Тема 3: Определители

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 3: Определители"

Транскрипт

1 Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

2 Начало определения В этой теме будет введено и изучено понятие определителя квадратной матрицы произвольного порядка, играющее важную роль в данном курсе. В частности, по определителю матрицы можно судить о том, является ли она обратимой. Определение будет дано индуктивно (по порядку матрицы). Это означает, что сначала будет сказано, что такое определитель квадратной матрицы порядка 1 ( база индуктивного определения), а затем, в предположении, что уже известно понятие определителя матрицы порядка n 1, будет дано определение определителя матрицы n-го порядка (шаг индуктивного определения). База индукции Определителем квадратной матрицы A = (a 11) первого порядка (или просто определителем первого порядка) называется число a 11.

3 Определение Нам понадобится одно вспомогательное понятие. Определение минора и алгебраического дополнения Пусть n натуральное число, большее 1. Будем считать, что уже введено понятие определителя квадратной матрицы порядка n 1. Пусть A = (a ij ) квадратная матрица порядка n. Зафиксируем в этой матрице элемент a ij и вычеркнем в ней i-тую строку и j-тый столбец. Определитель полученной квадратной матрицы (n 1)-го порядка обозначим через M ij. Он называется минором элемента a ij. Алгебраическим дополнением элемента a ij назовем число A ij = ( 1) i+j M ij. Шаг индукции Определителем квадратной матрицы A порядка n (или просто определителем n-го порядка) называется число a 11A 11 + a 12A a 1nA 1n.

4 Обозначения для определителя Другими словами, определитель матрицы порядка n > 1 это сумма произведений элементов ее первой строки на свои алгебраические дополнения. Определитель матрицы A = (a ij ) обозначается через a 11 a a 1n a 21 a a 2n , или A, или det(a). a n1 a n2... a nn Равенство A = a 11A 11 + a 12A a 1nA 1n называют разложением определителя по первой строке.

5 Как использовать определение Приведенное выше определение определителя позволяет вычислить определитель произвольной квадратной матрицы. В самом деле, пусть A квадратная матрица порядка n. Разложив ее определитель по первой строке, мы сведем вычисление A к вычислению n определителей (n 1)-го порядка M 11, M 12,..., M 1n. Каждый из этих определителей также можно разложить по первой строке, сведя его вычисление к вычислению (n 1)-го определителя (n 2)-го порядка. Каждый из последних определителей вновь разложим по первой строке и т.д. В конце концов мы дойдем до определителей первого порядка, которые вычисляются легко (см. базу индукции в определении определителя). Ясно, что этот способ вычисления определителя весьма трудоемок, причем объем вычислений резко возрастает с увеличением порядка матрицы. В конце этой лекции будет указан менее трудоемкий способ вычисления определителей произвольного порядка.

6 Определители второго порядка В силу сформулированного выше определения, имеем равенства a11 a12 a 21 a 22 = a 11A 11 + a 12A 12 = = a 11 ( 1) 1+1 M 11 + a 12 ( 1) 1+2 M 12 = = a 11a 22 a 12a 21. Отсюда получаем важную формулу для вычисления определителя второго порядка: a11 a12 a 21 a 22 = a11a22 a12a21.

7 Определители третьего порядка Используя приведенное выше определение, имеем равенства: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a11a11 + a12a12 + a13a13 = a 31 a 32 a 33 = a 11 ( 1) 1+1 M 11 + a 12 ( 1) 1+2 M 12 + a 13 ( 1) 1+3 M 13 = = a 11 a22 a23 a 32 a 33 a12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a13 a 21 a 22 a 31 a 32 = = a 11(a 22a 33 a 23a 32) a 12(a 21a 33 a 23a 31) + a 13(a 21a 32 a 22a 31) = = a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 21a 32 a 13a 22a 31 a 12a 21a 33 a 11a 23a 32. Получили формулу для определителя третьего порядка: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 21a 32 a 13a 22a 31 a 12a 21a 33 a 11a 23a 32.

