Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для компьютерного тестирования по разделу «Векторная алгебра» курса высшей математики Бишкек 9

2 ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева Векторная алгебра Учебно-методическое пособие для компьютерного тестирования / Кыргызско - российский славянский университет Кафедра высшей математики-бишкек: Изд-во КРСУ, 9-55с Данное учебно-методическое пособие заложено в основу контрольнообучающей программы компьютерного индивидуального тестирования по разделу «Векторная алгебра» Кратко изложены теоретические основы векторной алгебры, приведены многочисленные примеры задач с методическими рекомендациями по их решению Для компьютерного тестирования предложены вариантов по заданий в каждом с вариантами ответов и указаний к каждому заданию по их выполнению Учебно-методическое пособие предназначено для студентов естественнотехнического, экономического и архитектурно-строительного факультетов дневной и заочной формы обучения, а также может быть использовано студентами других факультетов Рецензенты: дф-мн, профессор АС Саадабаев; ст преподаватель кафедры высшей математики ИЮ Чикалев ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

3 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 ВЕКТОРЫ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Понятие вектора и виды векторов 4 Линейные операции над векторами 6 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВБАЗИСЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ Линейная зависимость и независимость векторов 8 Базис и координаты Прямоугольная декартова система координат ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА Проекция вектора на ось Компоненты вектора по координатным осям и координаты точки 4 4 СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ, ЗАДАННЫМИ ПРОЕКЦИЯМИ 4 Свойства проекции вектора на ось 5 4 Действия над векторами, заданными проекциями 9 5 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА 5 Определение скалярного произведения 5 Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов 5 Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами 54 Угол между двумя векторами 6 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА 6 Определение векторного произведения 4 6 Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов 5 6 Векторное произведение векторов, заданных своими координатами 5 7 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ 7 Определение смешанного произведения 8 7 Свойства смешанного произведения 8 ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО ТЕСТИРОВАНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ЛИТЕРАТУРА 55 ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

4 Введение При изучении различных разделов физики, механики и технических наук нам встречаются величины двух видов Один из них полностью определяется заданием их численных значений Такие величины называются скалярными Например, скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, плотность, температура тела и другие Для определения других величин, кроме численного значения необходимо знать также их направление Такие величины называются векторными Примерами векторных величин могут служить сила, скорость и ускорение движущегося тела Необходимость применения векторного исчисления при изложении технических дисциплин вызвана не столько удобством и наглядностью математических формулировок законов, сколько объективными свойствами изучаемых явлений Направленные величины используются при описании широкого круга явлений, относящихся к теоретической механике, механике жидкости и газа, теории электромагнетизма Векторы и основные линейные операции над ними Понятие вектора и виды векторов В отличие от скалярной величины, которую можно задать одним числом и отложить на некоторой шкале (отсюда и название «скалярная») - векторную величину, или просто вектор, можно задать с помощью числа и некоторого направления Вектором называется направленный отрезок (отрезок, у которого одна граничная точка считается начальной, другая - конечной) ( рис ) ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 4

5 На чертеже вектор обозначается стрелкой; над буквенным обозначением вектора также ставится стрелка АВ или а Длиной вектора (модулем) называется расстояние между началом и концом вектора Обозначение: АВ или а Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают:, Направление нулевого вектора не определено Два ненулевых вектора а и, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными Нулевой вектор коллинеарен любому вектору Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором:e Векторы а и называют равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов, то эти векторы компланарны Векторы а и, называют противоположными, если их длины равны, а направления противоположны Пример Построим квадрат, сторона которого равна (рис ) И на нем отметим векторы AB, CB, AD, DC, AC и BD Очевидно AB DC (равны), AD -CB (противоположны), векторы AC и BD не равны, хотя имеют равные модули AC BD Из определения равенства векторов следует, что вектор а не изменится, если его перенести параллельно самому себе в любую точку пространства Такие векторы называют свободными ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 5

6 Линейные операции над векторами Суммой векторов а и, расположенных так, что начало вектора совпадает с концом вектора а, называется вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец с концом вектора (правило треугольника рис, а) При этом пишут: с + Аналогично определяется сумма n векторов n А именно: суммой называют вектор, проведённый из начала первого в конец последнего вектора, при условии, что начало вектора 4 совпадает с концом вектора, начало вектора совпадает с концом вектора и тд (правило многоугольника рис, б) + + ) б) в) 4 Рис Замечание Если на векторах а и построить параллелограмм, поместив их начало в общую точку, то сумма + будет лежать на диагонали параллелограмма, выходящего из общего начала векторов а и (правило параллелограмма рис, в) Свойства операции сложения векторов: перестановочное, или коммутативное ( ) + + ( + ) + - сочетательное, или ассоциативное ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 6

7 + - поглощение нулевого вектора 4 Для всякого ненулевого вектора а существует противоположный вектор - а, такой, что а +(- а ) Вектор называется разностью векторов а и, те с, если с + Отсюда следует, что с + ( ) те вычитание векторов сведено к сложению (рис 4а) Нетрудно заметить, что разность векторов лежит на второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах а и, проведённой из конца вектора -, в конец вектора а Если векторы а и имеют общее начало, то вектор соединяет концы данных векторов и направлен от конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора (рис 4б) а) Рис 4 б) Произведением вектора а на число λ называется такой вектор, что с λ, а направление его совпадает с направлением вектора а, если λ >, и ему противоположно, если λ <; если а или λ, то λ Ясно, что векторы а и λ (если λ ) можно поместить на одной прямой (рис 5) Вектор ( ), очевидно, является противоположным вектору а Если задан некоторый вектор а ( ), то всегда можно подобрать множитель λ, такой, чтобы после умножения на него длина вектора λ была бы ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 7

8 равна единице Очевидно, что в качестве такого числа нужно взять λ Тогда, и при этом называется единичным вектором, соответствующим вектору, или ортом вектора Очевидно, что направление единичного вектора всегда совпадает с направлением вектора Ясно также, что Точно так же единичный вектор l, направление которого совпадает с направлением оси l, называется ортом оси l, или её единичным вектором ( + ) λ + λ векторов Свойства операции умножения вектора на число: λ - распределительное свойство относительно суммы ( λ + µ ) λ + µ чисел ( µ ) ( λµ ) - распределительное свойство относительно суммы λ - сочетательное свойство числовых сомножителей Пример Вычислить +, если 5, 7, Известно, что в параллелограмме, построенном на векторах а и одна диагональ является суммой, а другая разностью двух векторов По свойству параллелограмма имеем: ( + ) + + ( + ) + ( + + (5 + 7 ) ((5 + 49) Линейная зависимость векторов Базисы на плоскости и в пространстве Прямоугольная декартова система координат Линейная зависимость и независимость векторов Пусть имеется n векторов,,, n и n постоянных коэффициентовα, α,, α n Выражение α + α + + α называется линейной комбинацией векторов ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 8 n n,,, n

9 Система векторов,,, n называются линейно зависимой, если существуют действительные числа α, α,, α n, такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и выполняется равенство: α а + α а + + α n n () В противном случае, те если линейная комбинация () обращается в ноль только при всех α i, i,,, n, то система векторов называется линейно независимой Если векторы линейно зависимы, то любой вектор может быть выражен в виде линейной комбинации остальных Например, если α, то из () n α α n следует, что n β + β + + βn n, где β,, β n α α Пример Доказать, что коллинеарные векторы линейно зависимы n n Действительно, поместим векторы а и на одной прямой (рис 6), тогда λ + λ можно найти такое λ, при котором ( ) что а и линейно зависимы Пример Доказать, что любые три вектора линейно зависимы, а это и означает,, и лежащие в плоскости, Действительно, поместим начало всех трёх векторов в общую точку (рис7) Очевидно, тогда можно подобрать единственную пару чисел λ и λ, так что будет λ +, а что и означает, что векторы, и линейно зависимы λ Итак, мы показали, что компланарные векторы линейно зависимы Пример Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 9

10 Действительно, можно подобрать, причём единственным образом, такие числа λ, λ, λ, что будет λ + λ + (рис 8) d λ d λ Базис и координаты Совокупность любых двух линейно независимых векторов, принадлежащих данной плоскости, называется базисом на этой плоскости Если e, e - базис на плоскости, то для любого вектора а, лежащего в этой плоскости, можно найти единственным образом такие числа и, что будет e e Числа + базисе и называются координатами вектора а в данном Совокупность любых трёх линейно независимых векторов e, e, e в пространстве называется базисом в пространстве Если а - произвольный вектор, то всегда можно найти единственным образом числа,, такие, что будет иметь место представление: e + e + e Коэффициенты,, в разложении данного вектора по базису называются координатами вектора а в базисе e, e, e λ Теорема Тройка векторов e { ; }, e { ; }, e { ; } λ Рис 8 ; образует базис в том и только в том случае, если ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ; ;

11 Пример Доказать, что векторы e { ;; }, { ; ; } e { 4; ;} образуют базис Найти разложение вектора { ;4;6 } базисе Решение Имеем e, в этом Следовательно, векторы e, e, e образуют базис Координаты х,, вектора { ;4;6 } в этом базисе должны удовлетворять равенству e + e + e, или в матричной записи Это приводит к системе линейных алгебраических уравнений + + 4, + 4, + 6 Решив эту систему, найдём х,, Таким образом, e + e + e Прямоугольная декартова система координат Из всех возможных базисов ( e, e, e ) в пространстве выберем такой, чтобы все векторы, входящие в этот базис, были попарно ортогональны (те ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

12 , π e ^e, ( ij,,, )), далее разделим каждый вектор базиса на его длину Получим базис e e,, e Такой базис называется ортонормированным Тройка векторов,, называется правой, если при наблюдении с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору происходит против движения часовой стрелки Ограничимся выбором правой тройки базисных векторов e, e e, Поместим далее начало векторов, входящих в выбранной базис, в общую точку и из этой точки проведём оси O, O, O, направления которых совпадают с направлениями векторов e, e e, Получим так называемую пространственную прямоугольную правую декартову систему координат O Причём принято орты обозначать так: e i, e j e k (рис 9) Ось O называется осью абсцисс, ось O, осью ординат, ось O осью аппликат Если e, получим прямоугольную правую систему декартовых координат на плоскости систему O ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

13 Проекция вектора на ось Координаты вектора Компоненты вектора Проекция вектора на ось Пусть вектор AB лежит на некоторой оси l Направление орта направлению оси (Рис ) l соответствует Проекцией вектора, лежащего на оси, на эту ось называется число, по абсолютной величине равное длине вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком минус, если они противоположны Пусть вектор AB не лежит на оси l Через А и В проведем плоскости, перпендикулярные оси l и обозначим через А и В точки пересечения этих плоскостей с осью l (Рис ) Проекцией вектора, не лежащего на оси l, на эту ось называется положительное число А B, если вектор A B и ось l одинаково направлены и отрицательное число A B, если вектор A B и ось l противоположно направлены (рис )Если точки А и В совпадают ( A B ), то проекция вектора AB равна нулю Проекция вектора на ось обычно обозначается так: пр l AB Очевидно, если вектор A B лежит на оси l, то можно написать: A B ( пр l AB ) l Замечание Отметим, что проекция вектора на ось l является также координатой вектора по этой оси l ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

14 Компоненты вектора по координатным осям и координаты точки Поместим начало вектора в начало декартовой системы координат O (его конец точка А) Спроектируем точку А на координатные оси Получим соответственно три точки A, A, A (рис ) Как было отмечено, векторы OA, OA OA,, лежащие на координатных осях O O и O, являются компонентами вектора по координатным осям Обозначим через,, - проекции вектора на координатные оси Ясно, что OA, i, OA j OA k, тк то OA OA A OA + OA + OA, + A A ' + A ' i + j k () + Такое представление вектора называется разложением его на компоненты, или составляющие по координатным осям Числа,, называются координатами вектора Векторное равенство () записывают в символическом виде: {,, } Нетрудно заметить, что вектор лежит на диагонали параллелепипеда, следовательно, можно найти его длину, те + +, () те модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат Рассмотрим теперь некоторую точку M в пространстве Вектор r OM называется радиус-вектором точки M (рис ) Проекции r, r, r радиус-вектора точки M на координатные оси называются координатами ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 4

15 точки M в данной системе координат, и при этом их обозначают просто, и, те точка M имеет координаты, и записывают так: M (,, ) 4 Свойства проекции вектора на ось Действия над векторами, заданными проекциями 4 Свойства проекции вектора на ось Углом между вектором и осью l называется наименьший угол между направлением вектора и положительным направлением оси l, обозначается θ ( ^l) Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью, те пр l osθ Доказательство Пусть угол θ острый, тогда пр l + а osθ Если же θ тупой π θ, то пр l π < θ < π, то пр l а os( π θ) osθ (рис 4) Если ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 5

16 Замечание (о направляющих косинусах вектора) Косинусы углов α, β и γ, которые вектор образует с координатными осями O, O и O, называются направляющими косинусами вектора (Рис5) Если,, проекции вектора на координатные оси, то ясно, что имеют место формулы osα osα osβ > os β > os α + os β + os γ osγ osγ (4) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на эту же ось, те пр ( + ) пр пр l l + l Доказательство A ( пр ) ; ( ) ; ( ) l AB l BC прl BC l AC прl AC (5) B l С другой стороны (Рис6), A ( пр ) ( ) ( ) l l + прl l прl + прl (6) C l Сравнивая правые части равенств (5) и (6), получаем пр ( + ) пр пр + l l l ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 6

17 Пример Найти координаты вектора AB и его длину, если известны координаты его начала А х, у, ) и конца B,, ) - (рис 7) ( А А A ( B B B Решение Проведём радиус-векторы точек A и B: r A и r B Ясно, что r i + j + k; r i + j k ; A A A A B B B + B ( ) i + ( ) j + ( ) k AB r r (7) A B B A B Итак, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответственно координаты начала A B A Мы получили ранее, что если {,, }, то + + Следовательно, AB ( ) + ( ) + ( ) (8) B A B A B A Заметим, что по этой формуле удобно вычислять расстояние между двумя точками, если известны их координаты При умножении вектора на число λ его проекция на ось также умножается на это число, те пр ( λ ) λ пр l (Без доказательства) 4 Для того, чтобы два вектора были равны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции на любую ось были равны (Доказать самостоятельно) Пример Даны точки A(,-,) и B(,,) (рис 8) Найти: Координаты вектора AB ; Длину вектора AB ; Разложение вектора AB на составляющие; 4Направляющие косинусы вектора AB ; 5 Единичный вектор (орт), соответствующий вектору AB l ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 7

18 Решение Принимая во внимание предыдущий пример, получим:,, Итак AB {,, } B A B A B A Напомним, что + +, значит AB Так как i + j k, то AB i + j + k + 4 Напомним, что osα, osβ, os γ, где α, β, γ - углы, которые вектор AB составляет с координатными осями O, O, O Как известно, osα, os β, osγ называются направляющими косинусами вектора В нашем случае os α, 4 os β, 4 os γ 4 5 Единичный вектор, соответствующий вектору, равен Таким образом ; ; или i + j + k Нетрудно отметить, что координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами Пример На оси О найти точку М, равноудаленную от точек А(;-4;7;) и В(5;6;-5) Решение Так как точка М находится на оси О, то ее координаты будем искать в виде М(,,) Найдем координаты вектора AM и BM : AM BM { ; + 4; 7} { ; + 4; 7} ; { 5; 6; + 5} { 5; 6; 5} По условию задачи AM MB или в координатной форме ( ) + ( + 4) + ( 7) ( 5) + ( 6) + 5 Решив полученное уравнение, имеем что Итак, точка М имеет координаты (;;) ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 8

19 4 Действия над векторами, заданными проекциями Пусть векторы {,, }, и {,, }, заданы своими проекциями на оси координат Ох, O, O Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать: ± { ± ± ; ± } ; ; λ { λ λ, λ };,,, 4 Коллинеарность векторов Заметим, что если два вектора {,, } и {,, } коллинеарны, то существует такое число λ, при котором λ, те i + j + k λ( i + j + k) λ > λ λ Итак, мы доказали, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны Пример 4 Дан вектор AB i+ j+ k и координаты точек B(,, ), C ( 5,, ) Найти координаты вектора AC (рис 9) Решение Найдём координаты вектора BC : BC { ; ; 5 ( ) } { ;;6 } ( i + j + k) + ( i + 6k) i + j + k AC AB + BC 8 Итак {,,8 } AC ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 9 (9)

20 Пример 5 Выяснить, при каких значениях параметров λ и µ векторы λi + j + k и i + j + µ k коллинеарны Решение Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: λ, отсюда λ ; µ µ 5 Скалярное произведение и его свойства 5 Определение скалярного произведения Определение Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, те osϕ () Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение этих векторов равно нулю (по определению) Если, то, так как os ϕ Отсюда следует, что Заметим, что скалярное произведение называется скалярным квадратом и обозначается Следовательно, ( ) Заметим, что иногда скалярное произведение обозначают ( ) Свойства скалярного произведения пр пр а Действительно, пр osϕ, но osϕ пр, отсюда а следует, что пр а ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

21 Переместительное или коммутативное свойство: Это свойство очевидно, так как os(,^ ) os(,^ ) Сочетательное или ассоциативное свойство относительно числового множителя λ : ( λ ) ( λ) λ( ) 4 Распределительное или дистрибутивное свойство относительного сложения векторов: + + Доказательство: ( ) ( + ) пр ( + ) ( пр + пр ) + + d d + d Следствие ( ) ( ) 5 Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов Напомним, что два ненулевых вектора и называются ортогональными, π,^ Теорема Для того, чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, если они образуют прямой угол, те ( ) необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение обращалось в нуль: Доказательство Необходимость Пусть векторы и ортогональны, os тогда (,^ ) Достаточность Пусть Так как векторы ненулевые, то отсюда os следует, что (,^ ), а это и означает, что векторы и ортогональны ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

22 5 Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами Пусть {,, }, {,, } Очевидно, что i j k ; i j j i ; i k k i ; j k k j В силу свойства 4 получим ( i + j + k) ( i + j + k) + + () В частности, Угол между двумя векторами Если и - ненулевые векторы, то + + osϕ () Отсюда нетрудно получить условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов в координатной форме: + () + Механический смысл скалярного произведения Если F - сила, действующая на перемещении S, то работа A этой силы на указанном перемещении, как известно, равна F ) Sos(F,S), те A F S (рис F Рис θ S Пример Даны три точки А(,,5), В(,,,), С(,5,4) Найти: а) пр BC AB; б) угол при вершине В; в)направляющие косинусы вектора AB Решение а) AB { ; ; } ; BC { ;;} ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

23 AB BC ( ) + ( ) + ( ) б) пр ВС АВ АВ os( AB,^ BC) BC в) os β AB BC AB BC ( ) + ( ) + ( ) ; ( ) + ( ) + ( ) β ros 7 в) AB ( ) + ( ) + ( ) ; osα ; osβ ; osγ π Пример Дан вектор m + n, m n, m,^ n Найти длину вектора Решение Найдём скалярный квадрат вектора : ( m + n) ( m n) + произведения: Раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного ( m + n) ( m + n) m + n m + m n + n m + m n + n π m + m n os( m^ n) + n 4 + os Пример При каком значении α векторы i + j + k и i + α j + k ортогональны? Решение Принимая во внимание условие ортогональности двух векторов +, получим + α + Следовательно α + ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

24 6 Векторное произведение и его свойства 6 Определение векторного произведения Векторным произведением ненулевых векторов и называется такой вектор, который удовлетворяет трём условиям: sin(,^), те длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и Тройка,, - правая (рис ) Если хотя бы один из векторов и нулевой, то по определению Заметим, что иногда векторное произведение двух векторов и обозначается символом [ ; ] Рис Свойства векторного произведения Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация тройки Свойство сочетательности относительно скалярного множителя: ( ) ( λ) ( λ) λ (без доказательства) ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 4

25 Распределительное свойство относительно сложения векторов : ( + ) + ( + ) ( + d ) + + d + d То есть скобки можно раскрывать, как при обыкновенном умножении, не переставляя местами множители (без доказательства) 6 Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов Теорема Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю: Доказательство Необходимость Пусть векторы и коллинеарны, тогда sin Значит, они лежат на одной прямой, следовательно, (,^) Достаточность Пусть векторное произведение Так как,, то значит sin (,^), те (, ^) или ( ^) π,, а это означает, что векторы и коллинеарны 6 Векторное произведение векторов, заданных своими координатами Заметим, что i i j j k k Далее очевидно, что i j k, j k i, k i j, j i k, k j i, i k j Применяя свойство, перемножим векторно векторы i + j k и i + j k + + ( i + j + k) ( i + j + k) i i + i j + i k + + j i + j j + j k + k i + k j + k k ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 5

26 i j k ( ) ( ) ( ) i j + k Механический смысл векторного произведения Если сила F поворачивает тело вокруг оси l, то момент M силы F относительно l, как известно, равен M r F (рис ) Пример Известно, что, 6, а угол π между векторами и равен ϕ Определить 6 модуль векторного произведения векторов и + 5 Решение Векторное произведение векторов и + 5 равно ( ) ( + 5) ( ) + ( ) + 6( ) 5( ) 6( ) Поэтому модуль векторного произведения векторов π ( ) ( + 5) 6( ) 6 sinϕ 6 6 sin 44 Пример Найти площадь треугольника с вершинами в точках A(-,,), B(,,) и C(,,-); Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки A, B и C Решение AB {,,}, AC {,, } и + 5 равен 6 AB AC i j k ( ) i + ( ) j + ( ) k i + j k ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 6

27 AB AC ( 7) + + ( ) 7 Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах AB и BC, следовательно 7 S ABC В силу определения векторного произведения вектора AB AC, два вектора ± 7i + j ± 7 k удовлетворяют поставленной задаче (рис ) Пример Найти модуль векторного произведения ( ) ( + ), если { ;; }, { ;; } Решение: Используя свойства векторного произведения, раскроем скобки: ( ) ( + ) , (в силу коллинеарности векторов) Тогда имеем ( ) ( + ) i j k Найдем i j + k 9i 4 j 7k Тогда ( ) ( + ) ( 9) + ( 4) + ( 7) 46 Пример 4 Вектор с, перпендикулярный векторам { ;; } и {5,4,}, образует с осью O тупой угол Модуль вектора с равен 6 Определить координаты вектора с Решение Из свойств векторного произведения векторов получаем, что векторное произведение перпендикулярно векторам и Поэтому векторы с и коллинеарны ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 7

28 i j k i + j 4k 5k 8i + j 5i + j 9k 5 4 Тогда модуль векторного произведения равен ( 5) + + ( 9) 57 Так как векторы с и (-5,,-9) коллинеарны, то соответствующие координаты этих векторов пропорциональны Пусть λ коэффициент пропорциональности Тогда координаты вектора с ( 5λ, λ, 9λ) Так как вектор с образует с осью Ох тупой угол, то соответствующий 5λ 5λ направляющий косинус меньше нуля: os α < Тогда > 6 λ Модуль вектора с равен 5λ + λ + 9λ 57λ λ 6 ( ) ( ) ( ) Отсюда λ Но λ > Поэтому λ Тогда вектор ( 5λ,λ, 9λ) ( 5,, 9 ) (,, 8) 7 Смешанное произведение трёх векторов 7 Определение смешанного произведения Смешанным произведением ненулевых векторов,, называется скалярное произведение вектора и векторного произведения вектора на вектор, те выражение ( ) Необходимое и достаточное условие компланарности трёх векторов Теорема Для того чтобы ненулевые векторы, и были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю: ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 8

29 Доказательство Необходимость Пусть векторы, и компланарны Тогда их можно поместить в одной плоскости, и вектор окажется перпендикулярным вектору, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, те ( ) Достаточность Пусть ( ) может быть: Так как векторы ненулевые, то ), тогда λ, следовательно, векторы, и можно поместить в одной плоскости, те они компланарны; ), но ( ) ( ) одной плоскости с векторами и Это значит, что вектор лежит в Геометрический смысл смешанного произведения Предположим, что векторы, и некомпланарны Построим параллелепипед на этих векторах, принимая за основание параллелограмм, построенный на векторах и (рис ) ) Пусть,, - правая тройка Тогда угол между векторами и острый, те векторы и лежат в одном полупространстве Очевидно, что (,^( ) ) пр h следовательно, ( ) построенного на векторах,, os даёт нам высоту параллелепипеда, есть не что иное, как объём параллелепипеда, ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 9

30 ) Если,, - левая тройка (рис4), то векторы и будут лежать в разных полупространствах, а тогда (,^( ) ) h следовательно, ( ) знаком минус Итак, объём параллелепипеда V ± ( ) V ( ) os, будет равно объёму параллелепипеда, взятому со или Вывод Абсолютная величина смешанного произведения трёх ненулевых векторов даёт нам объём параллелепипеда, построенного на этих векторах 7 Свойства смешанного произведения ( ) ( с ) ( ) Те смешанное произведение не меняется при циклической перестановке перемножаемых векторов Действительно, каждое произведение имеет один и тот же модуль в силу геометрического смысла смешанного произведения Знаки их также совпадают, так как ориентация тройки не меняется при циклической перестановке векторов ( ) ( ) Действительно, при перестановке двух соседних векторов модуль смешанного произведения не меняется, а знак меняется на противоположный, так как тройка меняет свою ориентацию ( ) с ( ) ( ) Действительно, в силу первого свойства: ( ) с ( ) стороны, с ( ) ( ) с, ( ) ( ) С другой откуда и следует окончательно: Поэтому иногда смешанное произведение обозначают (,, ) 4 Если {,, }, {,, }, {,, }, то ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

31 (,, ) (4) Действительно, ( ) (,, ) ; ; + Пример Показать, что точки А (,,), В (,,), С (4,,) и D (5,4,5) лежат в одной плоскости Решение Найдем координаты векторов {,, }, {,, } AB AC, AD { 4,,4} AB, AC и AD Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и векторы лежат в одной плоскости (рис 5), а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю B A C Рис 5 D Действительно, ( AB, AC, AD ), 4 4 тк первая и третья строки определителя пропорциональны Пример Доказать, что векторы i + j + k, i + 4 j + k и i + j k линейно зависимы и найти эту линейную зависимость ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

32 Решение (, ), 4, ледовательно, векторы, и компланарны, а значит, они линейно зависимы, те существуют константы λ, µ и ν такие, что λ + µ +ν, те λ ( i + j + k) + µ (i + 4 j + k) + ν ( i + j k), откуда следует: (λ + µ + ν )i + (λ + 4 µ + ν ) j + (λ + µ -ν ) k, тк i, j, k - базисные векторы, то имеем такую систему для нахождения λ, µ и ν : λ + µ + ν λ + µ + ν λ + µ + ν λ + 4µ + ν µ + ν λ ν + ν λ ν λ + µ ν 5µ 5ν µ ν µ ν Здесь ν выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений Подставим λ ν, µ ν в указанную выше линейную комбинацию: ν ν + ν Сократим на ν Получим искомую линейную зависимость + Пример Вычислить произведение ( + )( + ) По определению смешанного произведения имеем ( + )( ) ( ( + )) ( + ) ( + ) ( ) Пример 4 Даны точки A(4; -; ), B(; ; ), C(; -; 5), D(; -; ) Найти объём пирамиды АВСD Решение Объём V пирамиды АВСD равен объёма параллелепипеда, по- 6 строенного на векторах { ; ; } AD ; V 6 AB, AC, AD Имеем { 4; ; } 4 AB, { ; ; } ( AB, AC, AD) / 6 7 / AC, ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 6

33 8 Задания для компьютерного тестирования Вариант Даны, 9 и + 4 Вычислить Ответы: а) ; б); в); г); Указание: Известно, что в параллелограмме построенном на векторах и одна диагональ является суммой, а другая разностью двух векторов По свойству параллелограмма имеем: ( + ) + + Определить модули суммы и разности векторов { ; 5; 8} и { ;; 4} Ответы: а) + ; 7 ; б) + 6 ; 4 в) + 5 ; 8 ; г) + ; Указание: Если {,, }, {,, } то + ( + ) + ( + ) + ( + ), ( ) + ( ) + ( ) Векторы,, попарно образуют друг с другом углы, каждая из которых равен 6 Зная, что 4, и 6, определить модуль вектора p + + Ответы: а) ; б) ; в) ; г)5 Указание: Воспользуйтесь свойством скалярного произведения векторов: p p p p p p 4 Вычислите проекцию вектора { 5; ; 5} на ось вектора { ; ; } Ответы: а); б); в)8; г)6 + + Указание: Воспользуйтесь формулой: пр Даны точки A ( ; ; ), B(; ; ) и C (5; ; 6) Вычислить площадь треугольника ABC Ответы: а)8; б) 4; в); г) 6 Указание: S ABC, где, + + ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

34 6 Дано,, Найти Ответы: а) 5; б) 5 ; в) ; г) ; Указание: sin ϕ; sin ϕ os ϕ; osϕ 7 Вычислить произведение ( )( )( ) Ответы: а) б) в) г) Указание: Используйте определение смешанного произведения: ( ) 8 При каком значении λ векторы i + j + λ k, { ; ; } и { ; ; } компланарны? Ответ: а) ; б) ; в) ; г) Указание: λ можно найти из условия компланарности векторов, те, и решить полученное уравнение 9 Даны векторы { ; 5; }, { ; ; }, { ; ; } Найти ( ) Ответы: а) (-; ; ) б) (; ; ) в) (; -; ) г) (; ; ) Указание: Найдите векторное произведение, затем результат умножьте векторно на Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах ( ; ; ), (; 4; ), (; ; ) Ответ: а) ; б) ; в) ; г) Указание: Объем треугольной призмы построенной на векторах (,, ), (,, ), (,, ) равен V 6 6 ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 4

35 Вариант Даны векторы { ; }, { ; }, { ; } При каком значении коэффициента α векторы p + α и q + коллинеарны? Ответы: а) ; б)-; в)4; г)5 Указание: используйте условие коллинеарности векторов p и q : их координаты должны быть пропорциональны: { ; ; } координаты вектора p, где { ; ; } координаты вектора q На оси OX найти точку М, расстояние которой от точки А(; -) равно 5 Ответы: а) (; ) и (-5; ) б) (5; ) и (-; ) в) (7; ) и (-; ) г) (-7; ) и (; ) Указание: Найдите координаты вектора АМ и, используя условие, что АМ 5 решить полученное уравнение Найти орт вектора { 6; ; } Ответы: а) { 6/ 7; / 7; / 7} ; б) { 6/ 7; / 7; / 7} в) { 6/ 7; / 7; / 7} ; г) { 6/ 7; / 7; / 7} Указание: ; 4 Даны, 6 u 7 Вычислить Ответы: а) ±; б) ±; в) ±4; г) ±45 Указание: osϕ; os ϕ sin ϕ ; sin ϕ 5 Дано, что, 5 Определить, при каком значении α векторы + α и α будут взаимно перпендикулярны Ответы: а) α ± ; б) α ± ; в) α ± ; г) α ± ; Указание: используйте условие перпендикулярности двух векторов: d, где с + α, d α и решить полученное уравнение с d ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 5

36 6 Даны векторы (; ; -); (-; ; ); (; -; ); Вычислить + Ответы: а) (6; ; 4); б) i j; в) не имеет смысла; г) (-7; ; 9) Указание: воспользуйтесь определением умножения вектора на число, векторного и скалярного произведения 7 Даны вершины треугольника А (; ; -); В (5; ; -); С (; ; ) Определить угол А этого треугольника π π π Ответы: а) ; б) ; в) ; г) ros 6 Указание Найти координаты векторов AB и AC и воспользоваться (, ) формулой для нахождения косинуса угла между векторами os α + если 8 Найти модуль векторного произведения ( ) ( ), ( ; ; ), ( ; ; ) Ответы: а) ; б) ; в) 5 ; г) Указание: Используя свойства векторного произведения, раскрыть скобки, упростить выражение и использовать формулу Найти высоту пирамиды OD, если координаты вершин А(5; ; -4), В(; ; -), С(; ; -4); D(; ; ); 5 Ответы: α ) ; 4 б) ; в) ; г) V Указание: Объем пирамиды V S h h, где h OD, S площадь основания, V находим по формуле V, где AB, AC, AO S 6 S находим по формуле: S Проверить, будут ли компланарны данные три вектора ( ; ; ), (; ; ), (; 9; ) Ответы: а) ; б); в)-5; г) Указание: Проверить условие ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 6

37 Вариант Определить, при каком значении α векторы i + αj + k и αi + j 4k перпендикулярны? Ответы: а) α ; б) α ; в) α ; г) α Указание используйте условие перпендикулярности двух векторов: и решить полученное уравнение Решить уравнение Найти числовое значение m mn + 4n, если m ; n 6; ( m n) π Ответы: а) 7; б) 4; в) -4; г) 67 Указание: вычислить скалярное произведение векторов m n m n os( m, n), n n и выполнить действие Даны векторы ( ;; ), (; ;), (;; 5) Вычислить ( ) + + Ответы: а); б) не имеет смысла; в) i + 8 j + k; г) 4 Указание: Вычислить смешанное произведение векторов ( ), скалярное произведение векторов и результат сложить, 4 Вычислить синус угла, образованного векторами ( ; ;), (; ; 6) 5 7 Ответы: а) sin α ; б) 5 sin α ; в) sin α ; г) 4 i j k Указание: sin α, где sin α 5 Проверить, будут ли компланарны данные три вектора ( ; ; ); ( ; 4; ) ; ( ;; ) Ответы: а) -5; б) ; в) ; г) - Указание: Проверить условие ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 7

38 6 Векторы и образуют угол 45 Найти площадь треугольника, построенного на векторах и +, если 5 Ответы: а) 4; б) ; в) 5 ; г) 5 ; Указание: Площадь треугольника, построенного на векторах и d найти по формуле S d, где, d + При вычислении с d использовать свойства векторного произведения 7 Вектор составляет с осью OX угол α 6, с осью OY угол β Найти угол γ α между осью OZ и вектором и координаты вектора, если 6, γ тупой угол Ответы: а) γ ; ( ; ; ); б) γ 5 ; ( ; ; ); в) γ 5 ; ( ; ; ); г) γ 5 ; ( ; ; ); Указание: Направляющие косинусы удовлетворяют равенству os α + os β + os γ Координаты вектора а выражаются через его модуль и направляющие косинусы osα, osβ, os γ 8 Векторы и взаимно перпендикулярны, причем 5и Определить + и Ответы: а) + 4; б) + ; в) + 5; г) + ; Указание: Воспользоваться теоремой Пифагора 9 Вычислить произведение ( )( + + ), если 5 Ответы: а)-7; б) 7; в) ; г)5 Указание: Используйте определение смешанного произведения ( ) Дан вектор 4i + 7 j 4k Найти вектор d параллельный вектору с и противоположного с ним направления, если d 7 Ответы: а) Указание: 5 i + j + k ; б) 5 i j + k ; в) i j + k ; г) i + j k d d d, d ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 8

39 Найти длину вектора m n, Вариант 4 Ответы: а) 5 ; б) ; в) ; г) 4 Указание: если m, n, ( m^ n ) 6 Вычислить высоту BD треугольника заданного своими вершинами A( ; ; 8); B(; ; 4); C(6; ; ) Ответы: а),5; б) ; в) -,5; с),5 S Указание: S AC BD, отсюда BD AC с другой стороны S AB AC, тогда BD AB AC AC AB AC [ AC[ Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках: A ( ; ; ); B ( 5; ; ); C ( ; ; ); D (6; ; ); Ответы: а),5; б); в)-,5; с),5; Указание: V Даны векторы (;; 4); (; ; ); (;; ) Вычислить: Ответы: а) не имеет смысла; б) ; в) ( ; 9; ); г) 8 + 6; Указание: Исходить из определения векторного произведения и модуля вектора 5 При каких α и β векторы и коллинеарны, если α i + 5 j k, i + j + βk Ответы: а) 5 и ; б)-5 и ; в)5 и ; г) и -5; 5 5 Указание: коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты: ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 9

40 6 Определить угол между векторами: { ; ; } и { 6; 4; } π π π Ответы: а) б) в) г) ros 6 4 Указание: osϕ Радиус вектор точки М составляет с осью O угол 6, а с осью O угол 45, его длина r 8 Найти координаты точки М, если ее абсцисса отрицательна Ответы: а) ( 4; 4; 4 ); б) ( 4; 4; 4 ); в) ( 4; 4; 4 ); г) ( 4; 4; 4 ); Указание: Координаты точки М это и есть координаты радиус вектора точки М Координаты вектора r OM выражаются через его модуль и направляющие косинусы r r osα, r r osβ, r r os γ ; r r + r + r Дано ; 6; 7 Найти Ответы: а) ± 4; б) ± ; в) ± 45; г) ± 6 Указание: sin ϕ ; osϕ sin ϕ, osϕ 9 Даны векторы ( ; ; 4); ( ; 4; ); ( ; ; 4) Найти: np + Ответы: а) -5; б) 8; в) 5; г)-8; ( + ) Указание: np +, + ( + ; + ; + ) + Показать, что точки A ( 5; 7; ); B ( ; ; ); C ( 9; 4; 4); D (; 5; ); лежат в данной плоскости Указание: Показать, что ( AB, AC, AD) 4 Ответы: а); б) 48; в)-; г) 4 4 ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 4

41 Вариант 5 Даны вершины треугольника A (4; ; ); B (5; 7; ); C ( ; 8; ); Найти площадь треугольника ABC Ответы: а) ; б) 6 ; в) ; г)6; Указание: S AB AC, где AB AC i j k Определить, при каком значении α векторы p α + 7 и q будут перпендикулярны, если ( ), 5; ^ Ответы: а); б)-5; в) 4; г) 7; Указание: Найти скалярное произведение векторов ( p q) ( α + 7 ) ( ) Используя свойства скалярного произведения, раскрыть скобки и решить полученное уравнение Проверить компланарны ли следующие векторы: ( ; ; ); ( ; ; ); ( ; 4; 7) Ответы: а); б); в) 4; г) -; Указание: Проверить условие 4 Даны векторы ( ; ; ); ( ; ; ); ( ; ; 5) Вычислить: ( ) + + Ответы: а) ; б) 4; в) не имеет смысла; г) i + 8 j k Указание: Исходить из определения смешанного, векторного и скалярного произведения векторов 5 На оси OZ найти точку, равноудаленную от точек A ( 4; ; ); и B ( ; ; ); Ответы: а) ( ; ; / ); б) ( ; ; 8/ ); в) ( ; ; ); г) ( ; ; ); Указание: Найти векторы ОАи ОВ, где точка ( ; ; ) Решить уравнение ОА ОВ O ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 4

42 6 Найти модуль векторного произведения ( ) ( + ), если ( ; ; ); (; ; ) Ответы: а); б) 4 5; в) ; г) 5; Указание: Используя свойства векторного произведения, раскрыть скобки, упростить выражение и использовать формулу Векторы и образуют угол ϕ 6 причем 5, 8 Определить + и Ответы: а) 7 и 9 ; б) 8 и ; в) и 8; г) 9 и 7 Указание: При нахождении + osϕ, воспользоваться теоремой косинусов а при нахождении + -свойством параллелограмма: Вычислить проекцию вектора на ось вектора, если ( 5; ; 5); ( ; ; ) Ответы: а) 6; б) 8; в) ; г) -6; Указание: проекция вектора на вектор вычисляется по формуле np, + +, Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу углы α 6, β Вычислить его координаты, при условии, что Ответы:а) а{;-; } или { ; ; } ; б) { ; ; } или { ; ; } в) { ;; } или { ;; } ; { ; ; } или { ; ; } Указание: os α; os β; oγ ; os γ найти из равенства os α + os β + os γ Объем тетраэдра V 5, три его вершины находятся в точках A ( ; ; ); B (; ; ); C ( ; ; ) Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси O Ответы: а) ( ; 6; ); б) ( ; 8; ); в) ( ; 8; ); г) ( ; ; ); Указание: V тетр ( AB, AC, AD), D(; ; ) 6 Решить уравнение: ( AB, AC, AD) 6V тетр ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 4

43 Вариант 6 На прямой, соединяющей точки (-; 5) и (-; ), найти точку, у которой х 5 Ответы: а) (5; -); б) (5; 7); в) (5; -7); с) (5; 4) Указание: Найти координаты векторов AB и AM где M ( 5; ) Затем использовать условие коллинеарности векторов AB и AM Их координаты должны быть пропорциональны Решить полученное уравнение Найти угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах (;; ); ( ; ;) π π π Ответы: а) ; б) ; в) ; г) ros, 6 Указание: Вычислить сначала, координаты векторов + { + ; + ; + } и d { ; ; }, а затем воспользоваться формулой для вычисления угла между векторами d os ϕ d Даны векторы (;; 4); (; ; ); (;; ) Вычислить: + + Ответы: а) не имеет смысла; б) ; в) (; -4; ); г) + 5 Указание: Исходить из определения векторного, скалярного произведения векторов, а также модуля вектора 4 Даны точки A (; ; ); B ( ; ; ); C (5; ; 6); Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AC Ответы: а)4; б) 8; в) 4; г) 7; Указание: S Вычислить объем пирамиды, вершины которой находятся в точках A ( ; ;); B (5; 5; 4); C ( ; ; ); D (4;; ) Ответы: а); б); в); г)4; Указание: V пир, 6 6Найти орт вектора { ; 4; } Ответы: а) { /; 4 /; /}; б) { 4 /; /; /} в) { /; /; 4 /}; г) { /; 4 /; /} Указание:, где 4 ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева

44 7 Даны векторы i + j + k; i + 5 j; 4i + 4 j k Вычислить np ( ) Ответы: а)8; б) -; в) ; г) Указание: Вычислить сначала координаты вектора d, а затем воспользоваться формулой d d + d + d +, + ( d ) np d, где 8Найти единичный вектор с, перпендикулярный каждому из векторов ( ; ; ); ( ; ; ) 5 Ответы: а) ± ( i 5 j + 8k ); б) ± 4 (8i 5 j + k); в) ± ( 5i + j + 8k ); г) ± (5i + j 8k); Указание: Векторы с и коллинеарны, следовательно с λd, d, i j k где вектор, λ найти из уравнения ( λd ) + ( λd ) + ( λd ) 9При каких значениях α и β векторы i + j + βk и α i 6 j + k коллинеарные Ответы: а) α 4 ; β ; б) α 4; β ; в) α 4 ; β ; г) α 4; β ; Указание: коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты: Вычислить ( + + ) ( ) ( + ) Ответы: а) ; б) ; в) 4; г) ; Указание: Используя свойства смешанного произведения, раскрыть скобки ( + + ) ( ) ( + ) ( ( + + ) ( ) ) ( + ) ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 44

45 Вариант 7 Вектор составляет с осью O угол α 6, а с осью O угол β Найти угол γ между осью O и вектором и координаты вектора, если 4, γ -угол острый Ответы: а) γ (; ; ); б) γ 45 (; ; ); в) γ 6 (; ; ); г) γ 45 ( ; ; ); Указание: Направляющие косинусы удовлетворяют равенству os α + os β + os γ, координаты вектора выражаются через его модуль и направляющие косинусы: os α; osβ; os γ; В плоскости XOY найти вектор, перпендикулярный вектору ( 5; ; 4), имеющий с ним одинаковую длину Ответы: 5 5 а) ( ; ± 5; ± 5); б) ( ± ; ± ; ); в) ( ± ; ± ; ); г) ( ± ; ± ; ) 7 7 Указание: Найти + +, затем решить систему уравнений по условию тк вектор находится в плос кости XOY Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах AB ;; и AC ( ; ; 6) ( ) 5 7 Ответы: а) ; Указание: б) ; в) 45; г) 6; S + AB AC + 4 Найти длину вектора +, если, 4 Ответы: а) ; б) 7 ; в) 5; г) ; Указание: ( + )( + ) ϕ ( ^ ) ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 45

46 ( ^ ) π Найти ( ) ( + ) 5 Дано, + Ответы: а) 5 ; б) ; в) 4; г) 6 Указание: Используя свойство векторного произведения раскрыть скобки + +, затем найти его модуль, используя формулу ( ) ( ) [ ] sin ϕ 6 Найти объем параллелепипеда построенного на векторах ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) Ответы: а) ; б) ; в) ; г)5 Указание: V парал, где 7 Вычислить произведение с ( + )( + ) Ответы: а) ; б) ; в) ; г) ; Указание: Используя определение смешанного произведения, а также свойства смешанного произведения раскрыть скобки 8 Найти ординату вектора, если известно, что векторы ( ; ; ) ( ; ; ) и ( ; 4; 7) компланарны Ответы: а) ; б) ; в) ; г) Указание: Решить уравнение, 9 Векторы а и образуют угол ϕ π Зная, что ;, вычислить [( + )( + ) ] Ответы: а) 7; б)9; в); г) Указание: Используя свойства векторного произведения, раскрыть скобки, упростить, а затем применить формулу sin ϕ Дан вектор с 6 i 5 j + k Найти вектор d, параллельный вектору с и противоположного с ним направления, если d 75 Ответы: а) d 48i + 6 j 45k; б) d 48i + 45 j 6k; в) d 48i 45 j + 6k; г) d 48 i + 6 j + 45k Указание: d d d, d ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 46

47 Вариант 8 Даны вершины треугольника A ( ; ; ), B ( 5; ; ), C ( ; ; ) Найти проекцию вектора ВС на АВ 5 Ответы: а) 5 9; б) 5; в) ; г) -5; 9 Указание: Проекция вектора ВС на АВ вычисляется по формуле: BC np AB ( AB BC), где AB ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) ( AB BC) AB ( ) ( ) ( ) + + Найти площадь параллелограмма координаты вершин которого A ( ; ; 4) B ( ; ; ) C ( ; ; ) D ( ; ; 5) Вершина В противоположна D Ответы: а); б) 56 ; в) 49 ; г) 7 Указание: S AB AD При каком значении λ векторы λi j + k; 4i j; и λi j + k компланарны Ответы: а) -4; б) ; в) 4; г) 5 Указание: Решить уравнение 4 Найти p pq + q, если известно, что p ; q ; ( p^ q) Ответы: а) ( + ); б) ( ); в) ( ) / 4; г) ( + ) / 4 Указание: Выполнить действия, учитывая, что p q p q os( p^ q), q q, p p 5 Найти вектор, коллинеарный вектору ( ; ; ) и удовлетворяющий условию Ответы: ; ; ; б) ; ; ; в) ; ; ; г) ; ; а) 4 4 Указание: Координаты вектора λ, λ найдете из условия ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 47

48 6 Даны вершины треугольника А(;-;5); В(4;;-5); С(-4;;) Найти длину медианы, поведенной из вершины А Ответы: а)5; б) 4; в) 8; г) 7 Указание: Координаты точки D можно найти из условия коллинеарности векторов ВD и BC : BD BC, те приравнять соответствующие коорди- наты векторов ВD и BC, где точка D имеет координаты D(х,у), затем AD ( ) + ( ) + ( ) D A D A D A 7 Какой угол образуют единичные векторы и, если известно, что векторы m + и n 5 4 взаимно перпендикулярны π π π Ответ: а) ; б) ; в) ; г) π ; 6 Указание: os ϕ, найдете из уравнения m n ( + )(5 4) При нахождении m n используйте свойства скалярного произведения 8 Дана сила F ( ; 4; ) и точка ее приложения A ( ; ; ) Найти момент силы относительно точки (; ; ) Ответы: а) i + j + k ; б) i + j + k ; в) i + j + k ; г) i j + k Указание: Момент силы F относительно точки А есть вектор m AO F i j k m AO F, где { ; } координаты вектора AO { ; } ; ; координаты вектора F 9 Вычислить + ( ) Ответы: а) i j + k ; б) не имеет смысла; в) 7; г) (; ; -4) Указание: Используйте определение модуля вектора, векторного произведения и смешанного произведения векторов Даны векторы i + j + k ; i + 7 j + 4k; i + j + k Найти ( ) Ответы: а) ; б) ; в) 46i + j + 9k ; г) 46i + 9 j k ; i j k i j k Указание: Найти d, затем ( ) d d d d ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 48

49 Вариант 9 Даны три вектора ( ; ; 4); ( ; 4; ); ( ;; 4) Вычислить np + Ответы: а) -4; б) 4; в) i + j; г)6 Указание: Вычислить сначала координаты вектора d +, а затем воспользоваться формулой d np d, где d d + d + d ; d d + d + d d Определить точку, в которой прямая соединяющая точку А(4; ) и В(-; 4) пересекает ось ОХ Ответы: а)(6; ); б) (-6; ); в) (4; ); г) (; ) Указание: искомую точку М искать в виде М (х; ) Воспользоваться условием коллинеарности векторов AB и AM, их координаты должны быть пропорциональны Решить полученное уравнение Даны три вектора ( ; ; ); ( 4; ; ); ( ;; ) Вычислить + + ( ) а) не имеет смысла; б) ; в) 7; с) Указание: исходить из определения модуля вектора и векторного произведения векторов 4 Вычислить длину вектора, если, и угол между и равен 6 Ответы: а) ; б)4; ) ; г) ; Указание: p p p, где p бу- 5 При каких значениях α векторы (α;; ); ( ; α; ); ( ; ;) дут компланарны? α ; α 5; α 5; α ; Ответы: а) б) в) г) α 5; α ; α ; α 5; Указание; Решить уравнение ( ) 6 Луч образует с двумя осями координат углы 6 Под каким углом он наклонен к третьей оси? Ответы: а) б) 45 в) 6 г) 5 Указание: Воспользоваться формулой os α + os β + os γ ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 49

50 7 Даны точки A ( ; 5; ); B ( 5; 7; 8); C ( ; ; 7); D ( 5; 4; ) Проверить, что векторы AB и CD коллинеарны; установить какой из них длиннее и во сколько раз AB Ответы: а) CD AB б) 4 CD AB в) CD AB г) Указание: Найти координаты векторов AB и CD Два вектора коллинеарны, если координаты пропорциональны: 8 При каком значении λ векторы λ i 5 j + k ; i + j λk ; взаимно перпендикулярны? Ответы: а) ; б) 5; в) ; г) -5; Указание: Найти скалярное произведение векторов и, приравнять нулю и решить полученное уравнение:, те Вычислить синус угла, образованного векторами ( ; ; ); ( 6; ; ) Ответы: а) sinϕ ; б) sinϕ ; в) sinϕ ; г) sinϕ 5 7 Указание: sinϕ, где + + Вычислить ( + )( [ ) ( )], i, j k CD + + Ответы: а) ; б) ; в) ; г) ; Указание: Раскрыть скобки, используя свойства векторного и смешанного произведения векторов, ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 5

51 Вариант На оси О найти точку, равноудаленную от точек А (; 4; ); В (; ;) Ответы: а) ( ; ; ); б) ( ; ; ); в) ( 7,; ; ); г) ( 9,5; ; ) Указание: Найти координаты векторов ОА и ОВ, где О (х; ; ); и решить уравнение ОА ОВ Даны четыре точки А ( ; ; 4); В (; ; 5); С ( ; ; ); В ( ; ; 4) Вычислить np CD AB Ответы: а) -,5; б) 4/7; в) /7; г) ( ; ;); Указание: AB CD np CD AB, CD где AB CD ( )( 4 ) + ( )( 4 ) + ( )( 4 ) CD ( 4 ) + ( 4 ) + ( 4 ) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах (; ; 4); ( ; 5; ) Ответы: а) 69 ; б) 5; в) 6 ; г) 69 Указание: S пар + ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева Даны три вектора (; ; ); ( ; 4; ); ( ; ; 4) Вычислить + ( ) Ответы: а) 7; б) 4; в) не имеет смысла; г) -5; Указание: При вычислении выражения исходить из определения скалярного произведения векторов, умножения вектора на число и смешанного произведения векторов 5 Вычислить объем пирамиды, заданной вершинами А ( ; ; ); В (; ; 4); С (; ;); В (; 4; ); Ответы: а) 5; б) ; в) ; с) ; 6 Указание: V ( АВ, АС, AD) пир

52 6 Найти p 4 p q + q, если известно, что p ; q ; ϕ ( p, q) 45 Ответы: а) ; б) ; в) -; г) 5 Указание: Выполнить действия, учитывая, что p p ; p q p q os ϕ; q q 7 Вычислить ( + + ) + ( + + ) + ( ) Ответы: а) ; б) ; в) ; с) Указание: Используя свойства векторного произведения раскрыть скобки 8 Даны точки А ( ; 5; ); В ( 5; 7; 8); С ( ; ; 7); D ( 5; 4; ) Указать какие векторы коллинеарные а) AB и CD ; б) AC и BD ; в) AB и BC ; г) BC и CD Указание: у коллинеарных векторов координаты пропорциональны: 9 Дана сила ( 4; 4; 4 ) F Найти величину и направление силы F Ответы: а) F 4; α ; β 9 ; γ 5 ; б) F 8; α 9 ; β 6 ; γ 6 ; в) F 6; α 6 ; β 5 ; γ 6 ; г) F 8; α 6 ; β 6 ; γ 5 ; Указание: F + + ; osα ; osβ ; os γ F F F Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к векторам { ;; } { ; ;} и удовлетворяет условию ( i j + k) 6 Ответы:а) { ;; } ; б) { ; ;} ; в) {;; } Указание: Пусть х имеет координаты:,, } г) { ;; } Решить систему уравнений ; ; (i j + k) 6 и { ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева 5

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВ Конев ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Рекомендовано в качестве

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), -

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - Тема 7.2. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Формулы вычисления длины вектора, расстояние между двумя точками. Системы координат на плоскости Декартовы прямоугольные координаты (рис.

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее