) = пр a + пр b = a cos( ; a) + + b cos( ; b) = 5cos0 5 5 = + = 5 В то же время, пр r r Найдем a + b + 5 cos60 ( a + b) = a + b cos EOC = как длину диагонали параллелограмма ОАСВ АОВ = АОЕ+ ЕОВ = = 90 Значит, параллелограмм ОАСВ является прямоугольником По теореме Пифагора из треугольника ОBC имеем ( 5 ) + 5 = 100 = 10 OC = OB + BC = Тогда пр ( a + b) 5 cos EOC = = =, a + b 10 r r а сам угол между вектором a + b и осью l равен 0o 4 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ Определение Линейной комбинацией векторов 1,,, n называется вектор λ λ + + λ n n, где λ k ( k = 1,,, n) какие-либо дей- ствительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации Определение Векторы 1,,, n называются линейно зависимыми, если существует такая совокупность коэффициентов λ 1, λ,, λ n, сре-

15 ди которых хотя бы один отличается от нуля, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, то есть n n λ k k = 0, где λ 0 k k = 1 k = 1 Определение Векторы 1,,, n называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно только в том случае, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то есть, n n λ k k = 0, где λ = 0 n = k = 1 k = 1 k Замечание Равенство λ 0 эквивалентно равенству λ k 1 = λ = = λ n = 0 k = 1 Теорема 1 Если среди векторов 1,,, n имеется хотя бы один нулевой вектор, то такие векторы линейно зависимы 1 Пусть = 0 Составим нулевую линейную комбинацию заданных векторов с коэффициентами λ 1 0, λ = λ = λ n = 0: λ n Тогда очевидно, что λ n = 0 В связи с тем, что λ 1 0, векторы 1,,, n линейно зависимые векторы 1 n имеется p (р n) линейно-зависи- Теорема Если среди векторов,,, мых векторов, то и векторы 1,,, n также линейно-зависимы Пусть векторы 1,,, р линейно-зависимы, то есть n λ 11 + λ + + λ р р = 0, и при этом λ 0 Составим следующую нулевую линейную комбинацию векторов 1,,, n : λ λ + + λ р p k k = p p n Отсюда выходит, что (λ λ + + λ р p ) + 0 p p n = 0 В этой нулевой линейной комбинации есть хотя бы один коэффициент, отличный от нуля, что следует из линейной зависимости первых р векторов Значит, все векторы 1,,, n линейно-зависимы 15

16 16 Теорема Если среди векторов 1,,, n один из векторов является линейной комбинацией остальных векторов, то векторы 1,,, n линейно зависимы Пусть n = λ λ +, λ n 1 n 1 Тогда имеем n = λ λ +, λ n 1 n 1 + ( 1) n = 0 Так как в этой нулевой линейной комбинации есть коэффициент λ n = = 1 0, то это означает, что векторы 1,,, n линейно зависимы Необходимое и достаточное условие линейной зависимости двух векторов Теорема 4 Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны І Необходимость Пусть векторы 1 и линейно зависимые векторы Докажем, что они коллинеарны В соответствии с предположением о линейной зависимости векторов 1 и имеем λ 11 + λ = 0, где хотя бы один из коэффициентов отличается от нуля Пусть λ 1 λ 0 Тогда, 1 = Обозначим λ λ = k Отсюда λ 1 = k, что говорит о коллинеарности векторов 1 и 1 ІІ Достаточность Пусть 1 и коллинеарные векторы Докажем, что они линейно зависимы Из предположения о коллинеарности векторов 1 и следует, что существует такое число k 0, что 1 = k или ( k ) = 0 Выходит, что векторы 1 и линейно зависимы Следствие 1 Для того, чтобы два вектора были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны Следствие Для того, чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы Необходимое и достаточное условие линейной зависимости трех векторов Теорема 5 Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны 1

17 17 І Необходимость Пусть векторы 1,, линейно зависимы Докажем, что они компланарны В соответствии с условием λ + λ + λ = 0, n где k = 1 λ k 0 Предположим, что λ λ 1 λ 0, тогда 1 = Введем обозначения λ λ λ 1 k 1 =, λ k λ = λ Тогда = k 11 + k Последнее равенство говорит о том, что вектор, как сумма векторов k 1 1 и k, совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах k 1 1 и k, как на сторонах В связи с тем, что векторы k 1 1 и k коллинеарны соответственно векторам 1 и, векторы 1,, лежат в одной плоскости, а значит, компланарны ІІ Достаточность Пусть векторы 1,, E B 1 компланарны Докажем, что они линейно зависимы Если среди векторов 1,, B есть коллинеарные векторы, то по теореме векторы 1,, O A A 1 линейно зависимы Будем теперь 1 считать, что среди векторов 1,, Рисунок 41 нет коллинеарных векторов Отстроим эти векторы от одного начала (рис 41) С конца вектора проведем прямые, параллельные векторам 1 и Вследствие такого построения получим параллелограмм ОА1 ЕВ 1 Вектор OA1 коллинеарен вектору 1, а вектор OB1 коллинеарен вектору Тогда uuur uuur существуют такие числа k 1, k, что OA 1 = k11, OB 1 = k Отсюда = k 11 + k или k 11 + k + ( 1) = 0, что и подтверждает линейную зависимость векторов Следствие 1 Для того, чтобы три вектора были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны Следствие Среди трех некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов Следствие Для того, чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы Теорема 6 Любые четыре векторы линейно зависимы 1 1