8 Правило треугольников Формула для вычисления определителя третьего порядка выглядит весьма громоздко. Существует несколько приемов для того, чтобы запомнить эту формулу. Опишем один из них, называемый правилом треугольников. Прежде всего отметим, что определитель представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, из которых три берутся со знаком плюс, а три со знаком минус. Каждое слагаемое это произведение трех элементов матрицы, среди которых есть ровно по одному из элементу из каждой строки и ровно по одному элементу из каждого столбца. Правило треугольников состоит в следующем: Правило треугольников со знаком плюс берется произведение элементов, образующих главную диагональ, а также элементов, образующих равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком минус произведение элементов, образующих побочную диагональ, а также элементов, образующих равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными побочной диагонали.

9 На рис. 1 приведена графическая иллюстрация правила треугольников. Со знаком плюс Со знаком минус Рис. 1

10 Свойство 1 определителей Установим ряд свойств определителей n-го порядка. Свойство 1 При умножении всех элементов некоторой строки матрицы на число t ее определитель умножается на t. Доказательство. Докажем это свойство индукцией по порядку матрицы. Обозначим матрицу через A, а ее порядок через n. При n = 1 доказываемое утверждение тривиально (см. определение определителя первого порядка). Предположим, что оно выполняется при n = k 1 и докажем его при n = k. Матрицу, получаемую при умножении строки матрицы A на число t, обозначим через A. Предположим сначала, что на t умножается первая строка матрицы A. Тогда A = ta 11 ta ta 1k a 21 a a 2k a k1 a k2... a kk = = ta 11A 11 + ta 12A ta 1k A 1k = = t(a 11A 11 + a 12A a 1k A 1k ) = t A.

11 Окончание доказательства свойства 1. Свойство 2 Если же умножалась не первая строка, то по предположению индукции A 1i = ta 1i для всякого 2 i k (поскольку A 1i и A 1i определители (k 1)-го порядка) и Свойство 1 доказано. Свойство 2 A = a 11A 11 + a 12A a 1k A 1k = = a 11tA 11 + a 12tA a 1k ta 1k = = t(a 11A 11 + a 12A a 1k A 1k ) = t A. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю. Доказательство. Это свойство легко следует из предыдущего. Действительно, если матрица содержит нулевую строку, то можно считать, что эта строка получена умножением некоторой другой строки на 0. По предыдущему свойству определитель будет равен произведению нуля на определитель некоторой другой матрицы, т.е. нулю.

12 Минор матрицы Введем одно важное для дальнейшего понятие. Пусть A произвольная матрица порядка m n, а k натуральное число такое, что k m и k n. Определение Выберем в матрице A произвольные k строк и k столбцов. Определитель квадратной матрицы, стоящей на пересечении этих строк и столбцов, называется минором матрицы A. Порядком минора называется порядок той матрицы, определителем которой он является. Фактически мы уже имели дело с минорами в определении определителя. В самом деле, ясно, что упоминаемый там минор M ij является минором (n 1)-го порядка матрицы A. Отметим еще, что квадратная матрица A порядка n имеет только один минор порядка n, а именно, A. Но если k < n, то матрица может иметь много миноров порядка k.

13 Свойство 3 Свойство 3 При перестановке местами двух различных строк матрицы ее определитель умножается на 1. Доказательство. Это свойство, как и свойство 1, мы докажем индукцией по порядку матрицы. База индукции здесь тривиальна, так как матрица первого порядка не содержит различных строк. Предположим, что доказываемое свойство выполняется для матриц порядка n = k 1 и докажем его для матриц порядка n = k. Матрицу, полученную из A перестановкой строк, обозначим через A. По предположению индукции A 1i = A 1i для всякого 2 i k. Если среди переставляемых строк не было первой, то A =a 11A 11+a 12A 12+ +a 1k A 1k = a 11A 11 a 12A 12 a 1k A 1k = A. Предположим теперь, что среди переставляемых строк была первая. Для определенности будем считать, что переставлялись первая и вторая строки (в общем случае доказательство абсолютно аналогично). Если k = 2, то доказываемое свойство непосредственно вытекает из определения определителя второго порядка. В самом деле, a21 a22 a 11 a 12 = a21a12 a22a11 = (a11a22 a12a21) = a 11 a 12 a 21 a 22.

14 Продолжение доказательства свойства 3 Поэтому далее будем считать, что k > 2. Пусть i, j, l, m {1, 2,..., k}, причем i l и j m. Обозначим через Mij lm минор матрицы A, полученный вычеркиванием из нее i-той и l-той строк и j-того и m-того столбцов. Разлагая сначала определитель матрицы a 11 a a 1k A = a 21 a a 2k a k1 a k2... a kk по первой строке, а затем каждый из миноров вида M 1j по его первой строке, имеем A = a 11A 11 + a 12A a 1k A 1k = = a 11M 11 a 12M ( 1) 1+k a 1k M 1k = ( ) = a 11 a 22M22 11 a 23M ( 1) k a 2k M2k 11 ( ) a 12 a 21M21 12 a 23M ( 1) k a 2k M2k ( ) + ( 1) k+1 a 1k a 21M21 1k a 22M22 1k + + ( 1) k a 2 k 1 M2 1k k 1.

15 Продолжение доказательства свойства 3 Если проделать аналогичные действия с определителем матрицы A, то мы получим алгебраическую сумму тех же самых миноров с теми же самыми множителями. Осталось лишь проверить, что знаки соответствующих слагаемых в разложениях для определителей матриц A и A будут противоположными. В самом деле, поскольку имеем A = a 21 a a 2k a 11 a a 1k a k1 a k2... a kk, A = a 21A 11 + a 22A a 2k A 1k = = a 21M 11 a 22M ( 1) k+1 a 2k M 1k. Далее, (M 2j) 1m = M 2j 1m для всех j, m = 1, 2,..., k, j m, и потому ( ) A = a 21 a 12M12 21 a 13M ( 1) k a 1k M1k 21 ( ) a 22 a 11M11 22 a 13M ( 1) k a 1k M1k ( ) + ( 1) k+1 a 2k a 11M11 2k a 12M12 2k + + ( 1) k a 1 k 1 M1 2k k 1.

16 Окончание доказательства свойства 3. Свойство 4 Ясно, что a 11a 22M22 11 = a 22a 11M Но в разложение для A это слагаемое входит со знаком плюс, а в разложение для A со знаком минус. Аналогично, a 12a 21M21 12 = a 21a 12M Но в разложение для A это слагаемое входит со знаком минус, а в разложение для A со знаком плюс. Аналогично требуемый факт устанавливается для всех остальных слагаемых. Свойство 3 доказано. Свойство 4 Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. Это свойство легко вытекает из предыдущего. В самом деле, если две одинаковые строки поменять местами, то определитель с одной строны сменит знак на противоположный (в силу свойства 3), а с другой не изменится, так как матрица останется прежней. Следовательно, определитель равен нулю.

17 Свойство 5 Свойство 5 Если каждый элемент некоторой строки матрицы представлен в виде двух слагаемых, то ее определитель равен сумме определителей двух матриц, в первой из которых элементы этой строки равны первым слагаемым, а во второй вторым слагаемым, а все остальные строки в обеих матрицах те же, что и в исходной матрице. Эта сложная формулировка символически выглядит гораздо проще: a 11 a a 1n a i1 + a i1 a i2 + a i2... a in + a in = a n1 a n2... a nn = a 11 a a 1n a i1 a i2... a in a n1 a n2... a nn a 11 a a 1n a i1 a i2... a in a n1 a n2... a nn

18 Доказательство свойства 5 Вновь воспользуемся индукцией по порядку матрицы. Если n = 1, то доказываемое утверждение очевидно. Предположим, что оно доказано для n = k 1 и докажем его для n = k. Матрицы, входящие в равенство, приведенное перед началом доказательства, обозначим через A, B и C (в том порядке, в котором они появляются в этом равенстве). Рассмотрим сначала случай, когда i = 1. Тогда A 1j = B 1j = C 1j для всякого 1 j k (поскольку все строки со второй по k-тую в матрицах A, B и C совпадают). Имеем A = (a 11 + a 11)A 11 + (a 12 + a 12)A (a 1k + a 1k)A 1k = = (a 11A 11 + a 12A a 1kA 1k ) + + (a 11A 11 + a 12A a 1kA 1k ) = = (a 11B 11 + a 12B a 1nB 1k ) + + (a 11C 11 + a 12C a 1kC 1k ) = B + C. Предположим теперь, что i > 1. Тогда, в силу предположения индукции, A 1j = B 1j + C 1j для всякого 1 j k. Следовательно, A = a 11A 11 + a 12A a 1k A 1k = = a 11(B 11 + C 11) + a 12(B 12 + C 12) + + a 1k (B 1k + C 1k ) = = (a 11B 11 + a 12B a 1k B 1k ) + + (a 11C 11 + a 12C a 1k C 1k ) = B + C. Свойство 5 доказано.

19 Свойство 6. Свойство 6 Если к некоторой строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на некоторое число, то определитель матрицы не изменится. Доказательство. Это свойство легко вытекает из свойств 1, 2 и 5. В самом деле, предположим, что мы прибавили к i-той строке матрицы ее j-тую строку, умноженную на t. Используя сначала свойства 5 и 1, а затем свойство 2, имеем a 11 a a 1n a i1 a i2... a in a j1 + ta i1 a j2 + ta i2... a jn + ta in a n1 a n2... a nn =

20 Окончание доказательства свойства 6 = = Свойство 6 доказано. a 11 a a 1n a i1 a i2... a in a j1 a j2... a jn a n1 a n2... a nn a 11 a a 1n a i1 a i2... a in a j1 a j2... a jn a n1 a n2... a nn a 11 a a 1n a i1 a i2... a in + t = a i1 a i2... a in a n1 a n2... a nn a 11 a a 1n a i1 a i2... a in + t 0 = a j1 a j2... a jn a n1 a n2... a nn

21 Свойство 7 Свойство 7. Сумма произведений элементов некоторой строки матрицы на свои алгебраические дополнения равна определителю матрицы. Иными словами, A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in для всякого 1 i n. Это равенство называется разложением определителя по i-той строке. Доказательство. Если i = 1, то доказываемое свойство есть не что иное, как определение определителя n-го порядка. Предположим теперь, что i > 1. Переставляя последовательно i-тую строку с (i 1)-й, (i 2)-й,..., наконец, с первой, и используя свойство 3, имеем a 11 a a 1n a i1 a i2... a in a n1 a n2... a nn = ( 1) i 1 a i1 a i2... a in a 11 a a 1n a i 1 1 a i a i 1 n a i+1 1 a i a i+1 n a n1 a n2... a nn =

22 Окончание доказательства свойства 7 =( 1) i 1 (a i1 ( 1) 1+1 M i1 +a i2 ( 1) 1+2 M i2 + +a in ( 1) 1+n M in ) = = a i1 ( 1) i+1 M i1 + a i2 ( 1) i+2 M i2 + + a in ( 1) i+n M in = Свойство 7 доказано. = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in.

23 Свойство 8 Свойство 8 Сумма произведений элементов некоторой строки матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю. Доказательство. Для простоты обозначений проведем доказательство для i = 1 и j = 2. В общем случае годятся те же самые рассуждения. Пусть a 11 a a 1n a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a 31 a a 3n и a 11 a a 1n A = a 31 a a 3n a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn

24 Окончание доказательства свойства 8 Иными словами, матрица A получена из матрицы A заменой ее второй строки на первую. Легко понять, что миноры матрицы A, получаемые при разложении ее определителя по первой строке, совпадают с минорами матрицы A, получаемыми при разложении ее определителя по второй строке, а соответствующие алгебраические дополнения равны по абсолютной величине и имеют различные знаки. Иными словами, M 1i = M 2i и A 1i = A 2i для всех i = 1, 2,..., n. Поскольку в матрице A имеются две одинаковые строки, по свойству 4 ее определитель равен нулю. Следовательно, 0 = a 11A 11 + a 12A a 1nA 1n = = a 11( A 21) + a 12( A 22) + + a 1n( A 2n) = = (a 11A 21 + a 12A a 1nA 2n), откуда a 11A 21 + a 12A a 1nA 2n = 0. Свойство 8 доказано.

25 Свойство 9 Свойство 9 Определитель матрицы, транспонированной к данной, равен определителю исходной матрицы. Доказательство. В общем случае доказательство этого свойства довольно сложное. Поэтому мы докажем его лишь для матриц второго и третьего порядка. Пусть A = (a ij ) квадратная матрица второго порядка. Тогда A = a11 a21 a 12 a 22 = a11a22 a21a12 = A. Пусть теперь A = (a ij ) квадратная матрица третьего порядка. Тогда a 11 a 21 a 31 A = a 12 a 22 a 32 = a 11a 22a 33 + a 21a 32a 13 + a 31a 12a 23 a 13 a 23 a 33 a 31a 22a 13 a 21a 12a 33 a 11a 32a 23 = A. Свойство 9 доказано. Из свойств 7 и 9 вытекает, что для всякого 1 j n справедливо равенство A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj, которое называется разложением определителя по j-тому столбцу.

26 Свойство 10 Свойство 10 Если в формулировках свойств 1 8 заменить слово строка словом столбец, то эти свойства останутся справедливыми. Это свойство вытекает из свойства 9 и из того, что при транспонировании строки матрицы становятся ее столбцами.

27 Свойство 11 Свойство 11 Определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали Доказательство. Предположим сначала, что матрица A = (a ij ) верхнетреугольная. Обозначим порядок матрицы через n и будем доказывать требуемое утверждение индукцией по n. База индукции очевидна: если n = 1, то A = a 11 по определению определителя первого порядка. Предположим теперь, что утверждение верно при n = k 1 и докажем его для n = k. Разложив определитель A по первому столбцу и воспользовавшись предположением индукции, имеем A = a 11 a 12 a a 1k 0 a 22 a a 2k 0 0 a a 3k a kk = a 11 = a 11a 22a 33 a kk, a 22 a a 2k 0 a a 3k a kk что и требовалось доказать. В случае нижнетреугольной матрицы доказательство аналогично, надо только воспользоваться разложением определителя по первой строке. Свойство 11 доказано. =

28 Определитель единичной матрицы Из свойства 11 непосредственно вытекает Наблюдение Определитель единичной матрицы равен единице.

29 Как вычислять определители Свойство 11 можно использовать для вычисления определителя произвольной матрицы. В лекции 2 было доказано, что произвольную квадратную матрицу A можно с помощью элементарных преобразований типов 1 3 привести к верхнетреугольной матрице B. Свойства 1, 3, 6 и 10 показывают, как связаны A и B. Вычислив B по свойству 11, можно найти и A.

30 Пример = = = ( 4) ( 63) = = = = = = =

31 Окончание примера На первом шаге мы, воспользовавшись свойством 6, прибавили ко второй строке первую, умноженную на 1, к третьей первую, умноженную на 2, а к четвертой первую, умноженную на 3. На втором шаге умножили третью и четвертую строки на 4 и 2 соответственно и воспользовались свойством 1. На третьем шаге мы, вновь воспользовавшись свойством 6, прибавили к третьей строке вторую, умноженную на 1, а к четвертой вторую, умноженную на 1. На четвертом шаге умножили третью и четвертую строки на 7 и 9 соответственно и воспользовались свойством 1. На пятом прибавили к четвертой строке третью, умноженную на 1, еще раз использовав свойство 6, а на шестом применили свойство 11.

32 Понижение порядка определителя Вычислить определитель Первую строку прибавим ко второй, умножим первую строку на 2 и прибавим к третьей, вычтем первую строку из четвертой. Полученный определитель разложим по третьему столбцу. В определителе третьего порядка умножим вторую строку на 2 и прибавим к первой; полученный определитель разложим по первой строке и придем к определителю второго порядка. Получаем = = = ( 3) ( 1) = 1 ( 1) 1+3 = ( 3) 3 = Реализованный в этом примере способ вычисления определителя называется понижением порядка определителя. =

33 Еще один пример Вычислить определитель Сначала все строки прибавляем к первой, затем выносим общий множитель 15 из первой строки. Далее вычитаем первую строку, умноженную на подходящее число, из остальных, а после этого разлагаем определитель по первому столбцу. Затем вычитаем третью строку из четвертой, вторую из третьей, первую из второй и дважды разлагаем полученный определитель по первой строке = =

34 Окончание примера = = = = = = = 15( 1)( 1) = = = 15( 5)( 1) = 1875.

35 Свойство 12 Свойство 12 Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц. Это свойство мы проверим только для квадратных матриц порядка 2. Пусть ( ) ( ) a11 a 12 b11 b 12 A = и B =. a 21 a 22 b 21 b 22 Тогда det(ab) = a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a 21b 11 + a 22b 21 a 21b 12 + a 22b 22 = = a 11a 21b 11b 12 + a 11a 22b 11b 22 + a 12a 21b 12b 21 + a 12a 22b 21b 22 a 11a 21b 11b 12 a 11a 22b 12b 21 a 12a 21b 11b 22 a 12a 22b 21b 22 = = a 11a 22(b 11b 22 b 12b 21) a 12a 21(b 11b 22 b 12b 21) = = (a 11a 22 a 12a 21)(b 11b 22 b 12b 21) = det(a) det(b).

36 Определитель порядка n Сначала рассмотрим примеры вычисления определителей порядка n. 1. Для данных чисел a, b вычислить следующий определитель порядка n: a b b... b b a b... b b b a... b b b b... a Преобразуем его, прибавив к 1-й строке последовательно 2-ю, 3-ю и все остальные, затем вынося из первой строки общий множитель a + (n 1)b и прибавляя ко всем строкам, начиная со второй, первую строку, умноженную на b. Наконец, воспользуемся свойством 11 определителей.

37 Окончание примера 1 a + (n 1) a + (n 1)b a + (n 1)b... a + (n 1)b b a b... b b b a... b b b b... a = (a + (n 1)b) b a b... b b b a... b b b b... a = = = (a + (n 1)b) a b a b a b = (a + (n 1))(a b) n 1.

38 Oпределитель Вандермонда 2. Пусть n натуральное число, a 1, a 2..., a n произвольные числа. Oпределителем Вандермонда называется следующий определитель порядка n: d = a 1 a 2 a 3... a n a1 2 a2 2 a an a n 1 1 a n 1 2 a n an n 1. (1) Докажем, что при любом n определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей a i a j, где 1 j < i n. Воспользуемся индукцией по n.

39 Доказательство При n = 2 очевидно, что 1 1 a 1 a 2 = a2 a1. Пусть утверждение уже доказано для определителей Вандермонда порядка n 1. Преобразуем определитель (1) следующим образом: для каждого k = n, n 1,..., 2 из k-й его строки вычтем k 1-ю, умноженную на a 1. Тогда a 2 a 1 a 3 a 1... a n a 1 d = 0 a2 2 a 1a 2 a3 2 a 1a 3... an 2 a 1a n a n 1 2 a 1a n 2 2 a n 1 3 a 1a n an n 1 a 1an n 2 Разлагая полученный определитель по первому столбцу, мы получим определитель n 1-го порядка. Вынося из k-го столбца множитель a k a 1 при k = 2,..., n, приходим к равенству d = (a 2 a 1)(a 3 a 1) (a n a 1) a 2 a 3... a n a2 2 a an a n 2 2 a n an n 2. (2) Последний множитель является определителем Вандермонда порядка n 1. Применяя предположение индукции, из формулы (2) получаем требуемое.

40 Важное свойство определителя Вандермонда Из полученного результата следует Предложение Определитель Вандермонда порядка n, построенный на числах a 1, a 2,..., a n, равен нулю тогда и только тогда, когда a j = a k при некоторых 1 j < k n, и определитель Вандермонда порядка n, построенный на различных числах a 1, a 2,..., a n, всегда отличен от нуля.

