МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Дисциплина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (наименование дисциплины в соответствии с ФГОС ВПО и учебным планом) Укрупненная группа 1 информатика Физико-математические науки и фундаментальная Направление 11 Математика 12 Математика и компьютерные науки 16 Механика и математическое моделирование Факультет Математики и информатики Кафедра алгебры и математической логики Красноярск 27

2 Методические указания к самостоятельной работе студентов Самостоятельная работа с лекционным материалом При отборе материала для изучения и его изложении разработчики руководствовались следующими соображениями: курс аналитической геометрии преподается в первом семестре первого курса. Чтобы переход к сложному теоретическому материалу прошел незаметно, на первых лекциях подробно разбираются действия с векторами, что, с одной стороны, уже известно, а с другой интересно; лекции снабжены вопросами для проверки того, насколько усвоен материал; информации в курсе должно быть достаточно для изучения других дисциплин учитывающих знания по данному курсу. так как данный курс предназначен для прикладных специальностей, часть материала имеет прикладной характер. Что бы понять уровень знаний дисциплины попробуйте ответить на следующие вопросы: 1. Каковы свойства операции сложения векторов? 2. Каковы свойства операции умножения вектора на число? 3. Какие векторы называются компланарными? 4. Какие векторы называются коллинеарными? 5. Когда система векторов является линейно-зависимой? 6. Могут ли быть 4 вектора линейно независимы? 7. Сколько векторов составляют базис на прямой, на плоскости, в пространстве? 8. Как меняются координаты вектора при изменении порядка векторов, составляющих базис?

3 9. Что такое прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве? 1. Как связаны координаты точки в полярной и прямоугольной системах координат? 11. Как связаны координаты точки в цилиндрической и прямоугольной системах координат? 12. Как связаны координаты точки в полярной и прямоугольной системах координат? 13. Каковы основные свойства скалярного произведения 2 х векторов? 14. Как через скалярное произведение выписывается условие ортогональности 2-х векторов? 15. По какой формуле находится скалярное произведение векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе? 16. Каковы основные свойства векторного произведения 2 х векторов? 17. Как через скалярное произведение выписывается условие коллинеарности 2-х векторов? 18. По какой формуле находится векторное произведение 2-х векторов, заданных своими координатами в правом ортонормированном базисе? 19. Каковы основные свойства смешанного произведения 3 х векторов? 2. Как через смешанное произведение выписывается условие компланарности 2-х векторов? 21. По какой формуле находится смешанное произведение 2-х векторов, заданных своими координатами в правом ортонормированном базисе? 22. Какая поверхность называется цилиндрической? 23. Какая поверхность называется конической? 24. Что задает уравнение 2х+3у=5 на плоскости? 25. Что задает уравнение 2х+3у=5 в пространстве? 26. Что задает уравнение 2х 2 +3у 2 =5 на плоскости? 27. Что задает уравнение 2х+3у=5 в пространстве? 28. Является ли вектор a r (2,6,8) направляющим для прямой x = 1 + ty, = 2+ 3 tz, = 3+ 4t? 29. Чему равен эксцентриситет эллипса 3x + 3y = 1, если уравнение записано в канонической системе координат? 3. 2 Является ли однополостной гиперболоид 3x + 3y 4z = 1 фигурой вращения? 31. Является ли преобразование плоскости, задаваемое формулой x = x+ y, y = x y линейным? Аффинным? 32. Основные задачи вычислительной геометрии. Где возникают. 33. Сформулируйте задачу генерации сложных ландшафтов. Какие методы её решения вы можете предложить? 34. Задача о близости о чём это?

4 1. Самостоятельная работа с материалом для практических занятий Вопросы для самопроверки: 1. Векторы e r (1, 2,3) и f ur (2,4,6) друг другу компланарны или коллинеарны? 2. Скалярное произведение вектора e r (1, 2,3) на вектор ur f (2,4,6), если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе, равно 16 или 28? 3. Какие из прямых на плоскости друг другу параллельны, а какие перпендикулярны? x + y= 1,2 x+ 2y= 4, x y=? Система координат прямоугольная. 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2,2) и образующей с положительным направлением оси OX угол Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(1,-3) параллельно и перпендикулярно прямой 2y+ 4x 5=. Система координат прямоугольная. x x y y 6. Уравнение прямой = называется: l m А) параметрическим Б) общим В) каноническим? x y 3 7. Прямой = принадлежит точка: 3 4 А) A (,) Б) B (3,7) В) C( 1,) Г) D (6,4)? 8. В векторном уравнении прямой L : r = r + te r вектор e r : А) перпендикулярен L Б) параллелен L π В) составляет с L угол 3 Г) перпендикулярен r?

5 9. Прямая x = совпадает: А) с осью OX Б) с осью OY? z 1. Плоскость x y+ = 2 отсекает на оси OX отрезок равный: 4 А) 1 Б) 1 2 В) 4 Г) 2? 11. Расстояние от точки A(1, 2, ) до плоскости y = равно: А) 1 Б) 3 В) 1 2 Г) 2? 12. Прямая, совпадающая с осью OZ, имеет уравнение: А) x + y = Б) x =, y = В) x = 1, y = 1 Г) z = 1 x y 13. Написать уравнение касательной к эллипсу + = 1в точке (, ), убедившись, что точка лежит на эллипсе. 14. Написать уравнение фигуры вращения, получающейся при вращении линии х=z вокруг оси ОХ. 15. Определить образ прямой х=z при преобразовании x = x+ y, y = x y. 16. Решите задачу построения триангуляции Делоне для следующего набора точек плоскости: {(, ), (5, 2), (1, 5), (15, 1), (25, 5), (3, 15), (25, 5), (3, ), (15, 25), (2, 15), (5, 35), (, 5)} Построить диаграмму Вороного для следующего множества точек {(, ), (1, 15), (5, 15), (15, )}.

6 1 занятие: 2;5;7;1;21;37 [3]; 2 занятие: 1.3;1.1 (2,3);1.7;1.13 [4]; 3 занятие: 1.23, 1.25 [4], 91, 11, 117, 12, 124, 129 [3]; 4 занятие: 132 [3], 2.2, 2.3(2,3), 2.4, 2.5, 2.27(2,3), 2.32(2) [4]; 5 занятие: 3.1(3), 3.12, 3.19(3,4), 3.2, 3.2(1), 3.23, 3.1 [4]; 6 занятие: 4.1, 4.3, 4.5, 4.9, 4.27 [4].; 7 занятие: 292, 35, 331, 343, 348, 352 [3]; 8 занятие: 5.2(1), 5.8, 5.1(2), 5.18, 5.22(2), 5.26(2), 5.29, 5.39(5), 5.35, 5.56 [4]; 9 занятие: 6.2, 6.2, 6.22, , ; 1 занятие: 6.16, 6.18, 6.24, 6.26, 6.71; 11 занятие: 7.22(2), 7.38(8), 7.54(2), 7.25(4), 7.38(3), [4]; 12 занятие: 9.4(4,5) [4]; 13 занятие: 1.6, 1.12(1), 1.3, 1.38, 1.58,1.63, 1.83 [4]; 14 занятие: 12.14, 12.16, 12.38, 12.42, 12.58[4]; 15 занятие: 12.64, 12.66, 12.7 [4] 16 занятие 5.8.8, [6] 17 занятие 6.6.1, [6] 1. Беклимешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука,2. 2. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: МГУ, Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.:Физматлит, Goodman E. J. O'Rourke J. Handbook of discrete and computational geometry. CHAPMAN & HALL/CRC, Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. М.: Мир, Индивидуальное задание N 1

7 1. Даны точки A (2, 3, 4), B (9, 3, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении / Даны две вершины треугольника: A (2, 4, 1) и B( 2, 3, 4). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на оси OZ, а середина стороны BC на плоскости z = 5. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 3 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точки по ее прямоугольным координатам: A (3, 3, 6). r 5. Дан вектор a (4, 3, 2). Найти ортогональную проекцию вектора b r, на прямую, направление которой определяется вектором a r, и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r имеет координаты (-2,-1,4). 6. Даны точки A( 31),,, B(),,,, C(32),,, D(2761),,, являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 =, 1m2 =, 3 m3 =, 1m4 =, 3 расположенными соответственно в A, BCD,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ; 11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении прямой y = вокруг прямой y= x. 8. Записать уравнение прямой x = 3+ 7ty, = 7+ 3tв виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: 15x 9y 6 =, 2x + 12y + 8 =. 1. Даны две вершины треугольника (2, 3) и (6, 7) и точка пересечения его медиан (4, 1). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 5x + 3y+ 9=, 5x+ 2y+ 9=, 2x y+ 8= Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону. 12. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми x 7, y = 1 и 2x y = 7, внутри которого лежит точка A( 31),.

8 13. 1) Зная параметрические уравнения плоскости: x = 3+ 8vy, = 4+ 6u+ vz, = 1+ 3y 3u; составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 3x + 2y 4z+ 1=, составить ее параметрические уравнения. 14. Даны две прямые x = 3+ 2ty, = 7+ tz, = 1+ tи 2x + y z = 15, x+ y z+ 2=. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку À (1, 3, ) и параллельной прямым x + 3y z+ 3=, 2x+ y+ 5z+ 1= и 2x + y z = 15, x+ y z+ 2=. 16. В пучке, определяемом плоскостями 4x 3y+ z+ 5= и 3x + 2y 3z+ 2=, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку A( 5, 5, 5). 17. Вычислить эксцентриситет эллипса, если расстояние от фокуса до дальней вершины большой оси в 1,2 раза больше расстояния до ближайшей вершины. 18. В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 45, а расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если расстояние от фокуса до директрисы равно Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое 9x 24xy+ 16y 8x+ 19y+ 4=. 21. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 4x + 15y 8x 3y 5=. 22. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 4x + 6y + 4z + 4xz 8y 4z+ 3=.

9 Индивидуальное задание N 2 1. Даны точки A (5, 3, 1), B (1, 3, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении 23 /. 2. Даны две вершины треугольника: A (4, 1, 2) и B( 213),,. Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на прямой x = 3, z = 4, а середина стороны BC на плоскости y = 7. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 45 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точки по ее прямоугольным координатам: A(, 1 3, 13). r 5. Дан вектор a (4, 11),. Найти ортогональную проекцию вектора b r на прямую, направление которой определяется вектором a r, и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r имеет координаты (2,-1,5). 6. Даны точки A(4, 11),, B(4, 2, 1,), C(6, 11),, D(4, 2, 3), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 = 4, m2 = 1, m3 = 1, m4 = 3, расположенными соответственно в A, BCD,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ; 11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении гиперболы x 3y = 5, z = вокруг ее мнимой оси. 8. Записать уравнение прямой x = 4+ 5ty, = 3 8tв виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: x = 1+ ty, = 1 4tx ; = 2+ 4ty, = 3 3t.

10 1. Даны две вершины треугольника (2, 3) и (5, 2) и точка пересечения его медиан (3, 1). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 3x + 4y+ 11=, 2x y+ 5=, 2x 3y 2=. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону. 12. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми 3x + 2y + 1= и x + y = 7, внутри которого лежит точка A (2, 1) ) Зная параметрические уравнения плоскости: x = 1+ 2uy, = 7+ u+ vz, = 3+ 4v; составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 4x 3y 2z+ 1=, составить ее параметрические уравнения. 14. Даны две прямые x = 1+ 3ty, = 7+ tz, = 3+ 4tи x = 6+ 3ty, = 1 3tz, = 2+ t. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку À(,, 5 5 5) и параллельной прямым 4x 3y+ z+ 5=, 2x 3y+ 2z+ 1= и 2x + y z+ 1=, 3x+ 2y 3z+ 2=. 16. В пучке, определяемом плоскостями 2x + y z = 1 и 5x + y z+ 2=, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку A (1, 3, ). 17. В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, а расстояние между фокусами равно Вычислить эксцентриситет гиперболы, если ассиптотами являются прямые y=+ (3/ 5) x, y= (3/ 5) x. 19 В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если точка(8,2) принадлежит параболе. 2. Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое x xy+ y + x+ y=. 21. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 9x + 8y 3z 18x 16y 6z+ 14=. 22. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое x + y + 2xy z+ 1=.

11 Индивидуальное задание N 3 1. Даны точки A (3, 5, 4), B (7, 3, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB B отношении 5/ Даны две вершины треугольника: A (2, 3, 1) и B( 4, 3, 3). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на прямой x = 1, z = 2, а середина стороны BC на плоскости y = 3. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 3 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точки по ее прямоугольным координатам: A ( 3,, 1 2). r 5. Дан вектор a (9, 3, 3). Найти ортогональную проекцию вектора b r на прямую, направление которой определяется вектором a r, и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r имеет координаты (-3,-3,12). 6. Даны точки A(933),,, B(133),,,, C(1, 11),, D(3, 13),, являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 = 9, m2 = 3, m3 = 1, m4 = 3, расположенными соответственно в A, BCD,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ; 11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении гиперболы 4x + 3y = 5, z = вокруг оси OX. 8. Записать уравнение прямой x = 3+ 3ty, = 5 4tв виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: 2x y= 3; x= 4+ 3t; y= 3 3t.

12 1. Даны две вершины треугольника ( 3, 3) и (5, 3) и точка пересечения его медиан (, 2 6). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 5x + 2y+ 1=, 3x+ 2y+ 1=, 2x 3y 6= Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону. 12. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми x + 3y = 1 и 2x + y = 7, внутри которого лежит точка A (3, 2) ) Зная параметрические уравнения плоскости: x = 6+ 3vy, = 1 2uz, = 2+ u+ v; составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 3x + 2y 2z+ 4=, составить ее параметрические уравнения. 14. Даны две прямые x = 1+ 2ty, = 2 2tz, = tи x = 2ty, = 5+ 3tz, = 4. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (3, 6, 3) и параллельной прямым 3x 3y+ 2z 3=, 2x 4y 4z= 4 и x + y 2z 5=, x 2y 3z+ 8=. 16. В пучке, определяемом плоскостями 2x y+ 4z 3= и 2x 6y z 1=, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку A (4, 3, 2). 17. Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса 7x + 8y = Вычислить эксцентриситет гиперболы, если угол между асимптотами, содержащий фокус, равен В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если расстояние от фокуса до директрисы равно Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое xy+ 2x+ y=. 21. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 7x 4y + 28x 16y 7z+ 2 =. 22. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 x + y z + 2xy+ 1=.

13 Индивидуальное задание N 4 1. Даны точки A(,, 2 4 4), B( 9, 3, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB B отношении 3/ Даны две вершины треугольника: A( 4, 1, 2) и B (2, 1, 3). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на прямой x = 3, z = 4, а середина стороны BC на плоскости y = 2. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 3 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точки по ее прямоугольным координатам: A( 3, 18),. r 5. Дан вектор a( 2, 4, 4). Найти ортогональную проекцию вектора b r на прямую, направление которой определяется вектором a r, и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r имеет координаты (-2,6,2). 6. Даны точки A(,, 2 4 4), B( 114),,, C(,, 4 4), D(,, 2 6 ), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 =, 1m2 = 2, m3 = 4, m4 = 3, расположенными соответственно в A, BCD,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ; 11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении гиперболы 4x + 3y = 5, z = Вокруг оси OY. 8. Записать уравнение прямой x = 6, ty= 4+ 9tB виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: 2x + y= 22; 3x 4y= 26.

14 1. Даны две вершины треугольника (4, 6) и ( 2, 1) и точка пересечения его медиан (, 2). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 4x 2y+ 9=, 3x+ 2y+ 1=, 2x+ 3y 2=. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону. 12. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми x 4y = 2 и x + 3y = 5, внутри которого лежит точка A (1, 1) ) Зная параметрические уравнения плоскости: x = 1+ 2v 3u, y= 7+ u, z= 3+ 4v 2u; составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 3x + 5y 6z = составить ее параметрические уравнения. 14. Даны две прямые x = 2+ 4ty, = 6tz, = 1 8tи x = 7 6ty, = 2+ 9tz, = 12t. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (1, 4, 2) и параллельной прямым 2x 6y 2z =, x 2y+ 3z= 3 и 2x 3y 3z+ 12=, 2x 2y 3z+ 5=. 16. В пучке, определяемом плоскостями 3x 3y+ z 4= и 4x 4y+ 3z 2=, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку A( 7, 12),. 17. Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса 4x + 3y = Вычислить эксцентриситет гиперболы, если a= 5b. 19. В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если длина хорды, проходящей через точку (6,) под углом 45 к оси параболы, равна Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое x 2xy+ y 1x 6y+ 25=. 21. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое x + y 1x 6y+ 6z+ 6 =. 22. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 z + 2xy 2z+ 1=..

15 Индивидуальное задание N 5 1. Даны точки A(,, 6 3 4), B( 2, 5, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении 25 /. 2. Даны две вершины треугольника: A( 3, 2, 5) и B( 13,, 3). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на прямой x = 5, z = 1, а середина стороны BC на плоскости y =. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 6 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точки по ее прямоугольным координатам: A (4, 4, 9). r 5. Дан вектор a (3, 6, 3). Найти ортогональную проекцию вектора b r на прямую, направление которой определяется вектором a r, и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r, имеет координаты (1,-4,2). 6. Даны точки A(3, 6, 3), B(4, 6, 3), C(5, 1, 3), D(3, 3, 1), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 = 3, m2 = 2, m3 = 3, m4 = 3, расположенными соответственно в A, BCD,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ; 11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении параболы 2 3y = 5x, z = вокруг оси OX. 8. Записать уравнение прямой x = 2+ 11ty, = 1+ 2tв виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: x = 2 4ty ; = 3 tx ; = 3+ 5ty, = 2 2t 1. Даны две вершины треугольника (5, 4) и (1, 5) и точка пересечения его медиан (1, 1). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 4x 2y+ 9=, 3x+ 5y 1=, 2x 3y 6=. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону.

16 12. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми 2x 7y = 4 и x + y = 7, внутри которого лежит точка A( 12), ) Зная параметрические уравнения плоскости: x = 6+ 3vy, = 2u 2vz, = 2+ v u; составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 2X 7z =, составить ее параметрические уравнения. 14. Даны две прямые x = 1+ 9ty, = 2+ 6tz, = 3+ 3tи x = 7+ 6ty, = 6+ 4tz, = 5+ 2t. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (5, 3, 2) и параллельной прямым 2x y+ 2z 2=, 3x 3y 3z 1= и 3x y 6z=, 2x y 4z+ 3=. 16. В пучке, определяемом плоскостями 2x + 4y 3z 1= и 3x y+ z 4= найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку A (1, 2, 1). 17. Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса 6x + 4y = Вычислить эксцентриситет гиперболы, если угол между асимптотами гиперболы, содержащий фокус, равен В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если длина хорды, проходящей через фокус под углом 6 к оси параболы, равна Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое 5x + 12xy+ 1y 6x+ 4y 1=. 21. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 6x + 6y 9z + 12x+ 12y 54z+ 12=. 22. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 x + y z 2xy+ 2z 1=.

17 Индивидуальное задание N 6 1. Даны точки A (3, 3, 7), B (1, 5, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB B отношении 5/ Даны две вершины треугольника: A (6, 1, 7) и B( 613),,. Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на прямой x = 2, z = 3, а середина стороны BC на плоскости OXZ. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 6 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точки по ее прямоугольным координатам: A(,, 3 1 2). r 5. Дан вектор a( 121),,. Найти ортогональную проекцию вектора b r на прямую, направление которой определяется вектором a, и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r имеет координаты (-4,-3,-1). 6. Даны точки A( 121),,, B(, 21),, C(111),,, D(413),,, являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 = 3, m2 = 2, m3 = 1, m4 = 2, расположенными соответственно в A, BCB,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ; 11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении параболы 2 3x = 5y, z = вокруг оси OY. 8. Записать уравнение прямой x = 3ty, = 3+ 7tв виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: 3x + y = 11; x = 2 + 4ty, = 5 + 3t.

18 1. Даны две вершины треугольника (2, 2) и (3, 1) и точка пересечения его медиан (5, 2). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 3x + 2y+ 1=, x+ 2y+ 1=, 2x y 2=. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону. 12. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми 3x + 2y = 1 и x + 3y = 5, внутри которого лежит точка A (3, 1) ) Зная параметрические уравнения плоскости: x = 1+ 2u+ v, y= 2 4u 2v, z= u+ 3v; составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 11x + 4z + 3 =, составить ее параметрические уравнения. 14. Даны две прямые x + 3y z+ 3=, 2x+ y+ 5z+ 1= и 2x + y z = 15, x+ y z+ 2=. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (3, 3, 3) и параллельной прямым 2x 3y 2=, 3x 4y 5z+ 2= и x 3y+ z 4= 1, x y 3z 9=. 16. В пучке, определяемом плоскостями x 2y+ z = и 5x 3y 2=, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку A(,, 2 41). 18. Вычислить эксцентриситет эллипса, если большая ось видна из конца малой оси под углом В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если эксцентриситет гиперболы равен 7/5,а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если точка(8,24) принадлежит параболе. 2. Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое 8x + 34xy+ 8y + 18x 18y 17 =. 21. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 8x + 9y 6z 16x+ 18y 12z 13= Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2xy+ 2x+ 2y+ 2x 1=.

19 Индивидуальное задание N 7 1. Даны точки A (5, 3, 4), B (5, 3, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении 35 /. 2. Даны две вершины треугольника: A (2, 4, 1) и B( 2, 3, 4). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на оси Î z, а середина стороны BC на плоскости z = 5. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 45 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точки по ее прямоугольным координатам: A(, 1 3, 8). r 5. Дан вектор a( 1, 3, 2). Найти ортогональную проекцию вектора b r на прямую, направление которой определяется вектором a, и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r имеет координаты (,, 6 21). 6. Даны точки A( 1, 3, 2), B(, 3, 2,), C (111),,, D (3, 2, 3), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 = 4, m2 = 1, m3 = 1, m4 = 1, расположенными соответственно в A, BCD,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ; 11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении кривой y= sinx вокруг оси OX. 8. Записать уравнение прямой x = 2, y= 3+ 2t в виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: x 3y = 11; 3x + 4y = 3.

20 1. Даны две вершины треугольника (4, 5) и (2, 8) и точка пересечения его медиан (4, 1). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 4x 2y+ 9=, x+ 2y+ 1=, 2x y 2=. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону. 12. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми 2x y = 1 и 5x + 2y = 7, внутри которого лежит точка A (4, 12) ) Зная параметрические уравнения плоскости: x = 2vy, = 5+ 3vz, = 4+ u+ v: составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 6x + 6y 13z =, составить ее параметрические уравнения. 14. Даны две прямые x + 3y z+ 3=, 2x+ y+ 5z+ 1= и 3x y+ 11z 1=, 3x+ 4y+ 4z+ 4=. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(,, 6 21) и параллельной прямым x 2y+ 2z =, x+ 2y 3z+ 2= и x 3y z+ 2=, 5x+ 3y 3z+ 2=. 16. В пучке, определяемом плоскостями 2x 3y 1= и 3x 3y 5z+ 2=. найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку A (7, 2, 1). 17. Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса 5x + 6y = Вычислить эксцентриситет гиперболы, если асимптотами являются прямые y=± (2/ 3) x. 19. В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если расстояние от фокуса до директрисы равно Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое 25x 3xy+ 9y + 68x+ 19 =. 21. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 3x + 9y + 3z + 6x 18y 12z 12 =. 22. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 x + y + 2z + 2xy+ 4z=.

21 Индивидуальное задание N 8 1. Даны точки A(,, 2 4 5), B (3, 3, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении 25 /. 2. Даны две вершины треугольника: A (4, 1, 2) и B( 213),,. Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на прямой y= 3, z= 4, а середина стороны BC на плоскости z = 7. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 45 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точки по ее прямоугольным координатам: A( 3, 12),. r 5. Дан вектор ba(,, 3 5 2). Найти ортогональную проекцию вектора b r на прямую, направление которой определяется вектором a r, и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r имеет координаты (,, 31 4). 6. Даны точки A(, 1, ), B(,, 3 ), C (1, 1, ), D (2, 1, 4), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 =, 1m2 = 2, m3 =, 3 m4 =, 1 расположенными соответственно в A, BCD,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ; 11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении кривой y= sinx вокруг оси OY. 8. Записать уравнение прямой x = 2+ 3ty, = 3 в виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: x = 2ty, = 3 2t; x = 6 + 4ty, = 3t.

22 1. Даны две вершины треугольника ( 2, 4) и (4, 3) и точка пересечения его медиан (2, 7). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 3x + 2y+ 1=, x+ 2y+ 1=, 2x y 2=. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону. 12. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми 3x 7y = 1 и 2x + y = 3, внутри которого лежит точка A (4, 6) ) Зная параметрические уравнения плоскости: x = 2+ 4v 2u, y= 6+ 4u, z= 1 8v u, составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 4x 3y 2z =, составить ее параметрические уравнения. 14. Даны две прямые 3x y+ 11z 1=, 3x+ 4y+ 4z+ 4= и 5y 7z+ 8=, 3x+ 4y+ 4z 4=. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также ко ординаты точки их пересечения. 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (6, 3, 3) и параллельной прямым 2x + 4y z =, x 2y 3z+ 3= и 2x y 3z 2=, 3x+ 2y+ z 4=. 16. В пучке, определяемом плоскостями x y+ 2z 2= и 2x y 4z 2=, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку A(,, 6 21). 17. Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса 4x + 3y = Вычислить эксцентриситет гиперболы, если угол между асимптотами, содержащий фокус, равен В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если длина хорды, проходящей через точку (6, 1) под углом 45 к оси параболы, равна Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое 2 5x + 12xy 22x 12y 19=. 21. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 x 6x+ 16y+ 8=. 22. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 2x + 2y 5z + 2xy 2x 4y 4z+ 2=.

23 Индивидуальное задание N 9 1. Даны точки A(,, 1 2 3), B (3, 2, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении 52 /. 2. Даны две вершины треугольника: A (2, 3, 1) и B( 4, 3, 3). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на прямой y= 1, z = 2, а середина стороны BC на плоскости x = 3. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 3 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точки по ее прямоугольным координатам: A (1, 3, 7). r 5. Дан вектор a (7, 2, 1). Найти ортогональную проекцию вектора b r на прямую, направление которой определяется вектором a r, и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r имеет координаты (2, 3, 1). 6. Даны точки A(, 12),, B(32),,,, C(12),,, D(223),,, являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 = 3, m2 = 1, m3 = 1, m4 = 3, расположенными соответственно в A, BCB,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ; 11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении кривой y= cosx вокруг оси Ox. 8. Записать уравнение прямой x = 4 7ty, = 6+ 6tв виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: 4x + 3y= 15; x= 2+ 4t, y= 3 3t.

24 1. Даны две вершины треугольника (3, 4) и (1, 3) и точка пересечения его медиан (5, 2). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 3x + 5y 1=, x+ 2y+ 1=, 2x y 2=. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону. 12. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми 2x 7y = 9 и 2x + y = 7, внутри которого лежит точка A (4, 8) ) Зная параметрические уравнения плоскости: x = 7 6v u, y= 2+ 9v+ 3u, z= 1+ u+ 12v; составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 4x 2z + 8=, составить ее параметрические уравнения. 14. Даны две прямые x = 1+ 2ty, = 7+ tz, = 3+ 4tи 2x + y z = 15, x+ y z+ 2=. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (2, 3, 1) и параллельной прямым x 3y+ 3z 4=, 4x+ 3y 3z 1= и x 3y 5z 5=, x+ 5y 3z+ 2=. 16. В пучке, определяемом плоскостями 2x + 6y 2z = и 2x 5y 5z = 5, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку A(,, 2 4 4). 17. Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса 3x + 4y = Вычислить эксцентриситет гиперболы, если a= 4b. 19. В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если точка (3, 27) принадлежит параболе. 2. Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое x 4xy+ 4y + 4x 3y 7=. 21. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 4x 8y 16x+ 32y=. 22. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 4xy+ 2x+ 4y 6z 3=.

25 Индивидуальное задание N 1 1. Даны точки A (1, 1, 4), B (2, 3, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении 52 /. 2. Даны две вершины треугольника: A( 4, 1, 2) и B (2, 1, 3). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на прямой y= 3, z = 4, а середина стороны BC на плоскости x = 2. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 3 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точки по ее прямоугольным координатам: A ( 3, 1, 6). r 5. Дан вектор a (5, 3, 2). Найти ортогональную проекцию вектора b r на прямую, направление которой определяется вектором a r, и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r имеет координаты (,, 11 4). 6. Даны точки A(,, 1 3 ), B(3,, 3 ), C(1,, 31), D(6,, 9 3), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 =, 1m2 = 2, m3 =, 1m4 = 3, расположенными соответственно в A, BCÂ,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ; 11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении кривой y= cosx вокруг оси OY. 8. Записать уравнение прямой x = 3+ 5ty, = 5 3tв виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: x = 1+ ty, = 1 4tx ; = 2 ty, = 3+ 4t. 1. Даны две вершины треугольника (2, 3) и (3, 1) и точка пересечения его медиан (5, ). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 3x + 2y+ 1=, x+ 2y+ 1=, 2x y 2=. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону.

26 12. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми 3x 7y = 1 и 2x + y = 7, внутри которого лежит точка A (3, 2) ) Зная параметрические уравнения плоскости: x = 1++ u+ 9v, y= 2+ 6u, z= 3+ 3v 3u; составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 2X + 5y+ 3z 12=, составить ее параметрические уравнения. 14. Даны две прямые x = 1+ 2ty, = 2 2tz, = tи x + y+ z 3z 5=, 2x 3y+ z+ 3=. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(,, 2 4 4) и параллельной прямым 3x + 3y+ z+ 4=, 2x y+ 2z+ 1= и 2x + y 3z+ 1=, 5x+ 2y z+ 2=. 16. В пучке, определяемом плоскостями 4x 3y+ 2z+ 1= и x 2y 3z+ 1=, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку A (6, 3, 3). 17. Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса 8x + 9y = В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если отрезок между фокусом F 1 и дальней вершиной A большой оси делится вторым фокусом F 2 пополам, а расстояние от F 2 до прямой, проходящей через вершину малой оси, равно Вычислить эксцентриситет гиперболы, если сумма расстояний от точки N(, 5 4) до асимптот равна 2/ В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если расстояние от фокуса до директрисы равно Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое 9x 4xy+ 6y + 16x 8y 2=. 21. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 6x + 2y + 36x 8y+ 2=. 22. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое x 3y 4yz 4y+ 2z+ 5=.

27 Индивидуальное задание N Даны точки A(,, 2 14), B (6, 3, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении 34 /. 2. Даны две вершины треугольника: A( 3, 2, 5) и B( 13,, 3). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на прямой y= 5, z = 1, а середина стороны BC на плоскости x =. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 6 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точек по их прямоугольным координатам: A (3, 5, 7). r 5. Дан вектор a( 5, 3, 2). Найти ортогональную проекцию вектора b r на прямую, направление которой определяется вектором a r и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r имеет координаты (,, 6 11). 6. Даны точки A(4, 1, 4), B(5, 1, 4), C(6, 3, 2), D(4, 5, 8), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 = 3, m2 = 4, m3 = 2, m4 = 3, расположенными соответственно в A, BCD,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ;11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении кривой xy = 1 вокруг оси OX. 8. Записать уравнение прямой x = 3+ 4ty, = 4+ 2tв виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: 4x 6y 7 = ; 1x+ 15y 9 =. 1. Даны две вершины треугольника ( 3, 3) и (1, 5) и точка пересечения его медиан (, 2 6). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 2x 3y 6=, x+ 2y+ 1=, 2x y 2= Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону.

28 12. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми x + 2y = 1 и 4x + y = 6, внутри которого лежит точка A (1, 1) ) Зная параметрические уравнения плоскости: x = 7+ 6vy, = 6+ 4uz, = 5+ 2u+ 2v; составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости x 2y + 11=, составить ее параметрические уравнения. 14. Даны две прямые x = 2+ 4ty, = 6tz, = 1 8tи 2x 3y+ z+ 3=, 5x+ y z+ 2=. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (6, 3, 3) и параллельной прямым 4x 3y+ 2z=, 2x y 4z= 4 и x + y 2z 5=, x 2y 3z+ 1=. 16. В пучке, определяемом плоскостями 2x + y 3z+ 1= и 5x + 2y z+ 2=, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку A (3, 1, 1). 17. Вычислить эксцентриситет эллипса, если расстояние от фокуса до дальней вершины большой оси в 2,5 раза больше расстояния до вершины малой оси. 18. В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если расстояние между вершинами равно 12, а расстояние между фокусами равно В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если длина хорды, проходящей через фокус под углом 3 к оси параболы, равна Определить тип кривой 2-го порядка, составить ее каноническое 2 8x + 6xy 26x 12y+ 11=. 21. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 2 9x + 8y 3z 18x+ 16y 12z+ 5=. 22. Определить тип поверхности 2-го порядка, составить ее каноническое 4xy+ 2x+ 4y 6z 3=.

29 Индивидуальное задание N Даны точки A (2, 3, 4), B( 7, 2, 1). Найти координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении 43 /. 2. Даны две вершины треугольника: A (6, 1, 7) и B( 613),,. Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на прямой y= 2, z = 3, а середина стороны BC на плоскости OYZ. Система координат аффинная. 3. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту ϑ = 6 и долготу φ = Найти цилиндрические координаты точек по их прямоугольным координатам: A(,, 5 5 5). r 5. Дан вектор a (1, 3, 2). Найти ортогональную проекцию вектора b r на прямую, направление которой определяется вектором a r, и ортогональную составляющую вектора b r относительно этой прямой, если вектор b r имеет координаты (,, 3 12). 6. Даны точки A(,, 1), B(3,, ), C(3, 2, ), D(3, 2, 3), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины B ; 3) площадь основания ABC ; 4) угол между ребром AD и основанием ABC ; 5) проекции вершины B и диагонали параллелепипеда с ребрами AB, AC, AD на плоскость основания ACD ; 6) найти угол между гранями ABC и ACD ; 7) угол между ребрами AB и AC ; 8) найти центр тяжести М системы материальных точек с массами m1 = 2, m2 = 2, m3 = 1, m4 = 3, расположенными соответственно в A, BCD,, ; 9) записать уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые AC и BD ; 1) записать уравнение биссекторной плоскости между гранями ABD и ACD ; 11) записать уравнение биссектрисы угла BAC грани ABC. 7. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении кривой xy = 1 вокруг оси OY. 8. Записать уравнение прямой x = 2 3ty, = 6 2tв виде Ax+ By+ C =. 9. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения: x = ty, = 2 6t; 2x+ y 1=. 1. Даны две вершины треугольника ( 2, 1) и (, 2) и точка пересечения его медиан (1, 1). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 11. Даны уравнения сторон треугольника 3x + 5y 1=, x+ 2y+ 1=, 2x y 2=. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону.

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ПК-3: способность строго доказывать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата. Уровень 1 Основные

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа).

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа). I. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Целями освоения дисциплины «Геометрия» являются: 1) фундаментальная подготовка по аналитической геометрии и векторной алгебры; 2) овладение методами аналитической

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Рабочая программа дисциплины Аналитическая геометрия (наименование дисциплины, курс) Для студентов 1 курса ИННОВАТИКА

Рабочая программа дисциплины Аналитическая геометрия (наименование дисциплины, курс) Для студентов 1 курса ИННОВАТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» Математический факультет

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Алтайский государственный педагогический университет. Т.П. Махаева АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ

Министерство образования и науки РФ. Алтайский государственный педагогический университет. Т.П. Махаева АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Алтайский государственный педагогический университет Т.П. Махаева АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) СА Гришин, СВ Мустяца, МА Петрова, ЕХ Садекова Зачет по аналитической геометрии 1 семестр Москва 2009 УДК 5147(075) БДК 221515я7 З-39

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

1 Цели освоения дисциплины

1 Цели освоения дисциплины 1 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Аналитическая геометрия» являются: развитие способностей студента к логическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Рабочая программа дисциплины (с аннотацией)

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» В.П. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Аналитическая геометрия направление подготовки 0.03.01

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Составитель: ст. преподаватель кафедры высшей математики Кем ГУ, Геллерт В.А.

Составитель: ст. преподаватель кафедры высшей математики Кем ГУ, Геллерт В.А. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Физический

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

ГЕОМЕТРИЯ. Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета. часть 1

ГЕОМЕТРИЯ. Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета. часть 1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант Задания для выполнения расчётно-графической работы по математике на I полугодие - учебного года для студентов курса заочной формы обучения ИСиА Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

В результате освоения учебной дисциплины обучающиеся должны демонстрировать следующие результаты образования: знать: ПК-11. Код компетенции OK-6 ПК-4

В результате освоения учебной дисциплины обучающиеся должны демонстрировать следующие результаты образования: знать: ПК-11. Код компетенции OK-6 ПК-4 . ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Целью дисциплины является: Изучение методов геометрии в применении к геометрическим задачам и задачам классификации кривых и поверхностей, основных свойств кривых и

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014 Вариант 1 Задача 1. Дать геометрическое определение эллипса. Задача 2. Доказать с помощью шаров Данделена, что эллипс возникает как коническое сечение. Задача 3. Доказать, что множество точек P, из которых

Подробнее

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Псковский государственный университет И.Н. Медведева ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии ПсковГУ и редакционно-издательского

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики. Геометрия

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики. Геометрия МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе В.П.Гарькин 2011 г.

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе В.П.Гарькин 2011 г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Московский институт электроники и математики. Департамент прикладной математики. Рабочая программа дисциплины «Геометрия»

Московский институт электроники и математики. Департамент прикладной математики. Рабочая программа дисциплины «Геометрия» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет Высшая школа экономикиˮ» Московский институт электроники

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Алгебра и геометрия семестр Учебно-методическое пособие Для студентов очно-заочной и заочной форм обучения институтов

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Геометрия и топология

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Геометрия и топология МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

Практические задания к теме «Аналитическая геометрия»

Практические задания к теме «Аналитическая геометрия» Практические задания к теме «Аналитическая геометрия» Вариант 0 Задача Привести к каноническому виду уравнение кривой порядка, найти все ее параметры, построить кривую 4x +y -6x-6y+=0 Решение Приведем

Подробнее

С.А. Зотова, В. Б. Светличная, Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

С.А. Зотова, В. Б. Светличная, Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ С.А. Зотова В. Б. Светличная Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Волгоград МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Дать определение собственного и несобственного пучка плоскостей. Сформулировать и доказать критерий принадлежности плоскости пучку, которому принадлежат две данные плоскости. Задача

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет

Подробнее

Типовой расчет по высшей математике

Типовой расчет по высшей математике Типовой расчет по высшей математике Аналитическая геометрия 1 модуль Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2012 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

Подробнее