18 18 О А А 1 А А 4 1, Пусть среди векторов,, есть три компланар- 4 ных вектора Тогда, по теореме, векторы 1,,, 4 линейно зависимы Теперь будем считать, что среди векторов 1,,, 4 нет компланарных Пусть векторы 1,,, 4 приведены к общему началу О (рис 4) Построим такой параллелепипед, для которого точка О является одной из вершин, а отрезок OL является одной из диаго- Рисунок 4 налей и при этом OL = 4 В основании параллелепипеда лежит параллелограмм ОА 1 А 4 А такой, что на отрезке OА 1 лежит вектор 1 На отрезке OА ле- жит вектор, а на отрезке OА лежит вектор Значит, векторы 1,, параллельны соответственно сторонам OА 1, OА, OА параллелепипеда Из условия коллинеарности векторов 1 OA1, OA, OA выходит, что существуют такие числа λ 1, λ, λ, которые удовлетворяют следующим равенствам OA 1 = λ 11, OA = λ, OA = λ Рассмотрим параллелограмм ОА 1 А 4 А Очевидно, что OA 4 = OA1 + OA Рассмотрим теперь параллелограмм ОА 4 LА Очевидно, что OL = OA 4 + OA Принимая во внимание предыдущее равенство, приходим к выводу, что OL = OA1 + OA + OA или 4 = λ 11 + λ + λ Таким образом, вектор 4 является линейной комбинацией векторов 1,,, что в соответствии с теоремой свидетельствует о линейной зависимости векторов 1,,, 4 Пример 7 На ребрах треугольной пирамиды ABCS расположены векторы SA, SB, SC, AB, BC, CA Найти линейно зависимые и линейно независимые векторы L

19 Решение S 19 Рассмотрим следующие пары векторов: AB, BC ; AB, CA ; BC, CA ; AB, SA; AB, SB ; AB, SC ; BC, SA; BC, SB ; BC, SC ; CA, SA; CA, SB ; CA, SC ; SA, SB ; SA, SC ; SB, SC Указанные пары векторов это не коллинеарные векторы Значит, в соответствии со следствием из теоремы 4, имеем пары О С линейно независимых векторов Среди ребер пирамиды имеются следующие тройки компла- В нарных векторов: AB, BC, CA ; Рисунок 4 AB, SA, SB ; BC, SB, SC ; CA, SA, SC В соответствии с теоремой 5 указанные тройки векторов линейно зависимы Векторы SA, SB, SC не компланарны В соответствии со следствием 1 из теоремы 5 векторы SA, SB, SC линейно независимы Теперь рассмотрим следующие четверки векторов: SA, SB, SC, AB ; SA, SB, SC, BC ; SA, SB, SC, CA ; AB, BC, CA, SA; AB, BC, CA, SB ; AB, BC, CA, SC ; AB, BC, SA, SB ; AB, BC, SA, SC ; AB, BC, SB, SC ; AB, CA, SA, SB ; AB, CA, SA, SC ; AB, CA, SB, SC ; BC, CA, SA, SB ; BC, CA, SA, SC ; BC, CA, SB, SC В соответствии с теоремой 6 все указанные четверки векторов линейно зависимы 5 БАЗИС НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Определение Базисом на плоскости называются любые два линейно не зависимых вектора, выбранные в определенном порядке Определение Базисом в пространстве называются любые три линейно независимые вектора, выбранные в определенном порядке Теорема 1 Если на плоскости векторы 1 та образуют базис, то любой компланарный с ними вектор a r, можно единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов В соответствии с условием векторы a r, 1 и компланарны, а значит, они линейно зависимы Тогда один из векторов можно представить в виде линейной комбинации двух других неколлинеарных векторов

20 0 a = λ 11 + λ (51) Докажем теперь, что разложение (51) единственно Для этого предположим, что имеет место равенство a = µ 11 + µ (5) Почленно вычитая из равенства (51) равенство (5), получим нулевую линейную комбинацию 0 = ( λ 1 µ 1) 1 + ( λ µ ) (5) По условию векторы 1 и линейно независимы, поэтому равенство (5) возможно лишь в том случае, когда λ 1 µ 1 = 0 и λ µ = 0, а это равносильно условиям λ 1 = µ 1 ; λ = µ, из чего следует единственность разложения Теорема Если в пространстве векторы 1,, образуют базис, то любой вектор a r пространства можно единственным образом представить в виде их линейной комбинации Из теоремы 6 (п 4) следует, что если 1,, некомпланарные векторы, то любой вектор a r можно представить в виде их линейной комбинации a = λ 11 + λ + λ (54) Докажем теперь, что это разложение единственное С этой целью предположим, что имеет место равенство a = µ 11 + µ + µ (55) Вычитая почленно равенство (55) из равенства (54), получим нулевую линейную комбинацию 0 = ( λ 1 µ 1) 1 + ( λ µ ) + ( λ µ ) (56) По условию векторы 1,, линейно независимы, поэтому равенство (56) возможно лишь в том случае, когда λ 1 µ 1 = 0, λ µ = 0, λ µ = 0 или λ 1 = µ 1 ; λ = µ, λ = µ Тем самым доказана единственность разложения (54) Определение Если векторы 1 и образуют базис на плоскости, а вектор a = λ 11 + λ, то числа λ 1 и λ называются координатами вектора a r в базисе 1,, при этом используются обозначения a = { λ 1; λ λ 1 } или a = λ Определение Если векторы 1,, образуют базис в пространстве, а вектор a = λ 11 + λ + λ, то числа λ 1, λ, λ называются координата-

21 ми вектора a r в базисе 1,, 1, при этом используются обозначения: a λ 1 = { λ 1; λ ; λ } или a = λ λ Базисов на плоскости и в пространстве существует бесчисленное множество Один и тот же вектор в разных базисах имеет разные координаты Определение Два вектора в одном базисе называются равными, если равны их соответствующие координаты Для удобства условимся использовать так называемый ортонормированный базис Определение Базис, образованный единичными, взаимно перпендикулярными векторами, называется ортонормированным базисом Ортонормированные базисы в пространстве бывают левоориентированными и правоориентированными Если при наблюдении с конца вектора k r кратчайший поворот от вектора i r к вектору j r происходит в направлении против часовой стрелки, то базис, образованный векторами i r, j r, k, называется правоориентированным, а если по часовой стрелке то левоориентированным (рис 51) Координаты вектора в ортонормированном базисе равны прямоугольным проекциям вектора на направление соответствующих базисных векторов j k k 0 i 0 0 j а) i б) j в) Рисунок 51 i Пример 8 Задана равнобедренная трапеция М 1 М М М 4 На большем основании М 1 М расположен вектор 1, а на боковой стороне М1 М 4 расположен вектор так, что 1 = М1 М = µ, = М1 М 4 = ν Углы при большем основании π равны Считая векторы 1 и базисными векторами, выразить векторы,

22 расположенные на других сторонах и диагоналях трапеции через базисные векторы М 1 π М 4 М 5 М М Решение По условию M 1M = 1 ; M1M 4 = ; 1 = µ, = ν Рассмотрим треугольник М 1 М М 4 По правилу треугольника имеем: M M 4 = M1M 4 M1M = 1 = 1 + Рисунок 5 Рассмотрим треугольник М 1 М 4 М 5 Это прямоугольный треугольник, в котором М 5 М 1 М 4 = Тогда М1 М 5 = = M 1 М 4 cos или М 1 М 5 = ν Отсюда π π 1 М М 4 = µ ν Рассмотрим отношение векторов M 4 M та M 1 M Так как эти векторы сонаправлены, имеем M 4M µ ν = M µ 1M Тогда µ ν M 4M = M1M µ или µ ν M 4M = 1 µ Рассмотрим треугольник М 1 М М 4 По правилу треугольника получаем M 1M = M1M 4 + M 4M или µ ν µ ν M 1M = + 1 = 1 + µ µ Наконец, рассмотрим треугольник М 1 М М По правилу треугольника выходит, что M M = M1M M1M или µ ν M M = µ Окончательно имеем ν M M = 1 + µ


Министерство инфраструктуры Украины Государственная служба связи Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра высшей математики

Министерство инфраструктуры Украины Государственная служба связи Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра высшей математики Министерство инфраструктуры Украины Государственная служба связи Одесская национальная академия связи им АС Попова Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное пособие для иностранных студентов

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы векторной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны. Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского" СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ Учебное пособие А.В. Букушева, А.В. Гохман, М.В. Лосик Саратов 2013 ВВЕДЕНИЕ Традиционно курс

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» МЕТОД КООРДИНАТ ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ НС Анофрикова ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее