Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:"

Транскрипт

1 Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному базису, b на этой плоскости. Доказательство. Докажем для случая базиса в пространстве. Доказывать будем от противного. Предположим, что существуют два различных разложения вектора d по базису, b, c : d = λ + μb + νc, (1) d = λ + μ b + ν c. (2) Вычтем из первого разложения второе: 0 = (λ λ ) + (μ μ )b + (ν ν )c. (3) Поскольку разложения (1), (2) не совпадают, то должно быть справедливо хотя бы одно из равенств: λ λ, μ μ, ν ν. Для определённости пусть λ λ. Тогда поделим равенство (3) на λ λ 0 и выразим вектор : μ μ = λ λ b ν ν λ λ c. По определению операций умножения вектора на число и сложения векторов вектор компланарен векторам b, c. Но это невозможно, так как векторы, b, c образуют базис. Полученное противоречие доказывает единственность разложения вектора d по базису, b, c. Для случая базиса на плоскости доказательство аналогично. Таким образом, вектор однозначно определяется своими координатами в данном базисе. Вектор d с координатами λ, μ, ν относительно данного базиса будем обозначать d = {λ, μ, ν}. Аналогично для базиса на плоскости: вектор c с координатами λ, μ относительно данного базиса будем обозначать c = {λ, μ}. Теорема 3.2. При сложении (вычитании) двух векторов их соответствующие координаты относительно данного базиса складываются (вычитаются). При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Доказательство. Докажем для базиса в пространстве (для базиса на плоскости доказательство аналогично). Пусть, b, c базис в пространстве. Тогда 1

2 d 1 = λ 1 + μ 1 b + ν 1 c, d 2 = + b + c, d 1 ± d 2 = (λ 1 + μ 1 b + ν 1 c ) ± ( + b + c ) = (λ 1 ± ) + (μ 1 ± )b + (ν 1 ± )c, kd 1 = k(λ 1 + μ 1 b + ν 1 c ) = k(λ 1 ) + k(μ 1 b ) + k(ν 1 c ) = (kλ 1 ) + (kμ 1 )b + (kν 1 )c, ч.т.д. Замечание. Доказанная теорема позволяет сводить арифметические операции с векторами к операциям с числами их координатами в данном базисе. Теорема 3.3 (необходимое и достаточное условие коллинеарности). Пусть, b, c базис в пространстве, d 1 = λ 1 + μ 1 b + ν 1 c, d 2 = + b + c. Тогда для того чтобы векторы d 1, d 2 были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства λ 1. Аналогично для случая векторов на плоскости. Замечание. Если среди,, есть нули, то соответствующие равенства следует перемножить крест накрест, как пропорции. Например, вместо λ 1 записать λ 1 = μ 1. Доказательство. 1. Докажем необходимость. Пусть d 1 d 2. Если d 2 = 0, то = = = 0, и равенства λ 1, записанные в эквивалентном виде λ 1 = μ 1, μ 1 = ν 1, выполняются. Теперь пусть d 2 0. Тогда по теореме 2.1 существует число k такое, что d 1 = kd 2. Распишем координаты этих векторов: {λ 1, μ 1, ν 1 } = {k, k, k }. Поскольку векторы равны, то у них совпадают соответствующие координаты: λ 1 = k, μ 1 = k, ν 1 = k. Исключив отсюда число k, получим k = λ 1, ч. т. д. 2. Докажем достаточность. Пусть λ 1. Если d 2 = 0, то векторы d 1, d 2 коллинеарны. Теперь пусть d 2 0. Обозначим числовое значение дробей λ 1, μ 1, ν 1 через k. Тогда k = λ 1, откуда λ 1 = k, μ 1 = k, ν 1 = k, откуда {λ 1, μ 1, ν 1 } = {k, k, k }, 2

3 и следовательно, d 1 = kd 2. По определению операции умножения вектора на число, векторы d 1, d 2 коллинеарны, ч.т.д. Проекция вектора на ось Определение. Осью называется прямая, на которой указано направление (одно из двух возможных). A A A Пр u = A = A u A Пр u = A = A u Определение. Пусть A и проекции точек A и на ось u соответственно. Проекцией вектора = A на ось u называется величина направленного отрезка A, т.е. число, равное A, если направления вектора A и оси u совпадают, и A, если направление вектора A противоположно направлению оси u: A, если A u, Пр u A { A, если A u, 0, если A = 0. Замечание. Из рисунка видно, что проекция ненулевого вектора на ось u равна длине вектора, умноженной на косинус угла, который является углом наклона вектора к оси u: Пр u = cos. Примечание. Угол наклона вектора к оси определяется как угол между вектором и положительным направлением оси, причём вектор должен быть отложен от точки, лежащей на этой оси. Свойства проекций векторов: 1 ) Пр u ( + b ) = Пр u + Пр u b, 2 ) Пр u (λ) = λ Пр u. Доказательство: 3

4 A A λ C A b + b Пр u ( + b ) = A C = A + C = Пр u + Пр u b C C u A C Пр u (λ) = A C = λ A = λ Пр u u λ ν c i k r = λ + μb + νc j b μ r = i + j + k Системы координат Косоугольная система координат. Задаются: т., которая называется началом отсчёта, и базис, b, c, состоящий из произвольных некомпланарных векторов, отложенных от начала отсчёта. Через каждый из этих векторов проводится координатная ось. Пусть произвольная точка в пространстве. Вектор называется радиус-вектором точки и обозначается r. Его можно разложить по базису: r = λ + μb + νc. Координатами точки называются координаты ее радиус-вектора. Обозначение: (λ, μ, ν). Определение. Базис, b, c называется ортогональным базисом (ОБ), если векторы, b, c попарно ортогональны. Определение. Базис, b, c называется ортонормированным базисом (ОНБ), если векторы, b, c попарно ортогональны и имеют длину 1, т.е. являются единичными векторами. Декартовой прямоугольной системой координат называется косоугольная система координат с ортонормированным базисом, который мы будем обозначать i, j, k, а соответствующие ему координаты,,. Аналогично вводятся косоугольная и прямоугольная системы координат на плоскости: 4

5 μ b r = λ + μb j r = i + j λ i Теорема 3.4. Декартовы прямоугольные координаты,, вектора d равны проекциям этого вектора на оси,, соответственно. (Аналогично на плоскости.) Доказательство. A i k α C γ β d j D Отложим вектор D = d от начала отсчёта. Спроецировав точку на оси,,, получим точки A,, C соответственно. По определению проекции вектора A = Пр d, = Пр d, C = Пр d. Согласно правилу сложения векторов, справедливо равенство d = D = A + + C. Поскольку вектор A коллинеарен вектору i, то, согласно теореме 2.3, существует число такое, что A = i. Аналогично, = j, C = k. Тогда d = i + j + k, т.е.,, это координаты вектора d относительно базиса i, j, k. С другои стороны, поскольку векторы i, j, k единичные, то A = i =, = j =, C = k =, откуда с уче том направления векторов A,, C получим A =, =, C =, ч. т. д. Направляющие косинусы Пусть α, β, γ углы наклона ненулевого вектора d к координатным осям,, соответственно. Тогда = Пр d = d cos α, = Пр d = d cos β, = Пр d = d cos γ. 5

6 Согласно теореме Пифагора, d = D = A C 2 = , откуда cos α = , cos β = , cos γ = 2 Эти величины называются направляющими косинусами вектора d. Очевидно, справедливо следующее равенство: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = Построение вектора с заданным началом и концом A( 1, 1, 1 ) Расстояние между точками A и находится по формуле ρ(a, ) = A = ( 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 2. Аналогично на плоскости. ( 2, 2, 2 ) Пусть даны декартовы координаты двух точек A( 1, 1, 1 ) и ( 2, 2, 2 ). Запишем координаты радиус-векторов этих точек: A = { 1, 1, 1 }, = { 2, 2, 2 }. Тогда координаты вектора A равны разности соответствующих координат его конца и его начала: A = A = { 2 1, 2 1, 2 1 }. Полярная система координат ρ [0, + ), ρ [0, 2π). Пусть на плоскости заданы точка, которая называется полюсом, и луч. Тогда положение произвольной точки на плоскости однозначно характеризуется её полярными координатами (ρ, ), где ρ расстояние между точками и, угол наклона вектора к лучу (отложенный от луча против часовой стрелки): 6

7 Каждой точке на плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел (ρ, ), и наоборот, каждой упорядоченной паре чисел (ρ, ) соответствует единственная точка на плоскости (за исключением точки, для которой ρ = 0, а угол не определён). Если оси прямоугольной системы координат расположить так, как указано на рисунке, то справедлива следующая связь между полярными и декартовыми координатами точки : = ρ cos, { = ρ sin, ρ = 2 + 2, а также { tg =. Π k Цилиндрическая система координат Пусть в пространстве задана плоскость Π, на которой введена полярная система координат с полюсом и лучом, и перпендикулярный этой плоскости ненулевой вектор k, причём если смотреть из конца вектора k, то полярный угол откладывается от луча против часовой стрелки. N P Тогда положение произвольной точки в пространстве однозначно характеризуется её цилиндрическими координатами (ρ,, ): ρ [0, + ), [0, 2π), (, + ), ρ где (ρ, ) полярные координаты точки N, которая является проекцией точки на плоскость Π, а проекция вектора на ось, образованную вектором k. Каждой точке в пространстве соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (ρ,, ), и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (ρ,, ) соответствует единственная точка в пространстве (за исключением точек оси, для которых ρ = 0, а угол не определён). Поверхности ρ = const являются цилиндрическими поверхностями, поэтому такая система координат называется цилиндрической. Если оси прямоугольной системы координат расположить так, как указано на рисунке, то справедлива следующая связь между цилиндрическими и декартовыми координатами точки : 7

8 = ρ cos, { = ρ sin, =. Сферическая система координат Пусть в пространстве задана плоскость Π, на которой введена полярная система координат с полюсом и лучом, и перпендикулярный этой плоскости θ ненулевой вектор k, причём если смотреть из k конца вектора k, то полярный угол r откладывается от луча против часовой Π N стрелки. Тогда положение произвольной точки в пространстве однозначно характеризуется сферическими координатами (r, θ, ): r [0, + ), θ [0, π], [0, 2π), где r расстояние от точки до точки, θ угол между векторами и k, полярный угол точки N, которая является проекцией точки на плоскость Π. Каждой точке в пространстве соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (r, θ, ), и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (r, θ, ) соответствует единственная точка в пространстве (за исключением точек оси, образованной вектором k, для которых угол не определён). Поверхности r = const являются сферами, поэтому такая система координат называется сферической. Если оси декартовой системы координат расположить так, как указано на рисунке, то справедлива следующая связь между сферическими и декартовыми координатами точки : = r sin θ cos, { = r sin θ sin, = r cos θ. Сферические координаты удобны для описания положения точки на поверхности Земли. При этом r 6400 км радиус Земли, угол π называется долготой ( = π Гринвичский или нулевой меридиан, π > 0 восточная долгота, π < 0 западная долгота), угол π 2 θ называется широтой (θ = π 2 экватор, π 2 θ > 0 северная широта, π θ < 0 южная широта). 2 8


Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Декартовы системы координат

Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Декартовы системы координат Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Декартовы системы координат Определение 1. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется упорядоченная четвёрка {O,e 1,e 2,e 3 }, в которой O это некоторая

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 Лекция 9 Тема: Преобразование координат Полярные координаты План лекции Преобразование АСК на плоскости Преобразование ПДСК на плоскости 3 Полярные координаты 4 Переход от полярной системы к присоединенной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Рене Дека рт французский математик ( )

Рене Дека рт французский математик ( ) ЛЕКЦИЯ 5. Координатная ось. Прямоугольная система координат на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. Трудно переоценить

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

Лекция 3: Скалярное произведение векторов

Лекция 3: Скалярное произведение векторов Лекция 3: Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции вводится

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я системы координат

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я системы координат А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я системы координат ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

11. Скалярное произведение векторов

11. Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение скалярного произведения векторов Материал этого параграфа, как и предыдущего,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

Лекция 5. Комплексные числа

Лекция 5. Комплексные числа Лекция 5 Комплексные числа Не все многочлены с вещественными коэффициентами имеют вещественные корни. Например, многочлен x + x + не имеет вещественных корней, т.к. уравнение x + x + = 0 имеет отрицательный

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 .5 setgray.5 setgray1 1 Консультация 3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСА ЗАДАЧА 1. Даны полярные координаты точек A 8, 2π/3 и B6, π/3. Вычислить полярные координаты середины отрезка AB. Рис. 1.

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), -

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - Тема 7.2. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Формулы вычисления длины вектора, расстояние между двумя точками. Системы координат на плоскости Декартовы прямоугольные координаты (рис.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 0. План лекции 1. Взаимный базис. 1.1. Определение; 1.2. Линейная независимость; 1.3. Формулы скалярного произведения; 1.4. Формулы векторного

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1 Лекция 2 Тема: Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число НДУ коллинеарности План лекции Сложение векторов 2 Вычитание векторов Модуль суммы и модуль разности векторов 3 Определение и свойства

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2}

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2} Геометрия 9 класс Тема Метод координат Основные понятия Векторы i и j называются координатными векторами, если их длины равны единице, вектор i сонаправлен с осью абсцисс, а вектор j сонаправлен с осью

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и. 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа в алгебраической форме 1Основные понятия Определение 1 Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение вида, где и действительные числа, а так называемая

Подробнее