41 Критерий обратимости матрицы Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Следующая теорема дает критерий обратимости матрицы. Теорема Матрица является обратимой тогда и только тогда, когда она невырожденная. Доказательство. Пусть квадратная матрица A порядка n обратима. Тогда по определению существует матрица B такая, что AB = BA = E n. По свойству 12 определителей, учитывая, что det(e n) = 1, имеем 1 = det(ab) = det(a)det(b), откуда непосредственно следует, что det(a) 0, т.е. матрица A является невырожденной.

42 Окончание доказательства Обратно, предположим, что квадратная матрица A порядка n невырожденная. Рассмотрим матрицу, составленную следующим образом из алгебраических дополнений элементов определителя det(a): Ã = A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 A 1n A 2n A nn. (3) Она называется присоединенной матрицей матрицы A. Положим B = 1 det(a) Ã и покажем, что B является матрицей, обратной к A. В самом деле, используя свойство 8 определителей, легко убедиться, что AÃ = det(a)e n, откуда в силу свойства 4 умножения матриц вытекает AB = E n. Для проверки равенства BA = E n необходимо провести аналогичные рассуждения с использованием свойства 9 определителей. Таким образом, теорема доказана.

43 Формула для обратной матрицы Из доказательства теоремы 1 получается следующая формула для нахождения обратной матрицы: A 1 = 1 det(a) Ã.

44 Обоснование первого способа нахождения обратной матрицы Следствие. Пусть A квадратная матрица порядка n, а матрица B такова, что AB = E n. Тогда матрица A обратима, B = A 1 и BA = E n. Доказательство. Из равенства AB = E n, беря определители левой и правой части, получаем det(ab) = det(e n), откуда в силу свойства 12 определителей следует det(a)det(b) = 1. Таким образом, det(a) 0 и матрица A невырожденная. По теореме 1 она является обратимой. Поскольку обратная матрица A 1 является единственным решением матричного уравнения AX = E n, заключаем, что B = A 1. Равенство BA = E n теперь очевидно. Это утверждение показывает, что матричное уравнение AX = E n либо имеет единственное решение, совпадающее с A 1, либо не имеет решений. Таким образом, первый способ нахождения обратной матрицы полностью обоснован.

45 Определитель обратной матрицы Пусть A обратимая матрица. Из равенства AA 1 = E, вычисляя определители левой и правой части, выводим det(a)det(a 1 ) = det(e). Таким образом, det(a)det(a 1 ) = 1. Отсюда получаем формулу, связывающую определители обратимой матрицы A и ее обратной матрицы: det(a 1 ) = 1 det(a).

46 Второй способ нахождения обратной матрицы Формула сл.43 дает еще один способ нахождения обратной матрицы (первый способ см. на сл.32 т.2). Этот способ особенно удобен для матриц второго порядка, так как можно выписать следующую формулу для обратной матрицы: ( ) 1 ( a b 1 d b = c d ad bc c a ). (4)

47 Пример обращения матрицы вторым способом Для матриц порядка n указанный выше способ требует вычисления n 2 определителей порядка n 1, поэтому на практике для матриц порядка больше 3 он не применяется. Рассмотрим пример обращения матрицы порядка 3 этим способом. Вычислим матрицу, обратную к матрице A = Ее определитель равен 3, поэтому A 1 существует (и единственна). Составим матрицу Ã. Сначала запишем матрицу из алгебраических дополнений: Транспонируем эту матрицу: Ã =

48 Окончание примера Все элементы матрицы Ã разделим на det(a). Получим 5/3 1 4/3 A 1 = /3 1 2/3

49 Крамеровские системы линейных уравнений Система линейных уравнений называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных. Рассмотрим крамеровскую систему линейных уравнений в общем виде: a 11x 1 + a 12x a 1nx n = b 1; a 21x 1 + a 22x a 2nx n = b 2; a n1x 1 + a n2x a nnx n = b n. (5)

50 Определители для крамеровской системы Введем следующие определители для этой системы: a 11 a 12 a 1n = a 21 a 22 a 2n, a n1 a n2 a nn b 1 a 12 a 1n a 11 a 12 b 1 1 = b 2 a 22 a 2n,..., n = a 21 a 22 b 2. b n a n2 a nn a n1 a n2 b n Здесь называется главным определителем крамеровской системы (1), а определитель i получается из заменой i-го столбца столбцом свободных членов уравнений и называется определителем при неизвестном x i (i = 1, 2,..., n).

51 Правило Крамера Следующее утверждение называется теоремой (или правилом) Крамера. Теорема Если главный определитель крамеровской системы линейных уравнений отличен от нуля, то она является определенной и ее единственное решение есть ( 1,..., n ). Доказательство. Запишем крамеровскую систему в матричном виде: Ax = b. (6) Пусть 0. Так как = det(a), в силу критерия обратимости матрица A обратима. Матричное уравнение (6) имеет единственное решение x = A 1 b. Применяя для обратной матрицы формулу сл.43, имеем 1 x = Ãb. Расписывая это матричное равенство, получаем систему det(a) равенств x 1 = b1a11 + b2a bnan1, det(a) b1a12 + b2a bnan2 x 2 =, det(a) x n = b1a1n + b2a2n bnann. det(a)

52 Окончание доказательства В знаменателях правых частей полученных равенств стоит определитель, а в числителях определители 1, 2,..., n, разложенные соответственно по первому, второму и так далее, n-му столбцу. Этим требуемое доказано.

53 Решение системы с двумя неизвестными Рассмотрим пример применения теоремы Крамера. Требуется решить систему линейных уравнений { 7x 6y = 4; 9x 8y = 7. Вычислим главный определитель: = = = 2. По теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители при неизвестных: 1 = = = 74, 2 = = = 85. Получаем ответ: x = 1 = 37, y = 2 = Теорему Крамера наиболее удобно использовать для решения крамеровских систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

54 Решение системы с тремя неизвестными Рассмотрим пример применения теоремы Крамера для решения крамеровской системы с тремя неизвестными. Решим систему 2x 4y + 9z = 28; 7x + 3y 6z = 1; 7x + 9y 9z = 5. Вычислим главный определитель: = = = 348. По теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители при неизвестных: = = = 696, = = = 1044,

55 Окончание решения примера 3 = = = Находим решение системы: x = 1 = 2, y = 2 = 3, z = 3 = 4.


Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1.

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1. Лекция II II.1. Определитель матрицы С каждой квадратной матрицей A можно связать некоторое число, называемое её определителем или детерминантом (обозначается deta или A ). Определителем (или детерминантом)

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Математический анализ»

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

при неизвестных x a11 a12 составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (1). Умножая первое уравнение системы (1) на a

при неизвестных x a11 a12 составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (1). Умножая первое уравнение системы (1) на a Лекция 1 Определители 2-го и 3-го порядков При решении систем линейных уравнений а также в ряде других задач используются специальные математические выражения называемые определителями. Рассмотрим систему

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

1. Определители. a11 a12. a21 a22

1. Определители. a11 a12. a21 a22 . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

Лекция 1. Алгебра матриц.

Лекция 1. Алгебра матриц. Лекция 1. Алгебра матриц. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

Определители. Определители второго порядка и их свойства.

Определители. Определители второго порядка и их свойства. Определители Определители второго порядка и их свойства Рассмотрим матрицу Определение Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: det Пример Вычислить

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Н.Д.Выск, К.Ю. Осипенко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие

Н.Д.Выск, К.Ю. Осипенко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие НДВыск, КЮ Осипенко Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие МАТИ-РГТУ им КЭ Циолковского Кафедра «Высшая математика» 0 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие

Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие НДВыск, КЮ Осипенко Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие МАТИ-РГТУ им КЭ Циолковского Кафедра «Высшая математика» 0 3 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Практическая работа 1 Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами

Практическая работа 1 Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами Практическая работа Операции над матрицами Цель: закрепить навыки выполнения действий над матрицами Содержание работы: Основные понятия Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m n чисел

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ Лекций ч. Практических занятий ч. Всего ч. Итоговый контроль экзамен. Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович ЛИТЕРАТУРА. Беклемишев Д.В.

Подробнее

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2. Глава 11 Определители 111 Определители второго и третьего порядков Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: { a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 111 Вычитая из первого

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее